გაკვეთილი „ტრიგონომეტრიული განტოლებები დაყვანილი კვადრატულ განტოლებამდე“. გაკვეთილის შეჯამება თემაზე ,,ტრიგონომეტრიული განტოლებები, რომლებიც შემცირდება კვადრატულ განტოლებამდე“ (მე-10 კლასი) ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა კვადრატულ განტოლებამდე

გაკვეთილის თემა: „ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა ახალი ცვლადის შემოღებით“

გაკვეთილის ტიპი: გაკვეთილი ახალი მასალის შესწავლაზე

გაკვეთილის მიზნები: საგანმანათლებლო: უმარტივესი პრობლემების გადაჭრის ცოდნისა და უნარების კონსოლიდაცია

ტრიგონომეტრიული განტოლებები, ასწავლიან ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნას

ახალი ცვლადის შემოღებით.

განმავითარებელი: ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის უნარის გამომუშავება, განვითარება

განტოლების ტიპისა და მისი ამოხსნის სწრაფად და სწორად განსაზღვრის უნარი.

საგანმანათლებლო: შექმენით შრომის კულტურა და ერთმანეთის პატივისცემა.

გაკვეთილის გეგმა: 1. ორგანიზაციული მომენტი.

2. საშინაო დავალების შემოწმება.

3. ცოდნის განახლება.

4. ახალი მასალის სწავლა.

5. ახალი მასალის კონსოლიდაცია.

6. ფიზიკური აღზრდის წუთი.

7. ცოდნის პირველადი კონტროლი.

8. შეჯამება.

9. ანარეკლი.

10. საშინაო დავალება.

გაკვეთილის მიმდინარეობა.

1. საორგანიზაციო მომენტი .

2. საშინაო დავალების შემოწმება. 18 No. 13(c)

3. ცოდნის განახლება. ამოხსენით განტოლება:

sin x = 0

cosx = 1

cosx = 2

tg x =

თანტგx = 0

1. X 2 + 3x =0

   X 2 – 9 = 0

   3x 2 + 29 = 0

   X 2 +5x +6 = 0

   X 4 +2x 2 – 3 = 0

რა ჰქვია მარცხენა სვეტში ჩაწერილ განტოლებებს? მარჯვენა სვეტში?

რა მეთოდები გამოიყენეს მარცხენა სვეტის განტოლებების ამოსახსნელად?

ცოდვა 2 x - 6 ცოდვა x + 5 =0

როგორ ფიქრობთ, რა იქნება დღევანდელი გაკვეთილის თემა?

მათ გახსნეს რვეულები და ჩაწერეს ნომერი, დიდი სამუშაო, გაკვეთილის თემა: "ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა ახალი ცვლადის შემოღებით“.

რა არის ჩვენი გაკვეთილის მიზანი?ისწავლეთ ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა ცვლადის ჩანაცვლების მეთოდით.

4. ახალი მასალის შესწავლა.

ეს გაკვეთილი მოიცავს ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის ყველაზე გავრცელებულ მეთოდს.

ტრიგონომეტრიული განტოლებები დაყვანილია კვადრატულ განტოლებამდე .

ეს კლასი შეიძლება შეიცავდეს განტოლებებს, რომლებიც შეიცავენ ერთ ფუნქციას (სინუსს ან კოსინუსს, ტანგენტს ან კოტანგენტს) ან ერთი და იმავე არგუმენტის ორ ფუნქციას, მაგრამ ერთი მათგანი იყენებს ძირითად ტრიგონომეტრიული იდენტობებიჩამოდის მეორეზე.აცოდვა 2 x + ბსინx + გ =0, ა.

მაგალითად, თუგოსx შემოდის განტოლებაში ლუწი ხარისხებით, შემდეგ ვცვლით 1-ითცოდვა 2 x, თუცოდვა 2 x, შემდეგ ჩვენ ვცვლით მას 1-ითcos 2 x.

5. ახალი მასალის კონსოლიდაცია.

მაგალითი.

ამოხსენით განტოლება:ცოდვა 2 x - 6 ცოდვაx + 5 =0, 2 ცოდვა 2 x - 3cosx -3 = 0.

6. ფიზიკური აღზრდის ოქმი.

დავალება თვალის დაღლილობის შესამსუბუქებლად: თქვენ არ შეგიძლიათ ხელების მოძრაობა, მაგრამ მხოლოდ თვალები. თქვენი ამოცანაა: დაასახელეთ ეს ნომრები.

7. პირველადი კონტროლი

მუშაობა წყვილებში: ამოხსენით განტოლება:

1. 3ტგ 2 x +2 ტგ x-1=0;

2.5 ცოდვა 2 x+ 6cos x -6 = 0.

ჩვენ განვიხილავთ განტოლებების ამონახსნებს, ვხსნით და შემდეგ ვამოწმებთ ამონახსნებს დაფაზე.

1. 3 ტგ 2 x +2 ტგx-1= 0

დაეტგx = ტ.

3 ტ 2 + 2 ტ – 1 = 0

დ = 16

ტ 1 = , ტ 2 = -1.

ტგx= ანტგx = -1

x = arctg + ზ x = - + ზ

2. 5 ცოდვა 2 x + 6cos x - 6 = 0

5( 1 - თან os 2 x ) + 6cos x - 6 = 0

5 cos 2 x - 6cos x +1 = 0

დაეcos x =t.

5 ტ 2 - 6 ტ + 1 = 0

დ = 16

ტ 1 = , ტ 2 = 1.

დავუბრუნდეთ საწყის ცვლადს:

cosx= ანcosx = 1

x = არკები + ზ x = ზ

8. კონსოლიდაცია.

ამოხსენით განტოლებები:

1. 2 თანტგ 2 x+3თანtg x + 3= 5;

2.2ცოდ 2 -ცოდოX + 2 = 3.

1. ამოხსენით განტოლება 2 cos 2 x - 3 cos (x) - 3 = 0. მიუთითეთ სეგმენტის კუთვნილი ფესვები [ - ; ].

2. 3 ტგ x - 2თანtan x = 5

თითოეული ვარიანტი ხსნის განტოლებებს და ამოწმებს პასუხებს დაფაზე. ბიჭები აფასებენ თავს ამ სამუშაოსთვის. გადაეცემა ხსნარით ფოთლები. შემდეგ გაკვეთილზე გამოვაცხადებ ამ ნამუშევრის შეფასებებს.

8. შეჯამება .

გახსოვდეთ: რა არის გაკვეთილის თემა? რა არის ჩვენი მიზანი დღევანდელი გაკვეთილისთვის? მივაღწიეთ თუ არა ჩვენს მიზანს?

9. რეფლექსია.

"დღევანდელ გაკვეთილზე მივხვდი...";

„თავს ვაქებდი...“;

„განსაკუთრებით მომეწონა...“;

„დღეს მოვახერხე...“;

„მე მოვახერხე...“;

„ძნელი იყო...“;

„მივხვდი, რომ...“;

„ახლა შემიძლია...“;

„ვგრძნობდი, რომ...“;

„ვისწავლე...“;

"გამიკვირდა..."

10. საშინაო დავალება.

1) §18, No. 6(c), 8(b), 9(a), 21(a).

2) §18, No7(b), 9(d). ამოცანები No1 ან 2.

1. ამოხსენით განტოლება + 4ტგx- 6 = 0. მიუთითეთ სეგმენტის კუთვნილი ფესვები [; ].

2. = 0.

მუშაობა წყვილებში

1. 3 ტგ 2 x +2 ტგ x -1=0;

2. 5 ცოდვა 2 x + 6 cos x -6 = 0.

მუშაობა წყვილებში

1. 3ტგ 2 x +2 ტგ x-1=0;

2.5 ცოდვა 2 x+ 6cos x -6 = 0.

მუშაობა წყვილებში

1. 3 ტგ 2 x +2 ტგ x -1=0;

2. 5 ცოდვა 2 x + 6 cos x -6 = 0.

მუშაობა წყვილებში

1. 3 ტგ 2 x +2 ტგ x -1=0;

2. 5 ცოდვა 2 x + 6 cos x -6 = 0.

მუშაობა წყვილებში

1. 3ტგ 2 x +2 ტგ x-1=0;

2.5 ცოდვა 2 x+ 6cos x -6 = 0.

საშინაო დავალება:

1. ამოხსენით განტოლება + 4ტგx

[ ; ].

2. ამოხსენით განტოლება

საშინაო დავალება:

1. ამოხსენით განტოლება + 4ტგx- 6 = 0. მიუთითეთ სეგმენტის კუთვნილი ფესვები

[ ; ].

2. ამოხსენით განტოლება

საშინაო დავალება:

1. ამოხსენით განტოლება + 4ტგx- 6 = 0. მიუთითეთ სეგმენტის კუთვნილი ფესვები

[ ; ].

2. ამოხსენით განტოლება

საშინაო დავალება:

1. ამოხსენით განტოლება + 4ტგx- 6 = 0. მიუთითეთ სეგმენტის კუთვნილი ფესვები

[ ; ].

2. ამოხსენით განტოლება

საშინაო დავალება:

1. ამოხსენით განტოლება + 4ტგx- 6 = 0. მიუთითეთ სეგმენტის კუთვნილი ფესვები

[ ; ].

2. ამოხსენით განტოლება

საშინაო დავალება:

1. ამოხსენით განტოლება + 4ტგx- 6 = 0. მიუთითეთ სეგმენტის კუთვნილი ფესვები

[ ; ].

2. ამოხსენით განტოლება

საშინაო დავალება:

1. ამოხსენით განტოლება + 4ტგx- 6 = 0. მიუთითეთ სეგმენტის კუთვნილი ფესვები

[ ; ].

2. ამოხსენით განტოლება

საშინაო დავალება:

1. ამოხსენით განტოლება + 4ტგx- 6 = 0. მიუთითეთ სეგმენტის კუთვნილი ფესვები

[ ; ].

2. ამოხსენით განტოლება

საშინაო დავალება:

1. ამოხსენით განტოლება + 4ტგx- 6 = 0. მიუთითეთ სეგმენტის კუთვნილი ფესვები

[ ; ].

2. ამოხსენით განტოლება

საშინაო დავალება:

1. ამოხსენით განტოლება + 4ტგx- 6 = 0. მიუთითეთ სეგმენტის კუთვნილი ფესვები

[ ; ].

2. ამოხსენით განტოლება

ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის ძირითადი მეთოდებია: განტოლებების დაყვანა უმარტივესამდე (გამოყენებით ტრიგონომეტრიული ფორმულები), ახალი ცვლადების დანერგვა, ფაქტორიზაცია. მოდით შევხედოთ მათ გამოყენებას მაგალითებით. ყურადღება მიაქციეთ ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამონახსნების ჩაწერის ფორმატს.

ტრიგონომეტრიული განტოლებების წარმატებით ამოხსნის აუცილებელი პირობაა ტრიგონომეტრიული ფორმულების ცოდნა (მე-6 სამუშაოს თემა 13).

მაგალითები.

1. უმარტივესამდე დაყვანილი განტოლებები.

1) ამოხსენით განტოლება

გამოსავალი:

პასუხი:

2) იპოვეთ განტოლების ფესვები

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, რომელიც მიეკუთვნება სეგმენტს.

გამოსავალი:

პასუხი:

2. განტოლებები, რომლებიც მცირდება კვადრატამდე.

1) ამოხსენით განტოლება 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.

გამოსავალი:ფორმულის გამოყენებით sin 2 x = 1 – cos 2 x, მივიღებთ

პასუხი:

2) ამოხსნა cos განტოლება 2x = 1 + 4 cosx.

გამოსავალი:გამოყენება cos ფორმულა 2x = 2 cos 2 x – 1, მივიღებთ

პასუხი:

3) გადაწყვიტე tgx განტოლება- 2ctgx + 1 = 0

გამოსავალი:

პასუხი:

3. ჰომოგენური განტოლებები

1) ამოხსენით განტოლება 2sinx – 3cosx = 0

ამოხსნა: ვთქვათ cosx = 0, შემდეგ 2sinx = 0 და sinx = 0 – წინააღმდეგობა იმ ფაქტთან, რომ sin 2 x + cos 2 x = 1. ეს ნიშნავს cosx ≠ 0 და შეგვიძლია განტოლება გავყოთ cosx-ზე. ვიღებთ

პასუხი:

2) ამოხსენით განტოლება 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x

გამოსავალი:

ჩვენ ვიყენებთ ფორმულებს 1 = sin 2 x + cos 2 x და sin 2x = 2 sinxcosx, მივიღებთ

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

მოდით cosx = 0, შემდეგ sin 2 x = 0 და sinx = 0 - წინააღმდეგობა იმ ფაქტთან, რომ sin 2 x + cos 2 x = 1.
ეს ნიშნავს cosx ≠ 0 და ჩვენ შეგვიძლია გავყოთ განტოლება cos 2 x-ზე . ვიღებთ

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
ავღნიშნოთ tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2 = 2
ა) tgx = 4, x = არქტანი4 + 2 კ, კ
ბ) tgx = 2, x= არქტანი2 + 2 კ, კ .

პასუხი: arctg4 + 2 კ, არქტანი2 + 2 კ, კ

4. ფორმის განტოლებები ა sinx + ბ cosx = ს, ს≠ 0.

1) ამოხსენით განტოლება.

გამოსავალი:

პასუხი:

5. ფაქტორიზაციით ამოხსნილი განტოლებები.

1) ამოხსენით განტოლება sin2x – sinx = 0.

განტოლების ფესვი ვ (X) = φ ( X) შეიძლება იყოს მხოლოდ რიცხვი 0. მოდით შევამოწმოთ ეს:

cos 0 = 0 + 1 - ტოლობა მართალია.

რიცხვი 0 არის ამ განტოლების ერთადერთი ფესვი.

პასუხი: 0.

გაკვეთილი და პრეზენტაცია თემაზე: „მარტივი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა“

დამატებითი მასალები
ძვირფასო მომხმარებლებო, არ დაგავიწყდეთ დატოვოთ თქვენი კომენტარები, მიმოხილვები, სურვილები! ყველა მასალა შემოწმებულია ანტივირუსული პროგრამით.

ინსტრუქციები და ტრენაჟორები Integral ონლაინ მაღაზიაში 10 კლასისთვის 1C-დან
ჩვენ ვხსნით პრობლემებს გეომეტრიაში. ინტერაქტიული ამოცანები სივრცეში მშენებლობისთვის
პროგრამული გარემო "1C: მათემატიკური კონსტრუქტორი 6.1"

რას შევისწავლით:
1. რა არის ტრიგონომეტრიული განტოლებები?

3. ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის ორი ძირითადი მეთოდი.
4. ჰომოგენური ტრიგონომეტრიული განტოლებები.
5. მაგალითები.

რა არის ტრიგონომეტრიული განტოლებები?

ბიჭებო, ჩვენ უკვე შევისწავლეთ არქსინი, არკოზინი, არქტანგენსი და არკოტანგენსი. ახლა განვიხილოთ ტრიგონომეტრიული განტოლებები ზოგადად.

ტრიგონომეტრიული განტოლებები არის განტოლებები, რომლებშიც ცვლადი შეიცავს ტრიგონომეტრიული ფუნქციის ნიშნის ქვეშ.

გავიმეოროთ უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის ფორმა:

1)თუ |a|≤ 1, მაშინ განტოლებას cos(x) = a აქვს ამონახსნი:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) თუ |a|≤ 1, მაშინ განტოლებას sin(x) = a აქვს ამონახსნი:

3) თუ |ა| > 1, მაშინ განტოლებას sin(x) = a და cos(x) = a არ აქვთ ამონახსნები 4) განტოლებას tg(x)=a აქვს ამონახსნი: x=arctg(a)+ πk

5) განტოლებას ctg(x)=a აქვს ამონახსნი: x=arcctg(a)+ πk

ყველა ფორმულისთვის k არის მთელი რიცხვი

უმარტივეს ტრიგონომეტრიულ განტოლებებს აქვს ფორმა: T(kx+m)=a, T არის რაღაც ტრიგონომეტრიული ფუნქცია.

მაგალითი.

ამოხსენით განტოლებები: ა) sin(3x)= √3/2

გამოსავალი:

ა) ავღნიშნოთ 3x=t, შემდეგ გადავწერთ ჩვენს განტოლებას სახით:

ამ განტოლების ამონახსნი იქნება: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

მნიშვნელობების ცხრილიდან ვიღებთ: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

დავუბრუნდეთ ჩვენს ცვლადს: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

შემდეგ x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

პასუხი: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, სადაც n არის მთელი რიცხვი. (-1)^n – მინუს ერთი n-ის ხარისხზე.

ტრიგონომეტრიული განტოლებების მეტი მაგალითები.

ამოხსენით განტოლებები: ა) cos(x/5)=1 ბ)tg(3x- π/3)= √3

გამოსავალი:

ა) ამჯერად გადავიდეთ პირდაპირ განტოლების ფესვების გამოთვლაზე:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. მაშინ x/5= πk => x=5πk

პასუხი: x=5πk, სადაც k არის მთელი რიცხვი.

ბ) ვწერთ სახით: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. ჩვენ ვიცით, რომ: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

პასუხი: x=2π/9 + πk/3, სადაც k არის მთელი რიცხვი.

ამოხსენით განტოლებები: cos(4x)= √2/2. და იპოვნეთ ყველა ფესვი სეგმენტზე.

გამოსავალი:

მოდით გადავჭრათ ჩვენი განტოლება ზოგადი ფორმით: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

ახლა ვნახოთ, რა ფესვები ეცემა ჩვენს სეგმენტს. k-ზე k=0, x= π/16, ჩვენ მოცემულ სეგმენტში ვართ.
კ=1, x= π/16+ π/2=9π/16-ით ისევ დავარტყით.
k=2-ისთვის x= π/16+ π=17π/16, მაგრამ აქ ჩვენ არ დავარტყით, რაც ნიშნავს, რომ დიდი k-სთვისაც აშკარად არ დავარტყამთ.

პასუხი: x= π/16, x= 9π/16

გადაწყვეტის ორი ძირითადი მეთოდი.

ჩვენ შევხედეთ უმარტივეს ტრიგონომეტრიულ განტოლებებს, მაგრამ არის უფრო რთულიც. მათ გადასაჭრელად გამოიყენება ახალი ცვლადის დანერგვის მეთოდი და ფაქტორილიზაციის მეთოდი. მოდით შევხედოთ მაგალითებს.

მოდით ამოხსნათ განტოლება:

გამოსავალი:
ჩვენი განტოლების ამოსახსნელად გამოვიყენებთ ახალი ცვლადის შემოღების მეთოდს, რომელიც აღვნიშნავთ: t=tg(x).

ჩანაცვლების შედეგად ვიღებთ: t 2 + 2t -1 = 0

ვიპოვოთ კვადრატული განტოლების ფესვები: t=-1 და t=1/3

შემდეგ tg(x)=-1 და tg(x)=1/3, მივიღებთ უმარტივეს ტრიგონომეტრიულ განტოლებას, ვიპოვოთ მისი ფესვები.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

პასუხი: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

განტოლების ამოხსნის მაგალითი

ამოხსენით განტოლებები: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

გამოსავალი:

გამოვიყენოთ იდენტობა: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

ჩვენი განტოლება მიიღებს ფორმას: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

შემოვიღოთ ჩანაცვლება t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

ჩვენი კვადრატული განტოლების ამონახსნი არის ფესვები: t=2 და t=-1/2

შემდეგ cos(x)=2 და cos(x)=-1/2.

იმიტომ რომ კოსინუსს არ შეუძლია მიიღოს ერთზე მეტი მნიშვნელობები, მაშინ cos(x)=2-ს ფესვები არ აქვს.

cos(x)=-1/2-ისთვის: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

პასუხი: x= ±2π/3 + 2πk

ჰომოგენური ტრიგონომეტრიული განტოლებები.

განმარტება: a sin(x)+b cos(x) ფორმის განტოლებებს ეწოდება პირველი ხარისხის ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლებები.

ფორმის განტოლებები

მეორე ხარისხის ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლებები.

პირველი ხარისხის ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოსახსნელად, გაყავით ის cos(x-ზე): თქვენ არ შეგიძლიათ კოსინუსზე გაყოფა, თუ ის ნულის ტოლია, მოდით დავრწმუნდეთ, რომ ეს ასე არ არის:
მოდით cos(x)=0, შემდეგ asin(x)+0=0 => sin(x)=0, მაგრამ სინუსი და კოსინუსი ერთდროულად ნულის ტოლი არ არის, მივიღებთ წინააღმდეგობას, ასე რომ ჩვენ შეგვიძლია უსაფრთხოდ გავყოთ ნულით.

ამოხსენით განტოლება:
მაგალითი: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

გამოსავალი:

ავიღოთ საერთო ფაქტორი: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

მაშინ ორი განტოლება უნდა ამოხსნათ:

Cos(x)=0 და cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 x= π/2 + πk;

განვიხილოთ განტოლება cos(x)+sin(x)=0 ჩვენი განტოლება გაყავით cos(x-ზე):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

პასუხი: x= π/2 + πk და x= -π/4+πk

როგორ ამოხსნათ მეორე ხარისხის ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლებები?
ბიჭებო, ყოველთვის დაიცავით ეს წესები!

1. ნახეთ, რის ტოლია a კოეფიციენტი, თუ a=0 მაშინ ჩვენი განტოლება მიიღებს cos(x)(bsin(x)+ccos(x) ფორმას, რომლის ამოხსნის მაგალითი მოცემულია წინა სლაიდზე.

2. თუ a≠0, მაშინ განტოლების ორივე მხარე უნდა გავყოთ კოსინუსზე კვადრატზე, მივიღებთ:

ვცვლით t=tg(x) ცვლადს და ვიღებთ განტოლებას:

ამოხსენით მაგალითი No.:3

ამოხსენით განტოლება:
გამოსავალი:

მოდით გავყოთ განტოლების ორივე მხარე კოსინუსზე:

ვცვლით ცვლადს t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

ვიპოვოთ კვადრატული განტოლების ფესვები: t=-3 და t=1

შემდეგ: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

პასუხი: x=-arctg(3) + πk და x= π/4+ πk

ამოხსენით მაგალითი No:4

ამოხსენით განტოლება:

გამოსავალი:
მოდით შევცვალოთ ჩვენი გამოხატულება:

ჩვენ შეგვიძლია ამოხსნათ ასეთი განტოლებები: x= - π/4 + 2πk და x=5π/4 + 2πk

პასუხი: x= - π/4 + 2πk და x=5π/4 + 2πk

ამოხსენით მაგალითი No.:5

ამოხსენით განტოლება:

გამოსავალი:
მოდით შევცვალოთ ჩვენი გამოხატულება:

მოდით წარმოვიდგინოთ ჩანაცვლება tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

ჩვენი კვადრატული განტოლების ამონახსნი იქნება ფესვები: t=-2 და t=1/2

შემდეგ მივიღებთ: tg(2x)=-2 და tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

პასუხი: x=-arctg(2)/2 + πk/2 და x=arctg(1/2)/2+ πk/2

პრობლემები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის.

1) ამოხსენით განტოლება

ა) sin(7x)= 1/2 ბ) cos(3x)= √3/2 გ) cos(-x) = -1 დ) tg(4x) = √3 დ) ctg(0.5x) = -1.7

2) ამოხსენით განტოლებები: sin(3x)= √3/2. და იპოვეთ ყველა ფესვი სეგმენტზე [π/2; π].

3) ამოხსენით განტოლება: cot 2 (x) + 2 cot (x) + 1 =0

4) ამოხსენი განტოლება: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) ამოხსენით განტოლება: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) ამოხსენით განტოლება: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

შეგიძლიათ შეუკვეთოთ დეტალური გადაწყვეტაშენი ამოცანა!!!

ტოლობას, რომელიც შეიცავს უცნობს ტრიგონომეტრიული ფუნქციის ნიშნის ქვეშ (`sin x, cos x, tan x` ან `ctg x`) ეწოდება ტრიგონომეტრიული განტოლება და სწორედ მათ ფორმულებს განვიხილავთ შემდგომში.

უმარტივეს განტოლებებს ჰქვია `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, სადაც `x` არის მოსაძებნი კუთხე, `a` არის ნებისმიერი რიცხვი. მოდით დავწეროთ თითოეული მათგანის ძირეული ფორმულები.

1. განტოლება `sin x=a`.

`|a|>1`-ისთვის მას არ აქვს გამოსავალი.

როცა `|ა| \leq 1`-ს აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.

ძირეული ფორმულა: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. განტოლება `cos x=a`

`|a|>1`-ისთვის - როგორც სინუსის შემთხვევაში, მას არ აქვს ამონახსნები რეალურ რიცხვებს შორის.

როცა `|ა| \leq 1`-ს აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.

ძირეული ფორმულა: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

სინუსის და კოსინუსების სპეციალური შემთხვევები გრაფიკებში.

3. განტოლება `tg x=a`

აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა `a`-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის.

ძირეული ფორმულა: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. განტოლება `ctg x=a`

ასევე აქვს გადაწყვეტილებების უსასრულო რაოდენობა `a`-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის.

ძირეული ფორმულა: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

ცხრილის ტრიგონომეტრიული განტოლებების ფესვების ფორმულები

სინუსისთვის:
კოსინუსისთვის:
ტანგენტისა და კოტანგენსისთვის:
შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შემცველი განტოლებების ამოხსნის ფორმულები:

ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები

ნებისმიერი ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოხსნა შედგება ორი ეტაპისგან:

• მისი უმარტივესად გარდაქმნის დახმარებით;
• ამოხსენით ზემოთ დაწერილი ძირეული ფორმულებისა და ცხრილების გამოყენებით მიღებული უმარტივესი განტოლება.

მოდით შევხედოთ გადაწყვეტის ძირითად მეთოდებს მაგალითების გამოყენებით.

ალგებრული მეთოდი.

ეს მეთოდი გულისხმობს ცვლადის ჩანაცვლებას და ტოლობით ჩანაცვლებას.

მაგალითი. ამოხსენით განტოლება: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

გააკეთეთ ჩანაცვლება: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, შემდეგ `2y^2-3y+1=0`,

ვპოულობთ ფესვებს: `y_1=1, y_2=1/2`, საიდანაც მოდის ორი შემთხვევა:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

პასუხი: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

ფაქტორიზაცია.

მაგალითი. ამოხსენით განტოლება: `sin x+cos x=1`.

გამოსავალი. გადავიტანოთ ტოლობის ყველა წევრი მარცხნივ: `sin x+cos x-1=0`. გამოყენებით, ჩვენ გარდაქმნით და ვანაწილებთ მარცხენა მხარეს:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

პასუხი: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

შემცირება ერთგვაროვან განტოლებამდე

პირველ რიგში, თქვენ უნდა შეამციროთ ეს ტრიგონომეტრიული განტოლება ორიდან ერთ-ერთ ფორმამდე:

`ცოდვა x+b cos x=0` ( ერთგვაროვანი განტოლებაპირველი ხარისხი) ან `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (მეორე ხარისხის ჰომოგენური განტოლება).

შემდეგ გაყავით ორივე ნაწილი `cos x \ne 0` - პირველი შემთხვევისთვის, ხოლო `cos^2 x \ne 0` - მეორეზე. ვიღებთ განტოლებებს `tg x`: `a tg x+b=0` და `a tg^2 x + b tg x +c =0`, რომლებიც უნდა ამოხსნას ცნობილი მეთოდების გამოყენებით.

მაგალითი. ამოხსენით განტოლება: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

გამოსავალი. მოდით დავწეროთ მარჯვენა მხარე, როგორც `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

ეს არის მეორე ხარისხის ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლება, მის მარცხენა და მარჯვენა გვერდებს ვყოფთ `cos^2 x \ne 0`-ზე, მივიღებთ:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. შემოვიღოთ ჩანაცვლება `tg x=t`, რის შედეგადაც `t^2 + t - 2=0`. ამ განტოლების ფესვებია `t_1=-2` და `t_2=1`. შემდეგ:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \Z-ში`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \Z-ში`.

უპასუხე. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \ Z-ში`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \Z-ში`.

ნახევარ კუთხეზე გადასვლა

მაგალითი. ამოხსენით განტოლება: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

გამოსავალი. გამოვიყენოთ ორმაგი კუთხის ფორმულები, შედეგად მივიღებთ: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

ზემოთ აღწერილი ალგებრული მეთოდის გამოყენებით ვიღებთ:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \Z-ში`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \Z-ში`.

უპასუხე. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \ Z-ში`.

დამხმარე კუთხის დანერგვა

ტრიგონომეტრიულ განტოლებაში `a sin x + b cos x =c`, სადაც a,b,c არის კოეფიციენტები და x არის ცვლადი, გაყავით ორივე მხარე `sqrt (a^2+b^2)`-ზე:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2 ) +b^2))`.

მარცხენა მხარეს კოეფიციენტებს აქვთ სინუსის და კოსინუსის თვისებები, კერძოდ მათი კვადრატების ჯამი 1-ის ტოლია და მოდულები არ არის 1-ზე მეტი. ავღნიშნოთ ისინი შემდეგნაირად: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi`, ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, შემდეგ:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

მოდით უფრო დეტალურად განვიხილოთ შემდეგი მაგალითი:

მაგალითი. ამოხსენით განტოლება: `3 sin x+4 cos x=2`.

გამოსავალი. ტოლობის ორივე მხარე გავყოთ `sqrt (3^2+4^2)`-ზე, მივიღებთ:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

ავღნიშნოთ `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. ვინაიდან `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, მაშინ ჩვენ ვიღებთ `\varphi=arcsin 4/5`, როგორც დამხმარე კუთხე. შემდეგ ჩვენ ვწერთ ჩვენს თანასწორობას ფორმაში:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

სინუსისთვის კუთხეების ჯამის ფორმულის გამოყენებით, ჩვენ ვწერთ ჩვენს ტოლობას შემდეგი ფორმით:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

უპასუხე. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

წილადი რაციონალური ტრიგონომეტრიული განტოლებები

ეს არის წილადების ტოლობები, რომელთა მრიცხველები და მნიშვნელები შეიცავს ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს.

მაგალითი. ამოხსენით განტოლება. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

გამოსავალი. გაამრავლეთ და გაყავით ტოლობის მარჯვენა მხარე `(1+cos x)`-ზე. შედეგად ვიღებთ:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

იმის გათვალისწინებით, რომ მნიშვნელი არ შეიძლება იყოს ნულის ტოლი, მივიღებთ `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

წილადის მრიცხველი გავატოლოთ ნულთან: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. შემდეგ `sin x=0` ან `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

იმის გათვალისწინებით, რომ `x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, ამონახსნები არის `x=2\pi n, n \in Z` და `x=\pi /2+2\pi n` , `n \ Z-ში`.

უპასუხე. `x=2\pi n`, `n \ Z-ში`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \ Z-ში`.

ტრიგონომეტრია და განსაკუთრებით ტრიგონომეტრიული განტოლებები გამოიყენება გეომეტრიის, ფიზიკისა და ინჟინერიის თითქმის ყველა სფეროში. სწავლა მე-10 კლასში იწყება, ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის ყოველთვის არის დავალებები, ამიტომ შეეცადეთ დაიმახსოვროთ ტრიგონომეტრიული განტოლებების ყველა ფორმულა - ისინი აუცილებლად გამოგადგებათ!

თუმცა, მათი დამახსოვრებაც კი არ არის საჭირო, მთავარია, გაიგოთ არსი და შეძლოთ მისი გამოყვანა. ეს არც ისე რთულია, როგორც ჩანს. თავად ნახეთ ვიდეოს ყურებით.

დიფერენცირებული კრედიტის თეორიული საკითხების მოკლე მიმოხილვა

1 კურსის სტუდენტებისთვის

სპეციალობები 02.23.03 „მოვლა და შეკეთება საგზაო ტრანსპორტი»

განტოლება. განტოლების ფესვი. რას ნიშნავს "განტოლების ამოხსნა"?

განტოლება არის ტოლობა, რომელიც შეიცავს ცვლადს.

განტოლების ფესვი არის ცვლადის მნიშვნელობა, რომელიც განტოლებაში ჩანაცვლებისას მას აქცევს ნამდვილ რიცხვობრივ ტოლობაში.

განტოლების ამოხსნა ნიშნავს მისი ყველა ფესვის პოვნას ან იმის მტკიცებას, რომ ფესვები არ არსებობს.

განტოლებათა სისტემა არის ორი ან მეტი განტოლების ნაკრები ორი ან მეტი უცნობით; უფრო მეტიც, ერთ-ერთი განტოლების ამონახსნი არის ერთდროულად ყველა დანარჩენის ამოხსნა.

განტოლებების სახეები და მათი ამოხსნა: წრფივი, კვადრატული.

წრფივი განტოლებებიარის ფორმის განტოლებები: ax + b = 0, სადაც a და b არის გარკვეული მუდმივები. თუ a არ არის ნულის ტოლი, მაშინ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი: x = - b: a. თუ a უდრის ნულს და b უდრის ნულს, მაშინ ax + b = 0 განტოლების ფესვი არის ნებისმიერი რიცხვი. თუ a უდრის ნულს და b არ არის ნულის ტოლი, მაშინ განტოლებას ax + b = 0 ფესვები არ აქვს.

გადაწყვეტილებები წრფივი განტოლებები

1) იდენტობის გარდაქმნები

2) გრაფიკული მეთოდი.

კვადრატული განტოლებაარის ფორმის განტოლება ცული 2 + bx + გ= 0, სადაც კოეფიციენტები ა, ბდა გ- თვითნებური რიცხვები, ≠ 0-ით.

მიეცით კვადრატული განტოლება ცული 2 + bx + გ= 0. მაშინ დისკრიმინანტი არის რიცხვი დ = ბ 2 − 4აწ.

1. თუ დ < 0, корней нет;

2. თუ დ= 0, არის ზუსტად ერთი ფესვი;

3. თუ დ> 0, იქნება ორი ფესვი.

თუ დისკრიმინანტი D > 0, ფესვები შეიძლება მოიძებნოს ფორმულების გამოყენებით: კვადრატული განტოლების ფესვები. ახლა გადავიდეთ თავად გადაწყვეტაზე. თუ დისკრიმინანტი დ> 0, ფესვები შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულების გამოყენებით:

მარტივი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა

ზოგადი ხედიამონახსნები განტოლების cos x = a, სადაც | a | ≤ 1, განისაზღვრება ფორმულით:

x = ± arccos(a) + 2πk, k ∈ Z (მთლიანი რიცხვები), ერთად | a | > 1 განტოლებას cos x = a არ აქვს ამონახსნები რეალურ რიცხვებს შორის.

განტოლების ამოხსნის ზოგადი ფორმა sin x = a, სადაც | a | ≤ 1, განისაზღვრება ფორმულით:

x = (- 1)k · arcsin(a) + πk, k ∈ Z (მთლიანი რიცხვები), ერთად | a | > 1 განტოლებას sin x = a არ აქვს ამონახსნები რეალურ რიცხვებს შორის.

tg x = a განტოლების ამოხსნის ზოგადი ფორმა განისაზღვრება ფორმულით:

x = arctan(a) + πk, k ∈ Z (მთლიანი რიცხვები).

cot x = a განტოლების ამოხსნის ზოგადი ფორმა განისაზღვრება ფორმულით:

x = arcctg(a) + πk, k ∈ Z (მთლიანი რიცხვები).

წრფივი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა

წრფივ ტრიგონომეტრიულ განტოლებებს აქვს ფორმა k*f(x) + b = 0, სადაც f(x) – ტრიგონომეტრიული ფუნქცია, და k და b რეალური რიცხვებია.

განტოლების ამოსახსნელად, ის იდენტური გარდაქმნების საშუალებით მცირდება უმარტივეს ფორმამდე

წრფივად შერწყმული ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა

წრფივ კომბინირებულ ტრიგონომეტრიულ განტოლებებს აქვს ფორმა f(kx + b) = a, სადაც f(x) არის ტრიგონომეტრიული ფუნქცია, a, k და b რეალური რიცხვებია.

განტოლების ამოსახსნელად შემოყვანილია ახალი ცვლადი y = kx + b. მიღებული უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლება ამოხსნილია y-ისთვის და ხდება საპირისპირო ჩანაცვლება.

ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა შემცირების ფორმულების გამოყენებით

ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა ტრიგონომეტრიული იდენტობების გამოყენებით

ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნისას, რომლებიც არ არის უმარტივესი, იდენტური გარდაქმნები ხორციელდება შემდეგი ფორმულების გამოყენებით:

კვადრატული ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა

გამორჩეული თვისებებიგანტოლებები, რომლებიც მცირდება კვადრატამდე:

განტოლება შეიცავს ერთი არგუმენტის ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს ან ისინი ადვილად მცირდება ერთ არგუმენტამდე.

განტოლებაში მხოლოდ ერთი ტრიგონომეტრიული ფუნქციაა, ან ყველა ფუნქცია შეიძლება შემცირდეს ერთზე.

გადაწყვეტის ალგორითმი:

ჩანაცვლება მიმდინარეობს.

გამოთქმა გარდაიქმნება.

შეიყვანეთ აღნიშვნა (მაგალითად, sinx = y).

წყდება კვადრატული განტოლება.

მითითებული სიდიდის მნიშვნელობა ჩანაცვლებულია და ტრიგონომეტრიული განტოლება ამოხსნილია