Batasi dan bicarakan masing-masing dimensi Minkowski atas dan bawah.
Konsep yang dekat dengan dimensi Minkowski adalah dimensi Hausdorff. Dalam banyak kasus, dimensi-dimensi ini sama, meskipun ada himpunan yang berbeda.
Contoh
Lebih detailnya
Argumen informal untuk menunjukkan hal ini adalah sebagai berikut. Ruas tersebut dapat dibagi menjadi 2 bagian, mirip dengan ruas aslinya dengan perbandingan 1/2. Untuk menutupi suatu segmen dengan kumpulan diameter 1/ N, Anda perlu menutupi setiap bagian dengan set tersebut. Tetapi untuk setengahnya Anda memerlukan nomor yang sama dengan seluruh segmen himpunan diameter 2/ N. Oleh karena itu, untuk segmen yang kami miliki. Yaitu dengan bertambahnya N dua kali ρ( N) juga berlipat ganda. Dengan kata lain, ρ( N) adalah fungsi linier.
Untuk persegi, alasan serupa diberikan. Artinya, dengan meningkatnya N dua kali ρ( N) meningkat 4 kali lipat. Dengan kata lain, ρ( N) adalah fungsi kuadrat. N = 3 Terakhir, kurva Koch terdiri dari 4 bagian yang masing-masing mirip dengan kurva aslinya dengan faktor 1/3. Oleh karena itu, untuknya. Mengganti k , kita mengerti. Maka dimensinya adalah ln4 /N 3 .
aku N Secara formal: misalkan n menjadi langkah fraktal, pada langkah ke-n kita akan mendapatkan 4 N segmen yang sama, panjang 3 − N. Mari kita ambil ε sebagai segmen dengan panjang 3 − N, maka untuk menutupi seluruh kurva Koch kita membutuhkan 4
segmen. Agar kondisi ε→0 terpenuhi, mari kita arahkan n→. Kami mengerti
- Properti
- Dimensi Minkowski dari gabungan himpunan berhingga sama dengan dimensi maksimumnya. Berbeda dengan dimensi Hausdorff, hal ini tidak berlaku untuk kesatuan yang dapat dihitung. Misalnya, himpunan bilangan rasional antara 0 dan 1 memiliki dimensi Minkowski 1, meskipun merupakan gabungan himpunan tunggal yang dapat dihitung (masing-masing memiliki dimensi 0). Contoh himpunan tertutup yang dapat dihitung dengan dimensi Minkowski bukan nol diberikan di atas.
- Dimensi Minkowski bawah suatu himpunan lebih besar atau sama dengan dimensi Hausdorffnya.
Dimensi Minkowski suatu himpunan sama dengan dimensi Minkowski penutupannya. Oleh karena itu, masuk akal untuk hanya membicarakan dimensi Minkowski dari himpunan tertutup.
Lihat juga
- Yayasan Wikimedia.
- 2010.
Thrace (wilayah bersejarah di Semenanjung Balkan)
Alam semesta fraktal- Dimensi: Dalam matematika, Teori Dimensi adalah bagian dari topologi yang mempelajari dimensi, invarian topologi numerik dari jenis tertentu. Dimensi ruang adalah jumlah parameter independen yang diperlukan untuk... ... Wikipedia
Dimensi- Dimensi: Dalam matematika, Teori Dimensi adalah bagian dari topologi yang mempelajari dimensi, invarian topologi numerik dari jenis tertentu. Dimensi ruang adalah jumlah parameter independen yang diperlukan untuk menggambarkan keadaan... ... Wikipedia
Grafik fraktal- Himpunan Mandelbrot adalah contoh klasik fraktal. Fraktal (lat. fractus hancur) adalah istilah yang berarti bangun geometri yang mempunyai sifat kemiripan diri, yaitu tersusun dari beberapa bagian yang masing-masing serupa dengan bagian tersebut. keseluruhan gambar... ... Wikipedia
Alam semesta fraktal
Kosmologi fraktal- Teori materi bersarang tak terbatas (teori fraktal) sebagai lawan atomisme, sebuah teori filosofis, fisika, dan kosmologis alternatif. Teori ini didasarkan pada induktif kesimpulan logis tentang struktur yang dapat diamati... ... Wikipedia
Teori fraktal- Teori materi bersarang tak terbatas (teori fraktal) sebagai lawan atomisme, sebuah teori filosofis, fisika, dan kosmologis alternatif. Teori ini didasarkan pada kesimpulan logis induktif tentang struktur yang dapat diamati... ... Wikipedia
Pergolakan- Untuk film dengan judul ini, lihat Turbulensi (film). Mekanika kontinum ... Wikipedia
Aliran tidak menentu
Aliran turbulen- Mekanika kontinum Kontinum Mekanika klasik Hukum kekekalan massa Hukum kekekalan momentum ... Wikipedia
Pergolakan- Mekanika kontinum Kontinum Mekanika klasik Hukum kekekalan massa Hukum kekekalan momentum ... Wikipedia
Buku
- Kekacauan dinamis, S.P. Kuznetsov. Fondasi gagasan tentang kekacauan dinamis diuraikan - sebuah fenomena yang sedang dipelajari secara aktif akhir-akhir ini dan ditemukan dalam sistem nonlinier dengan berbagai sifat - mekanis,...
Ada banyak pembicaraan tentang fraktal. Ratusan situs yang didedikasikan untuk fraktal telah dibuat di Web. Namun sebagian besar informasi bermuara pada fakta bahwa fraktal itu indah. Misteri fraktal dijelaskan oleh dimensi pecahannya, namun hanya sedikit orang yang memahami apa itu dimensi pecahan.
Di suatu tempat pada tahun 1996 saya menjadi tertarik dengan apa itu dimensi pecahan dan apa artinya. Bayangkan betapa terkejutnya saya ketika mengetahui bahwa ini bukanlah hal yang sulit, dan anak sekolah mana pun dapat memahaminya.
Di sini saya akan mencoba menjelaskan secara populer apa itu dimensi pecahan. Untuk mengimbangi kurangnya informasi mengenai topik ini.
Mengukur badan
Pertama, pengenalan singkat untuk menyusun gagasan kita sehari-hari tentang pengukuran benda.
Tanpa berusaha keras untuk mendapatkan formulasi yang presisi secara matematis, mari kita cari tahu apa itu ukuran, ukuran, dan dimensi.
Besar kecilnya suatu benda dapat diukur dengan penggaris. Dalam kebanyakan kasus, ukurannya tidak informatif. “Gunung” manakah yang lebih besar?
Jika kita membandingkan tinggi, maka yang merah lebih besar, jika lebarnya hijau.
Perbandingan ukuran dapat menjadi informatif jika itemnya serupa satu sama lain:
Sekarang, berapa pun dimensi yang kita bandingkan: lebar, tinggi, sisi, keliling, jari-jari lingkaran bertulisan, atau lainnya, gunung hijau itu selalu lebih besar.
Takaran juga berfungsi untuk mengukur suatu benda, namun tidak diukur dengan penggaris. Kita akan membicarakan bagaimana tepatnya pengukurannya nanti, tetapi untuk saat ini mari kita perhatikan properti utamanya - pengukurannya bersifat aditif.
Dinyatakan dalam bahasa sehari-hari, apabila dua benda menyatu, maka besaran jumlah kedua benda tersebut sama dengan jumlah besaran benda aslinya.
Untuk benda satu dimensi, besarnya sebanding dengan besarnya. Jika Anda mengambil ruas-ruas yang panjangnya 1cm dan 3cm dan “menjumlahkannya”, maka “total” ruas tersebut akan memiliki panjang 4cm (1+3=4cm).
Untuk benda non-satu dimensi, ukuran dihitung berdasarkan aturan tertentu, yang dipilih agar ukuran tersebut mempertahankan aditif. Misalnya, jika Anda mengambil persegi dengan sisi 3cm dan 4cm dan “melipatnya” (menggabungkannya), maka luasnya akan dijumlahkan (9+16=25cm²), yaitu sisi (ukuran) hasilnya akan menjadi menjadi 5cm.
Baik suku maupun jumlahnya adalah kuadrat. Mereka mirip satu sama lain dan kita dapat membandingkan ukurannya. Ternyata besar jumlah tersebut tidak sama dengan jumlah besar suku-sukunya (5≄4+3).
Bagaimana hubungan ukuran dan ukuran?
Dimensi
Justru dimensilah yang memungkinkan kita menghubungkan ukuran dan ukuran.
Mari kita nyatakan dimensi - D, ukur - M, ukuran - L. Maka rumus yang menghubungkan ketiga besaran tersebut akan terlihat seperti:
Untuk ukuran-ukuran yang familiar bagi kita, rumus ini memiliki bentuk yang familiar. Untuk benda dua dimensi (D=2) ukuran (M) adalah luas (S), untuk benda tiga dimensi (D=3) - volume (V):
S = L 2 , V = L 3
Pembaca yang penuh perhatian akan bertanya, dengan hak apa kita menulis tanda sama dengan? Baiklah, luas persegi sama dengan kuadrat sisinya, tapi bagaimana dengan luas lingkaran? Apakah rumus ini berlaku untuk objek apa pun?
Ya dan tidak. Anda dapat mengganti persamaan dengan proporsionalitas dan memasukkan koefisien, atau Anda dapat berasumsi bahwa kita memasukkan ukuran benda dengan tepat agar rumusnya berfungsi. Misalnya, untuk sebuah lingkaran kita akan menyebut ukuran panjang busur sama dengan akar radian “pi”. Mengapa tidak?
Bagaimanapun, ada atau tidaknya koefisien tidak akan mengubah esensi penalaran selanjutnya. Untuk mempermudah, saya tidak akan memperkenalkan koefisien; jika mau, Anda dapat menambahkannya sendiri, ulangi semua alasannya dan pastikan (alasannya) tidak kehilangan validitasnya.
Dari semua hal di atas, kita dapat menarik satu kesimpulan: jika angka tersebut dikurangi sebanyak N kali (diskalakan), maka angka tersebut akan sesuai dengan N D kali aslinya.
Memang, jika Anda mengurangi segmen (D = 1) sebanyak 5 kali, maka segmen tersebut akan muat tepat di segmen aslinya sebanyak lima kali (5 1 = 5); Jika segitiga (D = 2) dikurangi 3 kali, maka segitiga tersebut akan masuk ke dalam segitiga semula sebanyak 9 kali (3 2 = 9).
Jika kubus (D = 3) diperkecil 2 kali, maka kubus tersebut muat menjadi kubus semula sebanyak 8 kali (2 3 = 8).
Hal sebaliknya juga terjadi: jika, ketika ukuran suatu bangun diperkecil sebanyak N kali, ternyata sesuai dengan aslinya sebanyak n kali (yaitu, ukurannya berkurang sebanyak n kali), maka dimensinya dapat dihitung menggunakan rumusnya.
Mandelbrot mengusulkan definisi sementara fraktal berikut ini:
Fraktal adalah himpunan yang dimensi Hausdorff-Besikovichnya lebih besar daripada dimensi topologinya
Definisi ini pada gilirannya memerlukan definisi istilah himpunan, dimensi Hausdorff-Besikovich dan dimensi topologi yang selalu sama dengan bilangan bulat. Untuk tujuan kami, kami lebih memilih definisi yang sangat longgar dari istilah-istilah ini dan ilustrasi yang jelas (menggunakan contoh-contoh sederhana) daripada presentasi yang lebih teliti namun formal dari konsep-konsep yang sama. Mandelbrot mempersempit definisi awalnya, mengusulkan untuk menggantinya dengan definisi berikut
Fraktal adalah suatu struktur yang terdiri dari bagian-bagian yang dalam arti tertentu mirip dengan keseluruhan.
Belum ada definisi yang tegas dan lengkap tentang fraktal. Faktanya adalah definisi pertama, meskipun benar dan akurat, terlalu membatasi. Ini menghilangkan banyak fraktal yang ditemukan dalam fisika. Definisi kedua mengandung suatu hal yang esensial tanda, ditekankan dalam buku kami dan diamati dalam eksperimen: sebuah fraktal terlihat sama, apa pun skala pengamatannya. Ambil contoh beberapa awan kumulus yang indah. Mereka terdiri dari "punuk-punuk" besar, yang di atasnya muncul "punuk-punuk" yang lebih kecil, di atasnya - "punuk-punuk" yang lebih kecil lagi, dll. hingga skala terkecil yang bisa Anda selesaikan. Faktanya, hanya memiliki penampilan awan dan tanpa menggunakan apa pun informasi tambahan, ukuran awan tidak dapat diperkirakan.
Fraktal yang akan dibahas dalam buku ini dapat dianggap sebagai kumpulan titik-titik yang tertanam dalam ruang. Misalnya, himpunan titik-titik yang membentuk garis dalam ruang Euclidean biasa mempunyai dimensi topologi dan dimensi Hausdorff-Besicovitch. Dimensi ruang Euclidean sama dengan Karena untuk sebuah garis, garis tersebut, menurut definisi Mandelbrot, bukanlah fraktal, yang menegaskan kewajaran definisi tersebut. Demikian pula, himpunan titik yang membentuk permukaan dalam ruang c mempunyai dimensi topologi. Kita melihat bahwa permukaan biasa bukanlah fraktal, tidak peduli betapa rumitnya permukaan tersebut. Terakhir, sebuah bola, atau bola utuh, memiliki Contoh-contoh ini memungkinkan kita untuk mendefinisikan beberapa jenis himpunan yang sedang kita pertimbangkan.
Inti dari definisi dimensi Hausdorff-Besicovitch dan, oleh karena itu, dimensi fraktal adalah konsep jarak antar titik dalam ruang. Bagaimana mengukur "besarnya"
kumpulan titik dalam ruang? Cara sederhana untuk mengukur panjang kurva, luas permukaan, atau volume benda padat adalah dengan membagi ruang menjadi kubus-kubus kecil dengan rusuk 8, seperti ditunjukkan pada Gambar. 2.5. Alih-alih kubus, kita dapat mengambil bola kecil dengan diameter 8. Jika kita menempatkan pusat bola kecil di suatu titik dalam himpunan, maka semua titik yang terletak jauh dari pusat akan tertutup oleh bola tersebut. Dengan menghitung jumlah bola yang diperlukan untuk menutupi himpunan titik yang kita minati, kita memperoleh ukuran besarnya himpunan tersebut. Suatu kurva dapat diukur dengan menentukan banyaknya ruas lurus dengan panjang 8 yang diperlukan untuk menutupinya. Tentu saja, untuk kurva biasa, panjang kurva ditentukan dengan melewati batasnya
Pada limitnya, contoh menjadi sama asimtotik dengan panjang kurva dan tidak bergantung pada 8.
Banyak titik yang dapat ditetapkan suatu area. Misalnya, luas suatu kurva dapat ditentukan dengan menentukan jumlah lingkaran atau persegi yang diperlukan untuk menutupinya. Jika adalah banyaknya persegi-persegi tersebut, dan merupakan luas masing-masing persegi tersebut, maka luas kurvanya adalah
Demikian pula, volume V pada kurva dapat didefinisikan sebagai nilai
Beras. 2.5. Mengukur "besarnya" suatu kurva.
Tentu saja, untuk kurva biasa nilai tersebut hilang pada , dan satu-satunya ukuran yang menarik adalah panjang kurva.
Seperti yang mudah dilihat, untuk suatu permukaan biasa, jumlah persegi yang diperlukan untuk menutupinya ditentukan dalam limit dengan persamaan dimana adalah luas permukaan.
Suatu permukaan dapat diberi volume, yang merupakan jumlah volume kubus yang diperlukan untuk menutupi permukaan:
Pada volume ini, seperti yang diharapkan, ia menghilang.
Apakah mungkin untuk menetapkan panjang apa pun pada permukaan? Secara formal, kita bisa mencapai sejauh ini
yang menyimpang pada Hasil ini masuk akal, karena tidak mungkin menutupi permukaan dengan jumlah segmen lurus yang terbatas. Kami menyimpulkan bahwa satu-satunya ukuran yang bermakna dari himpunan titik-titik yang membentuk suatu permukaan adalah ruang tiga dimensi, adalah daerahnya.
Sangat mudah untuk melihat bahwa himpunan titik-titik yang membentuk kurva bisa
Beras. 2.6. Mengukur "besarnya" suatu permukaan.
dipelintir begitu erat sehingga panjangnya menjadi tak terhingga, dan memang ada kurva (kurva Peano) yang memenuhi bidang tersebut. Ada juga permukaan yang melengkung sedemikian rupa sehingga memenuhi ruangan. Agar kita dapat mempertimbangkan kumpulan titik-titik yang tidak biasa tersebut, ada baiknya kita menggeneralisasi ukuran-ukuran ukuran himpunan yang telah kita perkenalkan.
Sampai saat ini, ketika menentukan ukuran himpunan titik Y dalam ruang, kami memilih beberapa fungsi uji - ruas garis lurus, persegi, lingkaran, bola atau kubus - dan menutupi himpunan tersebut, membentuk suatu ukuran . Untuk ruas garis lurus, bujur sangkar, dan kubus, koefisien geometri untuk lingkaran dan bola. Kami menyimpulkan bahwa dalam kasus umum contohnya sama dengan nol atau tak terhingga, bergantung pada pilihan -dimensi ukuran. Dimensi Hausdorff-Besikovich suatu himpunan adalah dimensi kritis di mana ukuran tersebut mengubah nilainya dari nol hingga tak terhingga:
Kami menyebutnya -ukuran suatu himpunan. Nilai at sering kali terbatas, namun dapat bernilai nol atau tak terhingga; Penting untuk mengetahui berapa nilai kuantitas yang berubah secara tiba-tiba. Perhatikan bahwa dalam definisi di atas, dimensi Hausdorff-Besikovich muncul sebagai properti lokal dalam arti bahwa dimensi ini mencirikan properti himpunan titik-titik dalam batas pada diameter, atau ukuran, yang semakin kecil dari fungsi pengujian yang digunakan untuk mencakup set. Akibatnya, dimensi fraktal juga dapat menjadi ciri lokal suatu himpunan. Sebenarnya ada beberapa poin halus di sini yang patut dipertimbangkan. Secara khusus, definisi dimensi Hausdorff-Besikovich memungkinkan untuk mencakup sekumpulan bola yang ukurannya tidak harus sama, asalkan diameter semua bola kurang dari 8. Dalam hal ini, -ukurannya adalah yang terkecil, yaitu, secara kasar, nilai minimum, yang diperoleh untuk semua cakupan yang mungkin. Misalnya, lihat bagian. 5.2. Mereka yang tertarik akan menemukan presentasi matematis yang cermat dari pertanyaan tersebut dalam buku Falconer.
Sifat fraktal yang ketiga adalah objek fraktal mempunyai dimensi selain Euclidean (dengan kata lain dimensi topologi). Dimensi fraktal merupakan indikator kompleksitas kurva. Dengan menganalisis pergantian area dengan dimensi fraktal berbeda dan bagaimana sistem dipengaruhi oleh faktor eksternal dan internal, Anda dapat belajar memprediksi perilaku sistem. Dan yang terpenting, mendiagnosis dan memprediksi kondisi tidak stabil.
Dalam gudang matematika modern, Mandelbrot menemukan ukuran kuantitatif yang tepat untuk ketidaksempurnaan objek - kontur yang berliku-liku, kerutan permukaan, retakan, dan porositas volume. Itu diusulkan oleh dua ahli matematika - Felix Hausdorff (1868-1942) dan Abram Samoilovich Besikovich (1891-1970). Saat ini ia pantas menyandang nama mulia penciptanya - dimensi Hausdorff-Besikovich. Apa itu dimensi dan mengapa kita memerlukannya dalam kaitannya dengan analisis pasar keuangan? Sebelumnya, kita hanya mengetahui satu jenis dimensi - topologi (Gbr. 3.11). Kata dimensi sendiri menunjukkan berapa banyak dimensi yang dimiliki suatu benda. Untuk garis lurus sama dengan 1, yaitu. kita hanya mempunyai satu dimensi yaitu panjang garis. Untuk sebuah bidang, dimensinya adalah 2, karena kita memiliki dimensi dua dimensi, panjang dan lebar. Untuk benda ruang atau volumetrik, dimensinya ada 3: panjang, lebar, dan tinggi.
Mari kita lihat contoh permainan komputer. Jika permainan dibuat dalam grafik 3D, maka bersifat spasial dan tiga dimensi, jika dalam grafik 2D, grafik digambarkan pada bidang datar (Gbr. 3.10).
Hal yang paling tidak biasa (lebih tepat dikatakan tidak biasa) tentang dimensi Hausdorff-Besicovitch adalah bahwa dimensi tersebut tidak hanya dapat mengambil nilai bilangan bulat, seperti dimensi topologi, tetapi juga nilai pecahan. Sama dengan satu untuk garis lurus (segmen tak hingga, semi tak hingga, atau hingga), dimensi Hausdorff-Besicovitch meningkat seiring dengan meningkatnya tortuositas, sedangkan dimensi topologi dengan keras kepala mengabaikan semua perubahan yang terjadi pada garis.
Dimensi mencirikan komplikasi suatu himpunan (misalnya, garis). Jika ini adalah kurva dengan dimensi topologi sama dengan 1 (garis lurus), maka kurva tersebut dapat diperumit dengan jumlah tikungan dan cabang yang tak terhingga sedemikian rupa sehingga dimensi fraktalnya mendekati dua, yaitu. akan memenuhi hampir seluruh bidang (Gbr. 3.12).
Meningkatkan nilainya, dimensi Hausdorff–Besicovitch tidak mengubahnya secara tiba-tiba, seperti yang terjadi pada dimensi topologi “di tempatnya”, bergerak dari 1 lurus ke 2. Dimensi Hausdorff–Besicovitch—dan sekilas ini mungkin tampak tidak biasa dan mengejutkan —Mengambil nilai pecahan : sama dengan satu untuk garis lurus menjadi sama dengan 1,15 untuk garis yang sedikit berliku, 1,2 untuk garis yang lebih berliku, 1,5 untuk garis yang sangat berliku, dan seterusnya. (Gbr. 3.13).
Untuk menekankan kemampuan dimensi Hausdorff-Besicovitch dalam mengambil nilai pecahan dan bukan bilangan bulat, Mandelbrot mengemukakan neologismenya, menyebutnya sebagai dimensi fraktal. Jadi, dimensi fraktal (tidak hanya Hausdorff-Besicovitch, tetapi dimensi lainnya) adalah dimensi yang tidak harus berupa bilangan bulat, tetapi juga nilai pecahan.
Untuk fraktal geometris linier, dimensi mencirikan kesamaan dirinya. Perhatikan Gambar 3.17 (a), garis tersebut terdiri atas N = 4 ruas yang masing-masing ruas panjangnya r = 1/3. Hasilnya, kami mendapatkan rasio:
D = logN/log(1/r)
Situasinya sangat berbeda ketika kita berbicara tentang multifraktal (objek non-linier). Di sini dimensi kehilangan maknanya sebagai definisi kesamaan suatu objek dan didefinisikan melalui berbagai generalisasi, apalagi dimensi unik fraktal linier yang mirip diri. Dalam multifraktal, nilai H bertindak sebagai indikator dimensi. Kita akan melihat hal ini secara lebih rinci dalam bab “Mendefinisikan siklus di pasar valuta asing.”
Nilai dimensi fraktal dapat berfungsi sebagai indikator yang menentukan banyaknya faktor yang mempengaruhi sistem. Di pasar valuta asing, dimensi tersebut dapat mencirikan volatilitas harga. Setiap pasangan mata uang memiliki perilakunya sendiri. Pasangan GBP/USD berperilaku lebih impulsif dibandingkan EUR/USD. Hal yang paling menarik adalah bahwa mata uang ini bergerak dengan struktur tingkat harga yang sama, namun dimensinya berbeda, yang dapat mempengaruhi perdagangan intraday dan perubahan model yang luput dari perhatian orang yang tidak berpengalaman.
Dengan dimensi fraktal kurang dari 1,4, sistem dipengaruhi oleh satu atau lebih gaya yang menggerakkan sistem dalam satu arah. Jika dimensinya sekitar 1,5, maka gaya-gaya yang bekerja pada sistem bersifat multi arah, tetapi kurang lebih saling mengimbangi. Perilaku sistem dalam hal ini bersifat stokastik dan dijelaskan dengan baik oleh klasik metode statistik. Jika dimensi fraktal secara signifikan lebih dari 1,6, sistem menjadi tidak stabil dan siap bertransisi ke keadaan baru. Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa semakin kompleks struktur yang kita amati, semakin besar kemungkinan terjadinya pergerakan kuat.
Gambar 3.14 menunjukkan dimensi yang diterapkan pada model matematika untuk memberi Anda pemahaman lebih dalam tentang arti istilah ini. Perhatikan bahwa ketiga gambar menunjukkan satu siklus. Pada Gambar 3.14(a) dimensinya adalah 1,2, pada Gambar 3.14(b) dimensinya adalah 1,5, dan pada Gambar 3. 14(c) 1.9. Terlihat bahwa dengan bertambahnya dimensi maka persepsi suatu benda menjadi semakin rumit, dan amplitudo getarannya semakin besar.
Pada pasar keuangan Dimensi tersebut tidak hanya tercermin pada kualitas volatilitas harga, namun juga pada kualitas detail siklus (gelombang). Berkat itu, kita akan dapat membedakan apakah suatu gelombang termasuk dalam skala waktu tertentu.
Gambar 3.15 menunjukkan pasangan EUR/USD pada skala harga harian. Harap dicatat bahwa siklus yang terbentuk dan awal dari siklus baru yang lebih besar terlihat jelas. Dengan beralih ke skala per jam dan memperbesar salah satu siklus, kita akan dapat melihat siklus yang lebih kecil, dan sebagian siklus besar terletak pada skala D1 (Gbr. 3.16). Merinci siklus, mis. dimensinya memungkinkan kita untuk menentukan dari kondisi awal bagaimana situasi dapat berkembang di masa depan. Kita dapat mengatakan bahwa: dimensi fraktal mencerminkan sifat invarian skala dari himpunan yang sedang dipertimbangkan.
Konsep invarian diperkenalkan oleh Mandelbrot dari kata “scalant” - scalable, yaitu. ketika suatu objek memiliki sifat invarian, ia memiliki tingkat (skala) tampilan yang berbeda.
Pada gambar, lingkaran “A” menyoroti siklus kecil (gelombang detail), lingkaran “B” – gelombang siklus yang lebih besar. Berkat dimensi gelombang, kita selalu dapat menentukan besarnya siklus.
Dengan demikian, kita dapat mengatakan bahwa fraktal sebagai model digunakan ketika objek nyata tidak dapat direpresentasikan dalam bentuk model klasik. Artinya kita berhadapan dengan hubungan nonlinier dan sifat data yang nondeterministik (acak). Nonlinier dalam arti ideologis berarti banyak jalur pembangunan, adanya pilihan jalur alternatif dan laju evolusi tertentu, serta proses evolusi yang tidak dapat diubah. Nonlinier di pengertian matematika berarti jenis persamaan matematika tertentu (nonlinier persamaan diferensial), mengandung besaran-besaran yang diperlukan dalam pangkat lebih besar dari satu atau koefisien-koefisien yang bergantung pada sifat-sifat medium.
Ketika kita menerapkan model klasik (misalnya tren, regresi, dll.), kita mengatakan bahwa masa depan suatu objek ditentukan secara unik, yaitu. sepenuhnya bergantung pada kondisi awal dan dapat diprediksi dengan jelas. Anda dapat menjalankan sendiri salah satu model ini di Excel. Contoh model klasik dapat direpresentasikan sebagai tren yang terus menurun atau meningkat. Dan kita dapat memprediksi perilakunya dengan mengetahui masa lalu objek tersebut (data masukan untuk pemodelan). Dan fraktal digunakan ketika suatu objek memiliki beberapa opsi pengembangan dan keadaan sistem ditentukan oleh posisinya saat ini. Artinya, kami mencoba mensimulasikan perkembangan yang kacau, dengan mempertimbangkan kondisi awal objek. Pasar valuta asing antar bank adalah sistem yang tepat.
Sekarang mari kita lihat bagaimana dari garis lurus Anda bisa mendapatkan apa yang kita sebut fraktal, dengan sifat bawaannya.
Gambar 3.17(a) menunjukkan kurva Koch. Mari kita ambil sebuah ruas garis, panjangnya = 1, yaitu. masih merupakan dimensi topologi. Sekarang kita akan membaginya menjadi tiga bagian (masing-masing 1/3 panjangnya), dan menghapus sepertiga bagian tengahnya. Namun kita akan mengganti sepertiga tengahnya dengan dua ruas (masing-masing 1/3 panjangnya), yang dapat dianggap sebagai dua sisi segitiga sama sisi. Desain tahap dua (b) ini digambarkan pada Gambar 3.17(a). Pada titik ini kita mempunyai 4 bagian yang lebih kecil, masing-masing 1/3 panjangnya, jadi panjang keseluruhannya adalah 4(1/3) = 4/3. Kami kemudian mengulangi proses ini untuk masing-masing dari 4 bagian garis yang lebih kecil. Ini adalah tahap ketiga (c). Ini akan memberi kita 16 bagian garis yang lebih kecil lagi, masing-masing 1/9 panjangnya. Jadi panjang keseluruhannya sekarang adalah 16/9 atau (4/3)2. Hasilnya, kami mendapat dimensi pecahan. Namun ini bukan satu-satunya hal yang membedakan struktur yang dihasilkan dengan struktur lurus. Ia telah menjadi serupa diri dan tidak mungkin menggambar garis singgung pada titik mana pun (Gbr. 3.17 (b)).
Konsep "fraktal" dan "geometri fraktal" muncul pada tahun 70-80an abad terakhir. Mereka telah menjadi mapan di kalangan ahli matematika dan pemrogram. Kata “fraktal” berasal dari bahasa latin fractus yang artinya pecahan, terdiri dari pecahan-pecahan. Hal ini diusulkan oleh ahli matematika Amerika Benoit Mandelbrot pada tahun 1975 untuk menunjuk pada struktur serupa diri yang tidak beraturan (“rusak”) yang ia khawatirkan.
Menurut definisi yang diberikan oleh Mandelbrot, “fraktal adalah suatu struktur yang terdiri dari bagian-bagian yang dalam beberapa hal serupa dengan keseluruhan.” Fraktal adalah kemiripan diri yang tak terhingga sosok geometris, setiap fragmennya diulang seiring dengan penurunan skala (lihat Gambar 6). Invariansi skala yang diamati dalam fraktal dapat berupa eksak atau perkiraan.
Gambar 6. Kemiripan diri fraktal menggunakan contoh himpunan Mandelbrot
Dari sudut pandang matematika, fraktal, pertama-tama, adalah sekumpulan dimensi pecahan.
Kelahiran geometri fraktal biasanya dikaitkan dengan diterbitkannya buku Mandelbrot “Fractal Geometry of Nature” pada tahun 1977, di mana penulisnya mengumpulkan dan mensistematisasikan hasil ilmiah para ilmuwan yang bekerja pada periode 1875-1925. di area yang sama (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff).
Geometri fraktal adalah revolusi dalam matematika dan deskripsi matematis tentang alam. Beginilah penemu geometri fraktal, B. Mandelbrot sendiri, menulis tentangnya: “Mengapa geometri sering disebut dingin dan kering? Salah satu alasannya adalah ketidakmampuannya menggambarkan bentuk awan, gunung, pohon, atau pantai. Awan tidak berbentuk bola, gunung tidak berbentuk kerucut, garis pantai tidak berbentuk lingkaran, kerak bumi tidak licin, dan kilat tidak merambat lurus. Alam tidak hanya menunjukkan kepada kita lebih banyak derajat tinggi, tetapi tingkat kerumitannya benar-benar berbeda."
Mandelbrot menunjukkan bahwa geometri dunia nyata bukanlah Euclidean, melainkan fraktal. Objek Euclidean “Biasa” adalah abstraksi matematis, tetapi alam lebih menyukai bentuk yang tidak halus, kasar, dan bergerigi. Geometri baru telah ditambahkan ke geometri Euclidean, perbedaannya adalah ia tidak beroperasi dengan benda halus dan bentuk yang sudah dikenal seperti segitiga, persegi, lingkaran, bola, dll. Fraktal dijelaskan dengan sangat akurat oleh banyak orang fenomena fisik dan formasi alam. Kepingan salju, kuda laut, cabang pohon, sambaran petir, dan pegunungan dapat digambar menggunakan fraktal. Oleh karena itu, banyak ilmuwan modern yang mengatakan bahwa alam memiliki sifat fraktalitas.
Dimensi fraktal
Ciri utama objek fraktal adalah untuk mendeskripsikannya, dimensi topologi "standar" (untuk ruang, untuk permukaan - , untuk garis - , untuk suatu titik), yang, seperti diketahui, selalu berupa bilangan bulat, bukanlah cukup. Dimensi dipahami sebagai jumlah minimum parameter yang diperlukan untuk menggambarkan posisi suatu titik dalam ruang. Inkonsistensi persepsi naif tersebut menjadi jelas setelah ditemukannya korespondensi satu-satu antara titik-titik suatu segmen dan persegi dan pemetaan kontinu suatu segmen ke persegi (lihat Gambar 7). Yang pertama dibangun oleh Cantor (1877), yang kedua oleh Peano (1890).
Gambar 7. Konstruksi jalur Peano
Fraktal dicirikan oleh “kekasaran” geometris. Oleh karena itu, digunakan konsep khusus dimensi fraktal yang diperkenalkan oleh F. Hausdorff dan A.S. Besikovich. Diterapkan pada objek ideal geometri Euclidean klasik, hasilnya sama nilai numerik, seperti dimensi topologi, tetapi dimensi baru memiliki kepekaan yang lebih halus terhadap segala macam ketidaksempurnaan objek nyata, sehingga memungkinkan untuk membedakan dan mengindividualisasikan apa yang sebelumnya tidak berwajah dan tidak dapat dibedakan. Alat halus ini memungkinkan Anda menyimpulkan objek geometris biasa mana - titik, garis, atau bidang - yang lebih dekat dengan kumpulan fraktal eksotis tertentu.
Mandelbrot memberikan definisi matematis yang ketat tentang fraktal sebagai himpunan yang dimensi Hausdorffnya lebih besar daripada dimensi topologinya. Sementara garis Euclidean halus mengisi ruang satu dimensi, kurva fraktal menyerbu ruang dua dimensi karena dimensinya antara 1 dan 2. Fraktal adalah garis “ganda” yang terputus-putus tanpa batas. Mereka menyerupai akordeon, yang masing-masing bagiannya, bahkan yang sangat kecil, jika Anda mencoba meluruskannya, ternyata panjangnya tak terhingga.
Mari kita bahas dimensi fraktal menggunakan contoh fraktal beraturan (abstraksi matematis). Mari kita perhatikan dulu suatu segmen dengan satuan panjang, yang dibagi menjadi beberapa bagian yang sama panjangnya, sehingga. Ketika nilainya menurun, nilainya meningkat secara linier, seperti yang diharapkan untuk kurva satu dimensi. Demikian pula, jika kita membagi persegi yang luas satuannya menjadi persegi yang sama panjang dengan salah satu sisinya, kita mendapatkan hasil yang diharapkan untuk benda dua dimensi. Dapat dikatakan bahwa dalam kasus umum, dimana adalah dimensi benda (lihat Gambar 8).
Gambar 8. Menutupi suatu benda dengan kubus berdimensi n
Oleh karena itu, dengan mengambil logaritma kedua ruas persamaan ini dan meneruskannya ke limit karena cenderung nol, kita dapat menyatakan dimensinya dalam bentuk:
Kesetaraan ini merupakan definisi dari Hausdorff atau dimensi fraktal, yang biasanya mengambil nilai pecahan.
Mari kita beri contoh himpunan yang terdiri dari titik-titik individual, tetapi jumlah titik-titik tersebut sama banyaknya dengan segmen mana pun dari sumbu nyata. Ambil ruas yang panjangnya 1. Bagi menjadi tiga bagian sama besar, hilangkan bagian tengahnya. Kami akan melakukan prosedur yang sama dengan dua segmen yang tersisa dan sebagai hasilnya kami akan mendapatkan 4 segmen dengan panjang masing-masing 1/9, dan seterusnya. hingga tak terhingga - gbr. 9.
Gambar 9. Konstruksi set Cantor
Himpunan titik-titik yang muncul setelah prosedur ini disebut himpunan Cantor. Sangat mudah untuk melihat bahwa panjang himpunan ini adalah nol. Benar-benar,
Sekarang mari kita cari dimensi Hausdorff atau fraktalnya. Untuk melakukan ini, kami memilih segmen panjangnya sebagai "standar".
Jumlah minimum segmen yang diperlukan untuk menutupi himpunan adalah sama dengan
Oleh karena itu dimensi fraktalnya
Selain itu, dimensi dapat ditentukan berdasarkan ketergantungan perubahan ukuran bagian ruang yang ditempati benda terhadap perubahan dimensi liniernya:
Untuk garis. Untuk pesawat. Untuk volume.
Mari kita lakukan percobaan berikut: ambil segitiga sama sisi dan secara berurutan kita akan mengganti setiap baris yang menyusunnya dengan empat baris lainnya, seperti terlihat pada Gambar 10.
Gambar 10. Konstruksi kepingan salju Koch
Dengan mengulangi operasi ini cukup lama, kita akan mendapatkan objek tertentu yang tampak seperti kepingan salju (disebut kepingan salju Koch), dan dengan setiap langkah, panjang kurva yang membatasi luas kepingan salju bertambah sepertiga. Dimensinya akan sama, karena dengan setiap bertambahnya kepingan salju sebanyak tiga kali lipat, panjang kurva bertambah empat. Jika Anda membiarkan jumlah iterasi menjadi tak terhingga, Anda akan mendapatkan sebuah objek yang luasnya terbatas dibatasi oleh kurva tak terhingga.