ალგებრული ფორმით დაწერილი კომპლექსურ რიცხვებზე მოქმედებები

კომპლექსური რიცხვის ალგებრული ფორმა z =(ა,ბ).ფორმის ალგებრული გამოხატულება ეწოდება

ზ = ა + ბი.

არითმეტიკული მოქმედებები კომპლექსურ რიცხვებზე ზ 1 = ა 1 + ბ 1 მედა ზ 2 = ა 2 + ბ 2 მეალგებრული ფორმით დაწერილი, ხორციელდება შემდეგნაირად.

1. კომპლექსური რიცხვების ჯამი (განსხვავება).

ზ 1 ± ზ 2 = (ა 1 ±ა 2) + (ბ 1 ±ბ 2)∙ მე,

იმათ. შეკრება (გამოკლება) ხორციელდება მრავალწევრების შეკრების წესის მიხედვით მსგავსი წევრების შემცირებით.

2. კომპლექსური რიცხვების ნამრავლი

ზ 1 ∙z 2 = (ა 1 ∙ა 2 -ბ 1 ∙ბ 2) + (ა 1 ∙ბ 2 +ა 2 ∙ბ 1)∙ მე,

იმათ. გამრავლება ხორციელდება მრავალწევრების გამრავლების ჩვეულებრივი წესით იმის გათვალისწინებით, რომ მე 2 = 1.

3. ორი რთული რიცხვის გაყოფა ხორციელდება შემდეგი წესით:

, (ზ 2 ≠ 0),

იმათ. გაყოფა ხორციელდება დივიდენდის და გამყოფის გამყოფის კონიუგატულ რიცხვზე გამრავლებით.

კომპლექსური რიცხვების განზომილება განისაზღვრება შემდეგნაირად:

ამის ჩვენება ადვილია

მაგალითები.

1. იპოვეთ რთული რიცხვების ჯამი ზ 1 = 2 – მედა ზ 2 = – 4 + 3მე

ზ 1 + z 2 = (2 + (–1)∙ მე)+ (–4 + 3მე) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) მე = –2+2მე

2. იპოვეთ რთული რიცხვების ნამრავლი ზ 1 = 2 – 3მედა ზ 2 = –4 + 5მე

= (2 – 3მე) ∙ (–4 + 5მე) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3მე)+ 2∙5მე– 3მე∙ 5მე = 7+22მე

3. იპოვე კოეფიციენტი ზგაყოფისგან ზ 1 = 3 – 2ნა ზ 2 = 3 – მე

z = .

4. ამოხსენით განტოლება: xდა წ Î რ.

(2x+y) + (x+y)მე = 2 + 3მე

რთული რიცხვების ტოლობის გამო გვაქვს:

სადაც x =–1 , წ= 4.

5. გამოთვალეთ: მე 2 ,მე 3 ,მე 4 ,მე 5 ,მე 6 ,მე -1 , ი -2 .

6. გამოთვალეთ თუ .

.

7. გამოთვალეთ რიცხვი რიცხვის ორმხრივი ზ=3-ი.

რთული რიცხვები ტრიგონომეტრიული ფორმით

რთული თვითმფრინავიუწოდეს თვითმფრინავი დეკარტის კოორდინატებით ( x, y), თუ თითოეული წერტილი კოორდინატებით ( ა, ბ) ასოცირდება კომპლექსურ რიცხვთან z = a + bi. ამ შემთხვევაში აბსცისის ღერძი ეწოდება რეალური ღერძი, ხოლო ორდინატთა ღერძი არის წარმოსახვითი. შემდეგ ყოველი რთული რიცხვი ა+ბიგეომეტრიულად გამოსახულია სიბრტყეზე წერტილის სახით A (a, b) ან ვექტორი.

მაშასადამე, წერტილის პოზიცია ა(და, შესაბამისად, რთული რიცხვი ზ) შეიძლება განისაზღვროს ვექტორის | | = რდა კუთხე ჯ, წარმოქმნილი ვექტორით | | რეალური ღერძის დადებითი მიმართულებით. ვექტორის სიგრძე ეწოდება რთული რიცხვის მოდულიდა აღინიშნება | z |=rდა კუთხე ჯდაურეკა რთული რიცხვის არგუმენტიდა დანიშნულია j = არგ ზ.

გასაგებია, რომ | ზ| ³ 0 და | z | = 0 Û z = 0.

ნახ. 2 ნათელია, რომ.

რთული რიცხვის არგუმენტი განისაზღვრება ორაზროვნად, მაგრამ 2-ის სიზუსტით პკ, კÎ ზ.

ნახ. 2 ასევე ნათელია, რომ თუ z=a+biდა j=arg z,რომ

cos j =, ცოდვა j =, ტგ j = .

თუ zÎრდა z> 0, მაშინ arg z = 0 +2პკ;

თუ z Оრდა ზ< 0, მაშინ arg z = p + 2პკ;

თუ z = 0,არგ ზარ არის განსაზღვრული.

არგუმენტის ძირითადი მნიშვნელობა განისაზღვრება 0 ინტერვალზე £ არგ ზ£2 გვ,

ან -გვ£ arg z £ გვ.

მაგალითები:

1. იპოვეთ რთული რიცხვების მოდული ზ 1 = 4 – 3მედა ზ 2 = –2–2მე

2. კომპლექსურ სიბრტყეზე განსაზღვრეთ პირობებით განსაზღვრული არეები:

1) | z | = 5; 2) | ზ| £ 6; 3) | ზ – (2+მე) | £3; 4) £6 | ზ – მე| 7 ფუნტი.

გადაწყვეტილებები და პასუხები:

1) | ზ| = 5 Û Û - წრის განტოლება რადიუსით 5 და ცენტრი საწყისზე.

2) წრე 6 რადიუსით საწყისთან ცენტრით.

3) წრე 3 რადიუსით ცენტრით წერტილში z 0 = 2 + მე.

4) რგოლი, რომელიც შემოსაზღვრულია წრეებით 6 და 7 რადიუსით, ცენტრით წერტილში ზ 0 = მე.

3. იპოვეთ რიცხვების მოდული და არგუმენტი: 1) ; 2) .

1) ; ა = 1, ბ = Þ ,

Þ j 1 = .

2) ზ 2 = –2 – 2მე; a =–2, ბ =-2 Þ ,

.

მინიშნება: ძირითადი არგუმენტის განსაზღვრისას გამოიყენეთ რთული სიბრტყე.

ამრიგად: ზ 1 = .

2) , რ 2 = 1, j 2 = , .

3) , რ 3 = 1, j 3 = , .

4) , რ 4 = 1, j 4 = , .

ლექცია

რთული რიცხვის ტრიგონომეტრიული ფორმა

გეგმავენ

1. კომპლექსური რიცხვების გეომეტრიული გამოსახულება.

2. რთული რიცხვების ტრიგონომეტრიული აღნიშვნა.

3. მოქმედებები კომპლექსურ რიცხვებზე ტრიგონომეტრიული ფორმით.

რთული რიცხვების გეომეტრიული წარმოდგენა.

ა) კომპლექსური რიცხვები წარმოდგენილია სიბრტყეზე წერტილებით შემდეგი წესით: ა + ბი = მ ( ა ; ბ ) (ნახ. 1).

სურათი 1

ბ) კომპლექსური რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ვექტორით, რომელიც იწყება წერტილიდანშესახებ და ბოლოს მოცემულ წერტილში (ნახ. 2).

სურათი 2

მაგალითი 7. ააგეთ კომპლექსური რიცხვების გამოსახული წერტილები:1; - მე ; - 1 + მე ; 2 – 3 მე (ნახ. 3).

სურათი 3

რთული რიცხვების ტრიგონომეტრიული აღნიშვნა.

კომპლექსური ნომერიზ = ა + ბი შეიძლება დაზუსტდეს რადიუსის ვექტორის გამოყენებით კოორდინატებით( ა ; ბ ) (ნახ. 4).

სურათი 4

განმარტება . ვექტორის სიგრძე კომპლექსურ რიცხვს წარმოადგენსზ , ეწოდება ამ რიცხვის მოდული და აღინიშნება ანრ .

ნებისმიერი რთული რიცხვისთვისზ მისი მოდულირ = | ზ | განისაზღვრება ცალსახად ფორმულით .

განმარტება . კუთხის სიდიდე რეალური ღერძის დადებით მიმართულებასა და ვექტორს შორის , რომელიც წარმოადგენს კომპლექსურ რიცხვს, ეწოდება ამ რთული რიცხვის არგუმენტი და აღინიშნებაა rg ზ ანφ .

რთული რიცხვის არგუმენტიზ = 0 არ არის განსაზღვრული. რთული რიცხვის არგუმენტიზ≠ 0 – მრავალმნიშვნელოვანი სიდიდე და განისაზღვრება ვადის ფარგლებში2 πკ (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; ...): არგ ზ = არგ ზ + 2 πკ , სადარგ ზ – არგუმენტის ძირითადი მნიშვნელობა, რომელიც შეიცავს ინტერვალში(-π; π] , ანუ-π < არგ ზ ≤ π (ზოგჯერ არგუმენტის მთავარ მნიშვნელობად მიიღება მნიშვნელობა, რომელიც ეკუთვნის ინტერვალს .

ეს ფორმულა როცარ =1 ხშირად უწოდებენ მოივრის ფორმულას:

(cos φ + i sin φ) ნ = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

მაგალითი 11: გამოთვალეთ(1 + მე ) 100 .

დავწეროთ რთული რიცხვი1 + მე ტრიგონომეტრიული ფორმით.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (კოს +ვცოდავ )] 100 = ( ) 100 (კოს 100 + ვცოდავთ ·100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) ექსტრაქცია კვადრატული ფესვირთული რიცხვიდან.

რთული რიცხვის კვადრატული ფესვის აღებისასა + ბი გვაქვს ორი შემთხვევა:

თუბ >ო , ეს ;

რთული რიცხვები XI

§ 256. რთული რიცხვების ტრიგონომეტრიული ფორმა

მოდით კომპლექსური რიცხვი a + bi შეესაბამება ვექტორს ო.ა.> კოორდინატებით ( ა, ბ ) (იხ. სურ. 332).

მოდით აღვნიშნოთ ამ ვექტორის სიგრძე რ და კუთხე, რომელიც ქმნის ღერძს X , მეშვეობით φ . სინუსის და კოსინუსის განმარტებით:

ა / რ = cos φ , ბ / რ = ცოდვა φ .

ამიტომაც ა = რ cos φ , ბ = რ ცოდვა φ . მაგრამ ამ შემთხვევაში რთული რიცხვი a + bi შეიძლება დაიწეროს როგორც:

a + bi = რ cos φ + ირ ცოდვა φ = რ (კოს φ + მე ცოდვა φ ).

მოგეხსენებათ, ნებისმიერი ვექტორის სიგრძის კვადრატი უდრის მისი კოორდინატების კვადრატების ჯამს. ამიტომაც რ 2 = ა 2 + ბ 2, საიდანაც რ = √ა 2 + ბ 2

ასე რომ, ნებისმიერი რთული რიცხვი a + bi შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ფორმით :

a + bi = რ (კოს φ + მე ცოდვა φ ), (1)

სადაც რ = √ა 2 + ბ 2 და კუთხე φ განისაზღვრება პირობით:

რთული რიცხვების ჩაწერის ამ ფორმას ეწოდება ტრიგონომეტრიული.

ნომერი რ ფორმულაში (1) ეწოდება მოდულიდა კუთხე φ - არგუმენტი, რთული რიცხვი a + bi .

თუ რთული რიცხვია a + bi არ არის ნულის ტოლი, მაშინ მისი მოდული დადებითია; თუ a + bi = 0, მაშინ a = b = 0 და შემდეგ რ = 0.

ნებისმიერი რთული რიცხვის მოდული ცალსახად არის განსაზღვრული.

თუ რთული რიცხვია a + bi არ არის ნულის ტოლი, მაშინ მისი არგუმენტი განისაზღვრება ფორმულებით (2) აუცილებლადკუთხემდე, რომელიც იყოფა 2-ზე π . თუ a + bi = 0, მაშინ a = b = 0. ამ შემთხვევაში რ = 0. ფორმულიდან (1) ადვილი გასაგებია, რომ როგორც არგუმენტი φ ამ შემთხვევაში, შეგიძლიათ აირჩიოთ ნებისმიერი კუთხე: ბოლოს და ბოლოს, ნებისმიერისთვის φ

0 (კოს φ + მე ცოდვა φ ) = 0.

ამიტომ ნულოვანი არგუმენტი განუსაზღვრელია.

რთული რიცხვის მოდული რ ზოგჯერ აღინიშნება | ზ |, და არგუმენტია არგ ზ . მოდით შევხედოთ რთული რიცხვების ტრიგონომეტრიული ფორმით წარმოდგენის რამდენიმე მაგალითს.

მაგალითი. 1. 1 + მე .

მოდი ვიპოვოთ მოდული რ და არგუმენტი φ ეს ნომერი.

რ = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

ამიტომ ცოდვა φ = 1 / √ 2, cos φ = 1 / √ 2, საიდანაც φ = π / 4 + 2ნπ .

ამრიგად,

1 + მე = √ 2 ,

სად ნ - ნებისმიერი მთელი რიცხვი. ჩვეულებრივ, რთული რიცხვის არგუმენტის მნიშვნელობების უსასრულო სიმრავლიდან აირჩიეთ ის, რომელიც არის 0-დან 2-მდე. π . ამ შემთხვევაში, ეს მნიშვნელობა არის π / 4. ამიტომაც

1 + მე = √ 2 (კოს π / 4 + მე ცოდვა π / 4)

მაგალითი 2.დაწერეთ რთული რიცხვი ტრიგონომეტრიული ფორმით √ 3 - მე . ჩვენ გვაქვს:

რ = √ 3+1 = 2, cos φ = √ 3/2, ცოდვა φ = - 1 / 2

მაშასადამე, კუთხემდე, რომელიც იყოფა 2-ზე π , φ = 11 / 6 π ; აქედან გამომდინარე,

√ 3 - მე = 2 (cos 11/6 π + მე ცოდვა 11/6 π ).

მაგალითი 3დაწერეთ რთული რიცხვი ტრიგონომეტრიული ფორმით მე

კომპლექსური ნომერი მე შეესაბამება ვექტორს ო.ა.> , მთავრდება ღერძის A წერტილში ზე ორდინატთან 1 (სურ. 333). ასეთი ვექტორის სიგრძე არის 1, ხოლო კუთხე, რომელსაც ის ქმნის x ღერძთან, ტოლია π / 2. ამიტომაც

მე = cos π / 2 + მე ცოდვა π / 2 .

მაგალითი 4.დაწერეთ რთული რიცხვი 3 ტრიგონომეტრიული ფორმით.

კომპლექსური ნომერი 3 შეესაბამება ვექტორს ო.ა. > X აბსცისა 3 (სურ. 334).

ასეთი ვექტორის სიგრძე არის 3, ხოლო კუთხე, რომელსაც ის ქმნის x ღერძთან არის 0. მაშასადამე

3 = 3 (cos 0 + მე ცოდვა 0),

მაგალითი 5.დაწერეთ რთული რიცხვი -5 ტრიგონომეტრიული ფორმით.

კომპლექსური რიცხვი -5 შეესაბამება ვექტორს ო.ა.> მთავრდება ღერძის წერტილთან X აბსცისით -5 (სურ. 335). ასეთი ვექტორის სიგრძეა 5, ხოლო კუთხე, რომელიც ქმნის x ღერძთან ტოლია π . ამიტომაც

5 = 5 (კოს π + მე ცოდვა π ).

სავარჯიშოები

2047. ჩაწერეთ ეს რთული რიცხვები ტრიგონომეტრიული ფორმით, განსაზღვრეთ მათი მოდულები და არგუმენტები:

1) 2 + 2√3 მე , 4) 12მე - 5; 7).3მე ;

2) √3 + მე ; 5) 25; 8) -2მე ;

3) 6 - 6მე ; 6) - 4; 9) 3მე - 4.

2048. სიბრტყეზე მიუთითეთ კომპლექსური რიცხვების გამოსახული წერტილების სიმრავლე, რომელთა მოდულები r და არგუმენტები φ აკმაყოფილებს პირობებს:

1) რ = 1, φ = π / 4 ; 4) რ < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) რ =2; 5) 2 < რ <3; 8) 0 < φ < я;

3) რ < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < რ < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. შეიძლება თუ არა რიცხვები ერთდროულად იყოს რთული რიცხვის მოდული? რ და - რ ?

2050. რთული რიცხვის არგუმენტი შეიძლება იყოს ერთდროულად კუთხეები? φ და - φ ?

წარმოადგინეთ ეს რთული რიცხვები ტრიგონომეტრიული ფორმით, განსაზღვრეთ მათი მოდულები და არგუმენტები:

2051 *. 1 + cos α + მე ცოდვა α . 2054 *. 2 (20° - მე ცოდვა 20°).

2052 *. ცოდვა φ + მე cos φ . 2055 *. 3(- ფასი 15° - მე ცოდვა 15°).

სიბრტყეზე წერტილის პოზიციის დასადგენად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ პოლარული კოორდინატები [გ, (რ), სად გარის წერტილის მანძილი საწყისიდან და (გვ- კუთხე, რომელიც ქმნის რადიუსს - ამ წერტილის ვექტორი ღერძის დადებითი მიმართულებით ოჰ.კუთხის ცვლილების დადებითი მიმართულება (გვგანხილული მიმართულება არის საათის ისრის საწინააღმდეგოდ. დეკარტისა და პოლარის კოორდინატებს შორის კავშირის გამოყენება: x = g cos avg,y = g sin (გვ,

ვიღებთ რთული რიცხვის ჩაწერის ტრიგონომეტრიულ ფორმას

z - r(sin (p + i sin

სად გ

Xi + y2, (p არის რთული რიცხვის არგუმენტი, რომელიც ნაპოვნია

ლ X . წ წ

ფორმულები cos(p --, ცოდო^9 = - ან იმის გამო, რომ tg(p --, (p-arctg

გაითვალისწინეთ, რომ მნიშვნელობების არჩევისას ოთხბოლო განტოლებიდან აუცილებელია ნიშნების გათვალისწინება x და y.

მაგალითი 47. დაწერეთ რთული რიცხვი ტრიგონომეტრიული ფორმით 2 = -1 + ლ/ზ /.

გამოსავალი. ვიპოვოთ რთული რიცხვის მოდული და არგუმენტი:

= yj 1 + 3 = 2 . კუთხე ოთხურთიერთობებიდან ვხვდებით cos (გვ = -, sin(p = -.მერე

ვიღებთ cos(p = - სუუფ

უ/ზ გ~

• - -. ცხადია, წერტილი z = -1 + V3-/ მდებარეობს
• 2 რომ 3

მეორე კვარტალში: (გვ= 120°

ჩანაცვლება

2 კ.. cos--h; ცოდვა

ფორმულაში (1) ნაპოვნია 27Г L

კომენტარი. რთული რიცხვის არგუმენტი არ არის ცალსახად განსაზღვრული, მაგრამ ტერმინის ფარგლებში, რომელიც არის ჯერადი 2გვ.შემდეგ მეშვეობით sp^gაღნიშნავენ

არგუმენტის მნიშვნელობა ჩართულია შიგნით (გვ 0 %2 მერე

ა) ^ რ = + 2 კკ.

ცნობილი ეილერის ფორმულის გამოყენებით ე, ვიღებთ რთული რიცხვის ჩაწერის ექსპონენციალურ ფორმას.

ჩვენ გვაქვს r = g(co^(p + i?,p(p)=ge,

ოპერაციები კომპლექსურ რიცხვებზე

• 1. ორი რთული რიცხვის ჯამი r, = X] + y x/ და გ 2 - x 2 +y 2 / განისაზღვრება r ფორმულის მიხედვით! +2 2 = (x, +^2) + (^1 + ^2)‘ r
• 2. კომპლექსური რიცხვების გამოკლების მოქმედება განისაზღვრება როგორც შეკრების შებრუნებული მოქმედება. კომპლექსური ნომერი g = g x - g 2,თუ g 2 + g = g x,

არის კომპლექსური რიცხვების სხვაობა 2 და გ 2.შემდეგ r = (x, - x 2) + (y, - ზე 2) /.

• 3. ორი რთული რიცხვის ნამრავლი გ x= x, +y, -z და 2 2 = x 2+ U2 r განისაზღვრება ფორმულით
• *1*2 =(* +U"0 (X 2+ T 2 -0= X 1 X 2 Y 1 2 -1 +x Y2 " * + უ1 უ2 " ^ =

= (хх 2 ~УУ 2)+(Х У2 + Х 2У)-"-

კერძოდ, წ-წ= (x + y-y) (x-y /) = x 2 + y 2.

თქვენ შეგიძლიათ მიიღოთ რთული რიცხვების გამრავლების ფორმულები ექსპონენციალურ და ტრიგონომეტრიულ ფორმებში. ჩვენ გვაქვს:

• 1^2 - G x e 1 = )G 2 e > = G]G 2 cOs((P + საშუალო 2) + ისინი
• 4. კომპლექსური რიცხვების დაყოფა განისაზღვრება როგორც შებრუნებული ოპერაცია

გამრავლება, ე.ი. ნომერი G--ეწოდება r გაყოფის კოეფიციენტს! გ 2-ზე,

თუ g x -1 2 ? 2 . მერე

X + Ti _ (*і + სე 2 ~ 1 U2 ) x 2 + ІУ2 (2 + ^У 2)( 2 ~ 1 У 2)

x, x 2 + /y, x 2 - ix x 2 - i 2 y x y 2 (x x x 2 + y x y 2)+ /(- x,y 2 + X 2 Y])

2 2 x 2 + Y 2

1 ე

მე (რ გ

• - 1U e" (1 Fg) - I.сОї((Р -ср 1)+ І- (გვ-,)] >2 >2
• 5. კომპლექსური რიცხვის დადებით მთელ ხარისხზე აყვანა საუკეთესოა, თუ რიცხვი დაწერილია ექსპონენციალური ან ტრიგონომეტრიული ფორმებით.

მართლაც, თუ g = ge 1 მაშინ

=(ge,) = g p e t = G"(co8 psr+іт gkr).

ფორმულა g" =r n (cosn(p+ არის n(p)მოივრის ფორმულა ეწოდება.

6. ფესვის ამოღება p-კომპლექსური რიცხვის th ხარისხი განისაზღვრება, როგორც ხარისხზე აწევის შებრუნებული ოპერაცია p, p- 1,2,3,... ე.ი. რთული რიცხვი = y[გფესვს უწოდებენ p-რთული რიცხვის ხარისხში

გ, თუ გ = გ x. ამ განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ გ - გ", ა გ x= ლ/გ. (r-psr x,ა sr^-sr/n, რომელიც გამომდინარეობს მოივრის ფორმულიდან დაწერილი რიცხვისთვის = r/*+ іьіпп(р).

როგორც ზემოთ აღინიშნა, რთული რიცხვის არგუმენტი არ არის ცალსახად განსაზღვრული, მაგრამ ტერმინამდე, რომელიც არის 2-ის ჯერადი. და.ამიტომაც = (p + 2 pkდა r რიცხვის არგუმენტი, დამოკიდებულია რომ,აღვნიშნოთ (რ კდა ბუ

dem გამოთვლა ფორმულის გამოყენებით (რ კ= - +. გასაგებია, რომ არსებობს ნკომ-

რთული რიცხვები, ნ-რომლის ხარისხოვანი ტოლია რიცხვი 2. ამ რიცხვებს აქვთ ერთი

და იგივე მოდული ტოლია y[g,და ამ რიცხვების არგუმენტები მიღებულია რომ = 0, 1, p - 1. ამრიგად, ტრიგონომეტრიული ფორმით ფესვი i-thგრადუსი გამოითვლება ფორმულის გამოყენებით:

(p + 2 კპ . . ოთხ + 2კპ

, რომ = 0, 1, 77-1,

.(p+2კგ

ხოლო ექსპონენციალური ფორმით - ფორმულის მიხედვით l[g - y[ge გვ

მაგალითი 48. შეასრულეთ მოქმედებები კომპლექსურ რიცხვებზე ალგებრული ფორმით:

ა) (1-/H/2) 3 (3 + /)

• (1 - /ლ/2) 3 (z + /) = (1 - zl/2/ + 6/ 2 - 2 ლ/2 / ? 3)(3 + /) =
• (1 - Zl/2/ - 6 + 2l/2/DZ + /)=(- 5 - l/2/DZ + /) =

15-Zl/2/-5/-l/2/ 2 = -15 - Zl/2/-5/+ l/2 = (-15 +l/2)-(5 +Zl/2)/;

მაგალითი 49. რიცხვი r = Uz - / აწიეთ მეხუთე ხარისხამდე.

გამოსავალი. ვიღებთ r რიცხვის ჩაწერის ტრიგონომეტრიულ ფორმას.

G =ლ/3 + 1 =2, C08 (p --, 5ІІ7 (გვ =

• (1 - 2/X2 + /)
• (z-,)

O - 2.-X2 + ო

• 12+ 4/-9/
• 2 +і - 4/ - 2/ 2 2 - 3/ + 2 4 - 3/ 3 + і
• (z-O" (z-O

Z/ 2 12-51 + 3 15 - 5/

• (3-i) 'з+/
• 9 + 1 z_±.
• 5 2 1 "

აქედან O--, ა r = 2

ჩვენ ვიღებთ Moivre: მე -2

/ ^ _ 7G, . ?გ

• -სს-- ІБІП -

• --ბ / -

= -(ლ/ვ + გ)= -2 .

მაგალითი 50: იპოვეთ ყველა მნიშვნელობა

ამოხსნა, r = 2, a ოთხგანტოლებიდან ვპოულობთ sob(p = -,zt--.

ეს წერტილი 1 - /დ/ზ მდებარეობს მეოთხე კვარტალში, ე.ი. f =--. მერე

• 1 - 2
• ( ( UG L

ჩვენ ვპოულობთ ფესვის მნიშვნელობებს გამონათქვამიდან

V1 - /ლ/ზ = ლ/2

• --+ 2А:/г ---ь 2 კკ
• 3 . . 3

S08--1- და 81P-

ზე - 0 გვაქვს 2 0 = ლ/2

თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ რიცხვი 2-ის ფესვის მნიშვნელობები ეკრანზე ნომრის წარმოდგენით

-* TO/ 3 + 2 კლ

ზე რომ= 1 გვაქვს სხვა root მნიშვნელობა:

• 7 გ. 7G_
• ---ь27г ---ь2;г
• 3. . თ

7 გ . . 7 გ ლ-С05- + 181П - 6 6

• --N-

co? - 7G + /5SH - I"

ლ/3__ტ_

თელიალური ფორმა. იმიტომ რომ r= 2, ა ოთხ= , მაშინ g = 2е 3 , а y[გ = y/2e 2

2.3. რთული რიცხვების ტრიგონომეტრიული ფორმა

მოდით ვექტორი მითითებული იყოს კომპლექსურ სიბრტყეზე რიცხვით.

ფ-ით ავღნიშნოთ კუთხე დადებით ნახევრადღერძს Ox-სა და ვექტორს შორის (კუთხე φ ითვლება დადებითად, თუ იგი იზომება საათის საწინააღმდეგოდ, ხოლო უარყოფითი).

ვექტორის სიგრძე ავღნიშნოთ r-ით. მაშინ . ჩვენ ასევე აღვნიშნავთ

არანულოვანი კომპლექსური რიცხვის z ფორმაში ჩაწერა

ეწოდება z რთული რიცხვის ტრიგონომეტრიული ფორმა. რიცხვს r ეწოდება z რთული რიცხვის მოდული, ხოლო φ რიცხვს ამ რთული რიცხვის არგუმენტი და აღინიშნება Arg z-ით.

რთული რიცხვის ჩაწერის ტრიგონომეტრიული ფორმა - (ეილერის ფორმულა) - რთული რიცხვის ჩაწერის ექსპონენციალური ფორმა:

კომპლექსურ რიცხვს z აქვს უსასრულოდ ბევრი არგუმენტი: თუ φ0 არის z რიცხვის რომელიმე არგუმენტი, მაშინ ყველა დანარჩენი შეიძლება მოიძებნოს ფორმულის გამოყენებით.

რთული რიცხვისთვის არგუმენტი და ტრიგონომეტრიული ფორმა არ არის განსაზღვრული.

ამრიგად, არანულოვანი რთული რიცხვის არგუმენტი არის განტოლებათა სისტემის ნებისმიერი ამონახსნი:

(3)

კომპლექსური რიცხვის z არგუმენტის φ მნიშვნელობას, რომელიც აკმაყოფილებს უტოლობას, ეწოდება მთავარი მნიშვნელობა და აღინიშნება arg z-ით.

არგუმენტები Arg z და arg z დაკავშირებულია

, (4)

ფორმულა (5) არის (3) სისტემის შედეგი, ამიტომ რთული რიცხვის ყველა არგუმენტი აკმაყოფილებს ტოლობას (5), მაგრამ (5) განტოლების φ ამონახსნი არ არის z რიცხვის არგუმენტები.

არანულოვანი რთული რიცხვის არგუმენტის ძირითადი მნიშვნელობა გვხვდება ფორმულების მიხედვით:

რთული რიცხვების ტრიგონომეტრიული ფორმით გამრავლებისა და გაყოფის ფორმულები შემდეგია:

. (7)

რთული რიცხვის ბუნებრივ სიმძლავრემდე აყვანისას გამოიყენება Moivre ფორმულა:

რთული რიცხვის ფესვის ამოღებისას გამოიყენება ფორმულა:

, (9)

სადაც k=0, 1, 2, ..., n-1.

ამოცანა 54. გამოთვალეთ სად .

ამ გამოთქმის ამოხსნა წარმოვადგინოთ რთული რიცხვის ჩაწერის ექსპონენციალური სახით: .

თუ, მაშინ.

მაშინ, . ამიტომ, მაშინ და , სად .

პასუხი: , ზე.

ამოცანა 55. დაწერეთ რთული რიცხვები ტრიგონომეტრიული ფორმით:

ა) ; ბ) ; V) ; გ) ; დ) ; ე) ; და) .

ვინაიდან რთული რიცხვის ტრიგონომეტრიული ფორმა არის , მაშინ:

ა) კომპლექსურ რიცხვში: .

,

ამიტომაც

ბ) , სად,

გ) , სად,

ე) .

და) , ა , რომ .

ამიტომაც

პასუხი: ; 4; ; ; ; ; .

ამოცანა 56. იპოვეთ რთული რიცხვის ტრიგონომეტრიული ფორმა

.

დაე .

მაშინ, , .

მას შემდეგ, რაც და , , შემდეგ , და

ამიტომ, მაშასადამე

პასუხი: , სად .

ამოცანა 57. რთული რიცხვის ტრიგონომეტრიული ფორმის გამოყენებით შეასრულეთ შემდეგი მოქმედებები: .

წარმოვიდგინოთ რიცხვები და ტრიგონომეტრიული ფორმით.

1), სადაც მერე

იპოვნეთ მთავარი არგუმენტის მნიშვნელობა:

ჩავანაცვლოთ მნიშვნელობები და გამოსახულებაში მივიღებთ

2) , სად მერე

მერე

3) ვიპოვოთ კოეფიციენტი

თუ დავუშვებთ k=0, 1, 2, მივიღებთ სასურველი ფესვის სამ განსხვავებულ მნიშვნელობას:

თუ, მაშინ

თუ, მაშინ

თუ, მაშინ .

პასუხი::

:

: .

ამოცანა 58. იყოს , , , სხვადასხვა რთული რიცხვები და . დაამტკიცე რომ

ა) ნომერი არის რეალური დადებითი რიცხვი;

ბ) თანასწორობა მოქმედებს:

ა) წარმოვიდგინოთ ეს რთული რიცხვები ტრიგონომეტრიული ფორმით:

იმიტომ რომ .

დავუშვათ, რომ. მერე

.

ბოლო გამოხატულება არის დადებითი რიცხვი, რადგან სინუს ნიშნები შეიცავს რიცხვებს ინტერვალიდან.

ნომრიდან რეალური და პოზიტიური. მართლაც, თუ a და b რთული რიცხვებია და არიან ნამდვილები და ნულზე მეტი, მაშინ .

გარდა ამისა,

შესაბამისად დადასტურებულია საჭირო თანასწორობა.

ამოცანა 59. რიცხვი დაწერეთ ალგებრული ფორმით .

გამოვსახოთ რიცხვი ტრიგონომეტრიული ფორმით და შემდეგ ვიპოვოთ მისი ალგებრული ფორმა. ჩვენ გვაქვს . ამისთვის ჩვენ ვიღებთ სისტემას:

ეს გულისხმობს თანასწორობას: .

Moivre-ის ფორმულის გამოყენება:

ვიღებთ

ნაპოვნია მოცემული რიცხვის ტრიგონომეტრიული ფორმა.

ახლა დავწეროთ ეს რიცხვი ალგებრული ფორმით:

.

პასუხი: .

ამოცანა 60. იპოვეთ ჯამი , ,

განვიხილოთ თანხა

მოივრის ფორმულის გამოყენებით, ჩვენ ვპოულობთ

ეს ჯამი არის გეომეტრიული პროგრესიის n პუნქტების ჯამი მნიშვნელთან და პირველი წევრი .

ასეთი პროგრესიის წევრთა ჯამის ფორმულის გამოყენება გვაქვს

ბოლო გამონათქვამში წარმოსახვითი ნაწილის იზოლირებას ვპოულობთ

რეალური ნაწილის გამოყოფისას ასევე ვიღებთ შემდეგ ფორმულას: , , .

ამოცანა 61. იპოვეთ ჯამი:

ა) ; ბ) .

ნიუტონის გაძლიერების ფორმულის მიხედვით გვაქვს

Moivre-ს ფორმულის გამოყენებით ვხვდებით:

მიღებული გამონათქვამების რეალური და წარმოსახვითი ნაწილების გათანაბრება ჩვენთვის:

და .

ეს ფორმულები შეიძლება დაიწეროს კომპაქტური სახით შემდეგნაირად:

,

, სად არის a რიცხვის მთელი ნაწილი.

ამოცანა 62. იპოვე ყველა , რისთვისაც .

იმიტომ რომ , შემდეგ ფორმულის გამოყენებით

, ფესვების ამოსაღებად ვიღებთ ,

აქედან გამომდინარე, , ,

, .

რიცხვების შესაბამისი წერტილები განლაგებულია კვადრატის წვეროებზე, რომელიც ჩაწერილია 2 რადიუსის წრეში, ცენტრით წერტილში (0;0) (სურ. 30).

პასუხი: , ,

, .

ამოცანა 63. ამოხსენით განტოლება , .

პირობით; მაშასადამე, ამ განტოლებას არ აქვს ფესვი და, შესაბამისად, იგი განტოლების ტოლფასია.

იმისათვის, რომ z რიცხვი იყოს მოცემული განტოლების ფესვი, რიცხვი უნდა იყოს ფესვი n-ე ხარისხი 1 ნომრიდან.

აქედან დავასკვნით, რომ თავდაპირველ განტოლებას აქვს ფესვები, რომლებიც განისაზღვრება ტოლობებიდან

,

ამრიგად,

,

ე.ი. ,

პასუხი: .

ამოცანა 64. ამოხსენით განტოლება კომპლექსურ რიცხვთა სიმრავლეში.

ვინაიდან რიცხვი არ არის ამ განტოლების ფესვი, მაშინ ეს განტოლებისთვის უდრის განტოლებას

ანუ განტოლება.

ამ განტოლების ყველა ფესვი მიღებულია ფორმულიდან (იხ. ამოცანა 62):

; ; ; ; .

ამოცანა 65. კომპლექსურ სიბრტყეზე დახაზეთ წერტილთა სიმრავლე, რომელიც აკმაყოფილებს უტოლობას: . (45-ე პრობლემის გადაჭრის მე-2 გზა)

დაე .

იდენტური მოდულების მქონე რთული რიცხვები შეესაბამება სიბრტყის წერტილებს, რომლებიც დევს საწყისზე ორიენტირებულ წრეზე, შესაბამისად უტოლობა დააკმაყოფილოს ღია რგოლის ყველა წერტილი, რომელიც შემოსაზღვრულია წრეებით საწყისთან და რადიუსებით საერთო ცენტრით და (სურ. 31). დაე, რთული სიბრტყის რომელიმე წერტილი შეესაბამებოდეს რიცხვს w0. ნომერი , აქვს w0 მოდულზე რამდენჯერმე მცირე მოდული და არგუმენტი w0-ზე დიდი. გეომეტრიული თვალსაზრისით, w1-ის შესაბამისი წერტილი შეიძლება მივიღოთ ჰომოთეტიკის გამოყენებით საწყისზე ცენტრით და კოეფიციენტით, ასევე საწყისთან მიმართებაში ბრუნვის გამოყენებით საათის ისრის საწინააღმდეგო კუთხით. ამ ორი გარდაქმნის რგოლის წერტილებზე გამოყენების შედეგად (სურ. 31), ეს უკანასკნელი გარდაიქმნება რგოლად, რომელიც შემოიფარგლება იმავე ცენტრით და 1 და 2 რადიუსებით წრეებით (სურ. 32).

კონვერტაცია განხორციელებულია ვექტორზე პარალელური გადაცემის გამოყენებით. ცენტრში მდებარე რგოლის მითითებულ ვექტორზე გადატანით ვიღებთ იმავე ზომის რგოლს ცენტრით წერტილში (სურ. 22).

შემოთავაზებული მეთოდი, რომელიც იყენებს თვითმფრინავის გეომეტრიული გარდაქმნების იდეას, ალბათ ნაკლებად მოსახერხებელია აღსაწერად, მაგრამ ძალიან ელეგანტური და ეფექტურია.

ამოცანა 66. იპოვეთ თუ .

მოდით, მაშინ და. საწყისი თანასწორობა მიიღებს ფორმას . ორი რთული რიცხვის ტოლობის პირობიდან ვიღებთ , , საიდანაც , . ამრიგად, .

ჩავწეროთ რიცხვი z ტრიგონომეტრიული ფორმით:

, სად , . მოივრის ფორმულის მიხედვით ვპოულობთ .

პასუხი: - 64.

ამოცანა 67. რთული რიცხვისთვის იპოვეთ ყველა რთული რიცხვი ისეთი, რომ , და .

გამოვსახოთ რიცხვი ტრიგონომეტრიული ფორმით:

. აქედან,. ჩვენ მიერ მიღებული რიცხვისთვის შეიძლება იყოს ტოლი ან .

პირველ შემთხვევაში , მეორეში

.

პასუხი:, .

ამოცანა 68. იპოვეთ ისეთი რიცხვების ჯამი რომ . გთხოვთ, მიუთითოთ ამ ნომრებიდან ერთ-ერთი.

გაითვალისწინეთ, რომ პრობლემის ფორმულირებიდანვე შეიძლება გავიგოთ, რომ განტოლების ფესვების ჯამი შეიძლება მოიძებნოს თავად ფესვების გამოთვლის გარეშე. მართლაც, განტოლების ფესვების ჯამი არის კოეფიციენტი , საპირისპირო ნიშნით აღებული (განზოგადებული ვიეტას თეორემა), ე.ი.

მოსწავლეები, სასკოლო დოკუმენტაცია, აკეთებენ დასკვნებს ამ კონცეფციის დაუფლების ხარისხზე. შეაჯამეთ მათემატიკური აზროვნების თავისებურებების შესწავლა და რთული რიცხვის ცნების ჩამოყალიბების პროცესი. მეთოდების აღწერა. დიაგნოსტიკა: I სტადია. საუბარი გაიმართა მათემატიკის მასწავლებელთან, რომელიც მე-10 კლასში ასწავლის ალგებრას და გეომეტრიას. საუბარი შედგა მას შემდეგ რაც დაწყებიდან გარკვეული დრო გავიდა...

რეზონანსი“ (!)), რომელიც ასევე მოიცავს საკუთარი ქცევის შეფასებას. 4. სიტუაციის გაგების კრიტიკული შეფასება (ეჭვები). 5. და ბოლოს, იურიდიული ფსიქოლოგიის რეკომენდაციების გამოყენება (ადვოკატის გათვალისწინებით). ფსიქოლოგიური ასპექტებიშესრულებული პროფესიული ქმედებები - პროფესიული და ფსიქოლოგიური მზადყოფნა). ახლა განვიხილოთ ფსიქოლოგიური ანალიზიიურიდიული ფაქტები. ...

ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლების მათემატიკა და შემუშავებული სწავლების მეთოდოლოგიის ეფექტურობის ტესტირება. მუშაობის ეტაპები: 1. არჩევითი კურსის შემუშავება თემაზე: „ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლების გამოყენება ალგებრული ამოცანების ამოხსნისას“ კლასების მოსწავლეებთან სიღრმისეული შესწავლამათემატიკა. 2. შემუშავებული არჩევითი კურსის ჩატარება. 3. დიაგნოსტიკური ტესტის ჩატარება...

შემეცნებითი ამოცანები მიზნად ისახავს მხოლოდ არსებული სასწავლო საშუალებების შევსებას და უნდა იყოს სათანადო კომბინაციაში ყველა ტრადიციულ საშუალებებთან და ელემენტებთან. სასწავლო პროცესი. განსხვავება საგანმანათლებლო ამოცანებს შორის ჰუმანიტარული მეცნიერებების სწავლებაში და ზუსტ პრობლემებს შორის, მათემატიკური ამოცანებისგან მხოლოდ ის არის, რომ ისტორიულ ამოცანებში არ არსებობს ფორმულები, მკაცრი ალგორითმები და ა.შ., რაც ართულებს მათ გადაწყვეტას. ...