Masukkan fungsi yang ingin Anda cari integralnya
Kalkulator menyediakan SOLUSI RINCI integral tertentu.
Kalkulator ini menemukan solusi integral tertentu dari fungsi f(x) dengan batas atas dan batas bawah yang ditentukan.
Contoh
Menggunakan gelar
(persegi dan kubus) dan pecahan
(x^2 - 1)/(x^3 + 1)
Akar kuadrat
Kuadrat(x)/(x + 1)
Akar pangkat tiga
Cbrt(x)/(3*x + 2)
Menggunakan sinus dan cosinus
2*dosa(x)*cos(x)
arcsinus
X*arcsin(x)
busur kosinus
X*arcos(x)
Penerapan logaritma
X*log(x, 10)
Logaritma natural
Eksponen
Tg(x)*dosa(x)
Kotangens
Ctg(x)*karena(x)
Pecahan irasional
(akar(x) - 1)/akar(x^2 - x - 1)
Garis singgung busur
X*arctg(x)
Kotangen busur
X*arсctg(x)
Sinus dan kosinus hiperbolik
2*sh(x)*ch(x)
Garis singgung hiperbolik dan kotangen
Ctgh(x)/tgh(x)
Arcsinus dan arccosine hiperbolik
X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)
Arctangen hiperbolik dan arckotangen
X^2*arctgh(x)*arctgh(x)
Aturan untuk memasukkan ekspresi dan fungsi
Ekspresi dapat terdiri dari fungsi (notasi diberikan dalam urutan abjad): mutlak(x) Nilai mutlak X
(modul X atau |x|)
arccos(x) Fungsi - arc cosinus dari X arccosh(x) Arc cosinus hiperbolik dari X busursin(x) Arcsinus dari X busur(x) Arcsinus hiperbolik dari X arctan(x) Fungsi - tangen busur dari X arctgh(x) Hiperbolik arctangen dari X e e angka yang kira-kira sama dengan 2,7 pengalaman(x) Fungsi - eksponen dari X(yang e^X)
catatan(x) atau dalam(x) Logaritma natural dari X
(Untuk mendapatkan catatan7(x), Anda harus memasukkan log(x)/log(7) (atau, misalnya, untuk log10(x)=log(x)/log(10)) pi Angkanya adalah "Pi", yang kira-kira sama dengan 3,14 dosa(x) Fungsi - Sinus dari X karena(x) Fungsi - Kosinus dari X sinh(x) Fungsi - Sinus hiperbolik dari X cosh(x) Fungsi - kosinus hiperbolik dari X persegi(x) Fungsi - akar kuadrat dari X persegi(x) atau x^2 Fungsinya adalah persegi X berjemur(x) Fungsinya bersinggungan dengan X tgh(x) Fungsi - Garis singgung hiperbolik dari X cbrt(x) Fungsi - akar pangkat tiga dari X
Operasi berikut dapat digunakan dalam ekspresi: Bilangan nyata masukkan sebagai 7.5
, Bukan 7,5
2*x- perkalian 3/x- pembagian x^3- eksponensial x+7- tambahan x - 6- pengurangan
Fitur lainnya: lantai(x) Fungsi - pembulatan X ke bawah (contoh lantai(4.5)==4.0) langit-langit(x) Fungsi - pembulatan X ke atas (contoh plafon(4.5)==5.0) tanda(x) Fungsi - Tanda tangan X erf(x) Fungsi kesalahan (atau integral probabilitas) tempat(x) Fungsi Laplace
Mari kita beralih ke penerapan kalkulus integral. Dalam pelajaran ini kita akan menganalisis tugas yang umum dan paling umum menghitung luas bangun datar dengan menggunakan integral tertentu. Akhirnya, biarkan semua orang yang mencari makna dalam matematika tingkat tinggi menemukannya. Anda tidak pernah tahu. Dalam kehidupan nyata, Anda harus memperkirakan plot dacha menggunakan fungsi dasar dan mencari luasnya menggunakan integral tertentu.
Agar berhasil menguasai materi, Anda harus:
1) Memahami integral tak tentu setidaknya pada tingkat rata-rata. Oleh karena itu, orang bodoh harus membaca pelajarannya terlebih dahulu Bukan.
2) Mampu menerapkan rumus Newton-Leibniz dan menghitung integral tentu. Anda dapat menjalin hubungan persahabatan yang hangat dengan integral tertentu di halaman Integral pasti. Contoh solusi. Tugas “menghitung luas menggunakan integral tertentu” selalu melibatkan pembuatan gambar, jadi pengetahuan dan keterampilan menggambar Anda juga akan menjadi isu yang relevan. Minimal Anda harus bisa membuat garis lurus, parabola, dan hiperbola.
Mari kita mulai dengan trapesium melengkung. Trapesium lengkung adalah bangun datar yang dibatasi oleh grafik suatu fungsi kamu = F(X), sumbu SAPI dan garis X = A; X = B.
Luas trapesium lengkung secara numerik sama dengan integral tertentu
Setiap integral tertentu (yang ada) mempunyai arti geometri yang sangat baik. Di kelas Integral pasti. Contoh solusi kita telah mengatakan bahwa integral tertentu adalah suatu bilangan. Dan sekarang saatnya menyatakan fakta bermanfaat lainnya. Dari sudut pandang geometri, integral tentu adalah AREA. Yaitu, integral tertentu (jika ada) secara geometris bersesuaian dengan luas suatu bangun tertentu. Pertimbangkan integral tertentu
Integrasi
mendefinisikan kurva pada bidang (dapat digambar jika diinginkan), dan integral tertentu itu sendiri secara numerik sama dengan luas trapesium lengkung yang bersangkutan.
Contoh 1
, , , .
Ini adalah pernyataan tugas yang khas. Poin terpenting dalam pengambilan keputusan adalah konstruksi gambar. Selain itu, gambarnya harus dibuat BENAR.
Saat membuat gambar, saya merekomendasikan urutan berikut: pada awalnya lebih baik membuat semua garis lurus (jika ada) dan hanya Kemudian– parabola, hiperbola, grafik fungsi lainnya. Teknik konstruksi titik demi titik dapat ditemukan di bahan referensi Grafik dan properti fungsi dasar . Di sana Anda juga dapat menemukan materi yang sangat berguna untuk pelajaran kita - cara cepat membuat parabola.
Dalam masalah ini, solusinya mungkin terlihat seperti ini.
Mari kita menggambar (perhatikan persamaannya kamu= 0 menentukan sumbu SAPI):
Kami tidak akan membuat bayangan trapesium melengkung; di sini jelas area mana yang sedang kita bicarakan. Solusinya berlanjut seperti ini:
Di segmen [-2; 1] grafik fungsi kamu = X 2 + 2 terletak di atas sumbuSAPI, Itu sebabnya:
Menjawab: .
Yang mengalami kesulitan dalam menghitung integral tentu dan menerapkan rumus Newton-Leibniz
,
merujuk pada kuliah Integral pasti. Contoh solusi. Setelah tugas selesai, selalu berguna untuk melihat gambarnya dan mencari tahu apakah jawabannya nyata. Dalam hal ini, kita menghitung jumlah sel dalam gambar "dengan mata" - yah, akan ada sekitar 9, yang tampaknya benar. Sangat jelas bahwa jika kita mendapat, katakanlah, jawabannya: 20 unit persegi, maka jelas ada kesalahan yang terjadi di suatu tempat - 20 sel jelas tidak sesuai dengan gambar yang dimaksud, paling banyak selusin. Jika jawabannya negatif, maka tugas tersebut juga diselesaikan dengan salah.
Contoh 2
Hitung luas gambar tersebut, dibatasi oleh garis xy = 4, X = 2, X= 4 dan sumbu SAPI.
Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.
Apa yang harus dilakukan jika ada trapesium melengkung di bawah porosSAPI?
Contoh 3
Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis kamu = mantan, X= 1 dan sumbu koordinat.
Solusi: Mari kita membuat gambar:
Jika trapesium melengkung sepenuhnya terletak di bawah sumbu SAPI , maka luasnya dapat dicari dengan rumus:
Dalam hal ini:
.
Perhatian! Kedua jenis tugas ini tidak boleh disamakan:
1) Jika diminta menyelesaikan integral tertentu saja tanpa integral tertentu makna geometris, maka itu bisa menjadi negatif.
2) Jika diminta mencari luas suatu bangun dengan menggunakan integral tertentu, maka luasnya selalu positif! Itu sebabnya minus muncul pada rumus yang baru saja dibahas.
Dalam praktiknya, paling sering gambar tersebut terletak di setengah bidang atas dan bawah, dan oleh karena itu, dari soal sekolah yang paling sederhana, kita beralih ke contoh yang lebih bermakna.
Contoh 4
Temukan luas bangun datar yang dibatasi oleh garis kamu = 2X – X 2 , kamu = -X.
Solusi: Pertama, Anda perlu membuat gambar. Saat membuat gambar dalam soal luas, kita paling tertarik pada titik potong garis. Mari kita cari titik potong parabola kamu = 2X – X 2 dan lurus kamu = -X. Hal ini dapat dilakukan dengan dua cara. Metode pertama adalah analitis. Kami memecahkan persamaan:
Artinya batas bawah integrasi A= 0, batas atas integrasi B= 3. Seringkali lebih menguntungkan dan lebih cepat untuk membuat garis titik demi titik, dan batas integrasi menjadi jelas “dengan sendirinya”. Namun demikian, metode analitis untuk mencari limit terkadang masih harus digunakan jika, misalnya, grafiknya cukup besar, atau konstruksi detailnya tidak mengungkapkan limit integrasi (bisa berupa pecahan atau irasional). Mari kita kembali ke tugas kita: lebih rasional untuk membuat garis lurus terlebih dahulu, baru kemudian parabola. Mari kita membuat gambarnya:
Mari kita ulangi bahwa ketika membangun secara pointwise, batas integrasi paling sering ditentukan “secara otomatis”.
Dan sekarang rumus kerjanya:
Jika pada segmen [ A; B] beberapa fungsi berkelanjutan F(X) lebih besar atau sama dengan beberapa fungsi berkelanjutan G(X), maka luas bangun yang bersesuaian dapat dicari dengan menggunakan rumus:
Di sini Anda tidak perlu lagi memikirkan di mana letak gambar - di atas sumbu atau di bawah sumbu, tetapi yang penting grafik mana yang LEBIH TINGGI(relatif terhadap grafik lain), dan mana yang DI BAWAH.
Pada contoh yang dibahas, terlihat jelas bahwa pada ruas parabola terletak di atas garis lurus, oleh karena itu dari 2 X – X 2 harus dikurangi – X.
Solusi lengkapnya mungkin terlihat seperti ini:
Angka yang diinginkan dibatasi oleh parabola kamu = 2X – X 2 di atas dan lurus kamu = -X di bawah.
Di segmen 2 X – X 2 ≥ -X. Menurut rumus yang sesuai:
Menjawab: .
Nyatanya, rumus sekolah untuk luas trapesium lengkung pada setengah bidang bawah (lihat contoh No. 3) – kasus khusus dari rumus
.
Karena porosnya SAPI diberikan oleh persamaan kamu= 0, dan grafik fungsinya G(X) terletak di bawah sumbu SAPI, Itu
.
Dan sekarang beberapa contoh untuk solusi Anda sendiri
Contoh 5
Contoh 6
Temukan luas bangun yang dibatasi oleh garis
Saat menyelesaikan soal penghitungan luas menggunakan integral tertentu, terkadang terjadi kejadian lucu. Gambarnya dibuat dengan benar, perhitungannya benar, tetapi karena kecerobohan... Ditemukan luas gambar yang salah.
Contoh 7
Pertama mari kita buat gambarnya:
Gambar yang luasnya perlu kita cari diberi warna biru(perhatikan baik-baik kondisinya - betapa terbatasnya angka tersebut!). Namun dalam praktiknya, karena kurangnya perhatian, orang sering kali memutuskan untuk mencari luas bangun yang diarsir warna hijau!
Contoh ini juga berguna karena menghitung luas suatu bangun menggunakan dua integral tertentu. Benar-benar:
1) Pada segmen [-1; 1] di atas sumbu SAPI grafiknya terletak lurus kamu = X+1;
2) Pada ruas di atas sumbu SAPI grafik hiperbola berada kamu = (2/X).
Jelas sekali bahwa area tersebut dapat (dan harus) ditambahkan, oleh karena itu:
Menjawab:
Contoh 8
Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis
Mari kita sajikan persamaannya dalam bentuk “sekolah”.
dan buatlah gambar poin demi poin:
Dari gambar tersebut terlihat jelas bahwa batas atas kita “baik”: B = 1.
Tapi berapa batas bawahnya?! Jelas bahwa ini bukan bilangan bulat, tapi apa itu?
Mungkin, A=(-1/3)? Tapi di mana jaminan bahwa gambar itu dibuat dengan akurasi yang sempurna, mungkin saja demikian A=(-1/4). Bagaimana jika kita salah membuat grafik?
Dalam kasus seperti itu, Anda harus meluangkan waktu tambahan dan memperjelas batasan integrasi secara analitis.
Mari kita cari titik potong grafiknya
Untuk melakukan ini, kita selesaikan persamaan:
.
Karena itu, A=(-1/3).
Solusi selanjutnya adalah hal yang sepele. Hal utama adalah jangan bingung dalam substitusi dan tanda. Perhitungan di sini bukanlah yang paling sederhana. Di segmen tersebut
, 
,
sesuai dengan rumus yang sesuai:
Menjawab: 
Sebagai penutup pelajaran, mari kita lihat dua tugas yang lebih sulit.
Contoh 9
Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis
Solusi: Mari kita gambarkan sosok ini dalam gambar.
Untuk menggambar gambar titik demi titik, Anda perlu mengetahuinya penampilan sinusoidal. Secara umum, mengetahui grafik semua fungsi dasar, serta beberapa nilai sinus, akan berguna. Mereka dapat ditemukan di tabel nilai fungsi trigonometri . Dalam beberapa kasus (misalnya, dalam kasus ini), dimungkinkan untuk membuat gambar skema, di mana grafik dan batas integrasi pada dasarnya harus ditampilkan dengan benar.
Tidak ada masalah dengan batasan integrasi di sini;
– “x” berubah dari nol menjadi “pi”. Mari kita buat keputusan lebih lanjut:
Pada suatu segmen, grafik suatu fungsi kamu= dosa 3 X terletak di atas sumbu SAPI, Itu sebabnya:
(1) Anda dapat melihat bagaimana sinus dan cosinus dipangkatkan ganjil dalam pelajaran Integral fungsi trigonometri. Kami mencubit satu sinus.
(2) Kita menggunakan identitas trigonometri utama dalam bentuk
(3) Mari kita ubah variabelnya T= karena X, maka: terletak di atas sumbu, oleh karena itu:
.
.
Catatan: perhatikan bagaimana integral garis singgung dalam kubus diambil; akibat wajar dari garis singgung utama digunakan di sini identitas trigonometri
.
Mari kita perhatikan trapesium lengkung yang dibatasi oleh sumbu Ox, kurva y=f(x) dan dua garis lurus: x=a dan x=b (Gbr. 85). Mari kita ambil nilai x yang berubah-ubah (bukan a dan bukan b). Mari kita tambahkan h = dx dan perhatikan sebuah strip yang dibatasi oleh garis lurus AB dan CD, sumbu Ox dan busur BD milik kurva yang ditinjau. Kami akan menyebut strip ini sebagai strip dasar. Luas garis dasar berbeda dengan luas persegi panjang ACQB dengan segitiga lengkung BQD, dan luas segitiga tersebut lebih kecil dari luas persegi panjang BQDM dengan sisi BQ = =h= dx) QD=Ay dan luasnya sama dengan hAy = Ay dx. Ketika sisi h berkurang, sisi Du juga berkurang dan bersamaan dengan h cenderung nol. Oleh karena itu, luas BQDM adalah orde kedua yang sangat kecil. Luas garis dasar adalah pertambahan luas, dan luas persegi panjang ACQB sama dengan AB-AC ==/(x) dx> adalah selisih luasnya. Akibatnya, kita mencari luas itu sendiri dengan mengintegrasikan diferensialnya. Dalam gambar yang dipertimbangkan, variabel bebas l: berubah dari a ke b, sehingga luas yang dibutuhkan 5 akan sama dengan 5= \f(x) dx. (I) Contoh 1. Mari kita hitung luas yang dibatasi oleh parabola y - 1 -x*, garis lurus X =--Fj-, x = 1 dan sumbu O* (Gbr. 86). di Gambar. 87. Gambar. 86. 1 Di sini f(x) = 1 - l?, limit integrasinya adalah a = - dan £ = 1, maka J [*-t]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Contoh 2. Mari kita hitung luas yang dibatasi oleh sinusoidal y = sinXy, sumbu Ox dan garis lurus (Gbr. 87). Dengan menggunakan rumus (I), kita memperoleh A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf Contoh 3. Hitung luas yang dibatasi oleh busur sinusoidal ^у = sin jc, tertutup antara dua titik potong yang berdekatan dengan sumbu Ox (misalnya antara titik asal dan titik dengan absis i). Perhatikan bahwa dari pertimbangan geometris jelas bahwa luas ini akan menjadi dua kali luas contoh sebelumnya. Namun, mari kita lakukan perhitungan: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o Ternyata asumsi kami benar. Contoh 4. Hitung luas yang dibatasi oleh sinusoidal dan sumbu Ox pada satu periode (Gbr. 88). Perhitungan awal menunjukkan bahwa luasnya akan empat kali lebih besar dari pada Contoh 2. Namun, setelah melakukan perhitungan, kita memperoleh “i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l -( -cos 0) = - 1 + 1 = 0. Hasil ini memerlukan klarifikasi. Untuk memperjelas inti permasalahan, kita juga menghitung luas yang dibatasi oleh sinusoida yang sama y = sin l: dan sumbu Ox dalam rentang l sampai 2i. Menerapkan rumus (I), kita memperoleh 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2. Jadi, kita melihat bahwa area ini ternyata negatif. Membandingkannya dengan luas yang dihitung pada latihan 3, kita menemukan bahwa nilai absolutnya sama, tetapi tandanya berbeda. Jika kita menerapkan properti V (lihat Bab XI, § 4), kita mendapatkan 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0Apa yang terjadi dalam contoh ini bukanlah suatu kebetulan. Luas yang terletak di bawah sumbu Ox selalu, asalkan variabel bebasnya berubah dari kiri ke kanan, diperoleh bila dihitung dengan menggunakan integral. Dalam kursus ini kami akan selalu mempertimbangkan area tanpa rambu. Oleh karena itu, jawaban pada contoh yang baru saja dibahas adalah: luas yang dibutuhkan adalah 2 + |-2| = 4. Contoh 5. Mari kita hitung luas BAB yang ditunjukkan pada Gambar. 89. Daerah ini dibatasi oleh sumbu Ox, parabola y = - xr dan garis lurus y - = -x+\. Luas trapesium lengkung Luas OAB yang dibutuhkan terdiri dari dua bagian yaitu OAM dan MAV. Karena titik A adalah titik potong parabola dan garis lurus, maka kita mencari koordinatnya dengan menyelesaikan sistem persamaan 3 2 Y = mx. (kita hanya perlu mencari absis titik A). Memecahkan sistem, kami menemukan l; = ~. Oleh karena itu luasnya harus dihitung sebagian, persegi dulu. OAM dan kemudian jamak. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM-^x)