ყველა თანაბარი ფუნქციებია. ფუნქციის თვისებები

ჩვენების დამალვა

ფუნქციის მითითების მეთოდები

ფუნქცია მოცემულია ფორმულით: y=2x^(2)-3. დამოუკიდებელ ცვლად x-ზე ნებისმიერი მნიშვნელობის მინიჭებით, შეგიძლიათ ამ ფორმულის გამოყენებით გამოთვალოთ დამოკიდებული ცვლადის y შესაბამისი მნიშვნელობები. მაგალითად, თუ x=-0.5, მაშინ ფორმულის გამოყენებით აღმოვაჩენთ, რომ y-ის შესაბამისი მნიშვნელობა არის y=2 \cdot (-0.5)^(2)-3=-2.5.

y=2x^(2)-3 ფორმულაში x არგუმენტით მიღებული ნებისმიერი მნიშვნელობის აღებით, შეგიძლიათ გამოთვალოთ ფუნქციის მხოლოდ ერთი მნიშვნელობა, რომელიც შეესაბამება მას. ფუნქცია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ცხრილის სახით:

x	−2	−1	0	1	2	3
წ	−4	−3	−2	−1	0	1

ამ ცხრილის გამოყენებით ხედავთ, რომ არგუმენტის −1 მნიშვნელობისთვის შეესაბამება ფუნქციის მნიშვნელობა −3; და მნიშვნელობა x=2 შეესაბამება y=0 და ა.შ. ასევე მნიშვნელოვანია იცოდეთ, რომ ცხრილის თითოეული არგუმენტის მნიშვნელობა შეესაბამება მხოლოდ ერთ ფუნქციის მნიშვნელობას.

მეტი ფუნქციის დაზუსტება შესაძლებელია გრაფიკების გამოყენებით. გრაფიკის გამოყენებით დგინდება ფუნქციის რომელი მნიშვნელობა კორელაციაშია გარკვეულ x მნიშვნელობასთან. ყველაზე ხშირად, ეს იქნება ფუნქციის სავარაუდო მნიშვნელობა.

ლუწი და კენტი ფუნქცია

ფუნქცია არის ფუნქციაც კი, როდესაც f(-x)=f(x) ნებისმიერი x-ისთვის განმარტების დომენიდან. ასეთი ფუნქცია იქნება სიმეტრიული Oy ღერძის მიმართ.

ფუნქცია არის უცნაური ფუნქცია, როდესაც f(-x)=-f(x) ნებისმიერი x-ისთვის განმარტების დომენიდან. ასეთი ფუნქცია იქნება სიმეტრიული O (0;0) საწყისის მიმართ.

ფუნქცია არის არც კი, არც უცნაურიდა ეწოდება ფუნქცია ზოგადი ხედი , როდესაც მას არ აქვს სიმეტრია ღერძის ან საწყისის მიმართ.

მოდით განვიხილოთ შემდეგი ფუნქცია პარიტეტისთვის:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) განსაზღვრების სიმეტრიული დომენით საწყისთან მიმართებაში. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

ეს ნიშნავს, რომ ფუნქცია f(x)=3x^(3)-7x^(7) კენტია.

პერიოდული ფუნქცია

ფუნქცია y=f(x) , რომლის დომენში მოქმედებს ტოლობა f(x+T)=f(x-T)=f(x) ნებისმიერი x-ისთვის, ე.წ. პერიოდული ფუნქციაპერიოდით T \neq 0 .

ფუნქციის გრაფიკის გამეორება x ღერძის ნებისმიერ სეგმენტზე, რომელსაც აქვს სიგრძე T.

ინტერვალები, სადაც ფუნქცია დადებითია, ანუ f(x) > 0, არის აბსცისის ღერძის სეგმენტები, რომლებიც შეესაბამება აბსცისის ღერძის ზემოთ მდებარე ფუნქციის გრაფიკის წერტილებს.

f(x) > 0 ჩართულია (x_(1); x_(2)) \ჭიქა (x_(3); +\infty)

ინტერვალები, სადაც ფუნქცია უარყოფითია, ანუ f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \ ჭიქა (x_(2); x_(3))

შეზღუდული ფუნქცია

ქვემოდან შემოსაზღვრულიჩვეულებრივია გამოვიძახოთ ფუნქცია y=f(x), x \ X-ში, როდესაც არის A რიცხვი, რომლისთვისაც უტოლობა f(x) \geq A მოქმედებს ნებისმიერი x \ X-ში.

ქვემოდან შემოსაზღვრული ფუნქციის მაგალითი: y=\sqrt(1+x^(2)) ვინაიდან y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 ნებისმიერი x-ისთვის.

ზემოდან შემოსაზღვრულიფუნქცია y=f(x), x \in X იწოდება, როდესაც არის B რიცხვი, რომლისთვისაც უტოლობა f(x) \neq B მოქმედებს ნებისმიერი x \ X-ში.

ქვემოთ შემოსაზღვრული ფუნქციის მაგალითი: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1]ვინაიდან y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 ნებისმიერი x \in [-1;1] .

შეზღუდულიჩვეულებრივ უნდა გამოიძახოთ ფუნქცია y=f(x), x \ X-ში, როდესაც არის რიცხვი K > 0, რომლისთვისაც უტოლობა \left | f(x)\right | \neq K ნებისმიერი x \ X-ში.

შეზღუდული ფუნქციის მაგალითი: y=\sin x შეზღუდულია მთელ რიცხვთა ღერძზე, ვინაიდან \მარცხნივ | \sin x \მარჯვნივ | \nq 1.

გაზრდის და შემცირების ფუნქცია

ჩვეულებრივად არის საუბარი ფუნქციაზე, რომელიც იზრდება განხილულ ინტერვალზე როგორც მზარდი ფუნქციამაშინ, როდესაც x-ის უფრო დიდი მნიშვნელობა შეესაბამება y=f(x) ფუნქციის უფრო დიდ მნიშვნელობას. აქედან გამომდინარეობს, რომ არგუმენტის x_(1) და x_(2) ორი თვითნებური მნიშვნელობის აღება განსახილველი ინტერვალიდან, x_(1) > x_(2) , შედეგი იქნება y(x_(1)) > y(x_(2)).

ფუნქცია, რომელიც მცირდება განხილულ ინტერვალზე, ეწოდება კლების ფუნქციაროდესაც x-ის უფრო დიდი მნიშვნელობა შეესაბამება y(x) ფუნქციის უფრო მცირე მნიშვნელობას. აქედან გამომდინარეობს, რომ არგუმენტის x_(1) და x_(2) ორი თვითნებური მნიშვნელობის აღებით განსახილველი ინტერვალიდან, x_(1) > x_(2) , შედეგი იქნება y(x_(1))< y(x_{2}) .

ფუნქციის ფესვებიმიღებულია იმ წერტილების დარქმევა, რომლებშიც ფუნქცია F=y(x) კვეთს აბსცისის ღერძს (ისინი მიიღება y(x)=0 განტოლების ამოხსნით).

ა) თუ x > 0-ზე ლუწი ფუნქცია იზრდება, მაშინ ის მცირდება x-ისთვის< 0

ბ) როდესაც ლუწი ფუნქცია მცირდება x > 0-ზე, მაშინ ის იზრდება x-ზე< 0

გ) როდესაც კენტი ფუნქცია იზრდება x > 0-ზე, მაშინ ის ასევე იზრდება x-ზე< 0

დ) როდესაც კენტი ფუნქცია მცირდება x > 0-ზე, მაშინ ის ასევე შემცირდება x-ისთვის< 0

ფუნქციის უკიდურესობა

ფუნქციის მინიმალური წერტილი y=f(x) ჩვეულებრივ უწოდებენ წერტილს x=x_(0), რომლის სამეზობლოში იქნება სხვა წერტილები (გარდა წერტილისა x=x_(0)), და მათთვის უტოლობა f(x) > f იქნება მაშინ. კმაყოფილი (x_(0)) . y_(min) - ფუნქციის აღნიშვნა min წერტილში.

ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი y=f(x) ჩვეულებრივ უწოდებენ წერტილს x=x_(0), რომლის სამეზობლოში იქნება სხვა წერტილები (გარდა წერტილისა x=x_(0)), და მათთვის f(x) უტოლობა მაშინ დაკმაყოფილდება.< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

წინაპირობა

ფერმას თეორემის მიხედვით: f"(x)=0, როდესაც ფუნქცია f(x), რომელიც დიფერენცირებადია x_(0) წერტილში ექნება ექსტრემი ამ წერტილში.

საკმარისი მდგომარეობა

1. როდესაც წარმოებული ცვლის ნიშანს პლუსიდან მინუსზე, მაშინ x_(0) იქნება მინიმალური წერტილი;
2. x_(0) - იქნება მაქსიმალური წერტილი მხოლოდ მაშინ, როდესაც წარმოებული ცვლის ნიშანს მინუს-დან პლუსზე სტაციონარული წერტილის გავლისას x_(0) .

ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა ინტერვალზე

გაანგარიშების ნაბიჯები:

1. წარმოებული f"(x) მოძებნილია;
2. არის სტაციონარული და კრიტიკული წერტილებიფუნქციები და აირჩიეთ სეგმენტის კუთვნილი;
3. f(x) ფუნქციის მნიშვნელობები გვხვდება სეგმენტის სტაციონარულ და კრიტიკულ წერტილებსა და ბოლოებზე. მიღებული შედეგებიდან რაც უფრო მცირე იქნება ფუნქციის ყველაზე მცირე მნიშვნელობადა მეტი - ყველაზე დიდი.

y ცვლადის დამოკიდებულებას x ცვლადზე, რომელშიც x-ის თითოეული მნიშვნელობა შეესაბამება y-ის ერთ მნიშვნელობას, ეწოდება ფუნქცია. აღნიშვნისთვის გამოიყენეთ აღნიშვნა y=f(x). თითოეულ ფუნქციას აქვს რამდენიმე ძირითადი თვისება, როგორიცაა ერთფეროვნება, პარიტეტი, პერიოდულობა და სხვა.

უფრო ახლოს დააკვირდით პარიტეტის თვისებას.

ფუნქცია y=f(x) იწოდება მაშინაც კი, თუ ის აკმაყოფილებს შემდეგ ორ პირობას:

2. x წერტილის ფუნქციის მნიშვნელობა, რომელიც ეკუთვნის ფუნქციის განსაზღვრის დომენს, უნდა იყოს -x წერტილის ფუნქციის მნიშვნელობის ტოლი. ანუ ნებისმიერი x წერტილისთვის ფუნქციის განსაზღვრის სფეროდან უნდა დაკმაყოფილდეს შემდეგი თანასწორობა: f(x) = f(-x).

ლუწი ფუნქციის გრაფიკი

თუ ლუწი ფუნქციის გრაფიკს დახატავთ, ის სიმეტრიული იქნება Oy ღერძის მიმართ.

მაგალითად, ფუნქცია y=x^2 ლუწია. მოდით შევამოწმოთ. განმარტების დომენი არის მთელი რიცხვითი ღერძი, რაც ნიშნავს, რომ ის სიმეტრიულია O წერტილის მიმართ.

ავიღოთ თვითნებური x=3. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. ამიტომ f(x) = f(-x). ამრიგად, ორივე პირობა დაკმაყოფილებულია, რაც ნიშნავს, რომ ფუნქცია თანაბარია. ქვემოთ მოცემულია y=x^2 ფუნქციის გრაფიკი.

ნახაზი აჩვენებს, რომ გრაფიკი სიმეტრიულია Oy ღერძის მიმართ.

უცნაური ფუნქციის გრაფიკი

ფუნქციას y=f(x) ეწოდება კენტი, თუ ის აკმაყოფილებს შემდეგ ორ პირობას:

1. მოცემული ფუნქციის განსაზღვრის დომენი უნდა იყოს სიმეტრიული O წერტილის მიმართ. ანუ, თუ რომელიღაც a წერტილი ეკუთვნის ფუნქციის განსაზღვრის დომენს, მაშინ შესაბამისი წერტილი -a ასევე უნდა მიეკუთვნებოდეს განმარტების დომენს. მოცემული ფუნქციის.

2. ნებისმიერი x წერტილისთვის ფუნქციის განსაზღვრის სფეროდან უნდა დაკმაყოფილდეს შემდეგი ტოლობა: f(x) = -f(x).

კენტი ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია O წერტილის მიმართ - კოორდინატების საწყისი. მაგალითად, ფუნქცია y=x^3 არის უცნაური. მოდით შევამოწმოთ. განმარტების დომენი არის მთელი რიცხვითი ღერძი, რაც ნიშნავს, რომ ის სიმეტრიულია O წერტილის მიმართ.

ავიღოთ თვითნებური x=2. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. ამიტომ f(x) = -f(x). ამრიგად, ორივე პირობა დაკმაყოფილებულია, რაც ნიშნავს, რომ ფუნქცია კენტია. ქვემოთ მოცემულია y=x^3 ფუნქციის გრაფიკი.

ნახაზი ნათლად აჩვენებს, რომ კენტი ფუნქცია y=x^3 სიმეტრიულია საწყისის მიმართ.

უკან წინ

ყურადღება! სლაიდების გადახედვა მხოლოდ საინფორმაციო მიზნებისთვისაა და შესაძლოა არ წარმოადგენდეს პრეზენტაციის ყველა მახასიათებელს. თუ გაინტერესებთ ეს ნამუშევარი, გთხოვთ გადმოწეროთ სრული ვერსია.

მიზნები:

• აყალიბებს ფუნქციის პარიტეტისა და უცნაურობის კონცეფციას, ასწავლის ამ თვისებების განსაზღვრისა და გამოყენების უნარს, როდესაც ფუნქციის კვლევა, შეთქმულება;
• მოსწავლეთა შემოქმედებითი აქტივობის, ლოგიკური აზროვნების, შედარებისა და განზოგადების უნარის განვითარება;
• შრომისმოყვარეობისა და მათემატიკური კულტურის დამუშავება; განუვითარდებათ კომუნიკაციის უნარები .

აღჭურვილობა:მულტიმედიური ინსტალაცია, ინტერაქტიული დაფა, დარიგებები.

მუშაობის ფორმები:ფრონტალური და ჯგუფური საძიებო და კვლევითი საქმიანობის ელემენტებით.

ინფორმაციის წყაროები:

1. ალგებრა მე-9 კლასი ა.გ.მორდკოვიჩი. სახელმძღვანელო.
2. ალგებრა მე-9 კლასი ა.გ.მორდკოვიჩი. პრობლემის წიგნი.
3. ალგებრა მე-9 კლასი. ამოცანები მოსწავლეთა სწავლისა და განვითარებისათვის. ბელენკოვა ე.იუ. ლებედინცევა ე.ა.

გაკვეთილის მიმდინარეობა

1. საორგანიზაციო მომენტი

გაკვეთილის მიზნებისა და ამოცანების დასახვა.

2. საშინაო დავალების შემოწმება

No10.17 (მე-9 კლასის პრობლემური წიგნი. ა.გ. მორდკოვიჩი).

ა) ზე = ვ(X), ვ(X) =

ბ) ვ (–2) = –3; ვ (0) = –1; ვ(5) = 69;

გ) 1. D( ვ) = [– 2; + ∞)
2. E( ვ) = [– 3; + ∞)
3. ვ(X) = 0 საათზე X ~ 0,4
4. ვ(X) >0 ზე X > 0,4 ; ვ(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. ფუნქცია იზრდება X € [– 2; + ∞)
6. ფუნქცია შეზღუდულია ქვემოდან.
7. ზენაიმ = – 3, ზენაიბი არ არსებობს
8. ფუნქცია უწყვეტია.

(გამოიყენეთ თუ არა ფუნქციის კვლევის ალგორითმი?) სლაიდი.

2. შევამოწმოთ ცხრილი, რომელიც გთხოვეს სლაიდიდან.

შეავსეთ ცხრილი
	განმარტების დომენი	ფუნქცია ნულები	ნიშნის მუდმივობის ინტერვალები		გრაფიკის Oy-სთან გადაკვეთის წერტილების კოორდინატები
		x = –5, x = 2	x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ –5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. ცოდნის განახლება

- ფუნქციები მოცემულია.
- მიუთითეთ თითოეული ფუნქციის განსაზღვრის ფარგლები.
– შეადარეთ თითოეული ფუნქციის მნიშვნელობა არგუმენტების თითოეული წყვილისთვის: 1 და – 1; 2 და - 2.
– ამ ფუნქციებიდან რომელზეა განსაზღვრების სფეროში თანასწორობა ვ(– X) = ვ(X), ვ(– X) = – ვ(X)? (შეიყვანეთ მიღებული მონაცემები ცხრილში) სლაიდი

		ვ(1) და ვ(– 1)	ვ(2) და ვ(– 2)	გრაფიკა	ვ(– X) = –ვ(X)	ვ(– X) = ვ(X)
1. ვ(X) =
2. ვ(X) = X 3
3. ვ(X) = | X |
4.ვ(X) = 2X – 3
5. ვ(X) =	X ≠ 0
6. ვ(X)=	X > –1		და არ არის განსაზღვრული

4. ახალი მასალა

– ამ სამუშაოს შესრულებისას, ბიჭებო, ჩვენ გამოვავლინეთ ფუნქციის სხვა თვისება, თქვენთვის უცნობი, მაგრამ არანაკლებ მნიშვნელოვანი, ვიდრე სხვები – ეს არის ფუნქციის თანასწორობა და უცნაურობა. ჩაწერეთ გაკვეთილის თემა: „ლუწი და კენტი ფუნქციები“, ჩვენი ამოცანაა ვისწავლოთ ფუნქციის ტოლობისა და უცნაურობის დადგენა, გავარკვიოთ ამ თვისების მნიშვნელობა ფუნქციების შესწავლაში და გრაფიკების გამოსახვაში.
მაშ, მოვძებნოთ განმარტებები სახელმძღვანელოში და წავიკითხოთ (გვ. 110) . სლაიდი

დეფ. 1ფუნქცია ზე = ვ (X), X სიმრავლეზე განსაზღვრული ეწოდება თუნდაც, თუ რაიმე ღირებულებისთვის XЄ X შესრულებულია თანასწორობა f(–x)= f(x). მიეცით მაგალითები.

დეფ. 2ფუნქცია y = f(x) X სიმრავლეზე განსაზღვრული ეწოდება უცნაური, თუ რაიმე ღირებულებისთვის XЄ X მოქმედებს f(–х)= –f(х) ტოლობა. მიეცით მაგალითები.

სად შევხვდით ტერმინებს „ლუწი“ და „კენტი“?
ამ ფუნქციებიდან რომელი იქნება ლუწი, როგორ ფიქრობთ? რატომ? რომელია უცნაური? რატომ?
ფორმის ნებისმიერი ფუნქციისთვის ზე= x n, სად ნ- მთელი რიცხვი, შეიძლება ითქვას, რომ ფუნქცია კენტია, როცა ნ– კენტი და ფუნქცია არის ლუწი, როცა ნ- თუნდაც.
- ფუნქციების ნახვა ზე= და ზე = 2X– 3 არც ლუწია და არც კენტი, რადგან თანასწორობა არ არის დაკმაყოფილებული ვ(– X) = – ვ(X), ვ(– X) = ვ(X)

ფუნქციის ლუწი თუ კენტის შესწავლას ფუნქციის პარიტეტის შესწავლა ეწოდება.სლაიდი

1 და 2 განმარტებებში ჩვენ ვსაუბრობდით ფუნქციის მნიშვნელობებზე x და - x, რითაც ვარაუდობენ, რომ ფუნქცია ასევე განისაზღვრება მნიშვნელობით. Xდა - X.

Def 3.თუ ნომრების ნაკრებიმის თითოეულ ელემენტთან ერთად x შეიცავს საპირისპირო ელემენტს –x, შემდეგ სიმრავლეს Xსიმეტრიულ კომპლექტს უწოდებენ.

მაგალითები:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) არის სიმეტრიული სიმრავლეები და, [–5;4] ასიმეტრიულია.

– აქვს თუ არა ფუნქციებს განსაზღვრების დომენი, რომელიც სიმეტრიული სიმრავლეა? უცნაურები?
- თუ D( ვ) არის ასიმეტრიული სიმრავლე, მაშინ რა ფუნქცია აქვს?
– ამრიგად, თუ ფუნქცია ზე = ვ(X) – ლუწი ან კენტი, მაშინ მისი განმარტების დომენი არის D( ვ) არის სიმეტრიული ნაკრები. მართალია საპირისპირო დებულება: თუ ფუნქციის განსაზღვრის სფერო არის სიმეტრიული სიმრავლე, მაშინ ის ლუწია თუ კენტი?
- ეს ნიშნავს, რომ განსაზღვრების დომენის სიმეტრიული სიმრავლის არსებობა აუცილებელი პირობაა, მაგრამ არა საკმარისი.
– მაშ, როგორ შევისწავლოთ ფუნქცია პარიტეტისათვის? შევეცადოთ შევქმნათ ალგორითმი.

სლაიდი

პარიტეტის ფუნქციის შესწავლის ალგორითმი

1. დაადგინეთ არის თუ არა ფუნქციის განსაზღვრის დომენი სიმეტრიული. თუ არა, მაშინ ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი. თუ კი, მაშინ გადადით ალგორითმის მე-2 საფეხურზე.

2. დაწერეთ გამოთქმა ვ(–X).

3. შეადარე ვ(–X).და ვ(X):

• თუ ვ(–X).= ვ(X), მაშინ ფუნქცია ლუწია;
• თუ ვ(–X).= – ვ(X), მაშინ ფუნქცია კენტია;
• თუ ვ(–X) ≠ ვ(X) და ვ(–X) ≠ –ვ(X), მაშინ ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი.

მაგალითები:

გამოიკვლიეთ ფუნქცია ა) პარიტეტისათვის ზე= x 5 +; ბ) ზე= ; V) ზე= .

გამოსავალი.

ა) h(x) = x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), სიმეტრიული ნაკრები.

2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),

3) h(– x) = – h (x) => ფუნქცია h(x)= x 5 + კენტი.

ბ) y =,

ზე = ვ(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), ასიმეტრიული სიმრავლე, რაც ნიშნავს, რომ ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი.

V) ვ(X) = , y = f (x),

1) D( ვ) = (–∞; 3] ≠ ; ბ) (∞; –2), (–4; 4]?

ვარიანტი 2

1. არის თუ არა მოცემული სიმრავლე სიმეტრიული: ა) [–2;2]; ბ) (∞; 0], (0; 7) ?

ა); ბ) y = x (5 – x 2). 2. შეამოწმეთ ფუნქცია პარიტეტისათვის:

ა) y = x 2 (2x – x 3), ბ) y =

3. ნახ. აშენდა გრაფიკი ზე = ვ(X), ყველასთვის X, პირობის დაკმაყოფილება X? 0.
ფუნქციის გრაფიკის დახატვა ზე = ვ(X), თუ ზე = ვ(X) არის თანაბარი ფუნქცია.

3. ნახ. აშენდა გრაფიკი ზე = ვ(X), ყველა x-ისთვის, რომელიც აკმაყოფილებს x პირობას? 0.
ფუნქციის გრაფიკის დახატვა ზე = ვ(X), თუ ზე = ვ(X) არის უცნაური ფუნქცია.

ორმხრივი შემოწმება სლაიდი.

6. საშინაო დავალება: №11.11, 11.21,11.22;

პარიტეტული თვისების გეომეტრიული მნიშვნელობის დადასტურება.

***(ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ვარიანტის მინიჭება).

1. კენტი ფუნქცია y = f(x) განისაზღვრება მთელ რიცხვთა წრფეზე. x ცვლადის ნებისმიერი არაუარყოფითი მნიშვნელობისთვის, ამ ფუნქციის მნიშვნელობა ემთხვევა ფუნქციის g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X- 7). იპოვნეთ ფუნქციის მნიშვნელობა h( X) = ზე X = 3.

7. შეჯამება

ფუნქციის შესწავლა.

1) D(y) – განმარტების დომენი: x ცვლადის ყველა იმ მნიშვნელობის სიმრავლე. რომლისთვისაც ალგებრული გამონათქვამები f(x) და g(x) აზრი აქვს.

თუ ფუნქცია მოცემულია ფორმულით, მაშინ განსაზღვრების დომენი შედგება დამოუკიდებელი ცვლადის ყველა მნიშვნელობისაგან, რომლისთვისაც ფორმულა აზრი აქვს.

2) ფუნქციის თვისებები: ლუწი/კენტი, პერიოდულობა:

კენტიდა თუნდაცფუნქციებს უწოდებენ, რომელთა გრაფიკები სიმეტრიულია არგუმენტის ნიშნის ცვლილებების მიმართ.

უცნაური ფუნქცია- ფუნქცია, რომელიც ცვლის მნიშვნელობას საპირისპიროდ, როდესაც იცვლება დამოუკიდებელი ცვლადის ნიშანი (სიმეტრიული შედარებით კოორდინატების ცენტრთან).

თუნდაც ფუნქცია- ფუნქცია, რომელიც არ იცვლის თავის მნიშვნელობას დამოუკიდებელი ცვლადის ნიშნის ცვლილებისას (სიმეტრიული ორდინატთან მიმართებაში).

არც ლუწი და არც კენტი ფუნქცია (ზოგადი ფუნქცია)- ფუნქცია, რომელსაც არ აქვს სიმეტრია. ეს კატეგორია მოიცავს ფუნქციებს, რომლებიც არ მიეკუთვნება წინა 2 კატეგორიას.

ფუნქციებს, რომლებიც არ მიეკუთვნება ზემოთ ჩამოთვლილ რომელიმე კატეგორიას, ეწოდება არც ლუწი და არც კენტი(ან ზოგადი ფუნქციები).

უცნაური ფუნქციები

კენტი სიმძლავრე, სადაც არის თვითნებური მთელი რიცხვი.

ფუნქციებიც კი

ძალაც კი, სადაც არის თვითნებური მთელი რიცხვი.

პერიოდული ფუნქცია- ფუნქცია, რომელიც იმეორებს თავის მნიშვნელობებს გარკვეული რეგულარული არგუმენტის ინტერვალის შემდეგ, ანუ არ ცვლის მის მნიშვნელობას არგუმენტში რაიმე ფიქსირებული არანულოვანი რიცხვის დამატებისას ( პერიოდიფუნქციები) განსაზღვრების მთელ დომენზე.

3) ფუნქციის ნულები (ფესვები) არის ის წერტილები, სადაც ის ხდება ნული.

გრაფიკის ღერძთან გადაკვეთის წერტილის პოვნა ოი. ამისათვის თქვენ უნდა გამოთვალოთ ღირებულება ვ(0). იპოვეთ აგრეთვე გრაფიკის ღერძთან გადაკვეთის წერტილები ოქსირატომ იპოვნეთ განტოლების ფესვები ვ(x) = 0 (ან დარწმუნდით, რომ ფესვები არ არის).

წერტილებს, რომლებზეც გრაფიკი კვეთს ღერძს, ეწოდება ფუნქცია ნულები. ფუნქციის ნულების საპოვნელად საჭიროა განტოლების ამოხსნა, ანუ პოვნა ეს მნიშვნელობები "x", რომლის დროსაც ფუნქცია ხდება ნული.

4) ნიშნების, ნიშნების მუდმივობის ინტერვალები მათში.

ინტერვალები, სადაც ფუნქცია f(x) ინარჩუნებს ნიშანს.

ნიშნის მუდმივობის ინტერვალი არის ინტერვალი რომლის ყოველ წერტილშიფუნქცია დადებითი ან უარყოფითია.

x-ღერძის ზემოთ.

ღერძის ქვემოთ.

5) უწყვეტობა (შეწყვეტის წერტილები, შეუწყვეტლობის ბუნება, ასიმპტოტები).

უწყვეტი ფუნქცია- ფუნქცია "ნახტომების" გარეშე, ანუ ის, რომელშიც არგუმენტის მცირე ცვლილებები იწვევს ფუნქციის მნიშვნელობის მცირე ცვლილებებს.

მოსახსნელი შესვენების წერტილები

თუ ფუნქციის ლიმიტი არსებობს, მაგრამ ფუნქცია არ არის განსაზღვრული ამ ეტაპზე, ან ლიმიტი არ ემთხვევა ფუნქციის მნიშვნელობას ამ ეტაპზე:

,

მაშინ წერტილი ეწოდება მოსახსნელი შესვენების წერტილიფუნქციები (კომპლექსურ ანალიზში, მოსახსნელი სინგულარული წერტილი).

თუ ფუნქციას „გამოვასწორებთ“ მოხსნადი შეწყვეტის წერტილში და დავაყენებთ , მაშინ მივიღებთ ფუნქციას, რომელიც მოცემულ წერტილში უწყვეტია. ფუნქციაზე ასეთი ოპერაცია ე.წ ფუნქციის გაფართოება უწყვეტამდეან ფუნქციის ხელახალი განსაზღვრა უწყვეტობის მიხედვით, რომელიც ამართლებს წერტილის დასახელებას პუნქტად მოსახსნელირღვევა.

პირველი და მეორე სახის შეწყვეტის წერტილები

თუ ფუნქციას აქვს უწყვეტობა მოცემულ წერტილში (ანუ, ფუნქციის ზღვარი მოცემულ წერტილში არ არის ან არ ემთხვევა მოცემულ წერტილში ფუნქციის მნიშვნელობას), მაშინ რიცხვითი ფუნქციებისთვის არის ორი შესაძლო ვარიანტი. ასოცირდება რიცხვითი ფუნქციების არსებობასთან ცალმხრივი საზღვრები:

თუ ორივე ცალმხრივი ზღვარი არსებობს და სასრულია, მაშინ ასეთ წერტილს უწოდებენ პირველი ტიპის შეწყვეტის წერტილი.

მოხსნადი შეწყვეტის წერტილები არის პირველი სახის შეწყვეტის წერტილები; თუ ცალმხრივი ზღვრებიდან ერთი მაინც არ არსებობს ან არ არის სასრული მნიშვნელობა, მაშინ ასეთი წერტილი ე.წ..

მეორე სახის შეწყვეტის წერტილი - ასიმპტოტისწორი , რომელსაც აქვს თვისება, რომ მანძილი მრუდის წერტილიდან აქამდეპირდაპირი

ვერტიკალური

ვერტიკალური ასიმპტოტი - ლიმიტის ხაზი .

როგორც წესი, ვერტიკალური ასიმპტოტის განსაზღვრისას ისინი ეძებენ არა ერთ ზღვარს, არამედ ორ ცალმხრივს (მარცხნივ და მარჯვნივ). ეს კეთდება იმისთვის, რომ დადგინდეს, თუ როგორ იქცევა ფუნქცია, როდესაც ის უახლოვდება ვერტიკალურ ასიმპტოტს სხვადასხვა მიმართულებით. მაგალითად:

ჰორიზონტალური

ჰორიზონტალური ასიმპტოტი - ასიმპტოტისახეობა, ექვემდებარება არსებობას ლიმიტი

.

დახრილი

ირიბი ასიმპტოტა - ასიმპტოტისახეობა, ექვემდებარება არსებობას საზღვრები

შენიშვნა: ფუნქციას შეიძლება ჰქონდეს არაუმეტეს ორი ირიბი (ჰორიზონტალური) ასიმპტოტი.

შენიშვნა: თუ ზემოთ ნახსენები ორი ლიმიტიდან ერთი მაინც არ არსებობს (ან უდრის ), მაშინ ირიბი ასიმპტოტი at (ან )-ზე არ არსებობს.

თუ პუნქტში 2.), მაშინ, და ლიმიტი ნაპოვნია ჰორიზონტალური ასიმპტოტის ფორმულის გამოყენებით, .

6) მონოტონურობის ინტერვალების მოძიება.იპოვეთ ფუნქციის ერთფეროვნების ინტერვალები ვ(x)(ანუ გაზრდისა და კლების ინტერვალები). ეს ხდება წარმოებულის ნიშნის შესწავლით ვ(x). ამისათვის იპოვნეთ წარმოებული ვ(x) და ამოხსენით უტოლობა ვ(x) 0. იმ ინტერვალებზე, სადაც ეს უტოლობა მოქმედებს, ფუნქცია ვ(x) იზრდება. სადაც საპირისპირო უტოლობა მოქმედებს ვ(x)0, ფუნქცია ვ(x) მცირდება.

ადგილობრივი ექსტრემის პოვნა.მონოტონურობის ინტერვალების აღმოჩენის შემდეგ, ჩვენ შეგვიძლია დაუყოვნებლივ განვსაზღვროთ ადგილობრივი ექსტრემალური წერტილები, სადაც მატება იცვლება შემცირებით, განლაგებულია ადგილობრივი მაქსიმუმები და სადაც შემცირება იცვლება ზრდით, ლოკალური მინიმალური. გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობა ამ წერტილებში. თუ ფუნქციას აქვს კრიტიკული წერტილები, რომლებიც არ არის ლოკალური ექსტრემალური წერტილები, მაშინ სასარგებლოა ფუნქციის მნიშვნელობის გამოთვლა ამ წერტილებშიც.

ყველაზე დიდის პოვნა და ყველაზე დაბალი ღირებულებებიფუნქციები y = f(x) ინტერვალზე(გაგრძელება)

1. იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული: ვ(x). 2. იპოვეთ წერტილები, რომლებშიც წარმოებული არის ნული: ვ(x)=0x 1, x 2 ,... 3. განსაზღვრეთ პუნქტების კუთვნილება X 1 ,X 2 , … სეგმენტი [ ა; ბ]: ნება x 1ა;ბ, ა x 2ა;ბ . 4. იპოვეთ ფუნქციის მნიშვნელობები არჩეულ წერტილებში და სეგმენტის ბოლოებში: ვ(x 1), ვ(x 2),..., ვ(x ა),ვ(x ბ), 5. ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების არჩევა ნაპოვნიდან. კომენტარი. თუ სეგმენტზე [ ა; ბ] არის შეწყვეტის წერტილები, მაშინ აუცილებელია მათზე ცალმხრივი ლიმიტების გამოთვლა და შემდეგ მათი მნიშვნელობების გათვალისწინება ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების არჩევისას.

7) ამოზნექილისა და ჩაზნექის ინტერვალების მოძიება. ეს ხდება მეორე წარმოებულის ნიშნის შესწავლით ვ(x). იპოვეთ დახრის წერტილები ამოზნექილი და ჩაზნექილი ინტერვალების შეერთებებზე. გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობა გადახრის წერტილებში. თუ ფუნქციას აქვს უწყვეტობის სხვა წერტილები (გარდა გადახრის წერტილებისა), რომლებშიც მეორე წარმოებული არის 0 ან არ არსებობს, მაშინ ასევე სასარგებლოა ამ წერტილებში ფუნქციის მნიშვნელობის გამოთვლა. რომელმაც იპოვა ვ(x), ვხსნით უტოლობას ვ(x) 0. ამოხსნის თითოეულ ინტერვალზე ფუნქცია იქნება ამოზნექილი ქვევით. შებრუნებული უტოლობის ამოხსნა ვ(x)0, ვპოულობთ ინტერვალებს, რომლებზედაც ფუნქცია ამოზნექილია ზემოთ (ანუ ჩაზნექილი). ჩვენ განვსაზღვრავთ დახრის წერტილებს, როგორც იმ წერტილებს, რომლებშიც ფუნქცია იცვლის ამოზნექის მიმართულებას (და უწყვეტია).

ფუნქციის დახრის წერტილი- ეს ის წერტილია, სადაც ფუნქცია უწყვეტია და გავლისას ფუნქცია ცვლის ამოზნექის მიმართულებას.

არსებობის პირობები

გადახრის წერტილის არსებობის აუცილებელი პირობა:თუ ფუნქცია ორჯერ დიფერენცირებადია წერტილის რომელიმე პუნქციურ მიმდებარე ტერიტორიაზე, მაშინ ან .

. ამისათვის გამოიყენეთ გრაფიკული ქაღალდი ან გრაფიკული კალკულატორი. აირჩიეთ ნებისმიერი რაოდენობის დამოუკიდებელი ცვლადი მნიშვნელობები x (\displaystyle x)და შეაერთეთ ისინი ფუნქციაში დამოკიდებული ცვლადის მნიშვნელობების გამოსათვლელად y (\displaystyle y). დახაზეთ წერტილების ნაპოვნი კოორდინატები საკოორდინაციო თვითმფრინავიდა შემდეგ დააკავშირეთ ეს წერტილები ფუნქციის გრაფიკისთვის.

• ჩაანაცვლეთ დადებითიები ფუნქციაში რიცხვითი მნიშვნელობები x (\displaystyle x)და შესაბამისი უარყოფითი რიცხვითი მნიშვნელობები. მაგალითად, ფუნქციის გათვალისწინებით f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1). ჩაანაცვლეთ მასში შემდეგი მნიშვნელობები x (\displaystyle x):

შეამოწმეთ არის თუ არა ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიული Y ღერძის მიმართ.სიმეტრია ნიშნავს გრაფიკის სარკის სურათს ორდინატთან მიმართებაში. თუ გრაფიკის ნაწილი Y ღერძის მარჯვნივ (დამოუკიდებელი ცვლადის დადებითი მნიშვნელობები) იგივეა, რაც გრაფიკის ნაწილი Y ღერძის მარცხნივ (დამოუკიდებელი ცვლადის უარყოფითი მნიშვნელობები ), გრაფიკი სიმეტრიულია Y ღერძის მიმართ, თუ ფუნქცია სიმეტრიულია y ღერძის მიმართ, ფუნქცია ლუწია.

შეამოწმეთ არის თუ არა ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიული წარმოშობის მიმართ.საწყისი არის წერტილი კოორდინატებით (0,0). წარმოშობის სიმეტრია ნიშნავს პოზიტიურ მნიშვნელობას y (\displaystyle y)(დადებითი მნიშვნელობით x (\displaystyle x)) შეესაბამება უარყოფით მნიშვნელობას y (\displaystyle y)(უარყოფითი მნიშვნელობით x (\displaystyle x)), და პირიქით. უცნაური ფუნქციებიაქვს სიმეტრია წარმოშობის შესახებ.

შეამოწმეთ აქვს თუ არა ფუნქციის გრაფიკს რაიმე სიმეტრია.ფუნქციის ბოლო ტიპი არის ფუნქცია, რომლის გრაფიკს არ აქვს სიმეტრია, ანუ არ არის სარკისებური გამოსახულება როგორც ორდინატებთან, ასევე საწყისთან მიმართებაში. მაგალითად, ფუნქციის გათვალისწინებით.

• ჩაანაცვლეთ რამდენიმე დადებითი და შესაბამისი უარყოფითი მნიშვნელობა ფუნქციაში x (\displaystyle x):
• მიღებული შედეგების მიხედვით, სიმეტრია არ არის. ღირებულებები y (\displaystyle y)საპირისპირო მნიშვნელობებისთვის x (\displaystyle x)არ ემთხვევა და არ არის საპირისპირო. ამრიგად, ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი.
• გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ფუნქცია f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1)შეიძლება დაიწეროს ასე: f (x) = (x + 1) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)). ამ ფორმით დაწერისას ფუნქცია ჩნდება თუნდაც იმიტომ, რომ არსებობს ლუწი მაჩვენებლები. მაგრამ ეს მაგალითი ადასტურებს, რომ ფუნქციის ტიპის სწრაფად დადგენა შეუძლებელია, თუ დამოუკიდებელი ცვლადი ჩასმულია ფრჩხილებში. ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა გახსნათ ფრჩხილები და გააანალიზოთ მიღებული მაჩვენებლები.