სიმძიმის ცენტრი(ან მასის ცენტრი) გარკვეული სხეულის არის წერტილი, რომელსაც აქვს თვისება, რომ თუ სხეული შეჩერებულია ამ წერტილიდან, ის შეინარჩუნებს თავის პოზიციას.
ქვემოთ განვიხილავთ ორგანზომილებიან და სამგანზომილებიან პრობლემებს, რომლებიც დაკავშირებულია მასის სხვადასხვა ცენტრის ძიებასთან - ძირითადად გამოთვლითი გეომეტრიის თვალსაზრისით.
ქვემოთ განხილულ გადაწყვეტილებებში შეიძლება გამოიყოს ორი ძირითადი: ფაქტი. პირველი ის არის, რომ მატერიალური წერტილების სისტემის მასის ცენტრი უდრის მათი კოორდინატების საშუალოს, აღებული მათი მასების პროპორციული კოეფიციენტებით. მეორე ფაქტი ისაა, რომ თუ ჩვენ ვიცით ორი არაგადაკვეთილი ფიგურის მასის ცენტრები, მაშინ მათი გაერთიანების მასის ცენტრი განლაგდება ამ ორი ცენტრის დამაკავშირებელ სეგმენტზე და დაყოფს მას იმავე თანაფარდობით, როგორც მასა. მეორე ფიგურა ეხება პირველის მასას.
ორგანზომილებიანი შემთხვევა: მრავალკუთხედები
სინამდვილეში, როდესაც ვსაუბრობთ ორგანზომილებიანი ფიგურის მასის ცენტრზე, შეგვიძლია ვიგულისხმოთ შემდეგი სამიდან ერთ-ერთი ამოცანები:
- წერტილითა სისტემის მასის ცენტრი - ე.ი. მთელი მასა კონცენტრირებულია მხოლოდ მრავალკუთხედის წვეროებზე.
- ჩარჩოს მასის ცენტრი - ე.ი. მრავალკუთხედის მასა კონცენტრირებულია მის პერიმეტრზე.
- მყარი ფიგურის მასის ცენტრი - ე.ი. მრავალკუთხედის მასა განაწილებულია მის მთელ ფართობზე.
თითოეულ ამ პრობლემას აქვს დამოუკიდებელი გადაწყვეტა და ცალკე იქნება განხილული ქვემოთ.
წერტილოვანი სისტემის მასის ცენტრი
ეს არის ყველაზე მარტივი სამი დავალებადა მისი ამოხსნა არის ცნობილი ფიზიკური ფორმულა მატერიალური წერტილების სისტემის მასის ცენტრისთვის:
სად არის წერტილების მასები, არის მათი რადიუსის ვექტორები (მიუთითება მათი პოზიცია საწყისთან მიმართებაში) და არის მასის ცენტრის სასურველი რადიუსის ვექტორი.
კერძოდ, თუ ყველა წერტილს აქვს ერთი და იგივე მასა, მაშინ მასის ცენტრის კოორდინატებია საშუალო არითმეტიკულიწერტილების კოორდინატები. ამისთვის სამკუთხედიამ პუნქტს უწოდებენ ცენტროიდიდა ემთხვევა მედიანების გადაკვეთის წერტილს:
ამისთვის მტკიცებულებაეს ფორმულები საკმარისია გვახსოვდეს, რომ წონასწორობა მიიღწევა იმ წერტილში, სადაც ყველა ძალის მომენტების ჯამი ნულის ტოლია. ამ შემთხვევაში, ეს იქცევა იმ პირობით, რომ წერტილის მიმართ ყველა წერტილის რადიუსის ვექტორების ჯამი, გამრავლებული შესაბამისი წერტილების მასებზე, ნულის ტოლია:
და აქედან გამოსახატავად მივიღებთ საჭირო ფორმულას.
ჩარჩო მასის ცენტრი
მაგრამ შემდეგ მრავალკუთხედის თითოეული მხარე შეიძლება შეიცვალოს ერთი წერტილით - ამ სეგმენტის შუა (რადგან ერთგვაროვანი სეგმენტის მასის ცენტრი არის ამ სეგმენტის შუა), მასით, რომელიც ტოლია ამ სეგმენტის სიგრძეზე.
ახლა ჩვენ გვაქვს პრობლემა მატერიალური წერტილების სისტემასთან დაკავშირებით და მასზე წინა აბზაცის ამოხსნის გამოყენებისას ვპოულობთ:
სად არის მრავალკუთხედის მეთე გვერდის შუა წერტილი, არის მე-ის გვერდის სიგრძე, არის პერიმეტრი, ე.ი. გვერდების სიგრძის ჯამი.
ამისთვის სამკუთხედიშემდეგი განცხადება შეიძლება ნაჩვენები იყოს: ეს წერტილი არის ბისექტრის გადაკვეთის წერტილისამკუთხედი, რომელიც წარმოიქმნება საწყისი სამკუთხედის გვერდების შუა წერტილებით. (ამის საჩვენებლად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ ზემოაღნიშნული ფორმულა, შემდეგ კი შეამჩნიოთ, რომ ბისექტრები ყოფენ მიღებული სამკუთხედის გვერდებს იმავე თანაფარდობით, როგორც ამ გვერდების მასის ცენტრები).
მყარი ფიგურის მასის ცენტრი
ჩვენ გვჯერა, რომ მასა ერთნაირად ნაწილდება ფიგურაზე, ე.ი. სიმკვრივე ფიგურის თითოეულ წერტილში იგივე რიცხვის ტოლია.
სამკუთხედის საქმე
ამტკიცებენ, რომ სამკუთხედისთვის პასუხი იგივე იქნება ცენტროიდი, ე.ი. წერტილი, რომელიც წარმოიქმნება წვეროების კოორდინატების საშუალო არითმეტიკით:
სამკუთხედის შემთხვევა: მტკიცებულება
აქ ჩვენ ვაძლევთ ელემენტარულ მტკიცებულებას, რომელიც არ იყენებს ინტეგრალების თეორიას.
არქიმედემ პირველმა მისცა ასეთი წმინდა გეომეტრიული მტკიცებულება, მაგრამ ეს იყო ძალიან რთული, გეომეტრიული კონსტრუქციების დიდი რაოდენობით. აქ მოყვანილი მტკიცებულება აღებულია აპოსტოლის, მნაცაკანიანის სტატიიდან „ცენტროიდების იოლი გზის პოვნა“.
მტკიცებულება მთავრდება იმის ჩვენებამდე, რომ სამკუთხედის მასის ცენტრი დევს ერთ მედიანაზე; ამ პროცესის კიდევ ორჯერ გამეორებით, ჩვენ ამით ვაჩვენებთ, რომ მასის ცენტრი დევს მედიანების გადაკვეთის წერტილში, რომელიც არის ცენტრი.
მოდით გავყოთ ეს სამკუთხედი ოთხად, დავაკავშიროთ გვერდების შუა წერტილები, როგორც ეს ნაჩვენებია სურათზე:
შედეგად მიღებული ოთხი სამკუთხედი მსგავსია სამკუთხედის კოეფიციენტით.
1 და 2 სამკუთხედები ერთად ქმნიან პარალელოგრამს, რომლის მასის ცენტრი დევს მისი დიაგონალების გადაკვეთის ადგილზე (რადგან ეს არის ფიგურა, რომელიც სიმეტრიულია ორივე დიაგონალთან მიმართებაში და, შესაბამისად, მისი ცენტრი მასა უნდა იყოს ორივე დიაგონალზე). წერტილი მდებარეობს No1 და No2 სამკუთხედების საერთო გვერდის შუაში და ასევე დევს სამკუთხედის მედიანაზე:
მოდით, ვექტორი იყოს ვექტორი, რომელიც დახატულია წვეროდან No1 სამკუთხედის მასის ცენტრამდე, ხოლო ვექტორი იყოს ვექტორი, რომელიც შედგენილია წერტილიდან (რომელიც, გავიხსენოთ, არის გვერდის შუა, რომელზეც ის მდებარეობს) :
ჩვენი მიზანია ვაჩვენოთ, რომ ვექტორები და არიან კოლინარული.
ავღნიშნოთ იმ წერტილებით, რომლებიც არის No3 და No4 სამკუთხედების მასის ცენტრები. მაშინ, ცხადია, ამ ორი სამკუთხედის სიმრავლის მასის ცენტრი იქნება წერტილი, რომელიც არის სეგმენტის შუა. უფრო მეტიც, ვექტორი წერტილიდან წერტილამდე ემთხვევა ვექტორს.
სამკუთხედის მასის სასურველი ცენტრი დევს სეგმენტის დამაკავშირებელი წერტილების შუაში და (რადგან სამკუთხედი დავყავით თანაბარი ფართობის ორ ნაწილად: No1-No2 და No3-No4):
ამრიგად, ვექტორი წვეროდან ცენტრისკენ არის . მეორე მხრივ, იმიტომ სამკუთხედი No1 მსგავსია სამკუთხედის კოეფიციენტით, მაშინ იგივე ვექტორი უდრის . აქედან ვიღებთ განტოლებას:
სადაც ვიპოვით:
ამრიგად, ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ ვექტორები და არიან კოლინარული, რაც ნიშნავს, რომ სასურველი ცენტრი დევს წვეროდან გამომავალ მედიანაზე.
უფრო მეტიც, გზაში ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ ცენტროიდი ყოფს თითოეულ მედიანას თანაფარდობაში, დათვლის წვეროდან.
მრავალკუთხედის საქმე
ახლა გადავიდეთ ზოგად საქმეზე - ე.ი. შემთხვევისთვის მრავალკუთხედი. მისთვის ასეთი მსჯელობა აღარ გამოიყენება, ამიტომ პრობლემას ვამცირებთ სამკუთხედამდე: კერძოდ, მრავალკუთხედს ვყოფთ სამკუთხედებად (ანუ სამკუთხედად), ვპოულობთ თითოეული სამკუთხედის მასის ცენტრს და შემდეგ ვპოულობთ ცენტრს. მიღებული სამკუთხედების მასის ცენტრების მასა.
საბოლოო ფორმულა ასეთია:
სადაც არის მე-3 სამკუთხედის ცენტრი მოცემული მრავალკუთხედის სამკუთხედში, არის სამკუთხედის მე-ე სამკუთხედის ფართობი, არის მთელი მრავალკუთხედის ფართობი.
ამოზნექილი მრავალკუთხედის სამკუთხედი ტრივიალური ამოცანაა: ამისათვის, მაგალითად, შეგიძლიათ აიღოთ სამკუთხედები, სადაც .
მრავალკუთხედის შემთხვევა: ალტერნატიული გზა
მეორეს მხრივ, ზემოაღნიშნული ფორმულის გამოყენება არც თუ ისე მოსახერხებელია არაამოზნექილი მრავალკუთხედები, რადგან მათი სამკუთხედი თავისთავად იოლი საქმე არ არის. მაგრამ ასეთი მრავალკუთხედებისთვის შეგიძლიათ უფრო მარტივი მიდგომა მოიფიქროთ. კერძოდ, დავხატოთ ანალოგი, თუ როგორ შეგიძლიათ მოძებნოთ თვითნებური მრავალკუთხედის ფართობი: არჩეულია თვითნებური წერტილი და შემდეგ შეჯამებულია ამ წერტილით წარმოქმნილი სამკუთხედების ნიშნები და მრავალკუთხედის წერტილები: . მსგავსი ტექნიკით შეიძლება ვიპოვოთ მასის ცენტრი: მხოლოდ ახლა შევაჯამებთ სამკუთხედების მასის ცენტრებს მათი ფართობის პროპორციული კოეფიციენტებით, ე.ი. საბოლოო ფორმულა მასის ცენტრისთვის არის:
სადაც არის თვითნებური წერტილი, არის მრავალკუთხედის წერტილები, არის სამკუთხედის ცენტრი, არის ამ სამკუთხედის ხელმოწერილი ფართობი, არის მთელი მრავალკუთხედის (ე.ი.).
სამგანზომილებიანი ქეისი: პოლიედრა
ორგანზომილებიანი შემთხვევის მსგავსად, 3D-ში დაუყოვნებლივ შეგვიძლია ვისაუბროთ პრობლემის ოთხ შესაძლო ფორმულირებაზე:
- წერტილითა სისტემის მასის ცენტრი – მრავალწახნაგოვანი წვეროები.
- ჩარჩოს მასის ცენტრი არის პოლიედრონის კიდეები.
- ზედაპირის მასის ცენტრი - ე.ი. მასა ნაწილდება პოლიედრონის ზედაპირის ფართობზე.
- მყარი მრავალედნის მასის ცენტრი - ე.ი. მასა ნაწილდება პოლიედრონზე.
წერტილოვანი სისტემის მასის ცენტრი
როგორც ორგანზომილებიან შემთხვევაში, შეგვიძლია გამოვიყენოთ ფიზიკური ფორმულა და მივიღოთ იგივე შედეგი:
რომელიც თანაბარი მასების შემთხვევაში იქცევა ყველა წერტილის კოორდინატთა საშუალო არითმეტიკულად.
პოლიედრონული ჩარჩოს მასის ცენტრი
ორგანზომილებიანი შემთხვევის მსგავსად, ჩვენ უბრალოდ ვცვლით პოლიედრონის თითოეულ კიდეს მატერიალური წერტილით, რომელიც მდებარეობს ამ კიდის შუაში და ამ კიდის სიგრძის ტოლი მასით. მატერიალური წერტილების ამოცანის მიღების შემდეგ, ჩვენ ადვილად ვპოულობთ მის ამოხსნას, როგორც ამ წერტილების კოორდინატების შეწონილი ჯამი.
პოლიედრონის ზედაპირის მასის ცენტრი
პოლიედრონის ზედაპირის თითოეული სახე არის ორგანზომილებიანი ფიგურა, რომლის მასის ცენტრი ჩვენ ვიცით, როგორ მოვძებნოთ. მასის ამ ცენტრების აღმოჩენის შემდეგ და თითოეული სახის მასის ცენტრით ჩანაცვლებით, ჩვენ ვიღებთ პრობლემას მატერიალური წერტილების შესახებ, რომელიც უკვე ადვილი მოსაგვარებელია.
მყარი პოლიედრონის მასის ცენტრი
ტეტრაედრის შემთხვევა
როგორც ორგანზომილებიან შემთხვევაში, მოდით ჯერ გადავჭრათ უმარტივესი პრობლემა - ტეტრაედრის პრობლემა.
ნათქვამია, რომ ტეტრაედრის მასის ცენტრი ემთხვევა მისი მედიანასების გადაკვეთის წერტილს (ტეტრაედრის მედიანა არის სეგმენტი, რომელიც გამოყვანილია მისი წვეროდან მოპირდაპირე სახის მასის ცენტრამდე; ამრიგად, ტეტრაედრის მედიანა. გადის წვეროზე და სამკუთხა სახის შუალედების გადაკვეთის წერტილში).
რატომ არის ეს ასე? აქ, ორგანზომილებიანი შემთხვევის მსგავსი მსჯელობა სწორია: თუ ტეტრაედრს დავჭრით ორ ტეტრაედრად ტეტრაედრის წვეროზე გამავალი სიბრტყის გამოყენებით და საპირისპირო სახის ზოგიერთი მედიანა, მაშინ ორივე ტეტრაედარს ექნება იგივე მოცულობა (რადგან სამკუთხა სახე მედიანურით გაიყოფა ორ თანაბარი ფართობის ორ სამკუთხედად და ორი ტეტრაედრის სიმაღლე არ შეიცვლება). ამ არგუმენტების რამდენჯერმე გამეორებით, ჩვენ აღმოვაჩენთ, რომ მასის ცენტრი დგას ტეტრაედრონული მედიანების გადაკვეთის წერტილში.
ამ წერტილს - ტეტრაედრონის შუალედების გადაკვეთის წერტილს - მისი ეწოდება ცენტროიდი. შეიძლება აჩვენოს, რომ მას რეალურად აქვს კოორდინატები, რომლებიც ტოლია ტეტრაედონის წვეროების კოორდინატების საშუალო არითმეტიკულის:
(ეს შეიძლება დავასკვნათ იქიდან, რომ ცენტროიდი ყოფს მედიანებს თანაფარდობით)
ამრიგად, არ არსებობს ფუნდამენტური განსხვავება ტეტრაედრისა და სამკუთხედის შემთხვევებს შორის: წვეროების საშუალო არითმეტიკული წერტილის ტოლი არის მასის ცენტრი პრობლემის ორ ფორმულირებაში: ორივე, როდესაც მასები განლაგებულია მხოლოდ წვეროებზე, და როცა მასები ნაწილდება მთელ ტერიტორიაზე/მოცულობით. სინამდვილეში, ეს შედეგი განზოგადებულია თვითნებურ განზომილებამდე: თვითნებური მასის ცენტრი მარტივი(სიმპლექსი) არის მისი წვეროების კოორდინატების საშუალო არითმეტიკული.
თვითნებური პოლიედრონის შემთხვევა
ახლა გადავიდეთ ზოგად შემთხვევაზე - თვითნებური პოლიედონის შემთხვევაზე.
ისევ, როგორც ორგანზომილებიან შემთხვევაში, ამ პრობლემას ვამცირებთ უკვე გადაწყვეტილამდე: პოლიედრონს ვყოფთ ტეტრაედრონებად (ანუ ვაწყობთ მას ტეტრაედრონს), ვპოულობთ თითოეული მათგანის მასის ცენტრს და ვიღებთ საბოლოო პასუხს. პრობლემა ნაპოვნი ცენტრების შეწონილი ჯამის სახით wt.
განმარტება
ნაწილაკების სისტემის განხილვისას ხშირად მოსახერხებელია ისეთი წერტილის პოვნა, რომელიც ახასიათებს განსახილველი სისტემის პოზიციას და მოძრაობას მთლიანობაში. ასეთი წერტილია მასის ცენტრი.
თუ ჩვენ გვაქვს ერთი და იგივე მასის ორი ნაწილაკი, მაშინ ასეთი წერტილი მდებარეობს მათ შორის შუაში.
მასის კოორდინატების ცენტრი
დავუშვათ, რომ ორი მატერიალური წერტილი $m_1$ და $m_2$ მასებით განლაგებულია აბსცისის ღერძზე და აქვს $x_1$ და $x_2$ კოორდინატები. მანძილი ($\Delta x$) ამ ნაწილაკებს შორის უდრის:
\[\დელტა x=x_2-x_1\მარცხნივ(1\მარჯვნივ).\]
განმარტება
C წერტილი (ნახ. 1), რომელიც დაყოფს მანძილს ამ ნაწილაკებს შორის ნაწილაკების მასების უკუპროპორციულ სეგმენტებად, ე.წ. მასის ცენტრინაწილაკების ეს სისტემა.
ნახ. 1-ის განმარტების შესაბამისად გვაქვს:
\[\frac(l_1)(l_2)=\frac(m_2)(m_1)\მარცხენა(2\მარჯვნივ).\]
სადაც $x_c$ არის მასის ცენტრის კოორდინატი, მივიღებთ:
ფორმულიდან (4) ვიღებთ:
გამოთქმა (5) ადვილად განზოგადდება მატერიალური წერტილების სიმრავლისთვის, რომლებიც განლაგებულია თვითნებურად. ამ შემთხვევაში, მასის ცენტრის აბსციზა უდრის:
მასის ცენტრის ორდინატების ($y_c$) და მისი აპლიკაციების ($z_c$) გამონათქვამები მიიღება ანალოგიურად:
\ \
ფორმულები (6-8) ემთხვევა გამონათქვამებს, რომლებიც განსაზღვრავენ სხეულის სიმძიმის ცენტრს. თუ სხეულის ზომა დედამიწის ცენტრამდე დაშორებასთან შედარებით მცირეა, ითვლება, რომ სიმძიმის ცენტრი ემთხვევა სხეულის მასის ცენტრს. უმეტეს პრობლემებში, სიმძიმის ცენტრი ემთხვევა სხეულის მასის ცენტრს.
თუ მითითებულია სისტემის N მატერიალური წერტილის პოზიცია ვექტორული ფორმა, მაშინ რადიუსი არის ვექტორი, რომელიც განსაზღვრავს მასის ცენტრის პოზიციას, როგორც:
\[(\overline(r))_c=\frac(\sum\limits^N_(i=1)(m_i(\overline(r))_i))(\sum\limits^N_(i=1)( m_i))\მარცხნივ(9\მარჯვნივ).\]
მასის ცენტრის მოძრაობა
მასის ცენტრის სიჩქარის გამოხატულებას ($(\overline(v))_c=\frac(d(\overline(r))_c)(dt)$) აქვს ფორმა:
\[(\overline(v))_c=\frac(m_1(\overline(v))_1+m_2(\overline(v))_2+\dots +m_n(\overline(v))_n)(m_1+m_2+ \წერტილები +m_n)=\frac(\overline(P))(M)\მარცხნივ(10\მარჯვნივ),\]
სადაც $\overline(P)$ - ტოტალური იმპულსინაწილაკების სისტემები; სისტემის $M$ მასა. გამოხატულება (10) მოქმედებს სიჩქარით მოძრაობისთვის, რომელიც მნიშვნელოვნად ნაკლებია სინათლის სიჩქარეზე.
თუ ნაწილაკების სისტემა დახურულია, მაშინ მისი ნაწილების მომენტების ჯამი არ იცვლება. შესაბამისად, მასის ცენტრის სიჩქარე მუდმივია. ისინი ამბობენ, რომ დახურული სისტემის მასის ცენტრი მოძრაობს ინერციით, ანუ სწორხაზოვნად და ერთნაირად, და ეს მოძრაობა დამოუკიდებელია მოძრაობისგან. კომპონენტებისისტემები. დახურულ სისტემაში შინაგან ძალებს შეუძლიათ იმოქმედონ და მათი მოქმედების შედეგად სისტემის ნაწილებს შეიძლება ჰქონდეთ აჩქარება. მაგრამ ეს გავლენას არ ახდენს მასის ცენტრის მოძრაობაზე. შინაგანი ძალების გავლენის ქვეშ, მასის ცენტრის სიჩქარე არ იცვლება.
პრობლემების მაგალითები გადაწყვეტილებებით
მაგალითი 1
ვარჯიში.ჩამოწერეთ სამი ბურთის სისტემის მასის ცენტრის კოორდინატები, რომლებიც განლაგებულია ტოლგვერდა სამკუთხედის წვეროებზე და ცენტრში, რომლის გვერდი $b\ (m)$-ის ტოლია (ნახ. 2).
გამოსავალი.პრობლემის გადასაჭრელად ვიყენებთ გამონათქვამებს, რომლებიც განსაზღვრავენ მასის ცენტრის კოორდინატებს:
\ \
2-დან ვხედავთ, რომ წერტილების აბსციებია:
\[\ მარცხნივ\( \დაწყება(მასივი)(გ) m_1=2m,\ \ x_1=0;;\ \ \\ (\rm \ )m_2=3m,\ \ \ \ x_2=\frac(b)( 2); \\ m_3=m,\ \ x_3=\frac(b)(2);
მაშინ მასის ცენტრის აბსციზა არის:
ვიპოვოთ პუნქტების ორდინატები.
\[ \დაწყება(მასივი)(c) m_1=2m,\ \ y_1=0;;\ \ \\ (\rm \ )m_2=3m,\ \ \ \ y_2=\frac(b\sqrt(3)) (2); \\ m_3=m,\ \ y_3=\frac(b\sqrt(3))(6); \\ m_4=4m,\ \ y_4=0. \end(მასივი) \მარცხნივ(2.4\მარჯვნივ).\]
$y_2$ ორდინატის საპოვნელად, გამოვთვალოთ რა სიმაღლეშია ტოლგვერდა სამკუთხედი:
ჩვენ ვპოულობთ ორდინატს $y_3$, გვახსოვდეს, რომ ტოლგვერდა სამკუთხედში შუამავლები იყოფა გადაკვეთის წერტილზე 2:1 თანაფარდობით წვეროდან, მივიღებთ:
გამოვთვალოთ მასის ცენტრის ორდინატი:
უპასუხე.$x_c=0.6b\ (\rm \ )(\rm m)$; $y_c=\frac(b\sqrt(3)\ )(6)$ m
მაგალითი 2
ვარჯიში.დაწერეთ მასის ცენტრის მოძრაობის კანონი.
გამოსავალი.ნაწილაკების სისტემის იმპულსის ცვლილების კანონი არის მასის ცენტრის მოძრაობის კანონი. ფორმულიდან:
\[(\overline(v))_c=\frac(\overline(P))(M)\to \overline(P)=M(\overline(v))_c\left(2.1\მარჯვნივ)\]
$M$ მუდმივი მასით, გამოსახვის ორივე მხარის დიფერენცირებით (2.1), მივიღებთ:
\[\frac(d\overline(P))(dt)=M\frac(d(\overline(v))_c)(dt)\მარცხნივ(2.2\მარჯვნივ).\]
გამოთქმა (2.2) ნიშნავს, რომ სისტემის იმპულსის ცვლილების სიჩქარე უდრის სისტემის მასისა და მისი მასის ცენტრის აჩქარების ნამრავლს. იმიტომ რომ
\[\frac(d\overline(P))(dt)=\sum\limits^N_(i=1)((\overline(F))_i\left(2.3\მარჯვნივ),)\]
გამოთქმის (2.4) მიხედვით მივიღებთ, რომ სისტემის მასის ცენტრი მოძრაობს ისევე, როგორც მოძრაობს M მასის ერთი მატერიალური წერტილი, თუ მასზე მოქმედებს ძალა, რომელიც ტოლია ყველა გარე ძალების ჯამის. ნაწილაკები, რომლებიც შედის განსახილველ სისტემაში. თუ $\sum\limits^N_(i=1)((\overline(F))_i=0,)$ მაშინ მასის ცენტრი მოძრაობს ერთნაირად და სწორხაზოვნად.
მასებით `m_1`, `m_2`, `m_3`, `…`. თითოეული ეს ნაწილი შეიძლება ჩაითვალოს მატერიალურ წერტილად. `i`-ე მატერიალური წერტილის სივრცეში `m_i` მასის მდებარეობა განისაზღვრება რადიუსით - ვექტორი `vecr_i~ (სურ. 11). სხეულის მასა არის მისი ცალკეული ნაწილების მასების ჯამი: `m=sum_im_i`. განმარტებით, სხეულის (სხეულების სისტემის) მასის ცენტრი არის ისეთი წერტილი `C`, რომლის რადიუსის ვექტორი `vecr_c` განისაზღვრება ფორმულით `vecr_c=1/m sum_im_ivecr_i`.
შეიძლება აჩვენოს, რომ მასის ცენტრის პოზიცია სხეულთან მიმართებაში არ არის დამოკიდებული კოორდინატების "O" წარმოშობის არჩევანზე, ანუ ზემოთ მოცემული მასის ცენტრის განმარტება ერთმნიშვნელოვანი და სწორია.
მასის ცენტრის პოვნის მეთოდებზე რომ არ შევისწავლოთ, ვთქვათ, რომ ერთგვაროვანი სიმეტრიული სხეულების მასის ცენტრი მდებარეობს მათში. გეომეტრიული ცენტრიან სიმეტრიის ღერძზე ბრტყელი სხეულის მასის ცენტრი თვითნებური სამკუთხედის სახით მდებარეობს მისი შუალედების გადაკვეთაზე.
ირკვევა, რომ სხეულის მასის ცენტრს (ან სხეულთა სისტემას) აქვს მრავალი შესანიშნავი თვისება. დინამიკაში ნაჩვენებია, რომ თვითნებურად მოძრავი სხეულის იმპულსი პროდუქტის ტოლისხეულის მასა მისი მასის ცენტრის სიჩქარით და რომ მასის ცენტრი მოძრაობს ისე, თითქოს სხეულზე მოქმედი ყველა გარეგანი ძალა გამოიყენოს მასის ცენტრში და მთელი სხეულის მასა კონცენტრირებულია მასში.
სიმძიმის ცენტრი დედამიწის გრავიტაციულ ველში მდებარე სხეულს ეწოდება სხეულის ყველა ნაწილზე მოქმედი ყველა გრავიტაციული ძალის შედეგის გამოყენების წერტილი. ამ შედეგს ეწოდება სხეულზე მოქმედი მიზიდულობის ძალა. სხეულის სიმძიმის ცენტრში გამოყენებული სიმძიმის ძალა იგივე გავლენას ახდენს სხეულზე, როგორც ყველა სიმძიმის ძალა, რომელიც მოქმედებს სხეულის ცალკეულ ნაწილებზე.
საინტერესო შემთხვევაა, როდესაც სხეულის ზომა დედამიწის ზომაზე გაცილებით მცირეა. მაშინ შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ პარალელური გრავიტაციული ძალები მოქმედებენ სხეულის ყველა ნაწილზე, ანუ სხეული ერთგვაროვან გრავიტაციულ ველშია. პარალელურად და ერთნაირად მიმართულ ძალებს ყოველთვის აქვთ შედეგიანი ძალა, რაც შეიძლება დადასტურდეს. მაგრამ სივრცეში სხეულის გარკვეულ პოზიციაზე, შესაძლებელია მიუთითოთ მხოლოდ სიმძიმის ყველა პარალელური ძალის მოქმედების ხაზი, მისი გამოყენების წერტილი ამ დროისთვის განუსაზღვრელი დარჩება, რადგან ხისტი სხეულისთვის ნებისმიერ ძალას შეუძლია გადაეცემა მისი მოქმედების ხაზის გასწვრივ. რაც შეეხება განაცხადის პუნქტს?
შეიძლება აჩვენოს, რომ სხეულის ნებისმიერი პოზიციისთვის სიმძიმის ერთგვაროვან ველში, სხეულის ცალკეულ ნაწილებზე მოქმედი ყველა გრავიტაციული ძალის შედეგის მოქმედების ხაზი გადის იმავე წერტილში, სხეულთან შედარებით სტაციონარული. ამ დროს მიღებული შედეგი გამოიყენება და წერტილი თავად იქნება სხეულის სიმძიმის ცენტრი.
სიმძიმის ცენტრის პოზიცია სხეულთან შედარებით დამოკიდებულია მხოლოდ სხეულის ფორმაზე და სხეულში მასის განაწილებაზე და არ არის დამოკიდებული სხეულის პოზიციაზე სიმძიმის ერთგვაროვან ველში. სიმძიმის ცენტრი სულაც არ არის განთავსებული თავად სხეულში. მაგალითად, ერთგვაროვან გრავიტაციულ ველში რგოლს აქვს სიმძიმის ცენტრი მის გეომეტრიულ ცენტრში.
მოდით, მტკიცებულების გარეშე მოვახსენოთ უაღრესად საინტერესო და მნიშვნელოვანი ფაქტი. თურმე, ერთგვაროვან სიმძიმის ველში, სხეულის სიმძიმის ცენტრი ემთხვევა მის მასის ცენტრს.გავიხსენოთ, რომ სხეულის მასის ცენტრი გრავიტაციული ველის არსებობის მიუხედავად არსებობს და სიმძიმის ცენტრზე საუბარი მხოლოდ სიმძიმის არსებობისას შეგვიძლია.
მოსახერხებელია სხეულის სიმძიმის ცენტრის და, შესაბამისად, მასის ცენტრის ადგილმდებარეობის პოვნა, სხეულის სიმეტრიის გათვალისწინებით და ძალის მომენტის კონცეფციის გამოყენებით.
 |
მსუბუქ ღეროზე (სურ. 12) ფიქსირებული ბურთულების მასაmi `m_1=3` კგ, `m_2=2` კგ, `m_3=6` კგ, `m_4=3` კგ.ნებისმიერი უახლოესი ბურთის ცენტრებს შორის მანძილი არის `a=10` სმ. იპოვნეთ სიმძიმის ცენტრისა და სტრუქტურის მასის ცენტრი.
სტრუქტურის სიმძიმის ცენტრის პოზიცია ბურთებთან შედარებით არ არის დამოკიდებული ღეროს ორიენტაციაზე სივრცეში. პრობლემის გადასაჭრელად მოსახერხებელია ჯოხის ჰორიზონტალურად განლაგება, როგორც ეს ნაჩვენებია სურათზე 12. სიმძიმის ცენტრი იყოს 'L' მანძილზე. მარცხენა ბურთის ცენტრიდან, ანუ `A` წერტილიდან. სიმძიმის ცენტრში გამოიყენება ყველა გრავიტაციული ძალის შედეგი და მისი მომენტი `A` ღერძთან მიმართებაში უდრის ბურთების მიზიდულობის ძალების მომენტების ჯამს.
გვაქვს: `R=(m_1+m_2+m_3+m_4)g`, `RL=m_2ga+m_3g2a+m_4g3a`.
აქედან გამომდინარე, `L=(m_2+2m_3+3m_4)/(m_1+m_2+m_3+m_4) a~~16,4` სმ.
სიმძიმის ცენტრი ემთხვევა მასის ცენტრს და მდებარეობს `C` წერტილში, მარცხენა ბურთის ცენტრიდან `L~~16,4` სმ მანძილზე.
სისტემის მოძრაობა გარდა აქტიური ძალებიასევე დამოკიდებულია მის მთლიან მასაზე და მასის განაწილებაზე. სისტემის მასა (მითითებულია M ან ) უდრის არითმეტიკული ჯამიყველა წერტილის ან სხეულის მასა, რომელიც ქმნის სისტემას.
სისტემაში მასების განაწილება განისაზღვრება მისი წერტილების მასების მნიშვნელობებით და მათი შედარებითი პოზიციებით, ანუ მათი კოორდინატებით, თუმცა, გამოდის, რომ დინამიკის იმ პრობლემების გადაჭრისას, რომლებიც განვიხილავთ, კერძოდ ხისტი სხეულის დინამიკა, მასების განაწილების გასათვალისწინებლად საკმარისი არ არის ყველა სიდიდის ცოდნა და ზოგიერთი, მათში გამოხატული შემაჯამებელი მახასიათებლები. ესენია: მასის ცენტრის კოორდინატები (გამოიხატება სისტემის წერტილების მასების ნამრავლების ჯამით და მათი კოორდინატები), ინერციის ღერძული მომენტები (გამოიხატება სისტემის წერტილების მასების ნამრავლების ჯამით და მათი კოორდინატების კვადრატები) და ცენტრიდანული მომენტებიინერცია (გამოიხატება სისტემის წერტილების მასების ნამრავლებისა და მათი ორი კოორდინატის ჯამით). ამ მახასიათებლებს განვიხილავთ ამ თავში.
მასის ცენტრი ერთგვაროვან გრავიტაციულ ველში, რომლისთვისაც g=const, სხეულის ნებისმიერი ნაწილაკის წონა მისი მასის პროპორციულია. მაშასადამე, სხეულში მასების განაწილება შეიძლება ვიმსჯელოთ მისი სიმძიმის ცენტრის პოზიციით. მოდით გადავიტანოთ ფორმულები (59) § 32-დან, რომლებიც განსაზღვრავენ სხეულის სიმძიმის ცენტრის კოორდინატებს, ფორმად, რომელიც აშკარად შეიცავს მასას. ამისათვის ჩავსვათ ზემოაღნიშნული ფორმულები, რის შემდეგაც გ-ით შემცირებით ვპოულობთ:
შედეგად მიღებული თანასწორობები ახლა მოიცავს სხეულის შემადგენელი მატერიალური წერტილების (ნაწილაკების) მასებს და ამ წერტილების კოორდინატებს. შესაბამისად, წერტილის პოზიცია ნამდვილად ახასიათებს მასების განაწილებას სხეულში ან რომელიმე მექანიკურ სისტემაში, თუ ვგულისხმობთ, შესაბამისად, სისტემის წერტილების მასებს და კოორდინატებს.
გეომეტრიულ წერტილს C, რომლის კოორდინატები განისაზღვრება ფორმულებით (1), ეწოდება მასის ცენტრი ან ინერციის ცენტრი. მექანიკური სისტემა.
თუ მასის ცენტრის პოზიცია განისაზღვრება მისი რადიუსის ვექტორით, მაშინ ტოლობებიდან (1) ვიღებთ ფორმულას
სადაც არის სისტემის შემქმნელი წერტილების რადიუსის ვექტორები.
მიღებული შედეგებიდან გამომდინარეობს, რომ ხისტი სხეულისთვის, რომელიც მდებარეობს ერთგვაროვან გრავიტაციულ ველში, მასის ცენტრისა და სიმძიმის ცენტრის პოზიციები ემთხვევა ერთმანეთს. მაგრამ სიმძიმის ცენტრისგან განსხვავებით, მასის ცენტრის კონცეფცია ინარჩუნებს თავის მნიშვნელობას სხეულისთვის, რომელიც მდებარეობს ნებისმიერ ძალის ველში (მაგალითად, ცენტრალურ გრავიტაციულ ველში) და, გარდა ამისა, როგორც მასების განაწილების მახასიათებელი, აზრი აქვს არა მხოლოდ მყარი სხეულისთვის, არამედ ნებისმიერი მექანიკური სისტემისთვის.
ნებისმიერ მექანიკურ სისტემას, ისევე როგორც ნებისმიერ სხეულს, აქვს ისეთი შესანიშნავი წერტილი, როგორიცაა მასის ცენტრი. ადამიანს, მანქანას, დედამიწას, სამყაროს, ანუ ნებისმიერ ობიექტს აქვს. ძალიან ხშირად ეს წერტილი აირია სიმძიმის ცენტრთან. მიუხედავად იმისა, რომ ისინი ხშირად ემთხვევა ერთმანეთს, მათ აქვთ გარკვეული განსხვავებები. შეიძლება ითქვას, რომ მექანიკური სისტემის მასის ცენტრი უფრო ფართო კონცეფციაა მის სიმძიმის ცენტრთან შედარებით. რა არის ეს და როგორ მოვძებნოთ მისი მდებარეობა სისტემაში ან ცალკეულ ობიექტში? ეს არის ზუსტად ის, რაც ჩვენს სტატიაში იქნება განხილული.
განმარტების ცნება და ფორმულა
მასის ცენტრი არის სწორი ხაზების გადაკვეთის გარკვეული წერტილი, რომლის პარალელურადაც მოქმედებენ გარე ძალები, რომლებიც იწვევენ მოცემული ობიექტის მთარგმნელობით მოძრაობას. ეს განცხადება მართალია როგორც ცალკეული სხეულისთვის, ასევე ელემენტების ჯგუფისთვის, რომლებსაც აქვთ გარკვეული კავშირი ერთმანეთთან. მასის ცენტრი ყოველთვის ემთხვევა სიმძიმის ცენტრს და წარმოადგენს შესწავლილ სისტემაში ყველა მასის განაწილების ერთ-ერთ ყველაზე მნიშვნელოვან გეომეტრიულ მახასიათებელს. m i-ით ავღნიშნოთ სისტემის თითოეული წერტილის მასა (i = 1,…,n). რომელიმე მათგანის პოზიცია შეიძლება აღიწეროს სამი კოორდინატით: x i, y i, z i. მაშინ აშკარაა, რომ სხეულის (მთელი სისტემის) მასა ტოლი იქნება მისი ნაწილაკების მასების ჯამისა: M=∑m i. და თავად მასის ცენტრი (O) შეიძლება განისაზღვროს შემდეგი ურთიერთობებით:
X o = ∑m i *x i /M;
Y o = ∑m i *y i /M;
Z o = ∑m i *z i /M.
რატომ არის ეს პუნქტი საინტერესო? მისი ერთ-ერთი მთავარი უპირატესობა ის არის, რომ იგი ახასიათებს ობიექტის მოძრაობას მთლიანობაში. ეს თვისება საშუალებას იძლევა გამოიყენოს მასის ცენტრი იმ შემთხვევებში, როდესაც სხეულს აქვს დიდი ზომები ან არარეგულარული გეომეტრიული ფორმა.
რა უნდა იცოდეთ ამ წერტილის მოსაძებნად
პრაქტიკული აპლიკაცია
განსახილველი კონცეფცია ფართოდ გამოიყენება მექანიკის სხვადასხვა დარგში. როგორც წესი, მასის ცენტრი გამოიყენება სიმძიმის ცენტრად. ეს უკანასკნელი წარმოადგენს ისეთ წერტილს, ჩამოკიდებულ საგანს, საიდანაც შესაძლებელი იქნება მისი პოზიციის უცვლელობაზე დაკვირვება. სისტემის მასის ცენტრი ხშირად გამოითვლება მექანიკურ ინჟინერიაში სხვადასხვა ნაწილების დიზაინის დროს. ის ასევე დიდ როლს ასრულებს ბალანსის უზრუნველყოფაში, რომელიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას, მაგალითად, ავეჯის ალტერნატიული ვარიანტების შექმნისას, მანქანები, მშენებლობაში, საწყობში და ა.შ. ძირითადი პრინციპების ცოდნის გარეშე, რომლითაც განისაზღვრება სიმძიმის ცენტრი, რთული იქნება სამუშაოს უსაფრთხოების ორგანიზება მასიური დატვირთვით და ნებისმიერი დიდი ობიექტებით. ვიმედოვნებთ, რომ ჩვენი სტატია სასარგებლო იყო და უპასუხა ყველა კითხვას ამ თემაზე.