Cлайд 1
Cлайд 2
Многогранник Многогранник – это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.
Cлайд 3
Многогранник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от любой плоскости, содержащей его грань. Многогранник называется невыпуклым, если существует такая грань, что многогранник оказывается по обе стороны от плоскости, содержащей эту грань.
Cлайд 4
Что такое в житейском смысле объем тела, в частности многогранника? Это то, сколько жидкости может быть налито внутрь этого многогранника. Отрежем вершинки и нальем внутрь каждого многогранника воду. Выпуклый многогранник уже наполнился, а невыпуклый - еще нет. Но возможно вода наливалась с разной скоростью: чтобы правильно сравнить объемы, выльем жидкость из каждого многогранника в одинаковые стаканы. Уровень воды в правом стакане выше, чем в левом, значит объем невыпуклого многогранника действительно больше объема выпуклого.
Cлайд 5
Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении задач на нахождение кубатур (вычисление объемов) тел связаны с применением метода исчерпывания, предположенным Евдоксом Книдским (около 408-355 до нашей эры). Известна формула, которая дает возможность найти объем многогранника, если известны лишь длины его ребер. Объем произвольного многогранника можно вычислить, зная лишь длины его ребер. Однако многогранник должен быть специального вида.
Cлайд 6
В общем случае можно показать, что обобщённые объёмы многогранников - корни полиномиальных уравнений с коэффициентами, которые не зависят от расположения вершин многогранника в пространстве, а представляют собой многочлены от квадратов длин его рёбер. Числовые коэффициенты этих многочленов определяются комбинаторным строением многогранника.
Cлайд 7
Объем пирамиды Теорема. Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.
Cлайд 8
Презентация для урока геометрии в 11 классе.
Тема: Решение задач по теме «Площади и объемы многогранников».
Цель: повторение, подготовка к ЕГЭ 2016.
Волкова Нина Витальевна
учитель математики
МБОУ СОШ№3 муниципального образования Тимашевский район
Классная работа.
Подготовка к ЕГЭ.
(Задачи В-8).
1. Объем куба равен 8. Найдите площадь его поверхности.
Решение:
1. S п =6а
3. Найдите ребро, затем площадь поверхности.
2. Радиус основания цилиндра равен 2, высота равна 3. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на.
S б=2 rh.
3. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 6. Найдите объем параллелепипеда.
1 3
4. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13.
Найдите площадь поверхности этой пирамиды.
5. Объем конуса равен 16. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем
меньшего конуса.
6. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 80 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 4 раза больше, чем у первого?
х
7. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 87.
8. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).
9. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.
х
10. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1 и 2. Площадь поверхности параллелепипеда равна 16. Найдите его диагональ.
х
D=…
11. Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 8,5 см. Найдите его объем.
12. В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 8.
Боковые ребра равны.
Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.
Д/З на карточках.
Сделать обязательно!
Возможно именно такие задачи попадутся вам на ЕГЭ!
Использованы материалы сайтов:
http://live.mephist.ru/show/mathege2010/view/B1/solved/
http://mathege.ru:8080/or/ege/Main?view=Pos
Проект по геометрии в 11 классе учителя математики Наконечной О.А. на тему «Объемы и поверхности многогранников»
План урока
- Тема урока: «Объемы и поверхности многогранников»
- Комплексная цель урока.
- Познавательная – обобщить и систематизировать знания, умения и навыки учащихся, полученные в процессе изучения темы «Площади поверхности многогранников. Объемы многогранников». Научить применять теоретические знания при решении задач практической направленности.
- Развивающая – развивать логическое мышление учащихся, практические умения и навыки при решении задач; развивать пространственное воображение, речь учащихся; развивать навыки решения задач практического характера.
- Воспитательная – воспитывать:
Интерес к предмету,
Навыки контроля и самоконтроля,
Доброжелательное отношение к своим одноклассникам,
Чувство ответственности,
Способность к самовыражению,
Культуру речи,
Сознательное отношение к учебе,
Деловые качества учащихся.
- Задачи урока:
- Повторить формулы площадей поверхности многогранников и объемов многогранников.
- Составить опорный конспект-таблицу расчета формул площадей и объемов многогранников.
- Отработать примеры решения задач, с использованием этих формул при тестировании.
- Закрепить умение использовать формулы при решении задач практического содержания.
- Тип урока – урок обобщения и систематизации знаний.
- Формы организации учебного занятия:
Просмотр презентации и повторение пройденного материала,
Беседа и составление опорной таблицы по вопросам учителя (фронтальная работа);
Тестирование;
Групповая работа с разноуровневыми задачами практического характера по теме;
Подведение итогов групповой работы с использованием элементов взаимоконтроля;
Подведение итогов урока.
- Средства обучения:
–компьютерный класс,
Мультимедийные презентации «Объемы и поверхности многогранников», «Что нам стоит дом построить?»,
Тестовая система LOCAL,
Тест по теме «Объемы и площади поверхности многогранников»,
Мультимедийный диапроектор.
Х О Д У Р О К А.
Тема нашего урока «Объемы и площади поверхности многогранников». (1 слайд включить!) Цель урока – обобщить и систематизировать знания по данной теме и научиться применять их при решении задач практического содержания. Проверим готовность к уроку. У вас на столах лежат заготовки опорной таблицы, карточка с домашним заданием, ручка, черновик.
Сначала нам необходимо вспомнить все виды многогранников и повторить формулы для вычисления площади поверхности и объема каждого из них.
(Показ слайдов №2-№10 с комментированием и опросом учащихся.)
Знания по темам: «Площади поверхности многогранников» и «Объемы многогранников» одни из важнейших в изучении геометрии школьного курса, но, самое интересное, что они могут пригодиться вам в различных жизненных ситуациях.
Помните фразу: «Что нам стоит дом построить?» Да- да: « Нарисуем- будем жить!» По глазам вижу, что кто-то из вас мечтает построить 3-х этажный особняк с тренажерным залом, кто-то мечтает о симпатичном загородном домике с зимним садом, а кто-то…спросит: «причем же тут геометрия?» Вот причем: сегодня на уроке мы поучимся делать расчеты необходимых затрат на строительство дома, дачи или другого сооружения, используя знания данных формул.
Слайд №11
Перед вами поселок «Мечты 11 «А». Дом в центре поселка -проектный вариант. Наша задача: Просчитать стоимость строительства данного дома из различных материалов:
- из железа и бетона;
- из шифера и кирпича;
- из черепицы, бетона и кирпича.
1 бригада (это 1 ряд) – обсчитывает дом из железа и бетона. Работают за компьютерами №№ (презентация 1)
2 бригада (2 ряд)- вы работаете над домом из шифера и кирпича за компьютерами №№ (презентация2)
3 бригада (3ряд)– вам достался дом из черепицы, бетона и кирпича. Компьютеры №№.(презентация3)
Для экономии времени разделим дом на составные части: 1 этаж – какая фигура? – прямоугольный параллелепипед, его считают за компьютерами №№______; 2 этаж - ? - прямоугольный параллелепипед, компьютеры №№______; крыша - ? - четырехугольная пирамида, компьютеры №№______. Ответственной работой займутся эксперты – экономисты – их задача по результатам работы групп, оценить стоимость материала для строительства коробки дома. Предварительно им необходимо: пройти тестирование, получить лист экспертов, помочь в расчетах своей бригаде и объявить результаты общей работы.
В роли экспертов выступают:____________________ , ваши рабочие места - компьютеры №№______ .Занимаем свои рабочие места. С собой возьмите ручку, листок для вычислений и опорную таблицу.
(Учитель проходит, раздает задания и распределяет учащихся за компьютеры, каждая парта работает над расчетом необходимого материала для строительства одной из частей дома).
Групповая работа
1 группа
Сколько примерно листов железа размером 2х0,8 м (шифера размером 1,5х1) (черепицы, размером 0,4х0,4) необходимо для покрытия крыши? Чему равны затраты на его приобретение?
2 группа
Сколько кубометров бетона (кирпича размером 12х10х30см) необходимо залить, чтобы получить стены 1 этажа. Толщина стен 50см. Размер оконного проема 1,5х1,2м, дверного – 2х1,7м.
3 группа
Сколько штук кирпича (кубометров бетона)необходимо, чтобы сложить стены 2 этажа. Толщина стен 50см. Размер оконного проема 1,5х1,2м, маленького – 1х0,8м. Размеры кирпича 12х30х10см.
Подведение итогов.
Заканчиваем работу. Кто от экспертов готов познакомить нас с результатами расчетов? Так ЧТО ЖЕ СТОИТ дом построить? Дом из бетона и железа -? Дом из кирпича и шифера - ? Дом из бетона, кирпича, черепицы - ? Теперь вы можете оценить сколько средств необходимо, чтобы построить такой небольшой домик. Это конечно без учета стоимости работ, доставки материалов и других затрат, но, тем не менее, с простыми расчетами вы можете справиться теперь самостоятельно. Дома я вам предлагаю выполнить такие задания:
- посчитать стоимость дома из кирпича и черепицы по размерам, указанным в карточках.
2) творческого характера. Попытайтесь воплотить свою мечту – придумайте домик по душе, выбрав соответствующие строительные материалы, и рассчитайте его стоимость. Расценки на строительные материалы вы можете узнать в соответствующих строительных фирмах и торгующих организациях. Есть вопросы? Дерзайте!
Подведем итог урока:
Сегодня мы повторили формулы вычисления поверхностей и объемов многогранников, при этом вы показали хорошие знания, ваш учитель математики может гордиться вами;
- научились применять эти формулы при решении задач практического содержания.
Спасибо вам за работу!
Задания для проекта презентации №1, №2, №3
призма | Параллеле-пипед | Куб | пирамида | Усеченная пирамида | Правиль-ная пирамида | Тетраэдр |
|
S=Sбок + 2Sосн | S=Sбок + 2Sосн | S=Sбок + 2Sосн 2H(a+b) + 2ab | S=Sбок + 2Sосн 6a 2 | S=Sбок + Sосн | S=Sбок + Sосн1 + S осн2 | S=Sбок + Sосн Anl/2 + Sосн | S=Sбок + 2Sосн |
V= Sосн H | V= Sосн H | V= Sосн H = a b H | V= Sосн H = a 3 |
Формулы площадей поверхности и объемов многогранников
призма | Параллеле-пипед | Прямо-угольный параллелепипед | Куб | пирамида | Усеченная пирамида | Правиль-ная пирамида | Тетраэдр |
Формулы площадей поверхности и объемов многогранников
призма | Параллеле-пипед | Прямо-угольный параллелепипед | Куб | пирамида | Усеченная пирамида | Правиль-ная пирамида | Тетраэдр |
Формулы площадей поверхности и объемов многогранников
призма | Параллеле-пипед | Прямо-угольный параллелепипед | Куб | пирамида | Усеченная пирамида | Правиль-ная пирамида | Тетраэдр |