სად ეცემა სიმაღლე მართკუთხა სამკუთხედში.

ხელოვნება

• გეომეტრიული ამოცანების ამოხსნისას სასარგებლოა ასეთი ალგორითმის დაცვა. პრობლემის პირობების წაკითხვისას აუცილებელია
• გააკეთე ნახატი. ნახატი მაქსიმალურად უნდა შეესაბამებოდეს პრობლემის პირობებს, ამიტომ მისი მთავარი ამოცანაა დაეხმაროს გამოსავლის პოვნაში
• ნახატზე მოათავსეთ ყველა მონაცემი პრობლემის განცხადებიდან დაწერე ყველაფერიგეომეტრიული ცნებები
• , რომლებიც ჩნდება პრობლემაში
• დაიმახსოვრე ყველა თეორემა, რომელიც ეხება ამ ცნებებს ნახატზე დახაზეთ ყველა ურთიერთობა ელემენტებს შორისგეომეტრიული ფიგურა

, რომელიც გამომდინარეობს ამ თეორემებიდან

მაგალითად, თუ პრობლემა შეიცავს სამკუთხედის კუთხის ბისექტრის სიტყვებს, უნდა დაიმახსოვროთ ბისექტრის განმარტება და თვისებები და ნახატზე მიუთითოთ თანაბარი ან პროპორციული სეგმენტები და კუთხეები.

ამ სტატიაში თქვენ იხილავთ სამკუთხედის ძირითად თვისებებს, რომლებიც უნდა იცოდეთ პრობლემების წარმატებით გადასაჭრელად.

სამკუთხედი.

1. ,

სამკუთხედის ფართობი.

2. ,

აქ - სამკუთხედის თვითნებური გვერდი, - სიმაღლე დაიკლო ამ მხარეს.

3. აქ და არის სამკუთხედის თვითნებური გვერდები და არის კუთხე ამ გვერდებს შორის:

ჰერონის ფორმულა:

4. ,

აქ არის სამკუთხედის გვერდების სიგრძეები, არის სამკუთხედის ნახევარპერიმეტრი,

აქ არის სამკუთხედის ნახევარპერიმეტრი და არის ჩაწერილი წრის რადიუსი.

მოდით იყოს ტანგენტის სეგმენტების სიგრძეები.

5.

6. ,

მაშინ ჰერონის ფორმულა შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

აქ - სამკუთხედის გვერდების სიგრძეები, - შემოხაზული წრის რადიუსი.

თუ სამკუთხედის გვერდიდან არის აღებული წერტილი, რომელიც ყოფს ამ გვერდს m:n თანაფარდობით, მაშინ ამ წერტილის დამაკავშირებელი სეგმენტი საპირისპირო კუთხის წვეროსთან ყოფს სამკუთხედს ორ სამკუთხედად, რომელთა ფართობები თანაფარდობაშია. m: n:

მსგავსი სამკუთხედების ფართობების თანაფარდობა ტოლია მსგავსების კოეფიციენტის კვადრატის.

სამკუთხედის მედიანა

ეს არის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს სამკუთხედის წვეროს მოპირდაპირე მხარის შუათან.სამკუთხედის მედიანები

იკვეთება ერთ წერტილში და იყოფა გადაკვეთის წერტილზე 2:1 თანაფარდობით, წვეროდან დათვლა.

რეგულარული სამკუთხედის შუალედების გადაკვეთის წერტილი მედიანას ყოფს ორ სეგმენტად, რომელთაგან პატარა უდრის შემოხაზული წრის რადიუსს, ხოლო დიდი უდრის შემოხაზული წრის რადიუსს.

შემოხაზული წრის რადიუსი ორჯერ აღემატება შემოხაზული წრის რადიუსს: R=2rსაშუალო სიგრძე

,

თვითნებური სამკუთხედი

აქ - გვერდისკენ მიზიდული მედიანა - სამკუთხედის გვერდების სიგრძეები.

სამკუთხედის ბისექტორი

აქ - გვერდისკენ მიზიდული მედიანა - სამკუთხედის გვერდების სიგრძეები.ყოფს გვერდს მიმდებარე გვერდების პროპორციულ სეგმენტებად:

სამკუთხედის ბისექტრებიიკვეთება ერთ წერტილში, რომელიც არის ჩაწერილი წრის ცენტრი.

კუთხის ბისექტრის ყველა წერტილი თანაბრად არის დაშორებული კუთხის გვერდებიდან.

სამკუთხედის სიმაღლე

ეს არის სამკუთხედის წვეროდან მოპირდაპირე მხარეს ჩამოშვებული პერპენდიკულური სეგმენტი ან მისი გაგრძელება. ბლაგვ სამკუთხედში, მახვილი კუთხის წვეროდან გამოყვანილი სიმაღლე სამკუთხედის გარეთ მდებარეობს.

სამკუთხედის სიმაღლეები იკვეთება ერთ წერტილში, რომელსაც ე.წ სამკუთხედის ორთოცენტრი.

სამკუთხედის სიმაღლის საპოვნელადგვერდით დახატული, თქვენ უნდა იპოვოთ მისი ფართობი ნებისმიერი ხელმისაწვდომი გზით და შემდეგ გამოიყენოთ ფორმულა:

სამკუთხედის წრეწირის ცენტრი, დევს სამკუთხედის გვერდებზე გამოყვანილი პერპენდიკულარული ბისექტორების გადაკვეთის ადგილზე.

სამკუთხედის წრეწირის რადიუსი შეგიძლიათ იპოვოთ შემდეგი ფორმულების გამოყენებით:

აქ არის სამკუთხედის გვერდების სიგრძე და არის სამკუთხედის ფართობი.

,

სად არის სამკუთხედის გვერდის სიგრძე და არის მოპირდაპირე კუთხე. (ეს ფორმულა გამომდინარეობს სინუსების თეორემიდან.)

სამკუთხედის უტოლობა

სამკუთხედის თითოეული გვერდი ჯამზე ნაკლებია და დანარჩენი ორის სხვაობაზე დიდი.

ნებისმიერი ორი მხარის სიგრძის ჯამი ყოველთვის მეტია მესამე მხარის სიგრძეზე:

დიდი მხარის საპირისპიროდ დევს უფრო დიდი კუთხე; დიდი კუთხის საპირისპიროდ არის დიდი მხარე:

თუ, მაშინ პირიქით.

სინუსების თეორემა:

სამკუთხედის გვერდები პროპორციულია მოპირდაპირე კუთხის სინუსების:

კოსინუსების თეორემა:

სამკუთხედის გვერდის კვადრატი უდრის დანარჩენი ორი გვერდის კვადრატების ჯამს ამ გვერდების ორჯერ ნამრავლის გარეშე მათ შორის კუთხის კოსინუსზე:

მართკუთხა სამკუთხედი

- ეს არის სამკუთხედი, რომლის ერთ-ერთი კუთხეა 90°.

მართკუთხა სამკუთხედის მახვილი კუთხეების ჯამი არის 90°.

ჰიპოტენუზა არის მხარე, რომელიც მდებარეობს 90° კუთხის საპირისპიროდ. ჰიპოტენუზა ყველაზე გრძელი მხარეა.

პითაგორას თეორემა:

ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის ფეხების კვადრატების ჯამს:

მართკუთხა სამკუთხედში ჩაწერილი წრის რადიუსი ტოლია

,

აქ არის ჩაწერილი წრის რადიუსი, - ფეხები, - ჰიპოტენუზა:

მართკუთხა სამკუთხედის წრეწირის ცენტრი დევს ჰიპოტენუზის შუაში:

ჰიპოტენუზასთან დახატული მართკუთხა სამკუთხედის მედიანა, უდრის ჰიპოტენუზის ნახევარს.

მართკუთხა სამკუთხედის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის განმარტებაშეხედე

ელემენტების თანაფარდობა მართკუთხა სამკუთხედში:

წვეროდან გამოყვანილი მართკუთხა სამკუთხედის სიმაღლის კვადრატი სწორი კუთხე, პროდუქტის ტოლიფეხების პროგნოზები ჰიპოტენუზაზე:

ფეხის კვადრატი უდრის ჰიპოტენუზას ნამრავლს და ფეხის პროექციას ჰიპოტენუზაზე:

ფეხი წევს კუთხის მოპირდაპირედ უდრის ჰიპოტენუზის ნახევარს:

ტოლფერდა სამკუთხედი.

ფუძესთან დახატული ტოლფერდა სამკუთხედის ბისექტორი არის შუალედი და სიმაღლე.

ტოლფერდა სამკუთხედში ფუძის კუთხეები ტოლია.

მწვერვალის კუთხე.

და - მხარეები,

და - კუთხეები ბაზაზე.

სიმაღლე, ბისექტორი და მედიანა.

ყურადღება!გვერდით დახატული სიმაღლე, ბისექტორი და მედიანა არ ემთხვევა.

რეგულარული სამკუთხედი

(ან ტოლგვერდა სამკუთხედი ) არის სამკუთხედი, რომლის ყველა გვერდი და კუთხე ერთმანეთის ტოლია.

რეგულარული სამკუთხედის ფართობიტოლია

სად არის სამკუთხედის გვერდის სიგრძე.

წრის ცენტრი, რომელიც ჩაწერილია ჩვეულებრივ სამკუთხედში, ემთხვევა წრის ცენტრს, რომელიც შემოიფარგლება რეგულარული სამკუთხედის გარშემო და მდებარეობს შუამავლების გადაკვეთის წერტილში.

წესიერი სამკუთხედის შუალედების გადაკვეთის წერტილიმედიანას ყოფს ორ სეგმენტად, რომელთაგან პატარა უდრის შემოხაზული წრის რადიუსს, ხოლო დიდი უდრის შემოხაზული წრის რადიუსს.

თუ ტოლფერდა სამკუთხედის ერთ-ერთი კუთხეა 60°, მაშინ სამკუთხედი რეგულარულია.

სამკუთხედის შუა ხაზი

ეს არის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ორი მხარის შუა წერტილებს.

სურათზე DE - შუა ხაზისამკუთხედი ABC.

სამკუთხედის შუა ხაზი მესამე გვერდის პარალელურია და მისი ნახევრის ტოლია: DE||AC, AC=2DE

სამკუთხედის გარე კუთხე

ეს არის სამკუთხედის ნებისმიერი კუთხის მიმდებარე კუთხე.

სამკუთხედის გარე კუთხე ტოლია ორი კუთხის ჯამის, რომელიც არ არის მიმდებარე.

გარე კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები:

სამკუთხედების თანასწორობის ნიშნები:

1 . თუ ერთი სამკუთხედის ორი გვერდი და მათ შორის კუთხე, შესაბამისად, უდრის ორ გვერდს და კუთხე მათ შორის მეორე სამკუთხედს, მაშინ ასეთი სამკუთხედები კონგრუენტულია.

2 . თუ ერთი სამკუთხედის გვერდი და ორი მიმდებარე კუთხე, შესაბამისად, ტოლია მეორე სამკუთხედის გვერდის და ორი მიმდებარე კუთხის, მაშინ ასეთი სამკუთხედები კონგრუენტულია.

3 თუ ერთი სამკუთხედის სამი გვერდი შესაბამისად უდრის მეორე სამკუთხედის სამ გვერდს, მაშინ ასეთი სამკუთხედები კონგრუენტულია.

მნიშვნელოვანია:რადგან შიგნით მართკუთხა სამკუთხედიცნობილია, რომ ორი კუთხე ტოლია, შემდეგ ამისთვის ორი მართკუთხა სამკუთხედის ტოლობასაჭიროა მხოლოდ ორი ელემენტის თანასწორობა: ორი გვერდი, ან გვერდი და მახვილი კუთხე.

სამკუთხედების მსგავსების ნიშნები:

1 . თუ ერთი სამკუთხედის ორი გვერდი პროპორციულია მეორე სამკუთხედის ორი გვერდის და ამ გვერდებს შორის კუთხეები ტოლია, მაშინ ეს სამკუთხედები მსგავსია.

2 . თუ ერთი სამკუთხედის სამი გვერდი პროპორციულია მეორე სამკუთხედის სამი გვერდის, მაშინ სამკუთხედები მსგავსია.

3 . თუ ერთი სამკუთხედის ორი კუთხე უდრის მეორე სამკუთხედის ორ კუთხეს, მაშინ სამკუთხედები მსგავსია.

მნიშვნელოვანია:მსგავს სამკუთხედებში მსგავსი გვერდები განლაგებულია თანაბარი კუთხით.

მენელაუსის თეორემა

მოდით, წრფე კვეთს სამკუთხედს და არის მისი გადაკვეთის წერტილი გვერდთან, არის მისი გადაკვეთის წერტილი გვერდთან და არის მისი გადაკვეთის წერტილი გვერდის გაგრძელებასთან. მაშინ

მართკუთხა სამკუთხედი- ეს არის სამკუთხედი, რომელშიც ერთ-ერთი კუთხე სწორია, ანუ 90 გრადუსის ტოლია.

• მართი კუთხის მოპირდაპირე მხარეს ჰიპოტენუზა ეწოდება (სურათზე მითითებულ როგორც გან AB)
• მარჯვენა კუთხის მიმდებარე მხარეს ფეხი ეწოდება. თითოეულ მართკუთხა სამკუთხედს აქვს ორი ფეხი (ფიგურაში ისინი მითითებულია როგორც ადა b ან AC და BC)

მართკუთხა სამკუთხედის ფორმულები და თვისებები

ფორმულის აღნიშვნები:

(იხილეთ სურათი ზემოთ)

ა, ბ- მართკუთხა სამკუთხედის ფეხები

გ- ჰიპოტენუზა

α, β - სამკუთხედის მწვავე კუთხეები

ს- კვადრატი

თ- სიმაღლე დაშვებული მართი კუთხის წვეროდან ჰიპოტენუზამდე

მ ა ამოპირდაპირე კუთხიდან ( α )

მ ბ- გვერდით დახატული მედიანა ბმოპირდაპირე კუთხიდან ( β )

მ ს- გვერდით დახატული მედიანა გმოპირდაპირე კუთხიდან ( γ )

IN მართკუთხა სამკუთხედი რომელიმე ფეხი ჰიპოტენუზაზე ნაკლებია(ფორმულა 1 და 2). ეს თვისება პითაგორას თეორემის შედეგია.

რომელიმე მწვავე კუთხის კოსინუსიერთზე ნაკლები (ფორმულა 3 და 4). ეს ქონება წინადან მოდის. ვინაიდან რომელიმე ფეხი ჰიპოტენუზაზე ნაკლებია, ფეხისა და ჰიპოტენუზას თანაფარდობა ყოველთვის ერთზე ნაკლებია.

ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის ფეხების კვადრატების ჯამს (პითაგორას თეორემა). (ფორმულა 5). ეს ქონება მუდმივად გამოიყენება პრობლემების გადაჭრისას.

მართკუთხა სამკუთხედის ფართობიუდრის ფეხების ნამრავლის ნახევარს (ფორმულა 6)

კვადრატული მედიანაების ჯამიფეხებამდე უდრის ჰიპოტენუზას მედიანას ხუთ კვადრატს და ჰიპოტენუზის ხუთ კვადრატს გაყოფილი ოთხზე (ფორმულა 7). გარდა ზემოაღნიშნულისა, არსებობს კიდევ 5 ფორმულაამიტომ, რეკომენდებულია წაიკითხოთ გაკვეთილი „მართკუთხა სამკუთხედის მედიანა“, სადაც უფრო დეტალურად არის აღწერილი მედიანის თვისებები.

სიმაღლემართკუთხა სამკუთხედი უდრის ფეხების ნამრავლს გაყოფილი ჰიპოტენუზაზე (ფორმულა 8)

ფეხების კვადრატები უკუპროპორციულია ჰიპოტენუზამდე დაშვებული სიმაღლის კვადრატისა (ფორმულა 9). ეს იდენტურობა ასევე პითაგორას თეორემის ერთ-ერთი შედეგია.

ჰიპოტენუზის სიგრძეშემოხაზული წრის დიამეტრის (ორი რადიუსის) ტოლია (ფორმულა 10). მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზა არის წრეწირის დიამეტრი. ეს თვისება ხშირად გამოიყენება პრობლემის გადაჭრაში.

ჩაწერილი რადიუსივ მართკუთხა სამკუთხედი წრეშეიძლება მოიძებნოს, როგორც გამოხატვის ნახევარი, ამ სამკუთხედის ფეხების ჯამის ჩათვლით, ჰიპოტენუზის სიგრძის გამოკლებით. ან როგორც ფეხის ნამრავლი გაყოფილი მოცემული სამკუთხედის ყველა გვერდის (პერიმეტრის) ჯამზე. (ფორმულა 11)
კუთხის სინუსი საპირისპიროს მიმართებაეს კუთხე ფეხი ჰიპოტენუზამდე(სინუსის განმარტებით). (ფორმულა 12). ეს თვისება გამოიყენება პრობლემების გადაჭრისას. გვერდების ზომების გაცნობით, შეგიძლიათ იპოვოთ მათი ფორმირების კუთხე.

A კუთხის კოსინუსი (α, ალფა) მართკუთხა სამკუთხედში ტოლი იქნება დამოკიდებულება მიმდებარეეს კუთხე ფეხი ჰიპოტენუზამდე(სინუსის განმარტებით). (ფორმულა 13)

ქონება: 1.ნებისმიერ მართკუთხა სამკუთხედში მართი კუთხიდან აღებული სიმაღლე (ჰიპოტენუზა) სწორ სამკუთხედს ყოფს სამ მსგავს სამკუთხედად.

ქონება: 2.მართკუთხა სამკუთხედის სიმაღლე, დაშვებული ჰიპოტენუზამდე, უდრის ფეხების პროგნოზების გეომეტრიულ საშუალოს ჰიპოტენუზაზე (ან იმ სეგმენტების გეომეტრიულ საშუალოს, რომლებშიც სიმაღლე ყოფს ჰიპოტენუზას).

ქონება: 3.ფეხი უდრის ჰიპოტენუზის გეომეტრიულ საშუალოს და ამ ფეხის პროექციას ჰიპოტენუზაზე.

ქონება: 4. 30 გრადუსიანი კუთხის მოპირდაპირე ფეხი უდრის ჰიპოტენუზის ნახევარს.

ფორმულა 1.

ფორმულა 2., სად არის ჰიპოტენუზა; , ფეხები.

ქონება: 5.მართკუთხა სამკუთხედში, ჰიპოტენუზასთან მიყვანილი მედიანა უდრის მის ნახევარს და უდრის შემოხაზული წრის რადიუსს.

თვისება: 6. მიმართება მართკუთხა სამკუთხედის გვერდებსა და კუთხეებს შორის:

44. კოსინუსების თეორემა. დასკვნა: კავშირი პარალელოგრამის დიაგონალებსა და გვერდებს შორის; სამკუთხედის ტიპის განსაზღვრა; სამკუთხედის შუალედის სიგრძის გამოსათვლელი ფორმულა; სამკუთხედის კუთხის კოსინუსის გამოთვლა.

სამუშაოს დასასრული -

ეს თემა ეკუთვნის განყოფილებას:

კლასი. საბაზისო პლანიმეტრიის კოლოკვიუმის პროგრამა

მიმდებარე კუთხეების თვისება.. ორი კუთხის მიმდებარედ განსაზღვრება, თუ მათ აქვთ ერთი გვერდი საერთო და დანარჩენი ორი ქმნიან სწორ ხაზს.

თუ დაგჭირდებათ დამატებითი მასალაამ თემაზე, ან ვერ იპოვნეთ ის, რასაც ეძებდით, გირჩევთ გამოიყენოთ ძებნა ჩვენს სამუშაოთა მონაცემთა ბაზაში:

რას ვიზამთ მიღებულ მასალასთან:

თუ ეს მასალა თქვენთვის სასარგებლო იყო, შეგიძლიათ შეინახოთ იგი თქვენს გვერდზე სოციალურ ქსელებში:

სამკუთხედები.

ძირითადი ცნებები.

სამკუთხედიარის ფიგურა, რომელიც შედგება სამი სეგმენტისა და სამი წერტილისგან, რომლებიც არ დევს ერთსა და იმავე სწორ ხაზზე.

სეგმენტები ე.წ პარტიებიდა ქულები არის მწვერვალები.

კუთხეების ჯამისამკუთხედი არის 180º.

სამკუთხედის სიმაღლე.

სამკუთხედის სიმაღლე- ეს არის პერპენდიკულარი, რომელიც დახატულია წვეროდან მოპირდაპირე მხარეს.

მწვავე სამკუთხედში, სიმაღლე შეიცავს სამკუთხედს (ნახ. 1).

მართკუთხა სამკუთხედში, ფეხები არის სამკუთხედის სიმაღლეები (ნახ. 2).

ბლაგვ სამკუთხედში, სიმაღლე ვრცელდება სამკუთხედის გარეთ (ნახ. 3).

სამკუთხედის სიმაღლის თვისებები:

სამკუთხედის ბისექტორი.

აქ - გვერდისკენ მიზიდული მედიანა - სამკუთხედის გვერდების სიგრძეები.- ეს არის სეგმენტი, რომელიც ყოფს წვეროს კუთხეს შუაზე და აკავშირებს წვეროს მოპირდაპირე მხარეს არსებულ წერტილს (სურ. 5).

ბისექტრის თვისებები:

სამკუთხედის მედიანა.

მსგავსი სამკუთხედების ფართობების თანაფარდობა ტოლია მსგავსების კოეფიციენტის კვადრატის.- ეს არის წვეროს მოპირდაპირე მხარის შუათან დამაკავშირებელი სეგმენტი (ნახ. 9ა).

მედიანის სიგრძე შეიძლება გამოითვალოს ფორმულის გამოყენებით: 2ბ 2 + 2გ 2 - ა 2 მ ა 2 = —————— 4 სად მ ა- გვერდით დახატული მედიანა ა. მართკუთხა სამკუთხედში, ჰიპოტენუზასთან დახატული მედიანა უდრის ჰიპოტენუზის ნახევარს: გ მ ს = — 2 სად მ ს- მედიანური მიზიდული ჰიპოტენუზისკენ გ(ნახ.9c) სამკუთხედის შუალედები იკვეთება ერთ წერტილში (სამკუთხედის მასის ცენტრში) და იყოფა ამ წერტილზე 2:1 თანაფარდობით, წვეროდან დათვლა. ანუ, სეგმენტი წვეროდან ცენტრამდე ორჯერ დიდია, ვიდრე სეგმენტი ცენტრიდან სამკუთხედის გვერდისკენ (ნახ. 9c). სამკუთხედის სამი შუალედი ყოფს მას ექვს ტოლ სამკუთხედად.

სამკუთხედის შუა ხაზი.

სამკუთხედის შუა ხაზი- ეს არის მისი ორი მხარის შუა წერტილების დამაკავშირებელი სეგმენტი (ნახ. 10).

სამკუთხედის შუა ხაზი მესამე გვერდის პარალელურია და მისი ნახევრის ტოლია

სამკუთხედის გარე კუთხე.

გარე კუთხესამკუთხედის ტოლია ორი არამიმდებარე შიდა კუთხის ჯამი (ნახ. 11).

სამკუთხედის გარე კუთხე აღემატება ნებისმიერ არამიმდებარე კუთხეს.

მართკუთხა სამკუთხედი.

მართკუთხა სამკუთხედიარის სამკუთხედი, რომელსაც აქვს მართი კუთხე (სურ. 12).

მართი კუთხის მოპირდაპირე მართკუთხა სამკუთხედის გვერდი ეწოდება ჰიპოტენუზა.

დანარჩენ ორ მხარეს ე.წ ფეხები.

პროპორციული სეგმენტები მართკუთხა სამკუთხედში.

1) მართკუთხა სამკუთხედში მართი კუთხიდან დახატული სიმაღლე ქმნის სამ მსგავს სამკუთხედს: ABC, ACH და HCB (ნახ. 14a). შესაბამისად, სიმაღლით წარმოქმნილი კუთხეები უდრის A და B კუთხეებს.

სურ.14ა

ტოლფერდა სამკუთხედი.

ტოლფერდა სამკუთხედიარის სამკუთხედი, რომლის ორი გვერდი ტოლია (სურ. 13).

ეს თანაბარი მხარეები ეწოდება მხარეებიდა მესამე - საფუძველისამკუთხედი.

ტოლფერდა სამკუთხედში ფუძის კუთხეები ტოლია. (ჩვენს სამკუთხედში A კუთხე უდრის C კუთხეს).

ტოლკუთხედის სამკუთხედში ფუძესთან მიზიდული მედიანა არის სამკუთხედის ბისექტორიც და სიმაღლეც.

ტოლგვერდა სამკუთხედი.

ტოლგვერდა სამკუთხედი არის სამკუთხედი, რომელშიც ყველა გვერდი ტოლია (სურ. 14).

ტოლგვერდა სამკუთხედის თვისებები:

სამკუთხედების შესანიშნავი თვისებები.

სამკუთხედებს აქვთ უნიკალური თვისებები, რომლებიც დაგეხმარებათ ამ ფორმებთან დაკავშირებული პრობლემების წარმატებით გადაჭრაში. ამ თვისებებიდან ზოგიერთი ზემოთ აღწერილია. მაგრამ ჩვენ კიდევ ერთხელ ვიმეორებთ მათ, დავამატებთ მათ რამდენიმე სხვა შესანიშნავ თვისებას:

1) მართკუთხა სამკუთხედში 90º, 30º და 60º კუთხეებით ბ, რომელიც მდებარეობს 30º კუთხის საპირისპიროდ, უდრის ჰიპოტენუზის ნახევარი. ფეხია მეტი ფეხიბ√3-ჯერ (სურ. 15 ა). მაგალითად, თუ ფეხი b არის 5, მაშინ ჰიპოტენუზა გაუცილებლად უდრის 10-ს და ფეხი აუდრის 5√3. 2) მართკუთხა ტოლფერდა სამკუთხედში 90º, 45º და 45º კუთხეებით, ჰიპოტენუზა არის √2-ჯერ დიდი ვიდრე ფეხი (ნახ. 15). ბ). მაგალითად, თუ ფეხები არის 5, მაშინ ჰიპოტენუზა არის 5√2. 3) სამკუთხედის შუა ხაზი უდრის პარალელური გვერდის ნახევარს (სურ. 15 თან). მაგალითად, თუ სამკუთხედის გვერდი არის 10, მაშინ მის პარალელურად შუა ხაზი არის 5. 4) მართკუთხა სამკუთხედში, ჰიპოტენუზასთან მიყვანილი მედიანა უდრის ჰიპოტენუზის ნახევარს (ნახ. 9c): მ ს= s/2. 5) სამკუთხედის შუალედები, რომლებიც იკვეთება ერთ წერტილში, იყოფა ამ წერტილზე 2:1 თანაფარდობით. ანუ, სეგმენტი წვეროდან მედიანების გადაკვეთის წერტილამდე ორჯერ დიდია, ვიდრე სეგმენტი მედიანების გადაკვეთის წერტილიდან სამკუთხედის გვერდისკენ (ნახ. 9c). 6) მართკუთხა სამკუთხედში ჰიპოტენუზის შუა არის შემოხაზული წრის ცენტრი (სურ. 15). დ).

სამკუთხედების თანასწორობის ნიშნები.

თანასწორობის პირველი ნიშანი: თუ ერთი სამკუთხედის ორი გვერდი და მათ შორის კუთხე უდრის ორ გვერდს და კუთხე მათ შორის მეორე სამკუთხედის, მაშინ ასეთი სამკუთხედები კონგრუენტულია.

თანასწორობის მეორე ნიშანი: თუ ერთი სამკუთხედის გვერდი და მისი მიმდებარე კუთხეები ტოლია მეორე სამკუთხედის გვერდის და მისი მიმდებარე კუთხეების, მაშინ ასეთი სამკუთხედები თანმიმდევრულია.

თანასწორობის მესამე ნიშანი: თუ ერთი სამკუთხედის სამი გვერდი უდრის მეორე სამკუთხედის სამ გვერდს, მაშინ ასეთი სამკუთხედები თანმიმდევრულია.

სამკუთხედის უტოლობა.

ნებისმიერ სამკუთხედში თითოეული გვერდი ნაკლებია დანარჩენი ორი გვერდის ჯამზე.

პითაგორას თეორემა.

მართკუთხა სამკუთხედში ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის ფეხების კვადრატების ჯამს:

გ 2 = ა 2 + ბ 2 .

სამკუთხედი.

1) სამკუთხედის ფართობი უდრის მისი გვერდის ნამრავლის ნახევარს და ამ გვერდის სიმაღლეზე:

აჰ
ს = ——
2

2) სამკუთხედის ფართობი უდრის მისი ნებისმიერი ორი გვერდის ნამრავლის ნახევარს და მათ შორის კუთხის სინუსს:

1
ს = — AB · A.C. · ცოდვა ა
2

წრეზე შემოხაზული სამკუთხედი.

წრეს უწოდებენ სამკუთხედში ჩაწერილს, თუ ის ეხება მის ყველა მხარეს (სურ. 16 ა).

წრეში ჩაწერილი სამკუთხედი.

ამბობენ, რომ სამკუთხედი იწერება წრეში, თუ ის ეხება მას ყველა წვეროსთან (ნახ. 17). ა).

მართკუთხა სამკუთხედის მახვილი კუთხის კოტანგენსი, კოსინუსი, ტანგენსი (სურ. 18).

სინუსიმწვავე კუთხე x საპირისპიროფეხი ჰიპოტენუზამდე.
იგი შემდეგნაირად აღინიშნება: ცოდვაx.

კოსინუსიმწვავე კუთხე xმართკუთხა სამკუთხედის თანაფარდობაა მიმდებარეფეხი ჰიპოტენუზამდე.
აღინიშნება შემდეგნაირად: cos x.

ტანგენტიმწვავე კუთხე x- ეს არის მოპირდაპირე მხარის თანაფარდობა მეზობელ მხარესთან.
იგი ინიშნება შემდეგნაირად: ტგx.

კოტანგენსიმწვავე კუთხე x- ეს არის მიმდებარე მხარის თანაფარდობა მოპირდაპირე მხარეს.
იგი აღინიშნება შემდეგნაირად: ctgx.

წესები:

ფეხი კუთხის მოპირდაპირედ x, უდრის ჰიპოტენუზისა და ცოდვის ნამრავლს x:

b = cცოდვა x

ფეხი კუთხის მიმდებარედ x, უდრის ჰიპოტენუზისა და cos-ის ნამრავლს x:

a = c cos x

ფეხი კუთხის მოპირდაპირე მხარეს x, უდრის მეორე ფეხის ნამრავლს tg-ით x:

b = aტგ x

ფეხი კუთხის მიმდებარედ x, უდრის მეორე ფეხის ნამრავლს ctg-ით x:

a = b· ctg x.

ნებისმიერი მწვავე კუთხისთვის x:

ცოდვა (90° - x) = cos x

cos (90° - x) = ცოდვა x