წარმოებული ფორმულის წარმოშობა დენის ფუნქცია(x ა-ს ხარისხზე). განიხილება წარმოებულები x-ის ფესვებიდან. სიმძლავრის ფუნქციის წარმოებულის ფორმულა უმაღლესი წესრიგი. წარმოებულების გამოთვლის მაგალითები.

შინაარსი

აგრეთვე იხილეთ: სიმძლავრის ფუნქცია და ფესვები, ფორმულები და გრაფიკი
დენის ფუნქციის გრაფიკები

ძირითადი ფორმულები

x-ის წარმოებული a-ს ხარისხზე ტოლია x-ის ხარისხზე მინუს ერთი:
(1) .

x-ის n-ე ფესვის წარმოებული mth ხარისხთან არის:
(2) .

სიმძლავრის ფუნქციის წარმოებულის ფორმულის წარმოშობა

შემთხვევა x > 0

განვიხილოთ x ცვლადის სიმძლავრის ფუნქცია a მაჩვენებლით:
(3) .
აქ a არის თვითნებური რეალური რიცხვი. ჯერ საქმე განვიხილოთ.

(3) ფუნქციის წარმოებულის საპოვნელად ვიყენებთ სიმძლავრის ფუნქციის თვისებებს და გარდაქმნით მას შემდეგ ფორმაში:
.

ახლა ჩვენ ვიპოვით წარმოებულს გამოყენებით:
;
.
აქ .

ფორმულა (1) დადასტურებულია.

x-ის n ხარისხის ფესვის წარმოებულის ფორმულის წარმოშობა m ხარისხამდე

ახლა განიხილეთ ფუნქცია, რომელიც არის შემდეგი ფორმის ფესვი:
(4) .

წარმოებულის საპოვნელად, ფესვს ვაქცევთ ძალაუფლების ფუნქციად:
.
(3) ფორმულასთან შედარება ჩვენ ვხედავთ, რომ
.
მერე
.

ფორმულის გამოყენებით (1) ვიპოვით წარმოებულს:
(1) ;
;
(2) .

პრაქტიკაში არ არის საჭირო ფორმულის დამახსოვრება (2). ბევრად უფრო მოსახერხებელია ჯერ ფესვების გადაქცევა ძალაუფლების ფუნქციებად, შემდეგ კი მათი წარმოებულების პოვნა ფორმულის გამოყენებით (1) (იხილეთ მაგალითები გვერდის ბოლოს).

შემთხვევა x = 0

თუ , მაშინ სიმძლავრის ფუნქცია განისაზღვრება x = ცვლადის მნიშვნელობისთვის 0 . 0 ვიპოვოთ (3) ფუნქციის წარმოებული x =-ზე
.

. 0 :
.
ამისათვის ჩვენ ვიყენებთ წარმოებულის განმარტებას:

ჩავანაცვლოთ x =
.
ამ შემთხვევაში წარმოებულში ვგულისხმობთ მარჯვენა ზღვარს, რომლისთვისაც .
ასე რომ, ჩვენ აღმოვაჩინეთ:
ასე რომ, ჩვენ აღმოვაჩინეთ:
აქედან ირკვევა, რომ , .
(1) .
ზე, . 0 .

ეს შედეგი ასევე მიღებულია ფორმულიდან (1):< 0

ამიტომ, ფორმულა (1) ასევე მოქმედებს x =-ისთვის
(3) .
შემთხვევა x
,
კიდევ ერთხელ განვიხილოთ ფუნქცია (3):

a მუდმივის გარკვეული მნიშვნელობებისთვის ის ასევე განისაზღვრება x ცვლადის უარყოფითი მნიშვნელობებისთვის. 3 კერძოდ, დაე იყოს რაციონალური რიცხვი. მაშინ ის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც შეუქცევადი წილადი: 1 სადაც m და n არის მთელი რიცხვები, რომლებსაც არ აქვთ საერთო გამყოფი.
.
თუ n კენტია, მაშინ ძალაუფლების ფუნქცია ასევე განისაზღვრება x ცვლადის უარყოფითი მნიშვნელობებისთვის.

მაგალითად, როდესაც n =
.
და m =
.
წარმოებულს ვპოულობთ წარმოებულის ნიშნის გარეთ მუდმივის მოთავსებით და რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესის გამოყენებით:

.
აქ . მაგრამ
.
მას შემდეგ
.
მერე
.
ანუ, ფორმულა (1) ასევე მოქმედებს:
(1) .

უმაღლესი რიგის წარმოებულები

ახლა ვიპოვოთ სიმძლავრის ფუნქციის უმაღლესი რიგის წარმოებულები
(3) .
ჩვენ უკვე ვიპოვეთ პირველი რიგის წარმოებული:
.

წარმოებულის ნიშნის გარეთ a მუდმივის აღებით, ჩვენ ვპოულობთ მეორე რიგის წარმოებულს:
.
ანალოგიურად, ჩვენ ვპოულობთ მესამე და მეოთხე რიგის წარმოებულებს:
;

.

აქედან ირკვევა, რომ თვითნებური n-ე რიგის წარმოებულიაქვს შემდეგი ფორმა:
.

გაითვალისწინეთ რომ თუ a ნატურალური რიცხვია, მაშინ n-ე წარმოებული მუდმივია:
.
მაშინ ყველა მომდევნო წარმოებული ტოლია ნულის:
,
ზე.

წარმოებულების გამოთვლის მაგალითები

მაგალითი

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული:
.

მოდით გადავიყვანოთ ფესვები ძლიერებად:
;
.
შემდეგ ორიგინალური ფუნქცია იღებს ფორმას:
.

ძალაუფლების წარმოებულების პოვნა:
;
.
მუდმივის წარმოებული არის ნული:
.

თემის შესწავლისას მოხერხებულობისა და სიცხადისთვის წარმოგიდგენთ შემაჯამებელ ცხრილს.

მუდმივიy = C სიმძლავრის ფუნქცია y = x p (x p) " = p x p - 1	ექსპონენციალური ფუნქციაy = ცული (a x) " = a x ln a კერძოდ, როცაa = eგვაქვს y = e x (e x) " = e x
ლოგარითმული ფუნქცია (log a x) " = 1 x ln a კერძოდ, როცაa = eგვაქვს y = logx (ln x) " = 1 x	ტრიგონომეტრიული ფუნქციები (sin x) " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x
შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები (a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2	ჰიპერბოლური ფუნქციები (s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

მოდით გავაანალიზოთ, თუ როგორ იქნა მიღებული მითითებული ცხრილის ფორმულები ან, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, დავამტკიცოთ წარმოებული ფორმულების წარმოშობა თითოეული ტიპის ფუნქციისთვის.

მუდმივის წარმოებული

მტკიცებულება 1

ამ ფორმულის გამოსაყვანად საფუძვლად ვიღებთ ფუნქციის წარმოებულის განმარტებას წერტილში. ჩვენ ვიყენებთ x 0 = x, სადაც xიღებს ნებისმიერი რეალური რიცხვის მნიშვნელობას, ან სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, xარის ნებისმიერი რიცხვი f (x) = C ფუნქციის დომენიდან. ჩავწეროთ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი არგუმენტის ზრდასთან, როგორც ∆ x → 0:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

გთხოვთ, გაითვალისწინოთ, რომ გამონათქვამი 0 ∆ x მიეკუთვნება ზღვრულ ნიშანს. ეს არ არის გაურკვევლობა „ნული გაყოფილი ნულზე“, რადგან მრიცხველი არ შეიცავს უსასრულოდ მცირე მნიშვნელობას, არამედ ზუსტად ნულს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მუდმივი ფუნქციის ზრდა ყოველთვის ნულის ტოლია.

ასე რომ, f (x) = C მუდმივი ფუნქციის წარმოებული ნულის ტოლია განსაზღვრების მთელ დომენში.

მაგალითი 1

მოცემულია მუდმივი ფუნქციები:

f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4. 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

გამოსავალი

მოდით აღვწეროთ მოცემული პირობები. პირველ ფუნქციაში ვხედავთ ნატურალური რიცხვის 3-ის წარმოებულს. შემდეგ მაგალითში თქვენ უნდა აიღოთ წარმოებული ა, სად ა- ნებისმიერი რეალური ნომერი. მესამე მაგალითი გვაძლევს ირაციონალური რიცხვის 4-ის წარმოებულს. 13 7 22, მეოთხე არის ნულის წარმოებული (ნული არის მთელი რიცხვი). საბოლოოდ, მეხუთე შემთხვევაში გვაქვს წარმოებული რაციონალური წილადი - 8 7 .

პასუხი:მოცემული ფუნქციების წარმოებულები ნულოვანია ნებისმიერი რეალურისთვის x(მთელი განსაზღვრის არეალში)

f 1 "(x) = (3) " = 0, f 2" (x) = (a)" = 0, a ∈ R, f 3" (x) = 4. 13 7 22" = 0, f 4 " (x) = 0" = 0, f 5" (x) = - 8 7" = 0

სიმძლავრის ფუნქციის წარმოებული

გადავიდეთ სიმძლავრის ფუნქციაზე და მისი წარმოებულის ფორმულაზე, რომელსაც აქვს ფორმა: (x p) " = p x p - 1, სადაც მაჩვენებელი გვარის ნებისმიერი რეალური რიცხვი.

მტკიცებულება 2

მოდით მივცეთ ფორმულის დადასტურება, როდესაც მაჩვენებელი არის ბუნებრივი რიცხვი: p = 1, 2, 3,…

ჩვენ კვლავ ვეყრდნობით წარმოებულის განმარტებას. მოდით დავწეროთ სიმძლავრის ფუნქციის გაზრდის შეფარდების ზღვარი არგუმენტის ზრდასთან:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

მრიცხველში გამოთქმის გასამარტივებლად ვიყენებთ ნიუტონის ბინომიურ ფორმულას:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p - x p = = C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) გვ

ამრიგად:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (. C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + . 1 + 0 + 0 = p (p - 1) !

ამრიგად, ჩვენ დავამტკიცეთ ფორმულა სიმძლავრის ფუნქციის წარმოებულისთვის, როდესაც მაჩვენებელი ნატურალური რიცხვია.

მტკიცებულება 3

წარმოადგინოს მტკიცებულება იმ შემთხვევისთვის, როცა p-ნებისმიერი რეალური რიცხვი, გარდა ნულისა, ვიყენებთ ლოგარითმულ წარმოებულს (აქ უნდა გავიგოთ განსხვავება წარმოებულისგან ლოგარითმული ფუნქცია). უფრო სრულყოფილი გაგებისთვის მიზანშეწონილია ლოგარითმული ფუნქციის წარმოებულის შესწავლა და იმპლიციტური ფუნქციის წარმოებულის და წარმოებულის შემდგომი გაგება. რთული ფუნქცია.

განვიხილოთ ორი შემთხვევა: როდის xდადებითი და როდის xუარყოფითი.

ასე რომ x > 0. შემდეგ: x p > 0 . მოდით გამოვყოთ y = x p ტოლობის ლოგარითმი e საფუძველზე და გამოვიყენოთ ლოგარითმის თვისება:

y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x

ამ ეტაპზე ჩვენ მივიღეთ იმპლიციტურად განსაზღვრული ფუნქცია. მოდით განვსაზღვროთ მისი წარმოებული:

(ln y) " = (p · ln x) 1 y · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1

ახლა განვიხილავთ შემთხვევას, როდესაც x -უარყოფითი რიცხვი.

თუ მაჩვენებელი გვარის ლუწი რიცხვი, მაშინ სიმძლავრის ფუნქცია განისაზღვრება x-ისთვის< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

შემდეგ x გვ< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

თუ გვარის კენტი რიცხვი, მაშინ სიმძლავრის ფუნქცია განისაზღვრება x-ისთვის< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y " (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p x p - 1

ბოლო გადასვლა შესაძლებელია იმის გამო, რომ თუ გვკენტი რიცხვია, მაშინ გვ - 1ან ლუწი რიცხვი ან ნული (p = 1-ისთვის), შესაბამისად, უარყოფითისთვის xტოლობა (- x) p - 1 = x p - 1 მართალია.

ასე რომ, ჩვენ დავამტკიცეთ ფორმულა სიმძლავრის ფუნქციის წარმოებულისთვის ნებისმიერი რეალური p.

მაგალითი 2

მოცემული ფუნქციები:

f 1 (x) = 1 x 2 3, f 2 (x) = x 2 - 1 4, f 3 (x) = 1 x log 7 12

განსაზღვრეთ მათი წარმოებულები.

გამოსავალი

ჩვენ ვაქცევთ ზოგიერთ მოცემულ ფუნქციას ცხრილის სახით y = x p , ხარისხის თვისებების საფუძველზე და შემდეგ ვიყენებთ ფორმულას:

f 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1" (x) = - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2" (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3" ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული

მტკიცებულება 4

მოდით გამოვიტანოთ წარმოებული ფორმულა განმარტების საფუძველზე:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

გაურკვევლობა მივიღეთ. მის გასადიდებლად დავწეროთ ახალი ცვლადი z = a ∆ x - 1 (z → 0 როგორც ∆ x → 0). ამ შემთხვევაში, a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . ბოლო გადასვლისთვის გამოყენებული იქნა ახალ ლოგარითმის ბაზაზე გადასვლის ფორმულა.

მოდით შევცვალოთ ორიგინალური ლიმიტი:

(a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

გავიხსენოთ მეორე მნიშვნელოვანი ზღვარი და შემდეგ მივიღოთ ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებულის ფორმულა:

(a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a

მაგალითი 3

ექსპონენციალური ფუნქციები მოცემულია:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

აუცილებელია მათი წარმოებულების პოვნა.

გამოსავალი

ჩვენ ვიყენებთ ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებულის ფორმულას და ლოგარითმის თვისებებს:

f 1 "(x) = 2 3 x" = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2" (x) = 5 3 x" = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 " (x) = 1 (e) x " = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

ლოგარითმული ფუნქციის წარმოებული

მტკიცებულება 5

მოდით დავამტკიცოთ ნებისმიერი ლოგარითმული ფუნქციის წარმოებულის ფორმულა xგანმარტების სფეროში და ლოგარითმის a ფუძის ნებისმიერი დასაშვები მნიშვნელობა. წარმოებულის განმარტებიდან გამომდინარე, ვიღებთ:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a

ტოლობების მითითებული ჯაჭვიდან ირკვევა, რომ გარდაქმნები ეფუძნებოდა ლოგარითმის თვისებას. ტოლობის ლიმი ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e მართალია მეორე საყურადღებო ლიმიტის შესაბამისად.

მაგალითი 4

მოცემულია ლოგარითმული ფუნქციები:

f 1 (x) = log ln 3 x , f 2 (x) = ln x

აუცილებელია მათი წარმოებულების გამოთვლა.

გამოსავალი

გამოვიყენოთ მიღებული ფორმულა:

f 1 "(x) = (log ln 3 x) " = 1 x · ln (ln 3); f 2 "(x) = (ln x)" = 1 x ln e = 1 x

ამრიგად, ბუნებრივი ლოგარითმის წარმოებული არის ერთი გაყოფილი x.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების წარმოებულები

მტკიცებულება 6

მოდით გამოვიყენოთ რამდენიმე ტრიგონომეტრიული ფორმულებიდა პირველი მნიშვნელოვანი ზღვარი ტრიგონომეტრიული ფუნქციის წარმოებულის ფორმულის გამოსაყვანად.

სინუსური ფუნქციის წარმოებულის განმარტების მიხედვით ვიღებთ:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

სინუსების განსხვავების ფორმულა საშუალებას მოგვცემს შევასრულოთ შემდეგი მოქმედებები:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

და ბოლოს, ჩვენ ვიყენებთ პირველ შესანიშნავ ლიმიტს:

sin " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

ასე რომ, ფუნქციის წარმოებული ცოდვა xნება cos x.

ჩვენ ასევე დავამტკიცებთ კოსინუსის წარმოებულის ფორმულას:

cos " x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

იმათ. cos x ფუნქციის წარმოებული იქნება – ცოდვა x.

ჩვენ გამოვიყვანთ ტანგენტისა და კოტანგენსის წარმოებულების ფორმულებს დიფერენცირების წესების საფუძველზე:

t g " x = sin x cos x " = sin " x · cos x - sin x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - ცოდ x · (- sin x) cos 2 x = ცოდვა 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · sin x - cos x · sin " x sin 2 x = = - sin x · sin x - cos x · cos x ცოდვა 2 x = - ცოდვა 2 x + cos 2 x ცოდვა 2 x = - 1 ცოდვა 2 x

შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების წარმოებულები

წარმოებული განყოფილება შებრუნებული ფუნქციებიგთავაზობთ ყოვლისმომცველ ინფორმაციას არქსინის, არკოზინის, არქტანგენტისა და არკოტანგენტის წარმოებულების ფორმულების დადასტურების შესახებ, ამიტომ ჩვენ აქ არ გავამეორებთ მასალას.

ჰიპერბოლური ფუნქციების წარმოებულები

მტკიცებულება 7

ჩვენ შეგვიძლია გამოვიტანოთ ჰიპერბოლური სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის წარმოებულების ფორმულები დიფერენციაციის წესისა და ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებულის ფორმულის გამოყენებით:

s h " x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h " x = e x + e - x 2 " = 1 2 e x " + e - x " = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h " x = s h x c h x " = s h " x · c h x - s h x · c h " x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s - h 2 x 2 x =

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

რთული წარმოებულები. ლოგარითმული წარმოებული.
სიმძლავრე-ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული

ჩვენ ვაგრძელებთ დიფერენცირების ტექნიკის გაუმჯობესებას. ამ გაკვეთილზე ჩვენ გავაერთიანებთ ჩვენს მიერ განხილულ მასალას, გადავხედავთ უფრო რთულ წარმოებულებს და ასევე გავეცნობით წარმოებულის პოვნის ახალ ტექნიკას და ხრიკებს, კერძოდ, ლოგარითმული წარმოებულის.

იმ მკითხველებმა, რომლებსაც აქვთ დაბალი დონის მომზადება, უნდა მიმართონ სტატიას როგორ მოვძებნოთ წარმოებული? გადაწყვეტილებების მაგალითები, რაც საშუალებას მოგცემთ ამაღლოთ თქვენი უნარები თითქმის ნულიდან. შემდეგი, თქვენ უნდა ყურადღებით შეისწავლოთ გვერდი რთული ფუნქციის წარმოებული, გაგება და ამოხსნა ყველაჩემს მიერ მოყვანილი მაგალითები. ეს გაკვეთილი ლოგიკურად მესამეა ზედიზედ და მისი დაუფლების შემდეგ თქვენ თავდაჯერებულად განასხვავებთ საკმაოდ რთულ ფუნქციებს. არასასურველია პოზიციის დაკავება „სხვაგან სად? დიახ, ეს საკმარისია ”, რადგან ყველა მაგალითი და გამოსავალი აღებულია რეალურიდან ტესტებიდა ხშირად გვხვდება პრაქტიკაში.

დავიწყოთ გამეორებით. კლასში რთული ფუნქციის წარმოებულიჩვენ გადავხედეთ რამდენიმე მაგალითს დეტალური კომენტარებით. დიფერენციალური გამოთვლების და მათემატიკური ანალიზის სხვა დარგების შესწავლისას, თქვენ მოგიწევთ ძალიან ხშირად დიფერენცირება და ყოველთვის არ არის მოსახერხებელი (და არა ყოველთვის აუცილებელი) მაგალითების დეტალურად აღწერა. ამიტომ, ჩვენ ვივარჯიშებთ წარმოებულების მოძიებაში ზეპირად. ამისათვის ყველაზე შესაფერისი „კანდიდატები“ არის უმარტივესი რთული ფუნქციების წარმოებულები, მაგალითად:

რთული ფუნქციების დიფერენცირების წესის მიხედვით :

სამომავლოდ სხვა მატანის თემების შესწავლისას, ასეთი დეტალური ჩანაწერი ყველაზე ხშირად არ არის საჭირო, ვარაუდობენ, რომ სტუდენტმა იცის როგორ მოიძიოს ასეთი წარმოებულები ავტოპილოტზე. წარმოვიდგინოთ, რომ დილის 3 საათზე ტელეფონმა დარეკა და სასიამოვნო ხმამ იკითხა: "რა არის ორი X-ის ტანგენტის წარმოებული?" ამას უნდა მოჰყვეს თითქმის მყისიერი და თავაზიანი პასუხი: .

პირველი მაგალითი დაუყოვნებლივ იქნება განკუთვნილი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის.

მაგალითი 1

იპოვეთ შემდეგი წარმოებულები ზეპირად, ერთ მოქმედებაში, მაგალითად: . დავალების შესასრულებლად საჭიროა მხოლოდ გამოიყენოთ ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულების ცხრილი(თუ ჯერ არ გახსოვთ). თუ რაიმე სირთულე გაქვთ, გირჩევთ გაკვეთილის ხელახლა წაკითხვას რთული ფუნქციის წარმოებული.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

პასუხები გაკვეთილის ბოლოს

რთული წარმოებულები

წინასწარი საარტილერიო მომზადების შემდეგ, ფუნქციების 3-4-5 ბუდეების მქონე მაგალითები ნაკლებად საშინელი იქნება. შემდეგი ორი მაგალითი შეიძლება ზოგს რთულად მოეჩვენოს, მაგრამ თუ მათ გესმით (ვიღაც დაზარალდება), მაშინ დიფერენციალურ გამოთვლებში თითქმის ყველაფერი ბავშვის ხუმრობად მოგეჩვენებათ.

მაგალითი 2

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

როგორც უკვე აღვნიშნეთ, რთული ფუნქციის წარმოებულის პოვნისას, პირველ რიგში, აუცილებელია უფლებაგაიგე შენი ინვესტიციები. იმ შემთხვევებში, როდესაც არსებობს ეჭვები, შეგახსენებთ სასარგებლო ტექნიკას: ჩვენ ვიღებთ მაგალითად "x"-ის ექსპერიმენტულ მნიშვნელობას და ვცდილობთ (გონებრივად ან მონახაზში) ჩავანაცვლოთ ეს მნიშვნელობა "საშინელი გამოხატულებით".

1) ჯერ უნდა გამოვთვალოთ გამოხატულება, რაც ნიშნავს, რომ ჯამი არის ყველაზე ღრმა ჩადგმა.

2) შემდეგ თქვენ უნდა გამოთვალოთ ლოგარითმი:

4) შემდეგ კუბური კოსინუსი:

5) მეხუთე საფეხურზე განსხვავება:

6) და ბოლოს, ყველაზე გარეგანი ფუნქციაა კვადრატული ფესვი:

რთული ფუნქციის დიფერენცირების ფორმულა გამოყენებული იქნება საპირისპირო მიზნით, ყველაზე გარე ფუნქციიდან შინაგანამდე. ჩვენ ვწყვეტთ:

როგორც ჩანს, შეცდომები არ არის...

(1) აიღეთ კვადრატული ფესვის წარმოებული.

(2) ჩვენ ვიღებთ სხვაობის წარმოებულს წესის გამოყენებით

(3) სამეულის წარმოებული არის ნული. მეორე წევრში ვიღებთ ხარისხის წარმოებულს (კუბი).

(4) აიღეთ კოსინუსის წარმოებული.

(5) აიღეთ ლოგარითმის წარმოებული.

(6) და ბოლოს, ჩვენ ვიღებთ ყველაზე ღრმა ჩანერგვის წარმოებულს.

შეიძლება ძალიან რთული ჩანდეს, მაგრამ ეს არ არის ყველაზე სასტიკი მაგალითი. აიღეთ, მაგალითად, კუზნეცოვის კოლექცია და თქვენ დააფასებთ გაანალიზებული წარმოებულის მთელ სილამაზეს და სიმარტივეს. შევამჩნიე, რომ მოსწონთ გამოცდაზე მსგავსი რამის მიცემა, რათა შეამოწმონ, ესმის თუ არა სტუდენტს რთული ფუნქციის წარმოებულის პოვნა თუ არ ესმის.

შემდეგი მაგალითი არის თქვენთვის მოსაგვარებელი.

მაგალითი 3

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

მინიშნება: პირველ რიგში ვიყენებთ წრფივობის წესებს და პროდუქტის დიფერენციაციის წესს

სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

დროა გადავიდეთ უფრო პატარა და ლამაზზე.
იშვიათი არაა, მაგალითად, აჩვენოს არა ორი, არამედ სამი ფუნქციის ნამრავლი. როგორ მოვძებნოთ სამი ფაქტორის პროდუქტის წარმოებული?

მაგალითი 4

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

ჯერ ვნახოთ, შესაძლებელია თუ არა სამი ფუნქციის ნამრავლის გადაქცევა ორი ფუნქციის ნამრავლად? მაგალითად, თუ ჩვენ გვქონდა ორი მრავალწევრი ნამრავლში, შეგვიძლია გავხსნათ ფრჩხილები. მაგრამ განსახილველ მაგალითში ყველა ფუნქცია განსხვავებულია: ხარისხი, მაჩვენებელი და ლოგარითმი.

ასეთ შემთხვევებში აუცილებელია თანმიმდევრობითგამოიყენეთ პროდუქტის დიფერენციაციის წესი ორჯერ

ხრიკი ისაა, რომ „y“-ით აღვნიშნავთ ორი ფუნქციის ნამრავლს: , ხოლო „ve“-ით აღვნიშნავთ ლოგარითმს: . რატომ შეიძლება ამის გაკეთება? მართლა – ეს არ არის ორი ფაქტორის პროდუქტი და წესი არ მუშაობს?! არაფერია რთული:

ახლა რჩება წესის მეორედ გამოყენება ფრჩხილებში:

ასევე შეგიძლიათ დატრიალდეთ და ფრჩხილებიდან რაღაც ამოიღოთ, მაგრამ ამ შემთხვევაში ჯობია პასუხი ზუსტად ამ ფორმით დატოვოთ - უფრო ადვილი იქნება შემოწმება.

განხილული მაგალითი შეიძლება გადაწყდეს მეორე გზით:

ორივე გამოსავალი აბსოლუტურად ექვივალენტურია.

მაგალითი 5

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

ეს არის მაგალითი დამოუკიდებელი გადაწყვეტის ნიმუშში, რომელიც მოგვარებულია პირველი მეთოდის გამოყენებით.

მოდით შევხედოთ მსგავს მაგალითებს წილადებით.

მაგალითი 6

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

რამდენიმე გზა შეგიძლიათ აქ წასვლა:

ან ასე:

მაგრამ ამოხსნა უფრო კომპაქტურად დაიწერება, თუ ჯერ გამოვიყენებთ კოეფიციენტის დიფერენციაციის წესს მთელი მრიცხველის აღებით:

პრინციპში, მაგალითი მოგვარებულია და თუ დარჩა ისე, როგორც არის, შეცდომა არ იქნება. მაგრამ თუ დრო გაქვთ, ყოველთვის მიზანშეწონილია შეამოწმოთ პროექტი, რომ ნახოთ, შეიძლება თუ არა პასუხის გამარტივება? შევამციროთ მრიცხველის გამოხატულება საერთო მნიშვნელამდე და მოვიშოროთ სამსართულიანი წილადი:

დამატებითი გამარტივების მინუსი არის ის, რომ არსებობს შეცდომის დაშვების რისკი არა წარმოებულის პოვნისას, არამედ ბანალური სკოლის გარდაქმნების დროს. მეორეს მხრივ, მასწავლებლები ხშირად უარყოფენ დავალებას და ითხოვენ წარმოებულის „გახსენებას“.

უფრო მარტივი მაგალითი საკუთარი გადასაჭრელად:

მაგალითი 7

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

ჩვენ ვაგრძელებთ წარმოებულის პოვნის მეთოდებს და ახლა განვიხილავთ ტიპურ შემთხვევას, როდესაც დიფერენციაციისთვის შემოთავაზებულია "საშინელი" ლოგარითმი.

მაგალითი 8

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

აქ შეგიძლიათ გრძელი გზა გაიაროთ რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესის გამოყენებით:

მაგრამ პირველივე ნაბიჯი მაშინვე გიბიძგებს სასოწარკვეთილებაში - თქვენ უნდა აიღოთ უსიამოვნო წარმოებული წილადი სიმძლავრედან და შემდეგ ასევე წილადიდან.

ამიტომაც ადრეროგორ ავიღოთ „დახვეწილი“ ლოგარითმის წარმოებული, ის ჯერ გამარტივებულია ცნობილი სკოლის თვისებების გამოყენებით:

! თუ ხელთ გაქვთ სავარჯიშო რვეული, დააკოპირეთ ეს ფორმულები პირდაპირ იქ. თუ რვეული არ გაქვთ, დააკოპირეთ ისინი ფურცელზე, რადგან გაკვეთილის დარჩენილი მაგალითები ამ ფორმულების გარშემო ტრიალებს.

თავად გამოსავალი შეიძლება დაიწეროს ასე:

მოდით გარდავქმნათ ფუნქცია:

წარმოებულის პოვნა:

თავად ფუნქციის წინასწარმა კონვერტაციამ მნიშვნელოვნად გაამარტივა გამოსავალი. ამრიგად, როდესაც მსგავსი ლოგარითმი შემოთავაზებულია დიფერენციაციისთვის, ყოველთვის მიზანშეწონილია მისი „დაშლა“.

ახლა კი რამდენიმე მარტივი მაგალითი, რომლითაც თქვენ დამოუკიდებლად გადაჭრით:

მაგალითი 9

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

მაგალითი 10

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

ყველა ტრანსფორმაცია და პასუხი მოცემულია გაკვეთილის ბოლოს.

ლოგარითმული წარმოებული

თუ ლოგარითმების წარმოებული ასეთი ტკბილი მუსიკაა, მაშინ ჩნდება კითხვა: შესაძლებელია თუ არა ზოგიერთ შემთხვევაში ლოგარითმის ხელოვნურად ორგანიზება? შეიძლება! და აუცილებელიც კი.

მაგალითი 11

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

ჩვენ ცოტა ხნის წინ განვიხილეთ მსგავსი მაგალითები. რა უნდა გააკეთოს? შეგიძლიათ თანმიმდევრულად გამოიყენოთ კოეფიციენტის დიფერენცირების წესი, შემდეგ კი პროდუქტის დიფერენცირების წესი. ამ მეთოდის მინუსი ის არის, რომ თქვენ იღებთ უზარმაზარ სამსართულიან ფრაქციას, რომელსაც საერთოდ არ გსურთ გაუმკლავდეთ.

მაგრამ თეორიასა და პრაქტიკაში არის ისეთი მშვენიერი რამ, როგორიცაა ლოგარითმული წარმოებული. ლოგარითმები შეიძლება ხელოვნურად დალაგდეს ორივე მხრიდან მათი „დაკიდებით“:

შენიშვნა : იმიტომ ფუნქციას შეუძლია მიიღოს უარყოფითი მნიშვნელობები, მაშინ, ზოგადად რომ ვთქვათ, თქვენ უნდა გამოიყენოთ მოდულები: , რომელიც გაქრება დიფერენცირების შედეგად. თუმცა მისაღებია ამჟამინდელი დიზაინიც, სადაც ნაგულისხმევად არის გათვალისწინებული კომპლექსიმნიშვნელობები. მაგრამ თუ მთელი სიმკაცრით, მაშინ ორივე შემთხვევაში უნდა გაკეთდეს დათქმა.

ახლა თქვენ უნდა "დაშალოთ" მარჯვენა მხარის ლოგარითმი მაქსიმალურად (ფორმულები თქვენს თვალწინ?). მე დეტალურად აღვწერ ამ პროცესს:

დავიწყოთ დიფერენცირებით.
ორივე ნაწილს ვასრულებთ პრემიერის ქვეშ:

მარჯვენა მხარის წარმოებული საკმაოდ მარტივია, მე მასზე კომენტარს არ გავაკეთებ, რადგან თუ კითხულობთ ამ ტექსტს, უნდა შეგეძლოთ გაუმკლავდეთ მას.

რაც შეეხება მარცხენა მხარეს?

მარცხენა მხარეს გვაქვს რთული ფუნქცია. მე ვგეგმავ კითხვას: "რატომ, არის ერთი ასო "Y" ლოგარითმის ქვეშ?"

ფაქტია, რომ ეს "ერთი ასო თამაში" - თავისთავად არის ფუნქცია(თუ ეს არ არის ძალიან ნათელი, იხილეთ სტატია ირიბად მითითებული ფუნქციის წარმოებული). მაშასადამე, ლოგარითმი არის გარე ფუნქცია, ხოლო "y" არის შიდა ფუნქცია. და ჩვენ ვიყენებთ წესს რთული ფუნქციის დიფერენცირებისთვის :

მარცხენა მხარეს, თითქოს ჯადოსნურად ჯადოსნური ჯოხიჩვენ გვაქვს წარმოებული. შემდეგ, პროპორციის წესის მიხედვით, გადავიტანთ "y"-ს მარცხენა მხარის მნიშვნელიდან მარჯვენა მხარის ზევით:

ახლა კი გავიხსენოთ, რა სახის "მოთამაშის" ფუნქციაზე ვისაუბრეთ დიფერენციაციის დროს? მოდით შევხედოთ მდგომარეობას:

საბოლოო პასუხი:

მაგალითი 12

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი. ამ ტიპის მაგალითის დიზაინის ნიმუში მოცემულია გაკვეთილის ბოლოს.

ლოგარითმული წარმოებულის გამოყენებით შესაძლებელი გახდა ნებისმიერი 4-7 მაგალითის ამოხსნა, სხვა საქმეა, რომ იქ ფუნქციები უფრო მარტივია და, შესაძლოა, ლოგარითმული წარმოებულის გამოყენება არც თუ ისე გამართლებული იყოს.

სიმძლავრე-ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული

ჩვენ ჯერ არ განვიხილავთ ამ ფუნქციას. სიმძლავრე-ექსპონენციალური ფუნქცია არის ფუნქცია, რომლისთვისაც ხარისხიც და საფუძველიც დამოკიდებულია "x"-ზე. კლასიკური მაგალითი, რომელიც მოგეცემათ ნებისმიერ სახელმძღვანელოში ან ლექციაში:

როგორ ვიპოვოთ ძალა-ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული?

აუცილებელია ახლავე განხილული ტექნიკის გამოყენება - ლოგარითმული წარმოებული. ლოგარითმებს ორივე მხრიდან ვკიდებთ:

როგორც წესი, მარჯვენა მხარეს, ხარისხი ამოღებულია ლოგარითმის ქვეშ:

შედეგად, მარჯვენა მხარეს გვაქვს ორი ფუნქციის ნამრავლი, რომელიც დიფერენცირებული იქნება სტანდარტული ფორმულის მიხედვით. .

ჩვენ ვპოულობთ წარმოებულს ამის გასაკეთებლად, ჩვენ ორივე ნაწილს ვამაგრებთ შტრიხების ქვეშ:

შემდგომი ქმედებები მარტივია:

საბოლოოდ:

თუ რომელიმე კონვერტაცია ბოლომდე გასაგები არ არის, გთხოვთ, ყურადღებით წაიკითხოთ მაგალითი No. 11-ის განმარტებები.

IN პრაქტიკული ამოცანებისიმძლავრე-ექსპონენციალური ფუნქცია ყოველთვის უფრო რთული იქნება, ვიდრე ლექციაზე განხილული მაგალითი.

მაგალითი 13

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

ჩვენ ვიყენებთ ლოგარითმულ წარმოებულს.

მარჯვენა მხარეს გვაქვს ორი ფაქტორის მუდმივი და ნამრავლი - „x“ და „ლოგარითმი x“ (ლოგარითმის ქვეშ მოთავსებულია სხვა ლოგარითმი). დიფერენცირებისას, როგორც გვახსოვს, სჯობს მუდმივი მყისიერად გადავიტანოთ წარმოებული ნიშნიდან, რათა ხელი არ შეუშვას; და, რა თქმა უნდა, ჩვენ ვიყენებთ ნაცნობ წესს :

ექსპონენციის (e x სიმძლავრის) და ექსპონენციალური ფუნქციის (a x სიმძლავრის) წარმოებულის ფორმულების დადასტურება და წარმოშობა. e^2x, e^3x და e^nx წარმოებულების გამოთვლის მაგალითები. უმაღლესი რიგის წარმოებულების ფორმულები.

შინაარსი

აგრეთვე იხილეთ: ექსპონენციალური ფუნქცია - თვისებები, ფორმულები, გრაფიკი
ექსპონატი, e x სიმძლავრის მიმართ - თვისებები, ფორმულები, გრაფიკი

ძირითადი ფორმულები

მაჩვენებლის წარმოებული ტოლია თავად მაჩვენებლის (e-ს წარმოებული x სიმძლავრის ტოლია e x სიმძლავრის):
(1) (e x)′ = e x.

a ფუძის მქონე ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული ტოლია თავად ფუნქციის გამრავლებული a-ს ბუნებრივ ლოგარითმზე:
(2) .

ექსპონენცია არის ექსპონენციალური ფუნქცია, რომლის სიმძლავრის ბაზა უდრის e რიცხვს, რომელიც არის შემდეგი ზღვარი:
.
აქ ეს შეიძლება იყოს როგორც ნატურალური, ასევე რეალური რიცხვი. შემდეგი, ჩვენ გამოვიყვანთ ფორმულას (1) ექსპონენციალური წარმოებულისთვის.

ექსპონენციალური წარმოებული ფორმულის წარმოშობა

განვიხილოთ ექსპონენცია, e x ხარისხზე:
y = e x.
ეს ფუნქცია განსაზღვრულია ყველასთვის.
(3) .

ვიპოვოთ მისი წარმოებული x ცვლადის მიმართ.
განმარტებით, წარმოებული არის შემდეგი ლიმიტი:მოდით გარდავქმნათ ეს გამონათქვამი, რათა შევამციროთ იგი ცნობილ მათემატიკურ თვისებამდე და წესებამდე. ამისათვის ჩვენ გვჭირდება შემდეგი ფაქტები:
(4) ;
ა)მაჩვენებლის თვისება:
(5) ;
ბ)ლოგარითმის თვისება:
(6) .
IN)
ლოგარითმის უწყვეტობა და ლიმიტების თვისება უწყვეტი ფუნქციისთვის:აქ არის ფუნქცია, რომელსაც აქვს ლიმიტი და ეს ლიმიტი დადებითია.
(7) .

გ)
;
.

მეორე ღირსშესანიშნავი ლიმიტის მნიშვნელობა:
მოდით გამოვიყენოთ ეს ფაქტები ჩვენს ლიმიტამდე (3). ჩვენ ვიყენებთ ქონებას (4):
.
მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება.
.

შემდეგ; .
.

ექსპონენციალური უწყვეტობის გამო,
ამიტომ, როდესაც, .
.

შედეგად ვიღებთ:
.
მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება.
.

მაშინ . ზე, . და ჩვენ გვაქვს:

გამოვიყენოთ ლოგარითმის თვისება (5):

.
(8)
ყველასთვის განსაზღვრული.

გადავცვალოთ ფორმულა (8). ამისთვის გამოვიყენებთ ექსპონენციალური ფუნქციისა და ლოგარითმის თვისებებს.
;
.
ასე რომ, ჩვენ გადავიყვანეთ ფორმულა (8) შემდეგ ფორმაში:
.

e-ის უმაღლესი რიგის წარმოებულები x სიმძლავრემდე

ახლა ვიპოვოთ უმაღლესი რიგის წარმოებულები. ჯერ ვნახოთ მაჩვენებლები:
(14) .
(1) .

ჩვენ ვხედავთ, რომ ფუნქციის (14) წარმოებული უდრის თავად ფუნქციას (14). დიფერენცირებით (1), ვიღებთ მეორე და მესამე რიგის წარმოებულებს:
;
.

ეს აჩვენებს, რომ n-ე რიგის წარმოებული ასევე უდრის თავდაპირველ ფუნქციას:
.

ექსპონენციალური ფუნქციის უმაღლესი რიგის წარმოებულები

ახლა განვიხილოთ ექსპონენციალური ფუნქციადენის ბაზით a:
.
ჩვენ ვიპოვეთ მისი პირველი რიგის წარმოებული:
(15) .

დიფერენცირებით (15), ვიღებთ მეორე და მესამე რიგის წარმოებულებს:
;
.

ჩვენ ვხედავთ, რომ ყოველი დიფერენციაცია იწვევს ორიგინალური ფუნქციის გამრავლებას.
.

ამრიგად, n-ე რიგის წარმოებულს აქვს შემდეგი ფორმა: