Saat menghitung polinomial aljabar, untuk menyederhanakan perhitungan, gunakan rumus perkalian yang disingkat . Total ada tujuh formula seperti itu. Anda perlu hafal semuanya.
Perlu juga diingat bahwa selain a dan b, rumusnya bisa berupa bilangan atau polinomial aljabar lainnya.
Perbedaan kuadrat
Selisih antara kuadrat dua bilangan sama dengan hasil kali selisih antara bilangan-bilangan tersebut dengan jumlah keduanya.
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b)
Kuadrat dari jumlah tersebut
Kuadrat jumlah dua bilangan sama dengan kuadrat bilangan pertama ditambah dua kali hasil kali bilangan pertama dan bilangan kedua ditambah kuadrat bilangan kedua.
(A + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Perlu diketahui bahwa dengan rumus perkalian yang disingkat ini sangatlah mudah menemukan kuadrat bilangan besar tanpa menggunakan kalkulator atau perkalian panjang. Mari kita jelaskan dengan sebuah contoh:
Temukan 112 2.
Mari kita uraikan 112 menjadi jumlah bilangan yang kuadratnya kita ingat dengan baik.2
112 = 100 + 1
Tuliskan jumlah bilangan dalam tanda kurung dan letakkan persegi di atas tanda kurung.
112 2 = (100 + 12) 2
Mari kita gunakan rumus kuadrat dari jumlah tersebut:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 x 100 x 12 + 12 2 = 10.000 + 2.400 + 144 = 12.544
Ingatlah bahwa rumus jumlah kuadrat juga berlaku untuk semua polinomial aljabar.
(8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2
Peringatan!!!
(a + b) 2 tidak sama dengan a 2 + b 2
Perbedaan kuadrat
Kuadrat selisih dua bilangan sama dengan kuadrat bilangan pertama dikurangi dua kali hasil kali bilangan pertama dan kedua ditambah kuadrat bilangan kedua.
(A - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
Perlu juga diingat transformasi yang sangat berguna:
(a - b) 2 = (b - a) 2
Rumus di atas dapat dibuktikan hanya dengan membuka tanda kurung:
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2 = (b - a) 2
Kubus jumlah
Kubus jumlah dua bilangan sama dengan pangkat tiga bilangan pertama ditambah tiga kali lipat hasil kali kuadrat bilangan pertama dan bilangan kedua ditambah tiga kali lipat hasil kali bilangan pertama dengan kuadrat bilangan kedua ditambah pangkat tiga bilangan kedua. .
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Sangat mudah untuk mengingat formula yang tampak “menakutkan” ini.
Pelajari bahwa angka 3 muncul di awal.
Dua polinomial di tengah mempunyai koefisien 3.
DI DALAMingat bahwa bilangan apa pun yang dipangkatkan nol adalah 1. (a 0 = 1, b 0 = 1). Mudah diperhatikan bahwa pada rumus tersebut terdapat penurunan derajat a dan kenaikan derajat b. Anda dapat memverifikasi ini:
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Peringatan!!!
(a + b) 3 tidak sama dengan a 3 + b 3
Perbedaan kubus
Kubik selisih dua bilangan sama dengan pangkat tiga bilangan pertama dikurangi tiga kali hasil kali kuadrat bilangan pertama dan bilangan kedua ditambah tiga kali hasil kali bilangan pertama dan kuadrat bilangan kedua dikurangi kubus. yang kedua.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
Rumus ini diingat seperti rumus sebelumnya, tetapi hanya memperhitungkan pergantian tanda “+” dan “-”. Suku pertama a 3 diawali dengan tanda “+” (menurut kaidah matematika, kami tidak menulisnya). Artinya suku berikutnya akan diawali dengan “-”, lalu “+”, dan seterusnya.
(a - b) 3 = + sebuah 3 - 3a 2b + 3ab 2 - b 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
Jumlah kubus ( Jangan bingung dengan jumlah kubus!)
Jumlah kubus sama dengan hasil kali jumlah dua bilangan dan kuadrat parsial selisihnya.
a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)
Jumlah kubus adalah hasil kali dua tanda kurung.
Tanda kurung pertama adalah jumlah dua angka.
Tanda kurung kedua adalah kuadrat tidak lengkap dari selisih angka-angka tersebut. Kuadrat selisih yang tidak lengkap adalah persamaan:
A 2 - ab + b 2
Kuadrat ini tidak lengkap, karena di tengahnya, alih-alih hasil kali ganda, terdapat hasil kali bilangan biasa.
Selisih kubus (Jangan bingung dengan kubus selisih!!!)
Selisih kubus sama dengan hasil kali selisih dua bilangan dan kuadrat parsial jumlah tersebut.
a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2)
Berhati-hatilah saat menuliskan tanda.Perlu diingat bahwa semua rumus yang diberikan di atas juga digunakan dari kanan ke kiri.
Cara mudah mengingat rumus perkalian yang disingkat, atau... Segitiga Pascal.
Kesulitan mengingat rumus perkalian yang disingkat? Penyebabnya mudah untuk ditolong. Anda hanya perlu mengingat bagaimana hal sederhana seperti segitiga Pascal digambarkan. Maka Anda akan mengingat rumus-rumus ini selalu dan di mana saja, atau lebih tepatnya, tidak mengingatnya, tetapi memulihkannya.
Apa segitiga Pascal? Segitiga ini terdiri dari koefisien-koefisien yang masuk ke dalam perluasan derajat apa pun dari bentuk binomial menjadi polinomial.
Mari kita kembangkan, misalnya:
Dalam entri ini mudah diingat bahwa pangkat tiga bilangan pertama ada di awal, dan pangkat tiga bilangan kedua ada di akhir. Namun apa yang ada di tengah sulit untuk diingat. Dan bahkan fakta bahwa dalam setiap suku berikutnya derajat satu faktor terus menurun, dan faktor kedua meningkat - tidak sulit untuk memperhatikan dan mengingat; situasinya lebih sulit dengan mengingat koefisien dan tanda (apakah itu plus atau minus ?).
Jadi pertama, kemungkinannya. Tidak perlu menghafalnya! Kita segera menggambar segitiga Pascal di pinggir buku catatan, dan ini dia - koefisiennya, sudah ada di depan kita. Kita mulai menggambar dengan tiga unit, satu di atas, dua di bawah, ke kanan dan ke kiri - ya, itu sudah berbentuk segitiga:
Baris pertama, dengan satu 1, adalah nol. Kemudian muncullah yang pertama, kedua, ketiga dan seterusnya. Untuk mendapatkan baris kedua, Anda perlu menambahkan satu lagi ke tepinya, dan di tengahnya tuliskan angka yang diperoleh dengan menjumlahkan dua angka di atasnya:
Kami menulis baris ketiga: lagi di sepanjang tepi unit, dan sekali lagi, untuk mendapatkan nomor berikutnya di baris baru, kami menambahkan nomor di atasnya pada baris sebelumnya:
Seperti yang sudah Anda duga, di setiap baris kita mendapatkan koefisien dari perluasan binomial menjadi polinomial:
Nah, lebih mudah lagi untuk mengingat tanda-tandanya: yang pertama sama dengan binomial yang diperluas (kita perluas jumlahnya - itu berarti plus, selisihnya - itu berarti minus), dan kemudian tanda-tandanya bergantian!
Ini adalah hal yang sangat berguna - segitiga Pascal. Gunakan itu!
Ekspresi matematika (rumus) perkalian yang disingkat(jumlah dan selisih kuadrat, pangkat tiga jumlah dan selisih, selisih kuadrat, jumlah dan selisih pangkat tiga) sangat diperlukan dalam banyak bidang ilmu eksakta. 7 notasi simbolik ini sangat berharga untuk menyederhanakan ekspresi, menyelesaikan persamaan, mengalikan polinomial, mereduksi pecahan, menyelesaikan integral, dan banyak lagi. Artinya akan sangat berguna untuk memahami bagaimana hal tersebut diperoleh, mengapa hal tersebut dibutuhkan, dan yang terpenting, bagaimana cara mengingatnya dan kemudian menerapkannya. Kemudian melamar rumus perkalian yang disingkat dalam praktiknya, hal yang paling sulit adalah melihat apa yang ada X dan apa yang kamu punya. Jelas, tidak ada batasan untuk itu A Dan B tidak, yang berarti dapat berupa ekspresi numerik atau abjad apa pun.
Dan inilah mereka:
Pertama x 2 - jam 2 = (x - kamu) (x+y).Untuk menghitung perbedaan persegi dua ekspresi, Anda perlu mengalikan perbedaan ekspresi ini dengan jumlahnya.
Kedua (x + kamu) 2 = x 2 + 2xy + kamu 2. Untuk menemukan kuadrat dari jumlah tersebut dua ekspresi, Anda perlu menambahkan ke kuadrat ekspresi pertama hasil kali ganda dari ekspresi pertama dan ekspresi kedua ditambah kuadrat dari ekspresi kedua.
Ketiga (x - kamu) 2 = x 2 - 2xy + kamu 2. Untuk menghitung perbedaan kuadrat dua ekspresi, Anda perlu mengurangi kuadrat ekspresi pertama dua kali hasil kali ekspresi pertama dengan ekspresi kedua ditambah kuadrat ekspresi kedua.
Keempat (x + kamu) 3 = x 3 + 3x 2 tahun + 3xy 2 + jam 3. Untuk menghitung kubus jumlah dua ekspresi, Anda perlu menambahkan ke pangkat tiga ekspresi pertama hasil kali rangkap tiga dari kuadrat ekspresi pertama dengan ekspresi kedua ditambah hasil kali rangkap tiga dari ekspresi pertama dengan kuadrat ekspresi kedua ditambah pangkat tiga dari ekspresi kedua.
Kelima (x - kamu) 3 = x 3 - 3x 2 tahun + 3xy 2 - jam 3. Untuk menghitung kubus perbedaan dua ekspresi, perlu untuk mengurangi dari pangkat tiga ekspresi pertama hasil kali rangkap tiga dari kuadrat ekspresi pertama dengan ekspresi kedua ditambah hasil kali rangkap tiga dari ekspresi pertama dengan kuadrat dari ekspresi kedua dikurangi pangkat tiga dari ekspresi kedua.
Keenam x 3 + kamu 3 = (x + kamu) (x 2 - xy + kamu 2) Untuk menghitung jumlah kubus dua ekspresi, Anda perlu mengalikan jumlah ekspresi pertama dan kedua dengan kuadrat tidak lengkap dari selisih ekspresi tersebut.
Ketujuh x 3 - jam 3 = (x - y) (x 2 + xy + kamu 2) Untuk melakukan perhitungan perbedaan kubus dua ekspresi, Anda perlu mengalikan selisih ekspresi pertama dan kedua dengan kuadrat tidak lengkap dari jumlah ekspresi tersebut.
Tidak sulit untuk mengingat bahwa semua rumus digunakan untuk melakukan perhitungan dalam arah yang berlawanan (dari kanan ke kiri).
Keberadaan pola tersebut diketahui sekitar 4 ribu tahun yang lalu. Mereka banyak digunakan oleh penduduk Babilonia kuno dan Mesir. Namun pada era tersebut diungkapkan secara verbal atau geometris dan tidak menggunakan huruf dalam perhitungannya.
Mari kita selesaikan bukti jumlah persegi(a + b) 2 = a 2 +2ab +b 2.
Pertama ini pola matematika dibuktikan oleh ilmuwan Yunani kuno Euclid, yang bekerja di Alexandria pada abad ke-3 SM, ia menggunakan metode geometris untuk membuktikan rumusnya, karena para ilmuwan Hellas kuno tidak menggunakan huruf untuk menunjukkan angka. Mereka di mana-mana tidak menggunakan "a 2", tetapi "persegi pada segmen a", bukan "ab", tetapi "persegi panjang yang diapit di antara segmen a dan b".
Aljabar
Rumus perkalian yang disingkat digunakan untuk mengubah ekspresi. Identitas digunakan untuk merepresentasikan keseluruhan ekspresi sebagai polinomial dan untuk memfaktorkan polinomial.
- 1 Kuadrat dari jumlah tersebut(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
- 2 Perbedaan kuadrat(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
- 3 Perbedaan kuadrat a 2 - b 2 = (a - b)(a + b)
- 4 Kubus jumlah(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 2
- 5 Perbedaan kubus(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 2
- 6 Jumlah kubus a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)
- 7 Perbedaan kubus a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2)
Rumus persegi
\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)
Rumus kubus
\((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)
\((a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\)
\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)
\(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\)
Rumus untuk derajat keempat
\((a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4\)
\((a - b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4\)
\(a^4 - b^4 = (a - b)(a + b)(a^2 + b^2)\);
mengikuti dari \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\).
Rumus perkalian yang disingkat
1. Kuadrat dari jumlah tersebut
2. Selisih kuadrat
3. Jumlah dan selisih kuadrat
4. Jumlahkan pangkat tiga (kubus jumlah)
5. Selisih pangkat tiga (selisih kubus)
6. Jumlah dan selisih kubus
7. Rumus perkalian yang disingkat derajat keempat
8. Rumus perkalian pangkat lima yang disingkat
9. Rumus perkalian pangkat enam yang disingkat
10. Rumus perkalian yang disingkat derajat n, dimana N- bilangan asli apa pun
11. Rumus perkalian yang disingkat derajat n, dimana N- bilangan positif genap
12. Rumus perkalian yang disingkat derajat n, dimana N- bilangan positif ganjil
Ekspresi ( A + B) 2 adalah kuadrat dari jumlah tersebut angka A Dan B. Menurut definisi derajat, ekspresi ( A + BA + B)(A + B). Oleh karena itu, dari kuadrat jumlah tersebut kita dapat menyimpulkan bahwa
(A + B) 2 = (A + B)(A + B) = A 2 + ab + ab + B 2 = A 2 + 2ab + B 2 ,
yaitu kuadrat jumlah dua bilangan sama dengan kuadrat bilangan pertama, ditambah dua kali hasil kali bilangan pertama dan bilangan kedua, ditambah kuadrat bilangan kedua.
rumus jumlah kuadrat
(A + B) 2 = A 2 + 2ab + B 2
Polinomial A 2 + 2ab + B 2 disebut perluasan jumlah kuadrat.
Karena A Dan B menunjukkan angka atau ekspresi apa pun, maka aturan tersebut memberi kita kesempatan, secara singkat, untuk mengkuadratkan ekspresi apa pun yang dapat dianggap sebagai jumlah dari dua suku.
Contoh. Ekspresi persegi 3 X 2 + 2xy.
Larutan: Agar tidak melakukan transformasi tambahan, kita akan menggunakan rumus kuadrat jumlah. Kita harus mendapatkan jumlah kuadrat bilangan pertama, dua kali hasil kali bilangan pertama dan bilangan kedua, serta kuadrat bilangan kedua:
(3X 2 + 2xy) 2 = (3X 2) 2 + 2(3X 2 2 xy) + (2xy) 2
Sekarang, dengan menggunakan aturan perkalian dan eksponensial monomial, kita menyederhanakan ekspresi yang dihasilkan:
(3X 2) 2 + 2(3X 2 2 xy) + (2xy) 2 = 9X 4 + 12X 3 kamu + 4X 2 kamu 2
Perbedaan kuadrat
Ekspresi ( A - B) 2 adalah perbedaan kuadrat angka A Dan B. Ekspresi ( A - B) 2 adalah hasil kali dua polinomial ( A - B)(A - B). Oleh karena itu, dari kuadrat selisihnya kita dapat menyimpulkan bahwa
(A - B) 2 = (A - B)(A - B) = A 2 - ab - ab + B 2 = A 2 - 2ab + B 2 ,
yaitu kuadrat selisih dua bilangan sama dengan kuadrat bilangan pertama, dikurangi dua kali hasil kali bilangan pertama dan bilangan kedua, ditambah kuadrat bilangan kedua.
Ini mengikuti aturan bahwa total rumus selisih kuadrat, tanpa transformasi perantara, akan terlihat seperti ini:
(A - B) 2 = A 2 - 2ab + B 2
Polinomial A 2 - 2ab + B 2 disebut ekspansi selisih kuadrat.
Aturan ini berlaku untuk persamaan kuadrat yang disingkat yang dapat dinyatakan sebagai selisih dua bilangan.
Contoh. Nyatakan kuadrat selisihnya sebagai trinomial:
(2A 2 - 5ab 2) 2
Larutan: Dengan menggunakan rumus selisih kuadrat kita menemukan:
(2A 2 - 5ab 2) 2 = (2A 2) 2 - 2(2A 2 5 ab 2) + (5ab 2) 2
Sekarang mari kita ubah ekspresi tersebut menjadi polinomial standar:
(2A 2) 2 - 2(2A 2 5 ab 2) + (5ab 2) 2 = 4A 4 - 20A 3 B 2 + 25A 2 B 4
Perbedaan kuadrat
Ekspresi A 2 - B 2 adalah perbedaan persegi angka A Dan B. Ekspresi A 2 - B 2 adalah cara singkat untuk mengalikan jumlah dua bilangan dengan selisihnya:
(A + B)(A - B) = A 2 + ab - ab - B 2 = A 2 - B 2 ,
yaitu, hasil kali jumlah dua bilangan dan selisihnya sama dengan selisih kuadrat bilangan-bilangan tersebut.
Ini mengikuti aturan bahwa total rumus selisih kuadrat terlihat seperti ini:
A 2 - B 2 = (A + B)(A - B)
Aturan ini berlaku untuk perkalian singkatan dari ekspresi yang dapat direpresentasikan: satu sebagai jumlah dua bilangan, dan satu lagi sebagai selisih dua bilangan yang sama.
Contoh. Ubah hasil perkaliannya menjadi binomial:
(5A 2 + 3)(5A 2 - 3)
Larutan:
(5A 2 + 3)(5A 2 - 3) = (5A 2) 2 - 3 2 = 25A 4 - 9
Pada contoh, kami menerapkan rumus selisih kuadrat dari kanan ke kiri, yaitu, kami diberi ruas kanan rumus, dan kami mengubahnya ke kiri:
(A + B)(A - B) = A 2 - B 2
Dalam prakteknya, ketiga rumus yang dibahas diterapkan dari kiri ke kanan dan dari kanan ke kiri, tergantung situasinya.
Dalam pelajaran ini kita akan mengenal rumus kuadrat jumlah dan kuadrat selisih serta menurunkannya. Mari kita buktikan rumus kuadrat jumlah tersebut secara geometris. Selain itu, kami akan menyelesaikan banyak hal berbagai contoh menggunakan rumus-rumus ini.
Perhatikan rumus kuadrat jumlah tersebut:
Jadi, kami telah memperoleh rumus kuadrat dari jumlah tersebut:
Secara lisan rumus ini dinyatakan sebagai berikut: kuadrat jumlah sama dengan kuadrat bilangan pertama ditambah dua kali hasil kali bilangan pertama dan bilangan kedua ditambah kuadrat bilangan kedua.
Rumus ini mudah direpresentasikan secara geometris.
Misalkan sebuah persegi dengan sisi:
Luas persegi.
Sebaliknya, persegi yang sama dapat direpresentasikan secara berbeda dengan membagi sisinya menjadi a dan b (Gbr. 1).
Beras. 1. Kotak
Maka luas persegi dapat direpresentasikan sebagai jumlah luasnya:
Karena luas perseginya sama, maka luasnya sama, artinya:
Jadi, kami telah membuktikan secara geometris rumus kuadrat jumlah tersebut.
Mari kita lihat contohnya:
Komentar: Contohnya diselesaikan dengan menggunakan rumus jumlah kuadrat.
Mari kita turunkan rumus selisih kuadrat:
Jadi, kami telah memperoleh rumus selisih kuadrat:
Secara lisan rumus ini dinyatakan sebagai berikut: kuadrat selisihnya sama dengan kuadrat bilangan pertama dikurangi hasil kali ganda bilangan pertama dan bilangan kedua ditambah kuadrat bilangan kedua.
Mari kita lihat contohnya:
Rumus jumlah kuadrat dan selisih kuadrat dapat digunakan dari kiri ke kanan dan dari kanan ke kiri. Jika digunakan dari kiri ke kanan, rumus perkalian ini akan disingkat dan digunakan saat menghitung dan mengonversi contoh. Dan bila digunakan dari kanan ke kiri - rumus faktorisasi.
Mari kita lihat contoh di mana Anda perlu memfaktorkan polinomial tertentu menggunakan rumus jumlah kuadrat dan selisih kuadrat. Untuk melakukan ini, Anda perlu memperhatikan polinomial dengan cermat dan menentukan dengan tepat cara memperluasnya dengan benar.
Komentar: Untuk memfaktorkan polinomial, Anda perlu menentukan apa yang diwakili dalam ekspresi tertentu. Jadi kita melihat kuadrat dan kuadrat satu. Sekarang Anda perlu mencari hasil kali gandanya - ini adalah . Jadi, semua elemen yang diperlukan ada di sana, Anda hanya perlu menentukan apakah itu kuadrat jumlah atau selisihnya. Ada tanda tambah di depan hasil perkalian ganda, artinya kita mempunyai kuadrat dari jumlah tersebut.