Sinus, kosinus, tangen, dan kotangen - semua yang perlu Anda ketahui tentang Ujian Negara Terpadu Matematika (2020). Identitas dasar trigonometri, rumusan dan turunannya Grafik fungsi kotangen, y = ctg x

|BD|
- panjang busur lingkaran yang berpusat di titik A.

α adalah sudut yang dinyatakan dalam radian. Garis singgung ( tan α ) adalah fungsi trigonometri yang bergantung pada sudut α antara sisi miring dan kaki segitiga siku-siku
, sama dengan perbandingan panjang sisi berhadapan |BC| dengan panjang kaki yang berdekatan |AB| . Kotangen (

ctg α

) adalah fungsi trigonometri yang bergantung pada sudut α antara sisi miring dan kaki segitiga siku-siku, sama dengan perbandingan panjang kaki yang berdekatan |AB| dengan panjang kaki yang berhadapan |BC| . Garis singgung

Di mana
.
;
;
.

N

- utuh.

Dalam literatur Barat, garis singgung dilambangkan sebagai berikut:
.
Grafik fungsi tangen y = tan x
;
;
.

Kotangens

Dalam literatur Barat, kotangen dilambangkan sebagai berikut:

Notasi berikut juga diterima:

Grafik fungsi kotangen y = ctg x Sifat-sifat tangen dan kotangen Periodisitas Fungsi y = terima kasih

dan kamu =

ctg x

periodik dengan periode π.

Keseimbangan dengan panjang kaki yang berhadapan |BC| . Fungsi tangen dan kotangen ganjil.

	Bidang definisi dan nilai, bertambah, berkurang Sifat-sifat tangen dan kotangen	Bidang definisi dan nilai, bertambah, berkurang Fungsi y =
Fungsi tangen dan kotangen bersifat kontinu dalam domain definisinya (lihat bukti kontinuitas). Sifat-sifat utama tangen dan kotangen disajikan pada tabel (
- utuh).	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
kamu=		-
Ruang lingkup dan kontinuitas	-
Rentang nilai	-	-
Meningkat 0
Menurun 0	Bidang definisi dan nilai, bertambah, berkurang 0	-

Ekstrem

Nol, y =

; ;
; ;
;

Titik potong dengan sumbu ordinat, x =

Rumus

Ekspresi menggunakan sinus dan cosinus

Rumus tangen dan kotangen dari jumlah dan selisih

Rumus lainnya mudah didapat, misalnya

Produk garis singgung

Rumus jumlah dan selisih garis singgung

;
;

Tabel ini menyajikan nilai garis singgung dan kotangen untuk nilai argumen tertentu.

; .

.
Ekspresi menggunakan bilangan kompleks
.
Ekspresi melalui fungsi hiperbolik

Derivatif

Turunan orde ke-n terhadap variabel x dari fungsi:

Menurunkan rumus tangen > > > ; untuk kotangen >> > Integral Ekspansi seri Untuk mendapatkan pemuaian garis singgung pangkat x, Anda perlu mengambil beberapa suku pemuaian deret pangkat untuk fungsinya dosa x

Dan

karena x
dan membagi polinomial ini satu sama lain, . Ini menghasilkan rumus berikut. Pada .
;
;
pada .
Di mana

Bn

- Nomor Bernoulli. Mereka ditentukan baik dari relasi perulangan: Di mana .

Atau menurut rumus Laplace:

, Di mana dengan panjang kaki yang berhadapan |BC| . Garis singgung

Arckotangen, arcctg

, Di mana dengan panjang kaki yang berhadapan |BC| . Garis singgung

Sastra bekas:
DI DALAM. Bronstein, K.A. Semendyaev, Buku Pegangan Matematika untuk Insinyur dan Mahasiswa, “Lan”, 2009.
G. Korn, Buku Pegangan Matematika untuk Ilmuwan dan Insinyur, 2012.

Lihat juga:

Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

Saat Anda mengajukan permohonan di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.

Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:

Dikumpulkan oleh kami informasi pribadi memungkinkan kami menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk keperluan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian guna meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.

Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

Apabila diperlukan - sesuai dengan peraturan perundang-undangan, acara peradilan, proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan masyarakat atau permohonan dari lembaga pemerintah di wilayah Federasi Rusia - ungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.

Perlindungan informasi pribadi

Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.

Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.

Artikel ini berisi tabel sinus, cosinus, garis singgung dan kotangen. Pertama kita akan memberikan tabel nilai dasar fungsi trigonometri yaitu tabel sinus, cosinus, garis singgung dan kotangen sudut 0, 30, 45, 60, 90,…, 360 derajat ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π radian). Setelah itu, kami akan memberikan tabel sinus dan cosinus, serta tabel garis singgung dan kotangen oleh V. M. Bradis, dan menunjukkan cara menggunakan tabel tersebut saat mencari nilai fungsi trigonometri.

Navigasi halaman.

Tabel sinus, cosinus, garis singgung dan kotangen untuk sudut 0, 30, 45, 60, 90, ... derajat

Referensi.

Aljabar: Buku pelajaran untuk kelas 9. rata-rata sekolah/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky. - M.: Pendidikan, 1990. - 272 hal.: sakit
Bashmakov M.I. Aljabar dan awal mula analisis: Buku Ajar. untuk kelas 10-11. rata-rata sekolah - edisi ke-3. - M.: Pendidikan, 1993. - 351 hal.: sakit. - ISBN 5-09-004617-4.
Aljabar dan awal analisis: Proc. untuk kelas 10-11. pendidikan umum institusi / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. Ed. A. N. Kolmogorov. - Edisi ke-14 - M.: Pendidikan, 2004. - 384 hal.: sakit.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (panduan bagi mereka yang memasuki sekolah teknik): Proc. tunjangan.- M.; Lebih tinggi sekolah, 1984.-351 hal., sakit.
Bradis V.M. Tabel matematika empat digit: Untuk pendidikan umum. buku pelajaran perusahaan. - edisi ke-2. - M.: Bustard, 1999.- 96 hal.: sakit. ISBN 5-7107-2667-2

Sumber aslinya berada. Alpha adalah singkatan dari bilangan real. Tanda sama dengan pada ekspresi di atas menunjukkan bahwa jika Anda menambahkan angka atau tak terhingga ke tak terhingga, tidak ada yang berubah, hasilnya akan sama tak terhingga. Jika kita mengambil himpunan tak hingga sebagai contoh bilangan asli, maka contoh yang dipertimbangkan dapat disajikan sebagai berikut:

Untuk membuktikan dengan jelas bahwa mereka benar, ahli matematika menemukan banyak metode berbeda. Secara pribadi, saya melihat semua metode ini sebagai dukun yang menari dengan rebana. Pada dasarnya, semuanya bermuara pada fakta bahwa beberapa kamar kosong dan ada tamu baru yang pindah, atau beberapa pengunjung dibuang ke koridor untuk memberi ruang bagi tamu (sangat manusiawi). Saya memaparkan pandangan saya tentang keputusan tersebut dalam bentuk cerita fantasi tentang si Pirang. Berdasarkan apa alasan saya? Merelokasi pengunjung dalam jumlah tak terbatas membutuhkan waktu yang tak terbatas. Setelah kita mengosongkan kamar pertama untuk seorang tamu, salah satu pengunjung akan selalu berjalan menyusuri koridor dari kamarnya ke kamar berikutnya hingga akhir zaman. Tentu saja, faktor waktu bisa saja diabaikan begitu saja, namun hal ini akan masuk dalam kategori “tidak ada hukum yang ditulis untuk orang bodoh”. Itu semua tergantung pada apa yang kita lakukan: menyesuaikan kenyataan dengan teori matematika atau sebaliknya.

Apa itu “hotel tanpa akhir”? Hotel tak terhingga adalah hotel yang selalu mempunyai jumlah tempat tidur kosong berapa pun, berapa pun jumlah kamar yang ditempati. Jika semua ruangan di koridor "pengunjung" tak berujung terisi, ada koridor tak berujung lainnya dengan kamar "tamu". Jumlah koridor seperti itu tidak terbatas. Terlebih lagi, “hotel tanpa batas” memiliki jumlah lantai yang tidak terbatas pada jumlah bangunan yang tidak terbatas pada jumlah planet yang tidak terbatas dalam jumlah alam semesta yang tidak terbatas yang diciptakan oleh Dewa yang jumlahnya tidak terbatas. Matematikawan tidak bisa menjauhkan diri dari permasalahan sehari-hari yang dangkal: selalu hanya ada satu Tuhan-Allah-Buddha, hanya ada satu hotel, hanya ada satu koridor. Jadi para ahli matematika mencoba mengatur nomor seri kamar hotel, meyakinkan kita bahwa “mendorong hal-hal yang mustahil” adalah mungkin.

Saya akan menunjukkan kepada Anda logika alasan saya menggunakan contoh himpunan bilangan asli tak terhingga. Pertama, Anda perlu menjawab pertanyaan yang sangat sederhana: ada berapa himpunan bilangan asli - satu atau banyak? Tidak ada jawaban yang benar untuk pertanyaan ini, karena kita sendiri yang menemukan angka; angka tidak ada di Alam. Ya, Alam sangat pandai berhitung, tetapi untuk ini ia menggunakan alat matematika lain yang tidak kita kenal. Saya akan memberi tahu Anda apa yang dipikirkan Alam lain kali. Sejak kita menemukan bilangan, kita sendiri yang akan memutuskan berapa banyak himpunan bilangan asli yang ada. Mari kita pertimbangkan kedua pilihan tersebut, sebagaimana layaknya ilmuwan sejati.

Opsi satu. “Mari kita diberikan” satu set bilangan asli, yang terletak dengan tenang di rak. Kami mengambil set ini dari rak. Itu saja, tidak ada bilangan asli lain yang tersisa di rak dan tidak ada tempat untuk membawanya. Kami tidak dapat menambahkan satu pun ke set ini, karena kami sudah memilikinya. Bagaimana jika Anda benar-benar menginginkannya? Tidak masalah. Kita dapat mengambil satu dari set yang telah kita ambil dan mengembalikannya ke rak. Setelah itu, kita dapat mengambil satu dari rak dan menambahkannya ke sisa yang tersisa. Hasilnya, kita kembali mendapatkan himpunan bilangan asli tak terhingga. Anda dapat menuliskan semua manipulasi kami seperti ini:

Saya menuliskan tindakan dalam notasi aljabar dan notasi teori himpunan, dengan daftar rinci elemen-elemen himpunan. Subskrip menunjukkan bahwa kita mempunyai satu-satunya himpunan bilangan asli. Ternyata himpunan bilangan asli tidak akan berubah hanya jika bilangan tersebut dikurangi satu dan ditambah satuan yang sama.

Opsi dua. Kami memiliki banyak himpunan bilangan asli tak terhingga yang berbeda di rak kami. Saya tekankan - BERBEDA, meskipun faktanya keduanya praktis tidak dapat dibedakan. Mari kita ambil salah satu dari set ini. Kemudian kita ambil satu dari himpunan bilangan asli lain dan menjumlahkannya ke himpunan yang telah kita ambil. Kita bahkan dapat menjumlahkan dua himpunan bilangan asli. Inilah yang kami dapatkan:

Subskrip "satu" dan "dua" menunjukkan bahwa unsur-unsur ini termasuk dalam himpunan yang berbeda. Ya, jika Anda menambahkan satu ke himpunan tak hingga, hasilnya juga himpunan tak hingga, tapi tidak akan sama dengan himpunan aslinya. Jika Anda menambahkan himpunan tak hingga lainnya ke satu himpunan tak hingga, hasilnya adalah himpunan tak hingga baru yang terdiri dari elemen-elemen dari dua himpunan pertama.

Himpunan bilangan asli digunakan untuk menghitung dengan cara yang sama seperti penggaris untuk mengukur. Sekarang bayangkan Anda menambahkan satu sentimeter pada penggaris. Ini akan menjadi garis yang berbeda, tidak sama dengan garis aslinya.

Anda dapat menerima atau tidak menerima alasan saya - itu urusan Anda sendiri. Namun jika Anda pernah menghadapi masalah matematika, pertimbangkan apakah Anda mengikuti jalur penalaran salah yang telah dilakukan oleh generasi ahli matematika. Lagi pula, mempelajari matematika, pertama-tama, membentuk stereotip berpikir yang stabil dalam diri kita, dan baru kemudian menambah kemampuan mental kita (atau, sebaliknya, menghilangkan kebebasan berpikir kita).

pozg.ru

Minggu, 4 Agustus 2019

Saya sedang menyelesaikan catatan tambahan untuk sebuah artikel tentang dan melihat teks indah ini di Wikipedia:

Kita membaca: “...kaya landasan teori Matematika Babel tidak memiliki karakter holistik dan direduksi menjadi seperangkat teknik yang berbeda, tanpa sistem umum dan dasar bukti."

Wow! Seberapa pintar kita dan seberapa baik kita bisa melihat kekurangan orang lain. Apakah sulit bagi kita untuk melihat matematika modern dalam konteks yang sama? Sedikit memparafrasekan teks di atas, saya pribadi mendapatkan yang berikut:

Landasan teori matematika modern yang kaya tidak bersifat holistik dan direduksi menjadi sekumpulan bagian yang berbeda, tanpa sistem umum dan basis bukti.

Saya tidak akan mengkonfirmasi kata-kata saya jauh-jauh - ia memiliki bahasa dan konvensi yang berbeda dari bahasa dan konvensi banyak cabang matematika lainnya. Nama yang sama pada cabang matematika yang berbeda dapat mempunyai arti yang berbeda. Saya ingin mengabdikan seluruh rangkaian publikasi untuk kesalahan paling nyata dalam matematika modern. Sampai berjumpa lagi.

Sabtu, 3 Agustus 2019

Bagaimana cara membagi himpunan menjadi himpunan bagian? Untuk melakukan ini, Anda perlu memasukkan satuan pengukuran baru yang ada di beberapa elemen himpunan yang dipilih. Mari kita lihat sebuah contoh.

Semoga kita punya banyak A terdiri dari empat orang. Himpunan ini dibentuk atas dasar “orang”. Mari kita nyatakan unsur-unsur himpunan ini dengan huruf A, subskrip dengan nomor akan menunjukkan nomor seri setiap orang dalam kumpulan ini. Mari kita perkenalkan unit pengukuran baru "gender" dan nyatakan dengan huruf B. Karena karakteristik seksual melekat pada semua orang, kami mengalikan setiap elemen dari himpunan tersebut A berdasarkan jenis kelamin B. Perhatikan bahwa kumpulan “orang” kita kini telah menjadi kumpulan “orang dengan karakteristik gender”. Setelah ini kita bisa membagi ciri-ciri seksual menjadi laki-laki bm dan wanita bw karakteristik seksual. Sekarang kita dapat menerapkan filter matematis: kita memilih salah satu dari karakteristik seksual ini, tidak peduli yang mana - pria atau wanita. Kalau ada orang, maka kita kalikan dengan satu, jika tidak ada tandanya, kita kalikan dengan nol. Dan kemudian kami menggunakan matematika sekolah biasa. Lihat apa yang terjadi.

Setelah perkalian, reduksi, dan penataan ulang, kita mendapatkan dua himpunan bagian: himpunan bagian laki-laki Bm dan sebagian perempuan Bw. Para matematikawan bernalar dengan cara yang kira-kira sama ketika mereka menerapkan teori himpunan dalam praktik. Namun mereka tidak memberi tahu kita rinciannya, namun memberi kita hasil akhirnya - “banyak orang terdiri dari sebagian laki-laki dan sebagian perempuan.” Tentu saja, Anda mungkin mempunyai pertanyaan: seberapa benar penerapan matematika dalam transformasi yang diuraikan di atas? Saya berani meyakinkan Anda bahwa pada dasarnya semuanya dilakukan dengan benar; mengetahui dasar matematika aritmatika, aljabar Boolean, dan cabang matematika lainnya sudah cukup. Apa itu? Lain kali saya akan menceritakan hal ini kepada Anda.

Sedangkan untuk superset, Anda dapat menggabungkan dua himpunan menjadi satu superset dengan memilih satuan ukuran yang ada pada elemen kedua himpunan tersebut.

Seperti yang Anda lihat, satuan pengukuran dan matematika biasa menjadikan teori himpunan sebagai peninggalan masa lalu. Tanda bahwa teori himpunan tidak berjalan baik adalah para ahli matematika telah menciptakan bahasa dan notasi mereka sendiri untuk teori himpunan. Matematikawan pernah bertindak seperti dukun. Hanya dukun yang tahu bagaimana menerapkan “pengetahuan” mereka dengan “benar”. Mereka mengajari kita “pengetahuan” ini.

Sebagai kesimpulan, saya ingin menunjukkan kepada Anda bagaimana ahli matematika memanipulasi.

Senin, 7 Januari 2019

Pada abad kelima SM, filsuf Yunani kuno Zeno dari Elea merumuskan aporianya yang terkenal, yang paling terkenal adalah aporia “Achilles dan Kura-kura”. Berikut bunyinya:

Katakanlah Achilles berlari sepuluh kali lebih cepat dari kura-kura dan berada seribu langkah di belakangnya. Selama waktu yang dibutuhkan Achilles untuk berlari sejauh ini, kura-kura akan merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Ketika Achilles berlari seratus langkah, kura-kura merangkak sepuluh langkah lagi, dan seterusnya. Prosesnya akan terus berlanjut tanpa batas, Achilles tidak akan pernah bisa mengejar kura-kura.

Alasan ini menjadi kejutan logis bagi semua generasi berikutnya. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Semuanya menganggap aporia Zeno dalam satu atau lain cara. Guncangannya begitu kuat sehingga " ...diskusi terus berlanjut hingga saat ini, untuk mencapai konsensus mengenai hakikat paradoks komunitas ilmiah sejauh ini hal itu belum mungkin... analisis matematis, teori himpunan, pendekatan fisik dan filosofis baru dilibatkan dalam studi masalah ini; tidak satupun dari mereka menjadi solusi yang diterima secara umum untuk masalah ini..."[Wikipedia," Zeno's Aporia ". Semua orang mengerti bahwa mereka sedang dibodohi, tapi tidak ada yang mengerti apa isi penipuan itu.

Dari sudut pandang matematika, Zeno dalam aporianya dengan jelas menunjukkan transisi dari kuantitas ke kuantitas. Transisi ini menyiratkan penerapan, bukan penerapan permanen. Sejauh yang saya pahami, peralatan matematika untuk menggunakan satuan pengukuran variabel belum dikembangkan, atau belum diterapkan pada aporia Zeno. Menerapkan logika biasa membawa kita ke dalam jebakan. Karena kelembaman berpikir, kita menerapkan satuan waktu yang konstan pada nilai timbal balik. Dari sudut pandang fisik, ini tampak seperti waktu yang melambat hingga berhenti sepenuhnya pada saat Achilles menyusul penyu tersebut. Jika waktu berhenti, Achilles tidak bisa lagi berlari lebih cepat dari kura-kura.

Jika kita membalikkan logika kita yang biasa, semuanya akan beres. Achilles berlari dengan kecepatan konstan. Setiap segmen jalur berikutnya sepuluh kali lebih pendek dari segmen sebelumnya. Oleh karena itu, waktu yang dibutuhkan untuk mengatasinya sepuluh kali lebih sedikit dibandingkan waktu sebelumnya. Jika kita menerapkan konsep “tak terhingga” dalam situasi ini, maka benar jika dikatakan “Achilles akan menyusul penyu dengan sangat cepat.”

Bagaimana cara menghindari jebakan logis ini? Tetap dalam satuan waktu yang konstan dan jangan beralih ke satuan timbal balik. Dalam bahasa Zeno tampilannya seperti ini:

Dalam waktu yang dibutuhkan Achilles untuk berlari seribu langkah, kura-kura akan merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Selama selang waktu berikutnya yang sama dengan waktu pertama, Achilles akan berlari seribu langkah lagi, dan kura-kura akan merangkak seratus langkah. Sekarang Achilles berada delapan ratus langkah di depan kura-kura.

Pendekatan ini cukup menggambarkan realitas tanpa adanya paradoks logis. Tapi ini bukanlah solusi lengkap untuk masalah ini. Pernyataan Einstein tentang kecepatan cahaya yang tak tertahankan sangat mirip dengan aporia Zeno “Achilles and the Tortoise”. Kita masih harus mempelajari, memikirkan kembali dan menyelesaikan masalah ini. Dan solusinya harus dicari bukan dalam jumlah yang sangat besar, namun dalam satuan pengukuran.

Aporia menarik lainnya dari Zeno menceritakan tentang panah terbang:

Anak panah yang terbang tidak bergerak, karena ia diam pada setiap saat, dan karena ia diam pada setiap saat, maka ia selalu diam.

Di aporia ini paradoks logis hal ini dapat diatasi dengan sangat sederhana - cukup dengan memperjelas bahwa pada setiap momen waktu sebuah panah terbang diam di berbagai titik di ruang angkasa, yang sebenarnya adalah gerak. Hal lain yang perlu diperhatikan di sini. Dari satu foto sebuah mobil di jalan raya, tidak mungkin untuk menentukan fakta pergerakannya atau jaraknya. Untuk menentukan apakah sebuah mobil sedang bergerak, Anda memerlukan dua foto yang diambil dari titik yang sama pada titik waktu yang berbeda, tetapi Anda tidak dapat menentukan jarak dari keduanya. Untuk menentukan jarak ke sebuah mobil, Anda memerlukan dua buah foto yang diambil dari titik ruang yang berbeda pada satu titik waktu, namun dari foto tersebut Anda tidak dapat menentukan fakta pergerakannya (tentunya Anda masih memerlukan data tambahan untuk perhitungannya, trigonometri akan membantu Anda ). Yang ingin saya tarik perhatian khusus adalah bahwa dua titik dalam waktu dan dua titik dalam ruang adalah dua hal berbeda yang tidak boleh dikacaukan, karena keduanya memberikan peluang penelitian yang berbeda.

Rabu, 4 Juli 2018

Saya sudah memberi tahu Anda apa yang digunakan dukun untuk mencoba memilah "" kenyataan. Bagaimana mereka melakukan ini? Bagaimana sebenarnya pembentukan himpunan terjadi?

Mari kita lihat lebih dekat definisi himpunan: "kumpulan elemen-elemen berbeda, yang disusun sebagai satu kesatuan." Sekarang rasakan perbedaan antara dua frasa: “dapat dibayangkan secara keseluruhan” dan “dapat dibayangkan secara keseluruhan”. Frasa pertama adalah hasil akhir, himpunan. Ungkapan kedua adalah persiapan awal untuk pembentukan orang banyak. Pada tahap ini, realitas dibagi menjadi elemen-elemen individual (“keseluruhan”), yang darinya kemudian akan terbentuk banyak (“keseluruhan”). Pada saat yang sama, faktor yang memungkinkan untuk menggabungkan "keseluruhan" menjadi "satu kesatuan" dipantau dengan cermat, jika tidak, dukun tidak akan berhasil. Lagipula, dukun sudah tahu sebelumnya set apa yang ingin mereka tunjukkan kepada kita.

Saya akan menunjukkan prosesnya dengan sebuah contoh. Kami memilih "padat merah dalam jerawat" - ini adalah "keseluruhan" kami. Pada saat yang sama, kita melihat bahwa benda-benda ini ada yang memiliki busur, dan ada yang tidak memiliki busur. Setelah itu, kita pilih bagian dari “keseluruhan” dan membentuk satu set “dengan busur”. Beginilah cara dukun mendapatkan makanannya dengan mengaitkan teori himpunan mereka dengan kenyataan.

Sekarang mari kita lakukan sedikit trik. Mari kita ambil “solid dengan jerawat dan busur” dan gabungkan “keutuhan” ini menurut warna, pilih elemen merah. Kami mendapat banyak "merah". Sekarang pertanyaan terakhir: apakah himpunan yang dihasilkan “dengan busur” dan “merah” merupakan himpunan yang sama atau dua himpunan berbeda? Hanya dukun yang tahu jawabannya. Lebih tepatnya, mereka sendiri tidak tahu apa-apa, tetapi seperti yang mereka katakan, memang begitulah adanya.

Contoh sederhana ini menunjukkan bahwa teori himpunan sama sekali tidak berguna jika dikaitkan dengan kenyataan. Apa rahasianya? Kami membentuk satu set "padatan merah dengan jerawat dan busur". Pembentukannya terjadi menurut empat satuan pengukuran yang berbeda: warna (merah), kekuatan (padat), kekasaran (berjerawat), hiasan (dengan busur). Hanya seperangkat satuan pengukuran yang memungkinkan kita mendeskripsikan objek nyata secara memadai dalam bahasa matematika. Seperti inilah tampilannya.

Huruf "a" dengan indeks berbeda menunjukkan satuan pengukuran yang berbeda. Unit pengukuran yang membedakan "keseluruhan" pada tahap awal ditandai dalam tanda kurung. Satuan ukuran yang digunakan untuk membentuk himpunan dikeluarkan dari tanda kurung. Baris terakhir menunjukkan hasil akhir - elemen himpunan. Seperti yang Anda lihat, jika kita menggunakan satuan pengukuran untuk membentuk suatu himpunan, maka hasilnya tidak bergantung pada urutan tindakan kita. Dan ini matematika, dan bukan tarian dukun dengan rebana. Dukun dapat “secara intuitif” mendapatkan hasil yang sama, dengan alasan bahwa hal tersebut “jelas”, karena satuan pengukuran bukanlah bagian dari persenjataan “ilmiah” mereka.

Dengan menggunakan satuan pengukuran, sangat mudah untuk memecahkannya
Saat ini, segala sesuatu yang tidak kita ambil termasuk dalam himpunan tertentu (seperti yang diyakini para ahli matematika). Ngomong-ngomong, apakah Anda melihat di cermin di dahi Anda daftar set yang Anda miliki? Dan saya belum pernah melihat daftar seperti itu. Saya akan mengatakan lebih banyak - tidak ada satu pun benda pada kenyataannya yang memiliki tag dengan daftar set milik benda tersebut. Semua set adalah penemuan dukun. Bagaimana mereka melakukannya? Mari kita melihat lebih dalam sejarah dan melihat seperti apa elemen-elemen himpunan sebelum para dukun matematikawan memasukkannya ke dalam himpunan mereka.

Dahulu kala, ketika belum ada yang pernah mendengar tentang matematika, dan hanya pohon dan Saturnus yang memiliki cincin, kawanan besar elemen himpunan liar berkeliaran di bidang fisik (bagaimanapun juga, dukun belum menemukan bidang matematika). Mereka terlihat seperti ini.

Ya, jangan heran, dari sudut pandang matematika, semua elemen himpunan paling mirip bulu babi- dari satu titik, seperti jarum, satuan ukuran mencuat ke segala arah. Bagi mereka yang, saya ingatkan Anda bahwa setiap satuan pengukuran dapat direpresentasikan secara geometris sebagai segmen dengan panjang sembarang, dan bilangan sebagai titik. Secara geometris, besaran apa pun dapat direpresentasikan sebagai sekumpulan segmen yang mencuat ke berbagai arah dari satu titik. Titik ini adalah titik nol. Saya tidak akan menggambar karya seni geometris ini (tanpa inspirasi), tetapi Anda dapat dengan mudah membayangkannya.

Satuan ukuran manakah yang membentuk suatu unsur suatu himpunan? Segala macam hal yang menggambarkan suatu elemen tertentu dari sudut pandang yang berbeda. Ini adalah satuan pengukuran kuno yang digunakan nenek moyang kita dan sudah lama dilupakan semua orang. Ini adalah satuan pengukuran modern yang kita gunakan sekarang. Ini juga merupakan satuan pengukuran yang tidak kita ketahui, yang akan dihasilkan oleh keturunan kita dan akan digunakan untuk menggambarkan realitas.

Kami telah memilah geometrinya - model elemen himpunan yang diusulkan memiliki representasi geometris yang jelas. Bagaimana dengan fisika? Satuan pengukuran adalah hubungan langsung antara matematika dan fisika. Jika dukun tidak mengenal satuan ukuran sebagai elemen yang utuh teori matematika- ini adalah masalah mereka. Saya pribadi tidak dapat membayangkan ilmu matematika yang sebenarnya tanpa satuan pengukuran. Itulah sebabnya di awal cerita tentang teori himpunan saya menyebutnya sebagai Zaman Batu.

Tapi mari kita beralih ke hal yang paling menarik - aljabar elemen himpunan. Secara aljabar, setiap elemen suatu himpunan merupakan hasil kali (hasil perkalian) dari besaran yang berbeda-beda. Tampilannya seperti ini.

Saya sengaja tidak menggunakan konvensi teori himpunan, karena kita sedang mempertimbangkan elemen himpunan dalam lingkungan alaminya sebelum munculnya teori himpunan. Setiap pasangan huruf dalam tanda kurung menunjukkan besaran tersendiri, terdiri dari suatu bilangan yang ditunjukkan dengan huruf " dengan panjang kaki yang berhadapan |BC| ." dan satuan ukurannya ditunjukkan dengan huruf " A". Indeks di sebelah huruf menunjukkan bahwa angka dan satuan pengukuran berbeda. Salah satu elemen himpunan dapat terdiri dari besaran yang jumlahnya tak terhingga (sejauh kita dan keturunan kita mempunyai imajinasi yang cukup). Setiap tanda kurung digambarkan secara geometris sebagai segmen terpisah pada contoh bulu babi, satu braket sama dengan satu jarum.

Bagaimana dukun membentuk kumpulan dari berbagai elemen? Faktanya, berdasarkan satuan pengukuran atau angka. Karena tidak memahami apa pun tentang matematika, mereka mengambil bulu babi yang berbeda dan memeriksanya dengan cermat untuk mencari satu jarum yang digunakan untuk membentuk satu set. Jika ada jarum seperti itu, maka elemen ini termasuk dalam himpunan; jika tidak ada jarum seperti itu, maka elemen tersebut bukan dari himpunan ini. Dukun menceritakan kepada kita dongeng tentang proses berpikir dan keseluruhannya.

Seperti yang sudah Anda duga, elemen yang sama dapat dimiliki oleh himpunan yang sangat berbeda. Selanjutnya saya akan menunjukkan kepada Anda bagaimana himpunan, himpunan bagian, dan omong kosong perdukunan lainnya terbentuk.

Pada artikel ini kita akan melihat secara komprehensif. Dasar identitas trigonometri mewakili persamaan yang membentuk hubungan antara sinus, kosinus, tangen, dan kotangen dari satu sudut, dan memungkinkan seseorang menemukan salah satu fungsi trigonometri ini melalui fungsi lain yang diketahui.

Yuk langsung kita daftar identitas trigonometri utama yang akan kita analisa pada artikel kali ini. Mari kita tuliskan dalam sebuah tabel, dan di bawah ini kami akan memberikan keluaran dari rumus-rumus tersebut dan memberikan penjelasan yang diperlukan.

Navigasi halaman.

Hubungan antara sinus dan cosinus satu sudut

Terkadang mereka tidak berbicara tentang identitas trigonometri utama yang tercantum pada tabel di atas, tetapi tentang satu identitas trigonometri identitas trigonometri dasar baik . Penjelasan mengenai fakta ini cukup sederhana: persamaan diperoleh dari identitas trigonometri utama setelah membagi kedua bagiannya dengan dan, berturut-turut, dan persamaan tersebut Ekspansi seri mengikuti definisi sinus, cosinus, tangen dan kotangen. Kami akan membicarakan hal ini lebih detail di paragraf berikut.

Artinya, persamaan itulah yang menjadi perhatian khusus, yang diberi nama identitas trigonometri utama.

Sebelum membuktikan identitas trigonometri utama, kita berikan rumusannya: jumlah kuadrat sinus dan kosinus suatu sudut identik sama dengan satu. Sekarang mari kita buktikan.

Identitas dasar trigonometri sangat sering digunakan ketika mengkonversi ekspresi trigonometri. Hal ini memungkinkan jumlah kuadrat sinus dan cosinus dari satu sudut diganti dengan satu. Identitas trigonometri dasar juga sering digunakan urutan terbalik: satuan diganti dengan jumlah kuadrat sinus dan kosinus sudut mana pun.

Tangen dan kotangen melalui sinus dan kosinus

Identitas yang menghubungkan tangen dan kotangen dengan sinus dan kosinus salah satu sudut pandang dan langsung saja simak pengertian sinus, cosinus, tangen, dan kotangen. Memang menurut definisi, sinus adalah ordinat dari y, cosinus adalah absis dari x, tangen adalah perbandingan ordinat terhadap absis, yaitu, , dan kotangen adalah perbandingan absis terhadap ordinat, yaitu, .

Berkat kejelasan identitas dan Tangen dan kotangen seringkali ditentukan bukan melalui perbandingan absis dan ordinat, melainkan melalui perbandingan sinus dan kosinus. Jadi tangen suatu sudut adalah perbandingan sinus dengan kosinus sudut tersebut, dan kotangen adalah perbandingan kosinus dengan sinus.

Sebagai kesimpulan dari paragraf ini, perlu dicatat bahwa identitas dan terjadi untuk semua sudut di mana unsur-unsur yang termasuk di dalamnya fungsi trigonometri masuk akal. Jadi rumusnya berlaku untuk semua , selain (jika tidak, penyebutnya akan nol, dan kami tidak mendefinisikan pembagian dengan nol), dan rumusnya - untuk semua , berbeda dari , dimana z adalah any .

Hubungan antara tangen dan kotangen

Identitas trigonometri yang lebih jelas daripada dua identitas sebelumnya adalah identitas yang menghubungkan garis singgung dan kotangen suatu sudut bentuk. . Jelas bahwa garis ini berlaku untuk semua sudut selain , jika tidak maka garis singgung atau kotangen tidak akan terdefinisi.

Bukti rumusnya sangat sederhana. Menurut definisi dan dari mana . Pembuktiannya bisa saja dilakukan dengan cara yang sedikit berbeda. Sejak , Itu .

Jadi, garis singgung dan kotangen pada sudut yang sama yang masuk akal adalah .