შეიყვანეთ ფუნქცია, რომლისთვისაც გჭირდებათ ინტეგრალის პოვნა
კალკულატორი უზრუნველყოფს დეტალური გადაწყვეტაგანსაზღვრული ინტეგრალები.
ეს კალკულატორი პოულობს გამოსავალს f(x) ფუნქციის განსაზღვრულ ინტეგრალზე მოცემული ზედა და ქვედა ზღვრებით.
მაგალითები
ხარისხის გამოყენება
(კვადრატი და კუბი) და წილადები
(x^2 - 1)/(x^3 + 1)
კვადრატული ფესვი
Sqrt(x)/(x + 1)
კუბის ფესვი
Cbrt(x)/(3*x + 2)
სინუსის და კოსინუსის გამოყენება
2*sin(x)*cos(x)
რკალი
X*arcsin(x)
რკალის კოსინუსი
X*arccos(x)
ლოგარითმის გამოყენება
X*log (x, 10)
ბუნებრივი ლოგარითმი
გამოფენის
Tg(x)*sin(x)
კოტანგენსი
Ctg(x)*cos(x)
ირაციონალური წილადები
(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)
არქტანგენტი
X*arctg(x)
არკოტანგენტი
X*arсctg(x)
ჰიპერბოლური სინუსი და კოსინუსი
2*sh(x)*ch(x)
ჰიპერბოლური ტანგენსი და კოტანგენსი
Ctgh(x)/tgh(x)
ჰიპერბოლური არქსინი და არკოზინი
X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)
ჰიბერბოლური არქტანგენსი და არკოტანგენსი
X^2*arctgh(x)*arcctgh(x)
გამონათქვამებისა და ფუნქციების შეყვანის წესები
გამონათქვამები შეიძლება შედგებოდეს ფუნქციებისგან (ნოტაციები მოცემულია ანბანური თანმიმდევრობით): აბსოლუტური (x)აბსოლუტური ღირებულება x
(მოდული xან |x|)
arccos (x)ფუნქცია - რკალის კოსინუსი x arccosh (x)რკალის კოსინუსი ჰიპერბოლური საწყისი x რკალი (x)არქსინი-დან x arcsinh (x)არქსინი ჰიპერბოლური საწყისი x არქტანი (x)ფუნქცია - arctangent of x arctgh(x)არქტანგენტი ჰიპერბოლური საწყისი x ე ერიცხვი, რომელიც დაახლოებით უდრის 2,7-ს exp(x)ფუნქცია - მაჩვენებლის x(რაც არის ე^x)
ჟურნალი (x)ან ln(x)ბუნებრივი ლოგარითმი x
( მისაღებად log7(x), თქვენ უნდა შეიყვანოთ log(x)/log(7) (ან, მაგალითად, for log10(x)=log(x)/log(10)) პირიცხვია „პი“, რომელიც დაახლოებით უდრის 3,14-ს sin(x)ფუნქცია - Sine of x cos(x)ფუნქცია - კოსინუსი x სინჰ(x)ფუნქცია - სინუს ჰიპერბოლური საწყისი x cosh(x)ფუნქცია - კოსინუსის ჰიპერბოლური საწყისი x sqrt(x)ფუნქცია - კვადრატული ფესვისაწყისი x sqr(x)ან x^2ფუნქცია - კვადრატი x რუჯი (x)ფუნქცია - ტანგენტი დან x tgh(x)ფუნქცია - ტანგენტი ჰიპერბოლური დან x cbrt(x)ფუნქცია - კუბის ფესვი x
შემდეგი ოპერაციები შეიძლება გამოყენებულ იქნას გამონათქვამებში: რეალური რიცხვებიშედი როგორც 7.5
, არა 7,5
2*x- გამრავლება 3/x- განყოფილება x^3- ექსპონენტაცია x+7- დამატება x - 6- გამოკლება
სხვა მახასიათებლები: სართული (x)ფუნქცია - დამრგვალება xქვევით (მაგალითი სართული (4.5)==4.0) ჭერი (x)ფუნქცია - დამრგვალება xზემოთ (მაგალითი ჭერი (4.5)==5.0) ნიშანი (x)ფუნქცია - ნიშანი x erf (x)შეცდომის ფუნქცია (ან ალბათობის ინტეგრალი) ლაპლასი (x)ლაპლასის ფუნქცია
მოდით გადავიდეთ ინტეგრალური გამოთვლების აპლიკაციების განხილვაზე. ამ გაკვეთილზე გავაანალიზებთ ტიპურ და ყველაზე გავრცელებულ დავალებას სიბრტყის ფიგურის ფართობის გამოთვლა განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით. დაბოლოს, ყველამ, ვინც აზრს ეძებს უმაღლეს მათემატიკაში, იპოვნოს იგი. არასოდეს იცი. რეალურ ცხოვრებაში, თქვენ მოგიწევთ მიახლოებითი დაჩის ნაკვეთი ელემენტარული ფუნქციების გამოყენებით და იპოვოთ მისი ფართობი გარკვეული ინტეგრალის გამოყენებით.
მასალის წარმატებით დასაუფლებლად, თქვენ უნდა:
1) მესმის განუსაზღვრელი ინტეგრალისაშუალო დონეზე მაინც. ამრიგად, დუიმებმა ჯერ უნდა წაიკითხონ გაკვეთილი არა.
2) შეძლოს ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გამოყენება და განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლა. თქვენ შეგიძლიათ დაამყაროთ თბილი მეგობრული ურთიერთობა ცალკეულ ინტეგრალებთან გვერდზე განსაზღვრული ინტეგრალი. გადაწყვეტილებების მაგალითები. ამოცანა „გამოთვალეთ ფართობი განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით“ ყოველთვის მოიცავს ნახაზის აგებას, ასე რომ, თქვენი ცოდნა და ხატვის უნარებიც აქტუალური იქნება. მინიმუმ, თქვენ უნდა შეძლოთ სწორი ხაზის, პარაბოლისა და ჰიპერბოლის აგება.
დავიწყოთ მოხრილი ტრაპეციით. მრუდი ტრაპეცია არის ბრტყელი ფიგურა, რომელიც შემოსაზღვრულია გარკვეული ფუნქციის გრაფიკით წ = ვ(x), ღერძი ოქსიდა ხაზები x = ა; x = ბ.
მრუდი ტრაპეციის ფართობი რიცხობრივად უდრის განსაზღვრულ ინტეგრალს
ნებისმიერ განსაზღვრულ ინტეგრალს (რომელიც არსებობს) აქვს ძალიან კარგი გეომეტრიული მნიშვნელობა. კლასში განსაზღვრული ინტეგრალი. გადაწყვეტილებების მაგალითებიჩვენ ვთქვით, რომ განსაზღვრული ინტეგრალი არის რიცხვი. ახლა კი დროა განვაცხადოთ კიდევ ერთი სასარგებლო ფაქტი. გეომეტრიის თვალსაზრისით, განსაზღვრული ინტეგრალი არის AREA. ანუ განსაზღვრული ინტეგრალი (თუ ის არსებობს) გეომეტრიულად შეესაბამება გარკვეული ფიგურის ფართობს. განვიხილოთ განსაზღვრული ინტეგრალი
ინტეგრანდ
განსაზღვრავს მრუდს სიბრტყეზე (სურვილის შემთხვევაში მისი დახატვა შესაძლებელია), ხოლო თავად განსაზღვრული ინტეგრალი რიცხობრივად უდრის შესაბამისი მრუდი ტრაპეციის ფართობს.
მაგალითი 1
, , , .
ეს არის ტიპიური დავალების განცხადება. გადაწყვეტილების ყველაზე მნიშვნელოვანი წერტილი არის ნახაზის აგება. უფრო მეტიც, ნახაზი უნდა იყოს აგებული უფლება.
ნახატის აგებისას გირჩევთ შემდეგი თანმიმდევრობით: თავდაპირველადუმჯობესია ავაშენოთ ყველა სწორი ხაზი (თუ ისინი არსებობს) და მხოლოდ მაშინ– პარაბოლები, ჰიპერბოლები, სხვა ფუნქციების გრაფიკები. წერტილი-პუნქტის მშენებლობის ტექნიკა შეგიძლიათ იხილოთ აქ საცნობარო მასალა გრაფიკები და თვისებები ელემენტარული ფუნქციები . აქ ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ ძალიან სასარგებლო მასალა ჩვენი გაკვეთილისთვის - როგორ სწრაფად ავაშენოთ პარაბოლა.
ამ პრობლემაში გამოსავალი შეიძლება ასე გამოიყურებოდეს.
მოდით გავაკეთოთ ნახაზი (გაითვალისწინეთ, რომ განტოლება წ= 0 განსაზღვრავს ღერძს ოქსი):
ჩვენ არ დავჩრდილავთ მოხრილ ტრაპეციას, აშკარაა, რომელ ზონაზეა საუბარი. გამოსავალი ასე გრძელდება:
სეგმენტზე [-2; 1] ფუნქციის გრაფიკი წ = x 2 + 2 მდებარეობს ღერძის ზემოთოქსი, ამიტომ:
პასუხი: .
ვისაც უჭირს განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლა და ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გამოყენება
,
მიმართეთ ლექციას განსაზღვრული ინტეგრალი. გადაწყვეტილებების მაგალითები. დავალების დასრულების შემდეგ ყოველთვის სასარგებლოა ნახატის დათვალიერება და იმის გარკვევა რეალურია თუ არა პასუხი. ამ შემთხვევაში, ჩვენ ვითვლით ნახატში უჯრედების რაოდენობას "თვალით" - კარგად, იქნება დაახლოებით 9, რაც, როგორც ჩანს, მართალია. აბსოლუტურად გასაგებია, რომ თუ მივიღეთ, ვთქვათ, პასუხი: 20 კვადრატული ერთეული, მაშინ აშკარაა, რომ სადღაც შეცდომა დაუშვა - 20 უჯრედი აშკარად არ ჯდება მოცემულ ფიგურაში, მაქსიმუმ ათეული. თუ პასუხი უარყოფითია, მაშინ დავალებაც არასწორად გადაწყდა.
მაგალითი 2
გამოთვალეთ ფიგურის ფართობი, შემოიფარგლება ხაზებით xy = 4, x = 2, x= 4 და ღერძი ოქსი.
ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი. სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.
რა უნდა გააკეთოს, თუ მოხრილი ტრაპეცია მდებარეობს ღერძის ქვეშოქსი?
მაგალითი 3
გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი წ = e-x, x= 1 და საკოორდინაციო ღერძები.
გამოსავალი: მოდით დავხატოთ ნახატი:
თუ მოხრილი ტრაპეცია მთლიანად მდებარეობს ღერძის ქვეშ ოქსი , მაშინ მისი ფართობი შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულის გამოყენებით:
ამ შემთხვევაში:
.
ყურადღება! ორი ტიპის დავალება არ უნდა იყოს აღრეული:
1) თუ გთხოვენ ამოხსნათ უბრალოდ განსაზღვრული ინტეგრალი ყოველგვარის გარეშე გეომეტრიული მნიშვნელობა, მაშინ ეს შეიძლება იყოს უარყოფითი.
2) თუ გთხოვენ ფიგურის ფართობის პოვნა განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით, მაშინ ფართობი ყოველთვის დადებითია! ამიტომ მინუსი ჩნდება ახლახან განხილულ ფორმულაში.
პრაქტიკაში, ყველაზე ხშირად ფიგურა განლაგებულია როგორც ზედა, ასევე ქვედა ნახევრად სიბრტყეში და, შესაბამისად, უმარტივესი სკოლის პრობლემებიდან გადავდივართ უფრო მნიშვნელოვან მაგალითებზე.
მაგალითი 4
იპოვეთ სიბრტყე ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია ხაზებით წ = 2x – x 2 , წ = -x.
გამოსავალი: ჯერ უნდა გააკეთოთ ნახატი. ფართობის ამოცანებში ნახატის აგებისას ჩვენ ყველაზე მეტად გვაინტერესებს ხაზების გადაკვეთის წერტილები. ვიპოვოთ პარაბოლის გადაკვეთის წერტილები წ = 2x – x 2 და სწორი წ = -x. ეს შეიძლება გაკეთდეს ორი გზით. პირველი მეთოდი არის ანალიტიკური. ჩვენ ვხსნით განტოლებას:
ეს ნიშნავს, რომ ინტეგრაციის ქვედა ზღვარი ა= 0, ინტეგრაციის ზედა ზღვარი ბ= 3. ხშირად უფრო მომგებიანი და სწრაფია ხაზების აგება წერტილი-პუნქტით და ინტეგრაციის საზღვრები ცხადი ხდება „თვითონ“. მიუხედავად ამისა, ლიმიტების პოვნის ანალიტიკური მეთოდი მაინც ზოგჯერ უნდა იქნას გამოყენებული, თუ, მაგალითად, გრაფიკი საკმარისად დიდია, ან დეტალური კონსტრუქცია არ ავლენს ინტეგრაციის საზღვრებს (ისინი შეიძლება იყოს წილადი ან ირაციონალური). დავუბრუნდეთ ჩვენს ამოცანას: უფრო რაციონალურია ჯერ სწორი ხაზის აგება და მხოლოდ ამის შემდეგ პარაბოლა. მოდით გავაკეთოთ ნახატი:
გავიმეოროთ, რომ წერტილის აგებისას, ინტეგრაციის საზღვრები ყველაზე ხშირად განისაზღვრება „ავტომატურად“.
ახლა კი სამუშაო ფორმულა:
თუ სეგმენტზე [ ა; ბ] ზოგიერთი უწყვეტი ფუნქცია ვ(x) მეტი ან ტოლიგარკვეული უწყვეტი ფუნქცია გ(x), შემდეგ შესაბამისი ფიგურის ფართობი შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულის გამოყენებით:
აქ აღარ გჭირდებათ იმაზე ფიქრი, თუ სად მდებარეობს ფიგურა - ღერძის ზემოთ თუ ღერძის ქვემოთ, მაგრამ მნიშვნელობა აქვს რომელი გრაფიკია უფრო მაღალი(სხვა გრაფიკთან შედარებით), და რომელია ქვემოთ.
განხილულ მაგალითში აშკარაა, რომ სეგმენტზე პარაბოლა მდებარეობს სწორი ხაზის ზემოთ და, შესაბამისად, 2-დან x – x 2 უნდა გამოკლდეს - x.
დასრულებული გამოსავალი შეიძლება ასე გამოიყურებოდეს:
სასურველი ფიგურა შემოიფარგლება პარაბოლით წ = 2x – x 2 ზემოდან და პირდაპირ წ = -xქვემოთ.
მე-2 სეგმენტზე x – x 2 ≥ -x. შესაბამისი ფორმულის მიხედვით:
პასუხი: .
ფაქტობრივად, სკოლის ფორმულაქვედა ნახევარ სიბრტყეში მრუდი ტრაპეციის ფართობისთვის (იხ. მაგალითი No3) – ფორმულის განსაკუთრებული შემთხვევა
.
რადგან ღერძი ოქსიმოცემული განტოლებით წ= 0 და ფუნქციის გრაფიკი გ(x) მდებარეობს ღერძის ქვემოთ ოქსი, ეს
.
ახლა კი რამდენიმე მაგალითი საკუთარი გადაწყვეტისთვის
მაგალითი 5
მაგალითი 6
იპოვეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი
განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით ფართობის გამოთვლასთან დაკავშირებული პრობლემების გადაჭრისას, ზოგჯერ ხდება სასაცილო ინციდენტი. ნახატი სწორად იყო შესრულებული, გათვლები გამართული, მაგრამ დაუდევრობის გამო... ნაპოვნია არასწორი ფიგურის ფართობი.
მაგალითი 7
ჯერ დავხატოთ ნახატი:
ფიგურა, რომლის ფართობიც უნდა ვიპოვოთ, ლურჯად დაჩრდილულია(ყურადღებით დააკვირდით მდგომარეობას - რამდენად შეზღუდულია ფიგურა!). მაგრამ პრაქტიკაში, უყურადღებობის გამო, ადამიანები ხშირად წყვეტენ, რომ მათ უნდა იპოვონ ფიგურის ფართობი, რომელიც მწვანეშია დაჩრდილული!
ეს მაგალითი ასევე სასარგებლოა იმით, რომ ითვლის ფიგურის ფართობს ორის გამოყენებით განსაზღვრული ინტეგრალები. ნამდვილად:
1) სეგმენტზე [-1; 1] ღერძის ზემოთ ოქსიგრაფიკი პირდაპირ მდებარეობს წ = x+1;
2) ღერძის ზემოთ სეგმენტზე ოქსიმდებარეობს ჰიპერბოლის გრაფიკი წ = (2/x).
აშკარაა, რომ ტერიტორიები შეიძლება (და უნდა) დაემატოს, ამიტომ:
პასუხი:
მაგალითი 8
გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი
წარმოვადგინოთ განტოლებები "სასკოლო" სახით
და გააკეთეთ ნახაზი წერტილი-პუნქტით:
ნახატიდან ირკვევა, რომ ჩვენი ზედა ზღვარი "კარგია": ბ = 1.
მაგრამ რა არის ქვედა ზღვარი?! გასაგებია, რომ ეს არ არის მთელი რიცხვი, მაგრამ რა არის?
შეიძლება, ა=(-1/3)? მაგრამ სად არის გარანტია, რომ ნახატი შესრულებულია სრულყოფილი სიზუსტით, შეიძლება აღმოჩნდეს ეს ა=(-1/4). რა მოხდება, თუ გრაფიკი არასწორად ავაშენეთ?
ასეთ შემთხვევებში თქვენ მოგიწევთ დამატებითი დრო დახარჯოთ და ინტეგრაციის საზღვრები ანალიტიკურად დაზუსტოთ.
მოდი ვიპოვოთ გრაფიკების გადაკვეთის წერტილები
ამისათვის ჩვენ ვხსნით განტოლებას:
.
აქედან გამომდინარე, ა=(-1/3).
შემდგომი გამოსავალი ტრივიალურია. მთავარია, ჩანაცვლებებსა და ნიშნებში არ დაიბნეთ. აქ გამოთვლები არ არის უმარტივესი. სეგმენტზე
, 
,
შესაბამისი ფორმულის მიხედვით:
პასუხი: 
გაკვეთილის დასასრულებლად გადავხედოთ კიდევ ორ რთულ ამოცანას.
მაგალითი 9
გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი
ამოხსნა: მოდით გამოვსახოთ ეს ფიგურა ნახატზე.
წერტილი-წერტილი ნახაზის დასახატად საჭიროა იცოდეთ გარეგნობასინუსოიდები. ზოგადად, სასარგებლოა ყველა ელემენტარული ფუნქციის გრაფიკის, ასევე სინუსების ზოგიერთი მნიშვნელობის ცოდნა. ისინი შეგიძლიათ იხილოთ მნიშვნელობების ცხრილში ტრიგონომეტრიული ფუნქციები . ზოგიერთ შემთხვევაში (მაგალითად, ამ შემთხვევაში) შესაძლებელია სქემატური ნახაზის აგება, რომელზეც ფუნდამენტურად სწორად უნდა იყოს ნაჩვენები გრაფიკები და ინტეგრაციის საზღვრები.
აქ ინტეგრაციის საზღვრებთან დაკავშირებული პრობლემები არ არის, ისინი პირდაპირ გამომდინარეობენ მდგომარეობიდან:
– „x“ იცვლება ნულიდან „pi“-მდე. მოდით მივიღოთ შემდგომი გადაწყვეტილება:
სეგმენტზე, ფუნქციის გრაფიკი წ= ცოდვა 3 xმდებარეობს ღერძის ზემოთ ოქსი, ამიტომ:
(1) გაკვეთილზე შეგიძლიათ ნახოთ, როგორ არის ინტეგრირებული სინუსები და კოსინუსები კენტ ძალებში ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ინტეგრალები. ჩვენ ვჭრით ერთ სინუსს.
(2) ჩვენ ვიყენებთ ძირითად ტრიგონომეტრიულ იდენტობას ფორმაში
(3) შევცვალოთ ცვლადი ტ= cos x, შემდეგ: მდებარეობს ღერძის ზემოთ, ამიტომ:
.
.
შენიშვნა:გაითვალისწინეთ, თუ როგორ არის აღებული კუბში ტანგენტის ინტეგრალი; ტრიგონომეტრიული იდენტურობა
.
განვიხილოთ მრუდი ტრაპეცია, რომელიც შემოიფარგლება Ox ღერძით, მრუდი y=f(x) და ორი სწორი ხაზი: x=a და x=b (სურ. 85). ავიღოთ x-ის თვითნებური მნიშვნელობა (უბრალოდ არა a და არა b). მივცეთ მას ნამატი h = dx და განვიხილოთ AB და CD სწორი ხაზებით შემოსაზღვრული ზოლი, Ox ღერძი და რკალი BD, რომელიც ეკუთვნის განსახილველ მრუდს. ამ ზოლს ელემენტარულ ზოლს დავარქმევთ. ელემენტარული ზოლის ფართობი განსხვავდება ACQB მართკუთხედის ფართობისგან მრუდი სამკუთხედით BQD, ხოლო ამ უკანასკნელის ფართობი ნაკლებია BQDM მართკუთხედის ფართობზე BQ = =h= გვერდებით. dx) QD=Ay და ფართობი ტოლია hAy = Ay dx. როგორც h მხარე მცირდება, ასევე მცირდება Du მხარე და h-სთან ერთად ნულისკენ მიისწრაფვის. ამიტომ, BQDM-ის ფართობი მეორე რიგის უსასრულოა. ელემენტარული ზოლის ფართობი არის ფართობის ზრდა, ხოლო ACQB მართკუთხედის ფართობი, რომელიც უდრის AB-AC ==/(x) dx> არის ფართობის დიფერენციალი. შესაბამისად, ჩვენ ვპოულობთ თავად არეალს მისი დიფერენციალის ინტეგრირებით. განსახილველ ფიგურაში დამოუკიდებელი ცვლადი l: იცვლება a-დან b-მდე, ამიტომ საჭირო ფართობი 5 იქნება 5= \f(x) dx-ის ტოლი. (I) მაგალითი 1. გამოვთვალოთ პარაბოლით შემოსაზღვრული ფართობი y - 1 -x*, სწორი ხაზები X =--Fj-, x = 1 და O* ღერძი (სურ. 86). ნახ. 87. ნახ. 86. 1 აქ f(x) = 1 - l?, ინტეგრაციის საზღვრებია a = - და £ = 1, შესაბამისად J [*-t]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* მაგალითი 2. გამოვთვალოთ y = sinXy სინუსოიდით შეზღუდული ფართობი, Ox ღერძი და სწორი ხაზი (სურ. 87). ფორმულის (I) გამოყენებით მივიღებთ A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf მაგალითი 3. გამოთვალეთ ^у = sin jc რკალით შეზღუდული ფართობი, თანდართული. ორ მიმდებარე გადაკვეთის წერტილს შორის Ox ღერძით (მაგალითად, საწყისსა და აბსცისის i წერტილს შორის). გაითვალისწინეთ, რომ გეომეტრიული მოსაზრებებიდან ირკვევა, რომ ეს ტერიტორია ორჯერ იქნება წინა მაგალითის ფართობზე. თუმცა, გავაკეთოთ გამოთვლები: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o მართლაც, ჩვენი ვარაუდი სწორი აღმოჩნდა. მაგალითი 4. გამოთვალეთ სინუსოიდით და Ox ღერძით შემოსაზღვრული ფართობი ერთ პერიოდში (სურ. 88). წინასწარი გამოთვლებით ვარაუდობენ, რომ ფართობი ოთხჯერ მეტი იქნება, ვიდრე მაგალით 2-ში. თუმცა, გამოთვლების გაკეთების შემდეგ ვიღებთ „i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l -( -cos 0) = - 1 + 1 = 0. ეს შედეგი დაზუსტებას მოითხოვს. საკითხის არსის გასარკვევად, ჩვენ ასევე ვიანგარიშებთ იმავე სინუსოიდით შემოზღუდულ ფართობს y = sin l: და Ox ღერძს l-დან 2i-მდე დიაპაზონში. ფორმულის (I) გამოყენებით მივიღებთ 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2. ამრიგად, ჩვენ ვხედავთ, რომ ეს სფერო უარყოფითი აღმოჩნდა. მე-3 სავარჯიშოში გამოთვლილ ფართობთან შედარებისას აღმოვაჩენთ, რომ მათი აბსოლუტური მნიშვნელობები იგივეა, მაგრამ ნიშნები განსხვავებულია. თუ გამოვიყენებთ V თვისებას (იხ. თავი XI, § 4), მივიღებთ 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0 რაც მოხდა ამ მაგალითში შემთხვევითი არ არის. ყოველთვის Ox ღერძის ქვემოთ მდებარე ფართობი, იმ პირობით, რომ დამოუკიდებელი ცვლადი იცვლება მარცხნიდან მარჯვნივ, მიიღება ინტეგრალის გამოყენებით გამოთვლისას. ამ კურსში ჩვენ ყოველთვის განვიხილავთ უბნებს ნიშნების გარეშე. ამიტომ, ახლა განხილულ მაგალითში პასუხი იქნება: საჭირო ფართობი არის 2 + |-2| = 4. მაგალითი 5. გამოვთვალოთ BAB-ის ფართობი, რომელიც ნაჩვენებია ნახ. 89. ეს ფართობი შემოიფარგლება Ox ღერძით, პარაბოლით y = - xr და სწორი ხაზით y - = -x+\. მრუდი ტრაპეციის ფართობი საჭირო ფართობი OAB შედგება ორი ნაწილისგან: OAM და MAV. ვინაიდან A წერტილი პარაბოლისა და სწორი ხაზის გადაკვეთის წერტილია, მის კოორდინატებს ვიპოვით 3 2 Y = mx განტოლებათა სისტემის ამოხსნით. (მხოლოდ A წერტილის აბსცისა უნდა ვიპოვოთ). სისტემის ამოხსნისას ვპოულობთ l; = ~. აქედან გამომდინარე, ფართობი უნდა გამოითვალოს ნაწილებად, პირველ კვადრატში. OAM და შემდეგ pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM-^x)