Dari bentuk ax 2 + bx + 0 0, di mana (tentu saja, selain tanda >, ada tanda pertidaksamaan lainnya). Kita mempunyai semua fakta teoretis yang diperlukan untuk mengatasi kesenjangan tersebut, seperti yang akan kita lihat sekarang.
Contoh 1. Selesaikan ketimpangan:
a) x 2 - 2x - 3 >0; b) x 2 - 2x - 3< 0;
c) x 2 - 2x - 3 > 0; d) x 2 - 2x - 3< 0.
Larutan,
a) Perhatikan parabola y = x 2 - 2x - 3, ditunjukkan pada Gambar. 117.
Menyelesaikan pertidaksamaan x 2 - 2x - 3 > 0 berarti menjawab pertanyaan berapa nilai x ordinat titik-titik parabola yang positif.
Kita perhatikan bahwa y > 0, yaitu grafik fungsi terletak di atas sumbu x, di x< -1 или при х > 3.
Artinya, semua solusi terhadap pertidaksamaan tersebut bersifat terbuka balok(- 00 , - 1), serta semua titik sinar terbuka (3, +00).
Dengan menggunakan tanda U (tanda penggabungan himpunan), jawabannya dapat ditulis sebagai berikut: (-00, - 1) U (3, +00). Namun jawabannya bisa ditulis seperti ini: x< - 1; х > 3.
b) Pertidaksamaan x 2 - 2x - 3< 0, или у < 0, где у = х 2 - 2х - 3, также можно решить с помощью рис. 117: jadwal terletak di bawah sumbu x jika -1< х < 3. Поэтому решениями данного неравенства служат все точки интервала (- 1, 3).
c) Pertidaksamaan x 2 - 2x - 3 > 0 berbeda dengan pertidaksamaan x 2 - 2x - 3 > 0 karena jawabannya juga harus memuat akar-akar persamaan x 2 - 2x - 3 = 0, yaitu titik x = - 1
dan x = 3. Jadi, penyelesaian pertidaksamaan tak tegas ini adalah semua titik pada sinar (-00, - 1], serta semua titik pada sinar tersebut.
Matematikawan praktis biasanya mengatakan ini: mengapa kita perlu membuat grafik parabola dari fungsi kuadrat dengan hati-hati saat menyelesaikan pertidaksamaan ax 2 + bx + c > 0
y = ax 2 + bx + c (seperti yang dilakukan pada contoh 1)? Cukup membuat sketsa skema grafik, yang hanya perlu Anda temukan akar trinomial kuadrat (titik potong parabola dengan sumbu x) dan tentukan apakah cabang-cabang parabola mengarah ke atas atau ke bawah. Sketsa skema ini akan memberikan interpretasi visual tentang solusi pertidaksamaan.
Contoh 2. Selesaikan pertidaksamaan - 2x 2 + 3x + 9< 0.
Larutan.
1) Temukan akar-akar trinomial persegi - 2x 2 + 3x + 9: x 1 = 3; x 2 = - 1,5.
2) Parabola yang merupakan grafik fungsi y = -2x 2 + 3x + 9 memotong sumbu x di titik 3 dan - 1,5, dan cabang-cabang parabola mengarah ke bawah, karena yang tertinggi koefisien- angka negatif - 2. Pada Gambar. 118 menunjukkan sketsa grafik.
3) Menggunakan gambar. 118, kami menyimpulkan:< 0 на тех промежутках оси х, где график расположен ниже оси х, т.е. на открытом луче (-оо, -1,5) или на открытом луче C, +оо).
Jawaban: x< -1,5; х > 3.
Contoh 3. Selesaikan pertidaksamaan 4x 2 - 4x + 1< 0.
Larutan.
1) Dari persamaan 4x 2 - 4x + 1 = 0 kita temukan .
2) Sebuah trinomial persegi memiliki satu akar; Artinya parabola yang menjadi grafik trinomial kuadrat tidak memotong sumbu x, tetapi menyentuhnya di titik . Cabang-cabang parabola mengarah ke atas (Gbr. 119.)
3) Menggunakan model geometris yang disajikan pada Gambar. 119, kami menetapkan bahwa pertidaksamaan yang diberikan hanya dipenuhi pada titik tersebut, karena untuk semua nilai x lainnya, ordinat grafiknya positif.
Menjawab: .
Anda mungkin memperhatikan bahwa sebenarnya, dalam contoh 1, 2, 3, sangat spesifik algoritma penyelesaian pertidaksamaan kuadrat, mari kita formalisasikan.
Algoritma penyelesaian pertidaksamaan kuadrat ax 2 + bx + 0 0 (ax 2 + bx + c< 0)
Langkah pertama dari algoritma ini adalah mencari akar-akar trinomial kuadrat. Tapi akarnya mungkin tidak ada, jadi apa yang bisa kita lakukan? Maka algoritme tersebut tidak dapat diterapkan, yang berarti kita perlu berpikir secara berbeda. Kunci dari argumen ini diberikan oleh teorema berikut.
Dengan kata lain, jika D< 0, а >0, maka pertidaksamaan ax 2 + bx + c > 0 berlaku untuk semua x; sebaliknya, pertidaksamaan ax 2 + bx + c< 0 не имеет решений.
Bukti.
Jadwal fungsi y = ax 2 + bx + c adalah parabola yang cabang-cabangnya mengarah ke atas (karena a > 0) dan tidak memotong sumbu x, karena trinomial kuadrat tidak mempunyai akar dengan syarat. Grafiknya ditunjukkan pada Gambar. 120. Kita melihat bahwa untuk semua x grafiknya terletak di atas sumbu x, artinya untuk semua x terjadi pertidaksamaan ax 2 + bx + c > 0, yang perlu dibuktikan.
Dengan kata lain, jika D< 0, а < 0, то неравенство ах 2 + bх + с < 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах 2 + bх + с >0 tidak memiliki solusi.
Bukti. Grafik fungsi y = ax 2 + bx +c adalah parabola yang cabang-cabangnya mengarah ke bawah (karena a< 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 121. Видим, что при всех х график расположен ниже оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах 2 + bх + с < 0, что и требовалось доказать.
Contoh 4. Selesaikan ketimpangan:
a) 2x 2 - x + 4 >0; b) -x 2 + 3x - 8 >0.
a) Tentukan diskriminan trinomial persegi 2x 2 - x + 4. Kita mempunyai D = (-1) 2 - 4 2 4 = - 31< 0.
Koefisien terdepan dari trinomial (angka 2) adalah positif.
Artinya, menurut Teorema 1, untuk semua x pertidaksamaan 2x 2 - x + 4 > 0 berlaku, yaitu penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah bilangan bulat (-00, + 00).
b) Tentukan diskriminan trinomial persegi - x 2 + 3x - 8. Kita mempunyai D = 32 - 4 (- 1) (- 8) = - 23< 0. Старший коэффициент трехчлена (число - 1) отрицателен. Следовательно, по теореме 2, при всех х выполняется неравенство - х 2 + Зx - 8 < 0. Это значит, что неравенство - х 2 + Зх - 8 0 не выполняется ни при каком значении х, т. е. заданное неравенство не имеет решений.
Jawaban: a) (-00,+00); b) tidak ada solusi.
Dalam contoh berikut, kami akan memperkenalkan metode penalaran lain yang digunakan untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat.
Contoh 5. Selesaikan pertidaksamaan 3x 2 - 10x + 3< 0.
Larutan. Mari kita terurai trinomial kuadrat 3x 2 - 10x + 3 untuk pengganda. Akar-akar trinomialnya adalah bilangan 3 dan , jadi dengan menggunakan ax 2 + bx + c = a (x - x 1)(x - x 2), kita peroleh 3x 2 - 10x + 3 = 3(x - 3) ( X - )
Mari kita tandai akar-akar trinomial pada garis bilangan: 3 dan (Gbr. 122).
Misalkan x > 3; maka x-3>0 dan x->0, sehingga hasil kali 3(x - 3)(x - ) adalah positif. Selanjutnya, biarkan< х < 3; тогда x-3< 0, а х- >0. Oleh karena itu, hasil kali 3(x-3)(x-) adalah negatif. Akhirnya, misalkan x<; тогда x-3< 0 и x- < 0. Но в таком случае произведение
3(x -3)(x -) positif.
Meringkas alasannya, kita sampai pada kesimpulan: tanda-tanda trinomial persegi 3x 2 - 10x + 3 berubah seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 122. Kami tertarik pada x trinomial persegi yang bernilai negatif. Dari Gambar. 122 kita simpulkan: trinomial persegi 3x 2 - 10x + 3 mengambil nilai negatif untuk sembarang nilai x dari interval (, 3)
Jawaban (, 3), atau< х < 3.
Komentar. Metode penalaran yang kita gunakan pada Contoh 5 biasanya disebut metode interval (atau metode interval). Ini secara aktif digunakan dalam matematika untuk menyelesaikannya rasional kesenjangan Di kelas 9 kita akan mempelajari metode interval lebih detail.
Contoh 6. Berapa nilai parameter p persamaan kuadrat x 2 - 5x + p 2 = 0:
a) memiliki dua akar yang berbeda;
b) memiliki satu akar;
c) tidak memiliki akar?
Larutan. Jumlah akar persamaan kuadrat bergantung pada tanda diskriminannya D. Dalam hal ini kita mencari D = 25 - 4p 2.
a) Persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang berbeda, jika D>0, maka masalahnya direduksi menjadi menyelesaikan pertidaksamaan 25 - 4р 2 > 0. Kalikan kedua ruas pertidaksamaan tersebut dengan -1 (jangan lupa ubah tandanya ketidaksamaan). Kita memperoleh pertidaksamaan ekuivalen 4p 2 - 25< 0. Далее имеем 4 (р - 2,5) (р + 2,5) < 0.
Tanda-tanda ekspresi 4(p - 2.5) (p + 2.5) ditunjukkan pada Gambar. 123.
Kami menyimpulkan bahwa pertidaksamaan 4(p - 2.5)(p + 2.5)< 0 выполняется для всех значений р из интервала (-2,5; 2,5). Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет два различных корня.
B) persamaan kuadrat memiliki satu akar jika D - 0.
Seperti yang kita tetapkan di atas, D = 0 pada p = 2,5 atau p = -2,5.
Untuk nilai parameter p inilah persamaan kuadrat ini hanya memiliki satu akar.
c) Persamaan kuadrat tidak mempunyai akar jika D< 0. Решим неравенство 25 - 4р 2 < 0.
Kita mendapatkan 4p 2 - 25 > 0; 4 (p-2.5)(p + 2.5)>0, dari mana (lihat Gambar 123) p< -2,5; р >2.5. Untuk nilai parameter p ini, persamaan kuadrat ini tidak memiliki akar.
Jawaban: a) pada p (-2.5, 2.5);
b) pada p = 2,5 atau = -2,5;
c) di hal< - 2,5 или р > 2,5.
Mordkovich A.G., Aljabar. kelas 8: Buku teks. untuk pendidikan umum institusi. - Edisi ke-3, direvisi. - M.: Mnemosyne, 2001. - 223 hal.: sakit.
Bantuan untuk anak sekolah online, unduhan Matematika untuk kelas 8, kalender dan perencanaan tematik
Metode interval– cara sederhana untuk menyelesaikan pertidaksamaan rasional pecahan. Ini adalah sebutan untuk pertidaksamaan yang mengandung ekspresi rasional (atau rasional pecahan) yang bergantung pada suatu variabel.
1. Misalnya saja ketimpangan berikut
Metode interval memungkinkan Anda menyelesaikannya dalam beberapa menit.
Di sisi kiri ketimpangan ini – fungsi rasional pecahan. Rasional karena tidak mengandung akar, sinus, atau logaritma – hanya ekspresi rasional. Di sebelah kanan adalah nol.
Metode interval didasarkan pada sifat fungsi rasional pecahan berikut.
Fungsi rasional pecahan hanya dapat berubah tanda pada titik-titik yang sama dengan nol atau tidak ada.
Mari kita ingat bagaimana trinomial kuadrat difaktorkan, yaitu ekspresi bentuk .
Dimana dan merupakan akar-akar persamaan kuadrat.
Kita menggambar sebuah sumbu dan menempatkan titik-titik yang pembilang dan penyebutnya menjadi nol.
Angka nol pada penyebut dan merupakan titik tertusuk, karena pada titik ini fungsi di sisi kiri pertidaksamaan tidak terdefinisi (Anda tidak dapat membaginya dengan nol). Angka nol pada pembilang dan - diarsir, karena pertidaksamaannya tidak tegas. Kapan dan pertidaksamaan kita terpenuhi, karena kedua sisinya sama dengan nol.
Titik-titik ini membagi sumbu menjadi beberapa interval.
Mari kita tentukan tanda fungsi rasional pecahan di sisi kiri pertidaksamaan kita pada setiap interval tersebut. Kita ingat bahwa fungsi rasional pecahan dapat berubah tanda hanya pada titik-titik yang sama dengan nol atau tidak ada.
Artinya, pada setiap interval antara titik-titik yang pembilang atau penyebutnya menjadi nol, tanda ekspresi di sisi kiri pertidaksamaan akan tetap - baik “plus” atau “minus”.
Oleh karena itu, untuk menentukan tanda fungsi pada setiap interval tersebut, kita ambil titik mana pun yang termasuk dalam interval tersebut. Salah satu yang nyaman bagi kami.
. Ambil contoh, dan periksa tanda ekspresi di sisi kiri pertidaksamaan. Masing-masing "tanda kurung" adalah negatif. Sisi kiri memiliki tanda.
Interval berikutnya: . Mari kita periksa tandanya di . Kami menemukan bahwa sisi kiri telah berubah tanda menjadi.
Mari kita ambil. Jika ekspresinya positif, maka ekspresi tersebut positif pada seluruh interval dari ke.
Jika ruas kiri pertidaksamaan bernilai negatif."> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}
Dan terakhir, class="tex" alt="x>7
Kami telah menemukan pada interval berapa ekspresi tersebut positif. Yang tersisa hanyalah menuliskan jawabannya:
Menjawab: . Harap diperhatikan: tanda-tandanya bergantian antar interval. Hal ini terjadi karena.
ketika melewati setiap titik, tepat salah satu faktor linier berubah tanda, sedangkan faktor linier lainnya tetap tidak berubah
Kita melihat bahwa metode interval sangat sederhana. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan pecahan-rasional dengan menggunakan metode interval, kita akan mereduksinya menjadi bentuk: Atau"> !} class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle P\left(x \kanan))(\displaystyle Q\left(x \kanan)) > 0
, atau , atau .
(di sisi kiri adalah fungsi rasional pecahan, di sisi kanan adalah nol).
Kemudian kita tandai pada garis bilangan titik-titik yang pembilang atau penyebutnya menjadi nol.
Titik-titik ini membagi seluruh garis bilangan menjadi beberapa interval, yang pada masing-masing interval tersebut fungsi rasional-fraksional tetap memiliki tandanya.
Kita melakukan ini dengan memeriksa tanda ekspresi pada titik mana pun yang termasuk dalam interval tertentu. Setelah itu, kami menuliskan jawabannya. Itu saja.
Namun timbul pertanyaan: apakah tanda-tandanya selalu bergantian? Tidak, tidak selalu! Anda harus berhati-hati dan tidak memasang tanda secara mekanis dan sembarangan.
2. Mari kita pertimbangkan ketimpangan lainnya.
Class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle \kiri(x-2 \kanan)^2)(\displaystyle \kiri(x-1 \kanan) \ kiri(x-3 \kanan))>0"> !}
Tempatkan kembali titik-titik pada sumbu. Titik-titik dan tertusuk karena penyebutnya nol. Intinya juga dihilangkan, karena kesenjangannya sangat ketat.
Jika pembilangnya positif, maka kedua faktor penyebutnya negatif. Hal ini dapat dengan mudah diperiksa dengan mengambil nomor apa saja dari interval tertentu, misalnya . Sisi kiri memiliki tanda:
Bila pembilangnya positif; Faktor pertama penyebutnya positif, faktor kedua negatif. Sisi kiri memiliki tanda:
Situasinya sama! Pembilangnya positif, faktor penyebutnya positif, dan faktor kedua negatif. Sisi kiri memiliki tanda:
Terakhir, dengan class="tex" alt="x>3">
все множители положительны, и левая часть имеет знак :!} 
Kami telah menemukan pada interval berapa ekspresi tersebut positif. Yang tersisa hanyalah menuliskan jawabannya:
Mengapa pergantian tanda terganggu? Karena ketika melewati suatu titik pengganda “bertanggung jawab” untuk itu tidak mengubah tanda. Akibatnya, seluruh ruas kiri pertidaksamaan kita tidak berubah tanda.
Kesimpulan: jika pengali liniernya adalah pangkat genap (misalnya kuadrat), maka ketika melewati suatu titik, tanda ekspresi di ruas kiri tidak berubah. Dalam kasus derajat ganjil, tandanya tentu saja berubah.
3. Mari kita pertimbangkan kasus yang lebih kompleks. Berbeda dengan yang sebelumnya karena ketimpangannya tidak ketat:
Sisi kiri sama dengan di tugas sebelumnya. Gambaran tandanya akan sama:
Mungkin jawabannya akan sama? TIDAK! Penyelesaian ditambahkan Hal ini terjadi karena ruas kiri dan kanan pertidaksamaan sama dengan nol - oleh karena itu, titik ini merupakan penyelesaian.
Kami telah menemukan pada interval berapa ekspresi tersebut positif. Yang tersisa hanyalah menuliskan jawabannya:
Keadaan ini sering terjadi pada soal-soal UN Unified State Examination bidang matematika. Di sinilah pelamar terjebak dan kehilangan poin. Hati-hati!
4. Apa yang harus dilakukan jika pembilang atau penyebutnya tidak dapat difaktorkan menjadi faktor linier? Pertimbangkan ketidaksetaraan ini:
Trinomial persegi tidak dapat difaktorkan: diskriminannya negatif, tidak ada akarnya. Tapi ini bagus! Artinya tanda ekspresi untuk semua adalah sama, dan khususnya positif. Anda dapat membaca lebih lanjut tentang ini di artikel tentang sifat-sifat fungsi kuadrat.
Dan sekarang kita bisa membagi kedua sisi ketidaksetaraan kita dengan nilai yang positif untuk semuanya. Mari kita sampai pada pertidaksamaan yang setara:
Yang mudah diselesaikan dengan menggunakan metode interval.
Harap perhatikan bahwa kami membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan nilai yang kami yakini positif. Tentu saja, secara umum, Anda tidak boleh mengalikan atau membagi pertidaksamaan dengan nilai variabel, yang tandanya tidak diketahui.
5 . Mari kita pertimbangkan ketimpangan lainnya, yang tampaknya cukup sederhana:
Saya hanya ingin mengalikannya dengan. Tapi kami sudah pintar, dan kami tidak akan melakukan ini. Bagaimanapun, ini bisa positif dan negatif. Dan kita tahu bahwa jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan dengan nilai negatif, maka tanda pertidaksamaan tersebut berubah.
Kami akan melakukannya secara berbeda - kami akan mengumpulkan semuanya menjadi satu bagian dan membawanya ke penyebut yang sama. Sisi kanan akan tetap nol:
Kelas="tex" alt="\genfrac())()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}
Dan setelah itu - terapkan metode interval.
Ketimpangan disebut linier ruas kiri dan kanannya merupakan fungsi linier terhadap besaran yang tidak diketahui. Hal ini misalnya mencakup kesenjangan:
2x-1-x+3; 7x0;
5 >4 - 6x 9- X< x + 5 .
1) Ketimpangan yang ketat: kapak +b>0 atau kapak+b<0
2) Ketimpangan yang tidak ketat: kapak +b≤0 atau kapak+b≫ 0
Mari kita menganalisis tugas ini. Salah satu sisi jajar genjang adalah 7 cm. Berapa panjang sisi yang lain agar keliling jajar genjang lebih besar dari 44 cm?
Biarkan sisi yang diperlukan menjadi X cm. Dalam hal ini, keliling jajar genjang akan diwakili oleh (14 + 2x) cm. Pertidaksamaan 14 + 2x > 44 adalah model matematika dari soal keliling jajar genjang. Jika kita mengganti variabel pada pertidaksamaan ini X misalnya pada bilangan 16, maka diperoleh pertidaksamaan numerik yang benar 14 + 32 > 44. Dalam hal ini dikatakan bahwa bilangan 16 merupakan penyelesaian pertidaksamaan 14 + 2x > 44.
Memecahkan ketimpangan sebutkan nilai suatu variabel yang mengubahnya menjadi pertidaksamaan numerik yang sebenarnya.
Jadi, masing-masing bilangan tersebut adalah 15,1; 20;73 merupakan penyelesaian pertidaksamaan 14 + 2x > 44, tetapi bilangan 10, misalnya, bukanlah penyelesaiannya.
Selesaikan ketimpangan berarti menetapkan semua solusinya atau membuktikan bahwa tidak ada solusi.
Rumusan penyelesaian pertidaksamaan serupa dengan rumusan akar persamaan. Namun bukanlah hal yang lazim untuk menyebut “akar ketimpangan”.
Sifat-sifat persamaan numerik membantu kita memecahkan persamaan. Demikian pula, sifat-sifat pertidaksamaan numerik akan membantu menyelesaikan pertidaksamaan.
Saat menyelesaikan suatu persamaan, kita menggantinya dengan persamaan lain yang lebih sederhana, tetapi setara dengan persamaan yang diberikan. Jawaban terhadap kesenjangan ditemukan dengan cara yang sama. Saat mengubah suatu persamaan menjadi persamaan ekuivalen, mereka menggunakan teorema tentang memindahkan suku-suku dari satu ruas persamaan ke ruas yang berlawanan dan tentang mengalikan kedua ruas persamaan dengan bilangan bukan nol yang sama. Saat menyelesaikan pertidaksamaan, terdapat perbedaan yang signifikan antara pertidaksamaan dan persamaan, yaitu bahwa setiap penyelesaian persamaan dapat diverifikasi hanya dengan substitusi ke persamaan aslinya. Dalam pertidaksamaan, metode ini tidak ada karena tidak mungkin untuk mensubstitusi solusi yang tak terhitung jumlahnya ke dalam pertidaksamaan awal. Oleh karena itu, ada konsep penting yaitu anak panah tersebut<=>adalah tanda transformasi yang setara, atau setara. Transformasi tersebut disebut setara, atau setara, jika mereka tidak mengubah rangkaian solusi.
Aturan serupa untuk menyelesaikan kesenjangan.
Jika kita memindahkan suatu suku dari satu bagian pertidaksamaan ke bagian pertidaksamaan lainnya, mengganti tandanya dengan tanda yang berlawanan, kita memperoleh pertidaksamaan yang ekuivalen dengan pertidaksamaan tersebut.
Jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan (dibagi) dengan bilangan positif yang sama, kita memperoleh pertidaksamaan yang ekuivalen dengan bilangan tersebut.
Jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan (dibagi) dengan bilangan negatif yang sama, dan mengganti tanda pertidaksamaan dengan tanda pertidaksamaan yang berlawanan, kita memperoleh pertidaksamaan yang ekuivalen dengan pertidaksamaan tersebut.
Menggunakan ini aturan Mari kita hitung pertidaksamaan berikut.
1) Mari kita analisis ketimpangan tersebut 2x - 5 > 9.
Ini ketimpangan linier, kita akan mencari solusinya dan membahas konsep dasarnya.
2x - 5 > 9<=>2x>14(5 dipindahkan ke sisi kiri dengan tanda berlawanan), lalu kita bagi semuanya dengan 2 dan kita punya x > 7. Mari kita plot himpunan solusi pada sumbu X
Kami telah memperoleh sinar yang diarahkan secara positif. Kami mencatat himpunan solusi baik dalam bentuk pertidaksamaan x > 7, atau dalam bentuk interval x(7; ∞). Apa solusi khusus untuk mengatasi kesenjangan ini? Misalnya, x = 10 adalah solusi khusus untuk ketimpangan ini, x = 12- ini juga merupakan solusi khusus untuk ketimpangan ini.
Ada banyak solusi parsial, namun tugas kita adalah menemukan semua solusi. Dan biasanya ada banyak sekali solusi.
Mari kita selesaikan contoh 2:
2) Mengatasi ketimpangan 4a - 11 > a+13.
Mari kita selesaikan: A pindahkan ke satu sisi 11 pindahkan ke sisi lain, kita mendapatkan 3a< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 ketidaksetaraan memiliki bentuk A<8 .
4a - 11 > a+13<=>3a< 24 <=>A< 8 .
Kami juga akan menampilkan setnya A< 8 , tapi sudah di poros A.
Jawabannya bisa kita tuliskan dalam bentuk pertidaksamaan a< 8, либо A(-∞;8), 8 tidak menyala.
Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.
Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi
Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.
Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.
Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.
Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:
- Saat Anda mengajukan permohonan di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.
Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:
- Dikumpulkan oleh kami informasi pribadi memungkinkan kami menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
- Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
- Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk keperluan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian guna meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
- Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.
Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga
Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.
Pengecualian:
- Apabila diperlukan - sesuai dengan peraturan perundang-undangan, acara peradilan, proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan masyarakat atau permohonan dari lembaga pemerintah di wilayah Federasi Rusia - ungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
- Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.
Perlindungan informasi pribadi
Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.
Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan
Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.
Misalnya, pertidaksamaan adalah ekspresi \(x>5\).
Jenis-jenis ketidaksetaraan:
Jika \(a\) dan \(b\) adalah bilangan atau , maka disebut pertidaksamaan numerik. Ini sebenarnya hanya membandingkan dua angka. Ketimpangan tersebut terbagi menjadi setia Dan tidak setia.
Misalnya:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);
\(17+3\geq 115\) adalah pertidaksamaan numerik yang salah, karena \(17+3=20\), dan \(20\) kurang dari \(115\) (dan tidak lebih besar atau sama dengan) .
Jika \(a\) dan \(b\) adalah ekspresi yang mengandung variabel, maka kita punya ketimpangan dengan variabel. Ketimpangan tersebut dibagi menjadi beberapa jenis tergantung pada isinya:
|
\(2x+1\geq4(5-x)\) |
Variabel hanya sampai pangkat satu |
|||
|
\(3x^2-x+5>0\) |
Ada variabel yang berpangkat kedua (kuadrat), tetapi tidak ada pangkat yang lebih tinggi (ketiga, keempat, dst.) |
|||
|
\(\log_(4)((x+1))<3\) |
||||
|
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\) |
Apa solusi untuk mengatasi ketimpangan?
Jika suatu bilangan disubstitusikan ke dalam suatu pertidaksamaan, bukan suatu variabel, maka bilangan tersebut akan berubah menjadi suatu bilangan.
Jika nilai x tertentu mengubah pertidaksamaan awal menjadi pertidaksamaan numerik yang sebenarnya, maka pertidaksamaan tersebut disebut solusi atas ketimpangan. Jika tidak, maka nilai tersebut bukanlah solusi. Dan begitulah menyelesaikan ketimpangan– Anda perlu menemukan semua solusinya (atau menunjukkan bahwa tidak ada solusi sama sekali).
Misalnya, jika kita mensubstitusi bilangan \(7\) ke dalam pertidaksamaan linier \(x+6>10\), kita mendapatkan pertidaksamaan numerik yang benar: \(13>10\). Dan jika kita substitusikan \(2\), akan terdapat pertidaksamaan numerik yang salah \(8>10\). Artinya, \(7\) merupakan solusi terhadap pertidaksamaan awal, namun \(2\) bukan.
Namun, pertidaksamaan \(x+6>10\) mempunyai solusi lain. Memang, kita akan mendapatkan pertidaksamaan numerik yang benar saat mensubstitusi \(5\), dan \(12\), dan \(138\)... Dan bagaimana kita bisa menemukan semua solusi yang mungkin? Untuk ini mereka menggunakan Untuk kasus kami, kami memiliki:
\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)
Artinya, angka apa pun yang lebih besar dari empat akan cocok untuk kita. Sekarang Anda perlu menuliskan jawabannya. Penyelesaian pertidaksamaan biasanya ditulis secara numerik dan juga ditandai pada sumbu bilangan dengan arsiran. Untuk kasus kami, kami memiliki:
Menjawab:
\(x\in(4;+\infty)\)
Kapan tanda pertidaksamaan berubah?
Ada satu jebakan besar dalam kesenjangan yang sangat “disukai” oleh siswa:
Saat mengalikan (atau membagi) suatu pertidaksamaan dengan bilangan negatif, pertidaksamaan tersebut dibalik (“lebih” dengan “kurang”, “lebih atau sama dengan” dengan “kurang dari atau sama dengan”, dan seterusnya)
Mengapa ini terjadi? Untuk memahaminya, mari kita lihat transformasi pertidaksamaan numerik \(3>1\). Benar sekali, tiga memang lebih besar dari satu. Pertama, mari kita coba mengalikannya dengan bilangan positif apa pun, misalnya dua:
\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)
Seperti yang bisa kita lihat, setelah perkalian, pertidaksamaan tersebut tetap benar. Dan berapapun bilangan positif yang kita kalikan, kita akan selalu mendapatkan pertidaksamaan yang benar. Sekarang mari kita coba mengalikannya dengan bilangan negatif, misalnya dikurangi tiga:
\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)
Hasilnya adalah pertidaksamaan yang salah, karena minus sembilan lebih kecil dari minus tiga! Artinya, agar pertidaksamaan menjadi benar (dan oleh karena itu, transformasi perkalian dengan negatif adalah “sah”), Anda perlu membalik tanda perbandingannya, seperti ini: \(−9<− 3\).
Dengan pembagian, hasilnya akan sama, Anda dapat memeriksanya sendiri.
Aturan yang tertulis di atas berlaku untuk semua jenis pertidaksamaan, tidak hanya pertidaksamaan numerik.
Contoh: Selesaikan pertidaksamaan \(2(x+1)-1<7+8x\)Larutan:
|
\(2x+2-1<7+8x\) |
Mari kita pindahkan \(8x\) ke kiri, lalu \(2\) dan \(-1\) ke kanan, jangan lupa ganti tandanya |
|
\(2x-8x<7-2+1\) |
|
|
\(-6x<6\) \(|:(-6)\) |
Mari kita bagi kedua ruas pertidaksamaan dengan \(-6\), jangan lupa mengubah dari “kurang” menjadi “lebih” |
|
Mari tandai interval numerik pada sumbu. Ketimpangan, oleh karena itu kita “menusuk” nilai \(-1\) itu sendiri dan tidak menganggapnya sebagai jawaban |
|
|
Mari kita tulis jawabannya sebagai interval |
Menjawab: \(x\in(-1;\infty)\)
Ketimpangan dan disabilitas
Pertidaksamaan, seperti halnya persamaan, dapat mempunyai batasan pada , yaitu pada nilai x. Oleh karena itu, nilai-nilai yang tidak dapat diterima menurut DZ harus dikeluarkan dari kisaran solusi.
Contoh: Selesaikan pertidaksamaan \(\sqrt(x+1)<3\)
Larutan: Jelas bahwa agar ruas kiri lebih kecil dari \(3\), ekspresi akarnya harus lebih kecil dari \(9\) (lagipula, dari \(9\) hanya \(3\)). Kami mendapatkan:
\(x+1<9\) \(|-1\)
\(X<8\)
Semua? Adakah nilai x yang lebih kecil dari \(8\) yang cocok untuk kita? TIDAK! Karena jika kita mengambil, misalnya, nilai \(-5\) yang tampaknya memenuhi syarat, maka nilai tersebut tidak akan menjadi penyelesaian pertidaksamaan awal, karena akan mengarahkan kita pada perhitungan akar suatu bilangan negatif.
\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)
Oleh karena itu, kita juga harus memperhitungkan batasan nilai X - tidak boleh ada bilangan negatif di bawah akar. Jadi, kita memiliki persyaratan kedua untuk x:
\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)
Dan agar x menjadi solusi akhir, ia harus memenuhi kedua persyaratan sekaligus: x harus lebih kecil dari \(8\) (untuk menjadi solusi) dan lebih besar dari \(-1\) (secara prinsip dapat diterima). Merencanakannya pada garis bilangan, kita mendapatkan jawaban akhir:
Menjawab: \(\kiri[-1;8\kanan)\)