Закон сохранения энергии является общим законом природы, следовательно, он применим и к явлениям, происходящим в электричестве. При рассмотрении процессов превращения энергии в электрическом поле рассматривают два случая:
- Проводники присоединены к источникам ЭДС, при этом постоянными являются потенциалы проводников.
- Проводники являются изолированными, что означает: заряды проводников неизменны.
Мы будем рассматривать первый случай.
Допустим, что у нас имеется система, состоящая из проводников и диэлектриков. Эти тела совершают малые и очень медленные перемещения. Температура тел поддерживается постоянной ($T=const$), для этого тепло или отводят (если оно выделяется) или подводят (при поглощении тепла). Диэлектрики у нас являются изотропными и мало сжимаемыми (плотность постоянна ($\rho =const$)). При заданных условиях внутренняя энергия тел, которая не связана с электрическим полем, остается неизменной. Помимо этого, диэлектрическая проницаемость ($\varepsilon (\rho ,\ T)$), зависящая от плотности вещества и его температуры, может считаться постоянной.
На любое тело, помещенное в электрическое поле, действуют силы. Иногда такие силы называют пондемоторными силами поля. При бесконечно малом перемещении тел пондемоторные силы выполняют бесконечно малую работу, которую обозначим $\delta A$.
Закон сохранения энергии для цепей постоянного тока содержащих ЭДС
Электрическое поле имеет определённую энергию. При перемещении тел электрическое поле между ними изменяется, значит, изменяется его энергия. Увеличение энергии поля при малом смещении тел обозначим как $dW$.
Если в поле движутся проводники, то изменяется их взаимная емкость. Для сохранения без изменения потенциалов проводников на них следует добавлять (или убирать с них) заряды. В таком случае каждый источник тока совершает работу, равную:
\[\varepsilon dq=\varepsilon Idt\ \left(1\right),\]
где $\varepsilon$ - ЭДС источника; $I$ - сила тока; $dt$ - время перемещения. В исследуемой системе тел возникают электрические токи, соответственно во всех частях системы будет выделяться тепло ($\delta Q$), которое по закону Джоуля - Ленца равно:
\[\delta Q=RI^2dt\ \left(2\right).\]
Следуя закону сохранения энергии, работа всех источников тока равна сумме механической работы сил поля, изменению энергии поля и количества теплоты Джоуля - Ленца:
\[\sum{\varepsilon Idt=\delta A+dW+\sum{RI^2dt\ \left(3\right).}}\]
При отсутствии движения проводников и диэлектриков ($\delta A=0;;\ dW$=0) вся работа источников ЭДС переходит в тепло:
\[\sum{\varepsilon Idt=\sum{RI^2dt\ \left(4\right).}}\]
Используя закон сохранения энергии, иногда можно рассчитать механические силы, действующие в электрическом поле проще, чем исследуя, как воздействует поле на отдельные части тела. При этом поступают следующим образом. Допустим, нам следует вычислить величину силы $\overline{F}$, которая действует на тело, находящееся в электрическом поле. Допускают, что рассматриваемое тело совершает малое перемещение $d\overline{r}$. В таком случае, работа силы $\overline{F}$ равна:
\[\delta A=\overline{F}d\overline{r}=F_rdr\ \left(5\right).\]
Далее находят все изменения энергии, которые вызваны перемещением тела. Затем из закона сохранения энергии получают проекцию силы${\ \ F}_r$ на направление перемещения ($d\overline{r}$). Если выбрать перемещения параллельные осям системы координат, то можно найти компоненты силы вдоль этих осей, следовательно, вычислить неизвестную силу по величине и направлению.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Плоский конденсатор частично погружен в жидкий диэлектрик (рис.1). Когда конденсатор заряжается, на жидкость в областях неоднородного поля действуют силы, при этом жидкость втягивается в конденсатор. Найдите силу ($f$) воздействия электрического поля на каждую единицу горизонтальной поверхности жидкости. Считайте, что конденсатор соединен с источником напряжения, напряжение $U$ и напряженность поля внутри конденсатора постоянны.
Решение. При увеличении столба жидкости между пластинами конденсатора на величину $dh$ работа силы $f$ равна:
где $S$ - горизонтальное сечение конденсатора. Изменение энергии электрического поля плоского конденсатора определим как:
Обозначим $b$ - ширину пластины конденсатора, тогда заряд, который дополнительно перейдет от источника, равен:
При этом работа источника тока:
\[\varepsilon dq=Udq=U\left(\varepsilon {\varepsilon }_0E-{\varepsilon }_0E\right)bdh\left(1.4\right),\]
\[\varepsilon =U\ \left(1.5\right).\]
Учитывая, что $E=\frac{U}{d}$Тогда формула (1.4) перепишется в виде:
\[\varepsilon dq=\left(\varepsilon {\varepsilon }_0E^2-{\varepsilon }_0E^2\right)Sdh\left(1.6\right).\]
Применяя закон сохранения энергии в цепи постоянного тока, если она имеет источник ЭДС:
\[\sum{\varepsilon Idt=\delta A+dW+\sum{RI^2dt\ \left(1.7\right)}}\]
для рассматриваемого случая запишем:
\[\left(\varepsilon {\varepsilon }_0E^2-{\varepsilon }_0E^2\right)Sdh=Sfdh+\left(\frac{ее_0E^2}{2}-\frac{е_0E^2}{2}\right)Sdh\ \left(1.8\right).\]
Из полученной формулы (1.8) найдем $f$:
\[\left(\varepsilon {\varepsilon }_0E^2-{\varepsilon }_0E^2\right)=f+\left(\frac{\varepsilon {\varepsilon }_0E^2}{2}-\frac{{\varepsilon }_0E^2}{2}\right)\to f=\frac{\varepsilon {\varepsilon }_0E^2}{2}-\frac{{\varepsilon }_0E^2}{2}.\]
Ответ. $f=\frac{\varepsilon {\varepsilon }_0E^2}{2}-\frac{{\varepsilon }_0E^2}{2}$
Пример 2
Задание. В первом примере мы считали сопротивления проводов бесконечно малыми. Как изменилась бы ситуация, если сопротивление считать конечной величиной, равной R?
Решение. Если предполагать, что сопротивление проводов не мало, то при объединении в законе сохранения (1.7) слагаемых: $\varepsilon Idt\ $ и $RI^2dt$, мы получим, что:
\[\varepsilon Idt=RI^2dt=\left(\varepsilon -IR\right)Idt=UIdt.\]
2.12.1 Сторонний источник электромагнитного поля и электрического тока в электрической цепи.
☻ Сторонний источник является такой составной частью электрической цепи, без которой электрический ток в цепи не возможен. Это делит электрическую цепь на две части, одна из которых способна проводить ток, но не возбуждает его, а другая “сторонняя”– проводит ток и возбуждает его. Под действием ЭДС стороннего источника в цепи возбуждается не только электрический ток, но и электромагнитное поле, причем то и другое сопровождается при этом передачей энергии от источника в цепь.
2.12.2 Источник ЭДС и источник тока.
☻ Сторонний источник
в зависимости от своего внутреннего
сопротивления
может быть источником ЭДС
или источником тока
Источник ЭДС:
,
не зависит от
.
Источник тока:
,
не зависит от
.
Таким образом, любой
источник, который выдерживает стабильное
напряжение в цепи при изменении в ней
тока, может рассматриваться как источник
ЭДС. Это относится и к источникам
стабильного напряжения в электрических
сетях. Очевидно, условия
или
для реальных сторонних источников
следует рассматривать как идеализированные
приближения, удобные для анализа и
расчета электрических цепей. Так при
взаимодействие стороннего источника
с цепью определяется простыми равенствами
,
,
.
Электромагнитное поле в электрической цепи.
☻ Сторонние источники являются либо накопителями, либо генераторами энергии. Передача энергии источниками в цепь происходит только через электромагнитное поле, которое возбуждается источником во всех элементах цепи, независимо от их технических особенностей и прикладного значения, а также от сочетания физических свойств в каждом из них. Именно электромагнитное поле является тем первичным фактором, который задает распределение энергии источника по элементам цепи и определяет физические процессы в них, в том числе и электрический ток.
2.12.4 Сопротивление в цепях постоянного и переменного тока.
Рис 2.12.4
Обобщенные схемы одноконтурных цепей постоянного и переменного тока.
☻ В простых одноконтурных цепях постоянного и переменного тока зависимость тока от ЭДС источника можно выразить подобными формулами
,
.
Это дает возможность и сами цепи представить подобными схемами, как это показано на рис.2.12.4.
Важно подчеркнуть,
что в цепи переменного тока величина
означает не активное сопротивление
цепи
,
а импеданс цепи, который превосходит
активное сопротивление по той причине,
что индуктивные и емкостные элементы
цепи оказывают переменному току
дополнительное реактивное сопротивление,
так что
,
,
.
Реактивные
сопротивления
и
определяются частотой переменного
тока
,
индуктивностью
индуктивных элементов (катушек) и
емкостью
емкостных элементов (кондесаторов).
2.12.5 Фазовый сдвиг
☻ Элементы цепи с реактивными сопротивлениями вызывают в цепи переменного тока особое электромагнитное явление- сдвиг по фазе между ЭДС и током
,
,
где
-
фазовый сдвиг, возможные значения
которого определяются уравнением
.
Отсутствие фазового
сдвига возможно в двух случаях, когда
или когда емкостные и индуктивные
элементы в цепи отсутствуют. Фазовый
сдвиг затрудняет вывод мощности
источника в электрическую цепь.
2.12.6 Энергия электромагнитного поля в элементах цепи.
☻ Энергия электромагнитного поля в каждом элементе цепи состоит из энергии электрического поля и энергии магнитного поля
.
Однако элемент цепи
может быть так выполнен, что для него
одно из слагаемых этой суммы будет
доминирующим, а другое – не существенным.
Так при характерных частотах переменного
тока в конденсаторе
,
а в катушке, наоборот,
.
Поэтому можно считать, что конденсатор
является накопителем энергии
электрического поля, а катушка-накопителем
энергии магнитного поля и для них
соответственно
,
,
где учтено, что для
конденсатора
,
а для катушки
.
Две катушки в одной цепи могут быть
индуктивно независимыми или же индуктивно
связанными через свое общее магнитное
поле. В последнем случае энергия
магнитных полей катушек дополняется
энергией их магнитного взаимодействия
,
,
.
Коэффициент взаимной
индукции
зависит от степени индуктивной связи
между катушками, в частности от их
взаимного расположения. Индуктивная
связь может быть не существенной или
отсутствовать полностью, тогда
.
Характерным элементом
электрической цепи является резистор
сопротивлением
.
Для него энергия электромагнитного
поля
,
т.к.
.
Поскольку в резисторе энергия
электрического поля
испытывает необратимое превращение в
энергию теплового движения, то для
резистора
,
где количество
теплоты
соответствует закону Джоуля-Ленца.
Особым элементом электрической цепи является ее электромеханический элемент, способный при прохождении через него электрического тока выполнять механическую работу. Электрическим током в подобном элементе возбуждается сила или момент силы, под действием которых происходят линейные или угловые перемещения самого элемента или его частей относительно друг друга. Эти механические явления, связанные с электрическим током, сопровождаются превращением энергии электромагнитного поля в элементе в его механическую энергию, так что
где работа
выражается в соответствии с ее
механическим определением.
2.12.7 Закон сохранения и превращения энергии в электрической цепи.
☻ Сторонний источник
является не только источником ЭДС, но
и источником энергии в электрической
цепи. За время
от источника в цепь поступает энергия,
равная работе ЭДС источника
где
- мощность источника, или что тоже,
интенсивность поступления энергии от
источника в цепь. Энергия источника
превращается в цепи в другие виды
энергии. Так в одноконтурной цепи
с механическим элементом работа
источника сопровождается изменением
энергии электромагнитного поля во всех
элементах цепи в полном соответствии
с энергетическим балансом
Данное уравнение для рассматриваемой цепи выражает законы сохранения энергии. Из него следует
.
После соответствующих подстановок уравнение баланса мощности можно представить в виде
.
Это уравнение в обобщенной форме выражает закон сохранения энергии в электрической цепи на основе понятия мощности.
Закон
Кирхгофа
☻ После дифференцирования и сокращения тока из представленного закона сохранения энергии как следствии вытекает закон Кирхгофа
где в замкнутом контуре перечисленные напряжения на элементах цепи означают
,
,
,
,
.
2.12.9 Применение закона сохранения энергии для расчета электрической цепи.
☻ Приведенные уравнения закона сохранения энергии и закона Кирхгофа относятся только к квазистационарным токам, при которых цепь не является источником излучения электромагнитного поля. Уравнение закона сохранения энергии позволяет в простой и наглядной форме анализировать работу многочисленных одноконтурных электрических цепей как переменного, так и постоянного тока.
Полагая константы
равными нулю по отдельности или в их
сочетании, можно рассчитывать разные
варианты электрических цепей, в том
числе при
и
.
Ниже рассматриваются некоторые варианты
расчета таких цепей.
2.12.10 Цепь
при
☻ Одноконтурная
цепь, в которой через резистор
заряжается конденсатор от источника
с постоянной ЭДС (
).
Принимается:
,
,
,
а также
при
.
При таких условиях закон сохранения
энергии для данной цепи может быть
записан в следующих равнозначных
вариантах
,
,
.
Из решения последнего уравнения следует:
,
.
2.12.11 Цепь
при
☻ Одноконтурная
цепь, в которой источник постоянной
ЭДС (
)
замыкается на элементы
и
.
Принимается:
,
,
,
а также
при
.
При таких условиях закон сохранения
энергии для данной цепи можно представить
в следующих равнозначных вариантах
,
,
.
Из решения последнего уравнения следует
.
2.12.12 Цепь
при
и
☻ Одноконтурная
цепь без источника ЭДС и без резистора,
в которой заряженный конденсатор
замыкается на индуктивный элемент
.
Принимается:
,
,
,
,
,
а также при
и
.
При таких условиях закон сохранения
энергии для данной цепи с учетом того,
что
,
,
.
Последнее уравнение соответствует свободным незатухающим колебаниям. Из его решения следует
,
,
,
,
.
Данная цепь является колебательным контуром.
2.12.13 Цепь
RLC
при
☻ Одноконтурная
цепь без источника ЭДС, в которой
заряженный конденсатор С
замыкается на элементы цепи R
и L.
Принимается:
,
,
а также при
и
.
При таких условиях законно закон
сохранения энергии для данной цепи с
учетом того, что
,
может быть записан в следующих вариантах
,
,
.
Последнее уравнение соответствует свободным затухающим колебаниям. Из его решения следует
,
,
,
,
.
Данная цепь является колебательным контуром с диссипативным элементом – резистором, из-за которого общая энергия электромагнитного поля в ходе колебаний убывает.
2.12.14 Цепь
RLC
при
☻ Одноконтурная
цепь RCL
представляет собой колебательный
контур с диссипативным элементом. В
цепи действует переменная ЭДС
и возбуждает
в ней вынужденные колебания, в том числе
и резонанс.
Принимается:
. При этих условиях закон сохранения
энергии может быть записан в нескольких
равнозначных вариантах.
,
,
,
Из решения последнего
уравнения следует, что колебания тока
в цепи являются вынужденными и происходят
с частотой действующей ЭДС
, но со сдвигом фаз по отношению к ней,
так что
,
где
– фазовый сдвиг,
значение которого определяется
уравнением
.
Поступающая в цепь от источника мощность переменна
Усредненное значение этой мощности по одному периоду колебаний определяется выражением
.
Рис 2.12.14
Резонанс зависимости
Таким образам выводимая из источника в цепь мощность определяется фазовым сдвигом. Очевидно при его отсутствии указанная мощность становиться максимальной и это соответствует резонансу в цепи. Он достигается потому, что сопротивление цепи при отсутствии фазового сдвига принимает минимальное значение, равное только активному сопротивлению.
.
Отсюда следует, что при резонансе выполняются условия.
,
,
,
где
– резонансная частота.
При вынужденных колебаниях тока его амплитуда зависит от частоты
.
Резонансное значение
амплитуды достигается при отсутствии
фазового сдвига, когда
и
. Тогда
,
На рис. 2.12.14 показана
резонансная кривая
при вынужденных колебаниях в цепиRLC.
2.12.15 Механическая энергия в электрической цепях
☻ Механическая энергия возбуждается особыми электромеханическими элементами цепи, которые при прохождении по ним электрического тока выполняют механическую работу. Это могут быть электрические двигатели, электромагнитные вибраторы и др. Электрическим током в этих элементах возбуждаются силы или моменты сил, под действием которых происходят линейные, угловые или колебательные перемещения, при этом электромеханический элемент становиться носителем механической энергии
Варианты технической реализации электромеханических элементов практически безграничны. Но в любом случае происходит одно и тоже физическое явление – превращение энергии электромагнитного поля в механическую энергию
.
Важно подчеркнуть,
что это превращение происходит в
условиях электрической цепи и при
безусловном выполнении закона сохранения
энергии. Следует учесть, что
электромеханический элемент цепи при
любом своем назначении и техническом
исполнении является накопителем
энергии электромагнитного поля
.
Она накапливается на внутренних
емкостных или индуктивных частях
электромеханического элемента, между
которыми и возбуждается механическое
взаимодействие. При этом механическая
мощность электромеханического элемента
цепи определяется не энергией
,
а производной по времени от нее, т.е.
интенсивностью ее измененияР
внутри самого элемента
.
Таким образом, в случае простой цепи, когда сторонний источник ЭДС замкнут только на электромеханический элемент, закон сохранения энергии представляется в виде
,
,
где учтены неизбежные необратимые тепловые потери мощности стороннего источника. В случае более сложной цепи, в которой есть дополнительные накопители энергии электромагнитного поля W , закон сохранения энергии записывается в виде
.
Учитывая, что
и
, последнее уравнение можно записать
в виде
.
В простой цепи
и тогда
.
Более строгий подход требует учета процессов трения, которые дополнительно уменьшают полезную механическую мощность электромеханического элемента цепи.
По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант»
Закон сохранения энергии определяет в самом общем виде энергетический баланс при всевозможных изменениях в любой системе. Запишем его следующим образом:
где A внеш - работа, совершенная над рассматриваемой системой внешними силами, ΔW - изменение энергии системы, Q - количество теплоты, выделяемое в системе. Договоримся, что если A внеш > 0, то над системой совершают положительную работу, а если A внеш < 0, положительную работу совершает система; если ΔW > 0, то энергия системы увеличивается, а если ΔW < 0, энергия уменьшается; наконец, если Q > 0, то в системе выделяется тепло, а если Q < 0, тепло системой поглощается.
В этой статье мы рассмотрим, как закон сохранения энергии «работает» в электростатике. В общем случае электростатическая система содержит взаимодействующие между собой заряды, находящиеся в электрическом поле.
Рассмотрим каждое слагаемое в уравнении (1) по отдельности.
Начнем с энергии. Энергия взаимодействия зарядов выражается через характеристики электрического поля этой системы зарядов. Так, например, энергия заряженного конденсатора емкостью C задается известным выражением
(2)
где q - заряд обкладок, U - напряжение между ними. Напомним, что конденсатор - это система двух проводников (обкладок, пластин), обладающая следующим свойством: если с одной обкладки на другую перенести заряд q (т. е. одну обкладку зарядить зарядом + q , а другую –q ), то все силовые линии созданного таким образом поля будут начинаться на одной (положительно заряженной) обкладке и заканчиваться на другой. Поле конденсатора существует только внутри него.
Энергию заряженного конденсатора можно представить также как энергию поля, локализованного в пространстве между пластинами с плотностью энергии где E - напряженность поля. В сущности, именно этот факт дает основание говорить о поле как об объекте, реально существующем, - у этого объекта есть плотность энергии. Но надо помнить, что это просто эквивалентный способ определения энергии взаимодействия зарядов (которую теперь мы называем энергией электрического поля). Таким образом, мы можем считать энергию конденсатора как по формулам (2), так и по формуле
(3)
где V - объем конденсатора. Последней формулой легко пользоваться, конечно, только в случае однородного поля, но представление энергии в такой форме очень наглядно, а потому удобно.
Конечно, кроме энергии взаимодействия зарядов (энергии электрического поля) в энергию системы может входить и кинетическая энергия заряженных тел, и их потенциальная энергия в поле тяжести, и энергия пружин, прикрепленных к телам, и т. п.
Теперь о работе внешних сил. Помимо обычной механической работы A мех (например, по раздвиганию пластин конденсатора), для электрической системы можно говорить о работе внешнего электрического поля. Например, о работе батареи, заряжающей или перезаряжающей конденсатор. Задача батареи - создать фиксированную, присущую данному источнику разность потенциалов между теми телами, к которым она присоединена. Делает она это единственно возможным способом - забирает заряд от одного тела и передает его другому. Источник никогда не создает заряды, а только перемещает их. Общий заряд системы при этом сохраняется - это один из краеугольных законов природы.
В источниках разных конструкций электрическое поле, необходимое для перемещения зарядов, создают различные «механизмы». В батареях и аккумуляторах - это электрохимические реакции, в динамомашинах - электромагнитная индукция. Существенно, что для выбранной системы зарядов (заряженных тел) это поле - внешнее, стороннее. Когда через источник с ЭДС от отрицательного полюса к положительному протекает заряд Δq , сторонние силы совершают работу
При этом если Δq > 0, то A бат > 0 - батарея разряжается; если же Δq < 0, то A бат < 0 - батарея заряжается и в ней накапливается химическая (или магнитная) энергия.
Наконец, о выделении тепла. Заметим только, что это джоулево тепло, т.е. тепло, связанное с протеканием тока через сопротивление.
Теперь обсудим несколько конкретных задач.
Задача 1 . Два одинаковых плоских конденсатора емкостью C каждый присоединены к двум одинаковым батареям с ЭДС . В какой-то момент один конденсатор отключают от батареи, а другой оставляют присоединенным. Затем медленно разводят пластины обоих конденсаторов, уменьшая емкость каждого в n раз. Какая механическая работа совершается в каждом случае?
Если процесс изменения заряда на конденсаторе осуществляется все время медленно, тепло выделяться не будет. Действительно, если через резистор сопротивлением R протек заряд Δq за время t , то на резисторе за это время выделится количество теплоты
При достаточно больших t количество теплоты Q может оказаться сколь угодно малым.
В первом случае фиксирован заряд на пластинах (батарея отключена), равный Механическая работа определяется изменением энергии конденсатора:
Во втором случае фиксирована разность потенциалов на конденсаторе и работает батарея, поэтому
Через батарею протекает заряд
Этот заряд меньше нуля, значит, батарея заряжается и ее работа
Энергия поля в конденсаторе уменьшается:
Таким образом,
Зарядка батареи происходит за счет работы по раздвиганию пластин и за счет энергии конденсатора.
Заметим, что слова про раздвигание пластин существенной роли не играют. Такой же результат будет при любых других изменениях, приводящих к уменьшению емкости в n раз.
Задача 2 . В схеме, изображенной на рисунке, найдите количество теплоты, выделившееся в каждом резисторе после замыкания ключа. Конденсатор емкостью C 1 заряжен до напряжения U 1 , а конденсатор емкостью C 2 - до напряжения U 2 . Сопротивления резисторов R 1 и R 2 .
Закон сохранения энергии (1) для данной системы имеет вид
Начальная энергия конденсаторов равна
Для определения энергии в конечном состоянии воспользуемся тем, что суммарный заряд конденсаторов не может измениться. Он равен 
(для случаев, когда конденсаторы были соединены одноименно или разноименно заряженными пластинами соответственно). После замыкания ключа этим зарядом оказывается заряжен конденсатор емкостью C
1 + C
2 (конденсаторы емкостями C
1 и C
2 соединены параллельно). Таким образом,
и
Как и должно быть, в обоих случаях выделяется тепло - есть джоулевы потери. Замечательно, что выделившееся количество теплоты не зависит от сопротивления цепи - при малых сопротивлениях текут большие токи и наоборот.
Теперь найдем, как количество теплоты Q распределяется между резисторами. Через сопротивления R 1 и R 2 в каждый момент процесса перезарядки текут одинаковые токи, значит, в каждый момент мощности, выделяемые на сопротивлениях, равны
и 
Следовательно,
Кроме того, . Поэтому окончательно
Задача 3 . В схеме на рисунке 2 конденсатор емкостью C заряжен до напряжения U . Какое количество химической энергии запасется в аккумуляторе с ЭДС после замыкания ключа? Какое количество теплоты выделится в резисторе?
Первоначальный заряд на конденсаторе . После окончания перезарядки заряд на конденсаторе станет равным . Протекший через батарею заряд в случае, когда к минусу батареи подключена отрицательно заряженная обкладка конденсатора, будет равен
В противном случае и при этом аккумулятор будет разряжаться (Δq > 0). А в первом случае при аккумулятор заряжается (Δq < 0), и количество химической энергии, запасенной в аккумуляторе после замыкания ключа, равно работе батареи:
Теперь запишем закон сохранения энергии (1) –
– и найдем выделившееся количество теплоты:
Задача 4 . Плоский конденсатор находится во внешнем однородном поле с напряженностью , перпендикулярной пластинам. На пластинах площадью S распределены заряды +q и –q . Расстояние между пластинами d . Какую минимальную работу надо совершить, чтобы поменять пластины местами? Расположить параллельно полю? Вынуть из поля?
Работа будет минимальной, когда процесс проводится очень медленно - при этом не выделяется тепло. Тогда, согласно закону сохранения энергии,
Чтобы найти ΔW , воспользуемся формулой (3). Поле между пластинами представляет собой суперпозицию поля данного плоского конденсатора –
– и внешнего поля .
При перемене пластин местами поле меняется на –, а поле снаружи не меняется, т. е. изменение энергии системы связано с изменением ее плотности между пластинами конденсатора:
Если направления векторов и были одинаковы, то плотность энергии между пластинами уменьшилась после перемены пластин местами, а если направления были противоположны, то плотность энергии увеличилась. Таким образом, в первом случае - конденсатор хочет сам развернуться и его надо удерживать (A < 0), а во втором случае
Когда пластины конденсатора расположены параллельно полю и перпендикулярны друг другу. Энергия поля внутри конденсатора в этом случае равна 
. Тогда
Когда конденсатор вынули из поля, в том месте, где он был, поле стало , а в нем самом теперь поле , т.е. ΔW и A min оказываются такими же, как и в предыдущем случае.
Задача 5. Конденсатор емкостью С без диэлектрика заряжен зарядом q . Какое количество теплоты выделится в конденсаторе, если его заполнить веществом с диэлектрической проницаемостью ε? То же, но конденсатор присоединен к батарее с ЭДС .
При заливании диэлектрика емкость конденсатора увеличилась в ε раз.
В первом случае фиксирован заряд на пластинах, внешних сил нет, и закон сохранения энергии (1) имеет вид
Тепло выделяется за счет уменьшения энергии взаимодействия зарядов.
Во втором случае есть работа батареи и фиксировано напряжение на конденсаторе:
Упражнения
1. Два одинаковых плоских конденсатора емкостью С каждый соединены параллельно и заряжены до напряжения U . Пластины одного из конденсаторов медленно разводят на большое расстояние. Какая при этом совершается работа?
2. Два конденсатора, каждый емкостью С , заряжены до напряжения U и соединены через резистор (рис. 4). Пластины одного из конденсаторов быстро раздвигают, так что расстояние между ними увеличивается вдвое, а заряд на пластинах за время их перемещения не изменяется. Какое количество теплоты выделится в резисторе?
3. Плоский воздушный конденсатор присоединен к батарее с ЭДС . Площадь пластин S , расстояние между ними d . В конденсаторе находится металлическая плита толщиной d 1 , параллельная пластинам (рис. 5). Какую минимальную работу нужно затратить, чтобы удалить плиту из конденсатора?
4. Большая тонкая проводящая пластина площадью S и толщиной d помещена в однородное электрическое поле с напряженностью , перпендикулярной поверхности пластины. Какое количество теплоты выделится в пластине, если поле мгновенно выключить? Какую минимальную работу надо совершить, чтобы удалить пластину из поля?
5. Одна из пластин плоского конденсатора подвешена на пружине (рис. 6). Площадь каждой пластины S , расстояние между ними в начальный момент d . Конденсатор на короткое время подключили к батарее, и он зарядился до напряжения U . Какой должна быть минимальная жесткость пружины, чтобы не произошло касание пластин? Смещением пластин за время зарядки пренебречь.
Ответы .
1. (весь заряд оказывается на конденсаторе, пластины которого не раздвигали).
2. (в первый момент после разведения пластин замкнутыми друг на друга оказываются конденсатор емкостью С с напряжением U и конденсатор емкостью С /2 с напряжением 2U ).
3. 
(минимальная работа по удалению плиты равна разности изменения энергии конденсатора и работы батареи).
4. 
(сразу после выключения внешнего поля в пластине есть поле поляризационных зарядов, напряженность которого равна Е\ удаление пластины из поля эквивалентно созданию поля с напряженностью Е в объеме пластины).
5. (результат получается из закона сохранения энергии 
и из условия равновесия пластины ).
Электрические процессы, протекающие в электрических цепях, подчиняются следующим законам.
Закон Ома для участка цепи . Соотношение между током I, напряжением UR и сопротивлением R участка аb электрической цепи выражается законом Ома
В этом случае U = RI - называют напряжением или падением напряжения на резисторе R, а - током в резисторе R.
При расчете электрических цепей иногда удобнее пользоваться не сопротивлением R, а величиной обратной сопротивлению, т.е. электрической проводимостью: . В этом случае закон Ома для участка цепи запишется в виде:
Закон Ома для всей цепи . Этот закон определяет зависимость между ЭДС Е источника питания с внутренним сопротивлением r0 , током I электрической цепи и общим эквивалентным сопротивлением RЭ = r0 + R всей цепи:
Сложная электрическая цепь содержит, как правило, несколько ветвей, в которые могут быть включены свои источники питания и режим ее работы не может быть описан только законом Ома. Но это можно выполнить на основании первого и второго законов Кирхгофа, являющихся следствием закона сохранения энергии.
Все электрические цепи подчиняются первому и второму законам Кирхгофа.
Первый закон Кирхгофа устанавливает связь между токами ветвей в узле электрической цепи. В любом узле электрической цепи алгебраическая сумма токов равна нулю
где m - число ветвей подключенных к узлу.
При записи уравнений по первому закону Кирхгофа токи, направленные к узлу, берут со знаком «плюс», а токи, направленные от узла - со знаком «минус».
Второй закон Кирхгофа устанавливает связь между напряжениями на элементах контура. Контур состоит из ветвей, образующих замкнутый путь для протекания электрического тока. Для замкнутого контура, также выполняется закон сохранения энергии. В любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме падений напряжений на всех его участках
где n - число источников ЭДС в контуре;
m - число элементов с сопротивлением R к в контуре;
U к = R к I к - напряжение или падение напряжения на к-м элементе контура.
Для схемы на рис. 4 второй закон Кирхгофа по второй форме записи имеет вид:
Для записи 2 -го закона Кирхгофа необходимо:
1. Выбрать условно - положительное направление обходов элементов контура (обычно, по часовой стрелке).
- 2. Записать алгебраическую сумму падений напряжений, в которой со знаком «+» берутся те падения напряжения, которые совпадают с направлением обхода контура, и со знаком « - », те падения напряжений которые не совпадают.
- 3. Записать алгебраическую сумму источников эдс, в которой со знаком «+» берутся те эдс, которые совпадают с направлением обхода контура, и со знаком « - », те эдс, которые не совпадают.
При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа необходимо следить за тем, чтобы были охвачены все ветви схемы: в каждый новый контур, для которого составляется уравнение, должна входить хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в предыдущие контуры, для которых уже составлены уравнения по второму закону Кирхгофа. Такие контуры условимся называть независимыми .
Запишем уравнения по II закону Кирхгофа для контуров электрической схемы:
контур I: E = RI + R 1 I 1 + r 0 I,
контур II: R 1 I 1 + R 2 I 2 = 0,
контур III: E = RI + R 2 I 2 + r 0 I.
В действующей цепи электрическая энергия источника питания преобразуется в другие виды энергии. На участке цепи с сопротивлением R в течение времени t при токе I расходуется электрическая энергия. Для постоянного тока
Единица измерения энергии джоуль - [Дж].
Скорость преобразования электрической энергии в другие виды представляет электрическую мощность
Из закона сохранения энергии следует, что мощность источников питания в любой момент времени равна сумме мощностей, расходуемой на всех участках цепи.
Это соотношение называют уравнением баланса мощностей.
Рассмотрим системы
из двух проводников в вакууме. Один
проводние создает поле
,
другой
.
Результирующее поле
,
квадрат этой величины.
Полная энергия этой системы
.
Первые два интеграла – это собственные
знергии проводников, а последний =
потенциальная энергия их взаимодействия.
Собственная энергия заряженного тела
– всегда величина положительная,
положительной является и полная энергия.
Энергия же взаимодействия может быть
как положительной, так и отрицательной.
При всех возможных перемещениях
заряженных тел, не изменяющих конфигурацию
зарядов на каждом теле, собственная
энергия остается постоянной, поэтому
ее можно считать аддитивной постоянной
в выражении для полной энергии. В этих
случаях изменение полной энергии
происходит только за счет изменения
потенциальной энергии взаимодействия.
1.4.6. Закон сохранения энергии для электрического поля в несегнетоэлектрической среде
Энергия
электрического поля, создаваемого
какой-либо системой заряженных тел
(проводников, диэлектриков), изменяется,
если тела системы перемещаются (то есть
меняется взаимное положение тел), или,
если изменяются их заряды. При этом
совершают работу внешние силы, приложенные
к телам системы, и источники электрической
энергии (батареи, генераторы, и тому
подобные), присоединенные к проводникам
системы.
Закон сохранения энергии для малого изменения состояния системы при постоянной температуре и постоянной плотности среды имеет вид:
Здесь:
- работа внешних сил;
- работа источников электрической
энергии;
- изменение энергии электростатического
поля системы;
- изменение кинетической энергии системы;
- теплота Джоуля - Ленца, которая вызвана
прохождением электрических токов в
системе при изменении или перераспределении
зарядов проводников.
Если
перемещение тел производится
квазистатически, то есть очень медленно,
то можно пренебречь изменением
кинетической энергии системы,
,
и считать работу внешних сил
численно равной и противоположной по
знаку работе
,
совершаемой в рассматриваемом процессе
силами, которые действуют на тела системы
в электрическом поле и называются
пондемоторными силами. В этом случае
закон сохранения энергии можно записать
в виде:.
Работа
источников электрической энергии за
малый промежуток времени
равна:
,
где
- общее число источников электрической
энергии в рассматриваемой системе;
- ЭДС
-того
источника,
- заряд, проходящий через этот источник
за время
,
- ток в источнике, работа
,
если ток
идет от катода к аноду.
Если
заряд каждого проводника не изменяется
и не перераспределяется
,
то выражение закона сохранения энергии
для квазистатического изменения
состояния системы имеет вид:
,
то есть в этом процессе работа пондемоторных сил равна убыли энергии электрического поля системы. С помощью этого выражения можно рассчитывать работу пондемоторных сил.
Найдем
силы, действующие на пластины заряженного
плоского конденсатора. Расстояние между
пластинами
,
где
- площадь пластины. Конденсатор заряжен
и отключен от источника питания, так
что заряд конденсатора
,
- поверхностная плотность заряда. При
увеличении расстояния сила
,
приложенная к перемещаемой пластине,
совершает работу
.
Изменение энергии электростатического
поля в конденсаторе
,
где
- объемная плотность энергии в прилегающем
к пластине слое толщиной
.
Таким образом, из закона сохранения
энергии следует, что пондемоторная сила
равна
.