ცოდნა მთავარი ელემენტარული ფუნქციები, მათი თვისებები და გრაფიკებიარანაკლებ მნიშვნელოვანია, ვიდრე გამრავლების ცხრილების ცოდნა. ისინი საძირკველს ჰგვანან, ყველაფერი მათზეა დაფუძნებული, ყველაფერი მათგან არის აგებული და ყველაფერი მათზე მოდის.

ამ სტატიაში ჩვენ ჩამოვთვლით ყველა ძირითად ელემენტარულ ფუნქციას, შემოგთავაზებთ მათ გრაფიკებს და ვაძლევთ დასკვნის ან მტკიცებულების გარეშე ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების თვისებებისქემის მიხედვით:

• ფუნქციის ქცევა განსაზღვრების დომენის საზღვრებში, ვერტიკალური ასიმპტოტები (საჭიროების შემთხვევაში იხილეთ ფუნქციის უწყვეტობის წერტილების სტატიის კლასიფიკაცია);
• ლუწი და კენტი;
• ამოზნექილობის ინტერვალები (ამოზნექება ზევით) და ჩაზნექილი (ამოზნექება ქვევით), დახრის წერტილები (საჭიროების შემთხვევაში იხილეთ ფუნქციის ამოზნექილი სტატია, ამოზნექის მიმართულება, დახრის წერტილები, ამოზნექილობის და დახრის პირობები);
• ირიბი და ჰორიზონტალური ასიმპტოტები;
• ფუნქციების ცალკეული წერტილები;
• ზოგიერთი ფუნქციის განსაკუთრებული თვისებები (მაგალითად, ტრიგონომეტრიული ფუნქციების უმცირესი დადებითი პერიოდი).

თუ გაინტერესებთ ან, მაშინ შეგიძლიათ გადახვიდეთ თეორიის ამ სექციებზე.

ძირითადი ელემენტარული ფუნქციებიარის: მუდმივი ფუნქცია (მუდმივი), n-ე ფესვი, სიმძლავრის ფუნქცია, ექსპონენციალური, ლოგარითმული ფუნქცია, ტრიგონომეტრიული და შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები.

გვერდის ნავიგაცია.

მუდმივი ფუნქცია.

მუდმივი ფუნქცია განისაზღვრება ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლეზე ფორმულით, სადაც C არის გარკვეული რეალური რიცხვი. მუდმივი ფუნქცია აკავშირებს x დამოუკიდებელი ცვლადის თითოეულ რეალურ მნიშვნელობას y დამოკიდებული ცვლადის იგივე მნიშვნელობასთან - მნიშვნელობა C. მუდმივ ფუნქციას ასევე ეწოდება მუდმივი.

მუდმივი ფუნქციის გრაფიკი არის სწორი ხაზი x ღერძის პარალელურად და გადის წერტილში კოორდინატებით (0,C). მაგალითად, ვაჩვენოთ y=5, y=-2 და მუდმივი ფუნქციების გრაფიკები, რომლებიც ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში შეესაბამება შავ, წითელ და ლურჯ ხაზებს შესაბამისად.

მუდმივი ფუნქციის თვისებები.

• დომენი: რეალური რიცხვების მთელი ნაკრები.
• მუდმივი ფუნქცია ლუწია.
• მნიშვნელობების დიაპაზონი: კომპლექტი, რომელიც შედგება სინგულარული რიცხვისგან C.
• მუდმივი ფუნქცია არ არის მზარდი და არ კლებადი (ამიტომ არის მუდმივი).
• მუდმივის ამოზნექილობასა და ჩაღრმავებაზე ლაპარაკს აზრი არ აქვს.
• ასიმპტოტები არ არსებობს.
• ფუნქცია გადის კოორდინატთა სიბრტყის წერტილში (0,C).

მე-n ხარისხის ფესვი.

განვიხილოთ ძირითადი ელემენტარული ფუნქცია, რომელიც მოცემულია ფორმულით, სადაც n – ბუნებრივი რიცხვი, ერთზე მეტი.

n-ე ხარისხის ფესვი, n არის ლუწი რიცხვი.

დავიწყოთ n-ე ფესვის ფუნქციით ძირის მაჩვენებლის n-ის ლუწი მნიშვნელობებისთვის.

მაგალითად, აქ არის სურათი ფუნქციის გრაფიკების გამოსახულებით და , ისინი შეესაბამება შავ, წითელ და ლურჯ ხაზებს.

ლუწი ხარისხის ფესვის ფუნქციების გრაფიკებს მსგავსი გარეგნობა აქვთ მაჩვენებლის სხვა მნიშვნელობებისთვის.

n-ე ფესვის ფუნქციის თვისებები ლუწ n-ისთვის.

n-ე ფესვი, n არის კენტი რიცხვი.

n-ე ძირის ფუნქცია კენტი ფესვის მაჩვენებლით n განისაზღვრება რეალური რიცხვების მთელ სიმრავლეზე. მაგალითად, აქ არის ფუნქციის გრაფიკები და , ისინი შეესაბამება შავ, წითელ და ლურჯ მოსახვევებს.

ფესვის მაჩვენებლის სხვა უცნაური მნიშვნელობებისთვის, ფუნქციის გრაფიკებს ექნებათ მსგავსი გარეგნობა.

n-ე ფესვის ფუნქციის თვისებები კენტი n-ისთვის.

დენის ფუნქცია.

სიმძლავრის ფუნქცია მოცემულია ფორმის ფორმულით.

მოდით შევხედოთ გრაფიკების ტიპს დენის ფუნქციადა სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები მაჩვენებლის მნიშვნელობიდან გამომდინარე.

დავიწყოთ სიმძლავრის ფუნქციით a მთელი რიცხვის მაჩვენებლით. ამ შემთხვევაში, სიმძლავრის ფუნქციების გრაფიკების ტიპი და ფუნქციების თვისებები დამოკიდებულია მაჩვენებლის თანაბარობაზე ან უცნაურობაზე, ასევე მის ნიშანზე. მაშასადამე, ჩვენ ჯერ განვიხილავთ სიმძლავრის ფუნქციებს a მაჩვენებლის კენტი დადებითი მნიშვნელობებისთვის, შემდეგ ლუწი დადებითი მაჩვენებლებისთვის, შემდეგ კენტი უარყოფითი მაჩვენებლებისთვის და ბოლოს, ლუწი უარყოფითი a.

წილადი და ირაციონალური მაჩვენებლების მქონე სიმძლავრის ფუნქციების თვისებები (ასევე ასეთი სიმძლავრის ფუნქციების გრაფიკების ტიპი) დამოკიდებულია a მაჩვენებლის მნიშვნელობაზე. ჩვენ განვიხილავთ მათ, პირველ რიგში, a-სთვის ნულიდან ერთამდე, მეორედ, ერთზე მეტისთვის, მესამედ, a-სთვის მინუს ერთიდან ნულამდე, მეოთხედ, მინუს ერთზე ნაკლებისთვის.

ამ განყოფილების ბოლოს, სისრულისთვის, ჩვენ აღვწერთ სიმძლავრის ფუნქციას ნულოვანი მაჩვენებლით.

სიმძლავრის ფუნქცია კენტი დადებითი მაჩვენებლით.

განვიხილოთ სიმძლავრის ფუნქცია კენტი დადებითი მაჩვენებლით, ანუ a = 1,3,5,....

ქვემოთ მოყვანილი სურათი გვიჩვენებს დენის ფუნქციების გრაფიკებს - შავი ხაზი, - ლურჯი ხაზი, - წითელი ხაზი, - მწვანე ხაზი. a=1-ისთვის გვაქვს ხაზოვანი ფუნქცია y=x.

კენტი დადებითი მაჩვენებლის მქონე სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები.

დენის ფუნქცია თუნდაც დადებითი მაჩვენებლით.

განვიხილოთ სიმძლავრის ფუნქცია ლუწი დადებითი მაჩვენებლით, ანუ a = 2,4,6,....

მაგალითად, ჩვენ ვაძლევთ დენის ფუნქციების გრაფიკებს - შავი ხაზი, - ლურჯი ხაზი, - წითელი ხაზი. a=2-ისთვის გვაქვს კვადრატული ფუნქცია, რომლის გრაფიკი არის კვადრატული პარაბოლა.

სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები ლუწი დადებითი მაჩვენებლით.

დენის ფუნქცია კენტი უარყოფითი მაჩვენებლით.

შეხედეთ სიმძლავრის ფუნქციის გრაფიკებს ექსპონენტის კენტი უარყოფითი მნიშვნელობებისთვის, ანუ = -1, -3, -5,....

ნახატზე მოცემულია დენის ფუნქციების გრაფიკები, როგორც მაგალითები - შავი ხაზი, - ლურჯი ხაზი, - წითელი ხაზი, - მწვანე ხაზი. a=-1-ისთვის გვაქვს უკუპროპორციულობა, რომლის გრაფიკი არის ჰიპერბოლა.

კენტი უარყოფითი მაჩვენებლის მქონე სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები.

დენის ფუნქცია თუნდაც უარყოფითი მაჩვენებლით.

გადავიდეთ სიმძლავრის ფუნქციაზე a=-2,-4,-6,….

სურათზე ნაჩვენებია დენის ფუნქციების გრაფიკები - შავი ხაზი, - ლურჯი ხაზი, - წითელი ხაზი.

სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები ლუწი უარყოფითი მაჩვენებლით.

სიმძლავრის ფუნქცია რაციონალური ან ირაციონალური მაჩვენებლით, რომლის მნიშვნელობა ნულზე მეტია და ერთზე ნაკლები.

მიაქციე ყურადღება!თუ a არის დადებითი წილადი კენტი მნიშვნელით, მაშინ ზოგიერთი ავტორი მიიჩნევს, რომ ძალაუფლების ფუნქციის განსაზღვრის დომენი არის ინტერვალი. დადგენილია, რომ მაჩვენებელი a არის შეუქცევადი წილადი. ახლა მრავალი სახელმძღვანელოს ავტორები ალგებრაზე და ანალიზის საწყისებზე არ განსაზღვრავენ სიმძლავრის ფუნქციებს არგუმენტის უარყოფითი მნიშვნელობების კენტი მნიშვნელის მქონე წილადის სახით. ჩვენ ზუსტად ამ შეხედულებას დავიცავთ, ანუ სიმრავლეს მივიჩნევთ ძალაუფლების ფუნქციების განსაზღვრის დომენებად წილადი დადებითი მაჩვენებლებით. ჩვენ გირჩევთ, რომ მოსწავლეებმა გაარკვიონ თქვენი მასწავლებლის აზრი ამ დახვეწილ საკითხთან დაკავშირებით, რათა თავიდან აიცილონ უთანხმოება.

განვიხილოთ ძალაუფლების ფუნქცია რაციონალური ან ირაციონალური a მაჩვენებლით და .

წარმოვადგინოთ სიმძლავრის ფუნქციების გრაფიკები a=11/12 (შავი ხაზი), a=5/7 (წითელი ხაზი), (ლურჯი ხაზი), a=2/5 (მწვანე ხაზი).

სიმძლავრის ფუნქცია ერთზე მეტი არამთლიანი რაციონალური ან ირაციონალური მაჩვენებლით.

განვიხილოთ ძალაუფლების ფუნქცია არამთლიანი რაციონალური ან ირაციონალური მაჩვენებლით a და .

წარმოვადგინოთ ფორმულებით მოცემული სიმძლავრის ფუნქციების გრაფიკები (შავი, წითელი, ლურჯი და მწვანე ხაზები შესაბამისად).

>

a მაჩვენებლის სხვა მნიშვნელობებისთვის, ფუნქციის გრაფიკებს ექნებათ მსგავსი გარეგნობა.

სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები ზე.

სიმძლავრის ფუნქცია რეალური მაჩვენებლით, რომელიც მეტია მინუს ერთზე და ნაკლები ნულზე.

მიაქციე ყურადღება!თუ a არის უარყოფითი წილადი კენტი მნიშვნელით, მაშინ ზოგიერთი ავტორი მიიჩნევს, რომ ძალაუფლების ფუნქციის განსაზღვრის დომენი არის ინტერვალი. . დადგენილია, რომ მაჩვენებელი a არის შეუქცევადი წილადი. ახლა მრავალი სახელმძღვანელოს ავტორები ალგებრაზე და ანალიზის საწყისებზე არ განსაზღვრავენ სიმძლავრის ფუნქციებს არგუმენტის უარყოფითი მნიშვნელობების კენტი მნიშვნელის მქონე წილადის სახით. ჩვენ ზუსტად ამ შეხედულებას დავიცავთ, ანუ წილადი უარყოფითი მაჩვენებლების მქონე სიმძლავრის ფუნქციების განსაზღვრის დომენებს, შესაბამისად, სიმრავლედ მივიჩნევთ. ჩვენ გირჩევთ, რომ მოსწავლეებმა გაარკვიონ თქვენი მასწავლებლის აზრი ამ დახვეწილ საკითხთან დაკავშირებით, რათა თავიდან აიცილონ უთანხმოება.

მოდით გადავიდეთ დენის ფუნქციაზე, კგ.

იმისთვის, რომ კარგი წარმოდგენა გქონდეთ ძალაუფლების ფუნქციების გრაფიკის ფორმის შესახებ, ჩვენ ვაძლევთ ფუნქციების გრაფიკების მაგალითებს (შავი, წითელი, ლურჯი და მწვანე მოსახვევები, შესაბამისად).

სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები a, მაჩვენებლით.

სიმძლავრის ფუნქცია არა მთელი რიცხვის რეალური მაჩვენებლით, რომელიც მინუს ერთზე ნაკლებია.

მოდით მოვიყვანოთ სიმძლავრის ფუნქციების გრაფიკების მაგალითები , ისინი გამოსახულია შესაბამისად შავი, წითელი, ლურჯი და მწვანე ხაზებით.

სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები მინუს ერთზე ნაკლები არამთლიანი უარყოფითი მაჩვენებლით.

როდესაც a = 0 და გვაქვს ფუნქცია - ეს არის სწორი ხაზი, საიდანაც გამორიცხულია წერტილი (0;1) (შეთანხმებული იქნა, რომ არ მიეცეს რაიმე მნიშვნელობა გამოხატულებას 0 0).

ექსპონენციალური ფუნქცია.

ერთ-ერთი მთავარი ელემენტარული ფუნქციაა ექსპონენციალური ფუნქცია.

განრიგი ექსპონენციალური ფუნქცია, სადაც და იღებს სხვადასხვა ფორმებს ფუძის მნიშვნელობიდან გამომდინარე a. მოდით გავარკვიოთ ეს.

პირველ რიგში, განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც ექსპონენციალური ფუნქციის საფუძველი იღებს მნიშვნელობას ნულიდან ერთამდე, ანუ .

მაგალითად, წარმოგიდგენთ ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკებს a = 1/2 – ლურჯი ხაზისთვის, a = 5/6 – წითელი ხაზისთვის. ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკებს მსგავსი გარეგნობა აქვთ ბაზის სხვა მნიშვნელობებისთვის ინტერვალიდან.

ექსპონენციალური ფუნქციის თვისებები ერთზე ნაკლები ფუძით.

გადავიდეთ იმ შემთხვევაზე, როდესაც ექსპონენციალური ფუნქციის საფუძველი ერთზე მეტია, ანუ .

საილუსტრაციოდ წარმოგიდგენთ ექსპონენციალური ფუნქციების გრაფიკებს - ლურჯი ხაზი და წითელი ხაზი. ერთზე მეტი ბაზის სხვა მნიშვნელობებისთვის, ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკებს ექნებათ მსგავსი გარეგნობა.

ერთზე მეტი ფუძის მქონე ექსპონენციალური ფუნქციის თვისებები.

ლოგარითმული ფუნქცია.

შემდეგი ძირითადი ელემენტარული ფუნქციაა ლოგარითმული ფუნქცია, სადაც, . ლოგარითმული ფუნქცია განისაზღვრება მხოლოდ არგუმენტის დადებითი მნიშვნელობებისთვის, ანუ .

განრიგი ლოგარითმული ფუნქციაიღებს სხვადასხვა ფორმებს ფუძის მნიშვნელობიდან გამომდინარე.

დავიწყოთ იმ შემთხვევით, როდესაც .

მაგალითად, წარმოგიდგენთ ლოგარითმული ფუნქციის გრაფიკებს a = 1/2 – ლურჯი ხაზისთვის, a = 5/6 – წითელი ხაზისთვის. ბაზის სხვა მნიშვნელობებისთვის, რომლებიც არ აღემატება ერთს, ლოგარითმული ფუნქციის გრაფიკებს ექნებათ მსგავსი გარეგნობა.

ერთზე ნაკლები ფუძის მქონე ლოგარითმული ფუნქციის თვისებები.

გადავიდეთ შემთხვევაზე, როდესაც ლოგარითმული ფუნქციის საფუძველი ერთზე მეტია ().

ვაჩვენოთ ლოგარითმული ფუნქციების გრაფიკები - ლურჯი ხაზი, - წითელი ხაზი. ერთზე მეტი ბაზის სხვა მნიშვნელობებისთვის, ლოგარითმული ფუნქციის გრაფიკებს ექნებათ მსგავსი გარეგნობა.

ერთზე მეტი ფუძის მქონე ლოგარითმული ფუნქციის თვისებები.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, მათი თვისებები და გრაფიკები.

ყველა ტრიგონომეტრიული ფუნქცია (სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი) მიეკუთვნება ძირითად ელემენტარულ ფუნქციებს. ახლა ჩვენ გადავხედავთ მათ გრაფიკებს და ჩამოვთვლით მათ თვისებებს.

ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს აქვთ კონცეფცია სიხშირე(ფუნქციის მნიშვნელობების განმეორება არგუმენტის სხვადასხვა მნიშვნელობებისთვის, რომლებიც ერთმანეთისგან განსხვავდება პერიოდის მიხედვით , სადაც T არის პერიოდი), შესაბამისად, ერთეული დაემატა ტრიგონომეტრიული ფუნქციების თვისებების სიას "ყველაზე პატარა დადებითი პერიოდი". ასევე, თითოეული ტრიგონომეტრიული ფუნქციისთვის ჩვენ მივუთითებთ არგუმენტის მნიშვნელობებს, რომლებზეც შესაბამისი ფუნქცია ქრება.

ახლა მოდით გავუმკლავდეთ ყველა ტრიგონომეტრიულ ფუნქციას თანმიმდევრობით.

სინუს ფუნქცია y = sin(x) .

მოდით დავხატოთ სინუსური ფუნქციის გრაფიკი, რომელსაც ეწოდება "სინუსური ტალღა".

სინუსური ფუნქციის თვისებები y = sinx.

კოსინუს ფუნქცია y = cos(x) .

კოსინუსის ფუნქციის გრაფიკი (ე.წ. "კოსინუსი") ასე გამოიყურება:

კოსინუსური ფუნქციის თვისებები y = cosx.

ტანგენტის ფუნქცია y = tan(x) .

ტანგენტის ფუნქციის გრაფიკი (მას "ტანგენსოიდი" ეწოდება) ასე გამოიყურება:

tangent ფუნქციის თვისებები y = tanx.

კოტანგენსი ფუნქცია y = ctg(x) .

მოდით დავხატოთ კოტანგენტური ფუნქციის გრაფიკი (მას "კოტანგენტოიდი" ეწოდება):

კოტანგენსი ფუნქციის თვისებები y = ctgx.

შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, მათი თვისებები და გრაფიკები.

შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები (რკალის სინუსი, რკალის კოსინუსი, რკალის ტანგენსი და რკალის კოტანგენსი) ძირითადი ელემენტარული ფუნქციებია. ხშირად, "რკალის" პრეფიქსის გამო, შებრუნებულ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს რკალის ფუნქციებს უწოდებენ. ახლა ჩვენ გადავხედავთ მათ გრაფიკებს და ჩამოვთვლით მათ თვისებებს.

Arcsine ფუნქცია y = arcsin(x) .

მოდით გამოვსახოთ რკალისის ფუნქცია:

arccotangent ფუნქციის თვისებები y = arcctg(x) .

ცნობები.

• კოლმოგოროვი A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. და სხვა ალგებრა და ანალიზის საწყისები: სახელმძღვანელო. 10-11 კლასებისთვის. ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებებში.
• ვიგოდსკი M.Ya. დაწყებითი მათემატიკის სახელმძღვანელო.
• ნოვოსელოვი ს.ი. ალგებრა და ელემენტარული ფუნქციები.
• თუმანოვი ს.ი. ელემენტარული ალგებრა. სახელმძღვანელო თვითგანათლებისთვის.

ფუნქციები და მათი გრაფიკები ერთ-ერთი ყველაზე მომხიბლავი თემაა სასკოლო მათემატიკაში. სამწუხაროა მხოლოდ ის, რომ გადის... გაკვეთილებს და მოსწავლეებს. საშუალო სკოლაში მისთვის არასდროს არის საკმარისი დრო. და ის ფუნქციები, რომლებსაც ასწავლიან მე-7 კლასში - წრფივი ფუნქცია და პარაბოლა - ძალიან მარტივი და გაურთულებელია საინტერესო ამოცანების მთელი მრავალფეროვნების საჩვენებლად.

ფუნქციათა გრაფიკების აგების უნარი აუცილებელია მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის პარამეტრებთან დაკავშირებული ამოცანების გადასაჭრელად. ეს არის უნივერსიტეტის მათემატიკური ანალიზის კურსის ერთ-ერთი პირველი თემა. ეს იმდენად მნიშვნელოვანი თემაა, რომ ერთიან სახელმწიფო საგამოცდო სტუდიაში ვატარებთ მასზე სპეციალურ ინტენსიურ კურსებს საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის და მასწავლებლებისთვის, მოსკოვში და ონლაინ რეჟიმში. და ხშირად მონაწილეები ამბობენ: "სამწუხაროა, რომ ეს ადრე არ ვიცოდით".

მაგრამ ეს ყველაფერი არ არის. ფუნქციის კონცეფციით იწყება რეალური, „ზრდასრული“ მათემატიკა. შეკრება და გამოკლება, გამრავლება და გაყოფა, წილადები და პროპორციები მაინც არითმეტიკულია. გამონათქვამების გარდაქმნა არის ალგებრა. და მათემატიკა არის მეცნიერება არა მხოლოდ რიცხვების, არამედ სიდიდეებს შორის ურთიერთობის შესახებ. ფუნქციების და გრაფიკების ენა გასაგებია ფიზიკოსებისთვის, ბიოლოგებისთვის და ეკონომისტებისთვის. და როგორც გალილეო გალილეიმ თქვა, ”ბუნების წიგნი დაწერილია მათემატიკის ენაზე”.

უფრო სწორედ, გალილეო გალილეიმ თქვა: „მათემატიკა არის ანბანი, რომლითაც ღმერთმა დაწერა სამყარო“.

განსახილველი თემები:

1. ავაშენოთ ფუნქციის გრაფიკი

ნაცნობი დავალება! ესენი აღმოაჩინეს OGE პარამეტრებიმათემატიკაში. იქ ისინი რთულად მიიჩნიეს. მაგრამ აქ არაფერია რთული.

მოდით გავამარტივოთ ფუნქციის ფორმულა:

ფუნქციის გრაფიკი არის სწორი ხაზი პუნქცია წერტილით.

2. დავხატოთ ფუნქცია

მოდით გამოვყოთ მთელი ნაწილი ფუნქციის ფორმულაში:

ფუნქციის გრაფიკი არის ჰიპერბოლა, x-ში გადაადგილებულია 3-ით მარჯვნივ და y-ში 2-ით ზემოთ და 10-ჯერ არის გადაჭიმული ფუნქციის გრაფიკთან შედარებით.

მთელი ნაწილის იზოლირება სასარგებლო ტექნიკაა, რომელიც გამოიყენება უტოლობების ამოხსნის, გრაფიკების ასაგებად და რიცხვების და მათი თვისებების მქონე ამოცანებში მთელი რიცხვების შესაფასებლად. პირველ წელსაც შეგხვდებათ, როცა ინტეგრალები უნდა აიღოთ.

3. დავხატოთ ფუნქცია

იგი მიიღება ფუნქციის გრაფიკიდან 2-ჯერ გაჭიმვით, ვერტიკალურად ასახვით და ვერტიკალურად 1-ით გადაადგილებით.

4. დავხატოთ ფუნქცია

მთავარია მოქმედებების სწორი თანმიმდევრობა. მოდით დავწეროთ ფუნქციის ფორმულა უფრო მოსახერხებელი ფორმით:

ვაგრძელებთ თანმიმდევრობით:

1) y=sinx ფუნქციის გრაფიკის გადატანა მარცხნივ;

2) შეკუმშოს იგი 2-ჯერ ჰორიზონტალურად,

3) დაჭიმეთ იგი 3-ჯერ ვერტიკალურად,

4) 1 ზევით გადაადგილება

ახლა ჩვენ ავაშენებთ რამდენიმე გრაფიკს წილადი რაციონალური ფუნქციები. უკეთ რომ გავიგოთ, როგორ ვაკეთებთ ამას, წაიკითხეთ სტატია „ფუნქციის ქცევა უსასრულობაში. ასიმპტოტები“.

5. დავხატოთ ფუნქცია

ფუნქციის ფარგლები:

ფუნქცია ნულები: და

სწორი ხაზი x = 0 (Y ღერძი) არის ფუნქციის ვერტიკალური ასიმპტოტი. ასიმპტოტი- სწორი ხაზი, რომელსაც ფუნქციის გრაფიკი უახლოვდება უსასრულოდ ახლოს, მაგრამ არ კვეთს მას და არ ერწყმის მას (იხ. თემა „ფუნქციის ქცევა უსასრულობაში. ასიმპტოტები“)

არსებობს სხვა ასიმპტოტები ჩვენი ფუნქციისთვის? ამის გასარკვევად, მოდით შევხედოთ როგორ იქცევა ფუნქცია, როდესაც x უახლოვდება უსასრულობას.

მოდით გავხსნათ ფრჩხილები ფუნქციის ფორმულაში:

თუ x მიდის უსასრულობამდე, მაშინ ის მიდის ნულამდე. სწორი ხაზი არის ფუნქციის გრაფიკის ირიბი ასიმპტოტი.

6. დავხატოთ ფუნქცია

ეს არის წილადი რაციონალური ფუნქცია.

ფუნქციის დომენი

ფუნქციის ნულები: ქულები - 3, 2, 6.

ინტერვალის მეთოდით ვადგენთ ფუნქციის მუდმივი ნიშნის ინტერვალებს.

ვერტიკალური ასიმპტოტები:

თუ x მიდრეკილია უსასრულობისკენ, მაშინ y მიდრეკილია 1-ისკენ. ეს ნიშნავს, რომ ის ჰორიზონტალური ასიმპტოტია.

აქ არის გრაფიკის ესკიზი:

კიდევ ერთი საინტერესო ტექნიკაა გრაფიკების დამატება.

7. დავხატოთ ფუნქცია

თუ x მიდრეკილია უსასრულობისკენ, მაშინ ფუნქციის გრაფიკი უსასრულოდ მიუახლოვდება ირიბ ასიმპტოტს

თუ x მიდრეკილია ნულისკენ, მაშინ ფუნქცია ასე იქცევა.

ასე რომ, ჩვენ შევქმენით ფუნქციების ჯამის გრაფიკი. ახლა ნაწილის გრაფიკი!

8. დავხატოთ ფუნქცია

ამ ფუნქციის დომენი არის დადებითი რიცხვები, რადგან მხოლოდ დადებითი x არის განსაზღვრული

ფუნქციის მნიშვნელობები ნულის ტოლია (როდესაც ლოგარითმი ნულია), ასევე იმ წერტილებში, სადაც ეს არის

როდესაც , მნიშვნელობა (cos x) უდრის ერთს. ამ წერტილებში ფუნქციის მნიშვნელობა ტოლი იქნება

9. დავხატოთ ფუნქცია

ფუნქცია განისაზღვრება ლუწი-ზე იმიტომ, რომ ის არის ორი უცნაური ფუნქციის ნამრავლი და გრაფიკი სიმეტრიულია ორდინატთან მიმართებაში.

ფუნქციის ნულები იმ წერტილებშია, სადაც ეს არის

თუ x მიდის უსასრულობამდე, ის მიდის ნულამდე. მაგრამ რა მოხდება, თუ x მიდრეკილია ნულისკენ? ყოველივე ამის შემდეგ, ორივე x და sin x უფრო და უფრო პატარა გახდება. როგორ მოიქცევა კერძო პირი?

გამოდის, რომ თუ x მიდრეკილია ნულისკენ, მაშინ ის მიდრეკილია ერთისკენ. მათემატიკაში ამ განცხადებას ეწოდება "პირველი ღირსშესანიშნავი ზღვარი".

რაც შეეხება წარმოებულს? დიახ, საბოლოოდ მივედით. წარმოებული ხელს უწყობს ფუნქციების უფრო ზუსტად დახატვას. იპოვეთ მაქსიმალური და მინიმალური ქულები, ასევე ფუნქციის მნიშვნელობები ამ წერტილებში.

10. დავხატოთ ფუნქცია

ფუნქციის დომენი არის ყველა რეალური რიცხვი, ვინაიდან

ფუნქცია უცნაურია. მისი გრაფიკი სიმეტრიულია წარმოშობის მიმართ.

x=0-ზე ფუნქციის მნიშვნელობა არის ნული. როდესაც ფუნქციის მნიშვნელობები დადებითია, როდესაც ისინი უარყოფითი.

თუ x მიდის უსასრულობამდე, მაშინ ის მიდის ნულამდე.

ვიპოვოთ ფუნქციის წარმოებული
კოეფიციენტის წარმოებული ფორმულის მიხედვით,

თუ ან

მომენტში, წარმოებული ცვლის ნიშანს "მინუსიდან" "პლუს" - ფუნქციის მინიმალური წერტილი.

მომენტში, წარმოებული ცვლის ნიშანს „პლუს“-დან „მინუსზე“ - ფუნქციის მაქსიმუმის წერტილი.

ვიპოვოთ ფუნქციის მნიშვნელობები x=2-ზე და x=-2-ზე.

მოსახერხებელია ფუნქციის გრაფიკების აგება კონკრეტული ალგორითმის ან სქემის გამოყენებით. გახსოვს სკოლაში სწავლობდი?

ფუნქციის გრაფიკის აგების ზოგადი სქემა:

1. ფუნქციის დომენი

2. ფუნქციის დიაპაზონი

3. ლუწი - კენტი (ასეთის არსებობის შემთხვევაში)

4. სიხშირე (ასეთის არსებობის შემთხვევაში)

5. ფუნქცია ნულები (წერტილები, რომლებზეც გრაფიკი კვეთს კოორდინატთა ღერძებს)

6. ფუნქციის მუდმივი ნიშნის ინტერვალები (ანუ ინტერვალები, რომლებზეც ის მკაცრად დადებითია ან მკაცრად უარყოფითი).

7. ასიმპტოტები (ასეთის არსებობის შემთხვევაში).

8. ფუნქციის ქცევა უსასრულობაში

9. ფუნქციის წარმოებული

10. მატებისა და კლების ინტერვალები. მაქსიმალური და მინიმალური ქულები და მნიშვნელობები ამ წერტილებში.

მოცემული მეთოდოლოგიური მასალაარის მხოლოდ საცნობარო და ეხება თემების ფართო სპექტრს. სტატიაში მოცემულია ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების გრაფიკების მიმოხილვა და განხილვა ყველაზე მნიშვნელოვანი კითხვა – როგორ ავაშენოთ გრაფიკი სწორად და სწრაფად. ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების გრაფიკების ცოდნის გარეშე უმაღლესი მათემატიკის შესწავლისას რთული იქნება, ამიტომ ძალიან მნიშვნელოვანია გახსოვდეთ, თუ როგორ გამოიყურება პარაბოლის, ჰიპერბოლის, სინუსის, კოსინუსის და ა.შ. გრაფიკები და დაიმახსოვროთ ზოგიერთი. ფუნქციების მნიშვნელობებზე. ჩვენ ასევე ვისაუბრებთ ძირითადი ფუნქციების ზოგიერთ თვისებებზე.

მე არ ვამტკიცებ მასალების სისრულესა და მეცნიერულ სიზუსტეს, აქცენტი, პირველ რიგში, პრაქტიკაზე იქნება გაკეთებული ადამიანი ხვდება სიტყვასიტყვით ყოველ ნაბიჯზე, უმაღლესი მათემატიკის ნებისმიერ თემაზე. დუმების სქემები? შეიძლება ასე ითქვას.

მკითხველთა მრავალი თხოვნის გამო დაწკაპუნებადი სარჩევი:

გარდა ამისა, არის ულტრა მოკლე შინაარსი ამ თემაზე
- დაეუფლეთ 16 ტიპის სქემებს ექვსი გვერდის შესწავლით!

სერიოზულად, ექვსი, მეც კი გამიკვირდა. ეს რეზიუმე შეიცავს გაუმჯობესებულ გრაფიკას და ხელმისაწვდომია ნომინალური საფასურით, შეგიძლიათ ნახოთ დემო ვერსია. მოსახერხებელია ფაილის დაბეჭდვა ისე, რომ გრაფიკები ყოველთვის ხელთ იყოს. მადლობა პროექტის მხარდაჭერისთვის!

და დავიწყოთ მაშინვე:

როგორ ავაშენოთ კოორდინატთა ღერძები სწორად?

პრაქტიკაში ტესტებს სტუდენტები თითქმის ყოველთვის ასრულებენ ცალკე რვეულებში, კვადრატში გაფორმებული. რატომ გჭირდებათ მონიშნული ნიშნები? ყოველივე ამის შემდეგ, მუშაობა, პრინციპში, შეიძლება გაკეთდეს A4 ფურცლებზე. და გალია აუცილებელია მხოლოდ ნახატების მაღალი ხარისხის და ზუსტი დიზაინისთვის.

ფუნქციის გრაფიკის ნებისმიერი ნახაზი იწყება კოორდინატთა ღერძებით.

ნახატები შეიძლება იყოს ორგანზომილებიანი ან სამგანზომილებიანი.

ჯერ განვიხილოთ ორგანზომილებიანი შემთხვევა დეკარტის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა:

1) დახაზეთ კოორდინატთა ღერძები. ღერძი ე.წ x-ღერძი , და ღერძი არის y-ღერძი . ჩვენ ყოველთვის ვცდილობთ დავხატოთ ისინი სისუფთავე და არა მრუდე. ისრები ასევე არ უნდა ჰგავდეს პაპა კარლოს წვერს.

2) მონიშნეთ ცულები დიდი ასოებით"X" და "Y". არ დაგავიწყდეთ ცულების მარკირება.

3) დააყენეთ მასშტაბი ღერძების გასწვრივ: დახაზეთ ნული და ორი ერთი. ნახატის გაკეთებისას ყველაზე მოსახერხებელი და ხშირად გამოყენებული მასშტაბი არის: 1 ერთეული = 2 უჯრედი (ნახატი მარცხნივ) - თუ შესაძლებელია, მიჰყევით მას. თუმცა, დროდადრო ხდება ისე, რომ ნახატი არ ჯდება ნოუთბუქის ფურცელზე - მაშინ ვამცირებთ მასშტაბს: 1 ერთეული = 1 უჯრედი (ნახატი მარჯვნივ). იშვიათია, მაგრამ ხდება, რომ ნახატის მასშტაბი კიდევ უფრო უნდა შემცირდეს (ან გაიზარდოს)

არ არის საჭირო „ტყვიამფრქვევის“…-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,….ამისთვის საკოორდინაციო თვითმფრინავიარ არის დეკარტის ძეგლი და სტუდენტი არ არის მტრედი. ჩვენ დავაყენებთ ნულოვანიდა ორი ერთეული ღერძების გასწვრივ. ხანდახან ნაცვლადერთეულები, მოსახერხებელია სხვა მნიშვნელობების „მონიშვნა“, მაგალითად, „ორი“ აბსცისის ღერძზე და „სამი“ ორდინატთა ღერძზე - და ეს სისტემა (0, 2 და 3) ასევე ცალსახად განსაზღვრავს კოორდინატთა ბადეს.

ნახატის აგებამდე უკეთესია ნახატის სავარაუდო ზომების შეფასება. მაგალითად, თუ დავალება მოითხოვს სამკუთხედის დახატვას წვეროებით , , მაშინ სრულიად გასაგებია, რომ პოპულარული მასშტაბი 1 ერთეული = 2 უჯრედი არ იმუშავებს. რატომ? მოდით შევხედოთ საკითხს - აქ მოგიწევთ თხუთმეტი სანტიმეტრის ქვემოთ გაზომვა და, ცხადია, ნახატი არ ჯდება (ან ძლივს ჯდება) ნოუთბუქის ფურცელზე. ამიტომ, ჩვენ დაუყოვნებლივ ვირჩევთ უფრო მცირე მასშტაბს: 1 ერთეული = 1 უჯრედი.

სხვათა შორის, დაახლოებით სანტიმეტრი და ნოუთბუქის უჯრედები. მართალია, რომ 30 ბლოკნოტი შეიცავს 15 სანტიმეტრს? გასართობად გაზომეთ ბლოკნოტში სახაზავი 15 სანტიმეტრი. სსრკ-ში შესაძლოა ასეც იყო... საინტერესოა, რომ თუ ამ იმავე სანტიმეტრებს ჰორიზონტალურად და ვერტიკალურად გაზომავთ, შედეგები (უჯრედებში) განსხვავებული იქნება! მკაცრად რომ ვთქვათ, თანამედროვე ნოუთბუქები არ არის ჩექმიანი, არამედ მართკუთხა. ეს შეიძლება სისულელე ჩანდეს, მაგრამ, მაგალითად, კომპასით წრის დახატვა ასეთ სიტუაციებში ძალიან მოუხერხებელია. მართალი გითხრათ, ასეთ მომენტებში იწყებ ფიქრს ამხანაგი სტალინის სისწორეზე, რომელიც გაგზავნეს ბანაკებში წარმოებაში ჰაკერული სამუშაოსთვის, რომ აღარაფერი ვთქვათ შიდა საავტომობილო ინდუსტრიაზე, თვითმფრინავების დაცემაზე ან ელექტროსადგურების აფეთქებაზე.

საუბარია ხარისხზე, ან მოკლე რეკომენდაციაზე საკანცელარიო ნივთებზე. დღეს გაყიდვაში არსებული ნოუთბუქების უმეტესობა, რბილად რომ ვთქვათ, სრული სისულელეა. იმ მიზეზით, რომ ისინი სველდებიან და არა მხოლოდ გელის კალმებიდან, არამედ ბურთულიანი კალმებიდანაც! ისინი ზოგავენ ფულს ქაღალდზე. რეგისტრაციისთვის ტესტებიგირჩევთ გამოიყენოთ რვეულები არხანგელსკის რბილობი და ქაღალდის წისქვილიდან (18 ფურცელი, კვადრატი) ან "პიატეროჩკა", თუმცა ეს უფრო ძვირია. მიზანშეწონილია აირჩიოთ გელის კალამი, თუნდაც ყველაზე იაფი ჩინური გელის შევსება, ბევრად უკეთესია, ვიდრე ბურთულიანი კალამი, რომელიც ან ჭუჭყიან ან იშლება ქაღალდზე. ერთადერთი „კონკურენტული“ ბურთულიანი კალამი, რომელიც მახსოვს, არის ერიხ კრაუზე. ის წერს მკაფიოდ, ლამაზად და თანმიმდევრულად - სრული ბირთვით თუ თითქმის ცარიელი.

დამატებით: მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის ხედვა ანალიტიკური გეომეტრიის თვალით განხილულია სტატიაში ვექტორების წრფივი (არა) დამოკიდებულება. ვექტორების საფუძველი, დეტალური ინფორმაცია კოორდინატთა კვარტლების შესახებ შეგიძლიათ იხილოთ გაკვეთილის მეორე აბზაცში წრფივი უტოლობა.

3D ქეისი

აქაც თითქმის იგივეა.

1) დახაზეთ კოორდინატთა ღერძები. სტანდარტული: ღერძი გამოიყენება - მიმართული ზემოთ, ღერძი - მიმართული მარჯვნივ, ღერძი - მიმართული ქვევით მარცხნივ მკაცრად 45 გრადუსიანი კუთხით.

2) მონიშნეთ ცულები.

3) დააყენეთ სასწორი ღერძების გასწვრივ. ღერძის გასწვრივ მასშტაბი ორჯერ უფრო მცირეა, ვიდრე სხვა ღერძების გასწვრივ. ასევე გაითვალისწინეთ, რომ სწორ ნახაზში მე გამოვიყენე არასტანდარტული "ნაჭერი" ღერძის გასწვრივ (ეს შესაძლებლობა უკვე აღინიშნა ზემოთ). ჩემი აზრით, ეს უფრო ზუსტი, სწრაფი და ესთეტიურად სასიამოვნოა - არ არის საჭირო მიკროსკოპის ქვეშ მოძებნოთ უჯრედის შუა და კოორდინატების წარმოშობასთან ახლოს მყოფი ერთეულის „გამოძერწვა“.

3D ნახატის გაკეთებისას, ისევ უპირატესობა მიანიჭეთ მასშტაბებს
1 ერთეული = 2 უჯრედი (ნახაზი მარცხნივ).

რისთვის არის ყველა ეს წესი? წესები შექმნილია იმისთვის, რომ დაირღვეს. სწორედ ამას გავაკეთებ ახლა. ფაქტია, რომ სტატიის შემდგომ ნახატებს ჩემი გავაკეთებ Excel-ში და კოორდინატთა ღერძები არასწორი დიზაინის თვალსაზრისით გამოიყურება. მე შემეძლო ყველა გრაფიკის ხელით დახატვა, მაგრამ მათი დახატვა საშინელებაა, რადგან Excel-ს არ სურს უფრო ზუსტად დახატოს ისინი.

ელემენტარული ფუნქციების გრაფიკები და ძირითადი თვისებები

წრფივი ფუნქცია მოცემულია განტოლებით. წრფივი ფუნქციების გრაფიკი არის პირდაპირი. სწორი ხაზის ასაგებად საკმარისია ორი წერტილის ცოდნა.

მაგალითი 1

შექმენით ფუნქციის გრაფიკი. მოდი ვიპოვოთ ორი წერტილი. ხელსაყრელია ნულის არჩევა ერთ-ერთ პუნქტად.

თუ, მაშინ

ავიღოთ სხვა წერტილი, მაგალითად, 1.

თუ, მაშინ

დავალებების შესრულებისას, პუნქტების კოორდინატები ჩვეულებრივ შეჯამებულია ცხრილში:

და თავად მნიშვნელობები გამოითვლება ზეპირად ან მონახაზზე, კალკულატორზე.

ნაპოვნია ორი წერტილი, მოდით დავხატოთ:

ნახატის მომზადებისას ყოველთვის ვაწერთ ხელს გრაფიკას.

სასარგებლო იქნება წრფივი ფუნქციის განსაკუთრებული შემთხვევების გახსენება:

დააკვირდით, როგორ მოვათავსე ხელმოწერები, ხელმოწერებმა არ უნდა დაუშვას შეუსაბამობა ნახატის შესწავლისას. ამ შემთხვევაში უკიდურესად არასასურველი იყო ხელმოწერის დადება ხაზების გადაკვეთის წერტილის გვერდით, ან ქვედა მარჯვენა კუთხეში გრაფიკებს შორის.

1) ფორმის წრფივ ფუნქციას () პირდაპირი პროპორციულობა ეწოდება. მაგალითად,. პირდაპირი პროპორციულობის გრაფიკი ყოველთვის გადის საწყისზე. ამრიგად, სწორი ხაზის აგება გამარტივებულია - საკმარისია მხოლოდ ერთი წერტილის პოვნა.

2) ფორმის განტოლება განსაზღვრავს ღერძის პარალელურ სწორ ხაზს, კერძოდ, ღერძი მოცემულია განტოლებით. ფუნქციის გრაფიკი იწერება დაუყოვნებლივ, წერტილების პოვნის გარეშე. ანუ, ჩანაწერი უნდა გავიგოთ შემდეგნაირად: „y ყოველთვის უდრის –4-ს, x-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის“.

3) ფორმის განტოლება განსაზღვრავს ღერძის პარალელურ სწორ ხაზს, კერძოდ, თავად ღერძი მოცემულია განტოლებით. ფუნქციის გრაფიკი ასევე დაუყოვნებლივ იწერება. ჩანაწერი უნდა გავიგოთ შემდეგნაირად: "x ყოველთვის არის y-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის 1-ის ტოლი."

ზოგი იკითხავს, ​​რატომ გაიხსენეთ მე-6 კლასიო?! ეს ასეა, შეიძლება ასეც არის, მაგრამ პრაქტიკის წლების განმავლობაში მე შევხვდი ათეულ სტუდენტს, რომლებიც გაოგნებულები იყვნენ გრაფიკის აგების ან.

სწორი ხაზის აგება ყველაზე გავრცელებული მოქმედებაა ნახატების გაკეთებისას.

სწორი ხაზი დეტალურად არის განხილული ანალიტიკური გეომეტრიის კურსში და დაინტერესებულ პირებს შეუძლიათ მიმართონ სტატიას სწორი ხაზის განტოლება სიბრტყეზე.

კვადრატული, კუბური ფუნქციის გრაფიკი, მრავალწევრის გრაფიკი

პარაბოლა. კვადრატული ფუნქციის გრაფიკი () წარმოადგენს პარაბოლას. განვიხილოთ ცნობილი ინციდენტი:

გავიხსენოთ ფუნქციის ზოგიერთი თვისება.

მაშ ასე, ჩვენი განტოლების ამონახსნი: – სწორედ ამ ადგილას მდებარეობს პარაბოლის წვერო. რატომ არის ეს ასე, შეიძლება გავიგოთ წარმოებულის თეორიული სტატიიდან და ფუნქციის ექსტრემის შესახებ გაკვეთილიდან. იმავდროულად, მოდით გამოვთვალოთ შესაბამისი "Y" მნიშვნელობა:

ამრიგად, წვერო არის წერტილში

ახლა ჩვენ ვპოულობთ სხვა წერტილებს პარაბოლის სიმეტრიის თავხედურად გამოყენებისას. უნდა აღინიშნოს, რომ ფუნქცია – არც კი არის, მაგრამ, მიუხედავად ამისა, არავინ გააუქმა პარაბოლას სიმეტრია.

რა მიზნით ვიპოვოთ დარჩენილი ქულები, ვფიქრობ, საბოლოო ცხრილიდან გაირკვევა:

ამ კონსტრუქციულ ალგორითმს ფიგურალურად შეიძლება ვუწოდოთ „შატლი“ ან „წინ და უკან“ პრინციპი ანფისა ჩეხოვასთან.

მოდით გავაკეთოთ ნახატი:

შესწავლილი გრაფიკებიდან მახსენდება კიდევ ერთი სასარგებლო თვისება:

კვადრატული ფუნქციისთვის () შემდეგი მართალია:

თუ , მაშინ პარაბოლას ტოტები მიმართულია ზემოთ.

თუ , მაშინ პარაბოლას ტოტები მიმართულია ქვევით.

მრუდის შესახებ სიღრმისეული ცოდნის მიღება შესაძლებელია გაკვეთილზე ჰიპერბოლა და პარაბოლა.

კუბური პარაბოლა მოცემულია ფუნქციით. აქ არის სკოლიდან ნაცნობი ნახატი:

მოდით ჩამოვთვალოთ ფუნქციის ძირითადი თვისებები

ფუნქციის გრაფიკი

იგი წარმოადგენს პარაბოლის ერთ-ერთ ტოტს. მოდით გავაკეთოთ ნახატი:

ფუნქციის ძირითადი თვისებები:

ამ შემთხვევაში, ღერძი არის ვერტიკალური ასიმპტოტი ჰიპერბოლის გრაფიკისთვის ზე.

უხეში შეცდომა იქნება, თუ ნახაზის შედგენისას დაუდევრად დაუშვებთ გრაფიკს ასიმპტოტთან გადაკვეთის საშუალებას.

ასევე ცალმხრივი საზღვრები გვეუბნება, რომ ჰიპერბოლა არ შემოიფარგლება ზემოდანდა არ შემოიფარგლება ქვემოდან.

მოდით გამოვიკვლიოთ ფუნქცია უსასრულობაში: ანუ, თუ ღერძის გასწვრივ დავიწყებთ მოძრაობას მარცხნივ (ან მარჯვნივ) უსასრულობამდე, მაშინ "თამაშები" იქნება მოწესრიგებული ნაბიჯი. უსასრულოდ ახლოსმიუახლოვდით ნულს და, შესაბამისად, ჰიპერბოლის ტოტებს უსასრულოდ ახლოსმიუახლოვდით ღერძს.

ასე რომ, ღერძი არის ჰორიზონტალური ასიმპტოტი ფუნქციის გრაფიკისთვის, თუ "x" მიდრეკილია პლუს ან მინუს უსასრულობისკენ.

ფუნქცია არის უცნაურიდა, შესაბამისად, ჰიპერბოლა სიმეტრიულია წარმოშობის მიმართ. ეს ფაქტი აშკარაა ნახაზიდან, გარდა ამისა, იგი ადვილად მოწმდება ანალიტიკურად: .

() ფორმის ფუნქციის გრაფიკი წარმოადგენს ჰიპერბოლის ორ ტოტს.

თუ , მაშინ ჰიპერბოლა მდებარეობს პირველ და მესამე კოორდინატთა კვარტალში(იხ. სურათი ზემოთ).

თუ , მაშინ ჰიპერბოლა მდებარეობს მეორე და მეოთხე კოორდინატთა მეოთხედებში.

ჰიპერბოლის რეზიდენციის მითითებული ნიმუში ადვილად გასაანალიზებელია გრაფიკების გეომეტრიული გარდაქმნების თვალსაზრისით.

მაგალითი 3

ააგეთ ჰიპერბოლის მარჯვენა ტოტი

ჩვენ ვიყენებთ წერტილოვანი მშენებლობის მეთოდს და ხელსაყრელია მნიშვნელობების შერჩევა ისე, რომ ისინი იყოფა მთლიანზე:

მოდით გავაკეთოთ ნახატი:

აქ არ იქნება რთული ჰიპერბოლის მარცხენა შტოს აგება; უხეშად რომ ვთქვათ, პუნქტუალურ კონსტრუქციულ ცხრილში გონებრივად ვამატებთ თითოეულ რიცხვს მინუსს, ვათავსებთ შესაბამის წერტილებს და ვხატავთ მეორე ტოტს.

დეტალური გეომეტრიული ინფორმაცია განხილული ხაზის შესახებ შეგიძლიათ იხილოთ სტატიაში ჰიპერბოლა და პარაბოლა.

ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკი

ამ განყოფილებაში მე დაუყოვნებლივ განვიხილავ ექსპონენციალურ ფუნქციას, რადგან უმაღლესი მათემატიკის ამოცანებში 95% შემთხვევაში გვხვდება ექსპონენცია.

შეგახსენებთ, რომ ეს არის ირაციონალური რიცხვი: , ეს საჭირო იქნება გრაფიკის აგებისას, რომელსაც, ფაქტობრივად, ავაშენებ ცერემონიის გარეშე. სამი ქულა ალბათ საკმარისია:

მოდით, ფუნქციის გრაფიკი მარტო დავტოვოთ, უფრო მოგვიანებით.

ფუნქციის ძირითადი თვისებები:

ფუნქციების გრაფიკები და ა.შ. ფუნდამენტურად ერთნაირად გამოიყურება.

უნდა ვთქვა, რომ მეორე შემთხვევა პრაქტიკაში ნაკლებად ხდება, მაგრამ ხდება, ამიტომ საჭიროდ ჩათვალე ამ სტატიაში მისი ჩართვა.

ლოგარითმული ფუნქციის გრაფიკი

განვიხილოთ ფუნქცია ბუნებრივი ლოგარითმით.
მოდით დავხატოთ წერტილი-წერტილი ნახაზი:

თუ დაგავიწყდათ რა არის ლოგარითმი, გთხოვთ, მიმართოთ თქვენს სასკოლო სახელმძღვანელოებს.

ფუნქციის ძირითადი თვისებები:

განმარტების დომენი:

მნიშვნელობების დიაპაზონი: .

ფუნქცია არ არის შემოსაზღვრული ზემოდან: თუმცა ნელა, ლოგარითმის განშტოება უსასრულობამდე მიდის.
მოდით შევამოწმოთ ფუნქციის ქცევა ნულთან ახლოს მარჯვნივ: . ასე რომ, ღერძი არის ვერტიკალური ასიმპტოტი რადგან ფუნქციის გრაფიკი, როგორც „x“ იხრება ნულისკენ მარჯვნიდან.

აუცილებელია იცოდეთ და გახსოვდეთ ლოგარითმის ტიპიური მნიშვნელობა: .

პრინციპში, ლოგარითმის დიაგრამა ფუძემდე ერთნაირად გამოიყურება: , , (ათწილადი ლოგარითმი 10 ფუძესთან) და ა.შ. უფრო მეტიც, რაც უფრო დიდია ბაზა, მით უფრო ბრტყელი იქნება გრაფიკი.

ჩვენ არ განვიხილავთ საქმეს, არ მახსოვს, ბოლოს როდის ავაშენე გრაფიკი ასეთი საფუძვლით. და ლოგარითმი, როგორც ჩანს, ძალიან იშვიათი სტუმარია უმაღლესი მათემატიკის ამოცანებში.

ამ პუნქტის ბოლოს კიდევ ერთ ფაქტს გეტყვით: ექსპონენციალური ფუნქცია და ლოგარითმული ფუნქცია- ეს ორი ურთიერთდაკავშირებულია შებრუნებული ფუნქციები . თუ ყურადღებით დააკვირდებით ლოგარითმის გრაფიკს, ხედავთ, რომ ეს არის იგივე მაჩვენებელი, ის უბრალოდ განსხვავებულად მდებარეობს.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გრაფიკები

სად იწყება ტრიგონომეტრიული ტანჯვა სკოლაში? უფლება. სინუსიდან

მოდით დავხატოთ ფუნქცია

ამ ხაზს ე.წ სინუსოიდი.

შეგახსენებთ, რომ „პი“ არის ირაციონალური რიცხვი: , ხოლო ტრიგონომეტრიაში ის თვალებს გიბრწყინავს.

ფუნქციის ძირითადი თვისებები:

ეს ფუნქცია არის პერიოდულიპერიოდით. რას ნიშნავს ეს? მოდით შევხედოთ სეგმენტს. მისგან მარცხნივ და მარჯვნივ უსასრულოდ მეორდება ზუსტად იგივე გრაფიკი.

განმარტების დომენი: , ანუ "x"-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის არის სინუსური მნიშვნელობა.

მნიშვნელობების დიაპაზონი: . ფუნქცია არის შეზღუდული: ანუ ყველა "თამაში" მკაცრად ზის სეგმენტში.
ეს არ ხდება: ან, უფრო სწორად, ხდება, მაგრამ ამ განტოლებებს გამოსავალი არ აქვთ.

ძირითადი ელემენტარული ფუნქციები, მათი თანდაყოლილი თვისებები და შესაბამისი გრაფიკები არის მათემატიკური ცოდნის ერთ-ერთი საფუძველი, გამრავლების ცხრილის მსგავსი მნიშვნელობით. ელემენტარული ფუნქციები არის საფუძველი, საყრდენი ყველა თეორიული საკითხის შესწავლისთვის.

ქვემოთ მოცემულ სტატიაში მოცემულია ძირითადი მასალა ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების თემაზე. გავაცნობთ ტერმინებს, მივცემთ მათ განმარტებებს; დეტალურად შევისწავლოთ ელემენტარული ფუნქციების თითოეული ტიპი და გავაანალიზოთ მათი თვისებები.

გამოირჩევა ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების შემდეგი ტიპები:

განმარტება 1

• მუდმივი ფუნქცია (მუდმივი);
• n-ე ფესვი;
• დენის ფუნქცია;
• ექსპონენციალური ფუნქცია;
• ლოგარითმული ფუნქცია;
• ტრიგონომეტრიული ფუნქციები;
• ძმური ტრიგონომეტრიული ფუნქციები.

მუდმივი ფუნქცია განისაზღვრება ფორმულით: y = C (C არის გარკვეული რეალური რიცხვი) და ასევე აქვს სახელი: მუდმივი. ეს ფუნქცია განსაზღვრავს x დამოუკიდებელი ცვლადის ნებისმიერი რეალური მნიშვნელობის შესაბამისობას y ცვლადის იგივე მნიშვნელობასთან - C-ის მნიშვნელობასთან.

მუდმივის გრაფიკი არის სწორი ხაზი, რომელიც პარალელურია აბსცისის ღერძისა და გადის წერტილში, რომელსაც აქვს კოორდინატები (0, C). სიცხადისთვის წარმოგიდგენთ მუდმივი ფუნქციების გრაფიკებს y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 (ნახაზზე მითითებულია შესაბამისად შავი, წითელი და ლურჯი ფერებით).

განმარტება 2

ეს ელემენტარული ფუნქცია განისაზღვრება ფორმულით y = x n (n არის ერთზე მეტი ბუნებრივი რიცხვი).

განვიხილოთ ფუნქციის ორი ვარიაცია.

1. n-ე ძირი, n – ლუწი რიცხვი

სიცხადისთვის, ჩვენ მივუთითებთ ნახატს, რომელიც აჩვენებს ასეთი ფუნქციების გრაფიკებს: y = x, y = x 4 და y = x8. ეს მახასიათებლები დაშიფრულია ფერად: შავი, წითელი და ლურჯი, შესაბამისად.

ლუწი ხარისხის ფუნქციის გრაფიკებს მსგავსი გარეგნობა აქვთ მაჩვენებლის სხვა მნიშვნელობებისთვის.

განმარტება 3

n-ე ფესვის ფუნქციის თვისებები, n არის ლუწი რიცხვი

• განსაზღვრების დომენი – ყველა არაუარყოფითი რეალური რიცხვის სიმრავლე [0, + ∞);
• როდესაც x = 0, ფუნქცია y = x n აქვს ნულის ტოლი მნიშვნელობა;
• მოცემული ფუნქცია-ფუნქცია ზოგადი ხედი(არც ლუწია და არც კენტი);
• დიაპაზონი: [0, + ∞);
• ეს ფუნქცია y = x n ლუწი ძირის მაჩვენებლებისთვის იზრდება განსაზღვრების მთელ დომენში;
• ფუნქციას აქვს ამოზნექილი მიმართულება აღმავალი დეფინიციის მთელ სფეროში;
• არ არის გადახრის წერტილები;
• არ არსებობს ასიმპტოტები;
• ფუნქციის გრაფიკი n-სთვის გადის წერტილებში (0; 0) და (1; 1).

1. n-ე ფესვი, n – კენტი რიცხვი

ასეთი ფუნქცია განისაზღვრება რეალური რიცხვების მთელ სიმრავლეზე. სიცხადისთვის, განიხილეთ ფუნქციების გრაფიკები y = x 3, y = x 5 და x 9 . ნახატზე ისინი ფერებით არის მითითებული: შავი, წითელი და ლურჯი, შესაბამისად, მოსახვევების ფერებია.

y = x n ფუნქციის ფესვის მაჩვენებლის სხვა უცნაური მნიშვნელობები მისცემს მსგავსი ტიპის გრაფიკს.

განმარტება 4

n-ე ფესვის ფუნქციის თვისებები, n არის კენტი რიცხვი

• განსაზღვრების დომენი – ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლე;
• ეს ფუნქცია უცნაურია;
• მნიშვნელობების დიაპაზონი - ყველა რეალური რიცხვის ნაკრები;
• ფუნქცია y = x n კენტი ფესვის ექსპონენტებისთვის იზრდება განსაზღვრების მთელ დომენზე;
• ფუნქციას აქვს ჩაზნექილი ინტერვალზე (- ∞ ; 0 ] და ამოზნექილი ინტერვალზე [ 0 , + ∞);
• გადახრის წერტილს აქვს კოორდინატები (0; 0);
• არ არსებობს ასიმპტოტები;
• კენტი n-ის ფუნქციის გრაფიკი გადის წერტილებში (- 1 ; - 1), (0 ; 0) და (1 ; 1).

დენის ფუნქცია

განმარტება 5

სიმძლავრის ფუნქცია განისაზღვრება ფორმულით y = x a.

გრაფიკების გამოჩენა და ფუნქციის თვისებები დამოკიდებულია მაჩვენებლის მნიშვნელობაზე.

• როდესაც სიმძლავრის ფუნქციას აქვს მთელი რიცხვი a მაჩვენებელი, მაშინ სიმძლავრის ფუნქციის გრაფიკის ტიპი და მისი თვისებები დამოკიდებულია იმაზე, არის თუ არა მაჩვენებლის ლუწი ან კენტი, ასევე იმაზე, თუ რა ნიშანი აქვს მაჩვენებელს. ქვემოთ უფრო დეტალურად განვიხილოთ ყველა ეს განსაკუთრებული შემთხვევა;
• მაჩვენებელი შეიძლება იყოს წილადი ან ირაციონალური - აქედან გამომდინარე, ასევე განსხვავდება გრაფიკების ტიპი და ფუნქციის თვისებები. ჩვენ გავაანალიზებთ სპეციალურ შემთხვევებს რამდენიმე პირობის დაყენებით: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• სიმძლავრის ფუნქციას შეიძლება ჰქონდეს ნულოვანი მაჩვენებელი, ჩვენ ასევე უფრო დეტალურად გავაანალიზებთ ქვემოთ.

გავაანალიზოთ დენის ფუნქცია y = x a, როდესაც a არის კენტი დადებითი რიცხვი, მაგალითად, a = 1, 3, 5...

სიცხადისთვის მივუთითებთ ასეთი სიმძლავრის ფუნქციების გრაფიკებს: y = x (გრაფიკული ფერი შავი), y = x 3 (გრაფიკის ლურჯი ფერი), y = x 5 (გრაფიკის წითელი ფერი), y = x 7 (გრაფიკული ფერი მწვანე). როდესაც a = 1, ვიღებთ წრფივ ფუნქციას y = x.

განმარტება 6

სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები, როდესაც ექსპონენტი კენტი დადებითია

• ფუნქცია იზრდება x ∈-ისთვის (- ∞ ; + ∞) ;
• ფუნქციას აქვს ამოზნექილი x ∈ (- ∞ ; 0 ] და ჩაზნექილი x ∈ [ 0 ; + ∞) (წრფივი ფუნქციის გამოკლებით);
• გადახრის წერტილს აქვს კოორდინატები (0 ; 0) (წრფივი ფუნქციის გამოკლებით);
• არ არსებობს ასიმპტოტები;
• ფუნქციის გავლის წერტილები: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

გავაანალიზოთ დენის ფუნქცია y = x a, როცა a არის ლუწი დადებითი რიცხვი, მაგალითად, a = 2, 4, 6...

სიცხადისთვის, ჩვენ მივუთითებთ ასეთი სიმძლავრის ფუნქციების გრაფიკებს: y = x 2 (გრაფიკული ფერი შავი), y = x 4 (გრაფიკის ლურჯი ფერი), y = x 8 (გრაფიკის წითელი ფერი). როდესაც a = 2, ვიღებთ კვადრატულ ფუნქციას, რომლის გრაფიკი არის კვადრატული პარაბოლა.

განმარტება 7

სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები, როდესაც მაჩვენებლის მაჩვენებელი დადებითია:

• განმარტების დომენი: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• მცირდება x ∈-ისთვის (- ∞ ; 0 ] ;
• ფუნქციას აქვს ჩაზნექილი x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• არ არის გადახრის წერტილები;
• არ არსებობს ასიმპტოტები;
• ფუნქციის გავლის წერტილები: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

ქვემოთ მოყვანილი სურათი გვიჩვენებს სიმძლავრის ფუნქციის გრაფიკების მაგალითებს y = x a როდესაც a არის კენტი უარყოფითი რიცხვი: y = x - 9 (გრაფიკული ფერი შავი); y = x - 5 (გრაფიკის ლურჯი ფერი); y = x - 3 (გრაფიკის წითელი ფერი); y = x - 1 (გრაფიკული ფერი მწვანე). როდესაც a = - 1, ვიღებთ უკუპროპორციულობას, რომლის გრაფიკი არის ჰიპერბოლა.

განმარტება 8

სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები, როდესაც ექსპონენტი კენტი უარყოფითია:

როდესაც x = 0, ვიღებთ მეორე სახის წყვეტას, რადგან lim x → 0 - 0 x a = - ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ a = - 1, - 3, - 5, …. ამრიგად, სწორი ხაზი x = 0 არის ვერტიკალური ასიმპტოტი;

• დიაპაზონი: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• ფუნქცია კენტია, რადგან y (- x) = - y (x);
• ფუნქცია მცირდება x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
• ფუნქციას აქვს ამოზნექილი x ∈ (- ∞ ; 0) და ჩაზნექილი x ∈ (0 ; + ∞) ;
• არ არის გადახრის წერტილები;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, როდესაც a = - 1, - 3, - 5, . . . .

• ფუნქციის გავლის წერტილები: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

ქვემოთ მოყვანილი სურათი გვიჩვენებს y = x a სიმძლავრის ფუნქციის გრაფიკების მაგალითებს, როდესაც a არის ლუწი უარყოფითი რიცხვი: y = x - 8 (გრაფიკული ფერი შავი); y = x - 4 (გრაფიკის ლურჯი ფერი); y = x - 2 (გრაფიკის წითელი ფერი).

განმარტება 9

სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები, როდესაც მაჩვენებელი კი უარყოფითია:

• განმარტების დომენი: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

როდესაც x = 0, ვიღებთ მეორე სახის წყვეტას, რადგან lim x → 0 - 0 x a = + ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ a = - 2, - 4, - 6, …. ამრიგად, სწორი ხაზი x = 0 არის ვერტიკალური ასიმპტოტი;

• ფუნქცია ლუწია, რადგან y(-x) = y(x);
• ფუნქცია იზრდება x ∈-ისთვის (- ∞ ; 0) და მცირდება x ∈ 0-ისთვის; + ∞ ;
• ფუნქციას აქვს ჩაღრმავება x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• არ არის გადახრის წერტილები;
• ჰორიზონტალური ასიმპტოტი - სწორი ხაზი y = 0, რადგან:

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 როდესაც a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

• ფუნქციის გავლის წერტილები: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

თავიდანვე ყურადღება მიაქციეთ შემდეგ ასპექტს: იმ შემთხვევაში, როდესაც a არის დადებითი წილადი კენტი მნიშვნელით, ზოგიერთი ავტორი ამ ძალაუფლების ფუნქციის განსაზღვრის დომენად იღებს ინტერვალს - ∞; + ∞ , რომელშიც მითითებულია, რომ მაჩვენებელი a არის შეუქცევადი წილადი. ამ დროისთვის ბევრის ავტორები საგანმანათლებლო გამოცემებიალგებრაში და ანალიზის პრინციპებში არ არის განსაზღვრული სიმძლავრის ფუნქციები, სადაც მაჩვენებელი არის წილადი კენტი მნიშვნელით არგუმენტის უარყოფითი მნიშვნელობებისთვის. შემდგომ ჩვენ ზუსტად ამ პოზიციას დავიცავთ: ავიღებთ კომპლექტს [0; + ∞). რეკომენდაცია მოსწავლეებისთვის: გაარკვიეთ მასწავლებლის აზრი ამ საკითხთან დაკავშირებით, რათა თავიდან აიცილოთ უთანხმოება.

ასე რომ, მოდით შევხედოთ დენის ფუნქციას y = x a, როდესაც მაჩვენებელი რაციონალური ან ირაციონალური რიცხვია, იმ პირობით, რომ 0< a < 1 .

მოდით ილუსტრაციით დენის ფუნქციები გრაფიკებით y = x a როდესაც a = 11 12 (გრაფიკული ფერი შავი); a = 5 7 (გრაფიკის წითელი ფერი); a = 1 3 (გრაფიკის ლურჯი ფერი); a = 2 5 (გრაფიკის მწვანე ფერი).

a მაჩვენებლის სხვა მნიშვნელობები (მოწოდებულია 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

განმარტება 10

სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები 0-ზე< a < 1:

• დიაპაზონი: y ∈ [ 0 ; + ∞);
• ფუნქცია იზრდება x ∈ [0; + ∞);
• ფუნქცია ამოზნექილია x ∈-ისთვის (0 ; + ∞);
• არ არის გადახრის წერტილები;
• არ არსებობს ასიმპტოტები;

გავაანალიზოთ დენის ფუნქცია y = x a, როდესაც მაჩვენებელი არამთლიანი რაციონალური ან ირაციონალური რიცხვია, იმ პირობით, რომ a > 1.

მოდით ილუსტრაციით ვაჩვენოთ დენის ფუნქცია y = x a მოცემულ პირობებში შემდეგი ფუნქციების მაგალითის გამოყენებით: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (შავი, წითელი, ლურჯი, მწვანე გრაფიკები, შესაბამისად).

a მაჩვენებლის სხვა მნიშვნელობები, მოწოდებული > 1, მისცემს მსგავს გრაფიკს.

განმარტება 11

სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები a > 1-ისთვის:

• განმარტების დომენი: x ∈ [ 0 ; + ∞);
• დიაპაზონი: y ∈ [ 0 ; + ∞);
• ეს ფუნქცია ზოგადი ფორმის ფუნქციაა (არც კენტია და არც ლუწი);
• ფუნქცია იზრდება x ∈ [0; + ∞);
• ფუნქციას აქვს ჩაზნექილი x ∈ (0 ; + ∞) (როდესაც 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• არ არის გადახრის წერტილები;
• არ არსებობს ასიმპტოტები;
• ფუნქციის გავლის წერტილები: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, როდესაც a არის უარყოფითი წილადი კენტი მნიშვნელით, ზოგიერთი ავტორის ნაშრომში არსებობს მოსაზრება, რომ განსაზღვრების დომენი ამ შემთხვევაში არის ინტერვალი - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) იმ გაფრთხილებით, რომ მაჩვენებელი a არის შეუქცევადი წილადი. ამჟამად ავტორები სასწავლო მასალებიალგებრაში და ანალიზის პრინციპებში არ განისაზღვროს სიმძლავრის ფუნქციები არგუმენტის უარყოფითი მნიშვნელობებისთვის წილადის სახით კენტი მნიშვნელით. გარდა ამისა, ჩვენ ვიცავთ ზუსტად ამ შეხედულებას: ჩვენ ვიღებთ სიმრავლეს (0 ; + ∞), როგორც წილადი უარყოფითი მაჩვენებლების მქონე სიმძლავრის ფუნქციების განსაზღვრის დომენს. რეკომენდაცია სტუდენტებისთვის: დააზუსტეთ თქვენი მასწავლებლის ხედვა ამ ეტაპზე, რათა თავიდან აიცილოთ უთანხმოება.

გავაგრძელოთ თემა და გავაანალიზოთ დენის ფუნქცია y = x a მოწოდებულია: - 1< a < 0 .

აქ არის გრაფიკების ნახაზი შემდეგი მახასიათებლები: y = x - 5 6 , y = x - 2 3 , y = x - 1 2 2 , y = x - 1 7 (ხაზების შავი, წითელი, ლურჯი, მწვანე ფერი, შესაბამისად).

განმარტება 12

სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები - 1-ზე< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ როდესაც - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• დიაპაზონი: y ∈ 0 ; + ∞ ;
• ეს ფუნქცია ზოგადი ფორმის ფუნქციაა (არც კენტია და არც ლუწი);
• არ არის გადახრის წერტილები;

ქვემოთ მოყვანილ ნახატზე ნაჩვენებია სიმძლავრის ფუნქციების გრაფიკები y = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 (მრუდების შავი, წითელი, ლურჯი, მწვანე ფერები, შესაბამისად).

განმარტება 13

სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები ა< - 1:

• განმარტების დომენი: x ∈ 0 ; + ∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ როდესაც a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• დიაპაზონი: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• ეს ფუნქცია ზოგადი ფორმის ფუნქციაა (არც კენტია და არც ლუწი);
• ფუნქცია მცირდება x ∈ 0-ისთვის; + ∞ ;
• ფუნქციას აქვს ჩაღრმავება x ∈ 0-ისთვის; + ∞ ;
• არ არის გადახრის წერტილები;
• ჰორიზონტალური ასიმპტოტი – სწორი ხაზი y = 0;
• ფუნქციის გავლის წერტილი: (1; 1) .

როდესაც a = 0 და x ≠ 0, ვიღებთ ფუნქციას y = x 0 = 1, რომელიც განსაზღვრავს წრფეს, საიდანაც გამორიცხულია წერტილი (0; 1) (შეთანხმებული იქნა, რომ გამოხატვას 0 0 არ მიენიჭება მნიშვნელობა. ).

ექსპონენციალურ ფუნქციას აქვს ფორმა y = a x, სადაც a > 0 და a ≠ 1 და ამ ფუნქციის გრაფიკი განსხვავებულია a ფუძის მნიშვნელობიდან გამომდინარე. განვიხილოთ განსაკუთრებული შემთხვევები.

პირველ რიგში, მოდით შევხედოთ სიტუაციას, როდესაც ექსპონენციალური ფუნქციის საფუძველს აქვს მნიშვნელობა ნულიდან ერთამდე (0< a < 1) . ნათელი მაგალითიგამოდგება a = 1 2 (მრუდის ლურჯი ფერი) და a = 5 6 (მრუდის წითელი ფერი) ფუნქციების გრაფიკები.

ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკებს ექნებათ მსგავსი გარეგნობა ბაზის სხვა მნიშვნელობებისთვის 0-ის პირობებში.< a < 1 .

განმარტება 14

ექსპონენციალური ფუნქციის თვისებები, როდესაც ფუძე ერთზე ნაკლებია:

• დიაპაზონი: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• ეს ფუნქცია ზოგადი ფორმის ფუნქციაა (არც კენტია და არც ლუწი);
• ექსპონენციალური ფუნქცია, რომლის ფუძე ერთზე ნაკლებია, მცირდება განსაზღვრების მთელ დომენზე;
• არ არის გადახრის წერტილები;
• ჰორიზონტალური ასიმპტოტი – სწორი ხაზი y = 0 ცვლადი x მიდრეკილია + ∞-ზე;

ახლა განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც ექსპონენციალური ფუნქციის საფუძველი ერთზე მეტია (a > 1).

მოდით ილუსტრაციოთ ეს განსაკუთრებული შემთხვევა y = 3 2 x (მრუდის ლურჯი ფერი) და y = e x (გრაფიკის წითელი ფერი) ექსპონენციალური ფუნქციების გრაფიკით.

ბაზის სხვა მნიშვნელობები, უფრო დიდი ერთეულები, მსგავს იერს მისცემს ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკს.

განმარტება 15

ექსპონენციალური ფუნქციის თვისებები, როდესაც ფუძე ერთზე მეტია:

• განსაზღვრების დომენი – რეალური რიცხვების მთელი ნაკრები;
• დიაპაზონი: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• ეს ფუნქცია ზოგადი ფორმის ფუნქციაა (არც კენტია და არც ლუწი);
• ექსპონენციალური ფუნქცია, რომლის ფუძე ერთზე მეტია, იზრდება როგორც x ∈ - ∞; + ∞ ;
• ფუნქციას აქვს ჩაღრმავება x ∈ - ∞-ზე; + ∞ ;
• არ არის გადახრის წერტილები;
• ჰორიზონტალური ასიმპტოტი – სწორი ხაზი y = 0 ცვლადი x მიდრეკილია - ∞-ზე;
• ფუნქციის გავლის წერტილი: (0; 1) .

ლოგარითმული ფუნქციას აქვს ფორმა y = log a (x), სადაც a > 0, a ≠ 1.

ასეთი ფუნქცია განისაზღვრება მხოლოდ არგუმენტის დადებითი მნიშვნელობებისთვის: x ∈ 0-სთვის; + ∞ .

ლოგარითმული ფუნქციის გრაფიკს განსხვავებული გარეგნობა აქვს, a ფუძის მნიშვნელობაზე დაყრდნობით.

ჯერ განვიხილოთ სიტუაცია, როდესაც 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

ბაზის სხვა მნიშვნელობები, არა უფრო დიდი ერთეულები, მისცემს ანალოგიურ ტიპის გრაფიკს.

განმარტება 16

ლოგარითმული ფუნქციის თვისებები, როდესაც ფუძე ერთზე ნაკლებია:

• განმარტების დომენი: x ∈ 0 ; + ∞ . რამდენადაც x მარჯვნიდან ნულისკენ მიისწრაფვის, ფუნქციის მნიშვნელობები მიდრეკილია +∞-მდე;
• დიაპაზონი: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• ეს ფუნქცია ზოგადი ფორმის ფუნქციაა (არც კენტია და არც ლუწი);
• ლოგარითმული
• ფუნქციას აქვს ჩაღრმავება x ∈ 0-ისთვის; + ∞ ;
• არ არის გადახრის წერტილები;
• არ არსებობს ასიმპტოტები;

ახლა მოდით შევხედოთ სპეციალურ შემთხვევას, როდესაც ლოგარითმული ფუნქციის საფუძველი ერთზე მეტია: a > 1 . ქვემოთ მოყვანილი ნახაზი აჩვენებს ლოგარითმული ფუნქციების გრაფიკებს y = log 3 2 x და y = ln x (გრაფიკების ლურჯი და წითელი ფერები, შესაბამისად).

ბაზის სხვა მნიშვნელობები ერთზე მეტი მისცემს ანალოგიურ ტიპის გრაფიკს.

განმარტება 17

ლოგარითმული ფუნქციის თვისებები, როდესაც ფუძე ერთზე მეტია:

• განმარტების დომენი: x ∈ 0 ; + ∞ . რამდენადაც x მარჯვნიდან ნულისკენ მიისწრაფვის, ფუნქციის მნიშვნელობები მიდრეკილია - ∞-ზე;
• დიაპაზონი: y ∈ - ∞ ; + ∞ (ნამდვილი რიცხვების მთელი სიმრავლე);
• ეს ფუნქცია ზოგადი ფორმის ფუნქციაა (არც კენტია და არც ლუწი);
• ლოგარითმული ფუნქცია იზრდება x ∈ 0-ისთვის; + ∞ ;
• ფუნქცია ამოზნექილია x ∈ 0-ისთვის; + ∞ ;
• არ არის გადახრის წერტილები;
• არ არსებობს ასიმპტოტები;
• ფუნქციის გავლის წერტილი: (1; 0) .

ტრიგონომეტრიული ფუნქციებია სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი. მოდით შევხედოთ თითოეული მათგანის თვისებებს და შესაბამის გრაფიკას.

ზოგადად, ყველა ტრიგონომეტრიულ ფუნქციას ახასიათებს პერიოდულობის თვისება, ე.ი. როდესაც ფუნქციების მნიშვნელობები მეორდება არგუმენტის სხვადასხვა მნიშვნელობებისთვის, რომლებიც განსხვავდება ერთმანეთისგან f (x + T) = f (x) პერიოდით (T არის პერიოდი). ამრიგად, ტრიგონომეტრიული ფუნქციების თვისებების ჩამონათვალს ემატება პუნქტი „უმცირესი დადებითი პერიოდი“. გარდა ამისა, ჩვენ მივუთითებთ არგუმენტის მნიშვნელობებს, რომლებზეც შესაბამისი ფუნქცია ხდება ნულოვანი.

1. სინუს ფუნქცია: y = sin(x)

ამ ფუნქციის გრაფიკს ეწოდება სინუსური ტალღა.

განმარტება 18

სინუსური ფუნქციის თვისებები:

• განსაზღვრების სფერო: ნამდვილ რიცხვთა მთელი სიმრავლე x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• ფუნქცია ქრება, როდესაც x = π · k, სადაც k ∈ Z (Z არის მთელი რიცხვების სიმრავლე);
• ფუნქცია იზრდება x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k , k ∈ Z და კლება x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• სინუს ფუნქციას აქვს ლოკალური მაქსიმუმი π 2 + 2 π · k წერტილებში; 1 და ლოკალური მინიმუმები წერტილებში - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z;
• სინუსური ფუნქცია ჩაზნექილია, როდესაც x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z და ამოზნექილი როდესაც x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
• არ არსებობს ასიმპტოტები.

1. კოსინუსის ფუნქცია: y = cos(x)

ამ ფუნქციის გრაფიკს კოსინუსური ტალღა ეწოდება.

განმარტება 19

კოსინუსის ფუნქციის თვისებები:

• განმარტების დომენი: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• ყველაზე პატარა დადებითი პერიოდი: T = 2 π;
• მნიშვნელობების დიაპაზონი: y ∈ - 1 ; 1 ;
• ეს ფუნქცია ლუწია, ვინაიდან y (- x) = y (x);
• ფუნქცია იზრდება x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z და კლება x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
• კოსინუს ფუნქციას აქვს ლოკალური მაქსიმუმი 2 π · k წერტილებში; 1, k ∈ Z და ლოკალური მინიმალური რაოდენობა π + 2 π · k; - 1, k ∈ z;
• კოსინუსის ფუნქცია ჩაზნექილია, როდესაც x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z და ამოზნექილი როცა x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• გადახრის წერტილებს აქვთ π 2 + π · k კოორდინატები; 0 , k ∈ Z
• არ არსებობს ასიმპტოტები.

1. ტანგენტის ფუნქცია: y = t გ (x)

ამ ფუნქციის გრაფიკი ე.წ ტანგენსი.

განმარტება 20

ტანგენტის ფუნქციის თვისებები:

• განსაზღვრების დომენი: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, სადაც k ∈ Z (Z არის მთელი რიცხვების სიმრავლე);
• ტანგენტის ფუნქციის ქცევა განსაზღვრების დომენის საზღვარზე lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . ამრიგად, სწორი ხაზები x = π 2 + π · k k ∈ Z არის ვერტიკალური ასიმპტოტები;
• ფუნქცია ქრება, როდესაც x = π · k k ∈ Z-სთვის (Z არის მთელი რიცხვების სიმრავლე);
• დიაპაზონი: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• ეს ფუნქცია კენტია, ვინაიდან y (- x) = - y (x) ;
• ფუნქცია იზრდება როგორც - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, k ∈ Z;
• ტანგენტის ფუნქცია ჩაზნექილია x ∈ [π · k; π 2 + π · k) , k ∈ Z და ამოზნექილი x ∈-სთვის (- π 2 + π · k ; π · k ] , k ∈ Z ;
• გადახრის წერტილებს აქვთ π · k კოორდინატები; 0 , k ∈ Z ;

1. კოტანგენტის ფუნქცია: y = c t g (x)

ამ ფუნქციის გრაფიკს კოტანგენტოიდი ეწოდება. .

განმარტება 21

კოტანგენტის ფუნქციის თვისებები:

• განმარტების სფერო: x ∈ (π · k ; π + π · k) , სადაც k ∈ Z (Z არის მთელი რიცხვების სიმრავლე);

კოტანგენსი ფუნქციის ქცევა განსაზღვრების დომენის საზღვარზე lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . ამრიგად, სწორი ხაზები x = π · k k ∈ Z არის ვერტიკალური ასიმპტოტები;

• ყველაზე პატარა დადებითი პერიოდი: T = π;
• ფუნქცია ქრება, როდესაც x = π 2 + π · k k ∈ Z-სთვის (Z არის მთელი რიცხვების სიმრავლე);
• დიაპაზონი: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• ეს ფუნქცია კენტია, ვინაიდან y (- x) = - y (x) ;
• ფუნქცია მცირდება x ∈ π · k ; π + π k, k ∈ Z;
• კოტანგენტის ფუნქცია ჩაზნექილია x ∈-სთვის (π · k; π 2 + π · k ], k ∈ Z და ამოზნექილია x ∈ [ - π 2 + π · k ; π · k), k ∈ Z ;
• გადახრის წერტილებს აქვთ π 2 + π · k კოორდინატები; 0 , k ∈ Z ;
• არ არსებობს ირიბი ან ჰორიზონტალური ასიმპტოტები.

შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციებია რკალი, არკოზინი, არქტანგენსი და რკოტანგენსი. ხშირად, სახელში პრეფიქსი „რკალის“ არსებობის გამო, შებრუნებულ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს უწოდებენ რკალი ფუნქციებს. .

1. რკალის სინუსური ფუნქცია: y = a r c sin (x)

განმარტება 22

რკალის ფუნქციის თვისებები:

• ეს ფუნქცია კენტია, ვინაიდან y (- x) = - y (x) ;
• რკალის ფუნქციას აქვს ჩაღრმავება x ∈ 0-ისთვის; 1 და ამოზნექილი x ∈ - 1 ; 0 ;
• გადახრის წერტილებს აქვთ კოორდინატები (0; 0), რაც ასევე არის ფუნქციის ნული;
• არ არსებობს ასიმპტოტები.

1. რკალის კოსინუსის ფუნქცია: y = a r c cos (x)

განმარტება 23

რკალის კოსინუსის ფუნქციის თვისებები:

• განმარტების დომენი: x ∈ - 1 ; 1 ;
• დიაპაზონი: y ∈ 0 ; π;
• ეს ფუნქცია ზოგადი ფორმისაა (არც ლუწი და არც კენტი);
• ფუნქცია მცირდება განსაზღვრების მთელ დომენზე;
• რკალის კოსინუს ფუნქციას აქვს ჩაღრმავება x ∈ - 1-ზე; 0 და ამოზნექილი x ∈ 0-ისთვის; 1 ;
• გადახრის წერტილებს აქვთ კოორდინატები 0; π 2;
• არ არსებობს ასიმპტოტები.

1. არქტანგენტის ფუნქცია: y = a r c t g (x)

განმარტება 24

არქტანგენტის ფუნქციის თვისებები:

• განმარტების დომენი: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• მნიშვნელობების დიაპაზონი: y ∈ - π 2 ; π 2;
• ეს ფუნქცია კენტია, ვინაიდან y (- x) = - y (x) ;
• ფუნქცია იზრდება განმარტების მთელ დომენზე;
• არქტანგენტის ფუნქციას აქვს ჩაზნექილი x ∈ (- ∞ ; 0 ] და ამოზნექილი x ∈ [ 0 ; + ∞);
• გადახრის წერტილს აქვს კოორდინატები (0; 0), რომელიც ასევე არის ფუნქციის ნული;
• ჰორიზონტალური ასიმპტოტები არის სწორი ხაზები y = - π 2 როგორც x → - ∞ და y = π 2 როგორც x → + ∞ (სურათზე ასიმპტოტები მწვანე ხაზებია).

1. რკალის ტანგენტის ფუნქცია: y = a r c c t g (x)

განმარტება 25

არკოტანგენტის ფუნქციის თვისებები:

• განმარტების დომენი: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• დიაპაზონი: y ∈ (0; π) ;
• ეს ფუნქცია ზოგადი ფორმისაა;
• ფუნქცია მცირდება განსაზღვრების მთელ დომენზე;
• რკალის კოტანგენტის ფუნქციას აქვს ჩაზნექილი x ∈ [0; + ∞) და ამოზნექილი x ∈-ისთვის (- ∞ ; 0 ] ;
• გადახრის წერტილს აქვს კოორდინატები 0; π 2;
• ჰორიზონტალური ასიმპტოტები არის სწორი ხაზები y = π x → - ∞ (მწვანე ხაზი ნახაზზე) და y = 0 x → + ∞-ზე.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter