Batasan luar biasa pertama adalah persamaan berikut:
\begin(persamaan)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(persamaan)
Karena untuk $\alpha\to(0)$ kita mempunyai $\sin\alpha\to(0)$, mereka mengatakan bahwa limit luar biasa pertama menunjukkan ketidakpastian dalam bentuk $\frac(0)(0)$. Secara umum, dalam rumus (1), alih-alih variabel $\alpha$, ekspresi apa pun dapat ditempatkan di bawah tanda sinus dan penyebut, selama dua kondisi terpenuhi:
- Ekspresi di bawah tanda sinus dan penyebut secara bersamaan cenderung nol, yaitu. ada ketidakpastian dalam bentuk $\frac(0)(0)$.
- Ekspresi di bawah tanda sinus dan penyebutnya sama.
Akibat wajar dari batas luar biasa pertama juga sering digunakan:
\begin(persamaan) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(persamaan) \begin(persamaan) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(persamaan) \begin(persamaan) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(persamaan)
Sebelas contoh diselesaikan di halaman ini. Contoh No. 1 dikhususkan untuk pembuktian rumus (2)-(4). Contoh No. 2, No. 3, No. 4 dan No. 5 berisi solusi dengan komentar rinci. Contoh No. 6-10 berisi solusi yang hampir tidak ada komentar, karena penjelasan rinci telah diberikan pada contoh sebelumnya. Solusinya menggunakan beberapa rumus trigonometri yang dapat ditemukan.
Saya perhatikan kehadiran itu fungsi trigonometri ditambah dengan ketidakpastian $\frac (0) (0)$ belum berarti penerapan wajib batas luar biasa pertama. Terkadang transformasi trigonometri sederhana sudah cukup - misalnya, lihat.
Contoh No.1
Buktikan bahwa $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.
a) Karena $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, maka:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$
Karena $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ dan $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , Itu:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$
b) Mari kita lakukan perubahan $\alpha=\sin(y)$. Karena $\sin(0)=0$, maka dari kondisi $\alpha\to(0)$ kita mendapatkan $y\to(0)$. Selain itu, ada lingkungan nol di mana $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, jadi:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\ke(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\ke(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
Persamaan $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ telah terbukti.
c) Mari kita lakukan penggantian $\alpha=\tg(y)$. Karena $\tg(0)=0$, maka kondisi $\alpha\to(0)$ dan $y\to(0)$ adalah ekuivalen. Selain itu, ada lingkungan nol di mana $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, oleh karena itu, berdasarkan hasil poin a), kita akan mendapatkan:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\ke(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\ke(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
Persamaan $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ telah terbukti.
Persamaan a), b), c) sering digunakan bersama dengan limit luar biasa pertama.
Contoh No.2
Hitung limitnya $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) ( x+7))$.
Karena $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ dan $\lim_( x \ke(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, yaitu dan pembilang dan penyebut pecahan secara bersamaan cenderung nol, maka di sini kita berhadapan dengan ketidakpastian dalam bentuk $\frac(0)(0)$, yaitu. Selesai. Selain itu, jelas bahwa ekspresi di bawah tanda sinus dan penyebutnya bertepatan (yaitu, terpenuhi):
Jadi, kedua kondisi yang tercantum di awal halaman terpenuhi. Oleh karena itu rumus tersebut dapat diterapkan, yaitu. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\kanan))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.
Menjawab: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\kanan))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.
Contoh No.3
Temukan $\lim_(x\ke(0))\frac(\sin(9x))(x)$.
Karena $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ dan $\lim_(x\to(0))x=0$, maka kita menghadapi ketidakpastian dalam bentuk $\frac (0 )(0)$, mis. Selesai. Namun, ekspresi di bawah tanda sinus dan penyebutnya tidak sama. Di sini Anda perlu menyesuaikan ekspresi penyebut ke bentuk yang diinginkan. Kita membutuhkan ekspresi $9x$ di penyebutnya, maka ekspresi tersebut akan menjadi kenyataan. Pada dasarnya, kita kehilangan faktor $9$ pada penyebutnya, yang tidak terlalu sulit untuk dimasukkan—cukup kalikan ekspresi dalam penyebutnya dengan $9$. Tentu saja, untuk mengkompensasi perkalian dengan $9$, Anda harus segera membaginya dengan $9$:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\kiri|\frac(0)(0)\kanan| =\lim_(x\ke(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\ke(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$
Sekarang ekspresi di penyebut dan di bawah tanda sinus bertepatan. Kedua kondisi untuk limit $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ terpenuhi. Oleh karena itu, $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. Dan ini berarti:
$$ 9\lim_(x\ke(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$
Menjawab: $\lim_(x\ke(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.
Contoh No.4
Carilah $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.
Karena $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ dan $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, di sini kita berhadapan dengan ketidakpastian bentuk $\frac(0)(0)$. Namun, bentuk batas luar biasa pertama telah dilanggar. Pembilang yang mengandung $\sin(5x)$ memerlukan penyebut $5x$. Dalam situasi ini, cara termudah adalah dengan membagi pembilangnya dengan $5x$, dan langsung mengalikannya dengan $5x$. Selain itu, kita akan melakukan operasi serupa dengan penyebut, mengalikan dan membagi $\tg(8x)$ dengan $8x$:
$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\kiri|\frac(0)(0)\kanan| =\lim_(x\ke(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$
Mengurangi sebesar $x$ dan mengambil konstanta $\frac(5)(8)$ di luar tanda batas, kita mendapatkan:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\ke(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$
Perhatikan bahwa $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ sepenuhnya memenuhi persyaratan untuk batas luar biasa pertama. Untuk mencari $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ rumus berikut dapat diterapkan:
$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$
Menjawab: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.
Contoh No.5
Carilah $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.
Karena $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (ingat bahwa $\cos(0)=1$) dan $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, maka kita menghadapi ketidakpastian dalam bentuk $\frac(0)(0)$. Namun, untuk menerapkan limit luar biasa pertama, Anda harus menghilangkan cosinus pada pembilangnya, beralih ke sinus (untuk kemudian menerapkan rumus) atau garis singgung (untuk kemudian menerapkan rumus). Hal ini dapat dilakukan dengan transformasi berikut:
$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\kiri(1-\cos^2(5x)\kanan)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\kiri(1-\cos^2(5x)\kanan)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$
Mari kita kembali ke batas:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\kiri|\frac(0)(0)\kanan| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\kanan) $$
Pecahan $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ sudah mendekati bentuk yang diperlukan untuk batas luar biasa pertama. Mari kita bekerja sedikit dengan pecahan $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$, sesuaikan dengan limit pertama yang luar biasa (perhatikan bahwa ekspresi dalam pembilang dan di bawah sinus harus cocok):
$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\kiri(\frac(\sin(5x))(5x)\kanan)^2$$
Mari kita kembali ke batas yang dimaksud:
$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\kanan)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$
Menjawab: $\lim_(x\ke(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.
Contoh No.6
Tentukan limit $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.
Karena $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ dan $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, maka kita berhadapan dengan ketidakpastian $\frac(0)(0)$. Mari kita ungkapkan dengan bantuan batas luar biasa pertama. Untuk melakukan ini, mari kita beralih dari cosinus ke sinus. Karena $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, maka:
$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$
Melewati sinus dalam batas yang diberikan, kita akan mendapatkan:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\kiri|\frac(0)(0)\kanan| =\lim_(x\ke(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\kanan)^2\cdot(9x^2))(\kiri(\frac(\sin(x))(x)\kanan)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \ke(0))\kiri(\frac(\sin(x))(x)\kanan)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$
Menjawab: $\lim_(x\ke(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.
Contoh No.7
Hitung batas $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ tunduk pada $\alpha\neq \ beta$.
Penjelasan rinci telah diberikan sebelumnya, namun di sini kami hanya mencatat bahwa sekali lagi terdapat ketidakpastian $\frac(0)(0)$. Mari beralih dari cosinus ke sinus menggunakan rumus
$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$
Dengan menggunakan rumus ini, kita mendapatkan:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\kiri|\frac(0)( 0)\kanan| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta )(2)\kanan)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\kanan))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\kiri(\frac(\sin\kiri(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\kanan))(x)\cdot\frac(\sin\kiri(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\kanan))(x)\kanan)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\kanan))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\kanan)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\kiri(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\kanan))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alfa^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$
Menjawab: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alfa^2)(2)$.
Contoh No.8
Tentukan limit $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.
Karena $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (ingat bahwa $\sin(0)=\tg(0)=0$) dan $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, maka di sini kita berhadapan dengan ketidakpastian dalam bentuk $\frac(0)(0)$. Mari kita uraikan sebagai berikut:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\kiri|\frac(0)(0)\kanan| =\lim_(x\ke(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\ke( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\kanan))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\kanan)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\kanan) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$
Menjawab: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.
Contoh No.9
Tentukan limit $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.
Karena $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ dan $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, maka terdapat ketidakpastian dalam bentuk $\frac(0)(0)$. Sebelum melanjutkan perluasannya, ada baiknya untuk melakukan perubahan variabel sedemikian rupa sehingga variabel baru cenderung nol (perhatikan bahwa dalam rumus variabel $\alpha \ke 0$). Cara termudah adalah dengan memperkenalkan variabel $t=x-3$. Namun, demi kemudahan transformasi lebih lanjut (manfaat ini dapat dilihat pada solusi di bawah), ada baiknya melakukan penggantian berikut: $t=\frac(x-3)(2)$. Saya perhatikan bahwa kedua penggantian dapat diterapkan dalam kasus ini, hanya saja penggantian kedua akan memungkinkan Anda bekerja lebih sedikit dengan pecahan. Karena $x\ke(3)$, maka $t\ke(0)$.
$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\kiri|\frac (0)(0)\kanan| =\kiri|\begin(sejajar)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(sejajar)\kanan| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ ke(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\ke(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\ke(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$
Menjawab: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.
Contoh No.10
Tentukan limitnya $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2)$.
Sekali lagi kita berhadapan dengan ketidakpastian $\frac(0)(0)$. Sebelum melanjutkan perluasannya, ada baiknya untuk melakukan perubahan variabel sedemikian rupa sehingga variabel baru cenderung nol (perhatikan bahwa dalam rumus variabelnya adalah $\alpha\to(0)$). Cara termudah adalah dengan memperkenalkan variabel $t=\frac(\pi)(2)-x$. Karena $x\ke\frac(\pi)(2)$, maka $t\ke(0)$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\kiri|\frac(0)(0)\kanan| =\kiri|\begin(sejajar)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(sejajar)\kanan| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0 ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\ke(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\ke(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\kiri(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\kanan)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$
Menjawab: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.
Contoh No.11
Tentukan limitnya $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2 \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.
Dalam hal ini kita tidak harus menggunakan batas indah pertama. Perlu diketahui bahwa limit pertama dan kedua hanya berisi fungsi dan bilangan trigonometri. Seringkali dalam contoh semacam ini dimungkinkan untuk menyederhanakan ekspresi yang terletak di bawah tanda batas. Selain itu, setelah penyederhanaan dan pengurangan beberapa faktor di atas, ketidakpastian tersebut hilang. Saya memberikan contoh ini hanya untuk satu tujuan: untuk menunjukkan bahwa keberadaan fungsi trigonometri di bawah tanda limit tidak selalu berarti penggunaan limit pertama yang luar biasa.
Karena $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (ingat bahwa $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) dan $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (izinkan saya mengingatkan Anda bahwa $\cos\frac(\pi)(2)=0$), maka kita punya menghadapi ketidakpastian dalam bentuk $\frac(0)(0)$. Namun, ini tidak berarti bahwa kita harus menggunakan batasan ajaib pertama. Untuk mengungkap ketidakpastian, cukup dengan memperhitungkan bahwa $\cos^2x=1-\sin^2x$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\ke\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\ke\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$
Ada solusi serupa dalam buku solusi Demidovich (No. 475). Sedangkan untuk limit kedua, seperti pada contoh sebelumnya di bagian ini, kita mempunyai ketidakpastian dalam bentuk $\frac(0)(0)$. Mengapa hal itu muncul? Itu muncul karena $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ dan $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Kami menggunakan nilai-nilai ini untuk mengubah ekspresi pembilang dan penyebut. Tujuan dari tindakan kita adalah menuliskan jumlah pembilang dan penyebutnya sebagai suatu produk. Ngomong-ngomong, seringkali dalam tipe yang sama akan lebih mudah untuk mengubah variabel, dibuat sedemikian rupa sehingga variabel baru cenderung nol (lihat, misalnya, contoh No. 9 atau No. 10 di halaman ini). Namun, dalam contoh ini tidak ada gunanya mengganti, meskipun jika diinginkan, mengganti variabel $t=x-\frac(2\pi)(3)$ tidak sulit untuk diterapkan.
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ ke\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\kiri(\cos(x)+\frac(1)(2)\kanan )) =\lim_(x\ke\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\kiri(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\kanan))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \kiri(x-\frac(2\pi)(3)\kanan))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\kiri(x-\frac(2\pi)(3)\kanan))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\ke\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\ke\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2 \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\kiri(-\frac(1)(2)\kanan)\cdot\kiri( -\frac(1)(2)\kanan)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$
Seperti yang Anda lihat, kami tidak perlu menerapkan batasan luar biasa pertama. Tentu saja, Anda dapat melakukan ini jika Anda mau (lihat catatan di bawah), namun hal ini tidak perlu.
Apa solusinya dengan menggunakan limit luar biasa pertama? tampilkan\sembunyikan
Dengan menggunakan batas luar biasa pertama yang kita peroleh:
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\ke\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ kanan))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\kanan) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\kiri(-\frac(1)(2)\kanan)\cdot\kiri(-\frac(1)(2)\kanan)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$
Menjawab: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\ke\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.
Batas fungsi- nomor A akan menjadi batas suatu nilai variabel jika, dalam proses perubahannya, ini kuantitas variabel mendekat tanpa batas waktu A.
Atau dengan kata lain, nomornya A adalah limit fungsinya kamu = f(x) pada intinya x 0, jika untuk sembarang barisan titik dari domain definisi fungsi , tidak sama x 0, dan yang konvergen ke intinya x 0 (lim x n = x0), barisan nilai fungsi yang bersesuaian menyatu dengan bilangan tersebut A.
Grafik suatu fungsi yang limitnya, jika diberi argumen yang cenderung tak terhingga, adalah sama dengan L:
Arti A adalah limit (nilai batas) dari fungsi tersebut f(x) pada intinya x 0 dalam kasus untuk setiap urutan poin 
, yang konvergen ke x 0, tapi yang tidak mengandung x 0 sebagai salah satu elemennya (yaitu di sekitar yang tertusuk x 0), urutan nilai fungsi 
menyatu ke A.
Limit suatu fungsi menurut Cauchy.
Arti A akan batas fungsinya f(x) pada intinya x 0 jika untuk bilangan non-negatif yang diambil terlebih dahulu ε nomor non-negatif yang sesuai akan ditemukan δ = δ(ε) sedemikian rupa untuk setiap argumen X, memenuhi kondisi 0 < | x - x0 | < δ , ketimpangan akan terpenuhi | f(x)A |< ε .
Akan sangat sederhana jika Anda memahami esensi dari limit dan aturan dasar untuk menemukannya. Berapakah limit fungsinya F (X) pada X berjuang untuk A sama A, ditulis seperti ini:
Apalagi nilai ke mana variabel tersebut cenderung X, tidak hanya berupa angka, tetapi juga tak terhingga (∞), terkadang +∞ atau -∞, atau mungkin tidak ada batasan sama sekali.
Untuk memahami caranya mencari limit suatu fungsi, yang terbaik adalah melihat contoh solusi.
Kita perlu mencari limit fungsinya F (x) = 1/X pada:
X→ 2, X→ 0, X→ ∞.
Mari kita cari solusi untuk limit pertama. Untuk melakukan ini, Anda cukup menggantinya X angka yang cenderung, yaitu. 2, kita mendapatkan:
Mari kita cari limit kedua dari fungsi tersebut. Gantikan di sini bentuk murni 0 sebagai gantinya X itu tidak mungkin, karena Anda tidak dapat membaginya dengan 0. Tapi kita bisa mengambil nilai mendekati nol, misalnya 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 dan seterusnya, serta nilai fungsinya F (X) akan meningkat: 100; 1000; 10.000; 100.000 dan seterusnya. Dengan demikian, dapat dipahami bahwa kapan X→ 0 nilai fungsi yang berada di bawah tanda limit akan bertambah tanpa batas, yaitu berusaha menuju ketidakterbatasan. Artinya:
Mengenai batasan ketiga. Situasi yang sama seperti pada kasus sebelumnya tidak dapat digantikan ∞ dalam bentuknya yang paling murni. Kita perlu mempertimbangkan kasus peningkatan yang tidak terbatas X. Kami mengganti 1000 satu per satu; 10.000; 100000 dan seterusnya, kita mendapatkan nilai fungsinya F (x) = 1/X akan berkurang: 0,001; 0,0001; 0,00001; dan seterusnya, cenderung nol. Itu sebabnya:
Penting untuk menghitung limit fungsi 
Mulai menyelesaikan contoh kedua, kita melihat ketidakpastian. Dari sini kita menemukan derajat tertinggi dari pembilang dan penyebutnya - ini adalah x 3, kita keluarkan dari tanda kurung pada pembilang dan penyebutnya lalu dikurangi dengan:
Menjawab 
Langkah pertama masuk menemukan batas ini, gantikan nilai 1 sebagai gantinya X, sehingga menimbulkan ketidakpastian. Untuk menyelesaikannya, mari kita faktorkan pembilangnya dan lakukan ini menggunakan metode mencari akar persamaan kuadrat x 2 + 2x - 3:
D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4
x 1,2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;x 2= 1.
Jadi pembilangnya adalah:
Menjawab 
Ini adalah definisi dari nilai spesifiknya atau area tertentu di mana fungsi tersebut berada, yang dibatasi oleh limit.
Untuk mengatasi batasan, ikuti aturan:
Setelah memahami hakikat dan pokoknya aturan untuk menyelesaikan limit, Anda akan mendapatkan pemahaman dasar tentang cara menyelesaikannya.
Apa itu batasan? Batasi konsep
Setiap orang, tanpa kecuali, di lubuk hatinya yang terdalam memahami apa itu batas, tetapi begitu mereka mendengar "batas fungsi" atau "batas urutan", sedikit kebingungan muncul.
Jangan takut, itu hanya ketidaktahuan! Setelah 3 menit membaca berikut ini, Anda akan menjadi lebih melek huruf.
Penting untuk memahami sekali dan untuk selamanya apa yang mereka maksud ketika mereka berbicara tentang beberapa posisi, makna, situasi yang membatasi, dan secara umum, ketika mereka menggunakan istilah batasan dalam hidup.
Orang dewasa memahami hal ini secara intuitif, dan kami akan menganalisisnya menggunakan beberapa contoh.
Contoh satu
Mari kita ingat baris-baris lagu grup “Chaif”: “...jangan sampai batasnya, jangan sampai batasnya...”.
Contoh dua
Pasti Anda pernah mendengar ungkapan tentang kedudukan suatu benda di luar angkasa yang sangat stabil.
Anda sendiri dapat dengan mudah mensimulasikan situasi seperti itu dengan hal-hal yang ada.
Misalnya, miringkan sedikit botol plastik lalu lepaskan. Itu akan kembali ke bawah.
Namun ada posisi miring yang ekstrim sehingga di luar itu ia akan jatuh begitu saja.
Sekali lagi, posisi pembatas dalam hal ini adalah sesuatu yang spesifik. Penting untuk memahami hal ini.
Banyak sekali contoh penggunaan istilah batas: batas kemampuan manusia, batas kekuatan suatu bahan, dan sebagainya.
Ya, kita menghadapi pelanggaran hukum setiap hari)))
Namun sekarang kita tertarik pada limit suatu barisan dan limit suatu fungsi dalam matematika.
Membatasi urutan nomor dalam matematika
Limit (deretan bilangan) merupakan salah satu konsep dasar analisis matematis. Ratusan teorema yang mendefinisikan sains modern didasarkan pada konsep perjalanan menuju batas.
Lurus contoh konkrit untuk kejelasan.
Katakanlah ada barisan bilangan tak terhingga yang masing-masing berukuran setengah bilangan sebelumnya, dimulai dari satu: 1, ½, ¼, ...
Jadi limit barisan numerik (jika ada) adalah suatu nilai tertentu.
Dalam proses membagi dua, setiap nilai berikutnya dalam barisan mendekati angka tertentu tanpa batas.
Sangat mudah untuk menebak bahwa itu akan menjadi nol.
Penting!
Jika kita berbicara tentang adanya suatu limit (nilai limit), tidak berarti bahwa suatu anggota barisan akan sama dengan nilai limit tersebut. Dia hanya bisa memperjuangkannya.
Dari contoh kita, hal ini lebih dari jelas. Tidak peduli berapa kali kita membagi satu dengan dua, kita tidak akan pernah mendapatkan nol. Hanya akan ada angka dua kali lebih kecil dari angka sebelumnya, tapi bukan nol!
Batas suatu fungsi dalam matematika
Dalam analisis matematis, yang terpenting adalah konsep limit suatu fungsi.
Tanpa mendalami teori, katakanlah berikut ini: nilai pembatas suatu fungsi mungkin tidak selalu termasuk dalam rentang nilai fungsi itu sendiri.
Ketika argumen berubah, fungsi akan berusaha mendapatkan nilai tertentu, tetapi mungkin tidak akan pernah menerimanya.
Misalnya hiperbola 1/x tidak memiliki nilai nol pada titik mana pun, tetapi cenderung nol tanpa batas seiring kecenderungannya X hingga tak terhingga.
Batasi kalkulator
Tujuan kami bukan untuk memberi Anda pengetahuan teoritis; ada banyak buku yang cerdas dan tebal untuk ini.
Tapi kami menyarankan Anda menggunakannya kalkulator daring batas di mana Anda dapat membandingkan solusi Anda dengan jawaban yang benar.
Selain itu, kalkulator memberikan solusi langkah demi langkah terhadap limit, sering kali menerapkan aturan L'Hopital menggunakan diferensiasi pembilang dan penyebut suatu fungsi kontinu pada suatu titik atau pada segmen tertentu.
Larutan batas fungsi online. Temukan nilai batas suatu fungsi atau barisan fungsional pada suatu titik, hitung terakhir nilai fungsi di tak terhingga. menentukan konvergensi suatu deret bilangan dan masih banyak lagi yang dapat dilakukan berkat layanan online kami -. Kami memungkinkan Anda menemukan batasan fungsi secara online dengan cepat dan akurat. Anda sendiri yang memasukkan variabel fungsi dan batas kecenderungannya, dan layanan kami melakukan semua perhitungan untuk Anda, memberikan jawaban yang akurat dan sederhana. Dan untuk menemukan batasnya secara online Anda dapat memasukkan suka seri angka, dan fungsi analitik yang berisi konstanta dalam ekspresi literal. Dalam hal ini, limit fungsi yang ditemukan akan berisi konstanta-konstanta ini sebagai argumen konstanta dalam ekspresi. Layanan kami memecahkan masalah pencarian yang rumit batasan daring, cukup dengan menunjukkan fungsi dan titik yang perlu dihitung membatasi nilai fungsi. Menghitung batasan daring, Anda dapat menggunakan berbagai metode dan aturan untuk menyelesaikannya, sambil memeriksa hasil yang diperoleh dengan memecahkan batas secara online di www.site, yang akan mengarah pada keberhasilan penyelesaian tugas - Anda akan menghindari kesalahan dan kesalahan administrasi Anda sendiri. Atau Anda dapat sepenuhnya mempercayai kami dan menggunakan hasil kami dalam pekerjaan Anda, tanpa menghabiskan tenaga dan waktu ekstra untuk menghitung batas fungsi secara mandiri. Kami mengizinkan masukan nilai batas seperti tak terhingga. Penting untuk memasukkan anggota umum dari barisan bilangan dan www.situs akan menghitung nilainya batasi secara daring hingga plus atau minus tak terhingga.
Salah satu konsep dasar analisis matematis adalah batas fungsi Dan batas urutan pada suatu titik dan tak terhingga, penting untuk dapat menyelesaikannya dengan benar batas. Dengan layanan kami ini tidak akan sulit. Sebuah keputusan sedang dibuat batasan daring dalam beberapa detik, jawabannya akurat dan lengkap. Kajian analisis matematis dimulai dengan transisi ke batas, batas digunakan di hampir semua bidang matematika tingkat tinggi, jadi akan berguna jika memiliki server solusi batas online, yaitu matematikam.ru.