Subjek. Turunan. Arti geometris dan mekanik dari turunan

Jika limit tersebut ada, maka fungsi tersebut dikatakan terdiferensiasi di suatu titik. Turunan suatu fungsi dilambangkan dengan (rumus 2).

1. Arti geometris dari turunan. Mari kita lihat grafik fungsinya. Dari Gambar 1 jelas bahwa untuk dua titik A dan B pada grafik fungsi, rumus 3 dapat ditulis. Ini berisi sudut kemiringan garis potong AB.

Jadi, perbandingan selisihnya sama dengan kemiringan garis potong. Jika titik A ditetapkan dan titik B dipindahkan ke arahnya, maka titik tersebut mengecil tanpa batas dan mendekati 0, dan garis potong AB mendekati garis singgung AC. Oleh karena itu, batas perbandingan selisihnya sama dengan kemiringan garis singgung di titik A. Hal ini mengarah pada kesimpulan.

Turunan suatu fungsi di suatu titik adalah kemiringan garis singgung grafik fungsi tersebut di titik tersebut. Ini adalah apa makna geometris turunan.

1. Persamaan tangen . Mari kita turunkan persamaan garis singgung grafik fungsi di suatu titik. Secara umum persamaan garis lurus dengan koefisien sudut berbentuk: . Untuk mencari b, kita memanfaatkan fakta bahwa garis singgung melalui titik A: . Berikut ini: . Mengganti ekspresi ini dengan b, kita memperoleh persamaan tangen (rumus 4).

Jenis pekerjaan: 7

Kondisi

Garis lurus y=3x+2 bersinggungan dengan grafik fungsi y=-12x^2+bx-10.

Carilah b, jika absis titik singgungnya kurang dari nol.

Tunjukkan solusi

Larutan

Misalkan x_0 adalah absis titik pada grafik fungsi y=-12x^2+bx-10 yang dilalui garis singgung grafik tersebut. Nilai turunan di titik x_0 sama dengan kemiringan garis singgungnya, yaitu y"(x_0)=-24x_0+b=3. Sebaliknya, titik singgung tersebut secara bersamaan berada pada kedua grafik tersebut. fungsi dan garis singgungnya, yaitu -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2

\mulai(kasus) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(kasus)

Memecahkan sistem ini, kita mendapatkan x_0^2=1, yang berarti x_0=-1 atau x_0=1.

Jenis pekerjaan: 7
Berdasarkan syarat absis, titik singgungnya kurang dari nol, jadi x_0=-1, maka b=3+24x_0=-21.

Kondisi

Menjawab

Carilah b, jika absis titik singgungnya kurang dari nol.

Tunjukkan solusi

Koefisien sudut garis lurus ke grafik fungsi y=-x^2+5x-7 di titik sembarang x_0 sama dengan y"(x_0). Tapi y"=-2x+5, artinya y" (x_0)=-2x_0+5. Koefisien garis y=-3x+4 yang ditentukan dalam kondisi sama dengan -3. Garis sejajar mempunyai koefisien sudut yang sama -2x_0 +5=-3.

Kita mendapatkan: x_0 = 4.

Memecahkan sistem ini, kita mendapatkan x_0^2=1, yang berarti x_0=-1 atau x_0=1.

Sumber: “Matematika. Persiapan Ujian Negara Bersatu 2017. Tingkat profil" Ed. F.F.Lysenko, S.Yu.Kulabukhova.

Jenis pekerjaan: 7
Berdasarkan syarat absis, titik singgungnya kurang dari nol, jadi x_0=-1, maka b=3+24x_0=-21.

Kondisi

Carilah b, jika absis titik singgungnya kurang dari nol.

Tunjukkan solusi

Dari gambar tersebut kita tentukan bahwa garis singgung melewati titik A(-6; 2) dan B(-1; 1).

Mari kita nyatakan dengan C(-6; 1) titik potong garis x=-6 dan y=1, dan dengan \alpha sudut ABC (Anda dapat melihat pada gambar bahwa garis tersebut lancip). Kemudian garis lurus AB membentuk sudut \pi -\alpha dengan arah positif sumbu Ox yaitu tumpul. Seperti diketahui, tg(\pi -\alpha) adalah nilai turunan fungsi f(x) di titik x_0. Perhatikan itu tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15.

Memecahkan sistem ini, kita mendapatkan x_0^2=1, yang berarti x_0=-1 atau x_0=1.

Dari sini, dengan menggunakan rumus reduksi, kita memperoleh:

Jenis pekerjaan: 7
Berdasarkan syarat absis, titik singgungnya kurang dari nol, jadi x_0=-1, maka b=3+24x_0=-21.

Kondisi

tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0,2.

Carilah b, jika absis titik singgungnya kurang dari nol.

Tunjukkan solusi

Sumber: “Matematika. Persiapan Ujian Negara Bersatu 2017. Tingkat profil." Ed. F.F.Lysenko, S.Yu.Kulabukhova.

Garis lurus y=-2x-4 bersinggungan dengan grafik fungsi y=16x^2+bx+12.

Carilah b, jika absis titik singgungnya lebih besar dari nol. Misalkan x_0 adalah absis titik pada grafik fungsi y=16x^2+bx+12 yang melaluinya

bersinggungan dengan grafik ini.

Memecahkan sistem ini, kita mendapatkan x_0^2=1, yang berarti x_0=-1 atau x_0=1.

Dari sini, dengan menggunakan rumus reduksi, kita memperoleh:

Jenis pekerjaan: 7
Berdasarkan syarat absis, titik singgungnya kurang dari nol, jadi x_0=-1, maka b=3+24x_0=-21.

Kondisi

Nilai turunan di titik x_0 sama dengan kemiringan garis singgungnya, yaitu y"(x_0)=32x_0+b=-2. Sebaliknya, titik singgung tersebut secara bersamaan berada pada kedua grafik grafik tersebut. fungsi dan garis singgung, yaitu 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4

Carilah b, jika absis titik singgungnya kurang dari nol.

Tunjukkan solusi

\mulai(kasus) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(kasus)

Memecahkan sistem ini, kita mendapatkan x_0^2=1, yang berarti x_0=-1 atau x_0=1.

Dari sini, dengan menggunakan rumus reduksi, kita memperoleh:

Jenis pekerjaan: 7
Berdasarkan syarat absis, titik singgungnya kurang dari nol, jadi x_0=-1, maka b=3+24x_0=-21.

Kondisi

Memecahkan sistem, kita mendapatkan x_0^2=1, yang berarti x_0=-1 atau x_0=1.

Carilah b, jika absis titik singgungnya kurang dari nol.

Tunjukkan solusi

Kemiringan garis singgung grafik fungsi y=x^2-4x+9 di titik sembarang x_0 sama dengan y"(x_0). Tetapi y"=2x-4, artinya y"(x_0)= 2x_0-4. Kemiringan garis singgung y =4x-7, yang ditentukan dalam kondisi, sama dengan 4. Garis sejajar memiliki koefisien sudut yang sama. Oleh karena itu, kita mencari nilai x_0 sehingga 2x_0-4=4.

Memecahkan sistem ini, kita mendapatkan x_0^2=1, yang berarti x_0=-1 atau x_0=1.

Dari sini, dengan menggunakan rumus reduksi, kita memperoleh:

Jenis pekerjaan: 7
Berdasarkan syarat absis, titik singgungnya kurang dari nol, jadi x_0=-1, maka b=3+24x_0=-21.

Kondisi

Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y=f(x) dan garis singgungnya di titik absis x_0.

Carilah b, jika absis titik singgungnya kurang dari nol.

Tunjukkan solusi

Tentukan nilai turunan fungsi f(x) di titik x_0.

Dari gambar tersebut kita tentukan bahwa garis singgung melewati titik A(1; 1) dan B(5; 4).

Mari kita nyatakan dengan C(5; 1) titik potong garis x=5 dan y=1, dan dengan \alpha sudut BAC (Anda dapat melihat pada gambar bahwa garis tersebut lancip). Kemudian garis lurus AB membentuk sudut \alpha dengan arah positif sumbu Ox.

Artikel tersebut memberikan penjelasan rinci tentang definisi, makna geometris turunan dengan notasi grafis. Persamaan garis singgung akan diperhatikan beserta contohnya, persamaan garis singgung kurva orde 2 akan dicari.

Definisi 1

Sudut kemiringan garis lurus y = k x + b disebut sudut α, diukur dari arah positif sumbu x ke garis lurus y = k x + b dalam arah positif.

Pada gambar, arah x ditunjukkan dengan panah hijau dan busur hijau, dan sudut kemiringan ditunjukkan dengan busur merah. Garis biru mengacu pada garis lurus.

Definisi 2

• Kemiringan garis lurus y = k x + b disebut koefisien numerik k.
• Koefisien sudut sama dengan garis singgung garis lurus, dengan kata lain k = t g α.< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >Sudut kemiringan suatu garis lurus sama dengan 0 hanya jika garis tersebut sejajar terhadap x dan kemiringannya sama dengan nol, karena garis singgung nol sama dengan 0. Artinya bentuk persamaannya adalah y = b.
• Jika sudut kemiringan garis lurus y = k x + b lancip, maka syarat 0 terpenuhi
• 0, dan terjadi peningkatan pada grafik.< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Jika α = π 2, maka letak garis tegak lurus x. Kesetaraan ditentukan oleh x = c dengan nilai c adalah bilangan real.

Jika sudut kemiringan garis lurus y = k x + b tumpul, maka memenuhi syarat π 2

Definisi 3

Jika koefisien sudut suatu garis lurus sama dengan garis singgung sudut kemiringannya, maka jelas bahwa garis singgung segitiga siku-siku A B C dapat dicari dengan perbandingan sisi yang berhadapan dengan sisi yang berdekatan.

Definisi 4

Kami memperoleh rumus untuk mencari garis potong bentuk:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, dimana absis titik A dan B adalah nilai x A, x B, dan f (x A), f (x B) adalah fungsi nilai pada titik-titik ini.

Jelasnya, koefisien sudut garis potong ditentukan dengan menggunakan persamaan k = f (x B) - f (x A) x B - x A atau k = f (x A) - f (x B) x A - x B , dan persamaannya harus ditulis sebagai y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) atau
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

Garis potong membagi grafik secara visual menjadi 3 bagian: di sebelah kiri titik A, dari A ke B, di sebelah kanan B. Gambar di bawah menunjukkan bahwa ada tiga garis potong yang dianggap berhimpitan, yaitu diatur dengan menggunakan a persamaan serupa.

Menurut definisinya, jelas bahwa garis lurus dan garis potongnya dalam hal ini bertepatan.

Garis potong dapat memotong grafik suatu fungsi tertentu beberapa kali. Jika terdapat persamaan berbentuk y = 0 untuk suatu garis potong, maka banyaknya titik potong dengan sinusoidal tersebut tidak terhingga.

Definisi 5

Bersinggungan dengan grafik fungsi f (x) di titik x 0 ; f (x 0) adalah garis lurus yang melalui suatu titik tertentu x 0; f (x 0), dengan adanya ruas yang mempunyai banyak nilai x mendekati x 0.

Contoh 1

Mari kita lihat lebih dekat contoh di bawah ini. Maka jelas bahwa garis yang didefinisikan oleh fungsi y = x + 1 dianggap bersinggungan dengan y = 2 x di titik yang koordinatnya (1; 2). Untuk lebih jelasnya, perlu diperhatikan grafik yang nilainya mendekati (1; 2). Fungsi y = 2 x ditampilkan dalam warna hitam, garis biru adalah garis singgung, dan titik merah adalah titik potongnya.

Jelasnya, y = 2 x menyatu dengan garis y = x + 1.

Untuk menentukan garis singgung, kita harus mempertimbangkan perilaku garis singgung A B ketika titik B mendekati titik A tanpa batas. Untuk lebih jelasnya, kami sajikan sebuah gambar.

Garis potong A B yang ditunjukkan dengan garis biru cenderung ke posisi garis singgung itu sendiri, dan sudut kemiringan garis potong α akan mulai cenderung ke sudut kemiringan garis singgung itu sendiri α x.

Definisi 6

Garis singgung grafik fungsi y = f (x) di titik A dianggap sebagai posisi batas garis potong A B karena B cenderung ke A, yaitu B → A.

Sekarang mari kita beralih ke arti geometri turunan suatu fungsi di suatu titik.

Mari kita lanjutkan dengan mempertimbangkan garis potong A B untuk fungsi f (x), di mana A dan B dengan koordinat x 0, f (x 0) dan x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x), dan ∆ x adalah dilambangkan sebagai pertambahan argumen. Sekarang fungsinya akan berbentuk ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Agar lebih jelas, mari kita beri contoh gambarnya.

Mari kita lihat hasilnya segitiga siku-siku A B C. Kita menggunakan definisi tangen untuk menyelesaikannya, yaitu kita memperoleh relasi ∆ y ∆ x = t g α . Dari definisi garis singgung dapat disimpulkan bahwa lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . Menurut aturan turunan di suatu titik, kita mendapatkan bahwa turunan f (x) di titik x 0 disebut limit rasio kenaikan fungsi dengan kenaikan argumen, di mana ∆ x → 0 , maka kita nyatakan sebagai f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

Oleh karena itu f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, dimana k x dinotasikan sebagai kemiringan garis singgung.

Artinya, kita menemukan bahwa f '(x) dapat ada di titik x 0, dan seperti garis singgung grafik fungsi tertentu di titik singgung sama dengan x 0, f 0 (x 0), di mana nilai kemiringan garis singgung di titik tersebut sama dengan turunan di titik x 0 . Kemudian kita mendapatkan bahwa k x = f " (x 0) .

Arti geometri turunan suatu fungsi di suatu titik adalah memberikan konsep adanya garis singgung grafik di titik yang sama.

Untuk menuliskan persamaan garis lurus pada suatu bidang, diperlukan koefisien sudut dengan titik yang dilaluinya. Notasinya dianggap x 0 di persimpangan.

Persamaan garis singgung grafik fungsi y = f (x) di titik x 0, f 0 (x 0) berbentuk y = f"(x 0) x - x 0 + f (x 0).

Artinya nilai akhir turunan f" (x 0) dapat digunakan untuk menentukan kedudukan garis singgung, yaitu secara vertikal dengan syarat lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ dan lim x → x 0 - 0 f " (x ) = ∞ atau tidak ada sama sekali dengan syarat lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) .

Letak garis singgungnya bergantung pada nilai koefisien sudutnya k x = f" (x 0). Bila sejajar dengan sumbu o x diperoleh k k = 0, bila sejajar dengan sekitar y - k x = ∞, dan bentuk persamaan tangen x = x 0 bertambah jika k x > 0, berkurang jika k x< 0 .

Contoh 2

Buatlah persamaan garis singgung grafik fungsi y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 di titik dengan koordinat (1; 3) dan tentukan sudut kemiringannya.

Larutan

Dengan syarat, kita mendapatkan bahwa fungsi tersebut terdefinisi untuk semua bilangan real. Diketahui titik dengan koordinat yang ditentukan oleh kondisi (1; 3) adalah titik singgung, maka x 0 = - 1, f (x 0) = - 3.

Kita perlu mencari turunannya di titik yang bernilai - 1. Kami mengerti

y" = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Nilai f'(x) pada titik singgung adalah kemiringan garis singgung yang sama dengan kemiringan garis singgung tersebut.

Maka k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3

Oleh karena itu α x = a r c t g 3 3 = π 6

Menjawab: persamaan tangen mengambil bentuk

kamu = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) kamu = 3 3 (x + 1) - 3 kamu = 3 3 x - 9 - 3 3

Untuk lebih jelasnya, kami memberikan contoh dalam ilustrasi grafis.

Warna hitam digunakan untuk grafik fungsi asal, warna biru merupakan bayangan garis singgung, dan titik merah merupakan titik singgung. Gambar di sebelah kanan menunjukkan tampilan yang diperbesar.

Contoh 3

Tentukan keberadaan garis singgung grafik suatu fungsi tertentu
y = 3 · x - 1 5 + 1 di titik dengan koordinat (1 ; 1) . Tulis persamaan dan tentukan sudut kemiringannya.

Larutan

Dengan syarat, kita mendapatkan bahwa domain definisi suatu fungsi tertentu dianggap sebagai himpunan semua bilangan real.

Mari kita lanjutkan mencari turunannya

y" = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Jika x 0 = 1, maka f' (x) tidak terdefinisi, tetapi limitnya ditulis sebagai lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ dan lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞, artinya adanya garis singgung vertikal di titik (1; 1).

Menjawab: persamaannya akan berbentuk x = 1, dimana sudut kemiringannya sama dengan π 2.

Untuk lebih jelasnya, mari kita gambarkan secara grafis.

Contoh 4

Tentukan titik-titik pada grafik fungsi y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2, dimana

1. Tidak ada garis singgung;
2. Garis singgungnya sejajar dengan x;
3. Garis singgungnya sejajar dengan garis y = 8 5 x + 4.

Larutan

Perlu diperhatikan ruang lingkup definisinya. Dengan syarat, kita mendapatkan bahwa fungsi tersebut terdefinisi pada himpunan semua bilangan real. Kami memperluas modul dan menyelesaikan sistem dengan interval x ∈ - ∞ ; 2 dan [ - 2 ; + ∞) . Kami mengerti

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Fungsinya perlu dibedakan. Kami punya itu

kamu" = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Bila x = - 2, maka turunannya tidak ada karena batas satu sisinya tidak sama pada titik tersebut:

lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y " (x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Kita menghitung nilai fungsi di titik x = - 2, dari situ kita mendapatkannya

1. y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2 yaitu garis singgung di titik ( - 2; - 2) tidak akan ada.
2. Garis singgungnya sejajar dengan x jika kemiringannya nol. Maka k x = t g α x = f "(x 0). Artinya, nilai x tersebut perlu dicari ketika turunan fungsi mengubahnya menjadi nol. Artinya, nilai f ' (x) adalah titik singgung yang garis singgungnya sejajar dengan x .

Ketika x ∈ - ∞ ; - 2, maka - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0, dan untuk x ∈ (- 2; + ∞) kita mendapatkan 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

Hitung nilai fungsi yang sesuai

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Oleh karena itu - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 dianggap sebagai titik-titik yang diperlukan dari grafik fungsi.

Mari kita pertimbangkan gambar grafis solusi.

Garis hitam adalah grafik fungsi, titik merah adalah titik singgungnya.

1. Jika garis-garisnya sejajar, koefisien sudutnya sama. Kemudian Anda perlu mencari titik-titik pada grafik fungsi yang kemiringannya akan sama dengan nilai 8 5. Untuk melakukannya, Anda perlu menyelesaikan persamaan bentuk y "(x) = 8 5. Kemudian, jika x ∈ - ∞; - 2, kita peroleh - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, dan jika x ∈ ( - 2 ; + ∞), maka 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.

Persamaan pertama tidak mempunyai akar karena diskriminannya kurang dari nol. Mari kita tuliskan itu

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Persamaan lain mempunyai dua akar real

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

Mari kita lanjutkan mencari nilai fungsinya. Kami mengerti

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Poin dengan nilai - 1; 4 15, 5; 8 3 adalah titik-titik yang garis singgungnya sejajar dengan garis y = 8 5 x + 4.

Menjawab: garis hitam – grafik fungsi, garis merah – grafik y = 8 5 x + 4, garis biru – garis singgung di titik - 1; 4 15, 5; 8 3.

Mungkin terdapat jumlah garis singgung yang tak terhingga untuk suatu fungsi.

Contoh 5

Tuliskan persamaan semua garis singgung fungsi y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 yang letaknya tegak lurus terhadap garis lurus y = - 2 x + 1 2.

Larutan

Untuk menyusun persamaan garis singgung perlu dicari koefisien dan koordinat titik singgung berdasarkan syarat tegak lurus garis. Definisinya sebagai berikut: hasil kali koefisien sudut yang tegak lurus garis lurus sama dengan - 1, yaitu ditulis k x · k ⊥ = - 1. Dari syarat diperoleh koefisien sudut terletak tegak lurus garis dan sama dengan k ⊥ = - 2, maka k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2.

Sekarang Anda perlu mencari koordinat titik sentuh. Anda perlu mencari x dan kemudian nilainya untuk fungsi tertentu. Perhatikan dari arti geometri turunan pada suatu titik
x 0 kita peroleh bahwa k x = y"(x 0). Dari persamaan ini kita cari nilai x untuk titik-titik singgungnya.

Kami mengerti

y" (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

Ini persamaan trigonometri akan digunakan untuk menghitung ordinat titik singgung.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk atau 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk atau 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk atau x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z adalah himpunan bilangan bulat.

x titik kontak telah ditemukan. Sekarang Anda perlu melanjutkan mencari nilai y:

kamu 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 atau y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 atau y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 atau y 0 = - 4 5 + 1 3

Dari sini kita peroleh bahwa 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 adalah titik singgungnya.

Menjawab: persamaan yang diperlukan akan ditulis sebagai

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Untuk representasi visual, pertimbangkan fungsi dan garis singgung pada garis koordinat.

Gambar tersebut menunjukkan bahwa fungsi tersebut terletak pada interval [ - 10 ; 10 ], dimana garis hitam adalah grafik fungsi, garis biru adalah garis singgung yang terletak tegak lurus terhadap garis tertentu yang berbentuk y = - 2 x + 1 2. Titik merah adalah titik sentuh.

Persamaan kanonik kurva orde ke-2 bukanlah fungsi bernilai tunggal. Persamaan tangen untuk mereka disusun menurut skema yang diketahui.

Bersinggungan dengan lingkaran

Menentukan lingkaran yang berpusat di titik x c e n t e r ; y c e n t e r dan jari-jari R, terapkan rumus x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 .

Persamaan ini dapat ditulis sebagai gabungan dua fungsi:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

Fungsi pertama terletak di atas, dan fungsi kedua di bawah, seperti yang ditunjukkan pada gambar.

Untuk menyusun persamaan lingkaran di titik x 0; y 0 , yang terletak pada setengah lingkaran atas atau bawah, carilah persamaan grafik fungsi yang berbentuk y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r atau y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r pada titik yang ditunjukkan.

Ketika di titik x c e n t e r ; y c e n t e r + R dan x c e n t e r ; garis singgung y c e n t e r - R dapat diberikan dengan persamaan y = y c e n t e r + R dan y = y c e n t e r - R , dan di titik x c e n t e r + R ; y c e n t e r dan
x c e n t e r - R ; y c e n t e r akan sejajar dengan oy, maka diperoleh persamaan berbentuk x = x c e n t e r + R dan x = x c e n t e r - R .

Bersinggungan dengan elips

Jika elips mempunyai pusat di x pusat; y c e nter dengan titik tengah a dan b, maka dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan x - x c e nter 2 a 2 + y - y c e nter 2 b 2 = 1.

Elips dan lingkaran dapat dilambangkan dengan menggabungkan dua fungsi yaitu setengah elips atas dan setengah elips bawah. Lalu kita mendapatkannya

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Jika garis singgung terletak pada titik sudut elips, maka garis singgung tersebut sejajar terhadap x atau terhadap y. Di bawah ini, untuk lebih jelasnya, perhatikan gambarnya.

Contoh 6

Tuliskan persamaan garis singgung elips x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 di titik-titik yang nilai x sama dengan x = 2.

Larutan

Kita perlu mencari titik singgung yang sesuai dengan nilai x = 2. Kita substitusikan ke dalam persamaan elips yang ada dan temukan persamaan tersebut

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Lalu 2 ; 5 3 2 + 5 dan 2; - 5 3 2 + 5 adalah titik singgung setengah elips atas dan bawah.

Mari kita lanjutkan mencari dan menyelesaikan persamaan elips terhadap y. Kami mengerti

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 tahun = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Jelasnya, setengah elips atas ditentukan menggunakan fungsi bentuk y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2, dan setengah elips bawah y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2.

Mari kita terapkan algoritma standar untuk membuat persamaan garis singgung grafik fungsi di suatu titik. Mari kita tulis persamaan garis singgung pertama di titik 2; 5 3 2 + 5 akan terlihat seperti

y" = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ kamu = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Kita temukan persamaan garis singgung kedua dengan nilai di titik tersebut
2 ; - 5 3 2 + 5 berbentuk

y" = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + kamu 0 ⇔ kamu = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Secara grafis, garis singgung ditetapkan sebagai berikut:

Bersinggungan dengan hiperbola

Jika suatu hiperbola berpusat di titik x c e n t e r ; y pusat dan simpul x pusat + α ; y c e n t e r dan x c e n t e r - α ; y c e nter , pertidaksamaan x - x c e nter 2 α 2 - y - y c e nter 2 b 2 = 1 terjadi, jika dengan simpul x c e nter ; y c e n t e r + b dan x c e n t e r ; y c e n t e r - b , maka ditentukan menggunakan pertidaksamaan x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .

Hiperbola dapat direpresentasikan sebagai dua fungsi gabungan dari bentuk tersebut

y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r atau y = ba · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r y = - ba · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r

Dalam kasus pertama kita mendapatkan bahwa garis singgungnya sejajar dengan y, dan dalam kasus kedua garis singgungnya sejajar dengan x.

Oleh karena itu, untuk mencari persamaan garis singgung suatu hiperbola, perlu diketahui fungsi titik singgung tersebut. Untuk menentukannya, perlu dilakukan substitusi ke dalam persamaan dan diperiksa identitasnya.

Contoh 7

Tuliskan persamaan garis singgung hiperbola x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 di titik 7; - 3 3 - 3 .

Larutan

Catatan solusi untuk mencari hiperbola perlu diubah menggunakan 2 fungsi. Kami mengerti

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 dan y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Penting untuk mengidentifikasi fungsi mana yang dimilikinya titik setel dengan koordinat 7; - 3 3 - 3 .

Tentunya untuk memeriksa fungsi pertama diperlukan y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, maka titik tersebut tidak termasuk dalam grafik, karena kesetaraan tidak berlaku.

Untuk fungsi kedua kita mendapatkan y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, artinya titik tersebut termasuk dalam grafik yang diberikan. Dari sini Anda akan menemukan kemiringannya.

Kami mengerti

y" = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Menjawab: persamaan tangen dapat direpresentasikan sebagai

kamu = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Digambarkan dengan jelas seperti ini:

Bersinggungan dengan parabola

Untuk membuat persamaan garis singgung parabola y = a x 2 + b x + c di titik x 0, y (x 0), harus menggunakan algoritma standar, maka persamaan tersebut akan berbentuk y = y” (x 0) x - x 0 + y ( x 0). Garis singgung pada titik tersebut sejajar dengan x.

Anda harus mendefinisikan parabola x = a y 2 + b y + c sebagai gabungan dua fungsi. Oleh karena itu, kita perlu menyelesaikan persamaan y. Kami mengerti

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Digambarkan secara grafis sebagai:

Untuk mengetahui apakah suatu titik x 0, y (x 0) termasuk dalam suatu fungsi, lanjutkan secara perlahan sesuai dengan algoritma standar. Garis singgung tersebut akan sejajar dengan oy relatif terhadap parabola.

Contoh 8

Tuliskan persamaan garis singgung grafik x - 2 y 2 - 5 y + 3 jika sudut singgungnya adalah 150°.

Larutan

Kita memulai penyelesaiannya dengan merepresentasikan parabola sebagai dua fungsi. Kami mengerti

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8x - 4

Nilai kemiringan sama dengan nilai turunan di titik x 0 fungsi tersebut dan sama dengan garis singgung sudut kemiringan.

Kami mendapatkan:

k x = y"(x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3

Dari sini kita menentukan nilai x untuk titik kontak.

Fungsi pertama akan ditulis sebagai

y" = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Jelasnya, tidak ada akar real, karena kita mendapat nilai negatif. Kami menyimpulkan bahwa tidak ada garis singgung dengan sudut 150° untuk fungsi seperti itu.

Fungsi kedua akan ditulis sebagai

y" = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Kita mengetahui bahwa titik kontaknya adalah 23 4 ; - 5 + 3 4 .

Menjawab: persamaan tangen mengambil bentuk

kamu = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Mari kita gambarkan secara grafis seperti ini:

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, sorot teks tersebut dan tekan Ctrl+Enter

Apa itu turunan?
Pengertian dan Arti Turunan Fungsi

Banyak yang akan terkejut dengan penempatan artikel ini yang tidak terduga dalam kursus penulis saya tentang turunan fungsi dari satu variabel dan penerapannya. Memang, seperti yang terjadi sejak masa sekolah: buku teks standar pertama-tama memberikan definisi turunan, makna geometris dan mekanisnya. Selanjutnya siswa mencari turunan fungsi menurut definisinya, dan baru kemudian menyempurnakan teknik diferensiasi yang digunakan tabel turunan.

Namun menurut saya, pendekatan berikut ini lebih pragmatis: pertama-tama, disarankan untuk MEMAHAMI DENGAN BAIK batas suatu fungsi, dan, khususnya, jumlah yang sangat kecil. Intinya adalah itu pengertian turunan didasarkan pada konsep limit, yang dianggap buruk kursus sekolah. Itulah sebabnya sebagian besar konsumen muda granit pengetahuan tidak memahami esensi turunannya. Jadi, jika Anda memiliki sedikit pemahaman tentang kalkulus diferensial atau otak yang bijaksana telah berhasil menyingkirkan beban ini selama bertahun-tahun, silakan mulai dengan batas fungsi. Pada saat yang sama, kuasai/ingat solusi mereka.

Arti praktis yang sama menyatakan bahwa hal ini menguntungkan terlebih dahulu belajar mencari turunan, termasuk turunan dari fungsi kompleks. Teori tetaplah teori, tetapi seperti kata pepatah, Anda selalu ingin membedakannya. Dalam hal ini, lebih baik mempelajari pelajaran dasar yang tercantum, dan mungkin ahli diferensiasi tanpa menyadari inti dari tindakan mereka.

Saya sarankan memulai dengan materi di halaman ini setelah membaca artikel. Masalah paling sederhana dengan turunan, di mana, khususnya, masalah garis singgung grafik suatu fungsi dipertimbangkan. Tapi Anda bisa menunggu. Faktanya adalah banyak penerapan turunan yang tidak memerlukan pemahaman, dan hal ini tidak mengherankan pelajaran teori muncul cukup terlambat - ketika saya perlu menjelaskan menemukan interval naik/turun dan ekstrem fungsi. Apalagi dia sudah membahas topik itu cukup lama. Fungsi dan grafik”, hingga akhirnya saya memutuskan untuk memasangnya lebih awal.

Oleh karena itu teko sayang, jangan buru-buru menyerap sari turunannya seperti hewan lapar, karena rasa kenyangnya akan terasa hambar dan tidak lengkap.

Konsep kenaikan, penurunan, maksimum, minimum suatu fungsi

Banyak alat peraga mengarah pada konsep turunan menggunakan beberapa masalah praktis, dan saya juga memberikan contoh menarik. Bayangkan kita akan melakukan perjalanan ke kota yang dapat dicapai dengan berbagai cara. Mari kita segera membuang jalur berkelok-kelok dan hanya mempertimbangkan jalan raya yang lurus. Namun, petunjuk arah garis lurus juga berbeda: Anda dapat mencapai kota melalui jalan raya yang datar. Atau di sepanjang jalan raya yang berbukit - naik turun, naik turun. Jalan lainnya hanya menanjak, dan jalan lainnya selalu menurun. Penggemar olahraga ekstrem akan memilih rute melalui jurang dengan tebing terjal dan tanjakan terjal.

Namun apa pun preferensi Anda, disarankan untuk mengetahui area tersebut atau setidaknya menemukannya peta topografi. Bagaimana jika informasi tersebut hilang? Lagi pula, Anda dapat memilih, misalnya, jalan yang mulus, tetapi sebagai hasilnya Anda akan menemukan lereng ski dengan orang Finlandia yang ceria. Bukan fakta bahwa navigator atau bahkan citra satelit akan memberikan data yang dapat diandalkan. Oleh karena itu, alangkah baiknya memformalkan relief jalan tersebut dengan menggunakan matematika.

Mari kita lihat beberapa jalan (tampilan samping):

Untuk berjaga-jaga, saya mengingatkan Anda tentang fakta dasar: perjalanan terjadi dari kiri ke kanan. Untuk mempermudah, kita asumsikan bahwa fungsinya kontinu di area yang sedang dipertimbangkan.

Apa sajakah ciri-ciri grafik ini?

Secara berkala fungsi meningkat, yaitu, setiap nilai berikutnya lagi yang sebelumnya. Secara kasar, jadwalnya sudah aktif dari bawah ke atas(kami mendaki bukit). Dan pada interval fungsinya berkurang– setiap nilai berikutnya lebih sedikit sebelumnya, dan jadwal kami aktif dari atas ke bawah(kita menuruni lereng).

Mari kita perhatikan juga poin-poin khusus. Pada titik yang kita capai maksimum, itu ada bagian jalur yang nilainya akan menjadi yang terbesar (tertinggi). Pada titik yang sama hal itu tercapai minimum, Dan ada lingkungannya yang nilainya paling kecil (terendah).

Kita akan melihat terminologi dan definisi yang lebih ketat di kelas. tentang ekstrem dari fungsi tersebut, tapi untuk saat ini mari kita pelajari satu lagi fitur penting: secara berkala fungsinya meningkat, tetapi meningkat pada kecepatan yang berbeda. Dan hal pertama yang menarik perhatian Anda adalah grafiknya melonjak selama interval jauh lebih keren, dibandingkan pada interval . Mungkinkah mengukur kecuraman jalan menggunakan alat matematika?

Tingkat perubahan fungsi

Idenya adalah ini: mari kita ambil nilai (baca "delta x"), yang akan kami panggil peningkatan argumen, dan mari kita mulai “mencobanya” ke berbagai titik di jalur kita:

1) Mari kita lihat titik paling kiri: melewati jarak, kita mendaki lereng hingga ketinggian (garis hijau). Besarannya disebut peningkatan fungsi, dan dalam hal ini kenaikan ini positif (perbedaan nilai sepanjang sumbu lebih besar dari nol). Mari kita buat rasio yang akan menjadi ukuran kecuraman jalan kita. Jelas sekali, ini adalah angka yang sangat spesifik, dan karena kedua kenaikannya positif, maka .

Perhatian! Sebutannya adalah SATU simbol, yaitu, Anda tidak dapat "melepaskan" "delta" dari "X" dan mempertimbangkan huruf-huruf ini secara terpisah. Tentu saja komentar tersebut juga menyangkut simbol kenaikan fungsi.

Mari kita telusuri sifat pecahan yang dihasilkan dengan lebih bermakna. Mari kita awalnya berada di ketinggian 20 meter (di titik hitam kiri). Setelah menempuh jarak beberapa meter (garis merah kiri), kita akan berada di ketinggian 60 meter. Maka kenaikan fungsinya adalah meter (garis hijau) dan: . Dengan demikian, pada setiap meter bagian jalan ini tinggi badan bertambah rata-rata sejauh 4 meter...lupa perlengkapan pendakianmu? =) Dengan kata lain, hubungan yang dibangun mencirikan TINGKAT PERUBAHAN RATA-RATA (dalam hal ini, pertumbuhan) dari fungsi tersebut.

Catatan : nilai numerik Contoh yang dipertimbangkan hanya sesuai dengan proporsi gambar kira-kira.

2) Sekarang mari kita menempuh jarak yang sama dari titik hitam paling kanan. Di sini kenaikannya lebih bertahap, sehingga kenaikannya (garis merah) relatif kecil, dan rasionya dibandingkan kasus sebelumnya akan sangat kecil. Secara relatif, meter dan tingkat pertumbuhan fungsi adalah . Artinya, di sini ada untuk setiap meter jalan rata-rata kenaikan setengah meter.

3) Sedikit petualangan di lereng gunung. Mari kita lihat titik hitam atas yang terletak pada sumbu ordinat. Anggap saja ini adalah tanda 50 meter. Kami mengatasi jarak itu lagi, akibatnya kami mendapati diri kami lebih rendah - di ketinggian 30 meter. Sejak gerakan itu dilakukan dari atas ke bawah(dalam arah “berlawanan” sumbu), lalu yang terakhir kenaikan fungsi (tinggi) akan negatif: meter (segmen coklat pada gambar). Dan dalam hal ini kita sudah membicarakannya tingkat penurunan Fitur: , yaitu, untuk setiap meter lintasan pada bagian ini, ketinggiannya berkurang rata-rata sebesar 2 meter. Jagalah pakaian Anda pada poin kelima.

Sekarang mari kita bertanya pada diri sendiri: nilai “standar pengukuran” apa yang terbaik untuk digunakan? Dapat dimengerti sepenuhnya, 10 meter itu sangat kasar. Selusin gundukan yang bagus dapat dengan mudah dipasang di atasnya. Tidak peduli gundukan apa pun, mungkin ada jurang yang dalam di bawahnya, dan setelah beberapa meter ada sisi lainnya dengan tanjakan yang lebih curam. Jadi, dengan jarak sepuluh meter kita tidak akan mendapatkan gambaran yang jelas tentang bagian jalan yang melalui rasio tersebut.

Dari pembahasan di atas diperoleh kesimpulan sebagai berikut: Bagaimana nilainya lebih sedikit , semakin akurat kami menggambarkan topografi jalan. Selain itu, fakta-fakta berikut ini benar adanya:

– Untuk siapa pun poin pengangkatan Anda dapat memilih nilai (meskipun sangat kecil) yang sesuai dengan batas kenaikan tertentu. Ini berarti bahwa pertambahan tinggi yang bersesuaian dijamin positif, dan pertidaksamaan akan menunjukkan pertumbuhan fungsi di setiap titik pada interval ini dengan tepat.

- Juga, untuk apa pun titik kemiringan ada nilai yang sesuai sepenuhnya pada kemiringan ini. Akibatnya, pertambahan tinggi yang bersesuaian jelas negatif, dan pertidaksamaan akan menunjukkan penurunan fungsi di setiap titik pada interval tertentu.

– Kasus yang sangat menarik adalah ketika laju perubahan fungsi adalah nol: . Pertama, kenaikan ketinggian nol () adalah tanda jalan mulus. Dan kedua, ada situasi menarik lainnya, contohnya dapat Anda lihat pada gambar. Bayangkan nasib telah membawa kita ke puncak bukit dengan elang yang terbang tinggi atau dasar jurang dengan katak yang berkokok. Jika Anda mengambil langkah kecil ke segala arah, perubahan ketinggian dapat diabaikan, dan kita dapat mengatakan bahwa laju perubahan fungsi sebenarnya adalah nol. Ini persis seperti gambaran yang terlihat pada titik-titik tersebut.

Oleh karena itu, kita mempunyai peluang luar biasa untuk secara akurat mengkarakterisasi laju perubahan suatu fungsi. Bagaimanapun, analisis matematis memungkinkan untuk mengarahkan kenaikan argumen ke nol: , yaitu membuatnya kecil sekali.

Akibatnya, muncul pertanyaan logis lainnya: apakah mungkin menemukan jalan dan jadwalnya fungsi lain, yang akan memberi tahu kami tentang semua bagian datar, tanjakan, turunan, puncak, lembah, serta laju pertumbuhan/penurunan di setiap titik sepanjang perjalanan?

Apa itu turunan? Definisi turunan.
Arti geometris turunan dan diferensial

Harap baca dengan cermat dan jangan terlalu cepat - materinya sederhana dan dapat diakses oleh semua orang! Tidak apa-apa jika di beberapa tempat ada sesuatu yang tidak begitu jelas, Anda selalu dapat kembali ke artikelnya nanti. Saya akan mengatakan lebih banyak, akan berguna untuk mempelajari teori beberapa kali untuk memahami semua poin secara menyeluruh (nasihat ini sangat relevan untuk siswa “teknisi” yang memiliki matematika yang lebih tinggi memainkan peran penting dalam proses pendidikan).

Tentu saja, dalam definisi turunan pada suatu titik kita menggantinya dengan:

Apa yang telah kita capai? Dan kami sampai pada kesimpulan bahwa untuk fungsinya sesuai undang-undang sudah sesuai fungsi lainnya, yang disebut fungsi turunan(atau hanya turunan).

Derivatifnya mencirikan tingkat perubahan fungsi Bagaimana? Idenya berjalan seperti benang merah sejak awal artikel. Mari kita pertimbangkan beberapa hal domain definisi fungsi Biarkan fungsi tersebut terdiferensiasi pada suatu titik tertentu. Kemudian:

1) Jika , maka fungsinya bertambah di titik . Dan jelas ada selang(bahkan yang sangat kecil), berisi titik di mana fungsi tersebut bertambah, dan grafiknya bergerak “dari bawah ke atas”.

2) Jika , maka fungsinya berkurang di titik . Dan ada interval yang berisi titik di mana fungsinya menurun (grafiknya “dari atas ke bawah”).

3) Jika , maka sangat dekat di dekat suatu titik, fungsi tersebut mempertahankan kecepatannya konstan. Hal ini terjadi, sebagaimana dicatat, dengan fungsi konstan dan pada titik-titik kritis fungsi, secara khusus pada titik minimum dan maksimum.

Sedikit semantik. Apa arti kata kerja “membedakan” dalam arti luas? Membedakan berarti menonjolkan suatu ciri. Dengan mendiferensiasikan suatu fungsi, kita “mengisolasi” laju perubahannya dalam bentuk turunan fungsi tersebut. Ngomong-ngomong, apa yang dimaksud dengan kata “turunan”? Fungsi telah terjadi dari fungsi.

Istilah-istilah tersebut sangat berhasil ditafsirkan oleh makna mekanis turunannya :
Mari kita perhatikan hukum perubahan koordinat suatu benda, bergantung pada waktu, dan fungsi kecepatan gerak suatu benda. Fungsi tersebut mencirikan laju perubahan koordinat benda, oleh karena itu merupakan turunan pertama fungsi tersebut terhadap waktu: . Jika konsep “gerakan tubuh” tidak ada di alam, maka tidak akan ada turunan konsep "kecepatan tubuh".

Percepatan suatu benda adalah laju perubahan kecepatan, oleh karena itu: . Jika konsep awal “gerakan benda” dan “kecepatan benda” tidak ada di alam, maka tidak akan ada turunan konsep "percepatan benda".

Untuk mengetahui nilai geometri turunannya, perhatikan grafik fungsi y = f(x). Mari kita ambil titik M dengan koordinat (x, y) dan titik N di dekatnya (x + $\Delta $x, y + $\Delta $y). Mari kita menggambar ordinat $\overline(M_(1) M)$ dan $\overline(N_(1) N)$, dan dari titik M - garis lurus yang sejajar dengan sumbu OX.

Rasio $\frac(\Delta y)(\Delta x) $ adalah garis singgung sudut $\alpha $1 yang dibentuk oleh garis potong MN dengan arah positif sumbu OX. Karena $\Delta $x cenderung nol, titik N akan mendekati M, dan posisi batas garis potong MN akan menjadi garis singgung MT terhadap kurva di titik M. Jadi, turunan f`(x) sama dengan garis singgung dari sudut $\alpha $ yang dibentuk oleh garis singgung kurva di titik M (x, y) dengan arah positif terhadap sumbu OX - kemiringan garis singgung (Gbr. 1).

Gambar 1. Grafik fungsi

Saat menghitung nilai menggunakan rumus (1), penting untuk tidak membuat kesalahan dalam tanda, karena kenaikannya juga bisa negatif.

Titik N yang terletak pada suatu kurva dapat cenderung ke M dari sisi manapun. Jadi, jika pada Gambar 1 garis singgung diberikan arah yang berlawanan, sudut $\alpha $ akan berubah sebesar $\pi $, yang secara signifikan akan mempengaruhi garis singgung sudut dan, dengan demikian, koefisien sudut.

Kesimpulan

Oleh karena itu, keberadaan turunan dikaitkan dengan keberadaan garis singgung kurva y = f(x), dan koefisien sudut - tg $\alpha $ = f`(x) berhingga. Oleh karena itu, garis singgung tidak boleh sejajar dengan sumbu OY, jika tidak $\alpha $ = $\pi $/2, dan garis singgung sudut akan menjadi tak terhingga.

Di beberapa titik, kurva kontinu mungkin tidak bersinggungan atau memiliki garis singgung yang sejajar dengan sumbu OY (Gbr. 2). Maka fungsi tersebut tidak boleh memiliki turunan pada nilai-nilai tersebut. Terdapat sejumlah titik serupa pada kurva fungsi.

Gambar 2. Titik-titik luar biasa pada kurva

Perhatikan Gambar 2. Misalkan $\Delta $x cenderung nol dari nilai negatif atau positif:

\[\Delta x\ke -0\begin(array)(cc) () & (\Delta x\to +0) \end(array)\]

Jika dalam hal ini relasi (1) mempunyai limit akhir, maka dinotasikan sebagai:

Dalam kasus pertama, turunannya ada di sebelah kiri, dalam kasus kedua, turunannya ada di sebelah kanan.

Adanya suatu limit menunjukkan kesetaraan dan persamaan turunan kiri dan kanan:

Jika turunan kiri dan kanan tidak sama, maka pada suatu titik terdapat garis singgung yang tidak sejajar dengan OY (titik M1, Gambar 2). Di titik M2, M3, hubungan (1) cenderung tak terhingga.

Untuk titik N di sebelah kiri M2, $\Delta $x $

Di sebelah kanan $M_2$, $\Delta $x $>$ 0, tetapi ekspresinya juga f(x + $\Delta $x) -- f(x) $

Untuk titik $M_3$ di sebelah kiri, $\Delta $x $$ 0 dan f(x + $\Delta $x) -- f(x) $>$ 0, mis. ekspresi (1) di kiri dan kanan adalah positif dan cenderung +$\infty $ keduanya saat $\Delta $x mendekati -0 dan +0.

Kasus tidak adanya turunan pada titik tertentu pada garis (x = c) disajikan pada Gambar 3.

Gambar 3. Tidak ada turunan

Contoh 1

Gambar 4 menunjukkan grafik fungsi dan garis singgung grafik di titik absis $x_0$. Temukan nilai turunan fungsi dalam absis.

Larutan. Turunan suatu titik sama dengan rasio pertambahan fungsi terhadap pertambahan argumen. Mari kita pilih dua titik pada garis singgung dengan koordinat bilangan bulat. Misalkan, ini adalah titik F (-3.2) dan C (-2.4).