›

იპოვეთ სამკუთხედის სიმაღლე მისი ფუძის მიხედვით. იპოვეთ სამკუთხედის უდიდესი სიმაღლე

მრავალი გეომეტრიული პრობლემის გადასაჭრელად, თქვენ უნდა იპოვოთ მოცემული ფიგურის სიმაღლე. ამ ამოცანებს აქვს პრაქტიკული მნიშვნელობა. სამშენებლო სამუშაოების ჩატარებისას, სიმაღლის განსაზღვრა ხელს უწყობს მასალების საჭირო რაოდენობის გამოთვლას, ასევე იმის დადგენას, თუ რამდენად ზუსტად კეთდება ფერდობები და ღიობები. ხშირად, შაბლონების შესაქმნელად, თქვენ უნდა გქონდეთ წარმოდგენა თვისებების შესახებ

ბევრი ადამიანისთვის, სკოლაში კარგი შეფასების მიუხედავად, ჩვეულებრივი აშენებისას გეომეტრიული ფორმებიჩნდება კითხვა, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ სამკუთხედის ან პარალელოგრამის სიმაღლე. და ეს ყველაზე რთულია. ეს იმიტომ ხდება, რომ სამკუთხედი შეიძლება იყოს მკვეთრი, ბლაგვი, ტოლფერდა ან მართკუთხა. თითოეულ მათგანს აქვს მშენებლობისა და გაანგარიშების საკუთარი წესები.

როგორ ვიპოვოთ სამკუთხედის სიმაღლე, რომელშიც ყველა კუთხე მახვილია, გრაფიკულად

თუ სამკუთხედის ყველა კუთხე მკვეთრია (სამკუთხედის თითოეული კუთხე 90 გრადუსზე ნაკლებია), მაშინ სიმაღლის მოსაძებნად თქვენ უნდა გააკეთოთ შემდეგი.

  1. მოცემული პარამეტრების გამოყენებით ვაშენებთ სამკუთხედს.
  2. მოდით შემოვიტანოთ რამდენიმე აღნიშვნა. A, B და C იქნება ფიგურის წვეროები. თითოეული წვერის შესაბამისი კუთხეებია α, β, γ. ამ კუთხეების მოპირდაპირე გვერდები არის a, b, c.
  3. სიმაღლე არის კუთხის წვეროდან სამკუთხედის მოპირდაპირე მხარეს გამოყვანილი პერპენდიკულური. სამკუთხედის სიმაღლეების საპოვნელად ვაშენებთ პერპენდიკულარებს: α კუთხის წვეროდან a მხარეს, β კუთხის წვეროდან b მხარეს და ა.შ.
  4. სიმაღლისა და a მხარის გადაკვეთის წერტილი ავღნიშნოთ H1-ად, ხოლო თავად სიმაღლე - h1. სიმაღლისა და b მხარის გადაკვეთის წერტილი იქნება H2, სიმაღლე, შესაბამისად, h2. c მხარისთვის სიმაღლე იქნება h3 და გადაკვეთის წერტილი იქნება H3.

სიმაღლე სამკუთხედში ბლაგვი კუთხით

ახლა ვნახოთ, როგორ ვიპოვოთ სამკუთხედის სიმაღლე, თუ არის ის (90 გრადუსზე მეტი). ამ შემთხვევაში, ბლაგვი კუთხიდან დახატული სიმაღლე იქნება სამკუთხედის შიგნით. დარჩენილი ორი სიმაღლე იქნება სამკუთხედის გარეთ.

მოდით, ჩვენს სამკუთხედში α და β კუთხეები იყოს მახვილი, ხოლო კუთხე γ ბლაგვი. შემდეგ α და β კუთხიდან მომავალი სიმაღლეების ასაგებად აუცილებელია სამკუთხედის გვერდების გაგრძელება მათ მოპირდაპირე მხარეს, რათა პერპენდიკულარები დავხატოთ.

როგორ მოვძებნოთ ტოლფერდა სამკუთხედის სიმაღლე

ასეთ ფიგურას აქვს ორი ტოლი გვერდი და ფუძე, ხოლო ძირის კუთხეებიც ერთმანეთის ტოლია. გვერდებისა და კუთხეების ეს თანასწორობა აადვილებს სიმაღლეების აგებას და მათ გამოთვლას.

პირველი, მოდით დავხატოთ თავად სამკუთხედი. გვერდები b და c, ასევე β, γ კუთხეები ტოლი იყოს შესაბამისად.

ახლა ავიღოთ სიმაღლე α კუთხის წვეროდან, აღვნიშნოთ იგი h1. ამ სიმაღლეზე იქნება ბისექტორიც და მედიანაც.

საძირკვლის მხოლოდ ერთი კონსტრუქციის გაკეთებაა შესაძლებელი. მაგალითად, დახაზეთ მედიანა - სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ტოლფერდა სამკუთხედის წვეროსა და მოპირდაპირე მხარეს, ფუძეს, სიმაღლისა და ბისექტრის საპოვნელად. და დანარჩენი ორი მხარის სიგრძის გამოსათვლელად, შეგიძლიათ მხოლოდ ერთი სიმაღლის აგება. ამრიგად, გრაფიკულად იმის დასადგენად, თუ როგორ უნდა გამოვთვალოთ ტოლფერდა სამკუთხედის სიმაღლე, საკმარისია იპოვოთ სამი სიმაღლიდან ორი.

როგორ მოვძებნოთ მართკუთხა სამკუთხედის სიმაღლე

მართკუთხა სამკუთხედისთვის, სიმაღლის დადგენა ბევრად უფრო ადვილია, ვიდრე სხვებისთვის. ეს იმიტომ ხდება, რომ ფეხები თავად ქმნიან სწორ კუთხეს და, შესაბამისად, სიმაღლეა.

მესამე სიმაღლის ასაგებად, როგორც ყოველთვის, დახაზეთ წვეროს დამაკავშირებელი პერპენდიკულური სწორი კუთხედა მოპირდაპირე მხარეს. შედეგად, ამ შემთხვევაში სამკუთხედის შესაქმნელად საჭიროა მხოლოდ ერთი კონსტრუქცია.

თითქმის არასოდეს არის შესაძლებელი სამკუთხედის ყველა პარამეტრის დადგენა დამატებითი კონსტრუქციების გარეშე. ეს კონსტრუქციები სამკუთხედის უნიკალური გრაფიკული მახასიათებელია, რომელიც გვეხმარება გვერდებისა და კუთხეების ზომის განსაზღვრაში.

განმარტება

ერთ-ერთი ასეთი მახასიათებელია სამკუთხედის სიმაღლე. სიმაღლე არის პერპენდიკულარი, რომელიც გამოყვანილია სამკუთხედის წვეროდან მის მოპირდაპირე მხარეს. წვერო არის სამი წერტილიდან ერთ-ერთი, რომელიც სამ გვერდთან ერთად ქმნის სამკუთხედს.

სამკუთხედის სიმაღლის განმარტება შეიძლება ასე ჟღერდეს: სიმაღლე არის სამკუთხედის წვეროდან მოპირდაპირე მხარის შემცველი სწორი ხაზის პერპენდიკულური.

ეს განმარტება უფრო რთულად ჟღერს, მაგრამ ის უფრო ზუსტად ასახავს სიტუაციას. ფაქტია, რომ ბლაგვ სამკუთხედში შეუძლებელია სამკუთხედის შიგნით სიმაღლის დახატვა. როგორც ნახაზი 1-ში ჩანს, სიმაღლე ამ შემთხვევაში გარეა. გარდა ამისა, სიმაღლის დახატვა არ არის სტანდარტული სიტუაცია მართკუთხა სამკუთხედი. ამ შემთხვევაში, სამკუთხედის სამი სიმაღლედან ორი გაივლის ფეხებს, ხოლო მესამე წვეროდან ჰიპოტენუზაში.

ბრინჯი. 1. ბლაგვი სამკუთხედის სიმაღლე.

როგორც წესი, სამკუთხედის სიმაღლე აღინიშნება ასო h. სიმაღლე ასევე მითითებულია სხვა ფიგურებში.

როგორ გავიგოთ სამკუთხედის სიმაღლე?

სამკუთხედის სიმაღლის დასადგენად სამი სტანდარტული გზა არსებობს:

პითაგორას თეორემის მეშვეობით

ეს მეთოდი გამოიყენება ტოლგვერდა და ტოლგვერდა სამკუთხედებისთვის. გავაანალიზოთ ამონახსნი ტოლგვერდა სამკუთხედისთვის და შემდეგ ვთქვათ, რატომ არის იგივე ამონახსნი ტოლგვერდა სამკუთხედისთვის.

მოცემული: ტოლფერდა სამკუთხედი ABC ფუძით AC. AB=5, AC=8. იპოვეთ სამკუთხედის სიმაღლე.

ბრინჯი. 2. ნახატი პრობლემისთვის.

ტოლფერდა სამკუთხედისთვის მნიშვნელოვანია ვიცოდეთ რომელი მხარეა ფუძე. ეს განსაზღვრავს მხარეებს, რომლებიც უნდა იყოს თანაბარი, ისევე როგორც სიმაღლე, რომელზეც მოქმედებს გარკვეული თვისებები.

ფუძესთან დახატული ტოლფერდა სამკუთხედის სიმაღლის თვისებები:

  • სიმაღლე ემთხვევა მედიანას და ბისექტორს
  • ფუძეს ყოფს ორ თანაბარ ნაწილად.

სიმაღლეს აღვნიშნავთ როგორც ВD. ჩვენ ვიპოვით DC-ს, როგორც ფუძის ნახევარს, რადგან D წერტილის სიმაღლე ფუძეს შუაზე ყოფს. DC=4

სიმაღლე არის პერპენდიკულარული, რაც ნიშნავს, რომ BDC არის მართკუთხა სამკუთხედი, ხოლო სიმაღლე BH არის ამ სამკუთხედის ფეხი.

ვიპოვოთ სიმაღლე პითაგორას თეორემის გამოყენებით: $$ВD=\sqrt(BC^2-HC^2)=\sqrt(25-16)=3$$

ნებისმიერი ტოლგვერდა სამკუთხედი არის ტოლგვერდა, მხოლოდ მისი ფუძე უდრის მის გვერდებს. ანუ თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ იგივე პროცედურა.

სამკუთხედის ფართობის გავლით

ეს მეთოდი შეიძლება გამოყენებულ იქნას ნებისმიერი სამკუთხედისთვის. მის გამოსაყენებლად, თქვენ უნდა იცოდეთ სამკუთხედის ფართობი და გვერდი, რომელზეც სიმაღლეა დახატული.

სამკუთხედში სიმაღლეები არ არის ტოლი, ამიტომ შესაბამისი მხარისთვის შესაძლებელი იქნება შესაბამისი სიმაღლის გამოთვლა.

სამკუთხედის ფართობის ფორმულა: $$S=(1\over2)*bh$$, სადაც b არის სამკუთხედის გვერდი, ა h არის ამ მხარეს დახატული სიმაღლე. გამოვხატოთ სიმაღლე ფორმულიდან:

$$h=2*(S\ მეტი b)$$

თუ ფართობი არის 15, მხარე არის 5, მაშინ სიმაღლეა $$h=2*(15\over5)=6$$

ტრიგონომეტრიული ფუნქციის მეშვეობით

მესამე მეთოდი შესაფერისია იმ შემთხვევაში, თუ ცნობილია გვერდი და კუთხე ბაზაზე. ამისათვის თქვენ უნდა გამოიყენოთ ტრიგონომეტრიული ფუნქცია.

ბრინჯი. 3. ნახატი პრობლემისთვის.

კუთხე ВСН=300 და გვერდი BC=8. ჩვენ კვლავ გვაქვს იგივე მართკუთხა სამკუთხედი BCH. გამოვიყენოთ სინუსი. სინუსი არის მოპირდაპირე მხარის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან, რაც ნიშნავს: BH/BC=cos BCH.

კუთხე ცნობილია, ისევე როგორც მხარე. გამოვსახოთ სამკუთხედის სიმაღლე:

$$BH=BC*\cos (60\unicode(xb0))=8*(1\over2)=4$$

კოსინუსის მნიშვნელობა ზოგადად აღებულია ბრედისის ცხრილებიდან, მაგრამ მნიშვნელობები ტრიგონომეტრიული ფუნქციები 30,45 და 60 გრადუსისთვის - ცხრილის რიცხვები.

რა ვისწავლეთ?

გავიგეთ, რა არის სამკუთხედის სიმაღლე, რა სიმაღლეებია და როგორ არის დანიშნულება. გაარკვია ტიპიური ამოცანებიდა დაწერა სამი ფორმულა სამკუთხედის სიმაღლისთვის.

ტესტი თემაზე

სტატიის რეიტინგი

საშუალო რეიტინგი: 4.6. სულ მიღებული შეფასებები: 152.

სამკუთხედი) ან გაიარეთ სამკუთხედის გარეთ ბლაგვ სამკუთხედთან.

ენციკლოპედიური YouTube

    1 / 5

    ✪ სამკუთხედის სიმაღლის შუალედური ბისექტრია 7 კლასი

    ✪ ბისექტორი, მედიანა, სამკუთხედის სიმაღლე. გეომეტრია მე-7 კლასი

    ✪ კლასი 7, გაკვეთილი 17, მედიანები, ბისექტრები და სამკუთხედის სიმაღლეები

    ✪ მედიანა, ბისექტორი, სამკუთხედის სიმაღლე | გეომეტრია

    ✪ როგორ მოვძებნოთ ბისექტრის სიგრძე, მედიანა და სიმაღლე? | ჩემთან ჭკუა #031 | ბორის ტრუშინი

    სუბტიტრები

სამკუთხედის სამი სიმაღლის გადაკვეთის წერტილის თვისებები (ორთოცენტრი)

E A → ⋅ B C → + E B → ⋅ C A → + E C → ⋅ A B → = 0 (\displaystyle (\overrightarrow (EA))\cdot (\overrightarrow (BC))+(\overrightarrow (EB))\cdot (\ ზემოთ ისარი (CA)+(\overrightarrow (EC))\cdot (\overrightarrow (AB))=0)

(იდენტურობის დასადასტურებლად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ ფორმულები

A B → = E B → − E A → , B C → = E C → − E B → , C A → = E A → − E C → (\displaystyle (\overrightarrow (EB))-(\overrightarrow (EA )),\,(\overrightarrow (BC))=(\overrightarrow (EC))-(\overrightarrow (EB)),\,(\overrightarrow (CA))=(\overrightarrow (EA))-(\overrightarrow (EB)), (EC)))

სამკუთხედის ორი სიმაღლის გადაკვეთა უნდა მივიღოთ როგორც E წერტილი.)

  • ორთოცენტრიიზოგონურად კონიუგირებულია ცენტრთან შემოხაზული წრე .
  • ორთოცენტრიდევს იმავე ხაზზე, როგორც ცენტრი, ცენტრი წრეწირიდა ცხრა წერტილიანი წრის ცენტრი (იხ. ეილერის სწორი ხაზი).
  • ორთოცენტრიმწვავე სამკუთხედის არის წრის ცენტრი, რომელიც ჩაწერილია მის ორთოკუთხედში.
  • სამკუთხედის ცენტრი, რომელიც აღწერილია ორთოცენტრით, წვეროებით მოცემული სამკუთხედის გვერდების შუა წერტილებში. ბოლო სამკუთხედს ეწოდება პირველი სამკუთხედის დამატებითი სამკუთხედი.
  • ბოლო თვისება შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად: სამკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრის ცენტრი ემსახურება ორთოცენტრიდამატებითი სამკუთხედი.
  • წერტილები, სიმეტრიული ორთოცენტრისამკუთხედი მისი გვერდების მიმართ დევს წრეზე.
  • წერტილები, სიმეტრიული ორთოცენტრიგვერდების შუა წერტილებთან შედარებით სამკუთხედები ასევე დევს შემოხაზულ წრეზე და ემთხვევა შესაბამისი წვეროების დიამეტრალურად საპირისპირო წერტილებს.
  • თუ O არის წრეწირის ΔABC ცენტრი, მაშინ O H → = O A → + O B → + O C → (\displaystyle (\overrightarrow (OH))=(\overrightarrow (OA))+(\overrightarrow (OB))+(\overrightarrow (OC))) ,
  • მანძილი სამკუთხედის წვეროდან ორთოცენტრამდე ორჯერ მეტია, ვიდრე მანძილი წრეწირის ცენტრიდან მოპირდაპირე მხარეს.
  • საიდან გამოყვანილი ნებისმიერი სეგმენტი ორთოცენტრიწრეწირთან გადაკვეთამდე ის ყოველთვის იყოფა ნახევრად ეილერის წრით. ორთოცენტრიარის ამ ორი წრის ჰომოთეტური ცენტრი.
  • ჰამილტონის თეორემა. სამი სწორი ხაზის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ორთოცენტრს მწვავე სამკუთხედის წვეროებთან, ყოფს მას სამ სამკუთხედად, რომლებსაც აქვთ იგივე ეილერის წრე (ცხრა წერტილის წრე), როგორც თავდაპირველი მახვილი სამკუთხედი.
  • ჰამილტონის თეორემის დასკვნა:
    • სამი სწორი ხაზის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ორთოცენტრს მწვავე სამკუთხედის წვეროებთან, ყოფს მას სამად ჰამილტონის სამკუთხედიშემოხაზული წრეების თანაბარი რადიუსის მქონე.
    • შემოხაზული წრეების რადიუსი სამი ჰამილტონის სამკუთხედებითავდაპირველი მახვილი სამკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრის რადიუსის ტოლი.
  • მწვავე სამკუთხედში ორთოცენტრი დევს სამკუთხედის შიგნით; ბლაგვი კუთხით - სამკუთხედის გარეთ; მართკუთხაში - მართი კუთხის წვეროზე.

ტოლფერდა სამკუთხედის სიმაღლეების თვისებები

  • თუ სამკუთხედში ორი სიმაღლე ტოლია, მაშინ სამკუთხედი არის ტოლფერდა (შტაინერ-ლემუსის თეორემა), ხოლო მესამე სიმაღლე არის როგორც შუამავალი, ასევე ბისექტრი იმ კუთხიდან, საიდანაც ის გამოდის.
  • პირიქითაც მართალია: ტოლფერდა სამკუთხედში ორი სიმაღლე ტოლია, ხოლო მესამე სიმაღლე არის შუამავალიც და ბისექტორიც.
  • უ ტოლგვერდა სამკუთხედისამივე სიმაღლე თანაბარია.

სამკუთხედის სიმაღლეების ფუძეების თვისებები

  • საფუძვლებისიმაღლეები ქმნის ეგრეთ წოდებულ ორთოკუთხედს, რომელსაც აქვს თავისი თვისებები.
  • ორთოკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრე არის ეილერის წრე. ეს წრე ასევე შეიცავს სამკუთხედის გვერდების სამ შუა წერტილს და სამი სეგმენტის სამ შუა წერტილს, რომლებიც აკავშირებს ორთოცენტრს სამკუთხედის წვეროებთან.
  • ბოლო ქონების კიდევ ერთი ფორმულირება:
    • ეილერის თეორემა ცხრა წერტილიანი წრისთვის. საფუძვლებისამი სიმაღლეებსთვითნებური სამკუთხედი, მისი სამი გვერდის შუა წერტილები ( მისი შინაგანი საფუძვლებიმედიანები) და სამი სეგმენტის შუა წერტილები, რომლებიც აკავშირებს მის წვეროებს ორთოცენტრთან, ყველა დევს ერთ წრეზე ( ცხრა წერტილიანი წრე).
  • თეორემა. ნებისმიერ სამკუთხედში, სეგმენტი დამაკავშირებელი საფუძველიორი სიმაღლეებსსამკუთხედი, წყვეტს მოცემულის მსგავს სამკუთხედს.
  • თეორემა. სამკუთხედში, სეგმენტი დამაკავშირებელი საფუძველიორი სიმაღლეებსორ მხარეს დევს სამკუთხედები ანტიპარალელურიმესამე პირს, რომელთანაც არ აქვს საერთო ენა. წრე ყოველთვის შეიძლება გაივლოს როგორც მისი ორი ბოლოდან, ასევე მესამე ხსენებული მხარის ორი წვერით.

სამკუთხედის სიმაღლეების სხვა თვისებები

  • თუ სამკუთხედი მრავალმხრივი (სკალენი), შემდეგ ის შიდანებისმიერი წვეროდან გამოყვანილი ბისექტორი დევს შორის შიდაერთი და იგივე წვეროდან გამოყვანილი მედიანა და სიმაღლე.
  • სამკუთხედის სიმაღლე იზოგონალურად შერწყმულია დიამეტრთან (რადიუსი) შემოხაზული წრე, გამოყვანილია იმავე წვეროდან.
  • მწვავე სამკუთხედში არის ორი სიმაღლეებსამოჭერით მისგან მსგავსი სამკუთხედები.
  • მართკუთხა სამკუთხედში სიმაღლემართი კუთხის წვეროდან გამოყვანილი, ყოფს მას თავდაპირველის მსგავს ორ სამკუთხედად.

სამკუთხედის მინიმალური სიმაღლის თვისებები

სამკუთხედის მინიმალურ სიმაღლეს აქვს მრავალი ექსტრემალური თვისება. მაგალითად:

  • სამკუთხედის მინიმალური ორთოგონალური პროექცია სამკუთხედის სიბრტყეში მდებარე ხაზებზე აქვს სიგრძე მისი უმცირესი სიმაღლეების ტოლი.
  • მინიმალური სწორი ჭრილი იმ სიბრტყეში, რომლის მეშვეობითაც შესაძლებელია ხისტი სამკუთხა ფირფიტის გაყვანა, უნდა ჰქონდეს სიგრძე ამ ფირფიტის ყველაზე პატარა სიმაღლეების ტოლი.
  • სამკუთხედის პერიმეტრის გასწვრივ ორი ​​წერტილის უწყვეტი მოძრაობით ერთმანეთისკენ, მათ შორის მაქსიმალური მანძილი პირველი შეხვედრიდან მეორემდე მოძრაობისას არ შეიძლება იყოს სამკუთხედის უმცირესი სიმაღლის სიგრძეზე ნაკლები.
  • მინიმალური სიმაღლე სამკუთხედში ყოველთვის დევს ამ სამკუთხედში.

ძირითადი ურთიერთობები

  • h a = b ⋅ sin ⁡ γ = c ⋅ sin ⁡ β , (\displaystyle h_(a)=b(\cdot)\sin \გამა =c(\cdot)\sin \beta,)
  • h a = 2 ⋅ S a , (\displaystyle h_(a)=(\frac (2(\cdot)S)(a)),)სად S (\displaystyle S)- სამკუთხედის ფართობი, a (\displaystyle a)- სამკუთხედის გვერდის სიგრძე, რომლითაც სიმაღლე იკლებს.
  • h a = b ⋅ c 2 ⋅ R , (\displaystyle h_(a)=(\frac (b(\cdot)c)(2(\cdot )R)),)სად b ⋅ c (\displaystyle b(\cdot )c)- მხარეების პროდუქტი, R − (\displaystyle R-)შემოხაზული წრის რადიუსი
  • h a: h b: h c = 1 a: 1 b: 1 c = (b ⋅ c) : (a ⋅ c) : (a ⋅ b) .
  • (\displaystyle h_(a):h_(b):h_(c)=(\frac (1)(a)):(\frac (1)(b)):(\frac (1)(c)) =(b(\cdot)c):(a(\cdot)c):(a(\cdot)b).) 1 სთ a + 1 სთ b + 1 სთ c = 1 r (\displaystyle (\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_ (c)))=(\frac (1)(r))) , სად r (\displaystyle r)
  • S = 1 (1 სთ + 1 სთ ბ + 1 სთ გ) ⋅ (1 სთ + 1 სთ ბ − 1 სთ გ) ⋅ (1 სთ a + 1 სთ გ − 1 სთ ბ) ⋅ (1 სთ ბ + 1 სთ გ − 1 სთ a) (\ჩვენების სტილი S =(\frac (1)(\sqrt ((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c ))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))-(\frac (1)(h_(c))) )(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_(b))))(\ cdot )((\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_(a)))))))) 1 სთ a + 1 სთ b + 1 სთ c = 1 r (\displaystyle (\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_ (c)))=(\frac (1)(r))) S (\displaystyle S)- სამკუთხედის ფართობი.
  • a = 2 სთ a ⋅ (1 სთ ა + 1 სთ ბ + 1 სთ გ) ⋅ (1 სთ a + 1 სთ ბ − 1 სთ გ) ⋅ (1 სთ + 1 სთ ც − 1 სთ ბ) ⋅ (1 სთ ბ + 1 სთ გ − 1 სთ) ჩვენების სტილი a=(\frac (2)(h_(a)(\cdot )(\sqrt ((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b))) +(\frac (1)(h_(c))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))-(\ ფრაკი (1)(h_(გ))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1) )(h_(ბ))))(\cdot )((\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_ (ა)))))))))), a (\displaystyle a)- სამკუთხედის მხარე, რომელზეც სიმაღლე ეშვება h a (\displaystyle h_(a)).
  • ტოლფერდა სამკუთხედის სიმაღლე დაშვებული ფუძემდე: h c = 1 2 ⋅ 4 a 2 − c 2 , (\displaystyle h_(c)=(\frac (1)(2))(\cdot )(\sqrt (4a^(2)-c^(2)) ))
სად c (\displaystyle c)- ბაზა, a (\displaystyle a)- მხარე.

მართკუთხა სამკუთხედის სიმაღლის თეორემა

თუ ABC მართკუთხა სამკუთხედში სიმაღლე სიგრძისაა h (\displaystyle h)მართი კუთხის წვეროდან დახატული, ჰიპოტენუზას ყოფს სიგრძეზე c (\displaystyle c)სეგმენტებად m (\displaystyle m)და n (\displaystyle n), ფეხების შესაბამისი b (\displaystyle b)და a (\displaystyle a), მაშინ შემდეგი ტოლობები მართალია.

სამკუთხედის სიმაღლე არის პერპენდიკულური, რომელიც ჩამოდის სამკუთხედის ნებისმიერი წვეროდან მოპირდაპირე მხარეს, ან მის გაფართოებამდე (გვერდს, რომელზეც პერპენდიკულარი ეშვება, ამ შემთხვევაში სამკუთხედის ფუძე ეწოდება).

ბლაგვ სამკუთხედში ორი სიმაღლე ეცემა გვერდების გაფართოებაზე და დევს სამკუთხედის გარეთ. მესამე არის სამკუთხედის შიგნით.

მწვავე სამკუთხედში სამივე სიმაღლე სამკუთხედის შიგნით დევს.

მართკუთხა სამკუთხედში, ფეხები ემსახურება სიმაღლეებს.

როგორ მოვძებნოთ სიმაღლე ფუძიდან და ფართობიდან

გავიხსენოთ სამკუთხედის ფართობის გამოთვლის ფორმულა. სამკუთხედის ფართობი გამოითვლება ფორმულით: A = 1/2bh.

  • A არის სამკუთხედის ფართობი
  • b არის სამკუთხედის გვერდი, რომელზეც სიმაღლე იკლებს.
  • h - სამკუთხედის სიმაღლე

შეხედეთ სამკუთხედს და დაფიქრდით რა რაოდენობით უკვე იცით. თუ თქვენ მოგეცემათ ტერიტორია, დააწკაპუნეთ მას "A" ან "S". ასევე უნდა მიენიჭოთ მხარის მნიშვნელობა, დაარქვით „ბ“. თუ არ მოგცემთ ტერიტორიას და არ მოგცემთ გვერდით, გამოიყენეთ სხვა მეთოდი.

გაითვალისწინეთ, რომ სამკუთხედის საფუძველი შეიძლება იყოს სამკუთხედის ნებისმიერი გვერდი, რომელზედაც დაწევა სიმაღლე (მიუხედავად იმისა, თუ როგორ არის განლაგებული სამკუთხედი). ამის უკეთ გასაგებად, წარმოიდგინეთ, რომ შეგიძლიათ მოატრიალოთ ეს სამკუთხედი. მოაბრუნეთ ისე, რომ მხარე, რომელიც იცით, ქვემოთ იყოს.

მაგალითად, სამკუთხედის ფართობი არის 20, ხოლო მისი ერთ-ერთი გვერდი არის 4. ამ შემთხვევაში, „A = 20″“, „b = 4“.

ჩაანაცვლეთ თქვენთვის მოცემული მნიშვნელობები ფართობის გამოსათვლელად (A = 1/2bh) და იპოვეთ სიმაღლე. ჯერ გავამრავლოთ მხარე (b) 1/2-ზე და შემდეგ გავყოთ ფართობი (A) მიღებულ მნიშვნელობაზე. ამ გზით თქვენ იპოვით სამკუთხედის სიმაღლეს.

ჩვენს მაგალითში: 20 = 1/2 (4) სთ

20 = 2 სთ
10 = სთ

გახსოვდეთ ტოლგვერდა სამკუთხედის თვისებები. ტოლგვერდა სამკუთხედში ყველა გვერდი და ყველა კუთხე ტოლია (თითოეული კუთხე არის 60˚). თუ ასეთ სამკუთხედში დახაზავთ სიმაღლეს, მიიღებთ ორ თანაბარ მართკუთხა სამკუთხედს.
მაგალითად, განვიხილოთ ტოლგვერდა სამკუთხედი მე-8 გვერდით.

გაიხსენეთ პითაგორას თეორემა. პითაგორას თეორემა ამბობს, რომ ნებისმიერ მართკუთხა სამკუთხედში გვერდებით "a" და "b" ჰიპოტენუზა "c" უდრის: a2+b2=c2. ეს თეორემა შეიძლება გამოვიყენოთ ტოლგვერდა სამკუთხედის სიმაღლის დასადგენად!

ტოლგვერდა სამკუთხედი გაყავით ორ მართკუთხა სამკუთხედად (ამისთვის დახაზეთ სიმაღლე). შემდეგ მონიშნეთ ერთ-ერთი მართკუთხა სამკუთხედის გვერდები. ტოლგვერდა სამკუთხედის გვერდითი გვერდი არის მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზა „c“. ფეხი "a" ტოლგვერდა სამკუთხედის გვერდის 1/2-ის ტოლია, ხოლო ფეხი "b" არის ტოლგვერდა სამკუთხედის სასურველი სიმაღლე.

ასე რომ, ჩვენს მაგალითში ტოლგვერდა სამკუთხედის ცნობილი გვერდით 8: c = 8 და a = 4.

შეაერთეთ ეს მნიშვნელობები პითაგორას თეორემაში და გამოთვალეთ b2. პირველი, კვადრატი "c" და "a" (თითო მნიშვნელობა გაამრავლეთ თავისთავად). შემდეგ გამოვაკლოთ a2 c2-ს.

42 + b2 = 82
16 + b2 = 64
b2 = 48

ამოღება კვადრატული ფესვი b2-დან სამკუთხედის სიმაღლის საპოვნელად. ამისათვის გამოიყენეთ კალკულატორი. შედეგად მიღებული მნიშვნელობა იქნება თქვენი ტოლგვერდა სამკუთხედის სიმაღლე!

b = √48 = 6.93

როგორ მოვძებნოთ სიმაღლე კუთხეების და გვერდების გამოყენებით

იფიქრეთ იმაზე, თუ რა მნიშვნელობები იცით. შეგიძლიათ იპოვოთ სამკუთხედის სიმაღლე, თუ იცით გვერდების და კუთხეების მნიშვნელობები. მაგალითად, თუ ფუძესა და გვერდს შორის კუთხე ცნობილია. ან თუ ცნობილია სამივე მხარის მნიშვნელობები. მაშ ასე, ავღნიშნოთ სამკუთხედის გვერდები: "a", "b", "c", სამკუთხედის კუთხეები: "A", "B", "C", ხოლო ფართობი - ასო "S".

თუ იცით სამივე მხარე, დაგჭირდებათ სამკუთხედის ფართობი და ჰერონის ფორმულა.

თუ იცით ორი გვერდი და მათ შორის კუთხე, შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი ფორმულა ფართობის საპოვნელად: S=1/2ab(sinC).

თუ მოგცემთ სამივე მხარის მნიშვნელობებს, გამოიყენეთ ჰერონის ფორმულა. ამ ფორმულის გამოყენებით, თქვენ მოგიწევთ რამდენიმე ნაბიჯის შესრულება. ჯერ უნდა იპოვოთ ცვლადი „s“ (ამ ასოთი აღვნიშნავთ სამკუთხედის პერიმეტრის ნახევარს). ამისათვის შეცვალეთ ცნობილი მნიშვნელობები ამ ფორმულაში: s = (a+b+c)/2.

სამკუთხედისთვის გვერდებით a = 4, b = 3, c = 5, s = (4+3+5)/2. შედეგი არის: s=12/2, სადაც s=6.

შემდეგ, როგორც მეორე ნაბიჯი, ვპოულობთ ფართობს (ჰერონის ფორმულის მეორე ნაწილი). ფართობი = √(s(s-a)(s-b)(s-c)). სიტყვის "არეალის" ნაცვლად, ფართობის საპოვნელად ჩასვით ექვივალენტური ფორმულა: 1/2bh (ან 1/2ah, ან 1/2ch).

ახლა იპოვეთ სიმაღლის ექვივალენტური გამოხატულება (h). ჩვენი სამკუთხედისთვის მართებულია შემდეგი განტოლება: 1/2(3)h = (6(6-4)(6-3)(6-5)). სადაც 3/2სთ=√(6(2(3(1))). გამოდის, რომ 3/2სთ = √(36). კალკულატორის გამოყენებით გამოთვალეთ კვადრატული ფესვი. ჩვენს მაგალითში: 3/2სთ = 6. გამოდის, რომ სიმაღლე (h) უდრის 4-ს, მხარე b არის ფუძე.

თუ პრობლემის პირობების მიხედვით ცნობილია ორი გვერდი და კუთხე, შეგიძლიათ გამოიყენოთ სხვა ფორმულა. შეცვალეთ ფორმულის ფართობი ექვივალენტური გამოსახულებით: 1/2bh. ამრიგად, თქვენ მიიღებთ შემდეგ ფორმულას: 1/2bh = 1/2ab(sinC). ის შეიძლება გამარტივდეს შემდეგი ფორმით: h = a(sin C) ერთი უცნობი ცვლადის ამოსაღებად.

ახლა რჩება მხოლოდ მიღებული განტოლების ამოხსნა. მაგალითად, მოდით "a" = 3, "C" = 40 გრადუსი. შემდეგ განტოლება ასე გამოიყურება: "h" = 3 (ცოდვა 40). კალკულატორისა და სინუსების ცხრილის გამოყენებით გამოთვალეთ "h"-ის მნიშვნელობა. ჩვენს მაგალითში, h = 1.928.

სამკუთხედის სიმაღლის გამოთვლა დამოკიდებულია თავად ფიგურაზე (ტოლფერდა, ტოლგვერდა, მასშტაბური, მართკუთხა). პრაქტიკულ გეომეტრიაში რთული ფორმულებიროგორც წესი, არ ხდება. საკმარისია იცოდე ზოგადი პრინციპიგამოთვლები ისე, რომ ის უნივერსალურად იყოს გამოყენებული ყველა სამკუთხედზე. დღეს გაგაცნობთ ძირითადი პრინციპებიფიგურის სიმაღლის გამოთვლა საანგარიშო ფორმულების გამოყენებით, სამკუთხედების სიმაღლის თვისებების საფუძველზე.

რა არის სიმაღლე?

სიმაღლეს აქვს რამდენიმე გამორჩეული თვისება

  1. წერტილს, სადაც ყველა სიმაღლე აკავშირებს, ორთოცენტრი ეწოდება. თუ სამკუთხედი წვეტიანია, მაშინ ორთოცენტრი ფიგურის შიგნითაა, თუ რომელიმე კუთხე ბლაგვია, მაშინ ორთოცენტრი, როგორც წესი, გარეთაა.
  2. სამკუთხედში, სადაც ერთი კუთხე არის 90°, ორთოცენტრი და წვერო ემთხვევა ერთმანეთს.
  3. სამკუთხედის ტიპებიდან გამომდინარე, არსებობს რამდენიმე ფორმულა სამკუთხედის სიმაღლის დასადგენად.

ტრადიციული გამოთვლები

  1. თუ p არის პერიმეტრის ნახევარი, მაშინ a, b, c არის საჭირო ფიგურის გვერდების აღნიშვნა, h არის სიმაღლე, მაშინ პირველი და უმარტივესი ფორმულა ასე გამოიყურება: h = 2/a √p(p-a) (პ-ბ) (პ-გ) .
  2. სასკოლო სახელმძღვანელოებში ხშირად შეგიძლიათ იპოვოთ პრობლემები, რომლებშიც ცნობილია სამკუთხედის ერთ-ერთი გვერდის მნიშვნელობა და კუთხის ზომა ამ მხარესა და ფუძეს შორის. მაშინ სიმაღლის გამოთვლის ფორმულა ასე გამოიყურება: h = b ∙ sin γ + c ∙ sin β.
  3. როდესაც მოცემულია სამკუთხედის ფართობი - S, ისევე როგორც ფუძის სიგრძე - a, მაშინ გამოთვლები იქნება რაც შეიძლება მარტივი. სიმაღლე გვხვდება ფორმულის გამოყენებით: h = 2S/a.
  4. როდესაც მოცემულია ფიგურის ირგვლივ აღწერილი წრის რადიუსი, ჯერ ვიანგარიშებთ მისი ორი გვერდის სიგრძეებს და შემდეგ ვაგრძელებთ სამკუთხედის მოცემული სიმაღლის გამოთვლას. ამისათვის ვიყენებთ ფორმულას: h = b ∙ c/2R, სადაც b და c არის სამკუთხედის ორი გვერდი, რომელიც არ არის ფუძე, ხოლო R არის რადიუსი.
როგორ გავიგოთ ტოლფერდა სამკუთხედის სიმაღლე?

ამ ფიგურის ყველა გვერდი ტოლია, მათი სიგრძე ტოლია, ამიტომ ფუძის კუთხეებიც ტოლი იქნება. აქედან გამომდინარეობს, რომ სიმაღლეები, რომლებსაც ფუძეებზე ვხატავთ, ასევე თანაბარი იქნება, ისინი ასევე არიან მედიანები და ბისექტრები. ლაპარაკი მარტივი ენითტოლფეროვან სამკუთხედში სიმაღლე ფუძეს ორად ყოფს. მართკუთხა სამკუთხედი, რომელიც მიიღება სიმაღლის დახაზვის შემდეგ, განხილული იქნება პითაგორას თეორემის გამოყენებით. გვერდი ავღნიშნოთ a-ით და ფუძე b-ით, შემდეგ სიმაღლე h = ½ √4 a2 − b2.

როგორ გავიგოთ ტოლგვერდა სამკუთხედის სიმაღლე?

ტოლგვერდა სამკუთხედის ფორმულა (ფიგურა, სადაც ყველა გვერდი ზომით თანაბარია) შეიძლება მოიძებნოს წინა გამოთვლების საფუძველზე. თქვენ მხოლოდ უნდა გაზომოთ სამკუთხედის ერთ-ერთი გვერდის სიგრძე და დანიშნოთ იგი, როგორც a. შემდეგ სიმაღლე გამოითვლება ფორმულით: h = √3/2 a.

როგორ მოვძებნოთ მართკუთხა სამკუთხედის სიმაღლე?

მოგეხსენებათ, მართკუთხა სამკუთხედში კუთხე არის 90°. ერთი მხარით დაშვებული სიმაღლე ასევე მეორე მხარეა. მართი კუთხის მქონე სამკუთხედის სიმაღლეები მათზე იქნება. სიმაღლის შესახებ მონაცემების მისაღებად საჭიროა ოდნავ გარდაქმნათ არსებული პითაგორას ფორმულა, მიუთითოთ ფეხები - a და b, ასევე გაზომოთ ჰიპოტენუზის სიგრძე - c.

ვიპოვოთ ფეხის სიგრძე (გვერდი, რომლის სიმაღლეც პერპენდიკულარული იქნება): a = √ (c2 − b2). მეორე ფეხის სიგრძე იპოვება ზუსტად იგივე ფორმულით: b =√ (c2 − b2). რის შემდეგაც შეგიძლიათ დაიწყოთ სამკუთხედის სიმაღლის გამოთვლა მართი კუთხით, ჯერ გამოთვალეთ ფიგურის ფართობი - s. სიმაღლის მნიშვნელობა არის h = 2s/a.

გამოთვლები სკალენური სამკუთხედით

როდესაც სკალენის სამკუთხედს აქვს მკვეთრი კუთხეები, ჩანს ძირამდე დაშვებული სიმაღლე. თუ სამკუთხედს აქვს ბლაგვი კუთხე, მაშინ სიმაღლე შეიძლება იყოს ფიგურის მიღმა და თქვენ უნდა გააგრძელოთ იგი გონებრივად, რათა მიიღოთ სიმაღლისა და სამკუთხედის ფუძის შემაერთებელი წერტილი. სიმაღლის გაზომვის უმარტივესი გზაა მისი გამოთვლა ერთ-ერთი მხარის და კუთხის ზომის მიხედვით. ფორმულა ასეთია: h = b sin y + c sin ß.