Այս հոդվածում մենք նախ կսահմանենք անցման գծերի միջև եղած անկյունը և կներկայացնենք գրաֆիկական նկարազարդում: Այնուհետև մենք կպատասխանենք հարցին. «Ինչպե՞ս գտնել անկյունը հատման գծերի միջև, եթե հայտնի են ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում այս ուղիղների ուղղության վեկտորների կոորդինատները»: Եզրափակելով՝ մենք օրինակներ և խնդիրներ լուծելիս կպարզենք հատվող գծերի միջև անկյունը գտնելը:

Էջի նավարկություն.

Անկյուն հատվող ուղիղ գծերի միջև - սահմանում:

Մենք աստիճանաբար կմոտենանք խաչվող ուղիղների միջև անկյունը որոշելուն:

Նախ, հիշենք թեք գծերի սահմանումը. եռաչափ տարածության երկու տողերը կոչվում են. խաչասերումը, եթե նրանք նույն հարթության մեջ չեն պառկում։ Այս սահմանումից հետևում է, որ հատվող ուղիղները չեն հատվում, զուգահեռ չեն և, առավել ևս, չեն համընկնում, այլապես երկուսն էլ կպառկեն որոշակի հարթությունում։

Եկեք լրացուցիչ պատճառաբանենք.

Եռաչափ տարածության մեջ թող տրվեն երկու հատվող a և b ուղիղներ: Կառուցենք a 1 և b 1 ուղիղներ, որպեսզի դրանք զուգահեռ լինեն համապատասխանաբար a և b թեք գծերին և անցնեն M 1 տարածության ինչ-որ կետով: Այսպիսով, մենք ստանում ենք երկու հատվող ուղիղներ a 1 և b 1: Թողեք a 1 և b 1 հատվող ուղիղների միջև անկյունը հավասար լինի անկյան: Այժմ կառուցենք a 2 և b 2 ուղիղները՝ համապատասխանաբար a և b թեք գծերին զուգահեռ՝ անցնելով M 2 կետով, որը տարբերվում է M 1 կետից։ a 2 և b 2 հատվող գծերի միջև անկյունը նույնպես հավասար կլինի անկյան: Այս պնդումը ճշմարիտ է, քանի որ a 1 և b 1 ուղիղները կհամընկնեն համապատասխանաբար a 2 և b 2 ուղիղների հետ, եթե կատարվի զուգահեռ փոխանցում, որում M 1 կետը տեղափոխվում է M 2 կետ: Այսպիսով, M կետում հատվող երկու ուղիղների միջև անկյան չափը, համապատասխանաբար, տվյալ հատվող ուղիղներին զուգահեռ, կախված չէ M կետի ընտրությունից։

Այժմ մենք պատրաստ ենք սահմանել անկյունը հատվող գծերի միջև:

Սահմանում.

Անկյուն հատվող գծերի միջևերկու հատվող ուղիղների միջև եղած անկյունն է, որոնք համապատասխանաբար զուգահեռ են տրված հատվող ուղիղներին։

Սահմանումից հետևում է, որ հատման գծերի միջև անկյունը նույնպես կախված չի լինի M կետի ընտրությունից: Հետևաբար, որպես M կետ կարող ենք վերցնել հատվող ուղիղներից մեկին պատկանող ցանկացած կետ։

Ներկայացնենք հատվող գծերի միջև անկյունը որոշելու օրինակ:

Գտնել անկյունը հատվող գծերի միջև:

Քանի որ հատվող գծերի միջև անկյունը որոշվում է հատվող գծերի միջև անկյան միջոցով, հատվող գծերի միջև անկյունը գտնելը կրճատվում է մինչև եռաչափ տարածության մեջ համապատասխան հատվող գծերի միջև անկյուն գտնելը:

Անկասկած, խաչվող ուղիղների միջև անկյունը գտնելու համար երկրաչափության դասերին ուսումնասիրված մեթոդները ք. ավագ դպրոց. Այսինքն, ավարտելով անհրաժեշտ կոնստրուկցիաները, դուք կարող եք կապել ցանկալի անկյունը պայմանից հայտնի ցանկացած անկյան հետ՝ ելնելով թվերի հավասարությունից կամ նմանությունից, որոշ դեպքերում դա կօգնի. կոսինուսների թեորեմ, և երբեմն հանգեցնում է արդյունքի անկյան սինուսի, կոսինուսի և շոշափողի սահմանումուղղանկյուն եռանկյուն.

Այնուամենայնիվ, շատ հարմար է կոորդինատային մեթոդով լուծել գծերի միջև անկյունը գտնելու խնդիրը: Դա այն է, ինչ մենք կքննարկենք:

Թող Oxyz-ը ներկայացվի եռաչափ տարածության մեջ (չնայած շատ խնդիրների դեպքում դուք ինքներդ պետք է մուտքագրեք այն):

Եկեք մեզ խնդիր դնենք՝ գտնենք անկյունը խաչվող a և b գծերի միջև, որոնք համապատասխանում են Oxyz ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգի տարածության մի գծի որոշ հավասարումների:

Եկեք լուծենք այն:

Վերցնենք կամայական կետ M եռաչափ տարածության մեջ և ենթադրենք, որ դրանով անցնում են a 1 և b 1 ուղիղները՝ համապատասխանաբար a և b հատվող ուղիղներին զուգահեռ։ Այնուհետև a և b հատվող ուղիղների միջև պահանջվող անկյունը հավասար է a 1 և b 1 հատվող գծերի միջև եղած անկյունին ըստ սահմանման։

Այսպիսով, մենք պարզապես պետք է գտնենք անկյունը a 1 և b 1 հատվող ուղիղների միջև: Տիեզերքում երկու հատվող ուղիղների միջև անկյունը գտնելու բանաձևը կիրառելու համար մենք պետք է իմանանք a 1 և b 1 ուղիղների ուղղության վեկտորների կոորդինատները։

Ինչպե՞ս կարող ենք դրանք ձեռք բերել: Եվ դա շատ պարզ է. Ուղիղ գծի ուղղության վեկտորի սահմանումը թույլ է տալիս պնդել, որ զուգահեռ ուղիղների ուղղության վեկտորների բազմությունները համընկնում են։ Հետևաբար, a 1 և b 1 ուղիղ գծերի ուղղության վեկտորները կարող են ընդունվել որպես ուղղության վեկտորներ Եվ ուղիղ գծեր a և b համապատասխանաբար:

Այսպիսով, Երկու հատվող a և b ուղիղների միջև անկյունը հաշվարկվում է բանաձևով
, Որտեղ Եվ համապատասխանաբար a և b ուղիղների ուղղության վեկտորներն են:

Անցման գծերի միջև անկյան կոսինուսը գտնելու բանաձևը a և b ձևն ունեն .

Թույլ է տալիս գտնել հատման գծերի միջև անկյան սինուսը, եթե կոսինուսը հայտնի է. .

Մնում է վերլուծել օրինակների լուծումները։

Օրինակ.

Գտե՛ք անկյունը խաչվող a և b գծերի միջև, որոնք սահմանվում են Oxyz ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում հավասարումներով. Եվ .

Լուծում.

Տիեզերքում ուղիղ գծի կանոնական հավասարումները թույլ են տալիս անմիջապես որոշել այս ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտորի կոորդինատները. դրանք տրվում են կոտորակների հայտարարների թվերով, այսինքն. . Տիեզերքում ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումները նաև հնարավորություն են տալիս անմիջապես գրել ուղղության վեկտորի կոորդինատները. դրանք հավասար են պարամետրի դիմաց եղած գործակիցներին, այսինքն. - ուղղակի վեկտոր . Այսպիսով, մենք ունենք բոլոր անհրաժեշտ տվյալները՝ կիրառելու բանաձևը, որով հաշվարկվում է հատվող գծերի միջև անկյունը.

Պատասխան.

Անկյունը տրված հատվող ուղիղների միջև հավասար է.

Օրինակ.

Գտե՛ք այն անկյան սինուսը և կոսինուսը այն հատման գծերի միջև, որոնց վրա ընկած են ABCD բուրգի AD և BC եզրերը, եթե հայտնի են նրա գագաթների կոորդինատները.

Լուծում.

AD և BC հատող գծերի ուղղության վեկտորները վեկտորներն են և . Եկեք հաշվարկենք դրանց կոորդինատները որպես վեկտորի վերջի և սկզբի կետերի համապատասխան կոորդինատների տարբերություն.

Ըստ բանաձևի մենք կարող ենք հաշվարկել նշված անցման գծերի միջև անկյան կոսինուսը.

Հիմա եկեք հաշվարկենք անցման գծերի միջև անկյան սինուսը.

Պատասխան.

Եզրափակելով, մենք կքննարկենք այն խնդրի լուծումը, որում անհրաժեշտ է գտնել խաչմերուկների միջև անկյունը, և ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը պետք է մուտքագրվի ինքնուրույն:

Օրինակ.

Տրված է ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ուղղանկյուն զուգահեռականագիծ, որն ունի AB = 3, AD = 2 և AA 1 = 7 միավոր: E կետը ընկած է AA 1 եզրին և այն բաժանում է 5-ի 2 հարաբերակցությամբ՝ հաշվելով A կետից։ Գտե՛ք BE և A 1 C հատման գծերի անկյունը:

Լուծում.

Քանի որ ուղղանկյուն զուգահեռականի եզրերը մեկ գագաթին փոխադարձ ուղղահայաց են, հարմար է ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ ներմուծել և նշված հատման գծերի միջև անկյունը որոշել կոորդինատային մեթոդով այս գծերի ուղղության վեկտորների միջև անկյան միջոցով:

Եկեք ներկայացնենք Oxyz ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը հետևյալ կերպ. թող սկզբնաղբյուրը համընկնի A գագաթի հետ, Ox առանցքը համընկնի AD ուղիղ գծի հետ, Oy առանցքը՝ AB ուղիղ գծի, իսկ Oz առանցքը՝ AA 1 ուղիղ գծի հետ:

Այնուհետև B կետն ունի կոորդինատներ, կետը E - (անհրաժեշտության դեպքում տես հոդվածը), կետը A 1 -, իսկ կետը C -: Այս կետերի կոորդինատներից կարող ենք հաշվել վեկտորների կոորդինատները և . մենք ունենք , .

Մնում է կիրառել բանաձևը՝ ուղղության վեկտորների կոորդինատների միջոցով խաչվող գծերի միջև անկյունը գտնելու համար.

Պատասխան.

Հղումներ.

• Աթանասյան Լ.Ս., Բուտուզով Վ.Ֆ., Կադոմցև Ս.Բ., Կիսելևա Լ.Ս., Պոզնյակ Է.Գ. Երկրաչափություն. Դասագիրք միջնակարգ դպրոցի 10-11-րդ դասարանների համար.
• Պոգորելով Ա.Վ., Երկրաչափություն. Դասագիրք հանրակրթական հաստատությունների 7-11-րդ դասարանների համար.
• Բուգրով Յա.Ս., Նիկոլսկի Ս.Մ. Բարձրագույն մաթեմատիկա. Հատոր առաջին՝ գծային հանրահաշվի և անալիտիկ երկրաչափության տարրեր։
• Իլյին Վ.Ա., Պոզնյակ Է.Գ. Վերլուծական երկրաչափություն.

Անցնել գծերը հեշտ է ճանաչել այս հատկանիշներով: Նշան 1. Եթե երկու ուղիղների վրա կան չորս կետեր, որոնք նույն հարթության մեջ չեն, ապա այս ուղիղները հատվում են (նկ. 1.21):

Իսկապես, եթե այս ուղիղները հատվեին կամ լինեին զուգահեռ, ապա նրանք նույն հարթության վրա կնստեին, իսկ հետո տրված կետերը նույն հարթության վրա, ինչը հակասում է պայմանին։

Նշան 2. Եթե O ուղիղը գտնվում է հարթության մեջ, իսկ b ուղիղը հատում է a հարթությունը ինչ-որ կետում.

M-ը չի ընկած a տողի վրա, այնուհետև a և b ուղիղները հատվում են (նկ. 1.22):

Իրոք, վերցնելով a ուղիղի ցանկացած երկու կետ և b ուղղի ցանկացած երկու կետ, մենք հասնում ենք 1-ին չափանիշին, այսինքն. a-ն և b-ը խաչված են:

Անցման գծերի իրական օրինակներ բերված են տրանսպորտային հանգույցներով (նկ. 1.23):

Տիեզերքում, որոշակի առումով, ավելի շատ են հատվող ուղիղները, քան զուգահեռ կամ հատվող ուղիղները: Դա կարելի է բացատրել այսպես.

Եկեք տարածության մեջ վերցնենք A կետը և մի քանի a ուղիղ, որը չի անցնում A կետով: A կետով a գծին զուգահեռ ուղիղ գծելու համար մենք պետք է A կետով հարթություն գծենք և a ուղիղ (1.1 կետի 2-րդ առաջարկություն): ), այնուհետև հարթության մեջ և գծեք a ուղիղին զուգահեռ b ուղիղ (նկ. 1.24):

Կա միայն մեկ այդպիսի տող բ. A կետով և հատվող O ուղիղով անցնող բոլոր ուղիղները նույնպես գտնվում են a հարթությունում և լրացնում են այն բոլորը, բացառությամբ b ուղիղի: Բոլոր մյուս ուղիղները, որոնք անցնում են A-ով և լրացնում են ամբողջ տարածությունը, բացի a հարթությունից, հատվելու են a ուղիղով: Կարելի է ասել, որ տարածության մեջ հատվող ուղիղները ընդհանուր դեպք են, իսկ հատվող և զուգահեռ ուղիղները՝ հատուկ դեպքեր։ Անցման գծերի «փոքր շարժումները» թողնում են դրանք հատման: Սակայն տարածության մեջ «փոքր շարժումներով» զուգահեռ լինելու կամ հատվելու հատկությունները պահպանված չեն։

Երկու տողերի հարաբերական դիրքը տարածության մեջ:

Երկու գծերի հարաբերական դիրքը տարածության մեջ բնութագրվում է հետևյալ երեք հնարավորությամբ.

Ուղիներն ընկած են նույն հարթության մեջ և չունեն ընդհանուր կետեր՝ զուգահեռ ուղիղներ:

Ուղիներն ընկած են նույն հարթության վրա և ունեն մեկ ընդհանուր կետ՝ ուղիղները հատվում են։

Տիեզերքում երկու ուղիղ գծերը նույնպես կարող են տեղակայվել այնպես, որ դրանք ոչ մի հարթության մեջ չընկնեն։ Նման գծերը կոչվում են թեք (չեն հատվում կամ զուգահեռ են):

ՕՐԻՆԱԿ.

ԽՆԴԻՐ 434 ABC եռանկյունը գտնվում է հարթության մեջ, ա

ABC եռանկյունը գտնվում է հարթության մեջ, բայց D կետը այս հարթությունում չէ: M, N և K կետերը համապատասխանաբար DA, DB և DC հատվածների միջնակետերն են

Թեորեմ.Եթե ​​երկու ուղիղներից մեկն ընկած է որոշակի հարթության մեջ, իսկ մյուսը հատում է այս հարթությունը մի կետում, որը չի գտնվում առաջին գծի վրա, ապա այս ուղիղները հատվում են:

Նկ. 26 a ուղիղը հարթության մեջ է, իսկ c ուղիղը հատվում է N կետում: a և c ուղիղները հատվում են:

Թեորեմ.Երկու հատվող ուղիղներից յուրաքանչյուրի միջով անցնում է միայն մեկ հարթություն՝ մյուս ուղիղին զուգահեռ։

Նկ. 26 a և b ուղիղները հատվում են: Գծվում է ուղիղ գիծ և գծվում է հարթություն (ալֆա) || b (B հարթությունում (բետա) նշված է a1 || b ուղիղը):

Թեորեմ 3.2.

Երրորդին զուգահեռ երկու ուղիղները զուգահեռ են:

Այս գույքը կոչվում է անցողիկությունգծերի զուգահեռություն.

Ապացույց

Թող a և b ուղիղները միաժամանակ լինեն c ուղղին զուգահեռ: Ենթադրենք, որ a-ն b-ին զուգահեռ չէ, այնուհետև a-ը հատում է b ուղիղը A կետում, որն ըստ պայմանի չի գտնվում c ուղիղի վրա: Հետևաբար ունենք երկու a և b ուղիղներ, որոնք անցնում են A կետով, չեն ընկած տվյալ c ուղղի վրա և միաժամանակ զուգահեռ են դրան։ Սա հակասում է 3.1 աքսիոմային: Թեորեմն ապացուցված է.

Թեորեմ 3.3.

Տրված գծի վրա չգտնվող կետի միջով կարելի է տրվածին զուգահեռ մեկ և միայն մեկ ուղիղ գծել։

Ապացույց

Թող (AB) լինի տրված ուղիղ, C կետը, որը չի ընկած դրա վրա: AC գիծը ինքնաթիռը բաժանում է երկու կիսահրթիռների: Բ կետը դրանցից մեկում է: Համաձայն 3.2 աքսիոմի՝ C A ճառագայթից (CAB) հավասար անկյուն (ACD) հնարավոր է տեղավորել մեկ այլ կիսահարթության մեջ: ACD-ն և CAB-ը հավասար են ներքին խաչաձև՝ ընկած AB և CD ուղիղների և հատվածի (AC) հետ, այնուհետև թեորեմ 3.1 (AB) || (CD): Հաշվի առնելով աքսիոմա 3.1. Թեորեմն ապացուցված է.

Զուգահեռ ուղիղների հատկությունը տրված է հետևյալ թեորեմով՝ հակառակ 3.1 թեորեմի.

Թեորեմ 3.4.

Եթե ​​երկու զուգահեռ ուղիղները հատվում են երրորդ գծով, ապա հատվող ներքին անկյունները հավասար են։

Ապացույց

Թող (AB) || (CD): Ենթադրենք, որ ACD ≠ BAC: A կետի միջով մենք ուղիղ գիծ ենք քաշում AE այնպես, որ EAC = ACD: Բայց հետո, թեորեմ 3.1-ով (AE ) || (CD), իսկ պայմանով – (AB) || (CD): Համաձայն թեորեմ 3.2-ի (AE ) || (AB). Սա հակասում է 3.3 թեորեմին, ըստ որի A կետի միջով, որը չի ընկած CD ուղիղի վրա, կարելի է դրան զուգահեռ եզակի ուղիղ գծել։ Թեորեմն ապացուցված է.

Նկար 3.3.1.

Այս թեորեմի հիման վրա կարելի է հեշտությամբ հիմնավորել հետևյալ հատկությունները.

Եթե ​​երկու զուգահեռ ուղիղները հատվում են երրորդ ուղիղով, ապա համապատասխան անկյունները հավասար են։

Եթե ​​երկու զուգահեռ ուղիղները հատվում են երրորդ գծով, ապա ներքին միակողմանի անկյունների գումարը 180° է։

Եզրակացություն 3.2.

Եթե ​​ուղիղը ուղղահայաց է զուգահեռ ուղիղներից մեկին, ապա այն նույնպես ուղղահայաց է մյուսին։

Զուգահեռության հայեցակարգը թույլ է տալիս մեզ ներկայացնել հետևյալ նոր հայեցակարգը, որը հետագայում անհրաժեշտ կլինի 11-րդ գլխում.

Երկու ճառագայթները կոչվում են հավասարապես ուղղված, եթե կա այնպիսի ուղիղ, որ նախ՝ դրանք ուղղահայաց լինեն այս ուղղին, և երկրորդ՝ ճառագայթները ընկած են այս ուղիղի նկատմամբ նույն կիսահարթության մեջ։

Երկու ճառագայթները կոչվում են հակառակ ուղղորդված, եթե դրանցից յուրաքանչյուրը հավասարապես ուղղված է մյուսին լրացնող ճառագայթով։

Մենք կնշանակենք նույնական ուղղված AB և CD ճառագայթները, իսկ հակառակ ուղղությամբ AB և CD -

Նկար 3.3.2.

Գծերի հատման նշան.

Եթե ​​երկու ուղիղներից մեկն ընկած է որոշակի հարթության մեջ, իսկ մյուս ուղիղը հատում է այս հարթությունը մի կետում, որը չի գտնվում առաջին գծի վրա, ապա այդ ուղիղները հատվում են:

Գործեր հարաբերական դիրքուղիղ գծեր տարածության մեջ.

1. Տիեզերքում երկու գծերի դասավորության չորս տարբեր դեպքեր կան.

   
   

   – ուղիղ անցում, այսինքն. մի պառկեք նույն հարթության մեջ;

   – ուղիղ գծերը հատվում են, այսինքն. պառկել նույն հարթության մեջ և ունենալ մեկ ընդհանուր կետ.

   - զուգահեռ գծեր, այսինքն. պառկել նույն հարթության վրա և չհատվել;

   - տողերը համընկնում են:

   
   

   Ստացնենք ուղիղների հարաբերական դիրքի այս դեպքերի նշանները՝ տրված կանոնական հավասարումներով

   
   
   Որտեղ - գծերին պատկանող կետերԵվ համապատասխանաբար, ա— ուղղության վեկտորներ (նկ. 4.34): Նշենք ըստտրված կետերը միացնող վեկտոր:
   
   

   Հետևյալ բնութագրերը համապատասխանում են վերը թվարկված գծերի հարաբերական դիրքի դեպքերին.

   
   

   – ուղիղ և խաչմերուկ վեկտորները հավասարաչափ չեն.

   
   

   – ուղիղ գծերը և հատվող վեկտորները համահավասար են, բայց վեկտորները համակողմանի չեն.

   
   

   – ուղիղ և զուգահեռ վեկտորները համագիծ են, բայց վեկտորները համագիծ չեն.

   
   

   – ուղիղ գծերը և համընկնող վեկտորները համակողմանի են:

   
   

   Այս պայմանները կարելի է գրել՝ օգտագործելով խառը և վեկտոր արտադրանքների հատկությունները։ Հիշեցնենք, որ վեկտորների խառը արտադրյալը աջ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում գտնում ենք բանաձևով.

   
   
   իսկ որոշիչը հատվում է զրոյական, իսկ նրա երկրորդ և երրորդ շարքերը համաչափ չեն, այսինքն.
   

   – որոշիչի ուղիղ և զուգահեռ երկրորդ և երրորդ տողերը համաչափ են, այսինքն. իսկ առաջին երկու տողերը համաչափ չեն, այսինքն.

   
   

   – ուղիղները և որոշիչի բոլոր ուղիղները համընկնում են և համաչափ են, այսինքն.

Շեղ գծի թեստի ապացույց:

Եթե ​​երկու ուղիղներից մեկն ընկած է հարթության մեջ, իսկ մյուսը հատում է այս հարթությունը առաջին գծին չպատկանող կետում, ապա այս երկու ուղիղները հատվում են։

Ապացույց

Թող a-ն պատկանում է α-ին, b-ն հատում է α = A-ին, A-ն չի պատկանում a-ին (Նկար 2.1.2): Ենթադրենք, որ a և b ուղիղները չեն հատվում, այսինքն՝ հատվում են։ Այնուհետև գոյություն ունի β հարթություն, որին պատկանում են a և b ուղիղները: Այս հարթությունում β են a ուղիղը և A կետը: Քանի որ a ուղիղը և A կետը դրանից դուրս սահմանում են մեկ հարթություն, ապա β = α: Բայց b-ն մղում է β, իսկ b-ն չի պատկանում α-ին, հետևաբար β = α հավասարությունն անհնար է։

Դասախոսություն: հատվող, զուգահեռ և հատվող գծեր; գծերի ուղղահայացություն

Հատվող գծեր

Եթե ​​հարթության վրա կան մի քանի ուղիղ գծեր, ապա վաղ թե ուշ դրանք կամ կամայականորեն կհատվեն, կամ ուղիղ անկյան տակ, կամ կլինեն զուգահեռ։ Եկեք նայենք յուրաքանչյուր դեպքին:

Այն ուղիղները, որոնք ունեն հատման առնվազն մեկ կետ, կարելի է անվանել հատվող:

Դուք կարող եք հարցնել, թե ինչու առնվազն մեկ ուղիղ գիծ չի կարող երկու կամ երեք անգամ հատել մեկ այլ ուղիղ: Դու ճիշտ ես։ Բայց ուղիղ գծերը կարող են լիովին համընկնել միմյանց հետ: Այս դեպքում կլինի անսահման թվով ընդհանուր կետեր:

Զուգահեռություն

ԶուգահեռաբարԴուք կարող եք անվանել այն գծերը, որոնք երբեք չեն հատվի, նույնիսկ անսահմանության ժամանակ:

Այսինքն՝ զուգահեռ են նրանք, որոնք չունեն մեկ ընդհանուր կետ։ Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ այս սահմանումըճիշտ է միայն այն դեպքում, եթե ուղիղները գտնվում են նույն հարթության մեջ, բայց եթե չունեն ընդհանուր կետեր՝ գտնվելով տարբեր հարթություններում, ապա դրանք համարվում են հատվող։

Կյանքում զուգահեռ գծերի օրինակներ. մոնիտորի էկրանի երկու հակադիր եզրեր, նոթատետրերի գծեր, ինչպես նաև իրերի շատ այլ մասեր, որոնք ունեն քառակուսի, ուղղանկյուն և այլ ձևեր:

Երբ ուզում են գրավոր ցույց տալ, որ մի տողը մյուսին զուգահեռ է, օգտագործում են հետևյալ նշումը a||b. Այս գրառումն ասում է, որ a ուղիղը զուգահեռ է b ուղղին:

Այս թեման ուսումնասիրելիս կարևոր է հասկանալ ևս մեկ պնդում. հարթության որոշակի կետով, որը չի պատկանում տվյալ գծին, կարելի է մեկ զուգահեռ ուղիղ գծել: Բայց ուշադրություն դարձրեք, նորից ուղղումը ինքնաթիռում է։ Եթե ​​հաշվի առնենք եռաչափ տարածություն, ապա կարելի է գծել անվերջ թվով ուղիղներ, որոնք չեն հատվի, բայց կլինեն հատվող։

Այն հայտարարությունը, որը նկարագրված էր վերևում, կոչվում է զուգահեռ ուղիղների աքսիոմա.

Ուղղահայացություն

Ուղիղ գծերը կարելի է անվանել միայն եթե ուղղահայաց, եթե հատվում են 90 աստիճանի հավասար անկյան տակ։

Տիեզերքում, գծի որոշակի կետի միջով, կարելի է գծել անսահման թվով ուղղահայաց գծեր: Այնուամենայնիվ, եթե մենք խոսում ենք հարթության մասին, ապա գծի մեկ կետի միջով կարող եք մեկ ուղղահայաց գիծ գծել:

Անցած ուղիղ գծեր. Սեկանտ

Եթե ​​որոշ ուղիղներ հատվում են որոշակի կետում կամայական անկյան տակ, դրանք կարելի է անվանել խաչասերումը.

Ցանկացած հատվող գծեր ունեն ուղղահայաց և հարակից անկյուններ:

Եթե ​​երկու հատվող ուղիղ գծերով կազմված անկյուններն ունեն մեկ ընդհանուր կողմ, ապա դրանք կոչվում են կից.

Հարակից անկյունները ավելանում են մինչև 180 աստիճան:

ՀԱՏՈՒՄ ՈՒՂԻՂՆԵՐ Մեծ Հանրագիտարանային բառարան

հատման գծեր- ուղիղ գծեր տարածության մեջ, որոնք չեն գտնվում նույն հարթության վրա: * * * ՈՒՂԻՂՆԵՐ ԽԱՉՈՒՄ ԵՆ ՀԱՏՈՒՄ ՈՒՂԻՆԵՐ, ուղիղ գծեր տարածության մեջ, նույն հարթության մեջ չպառկած... Հանրագիտարանային բառարան

Գծեր հատելը- ուղիղ գծեր տարածության մեջ, որոնք չեն գտնվում նույն հարթության վրա: Զուգահեռ հարթությունները կարելի է գծել գծային կետի միջով, որի միջև հեռավորությունը կոչվում է գծային կետերի միջև ընկած հեռավորությունը: Խորհրդային մեծ հանրագիտարան

ՀԱՏՈՒՄ ՈՒՂԻՂՆԵՐ- ուղիղ գծեր տարածության մեջ, որոնք չեն գտնվում նույն հարթության վրա: S. p-ի միջև ընկած անկյունը կոչվում է. Տարածության կամայական կետով անցնող երկու զուգահեռ ուղիղների միջև գտնվող ցանկացած անկյուն: Եթե ​​a-ն և b-ը S. p-ի ուղղության վեկտորներն են, ապա S. p-ի միջև անկյան կոսինուսը ... Մաթեմատիկական հանրագիտարան

ՀԱՏՈՒՄ ՈՒՂԻՂՆԵՐ- ուղիղ գծեր տարածության մեջ, որոնք նույն հարթության վրա չեն ընկած... Բնական գիտություն. Հանրագիտարանային բառարան

Զուգահեռ գծեր- Բովանդակություն 1 Էվկլիդեսյան երկրաչափությունում 1.1 Հատկություններ 2 Լոբաչևսկու երկրաչափությունում ... Վիքիպեդիա

Ուլտրազուգահեռ ուղիղ գծեր- Բովանդակություն 1 Էվկլիդեսյան երկրաչափությունում 1.1 Հատկություններ 2 Լոբաչևսկու երկրաչափությունում 3 Տես նաև... Վիքիպեդիա

ՌԻՄԱՆ Երկրաչափություն- էլիպսային երկրաչափություն, ոչ էվկլիդյան երկրաչափություններից մեկը, այսինքն՝ երկրաչափական, աքսիոմների վրա հիմնված տեսություն, որի պահանջները տարբերվում են էվկլիդեսյան երկրաչափության աքսիոմների պահանջներից։ Ի տարբերություն Էվկլիդեսյան երկրաչափության R.g-ում... ... Մաթեմատիկական հանրագիտարան