ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ. ДЕЙСТВИЯ НАД ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ
(урок-обобщение)
Тумышева Замира Тансыкбаевна, учитель математики, школа-гимназия №2
г. Хромтау Актюбинской области Республика Казахстан
Данная разработка урока предназначена как урок-обобщение по главе «Действия над десятичными дробями». Её можно использовать как в 5 классах, так и в 6 классах. Урок проводится в игровой форме.
Десятичные дроби. Действия над десятичными дробями. (урок-обобщение)
Цель :
Отработка умений и навыков сложения, вычитания, умножения и деления десятичных дробей на натуральные числа и на десятичную дробь
Создание условий для развития навыков самостоятельной работы, самоконтроля и самооценки, развития интеллектуальных качеств: внимания, воображения, памяти, умения анализировать и обобщать
Привить познавательный интерес к предмету и выработать уверенность в своих силах
ПЛАН УРОКА:
1. Организационная часть.
3. Тема и цель нашего урока.
4. Игра «К заветному флажку!»
5. Игра «Числовая мельница».
6. Лирическое отступление.
7. Проверочная работа.
8. Игра «Шифровка» (работа в парах)
9. Подведение итогов.
10. Домашнее задание.
1. Организационная часть. Здравствуйте. Присаживайтесь.
2. Обзор правил выполнения арифметических действий с десятичными дробями.
Правило сложения и вычитания десятичных дробей:
1) уравнять количество знаков после запятой в этих дробях;
2) записать друг под другом так, чтобы запятая была под запятой;
3) не замечая запятой, выполнить действие (сложение или вычитание), и поставить в результате запятую под запятыми.
3,455 + 0,45 = 3,905 3,5 + 4 = 7,5 15 – 7,88 = 7,12 4,57 - 3,2 = 1,37
3,455 + 3,5 _15,00 _ 4,57
0,450 4,0 7,88 3,20
3,905 7,5 7,12 1,37
При сложении и вычитании натуральные числа записывают как десятичную дробь с десятичными знаками, равными нулю
Правило умножения десятичных дробей:
1) не обращая внимания на запятую, умножить числа;
2) в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа налево, сколько их отделено запятой в десятичных дробях.
При умножении десятичной дроби на разрядные единицы (10, 100, 1000 и т.п.) запятая переносится вправо на столько чисел, сколько нулей в разрядной единице
4
17,25 · 4 = 69
х 1 7,2 5
4
6 9,0 0
15,256 · 100 = 1525,6
,5 · 0,52 = 2,35Х 0,5 2
4,5
2 7 0
2 0 8__
2,3 5 0
При умножении натуральные числа записывают как натуральные числа.
Правило деления десятичных дробей на натуральное число:
1) разделить целую часть делимого, поставить в частном запятую;
2) продолжить деление.
При делении к остатку сносим только по одному числу из делимого.
Если в процессе деления десятичной дроби останется остаток, то приписав к нему нужное число нулей, продолжим деление до тех пор, пока в остатке не получится нуль.
15,256: 100 = 0,15256
0,25: 1000 = 0,00025
Ри делении десятичной дроби на разрядные единицы (10, 100, 1000 и т.п.) запятая переносится влево на столько чисел, сколько нулей в разрядной единице.
18,4: 8 = 2,3
_ 18,4 І_8_
16 2,3
2 4
2 4
22,2: 25 = 0,88
22,2 І_25_
0 0,888
22 2
20 0
2 20
2 00
200
200
3,56: 4 = 0,89
3,56 І_4_
0 0,89
3 5
3 2
36
При делении натуральные числа записывают как натуральные числа.
Правило деления десятичных дробей на десятичную дробь:
1) перенесём запятую в делителе вправо так, чтобы получилось натуральное число;
2) запятую в делимом перенесём вправо настолько чисел, насколько перенесли в делителе;
3) производим деление десятичной дроби на натуральное число.
3,76: 0,4 = 9, 4
_ 3,7,6 І_0,4,_
3 6 9, 4
1 6
1 6
0
Игра «К заветному флажку!»
Правила игры: Из каждой команды к доске вызываются по одному ученику, которые производят устный счет с нижней ступеньки. Решивший один пример отмечает ответ в таблице. Дальше его сменяет другой член команды. Происходит движение вверх - к заветному флажку. Учащиеся на местах устно проверяют результаты своих игроков. При неправильном ответе к доске выходит другой член команды, чтобы продолжить решение заданий. Вызывают для работы у доски учеников капитаны команд. Выигрывает та команда, которая при наименьшем количестве учащихся первой достигнет флажка.
Игра «Числовая мельница»
Правила игры: В кружках мельницы записаны числа. На стрелках, соединяющих кружки, указаны действия. Задание состоит в том, чтобы выполнить последовательно действия, продвигаясь по стрелке от центра к внешней окружности. Выполняя последовательно действия по указанному маршруту, вы найдете ответ в одном из кружков внизу. Результат выполнения действий по каждой стрелке записывается в овале рядом.
Лирическое отступление.
Стихотворение Лифшица «Три десятых»
Это кто
Из портфеля
Швыряет в досаде
Ненавистный задачник,
Пенал и тетради
И суёт свой дневник.
Не краснея при этом,
Под дубовый буфет.
Чтоб лежал под буфетом?..
Познакомьтесь, пожалуйста:
Костя Жигалин.
Жертва вечных придирок, -
Он снова провален.
И шипит,
На растрёпанный
Глядя задачник:
Просто мне не везёт!
Просто я неудачник!
В чём причина
Обиды его и досады?
Что ответ не сошёлся
Лишь на три десятых.
Это сущий пустяк!
И к нему, безусловно,
Придирается
Строгая
Марья Петровна.
Три десятых...
Скажи про такую ошибку -
И, пожалуй, на лицах
Увидишь улыбку.
Три десятых...
И всё же об этой ошибке
Я прошу вас
Послушать меня
Без улыбки.
Если б, строя ваш дом.
Тот, в котором живёте.
Архитектор
Немножко
Ошибся
В расчёте, -
Что б случилось.
Ты, знаешь ли, Костя Жигалин?
Этот дом
Превратился бы
В груду развалин!
Ты вступаешь на мост.
Он надёжен и прочен.
А не будь инженер
В чертежах своих точен, -
Ты бы, Костя,
Свалившись
в холодную реку,
Не сказал бы спасибо
Тому человеку!
Вот турбина.
В ней вал
Токарями расточен.
Если б токарь
В работе
Не очень был точен, -
Совершилось бы, Костя,
Большое несчастье:
Разнесло бы турбину
На мелкие части!
Три десятых -
И стены
Возводятся
Косо!
Три десятых -
И рухнут
Вагоны
С откоса!
Ошибись
Только на три десятых
Аптека, -
Станет ядом лекарство,
Убьёт человека!
Мы громили и гнали
Фашистскую банду.
Твой отец подавал
Батарее команду.
Ошибись он прилетом
Хоть на три десятых, -
Не настигли б снаряды
Фашистов проклятых.
Ты подумай об этом,
Мой друг, хладнокровно
И скажи.
Не права ль была
Марья Петровна?
Если честно
Подумаешь, Костя, об этом.
То недолго лежать
Дневнику под буфетом!
Проверочная работа по теме «Десятичные дроби» (математика -5)
На экране последовательно появятся 9 слайдов. Учащиеся в тетрадях записывают номер варианта и ответы на вопрос. Например, Вариант 2
1. С; 2. А; и т.п.
ВОПРОС 1
Вариант 1
При умножении десятичной дроби на 100, нужно в этой дроби перенести запятую:
А. влево на 2 цифры; В. вправо на 2 цифры; С. не менять место запятой.
Вариант 2
При умножении десятичной дроби на 10, нужно в этой дроби перенести запятую:
А. вправо на 1 цифру; В. влево на 1 цифру; С. не менять место запятой.
ВОПРОС 2
Вариант 1
Сумма 6,27+6,27+6,27+6,27+6,27 в виде произведения записывается так:
А. 6,27 · 5; В. 6,27 · 6,27; С. 6,27 · 4.
Вариант 2
Сумма 9,43+9,43+9,43+9,43 в виде произведения записывается так:
А. 9,43 · 9,43; В. 6 · 9,43; С. 9,43 · 4.
ВОПРОС 3
Вариант 1
В произведении 72,43· 18 после запятой будет:
Вариант 2
В произведении 12,453· 35 после запятой будет:
А. 2 цифры; В. 0 цифр; С. 3 цифры.
ВОПРОС 4
Вариант 1
В частном 76,4: 2 после запятой будет:
А. 2 цифры; В. 0 цифр; С. 1 цифра.
Вариант 2
В частном 95,4: 6 после запятой будет:
А. 1 цифра; В. 3 цифры; С. 2 цифры.
ВОПРОС 5
Вариант 1
Найти значение выражения 34,5: х + 0,65· у, при х=10 у=100:
А. 35,15; В. 68,45; С. 9,95.
Вариант 2
Найти значение выражения 4,9 · х +525:у, при х=100 у=1000:
А. 4905,25; В. 529,9; С. 490,525.
ВОПРОС 6
Вариант 1
Площадь прямоугольника со сторонами 0,25 и 12 см равна
А. 3; В. 0,3; С. 30.
Вариант 2
Площадь прямоугольника со сторонами 0,5 и 36 см равна
А. 1,8; В. 18; С. 0,18.
ВОПРОС 7
Вариант 1
Из школы одновременно в противоположные стороны вышли два ученика. Скорость первого ученика 3,6 км\ч, скорость второго – 2,56 км\ч. Через 3 часа расстояние между ними будет равно :
А. 6,84 км; В. 18,48 км; С. 3,12 км
Вариант 2
Из школы одновременно в противоположные стороны выехали два велосипедиста. Скорость первого 11,6 км\ч, скорость второго – 13,06 км\ч. Через 4 часа расстояние между ними будет равно :
А. 5,84 км; В. 100,8 км; С. 98,64 км
Вариант 1
Вариант 2
Проверьте свои ответы. Поставьте «+» за правильный ответ и «-» за неправильный ответ.
Игра «Шифровка»
Правила игры: На каждую парту раздаётся по карточке с заданием, имеющим код-букву. Выполнив действия и получив результат, записываете код-букву вашей карточки под числом, соответствующим вашему ответу.
В результате получим предложение:
6,8
420
21,6
420
306
65,8
21,6
Подведение итогов урока.
Объявляются оценки за проверочную работу.
Домашнее задание №1301, 1308, 1309
СПАСИБО за внимание!!!
Глава 2 ДРОБНЫЕ ЧИСЛА И Действия С НИМИ
§ 45. Задачи и примеры на все действия с натуральными числами и десятичными дробями
Начальный уровень
1620. Найди (устно):
1) 1,8 + 3,1; 2) 0,05 + 0,18; 3) 4,2 - 1,2;
4) 100 ∙ 0,15; 5) 57 ∙ 0,1; 6) 0,73: 0,1.
1621. Найди (устно):
1) 7,8 + 4,9; 2) 3,7 + 2,51; 3) 1 - 0,6;
4) 2 - 0,17; 5) 0,001 ∙ 29; 6) 4,2: 0,7.
1622. Обчисли (устно):
1) 0,57 + 1,43; 2) 4,27 - 2,07; 3) 4,1 - 2,01;
4) 8 ∙ 1,5; 5) 60: 0,2; 6) 739: 100.
1623. Обчисли (устно):
1) 8,32 ∙ 10; 2) 117,3 ∙ 100; 3) 1,85 ∙ 1000;
4) 3,71 ∙ 0,1; 5) 4,92 ∙ 0,01; 6) 125,3 ∙ 0,001.
1624. Обчисли (устно):
1) 32,7: 10; 2) 45,13: 100; 3) 2792: 1000;
4) 8,3: 0,1; 5) 37,3: 0,01; 6) 13,24: 0,001.
1625. Обчисли:
1) 5,18 + 25,37; 2) 0,805 + 7,105;
3) 5,97 + 0,032; 4) 8,91 - 1,328;
5) 71,5 - 16,07; 6) 42 - 7,18.
1626. Обчисли:
1) 4,27 + 37,42; 2) 0,913 + 8,39;
3) 4,13 + 0,9027; 4) 4,17 - 0,127;
5) 42,7 - 17,08; 6) 78 - 14,53.
1627. Обчисли:
1) 42 ∙ 0,13; 2) 3,6 ∙ 2,5; 3) 7,05 ∙ 800;
4) 15: 4; 5) 72: 2,25; 6) 15,3: 17.
1628. Обчисли:
1) 38 ∙ 0,25; 2) 4,8 ∙ 3,5; 3) 4,07 ∙ 900;
4) 18,3: 2; 5) 53,55: 4,25; 6) 406,6: 19.
1629. Запиши в виде десятичной дроби:
1630. Запиши в виде обыкновенной дроби или смешанного числа:
1) 2,3; 2) 4,07; 3) 0,23; 4) 10,073.
1631. Сравни:
1) 4,897 и 4,879; 2) 7,520 и 7,52;
3) 42,57 и 42,572; 4) 9,759 и 9,758.
1632. Сравни:
1) 7,896 и 7,869; 2) 8,01 и 8,1;
3) 47,53 и 47,530; 4) 4,571 и 4,578.
Средний уровень
1633. Обчисли 2,5 x + 0,37, если:
1) x = 1,6; 2) x = 3,4.
1634. Найди среднее арифметическое чисел:
1) 0,573; 1,96; 35,24;
2) 4,82; 89,59; 0,462; 9,368.
1635. Найди среднее арифметическое чисел 20,76; 80,43; 90,24.
1636. За 2,5 часа поезд проехал 195 км. Сколько километров проедет поезд за 3,6 ч, если будет двигаться с той же скоростью?
1637. Автомобиль в течение t часов ехал со скоростью 85 км/час. Составь выражение для нахождения пути, пройденного автомобилем, и обчисли его, если t равен 0,5; 0,8; 1,4; 3.
1638. Обчисли значение выражения 27,3 - а: b , если:
1) а = 33,5; b = 2,5; 2) а = 32,16; b = 13,4.
1639. Реши уравнения:
1) 12,5 + х = 37,4; 2) в + 13,72 = 18,1;
3) в - 137,8 = 27,41; 4) 17 - х = 12,42.
1640. Реши уравнения:
1) 13,7 + a = 18,4; 2) x + 13,42 = 18,9;
3) b - 142,3 = 15,73; 4) 14 - y = 12,142.
1641. Сравни величины:
1) 0,4 м и 4 дм; 2) 0,2 дм и 20 см;
3) 0,07 м и 7 см; 4) 0,03 км и 300 м
1642. Сравни величины:
1) 0,2 т и 2 ц; 2) 0,3 ц и 31 кг;
3) 0,8 т и 785 кг; 4) 0,08 кг и 80 г.
1643. Скорость теплохода в стоячей воде равна 25,4 км/ч, а скорость течения реки - 1,8 км/час. Сколько километров проходит теплоход:
1) за 1,5 ч по течению реки;
2) за 2,4 ч против течения реки?
1644. Катер двигался сначала 1,6 ч по озеру со скоростью 25,5 км/ч, а затем 0,8 ч по реке против течения. Скорость течения равна 1,7 км/ч. Какое расстояние преодолел катер?
1645. Найди значение выражения:
1) 15 ∙ (2,7 + 4,2);
2) (5,7 - 2,3) : 4;
3) (5,47 - 4,25) ∙ 10;
4) (4,47 + 2,7) : 10;
5) (13,42 - 4,15) ∙ (12,3 - 0,3);
6) (2,17 + 4,45) : (12,6 - 12,5).
1646. Найди значение выражения:
1) (2,43 + 4,15) ∙ 1,7;
2) (12,49 - 3,57) : 0,4;
3) (4,17 - 3,8) ∙ (10,1 - 8,1);
4) (15,7 + 14,9) : (2,91 - 1,21).
1647. Реши уравнения:
1) 12,5 х = 45; 2) в ∙ 4,8 = 60,6;
3) х: 4,7 = 12,3; 4) 12,7: в = 0,01.
1648. Розв яжи уравнения:
1) 3,7 y = 7,77; 2) х ∙ 3,48 = 8,7;
3) в: 5,4 = 13,5; 4) 52,54: х = 3,7.
1649. Составь выражение: от суммы чисел а и 42,3 отнять разницу чисел 15,7 и b . Обчисли значение выражения, если а = 3,7; b = 2,3.
1650. Из 360 учеников школы 40 % принимали участие в кроссе. Сколько учащихся участвовало в кроссе?
1651. Найди значение выражения:
1) (120,21 - 37,59) : 34 + 5,43 ∙ 19;
2) (8,57 + 9,585: 4,5) ∙ 3,8 - 42,7: 4.
1652. Найди значение выражения:
1) (5,02 - 3,89) ∙ 29 + 0,27: 18;
2) (32,526: 3,9 + 2,26) ∙ 5,4 - 47,2 ∙ 0,5.
1653. На сколько сумма чисел 19,4 и 4,72 больше разности этих же чисел?
1654. Найди сумму 25,3 дм + 13,7 см + 15 мм в сантиметрах.
1655. 32 ученики собрали 152 кг клубники и 33,6 кг малины. Сколько всего килограммов ягод собрал каждый ученик, если они собрали ягод каждого вида поровну?
1656. С поля площадью 420 га планировалось собрать по 35 центнеров зерна с каждого гектара, но собрали 1785 т зерна. На сколько центнеров урожай с 1 га выше, чем было запланировано?
1657. Найди площадь поверхности куба с ребром 1,5 см.
1658. Найди площадь и периметр квадрата со стороной 4,7 дм.
1659. Запиши в порядке убывания дроби: 0,27; 0,372; 0,423; 0,279; 0,51; 0,431; 0,307.
1660. Запиши в порядке возрастания дроби: 4,23; 4,32; 4,222; 43,2; 4,232; 4,323.
1661. Веревку длиной 15,3 м разрезали на три части. Одна из них составляет веревки, вторая
длиннее первой на 1,8 м. Найди длину каждой части.
1662. Яхта «Беда» за 3 дня регаты преодолела 234,9 км. За первый день яхта преодолела этого расстояния, а за второй - на 8,3 км меньше, чем за первый. Сколько километров яхта «Беда» преодолевала каждый день?
1663. Автомобиль проехал 471 км. Первые 205 км он ехал со скоростью 82 км/ч, а оставшуюся часть - со скоростью 76 км/час. За какое время автомобиль преодолел весь путь?
1664. Периметр равнобедренного треугольника равен 15,4 см. Найди его основание, если боковая сторона треугольника равна 5,3 см.
1665. Найди периметр равнобедренного треугольника, основа которого равна 4,2 дм, а боковая сторона в 1,5 раза больше за основу.
1666. Обчисли:
1) (88,57 + 66,87) : 29 - 0,27 ∙ 18;
2) 20,8: (12 - 11,36) - 8: 12,5 + 4,7 ∙ 5,2.
1667. Обчисли:
1) (1,37 + 4,86) ∙ 17 - 556,89: 19;
2) (3,81 + 59,427: 9,3) ∙ 7,6 - 10,2 ∙ 4,7.
1668. На сколько сумма чисел 8,1 и 7,2 больше их долю?
1669. На сколько разность чисел 3,7 и 2,5 меньше их произведения?
1670. Найди значение выражения а ∙ 2,5 - b , если а = 3,6; b = 1,117.
1671. Между какими соседними натуральными числами размещено дробь:
1672. Округли до:
1) единиц: 25,17; 37,89;
2) десятых: 37,893; 42,012;
3) сотых: 108,112; 213,995.
1673. Округли до:
1) единиц: 25,372; 37,51;
2) десятых: 13,185; 14,002;
3) сотых: 15,894; 17,377.
1674. Начерти координатный луч, взяв за единичный отрезок 10 клеточек. Отметить на нем точки А(0,7), B (1,3), С(1), D (0,2), D (1,9).
1675. Начерти координатный луч, взяв за единичный отрезок 10 клеточек. Обозначь на нем точки М(0,6), N (1,4), K (0,3), L (2), Р(1,8).
1676. Белый медведь весит 720 кг, а масса бурого составляет 40 % массы белого медведя. Обчисли массу бурого медведя.
1677. Упрости выражение 2,7 x - 0,05 x + 0,75 x и найди его значение, если х = 2,7.
1678. Основа равнобедренного треугольника равна 10,8 см, а длина боковой стороны составляет длины основы. Найди периметр треугольника.
1679. Упрости выражение и обчисли его значение:
1) 2,7 а ∙ 2, если а = 3,5;
2) 3,2 x ∙ 5у, если x = 0,1; в = 1,7.
1680. Найди объем прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны:
1) 1,2 см, 5 см, 1,8 см; 2) 1,2 дм, 3 см, 23 мм.
1681. Вырази в тоннах и запиши в виде десятичной дроби:
1) 7314 кг; 2) 2 т 511 кг; 3) 3 ц 12 кг; 4) 18 кг.
1682. Вырази в метрах и запиши в виде десятичной дроби:
1) 527 см; 2) 12 дм; 3) 3 м 5 дм; 4) 5 м 4 см. 336
Достаточный уровень
1683. Выполни деление, полученную долю округли:
1) 110: 57 до единиц; 2) 18: 7 до десятых;
3) 15,2: 0,7 до сотых; 4) 14: 5,1 до тысячных.
1684. Выполни деление, полученную долю округли:
1) 120: 37 до десятых; 2) 5,2: 0,17 до сотых.
1685. Завод работал 15 дней и выпускал ежедневно в среднем по 45,4 т минеральных удобрений. Все удобрения загрузили в 25 железнодорожных вагонов поровну. Сколько удобрений погрузили в каждый вагон?
1686. Сумма двух длин треугольника равна 15 см, а длина третьей стороны составляет 80 % этой суммы. Найди периметр треугольника.
1687. Одна из сторон прямоугольника равна 14,4 см, а длина второго составляет 75 % первой. Найди площадь и периметр этого прямоугольника.
1688. Периметр треугольника равен 36 см. Длина одной из сторон составляет периметра, а длина второй - 40 % периметра. Найди стороны треугольника.
1689. Длина прямоугольного параллелепипеда равна 16 дм, ширина составляет длины, а высота - 70 % ширины. Найди объем прямоугольного параллелепипеда.
1690. Найди сумму трех чисел, первое из которых равна 4,27, а каждое следующее в 10 раз больше вперединет.
1691. Высота прямоугольного параллелепипеда равна 16 см, что составляет длины и 40 % ширины. Найди объем прямоугольного параллелепипеда.
1692. Одна сторона прямоугольника равна 8,5 см, а вторая составляет 60 % первой. Найди периметр и площадь прямоугольника.
1693. Один из рабочих изготовил 96 деталей за 6 ч, а другой - 45 деталей за 2,5 часа. За сколько часов они изготовят 119 деталей, работая вместе?
1694. Что выгоднее купить?
1695. Что выгоднее купить?
1696. Составь задачи по схемам и реши их.
1697. Составь задачи по схемам и реши их.
1698. На сколько увеличится объем куба, если его ребро увеличить с 2,5 см до 3,5 см?
1699. Составь числовое выражение и найди его значение:
1) разность сумм чисел 2,72 и 3,82 и
2) произведение разности чисел 18,93 и 9,83 и числа 10.
1700. Из поселка А в поселок В одновременно выехали два велосипедиста со скоростями 15,6 км/ч и 18,4 км/час. Через 3,5 час один из велосипедистов прибыл в поселок В. Сколько километров должен проехать другой велосипедист?
1701. Из одного города одновременно в противоположных направлениях выехали два автомобиля. Скорость одного из них - 76 км/ч, что составляет 95 % скорости другого. Через сколько часов расстояние между автомобилями будет 390 км?
1702. Реши уравнения:
1) 1,17 x + 0,32 x = 3,725;
2) 4,7 x - 1,2 x = 4,34;
3) 2,47 x - 1,32 x + 1,3 = 4,221;
4) 1,4 x + 2,7 x - 8,113 = 2,342.
1703. Реши уравнения:
1) 4,13 x - 0,17 x = 9,9;
2) 5,3 x + 4,8 x - 5,13 = 43,35.
1704. Развернутый угол разделили лучами на треуголки. Первый составляет развернутого, а второй - первого. Найди градусные меры трех образованных углов.
1705. Составь задачи по схемам и реши их:
1706. Составь задачи по схемам и реши их:
1707. Реши уравнения:
1) 2,7(x - 4,7) = 9,45; 2) (4,7 + x ) : 3,8 = 10,5;
3) 2,4 + (x : 3 - 5) = 0,8; 4) 2,45: (2 x - 1,4) = 3,5.
1708. Реши уравнения:
1) 21: (4 x + 1,6) = 2,5;
2) 3,7 - (x : 2 + 1,5) = 0,8.
1709. С 2,5 г медного провода, масса 1 м которого 1,2 кг, и куска латунной проволоки, длина которого в 8 раз больше медный, а масса 1 м составляет 0,2 кг, изготовили шар. Сколько сплава останется, если масса пули 6,4 кг?
1710. Купили 2,5 кг печенья по цене 13,6 грн. за килограмм и конфет 1,6 кг, цена за один килограмм в 1,5 раза больше за цену одного килограмма печенья. Какую сдачу должны получить со 100 грн.?
1711. Заполни клетки цифрами, чтобы образовались правильные примеры:
1712. Заполни ячейки такими цифрами, чтобы образовались правильные примеры:
1713. Число 5,2 является средним арифметическим чисел 2,1; 3,2 и х. Найди х.
1714. Найди среднее арифметическое четырех чисел, первое из которых равно 3,6, а каждое следующее на 0,2 больше предыдущего.
1715. Из одного города в другой в одном направлении одновременно отправились двое мотоциклистов со скоростью 72,4 км/ч и 67,8 км/час. Через какое время расстояние между мотоциклистами будет 11,5 км?
1716. Цена некоторого товара 120 грн. Сколько будет стоить этот товар, если цену:
1) увеличить на 15 %;
2) уменьшить на 10 %;
3) сначала увеличить на 5 %, а затем новую цену уменьшить на 20 %?
1717. Найди числа, которых не хватает в цепочке вычислений:
1718. Автомобиль проехал за первые два часа 170,4 км, а за следующую - 0,45 этого расстояния. Найди среднюю скорость автомобиля.
1719. Поезд проехал за первые три часа 210,5 км, а за следующие две - 0,6 этого расстояния. Найди среднюю скорость поезда.
1720. Сторона равностороннего треугольника равна 11,2 см. Найди сторону квадрата, периметр которого равен периметру треугольника. Определи площадь этого квадрата.
1721. Найди заштрихованная часть круга:
1722. Найди сумму трех чисел, первое из которых равна 37,6, второе составляет от первого, а третий является средним арифметическим первых двух.
1723. Лодка прошла за 6 ч против течения реки 231 км. Какой путь он пройдет по течению реки за 4 ч, если скорость течения составляет 1,4 км/ч?
1724. Из двух пунктов, расстояние между которыми 8,5 км, в противоположных направлениях, удаляясь друг от друга, одновременно вышли двое пешеходов. Скорость одного из них 4,2 км/ч, что составляет скорости второго. Какое расстояние будет между пешеходами через 2,5 ч?
1725. Автомобиль двигался 4 часа со скоростью 82,5 км/ч и 6 часов со скоростью 83,7 км/час. Найди среднюю скорость автомобиля на всем пути.
Высокий уровень
1726. Карлсон и Малыш вместе съели 3,6 кг варенья, причем Карлсон съел в 3 раза больше, чем Малыш. Сколько варенья съел Карлсон и сколько Малыш?
1727. Груз массой 4,8 т разместили на двух грузовых автомобилях, причем на первый погрузили на 0,6 т больше, чем на второй. Сколько тонн груза в каждом автомобиле?
1728. Рабочие, работая втроем, за 7 ч изготовили 1001 деталь. Причем первый изготовил всех деталей, а второй - всех деталей. Сколько деталей в час изготовил третий рабочий?
1729. От некоторого числа вычли 10 % и получили 48,6. Найди это число.
1730. К некоторому числу прибавили его 20 % и получили 74,4. Найди это число.
1731. Найди два числа, если их сумма 4,7, а разница 3,1.
1732. Сумма двух чисел равна 27,2. Найди эти числа, если одно из них в три раза больше за другое.
1733. Веревку длиной 10,6 м разрезали на три части. Найди их длины, если третья часть на 0,4 м больше как за первую, так и вторую.
1734. Собственная скорость катера в 13 раз больше скорости течения. Двигаясь по течению 2,5 ч, катер преодолел 63 км. Найди собственную скорость катера и скорость течения.
1735. С двух станций, расстояние между которыми равно 385 км, отправились одновременно навстречу друг другу два поезда и встретились через 2,5 часа. Найди скорости поездов, если известно, что скорость одного из них в 1,2 раза больше скорости другого.
1736. Сумма длины и ширины прямоугольника равна 9,6 см, причем ширина составляет 60 % длины. Найди площадь и периметр прямоугольника.
1737. Длина одной стороны треугольника составляет периметра, а длина другой стороны - периметра. Найди длины этих сторон, если третья сторона равна 10,4 см.
1738. Ученик прочитал сначала 0,25 всей книги, а потом еще 0,4 остальных, после чего оказалось, что ученик прочитал 30 страниц больше, чем ему осталось прочитать. Сколько страниц в книге?
1739. Найди значение букв g , h , m , n , k , l , если:
g: n = 1,8; n ∙ k = 1,71; h + m = 2,13;
k + l = 10,44; m ∙ 0,9 = 1,17; g - h = 0,79.
1740. IS В трех ящиках вместе 62,88 кг товара. В первом ящике товара в 1,4 раза больше, чем во втором, а в третьем - столько товара, сколько его в первом и втором вместе. Сколько килограммов товара в каждом ящике?
Упражнения для повторения
1741. 1) Выполни действия:
2) Выполни действия:
3) Сравни числа, обозначены фигурами:
1742. 1) Выполни действия:
2) Выполни действия:
2. Найди среднее арифметическое чисел 1,8 и 2,6.
А) 1,8; Б) 2; В) 2,6; Г) 2,2.
3. Запиши в виде десятичной дроби смешанное число
А) 3,13; Б) 13,3; В) 13,003; Г) 13,03.
4. После перегонки нефти получают 30 % керосина. Сколько керосина получают с 18 т нефти?
А) 6 т; Б) 5,4 т; В) 54 т; Г) 0,6 т.
5. Из молока получается 9 % сыра. Сколько было взято молока, если сыра получили 36 кг?
А) 400 кг; Б) 40 кг; В) 324 кг; Г) 300 кг.
6. В команде баскетболистов двоим игрокам по 19 лет, двоим - по 21 году, а одному игроку - 26 лет. Какой средний возраст игроков этой команды?
A ) 19 лет; Б) 21 год;
B ) 21,2 года; Г) 21,4 года.
7. Во время сушки грибы теряют 89 % своей массы. Сколько сухих грибов получим из 60 кг свежих?
А) 53,4 кг; Б) 6,6 кг; В) 6 кг; Г) 5,34 кг.
8. Когда ученик прочитал 30 % книги, то заметил, что ему осталось прочитать еще 105 страниц. Сколько страниц в книге?
А) 350 сек.; Б) 250 сек.; В) 150 сек.; Г) 160с.
9. Один из операторов компьютерного набора набрал 45 страниц текста за 6 часов, а другой - 26 страниц текста за 4 часа. За сколько часов, работая вместе, они наберут 35 страниц?
А) 2 ч; Б) 2,5 ч В) 3 ч; Г) 3,5 часа.
10. В ящике находятся белые и черные шары, причем белые составляют 30 % всех шариков. Сколько в ящике шаров всего, если черных шаров на 32 больше, чем белых?
А) 80; Б) 70; В) 56; Г) 180.
11. Среднее арифметическое двух чисел, одно из которых в 4 раза больше другого, равна 6. Найдите меньшее из этих двух чисел.
А) 1,5; Б) 2,4; В) 2,5; Г) 9,6.
12. Цена некоторого товара 150 грн. Сколько будет стоить этот товар, если изначально цену товара увеличить на 10 %, а затем новую цену уменьшить на 15 %?
А) 142,5 грн.; Б) 157,5 грн.;
в) 155 грн.; Г) 140,25 грн.
Задания для проверки знаний № 9 (§42 - §45)
1. Запиши в виде десятичной дроби:
1) 15 %; 2) 3 %.
2. Запиши в процентах десятичную дробь:
1) 0,45; 2) 1,37.
3. Выполни действия:
1) 3,7 + 13,42; 2) 15,8 - 13,12;
3) 4,2 ∙ 2,05; 4) 8,64: 2,4.
4. Из 1200 учащихся, обучающихся в школе, 65 % принимали участие в спартакиаде. Сколько учеников принимали участие в спартакиаде?
5. Сергей купил книгу за 8 грн., что составляет 40 % денег, которые у него были. Сколько гривен было у Сергея?
6. Найди среднее арифметическое чисел 48,5; 58,2; 46,8; 42,2.
7. Рабочий изготовил 320 деталей. За первый час - 35 % всех деталей, второй - 40 %, а за третью - остальные. Сколько деталей рабочий изготовил за третий час?
8. Автомобиль ехал 2 ч со скоростью 66,7 км/ч и 3 ч со скоростью 72,8 км/ч. Найди его среднюю скорость на всем пути.
9. Турист прошел за три дня 56 км. За первый день он прошел 30 % всего пути, что составляет 80 % расстояния, пройденного туристом за второй день. Сколько километров прошел турист за третий день?
10. Дополнительное задание. Длина прямоугольного параллелепипеда равна 8,5 см, что в 2,5 раза больше ширины и на 5,1 см больше высоту. Найди объем этого прямоугольного параллелепипеда.
11. Дополнительное задание. Среднее арифметическое двух чисел равен 12,4, а среднее арифметическое восьми других чисел - 10,7. Найди среднее арифметическое этих десяти чисел.
Состоит из трех частей, каждая из которых содержит 48 карточек с примерами на совместное выполнение сложения и вычитания, умножения и деления, а также всех четырех арифметических действий с десятичными дробями. Все карточки однотипны и включают в себя примеры различной трудности с учетом особенностей, характерных для отдельных действий. Каждой карточка состоит из восьми примеров, содержащих от четырех до шести действий, причем примеры с одинаковыми номерами аналогичны друг другу. Так первые два примера всех карточек пятой и шестой частей не содержат скобок, в третьих и четвертых примерах обязательно присутствует одна пара скобок, в пятых и шестых - две пары скобок, в седьмых - три пары, а восьмые примеры содержат скобки в скобках. Аналогичным образом подобны друг другу и примеры седьмой части. Для качественной проработки всех арифметических действий карточки были составлены таким образом, что: - в каждом примере на сложение и вычитание (часть 5) обязательно есть целое слагаемое, а один из промежуточных ответов является целым числом; - в каждом примере на умножение и деление (часть 6) обязательно присутствует множитель, являющийся целой (положительной или отрицательной) степенью десятки, причем в каждом варианте встречаются все четыре случая (уножение и деление на положительную и на отрицательную степень десятки). Кроме того, в КАЖДОМ НЕЧЕТНОМ ПРИМЕРЕ КАЖДОГО ВАРИАНТА содержится по крайней мере одно действие деления, частное которого имеет НУЛЕВОЙ СРЕДНИЙ РАЗРЯД. В других примерах таких частных нет; - в каждом примере седьмой части присутствуют все четыре арифметических действия и по возможности реализованы особенности примеров из пятой и шестой частей. Для этого в каждом примере одно из действий сложения или вычитания производится с целым числом или дает целый результат. Все примеры этой части, в которых при делении получается ЧАСТНОЕ СО СРЕДНИМ НУЛЕВЫМ РАЗРЯДОМ, отмечены в ответах знаком (!) после своего номера, причем ТАКИЕ ЧАСТНЫЕ ОБЯЗАТЕЛЬНЫ ВО ВТОРОМ И ЧЕТВЕРТОМ ПРИМЕРАХ КАЖДОГО ВАРИАНТА. Кроме того, в каждом варианте встречаются и уножение и деление как на положительную, так и на отрицательную степень десятки. ВСЕ ЗАДАНИЯ ВСЕХ ВАРИАНТОВ СНАБЖЕНЫ ОТВЕТАМИ ПО КАЖДОМУ ДЕЙСТВИЮ, причем КОНЕЧНЫЙ ОТВЕТ КАЖДОГО ПРИМЕРА определенным образом СВЯЗАН С ЕГО ПОРЯДКОВЫМ НОМЕРОМ И НОМЕРОМ ВАРИАНТА, то есть вторым числом после номера части. А именно: - конечный ответ любого примера пятой части представляет собой число, целая часть которого является номером варианта, а дробная часть - порядковым номером примера. Так ответом четвертого примера варианта 5.20 (то есть двадцатого варианта пятой части) является число 20,4; - конечный ответ любого примера шестой части представляет собой число, целая часть которого также является номером варианта, а дробная часть состоит из двух цифр - нуля и номера примера. Так седьмой пример варианта 6.12 имеет конечный ответ 12,07; - конечный ответ любого примера седьмой части является числом, целая часть которого равна сумме номера варианта и номера примера, а дробная часть образована так же, как и в шестой части. Таким образом, третий пример варианта 7.28 имеет конечный ответ 31,03. Большое количество различных вариантов по каждой теме позволяет учителю легко организовать в классе индивидуальную работу всех учащихся. Данные карточки могут многократно применяться на уроках при отработке вычислительных навыков у учащихся, на самостоятельных и контрольных работах, на дополнительных занятиях, в качестве домашнего задания и т.п. Кроме того, данный дидактический материал может использоваться при изучении правил раскрытия скобок и изменения порядка действий для облегчения вычислений. Конечно, данные карточки будут полезны и при обучении учащихся работе на микрокалькуляторах. Формирование и решение всех заданий выполнено на компьютере по оригинальным программам.Дробь - число, которое состоит из целого числа долей единицы и представляется в виде: a/b
Числитель дроби (a) - число, находящееся над чертой дроби и показывающее количество долей, на которые была поделена единица.
Знаменатель дроби (b) - число, находящееся под чертой дроби и показывающее на сколько долей поделили единицу.
2. Приведение дробей к общему знаменателю
3. Арифметические действия над обыкновенными дробями
3.1. Сложение обыкновенных дробей
3.2. Вычитание обыкновенных дробей
3.3. Умножение обыкновенных дробей
3.4. Деление обыкновенных дробей
4. Взаимно обратные числа
5. Десятичные дроби
6. Арифметические действия над десятичными дробями
6.1. Сложение десятичных дробей
6.2. Вычитание десятичных дробей
6.3. Умножение десятичных дробей
6.4. Деление десятичных дробей
#1. Основное свойство дроби
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится дробь, равная данной.
3/7=3*3/7*3=9/21, то есть 3/7=9/21
a/b=a*m/b*m - так выглядит основное свойство дроби.
Другими словами, мы получим дробь, равную данной, умножив или разделив числитель и знаменатель исходной дроби на одно и то же натуральное число.
Если ad=bc , то две дроби a/b =c /d считаются равными.
Например, дроби 3/5 и 9/15 будут равными, так как 3*15=5*9, то есть 45=45
Сокращение дроби - это процесс замены дроби, при котором новая дробь получается равной исходной, но с меньшим числителем и знаменателем.
Сокращать дроби принято, опираясь на основное свойство дроби.
Например, 45/60=15/ 20 =9/12=3/4 (числитель и знаменатель делится на число 3, на 5 и на 15 ).
Несократимая дробь - это дробь вида 3/4 , где числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами. Основная цель сокращения дроби - сделать дробь несократимой.
2. Приведение дробей к общему знаменателю
Чтобы привести две дроби к общему знаменателю, надо:
1) разложить знаменатель каждой дроби на простые множители;
2) умножить числитель и знаменатель первой дроби на недостающие
множители из разложения второго знаменателя;
3) умножить числитель и знаменатель второй дроби на недостающие множители из первого разложения.
Примеры: приведите дроби к общему знаменателю .
Разложим знаменатели на простые множители: 18=3∙3∙2, 15=3∙5
Умножили числитель и знаменатель дроби на недостающий множитель 5 из второго разложения.
числитель и знаменатель дроби на недостающие множители 3 и 2 из первого разложения.
= , 90 – общий знаменатель дробей .
3. Арифметические действия над обыкновенными дробями
3.1. Сложение обыкновенных дробей
а) При одинаковых знаменателях числитель первой дроби складывают с числителем второй дроби, оставляя знаменатель прежним. Как видно на примере:
a/b+c/b=(a+c)/b ;
б) При разных знаменателях дроби сначала приводят к общему знаменателю, а затем выполняют сложение числителей по правилу а) :
7/3+1/4=7*4/12+1*3/12=(28+3)/12=31/12
3.2. Вычитание обыкновенных дробей
а) При одинаковых знаменателях из числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби, оставляя знаменатель прежним:
a/b-c/b=(a-c)/b ;
б) Если же знаменатели дробей различны, то сначала дроби приводят к общему знаменателю, а затем повторяют действия как в пункте а) .
3.3. Умножение обыкновенных дробей
Умножение дробей подчиняется следующему правилу:
a/b*c/d=a*c/b*d,
то есть перемножают отдельно числители и знаменатели.
Например:
3/5*4/8=3*4/5*8=12/40.
3.4. Деление обыкновенных дробей
Деление дробей производят следующим способом:
a/b:c/d=a*d/b*c,
то есть дробь a/b умножается на дробь, обратную данной, то есть умножается на d/c.
Пример: 7/2:1/8=7/2*8/1=56/2=28
4. Взаимно обратные числа
Если a*b=1, то число b является обратным числом для числа a .
Пример: для числа 9 обратным является 1/9 , так как 9*1/9= 1 , для числа 5 - обратное число 1/5 , так как 5* 1/5 = 1 .
5. Десятичные дроби
Десятичной дробью называется правильная дробь, знаменатель которой равен 10, 1000, 10 000, …, 10^n 1 0 , 1 0 0 0 , 1 0 0 0 0 , . . . , 1 0 n .
Например: 6/10=0,6; 44/1000=0,044 .
Таким же способом пишутся неправильные со знаменателем 10^n или смешанные числа.
Например: 51/10=5,1; 763/100=7,63
В виде десятичной дроби представляется любая обыкновенная дробь со знаменателем, который является делителем некой степени числа 10 .
менателем, который является делителем некой степени числа 10 .
Пример: 5 - делитель числа 100 , поэтому дробь 1/5=1 *20/5*20=20/100=0,2 0 = 0 , 2 .
6. Арифметические действия над десятичными дробями
6.1. Сложение десятичных дробей
Для сложения двух десятичных дробей, нужно их расположить так, чтобы друг под другом оказались одинаковые разряды и запятая под запятой, а затем выполнить сложение дробей как обычных чисел.
6.2. Вычитание десятичных дробей
Выполняется аналогично сложению.
6.3. Умножение десятичных дробей
При умножении десятичных чисел достаточно перемножить заданные числа, не обращая внимания на запятые (как натуральные числа), а в полученном ответе запятой справа отделяется столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множителях суммарно.
Давайте выполним умножение 2,7 на 1,3 . Имеем 27 \cdot 13=351 2 7 ⋅ 1 3 = 3 5 1 . Отделяем справа две цифры запятой (у первого и второго числа - одна цифра после запятой; 1+1=2 1 + 1 = 2 ). В итоге получаем 2,7 \cdot 1,3=3,51 2 , 7 ⋅ 1 , 3 = 3 , 5 1 .
Если в полученном результате получается меньше цифр, чем надо отделить запятой, то впереди пишут недостающие нули, например:
Для умножения на 10 , 100 , 1000 , надо в десятичной дроби перенести запятую на 1 , 2 , 3 цифры вправо (в случае необходимости справа приписывается определенное число нулей).
Например: 1,47 \cdot 10 000 = 14 700 1 , 4 7 ⋅ 1 0 0 0 0 = 1 4 7 0 0 .
6.4. Деление десятичных дробей
Деление десятичной дроби на натуральное число производят также, как и деление натурального числа на натуральное. Запятая в частном ставится после того, как закончено деление целой части.
Если целая часть делимого меньше делителя, то в ответе получается нуль целых, например:
.png)
Рассмотрим деление десятичной дроби на десятичную. Пусть нужно разделить 2,576 на 1,12 . Первым делом, умножим делимое и делитель дроби на 100 , то есть перенесем запятую вправо в делимом и делителе на столько знаков, сколько их стоит в делителе после запятой (в данном примере на две). Затем нужно выполнить деление дроби 257,6 на натуральное число 112 , то есть задача сводится к уже рассмотренному случаю:
.png)
Бывает так, что не всегда получается конечная десятичная дробь при делении одного числа на другое. В результате получается бесконечная десятичная дробь. В таких случаях переходят к обыкновенным дробям.
Например, 2,8: 0,09= 28/10: 9/100= 28*100/10*9=2800/90=280/9 = 31 1/9 .
Десятичная дробь используется, когда нужно выполнять действия с нецелыми числами. Это может показаться нерациональным. Но такой вид чисел существенно облегчает математические операции, которые с ними необходимо выполнять. Это понимание приходит со временем, когда их запись становится привычной, а прочтение не вызывает трудностей, и освоены правила десятичных дробей. Тем более что все действия повторяют уже известные, которые усвоены с натуральными числами. Только нужно запомнить некоторые особенности.
Определение десятичной дроби
Десятичная дробь — это особое представление нецелого числа со знаменателем, который делится на 10, а ответ получается в виде единицы и, возможно, нулей. Другими словами, если в знаменателе 10, 100, 1000 и так далее, то удобнее переписать число с использованием запятой. Тогда до нее будет расположена целая часть, а потом - дробная. Причем запись второй половины числа будет зависеть от знаменателя. Количество цифр, которые находятся в дробной части, должно быть равно разряду знаменателя.
Проиллюстрировать вышесказанное можно этими числами:
9/10=0,9; 178/10000=0,0178; 3,05; 56 003,7006.
Причины, по которым понадобилось применение десятичных дробей
Математикам потребовались десятичные дроби по нескольким основаниям:
Упрощение записи. Такая дробь расположена вдоль одной линии без черточки между знаменателем и числителем, при этом наглядность не страдает.
Простота в сравнении. Достаточно просто соотнести цифры, находящиеся в одинаковых позициях, в то время как с обыкновенными дробями пришлось бы приводить их к общему знаменателю.
Упрощение вычислений.
Калькуляторы не рассчитаны на введение обыкновенных дробей, они для всех операций используют десятичную запись чисел.
Как правильно прочитать такие числа?
Ответ прост: так же, как обыкновенное смешанное число со знаменателем, кратным 10. Исключение составляют только дроби без целого значения, тогда при чтении нужно произносить «ноль целых».
Например, 45/1000 нужно произнести как сорок пять тысячных , в то же время 0,045 будет звучать как ноль целых сорок пять тысячных .
Смешанное число с целой частью равной 7 и дробью 17/100, что запишется как 7,17, в обоих случаях будет прочитано как семь целых семнадцать сотых .
Роль разрядов в записи дробей
Верно отметить разряд - это то, что требует математика. Десятичные дроби и их значение могут существенно измениться, если записать цифру не в том месте. Впрочем, это было справедливо и раньше.
Для прочтения разрядов целой части десятичной дроби нужно просто воспользоваться правилами, известными для натуральных чисел. А в правой части они зеркально отражаются и по-другому читаются. Если в целой части звучало "десятки", то после запятой это будут уже "десятые".
Наглядно это можно увидеть в этой таблице.
| класс | тысячи | единицы | , | дробная часть | |||||||
| разряд | сот. | дес. | ед. | сот. | дес. | ед. | десятая | сотая | тысячная | десятитысячная | |
Как правильно записать смешанное число десятичной дробью?
Если в знаменателе стоит число, равное 10 или 100, и прочие, то вопрос о том, как дробь перевести в десятичную, несложен. Для этого достаточно по-другому переписать все ее составные части. В этом помогут такие пункты:
немного в стороне написать числитель дроби, в этот момент десятичная запятая располагается справа, после последней цифры;
переместить запятую влево, здесь самое главное - правильно сосчитать цифры — передвинуть ее нужно на столько позиций, сколько нолей в знаменателе;
если их не хватает, то на пустых позициях должны оказаться нули;
нули, которые были в конце числителя, теперь не нужны, и их можно зачеркнуть;
перед запятой приписать целую часть, если ее не было, то здесь тоже окажется нуль.
Внимание. Нельзя зачеркивать нули, которые оказались окружены другими цифрами.
О том, как быть в ситуации, когда в знаменателе число не только из единицы и нулей, как дробь переводить в десятичную, можно прочитать чуть ниже. Это важная информация, с которой обязательно стоит ознакомиться.
Как дробь перевести в десятичную, если знаменатель - произвольное число?
Здесь возможны два варианта:
Когда знаменатель можно представить в виде числа, которое равно десяти в любой степени.
Если такую операцию проделать нельзя.
Как это проверить? Нужно разложить знаменатель на множители. Если в произведении присутствуют только 2 и 5, то все хорошо, и дробь легко преобразуется в конечную десятичную. В противном случае, если появляются 3, 7 и другие простые числа, то результат будет бесконечным. Такую десятичную дробь для удобства использования в математических операциях принято округлять. Об этом будет речь немного ниже.
Изучает, как получаются такие десятичные дроби, 5 класс. Примеры здесь будут очень кстати.
Пусть в знаменателях находятся числа: 40, 24 и 75. Разложение на простые множители для них будет такое:
- 40=2·2·2·5;
- 24=2·2·2·3;
- 75=5·5·3.
В этих примерах только первая дробь может быть представлена в виде конечной.
Алгоритм перевода обыкновенной дроби в конечную десятичную
Проверить разложение знаменателя на простые множители и убедиться в том, что оно будет состоять из 2 и 5.
Добавить к этим числам столько 2 и 5, чтобы их стало равное количество. Они дадут значение дополнительного множителя.
Произвести умножение знаменателя и числителя на это число. В результате получится обыкновенная дробь, под чертой у которой стоит 10 в некоторой степени.
Если в задаче эти действия выполняются со смешанным числом, то его сначала нужно представить в виде неправильной дроби. А уже потом действовать по описанному сценарию.
Представление обыкновенной дроби в виде округленной десятичной
Этот способ того, как дробь переводить в десятичную, кому-то покажется даже проще. Потому что в нем нет большого количества действий. Нужно только разделить значение числителя на знаменатель.
К любому числу с десятичной частью справа от запятой можно приписать бесконечное количество нулей. Этим свойством и нужно воспользоваться.
Сначала записать целую часть и поставить после нее запятую. Если дробь правильная, то написать ноль.
Потом полагается выполнить деление числителя на знаменатель. Так, чтобы количество цифр у них было одинаковым. То есть приписать справа у числителя нужное количество нолей.
Выполнять деление в столбик до тех пор, пока не будет набрано нужное количество цифр. Например, если округлить нужно будет до сотых, то в ответе их должно быть 3. В общем, цифр должно быть на одну больше, чем нужно получить в итоге.
Записать промежуточный ответ после запятой и округлить по правилам. Если последняя цифра - от 0 до 4, то ее нужно просто отбросить. А когда она равна 5-9, то стоящую перед ней нужно увеличить на единицу, отбросив последнюю.
Возврат от десятичной дроби к обыкновенной
В математике встречаются задачи, когда десятичные дроби удобнее представить в виде обыкновенных, в которых есть числитель со знаменателем. Можно вздохнуть с облегчением: эта операция возможна всегда.
Для этой процедуры нужно сделать следующее:
записать целую часть, если она равна нулю, то ничего писать не надо;
провести дробную черту;
над ней записать цифры из правой части, если первыми идут нули, то их нужно зачеркнуть;
под чертой написать единицу с таким количеством нолей, сколько цифр стоит после запятой в первоначальной дроби.
Это все, что нужно сделать, чтобы перевести десятичную дробь в обыкновенную.
Что можно делать с десятичными дробями?
В математике это будут определенные действия с десятичными дробями, которые ранее выполнялись для других чисел.
Ими являются:
сравнение;
сложение и вычитание;
умножение и деление.
Первое действие, сравнение, похоже на то, как это делалось для натуральных чисел. Чтобы определить, какое больше, нужно сравнивать разряды целой части. Если они окажутся равными, то переходят к дробной и так же по разрядам сравнивают их. То число, где окажется большая цифра в старшем разряде, и будет ответом.
Сложение и вычитание десятичных дробей
Это, пожалуй, самые простые действия. Потому что выполняются по правилам для натуральных чисел.
Так, чтобы выполнить сложение десятичных дробей, их нужно записать друг под другом, разместив запятые в столбик. При такой записи слева от запятых оказываются целые части, а справа — дробные. И теперь нужно сложить цифры поразрядно, как это делается с натуральными числами, снеся вниз запятую. Начинать сложение нужно с самого маленького разряда дробной части числа. Если в правой половине не хватает цифр, то дописывают нули.
При вычитании действуют так же. И здесь действует правило, которое описывает возможность занять единицу у старшего разряда. Если в уменьшаемой дроби после запятой меньше цифр, чем у вычитаемого, то в ней просто приписывают нули.
Немного сложнее обстоит дело с заданиями, где нужно выполнить умножение и деление десятичных дробей.
Как умножить десятичную дробь в разных примерах?
Правило, по которому производится умножение десятичных дробей на натуральное число, такое:
записать их в столбик, не обращая внимания на запятую;
перемножить, как если бы они были натуральными;
отделить запятой столько цифр, сколько их было в дробной части исходного числа.
Частным случаем является пример, в котором натуральное число равно 10 в любой степени. Тогда для получения ответа нужно просто передвинуть запятую вправо на столько позиций, сколько нулей в другом множителе. Иными словами, при умножении на 10 запятая сдвигается на одну цифру, на 100 - их будет уже две, и так далее. Если цифр в дробной части не хватает, то нужно записать на пустых позициях нули.
Правило, которым пользуются, когда в задании нужно произвести умножение десятичных дробей на другое такое же число:
записать их друг под другом, не обращая внимания на запятые;
умножить, как если бы они были натуральными;
отделить запятой столько цифр, сколько их было в дробных частях обеих исходных дробях вместе.
Частным случаем выделяются примеры, в которых один из множителей равен 0,1 или 0,01 и далее. В них нужно выполнить перемещение запятой влево на количество цифр в представленных множителях. То есть если умножается на 0,1, то запятая сдвигается на одну позицию.
Как разделить десятичную дробь в разных заданиях?
Деление десятичных дробей на натуральное число выполняется по такому правилу:
записать их для деления в столбик, как если бы они были натуральными;
делить по привычному правилу до тех пор, пока не закончится целая часть;
поставить в ответ запятую;
продолжить деление дробной составляющей до получения в остатке нуля;
если нужно, то можно приписать нужное количество нулей.
Если целая часть равна нулю, то и в ответе ее тоже не будет.
Отдельно стоит деление на числа, равные десятке, сотне и так далее. В таких задачах нужно передвинуть запятую влево на количество нулей в делителе. Бывает, что цифр в целой части не хватает, тогда вместо них используют нули. Можно заметить, что эта операция подобна умножению на 0,1 и подобным ей числам.
Чтобы выполнить деление десятичных дробей, нужно воспользоваться этим правилом:
превратить делитель в натуральное число, а для этого перенести в нем запятую вправо до конца;
выполнить перемещение запятой и в делимом на такое же число цифр;
действовать по предыдущему сценарию.
Выделяется деление на 0,1; 0,01 и прочие подобные числа. В таких примерах запятая сдвигается вправо на число цифр в дробной части. Если они закончились, то нужно приписать недостающее количество нулей. Стоит отметить, что это действие повторяет деление на 10 и подобные ему числа.
Заключение: все дело в практике
Ничто в учебе не дается легко и без усилий. Для надежного освоения нового материала требуются время и тренировка. Математика не исключение.
Чтобы тема про десятичные дроби не вызывала затруднений, нужно решать с ними примеров как можно больше. Ведь было время, когда и сложение натуральных чисел ставило в тупик. А теперь все нормально.
Поэтому, перефразируя известную фразу: решать, решать и еще раз решать. Тогда и задания с такими числами будут выполняться легко и непринужденно, как очередная головоломка.
Кстати, и головоломки поначалу решаются сложно, а потом нужно делать привычные движения. Так же и в математических примерах: пройдя по одному пути несколько раз, потом уже не будешь задумываться над тем, куда повернуть.