ტრიგონომეტრიული განტოლებები კოსინუსი x უდრის a. განტოლება cos x = a

ჩვენ ვიცით, რომ კოსინუსების მნიშვნელობები არის [-1; 1], ე.ი. -1 ≤ cos α ≤ 1. ამიტომ, თუ |a| > 1, მაშინ განტოლებას cos x = a არ აქვს ფესვები. მაგალითად, განტოლებას cos x = -1.5 არ აქვს ფესვები.

განვიხილოთ რამდენიმე პრობლემა.

ამოხსენით განტოლება cos x = 1/2.

გამოსავალი.

შეგახსენებთ, რომ cos x არის წერტილის აბსცისა წრეზე 1-ის ტოლი რადიუსით, რომელიც მიღებულია წერტილის P (1; 0) კუთხით x საწყისზე ბრუნვით.

აბსცისა 1/2 არის M 1 და M 2 წრის ორ წერტილში. ვინაიდან 1/2 = cos π/3, შეგვიძლია მივიღოთ M 1 წერტილი P წერტილიდან (1; 0) x 1 = π/3 კუთხით ბრუნვით, ასევე x = π/3 + 2πk კუთხით, სადაც k. = +/-1, +/-2,…

წერტილი M 2 მიიღება P წერტილიდან (1; 0) x 2 = -π/3 კუთხით ბრუნვით, ასევე -π/3 + 2πk კუთხით, სადაც k = +/-1, +/-2 ,...

ასე რომ, cos x = 1/2 განტოლების ყველა ფესვი შეიძლება მოიძებნოს ფორმულების გამოყენებით
x = π/3 + 2πk
x = -π/3 + 2πk,

წარმოდგენილი ორი ფორმულა შეიძლება გაერთიანდეს ერთში:

x = +/-π/3 + 2πk, k € Z.

ამოხსენით განტოლება cos x = -1/2.

გამოსავალი.

M 1 და M 2 წრეზე ორ წერტილს აქვს აბსცისა - 1/2-ის ტოლი. ვინაიდან -1/2 = cos 2π/3, მაშინ კუთხე x 1 = 2π/3 და შესაბამისად კუთხე x 2 = -2π/3.

შესაბამისად, cos x = -1/2 განტოლების ყველა ფესვი შეიძლება მოიძებნოს ფორმულის გამოყენებით: x = +/-2π/3 + 2πk, k € Z.

ამრიგად, თითოეულ განტოლებას cos x = 1/2 და cos x = -1/2 აქვს ფესვების უსასრულო რაოდენობა. 0 ≤ x ≤ π ინტერვალზე თითოეულ ამ განტოლებას აქვს მხოლოდ ერთი ფესვი: x 1 = π/3 არის cos განტოლების ფესვი x = 1/2 და x 1 = 2π/3 არის cos განტოლების ფესვი. x = -1/2.

რიცხვს π/3 ეწოდება 1/2 რიცხვის არკოზინი და იწერება: arccos 1/2 = π/3, ხოლო რიცხვს 2π/3 ეწოდება (-1/2) რიცხვის არკოზინი და იწერება. : arccos (-1/2) = 2π/3 .

ზოგადად, განტოლებას cos x = a, სადაც -1 ≤ a ≤ 1, აქვს მხოლოდ ერთი ფესვი 0 ≤ x ≤ π ინტერვალზე. თუ a ≥ 0, მაშინ ფესვი შედის ინტერვალში; თუ ა< 0, то в промежутке (π/2; π]. Этот корень называют арккосинусом числа а и обозначают: arccos а.

ამრიგად, a € რიცხვის რკალის კოსინუსი [-1; 1 ] არის რიცხვი a €, რომლის კოსინუსი უდრის a:

arccos а = α, თუ cos α = а და 0 ≤ а ≤ π (1).

მაგალითად, arccos √3/2 = π/6, ვინაიდან cos π/6 = √3/2 და 0 ≤ π/6 ≤ π;
arccos (-√3/2) = 5π/6, ვინაიდან cos 5π/6 = -√3/2 და 0 ≤ 5π/6 ≤ π.

ისევე, როგორც ეს გაკეთდა 1 და 2 ამოცანების ამოხსნის პროცესში, შეიძლება აჩვენოს, რომ განტოლების ყველა ფესვი cos x = a, სადაც |a| ≤ 1, გამოხატული ფორმულით

x = +/-arccos a + 2 πn, n € Z (2).

ამოხსენით განტოლება cos x = -0,75.

გამოსავალი.

ფორმულის გამოყენებით (2) ვპოულობთ x = +/-arccos (-0.75) + 2 πn, n € Z.

არკოსის მნიშვნელობა (-0,75) დაახლოებით ნახატზე შეგიძლიათ იხილოთ კუთხის გაზომვით პროტრატორის გამოყენებით. რკალის კოსინუსის სავარაუდო მნიშვნელობები ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ სპეციალური ცხრილების (ბრედის ცხრილები) ან მიკროკალკულატორის გამოყენებით. მაგალითად, arccos-ის მნიშვნელობა (-0.75) შეიძლება გამოითვალოს მიკროკალკულატორზე, რათა მივიღოთ სავარაუდო მნიშვნელობა 2.4188583. ასე რომ, arccos (-0.75) ≈ 2.42. აქედან გამომდინარე, არკოები (-0,75) ≈ 139°.

პასუხი: arccos (-0,75) ≈ 139°.

ამოხსენით განტოლება (4cos x – 1)(2cos 2x + 1) = 0.

გამოსავალი.

1) 4cos x – 1 = 0, cos x = 1/4, x = +/-arcos 1/4 + 2 πn, n € Z.

2) 2cos 2x + 1 = 0, cos 2x = -1/2, 2x = +/-2π/3 + 2 πn, x = +/-π/3 + πn, n € Z.

უპასუხე. x = +/-arcos 1/4 + 2 πn, x = +/-π/3 + πn.

შეიძლება დადასტურდეს, რომ ნებისმიერი € [-1; 1] ფორმულა arccos (-а) = π – arccos а (3) მოქმედებს.

ეს ფორმულა საშუალებას გაძლევთ გამოხატოთ უარყოფითი რიცხვების რკალის კოსინუსის მნიშვნელობები დადებითი რიცხვების რკალის კოსინუსის მნიშვნელობებით. მაგალითად:

arccos (-1/2) = π – arccos 1/2 = π – π/3 = 2π/3;

arccos (-√2/2) = π – arccos √2/2 = π – π/4 = 3π/4

(2) ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ განტოლების ფესვები, cos x = a a = 0-სთვის, a = 1 და a = -1 შეიძლება მოიძებნოს უფრო მარტივი ფორმულების გამოყენებით:

cos x = 0 x = π/2 + πn, n € Z (4)

cos x = 1 x = 2πn, n € Z (5)

cos x = -1 x = π + 2πn, n € Z (6).

ვებსაიტზე, მასალის სრულად ან ნაწილობრივ კოპირებისას საჭიროა წყაროს ბმული.

უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებები არის განტოლებები

Cos (x) = a, sin (x) = a, tg (x) = a, ctg (x) =a

განტოლება cos(x) = a

ახსნა და დასაბუთება

განტოლების ფესვები cosx = a. როდის | a | > 1 განტოლებას არ აქვს ფესვები, ვინაიდან | cosx |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 ან ა< -1 не пересекает график функцииy = cosx).

მოდით | a |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции

y = cos x. ინტერვალზე ფუნქცია y = cos x მცირდება 1-დან -1-მდე. მაგრამ კლებადი ფუნქცია იღებს მის თითოეულ მნიშვნელობას მხოლოდ მისი განსაზღვრის დომენის ერთ წერტილში, ამიტომ განტოლებას cos x = a აქვს მხოლოდ ერთი ფესვი ამ ინტერვალზე, რომელიც, არკოზინის განმარტებით, უდრის: x 1 = arccos a (და ამ ფესვისთვის cos x = A).

კოსინუსი - ფუნქციაც კი, შესაბამისად, ინტერვალზე [-n; 0] განტოლება cos x = და ასევე აქვს მხოლოდ ერთი ფესვი - რიცხვი საპირისპირო x 1, ანუ

x 2 = -arccos a.

ამრიგად, ინტერვალზე [-n; p] (სიგრძე 2p) განტოლება cos x = a | a |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.

ფუნქცია y = cos x პერიოდულია 2n პერიოდით, ამიტომ ყველა სხვა ფესვი განსხვავდება 2n-ით ნაპოვნი ფესვებისგან (n € Z). ჩვენ ვიღებთ შემდეგ ფორმულას განტოლების ფესვებისთვის cos x = a როდესაც

x = ±arccos a + 2pp, n £ Z.

განტოლების ამოხსნის სპეციალური შემთხვევები cosx = a.

სასარგებლოა დამახსოვრება სპეციალური აღნიშვნები განტოლების ფესვებისთვის cos x = a when

a = 0, a = -1, a = 1, რომელიც ადვილად მიიღება ერთეული წრის გამოყენებით, როგორც მითითება.

ვინაიდან კოსინუსი ტოლია ერთეული წრის შესაბამისი წერტილის აბსცისა, მივიღებთ cos x = 0 თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ერთეული წრის შესაბამისი წერტილი არის A წერტილი ან წერტილი B.

ანალოგიურად, cos x = 1 თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ერთეული წრის შესაბამისი წერტილი არის წერტილი C, შესაბამისად,

x = 2πп, k € Z.

ასევე cos x = -1 თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ერთეული წრის შესაბამისი წერტილი არის წერტილი D, შესაბამისად x = n + 2n,

განტოლება sin(x) = a

ახსნა და დასაბუთება

განტოლების ფესვები sinx = a. როდის | a | > 1 განტოლებას არ აქვს ფესვები, ვინაიდან | sinx |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 ან ა< -1 не пересекает график функции y = sinx).

ორიენტირებულია წერტილზე ა.
α - რადიანებში გამოხატული კუთხე.

განმარტება
სინუსი (sin α)არის ტრიგონომეტრიული ფუნქცია, რომელიც დამოკიდებულია α კუთხეზე ჰიპოტენუზასა და ფეხს შორის მართკუთხა სამკუთხედი, მოპირდაპირე მხარის სიგრძის თანაფარდობის ტოლია |ძვ.წ.| ჰიპოტენუზის სიგრძემდე |AC|.

კოსინუსი (cos α)არის ტრიგონომეტრიული ფუნქცია, რომელიც დამოკიდებულია კუთხიდან α ჰიპოტენუზასა და მართკუთხა სამკუთხედის წვერს შორის, ტოლია მიმდებარე ფეხის სიგრძის თანაფარდობის |AB| ჰიპოტენუზის სიგრძემდე |AC|.

მიღებული აღნიშვნები

;
;
.

სინუსური ფუნქციის გრაფიკი, y = sin x

კოსინუსური ფუნქციის გრაფიკი, y = cos x

სინუსის და კოსინუსის თვისებები

პერიოდულობა

ფუნქციები y = ცოდვა xდა y = cos xპერიოდული პერიოდით 2π.

პარიტეტი

სინუს ფუნქცია უცნაურია. კოსინუს ფუნქცია ლუწია.

განსაზღვრებისა და მნიშვნელობების დომენი, ექსტრემა, ზრდა, შემცირება

სინუსური და კოსინუსური ფუნქციები უწყვეტია მათი განმარტების დომენში, ანუ ყველა x-ისთვის (იხ. უწყვეტობის მტკიცებულება). მათი ძირითადი თვისებები წარმოდგენილია ცხრილში (n - მთელი რიცხვი).

	y= ცოდვა x	y= cos x
ფარგლები და უწყვეტობა	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
ღირებულებების დიაპაზონი	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
მზარდი
დაღმავალი
მაქსიმა, y = 1
მინიმალური, y = - 1
ნულები, y = 0
კვეთის წერტილები ორდინატთა ღერძით, x = 0	y= 0	y= 1

ძირითადი ფორმულები

სინუსის და კოსინუსების კვადრატების ჯამი

სინუსებისა და კოსინუსების ფორმულები ჯამიდან და სხვაობიდან

;
;

სინუსებისა და კოსინუსების ნამრავლის ფორმულები

ჯამისა და სხვაობის ფორმულები

სინუსის გამოხატვა კოსინუსის მეშვეობით

;
;
;
.

კოსინუსის გამოხატვა სინუსში

;
;
;
.

გამოხატვა ტანგენტის საშუალებით

; .

როდის, გვაქვს:
; .

ზე:
; .

სინუსებისა და კოსინუსების ცხრილი, ტანგენტები და კოტანგენტები

ეს ცხრილი გვიჩვენებს სინუსების და კოსინუსების მნიშვნელობებს არგუმენტის გარკვეული მნიშვნელობებისთვის.

გამონათქვამები რთული ცვლადების მეშვეობით

;

ეილერის ფორმულა

გამოხატვები ჰიპერბოლური ფუნქციების საშუალებით

;
;

წარმოებულები

;

.
{ -∞ < x < +∞ }

ფორმულების გამოყვანა > > >

n-ე რიგის წარმოებულები:

სეკანტი, კოსეკანტისინუსამდე და კოსინუსამდე არის რკალი და არკოზინი, შესაბამისად.

არქსინი, რკალი

არკოზინი, არკოზი

გამოყენებული ლიტერატურა:
ი.ნ. ბრონშტეინი, კ.ა. სემენდიაევი, მათემატიკის სახელმძღვანელო ინჟინრებისა და კოლეჯის სტუდენტებისთვის, „ლან“, 2009 წ.

შეგიძლიათ შეუკვეთოთ დეტალური გადაწყვეტაშენი ამოცანა!!!

ნიშნის ქვეშ უცნობის შემცველი ტოლობა ტრიგონომეტრიული ფუნქცია("sin x, cos x, tan x" ან "ctg x") ეწოდება ტრიგონომეტრიულ განტოლებას და სწორედ მათ ფორმულებს განვიხილავთ.

უმარტივეს განტოლებებს ჰქვია `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, სადაც `x` არის მოსაძებნი კუთხე, `a` არის ნებისმიერი რიცხვი. მოდით დავწეროთ თითოეული მათგანის ძირეული ფორმულები.

1. განტოლება `sin x=a`.

`|a|>1`-ისთვის მას არ აქვს გამოსავალი.

როცა `|ა| \leq 1`-ს აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.

ძირეული ფორმულა: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. განტოლება `cos x=a`

`|a|>1`-ისთვის - როგორც სინუსის შემთხვევაში, მას არ აქვს ამონახსნები რეალურ რიცხვებს შორის.

როცა `|ა| \leq 1`-ს აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.

ძირეული ფორმულა: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

სინუსის და კოსინუსების სპეციალური შემთხვევები გრაფიკებში.

3. განტოლება `tg x=a`

აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა `a`-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის.

ძირეული ფორმულა: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. განტოლება `ctg x=a`

ასევე აქვს გადაწყვეტილებების უსასრულო რაოდენობა `a`-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის.

ძირეული ფორმულა: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

ცხრილის ტრიგონომეტრიული განტოლებების ფესვების ფორმულები

სინუსისთვის:
კოსინუსისთვის:
ტანგენტისა და კოტანგენსისთვის:
შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შემცველი განტოლებების ამოხსნის ფორმულები:

ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები

ნებისმიერი ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოხსნა შედგება ორი ეტაპისგან:

მისი უმარტივესად გარდაქმნის დახმარებით;
ამოხსენით ზემოთ დაწერილი ძირეული ფორმულებისა და ცხრილების გამოყენებით მიღებული უმარტივესი განტოლება.

მოდით შევხედოთ გადაწყვეტის ძირითად მეთოდებს მაგალითების გამოყენებით.

ალგებრული მეთოდი.

ეს მეთოდი გულისხმობს ცვლადის ჩანაცვლებას და ტოლობით ჩანაცვლებას.

მაგალითი. ამოხსენით განტოლება: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

გააკეთეთ ჩანაცვლება: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, შემდეგ `2y^2-3y+1=0`,

ვპოულობთ ფესვებს: `y_1=1, y_2=1/2`, საიდანაც მოდის ორი შემთხვევა:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

პასუხი: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

ფაქტორიზაცია.

მაგალითი. ამოხსენით განტოლება: `sin x+cos x=1`.

გამოსავალი. გადავიტანოთ ტოლობის ყველა წევრი მარცხნივ: `sin x+cos x-1=0`. გამოყენებით, ჩვენ გარდაქმნით და ვანაწილებთ მარცხენა მხარეს:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

`sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
`cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

პასუხი: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

შემცირება ერთგვაროვან განტოლებამდე

პირველ რიგში, თქვენ უნდა შეამციროთ ეს ტრიგონომეტრიული განტოლება ორიდან ერთ-ერთ ფორმამდე:

`ცოდვა x+b cos x=0` ( ერთგვაროვანი განტოლებაპირველი ხარისხი) ან `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (მეორე ხარისხის ჰომოგენური განტოლება).

შემდეგ გაყავით ორივე ნაწილი `cos x \ne 0` - პირველი შემთხვევისთვის, ხოლო `cos^2 x \ne 0` - მეორეზე. ვიღებთ განტოლებებს `tg x`: `a tg x+b=0` და `a tg^2 x + b tg x +c =0`, რომლებიც უნდა ამოხსნას ცნობილი მეთოდების გამოყენებით.

მაგალითი. ამოხსენით განტოლება: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

გამოსავალი. მოდით დავწეროთ მარჯვენა მხარე, როგორც `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

ეს არის მეორე ხარისხის ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლება, მის მარცხენა და მარჯვენა გვერდებს ვყოფთ `cos^2 x \ne 0`-ზე, მივიღებთ:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. შემოვიღოთ ჩანაცვლება `tg x=t`, რის შედეგადაც `t^2 + t - 2=0`. ამ განტოლების ფესვებია `t_1=-2` და `t_2=1`. შემდეგ:

`tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \Z-ში`
`tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \Z-ში`.

უპასუხე. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \ Z-ში`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \Z-ში`.

ნახევარ კუთხეზე გადასვლა

მაგალითი. ამოხსენით განტოლება: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

გამოსავალი. გამოვიყენოთ ორმაგი კუთხის ფორმულები, შედეგად მივიღებთ: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

ზემოთ აღწერილი ალგებრული მეთოდის გამოყენებით ვიღებთ:

`tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \Z-ში`,
`tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \Z-ში`.

უპასუხე. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \ Z-ში`.

დამხმარე კუთხის დანერგვა

ტრიგონომეტრიულ განტოლებაში `a sin x + b cos x =c`, სადაც a,b,c არის კოეფიციენტები და x არის ცვლადი, გაყავით ორივე მხარე `sqrt (a^2+b^2)`-ზე:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2 ) +b^2))`.

მარცხენა მხარეს კოეფიციენტებს აქვთ სინუსის და კოსინუსის თვისებები, კერძოდ მათი კვადრატების ჯამი 1-ის ტოლია და მოდულები არ არის 1-ზე მეტი. ავღნიშნოთ ისინი შემდეგნაირად: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi`, ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, შემდეგ:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

მოდით უფრო დეტალურად განვიხილოთ შემდეგი მაგალითი:

მაგალითი. ამოხსენით განტოლება: `3 sin x+4 cos x=2`.

გამოსავალი. ტოლობის ორივე მხარე გავყოთ `sqrt (3^2+4^2)`-ზე, მივიღებთ:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

ავღნიშნოთ `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. ვინაიდან `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, მაშინ ჩვენ ვიღებთ `\varphi=arcsin 4/5`, როგორც დამხმარე კუთხე. შემდეგ ჩვენ ვწერთ ჩვენს თანასწორობას ფორმაში:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

სინუსისთვის კუთხეების ჯამის ფორმულის გამოყენებით, ჩვენ ვწერთ ჩვენს ტოლობას შემდეგი ფორმით:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

უპასუხე. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

წილადი რაციონალური ტრიგონომეტრიული განტოლებები

ეს არის წილადების ტოლობები, რომელთა მრიცხველები და მნიშვნელები შეიცავს ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს.

მაგალითი. ამოხსენით განტოლება. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

გამოსავალი. გაამრავლეთ და გაყავით ტოლობის მარჯვენა მხარე `(1+cos x)`-ზე. შედეგად ვიღებთ:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

იმის გათვალისწინებით, რომ მნიშვნელი არ შეიძლება იყოს ნულის ტოლი, მივიღებთ `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

წილადის მრიცხველი გავატოლოთ ნულთან: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. შემდეგ `sin x=0` ან `1-sin x=0`.

`sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
`1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

იმის გათვალისწინებით, რომ `x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, ამონახსნები არის `x=2\pi n, n \in Z` და `x=\pi /2+2\pi n` , `n \ Z-ში`.

უპასუხე. `x=2\pi n`, `n \ Z-ში`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \ Z-ში`.

ტრიგონომეტრია და განსაკუთრებით ტრიგონომეტრიული განტოლებები გამოიყენება გეომეტრიის, ფიზიკისა და ინჟინერიის თითქმის ყველა სფეროში. სწავლა იწყება მე-10 კლასში, ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის ყოველთვის არის დავალებები, ამიტომ შეეცადეთ გახსოვდეთ ყველა ფორმულა ტრიგონომეტრიული განტოლებები- ისინი აუცილებლად გამოგადგებათ!

თუმცა, მათი დამახსოვრებაც კი არ არის საჭირო, მთავარია, გაიგოთ არსი და შეძლოთ მისი გამოყვანა. ეს არც ისე რთულია, როგორც ჩანს. თავად ნახეთ ვიდეოს ყურებით.

გაკვეთილის ტიპი:სასწავლო დავალების დაყენება.

გაკვეთილის მიზნები:

საგანმანათლებლო: მოსწავლეთა ცოდნის სისტემატიზაცია მარტივი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის მეთოდების შესახებ, წრეზე და ცხრილთან მუშაობის უნარების კონსოლიდაცია.

განმავითარებელი: გააგრძელეთ მუშაობა მოსწავლეთა შემოქმედებითი ინტელექტუალური შესაძლებლობების ფორმირებაზე ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის სხვადასხვა ტექნიკის გამოყენებით.

საგანმანათლებლო: განუვითარდებათ კოლექტიური გონებრივი აქტივობის, ურთიერთდახმარებისა და საკუთარისაგან განსხვავებული თვალსაზრისის მიღების უნარები.

გაკვეთილის პროგრესი

1. წარმატების მდგომარეობა.

ამოხსენით განტოლება: cosx=1; cosx=0; cosx= -1.

2. სიტუაცია, უფსკრული” ცოდნასა და უცოდინრობას შორის.

ამოხსენით განტოლება: cosx=½; cosx=a.

დისკუსია.

3. განცხადება სასწავლო დავალების შესახებ.

როგორ ამოხსნათ ამ ტიპის განტოლება?

1) რა უდრის წერტილის აბსცისა ერთეულ წრეზე, რომელიც მიღებულია წერტილის (1;0) საწყის ირგვლივ ტოლი კუთხით ბრუნვით: ?

2). რას უდრის: ?

პასუხი:

3).რისი ტოლია: .

პასუხი:

;

;

(1) .

მასწავლებლის სიტყვები: მათემატიკოსებმა სიტყვებს reverse cos უწოდეს „სიტყვა არკოზინი (arccos). რიცხვის რკალის კოსინუსი არის რიცხვი, რომლის კოსინუსი უდრის a-ს:
arccosa=α,თუ cosα=a და 0≤α≤π.

4). დაწერეთ ტოლობა (1) arccos სიმბოლოს გამოყენებით.

5). ამოხსენით განტოლებები: cosx=½, cosx=α.

პასუხი: x=arccos½, x=arccosa.

6). დაასახელეთ ½-ის ტოლი აბსცისის მქონე ერთეული წრის (1;0) წერტილის ბრუნვის კუთხეები.

პასუხი: აბსცისა უდრის ½-ს, როდესაც წერტილი ბრუნავს π/3 და -π/3 ტოლი კუთხით.

ანუ cosx=½ x=±arccos½-ზე
cosx=a x=±arccosa-ზე.

7). როგორია წერტილის (1;0) კუთხით მობრუნებით მიღებული წერტილების აბსცისები: π/3+2π; π/3+6π; -π/3+4π; -π/3+8π; π/3+2πn; -π/3+2πn.

პასუხი: აბსცისა არის ½ და cosx=½ x=±arccos½+2πn,.
cosx=a x=±arccosa+2πn,.

8). დასკვნა: განტოლება cosx=a

1) აქვს ფესვები, თუ ≤1,
2) არ აქვს ფესვები, თუ >1.

9). გაკვეთილის შეჯამება:

ა) a და α-ს რა მნიშვნელობებისთვის აქვს აზრი ტოლობას arccosa = α?
ბ) რას ეწოდება a-ს რკალის კოსინუსი?
გ) a-ს რომელ მნიშვნელობებზე აქვს ფესვები cosx=a განტოლებას?
დ) cosx=a განტოლების ფესვების მოძიების ფორმულა.