(რეალური, მკაცრად დადებითი)
Ნორმალური დისტრიბუცია, ასევე ე.წ გაუსის განაწილებაან გაუსი - ლაპლასი- ალბათობის განაწილება, რომელიც ერთგანზომილებიან შემთხვევაში მითითებულია ალბათობის სიმკვრივის ფუნქციით, რომელიც ემთხვევა გაუსის ფუნქციას:
f (x) = 1 σ 2 π e − (x − μ) 2 2 σ 2 , (\displaystyle f(x)=(\frac (1)(\sigma (\sqrt (2\pi ))))\ ;e^(-(\frac ((x-\mu)^(2))(2\სიგმა ^(2)))))სადაც პარამეტრი μ არის მოლოდინი (საშუალო მნიშვნელობა), მედიანა და განაწილების რეჟიმი, და პარამეტრი σ არის განაწილების სტანდარტული გადახრა (σ² არის დისპერსია).
ამრიგად, ერთგანზომილებიანი ნორმალური განაწილება არის განაწილების ორპარამეტრიანი ოჯახი. მრავალვარიანტული შემთხვევა აღწერილია სტატიაში „მრავალვარიატი ნორმალური განაწილება“.
სტანდარტული ნორმალური განაწილებაეწოდება ნორმალური განაწილება მათემატიკური მოლოდინით μ = 0 და სტანდარტული გადახრაσ = 1.
ენციკლოპედიური YouTube
-
1 / 5
ნორმალური განაწილების მნიშვნელობა მეცნიერების ბევრ დარგში (მაგალითად, მათემატიკური სტატისტიკა და სტატისტიკური ფიზიკა) ალბათობის თეორიის ცენტრალური ზღვრული თეორემადან გამომდინარეობს. თუ დაკვირვების შედეგი არის მრავალი შემთხვევითი, სუსტად ურთიერთდამოკიდებული სიდიდის ჯამი, რომელთაგან თითოეული მცირე წვლილს ახდენს მთლიან ჯამთან მიმართებაში, მაშინ ტერმინების რიცხვის ზრდასთან ერთად, ცენტრალური და ნორმალიზებული შედეგის განაწილება ნორმალურია. ალბათობის თეორიის ეს კანონი იწვევს ნორმალური განაწილების ფართო განაწილებას, რაც მისი სახელწოდების ერთ-ერთი მიზეზი იყო.
Თვისებები
მომენტები
თუ შემთხვევითი ცვლადები X 1 (\displaystyle X_(1))და X 2 (\displaystyle X_(2))არიან დამოუკიდებლები და აქვთ ნორმალური განაწილება მათემატიკური მოლოდინებით μ 1 (\displaystyle \mu _(1))და μ 2 (\displaystyle \mu _(2))და განსხვავებები σ 1 2 (\displaystyle \sigma _(1)^(2))და σ 2 2 (\displaystyle \sigma _(2)^(2))შესაბამისად, მაშინ X 1 + X 2 (\displaystyle X_(1)+X_(2))ასევე აქვს ნორმალური განაწილება მათემატიკური მოლოდინით μ 1 + μ 2 (\ჩვენების სტილი \mu _(1)+\mu _(2))და დისპერსიას σ 1 2 + σ 2 2 . (\displaystyle \sigma _(1)^(2)+\sigma _(2)^(2).)აქედან გამომდინარეობს, რომ ნორმალური შემთხვევითი ცვლადი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი, როგორც დამოუკიდებელი ნორმალური შემთხვევითი ცვლადების თვითნებური რაოდენობის ჯამი.
მაქსიმალური ენტროპია
ნორმალურ განაწილებას აქვს მაქსიმალური დიფერენციალური ენტროპია ყველა უწყვეტ განაწილებას შორის, რომლის ვარიაცია არ აღემატება მოცემულ მნიშვნელობას.
ნორმალური ფსევდო შემთხვევითი ცვლადების მოდელირება
უმარტივესი სავარაუდო მოდელირების მეთოდები ეფუძნება ცენტრალური ლიმიტის თეორემას. კერძოდ, თუ დაამატებთ რამდენიმე დამოუკიდებელ იდენტურად განაწილებულ რაოდენობას სასრული დისპერსიით, მაშინ ჯამი განაწილდება დაახლოებითჯარიმა. მაგალითად, თუ დაამატებთ 100 დამოუკიდებელ სტანდარტულს თანაბრადგანაწილებული შემთხვევითი ცვლადები, მაშინ ჯამის განაწილება იქნება დაახლოებით ნორმალური.
ნორმალურად განაწილებული ფსევდო შემთხვევითი ცვლადების პროგრამული გენერირებისთვის სასურველია გამოვიყენოთ Box-Muller ტრანსფორმაცია. ის საშუალებას გაძლევთ შექმნათ ერთი ნორმალურად განაწილებული მნიშვნელობა ერთი თანაბრად განაწილებული მნიშვნელობის საფუძველზე.
ნორმალური განაწილება ბუნებაში და აპლიკაციებში
ნორმალური განაწილება ხშირად გვხვდება ბუნებაში. მაგალითად, შემდეგი შემთხვევითი ცვლადები კარგად არის მოდელირებული ნორმალური განაწილებით:
- გადახრა სროლისას.
- გაზომვის შეცდომები (თუმცა, ზოგიერთი საზომი ხელსაწყოს შეცდომებს არ აქვთ ნორმალური განაწილება).
- ცოცხალი ორგანიზმების ზოგიერთი მახასიათებელი პოპულაციაში.
ეს განაწილება იმდენად გავრცელებულია, რადგან ის არის უსასრულოდ გამყოფი უწყვეტი განაწილება სასრული დისპერსიით. მაშასადამე, ზოგიერთი სხვა უახლოვდება მას ლიმიტში, მაგალითად, ბინომინალური და პუასონი. ეს განაწილება აყალიბებს ბევრ არადეტერმინისტულ ფიზიკურ პროცესს.
სხვა დისტრიბუციებთან ურთიერთობა
- ნორმალური განაწილება არის Pearson ტიპის XI განაწილება.
- ნორმალურად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადების დამოუკიდებელი სტანდარტის წყვილის თანაფარდობა აქვს კოშის განაწილებას. ანუ თუ შემთხვევითი ცვლადი X (\displaystyle X)წარმოადგენს ურთიერთობას X = Y / Z (\displaystyle X=Y/Z)(სად Y (\displaystyle Y)და Z (\displaystyle Z)- დამოუკიდებელი სტანდარტული ნორმალური შემთხვევითი ცვლადები), მაშინ მას ექნება კოშის განაწილება.
- თუ z 1 , … , z k (\displaystyle z_(1),\ldots ,z_(k))- ერთობლივად დამოუკიდებელი სტანდარტული ნორმალური შემთხვევითი ცვლადები, ანუ z i ∼ N (0 , 1) (\displaystyle z_(i)\sim N\მარცხნივ(0,1\მარჯვნივ)), შემდეგ შემთხვევითი ცვლადი x = z 1 2 + … + z k 2 (\displaystyle x=z_(1)^(2)+\ldots +z_(k)^(2))აქვს ჩი-კვადრატის განაწილება k თავისუფლების ხარისხით.
- თუ შემთხვევითი ცვლადი X (\displaystyle X)ექვემდებარება ლოგნორმალურ განაწილებას, მაშინ მის ბუნებრივ ლოგარითმს აქვს ნორმალური განაწილება. ანუ თუ X ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2)\მარჯვნივ)), ეს Y = ln (X) ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y=\ln \left(X\right)\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right )). და პირიქით, თუ Y ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\მარჯვნივ)), ეს X = exp (Y) ∼ L o g N (μ, σ 2) (\displaystyle X=\exp \left(Y\right)\sim \mathrm (LogN) \left(\mu,\sigma ^(2) \მარჯვნივ )).
- ორი სტანდარტული ნორმალური შემთხვევითი ცვლადის კვადრატების შეფარდება აქვს
ნორმალური განაწილება არის განაწილების ყველაზე გავრცელებული ტიპი. მას ხვდება გაზომვის შეცდომების გაანალიზებისას, მონიტორინგის დროს ტექნოლოგიური პროცესებიდა რეჟიმებს, ასევე ბიოლოგიის, მედიცინისა და ცოდნის სხვა დარგების სხვადასხვა ფენომენის ანალიზსა და პროგნოზირებაში.
ტერმინი „ნორმალური განაწილება“ გამოიყენება ლიტერატურაში ზოგადად მიღებული პირობითი მნიშვნელობით, თუმცა არა მთლად წარმატებული. ამრიგად, განცხადება, რომ გარკვეული მახასიათებელი ემორჩილება ნორმალურ განაწილების კანონს, საერთოდ არ ნიშნავს რაიმე ურყევი ნორმების არსებობას, რომელიც სავარაუდოდ საფუძვლად უდევს ფენომენს, რომლის ასახვაც განსახილველი მახასიათებელია, და სხვა განაწილების კანონებისადმი დაქვემდებარება არ ნიშნავს რაიმე სახის. ამ ფენომენის არანორმალურობაზე.
ნორმალური განაწილების მთავარი მახასიათებელია ის, რომ ეს არის ზღვარი, რომელსაც უახლოვდება სხვა განაწილებები. ნორმალური განაწილება პირველად აღმოაჩინა მოივმა 1733 წელს. მხოლოდ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადები ემორჩილება ნორმალურ კანონს. ნორმალური განაწილების კანონის სიმკვრივეს აქვს ფორმა.
ნორმალური განაწილების კანონის მათემატიკური მოლოდინი არის . განსხვავება უდრის.
ნორმალური განაწილების ძირითადი თვისებები.
1. განაწილების სიმკვრივის ფუნქცია განისაზღვრება მთელ რიცხვით ღერძზე ოჰ , ანუ თითოეული მნიშვნელობა X შეესაბამება ფუნქციის ძალიან სპეციფიკურ მნიშვნელობას.
2. ყველა ღირებულებისთვის X (როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი) სიმკვრივის ფუნქცია იღებს დადებით მნიშვნელობებს, ანუ ნორმალური მრუდი მდებარეობს ღერძის ზემოთ. ოჰ .
3. სიმკვრივის ფუნქციის ლიმიტი შეუზღუდავი ზრდით X ნულის ტოლი,
.4. წერტილში ნორმალური განაწილების სიმკვრივის ფუნქციას აქვს მაქსიმუმი
.5. სიმკვრივის ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია სწორი ხაზის მიმართ.
6. განაწილების მრუდს აქვს ორი გადახრის წერტილი კოორდინატებით
და 
.7. ნორმალური განაწილების რეჟიმი და მედიანა ემთხვევა მათემატიკურ მოლოდინს ა .
8. პარამეტრის შეცვლისას ნორმალური მრუდის ფორმა არ იცვლება ა .
9. ნორმალური განაწილების დახრილობის და ქურტოზის კოეფიციენტები ნულის ტოლია.
ამ კოეფიციენტების გამოთვლის მნიშვნელობა ემპირიული განაწილების სერიებისთვის აშკარაა, რადგან ისინი ახასიათებენ ამ სერიის დახრილობას და ციცაბოობას ნორმალურთან შედარებით.
ინტერვალში ჩავარდნის ალბათობა ფორმულით არის ნაპოვნი
, სად 
კენტი ცხრილის ფუნქცია.მოდით განვსაზღვროთ ალბათობა იმისა, რომ ნორმალურად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადი გადახრის მისგან მათემატიკური მოლოდინიზე ნაკლები რაოდენობით, ანუ ჩვენ ვიპოვით უტოლობის ალბათობას
, ან ორმაგი უტოლობის ალბათობა. ფორმულაში ჩანაცვლებით, ვიღებთ
უარყოფის გამოხატვა შემთხვევითი ცვლადი X სტანდარტული გადახრის ფრაქციებში, ანუ ბოლო ტოლობის ჩასმა, მივიღებთ .
მაშინ როცა მივიღებთ,
როცა მივიღებთ,
როცა ვიღებთ.
ბოლო უტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ პრაქტიკულად ნორმალურად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადის გაფანტვა შემოიფარგლება ფართობით. ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევითი ცვლადი არ მოხვდება ამ არეალში, არის ძალიან მცირე, კერძოდ 0,0027-ის ტოლი, ანუ ეს მოვლენა შეიძლება მოხდეს 1000-დან მხოლოდ სამ შემთხვევაში. ასეთი მოვლენები შეიძლება ჩაითვალოს თითქმის შეუძლებლად. ზემოაღნიშნული მსჯელობიდან გამომდინარე სამი სიგმის წესი, რომელიც ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად: თუ შემთხვევით ცვლადს აქვს ნორმალური განაწილება, მაშინ ამ მნიშვნელობის გადახრა მათემატიკური მოლოდინიდან აბსოლუტური მნიშვნელობით არ აღემატება სამჯერ სტანდარტულ გადახრას..
მაგალითი 28. ავტომატური მანქანით წარმოებული ნაწილი შესაფერისად ითვლება, თუ მისი კონტროლირებადი ზომის გადახრა დიზაინიდან არ აღემატება 10 მმ-ს. კონტროლირებადი ზომის შემთხვევითი გადახრები დიზაინიდან ექვემდებარება ნორმალურ განაწილების კანონს მმ-ის სტანდარტული გადახრით და მათემატიკური მოლოდინით. რამდენ პროცენტს აწარმოებს მანქანა?
გამოსავალი. განვიხილოთ შემთხვევითი ცვლადი X - ზომის გადახრა დიზაინიდან. ნაწილი ჩაითვლება მოქმედად, თუ შემთხვევითი ცვლადი ეკუთვნის ინტერვალს. შესაფერისი ნაწილის წარმოების ალბათობა შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულის გამოყენებით
. შესაბამისად, აპარატის მიერ წარმოებული შესაფერისი ნაწილების პროცენტული მაჩვენებელი არის 95,44%.ბინომალური განაწილება
Binomial არის კლების ალბათობის განაწილება მ ღონისძიებების რაოდენობაში პ დამოუკიდებელი ცდები, რომელთაგან თითოეულში მოვლენის დადგომის ალბათობა მუდმივი და ტოლია რ . მოვლენის შემთხვევების შესაძლო რაოდენობის ალბათობა გამოითვლება ბერნულის ფორმულის გამოყენებით:
სად . Მუდმივი პ და რ , რომელიც შედის ამ გამონათქვამში, არის ბინომიალური კანონის პარამეტრები. ბინომიური განაწილება აღწერს დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილებას.
ძირითადი რიცხვითი მახასიათებლები ბინომალური განაწილება. მათემატიკური მოლოდინი არის. განსხვავება არის
. დახრისა და ქურტოზის კოეფიციენტები ტოლია და 
. ტესტების რაოდენობის შეუზღუდავი ზრდით ა
და ე
მიდრეკილია ნულისკენ, შესაბამისად, შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ ბინომიური განაწილება ნორმალურთან გადაიყრება, როგორც ცდების რაოდენობა იზრდება.მაგალითი 29. დამოუკიდებელი ტესტები ტარდება მოვლენის იგივე ალბათობით ა ყველა ტესტში. იპოვნეთ მოვლენის დადგომის ალბათობა ა ერთ ცდაში, თუ შემთხვევათა რაოდენობის ვარიაცია სამ ცდაში არის 0.63.
გამოსავალი. ბინომალური განაწილებისთვის
. მოდით შევცვალოთ მნიშვნელობები, მივიღებთ 
აქედან 
ან 
შემდეგ და .პუასონის განაწილება
იშვიათი ფენომენების გავრცელების კანონი
პუასონის განაწილება აღწერს მოვლენების რაოდენობას მ , რომელიც ხდება დროის თანაბარ პერიოდებში, იმ პირობით, რომ მოვლენები ერთმანეთისგან დამოუკიდებლად ხდება მუდმივი საშუალო ინტენსივობით. უფრო მეტიც, ტესტების რაოდენობა პ მაღალია და ყოველ საცდელში მოვლენის მოხდენის ალბათობა რ პატარა ამიტომ, პუასონის განაწილებას უწოდებენ იშვიათი მოვლენების კანონს ან უმარტივეს ნაკადს. პუასონის განაწილების პარამეტრი არის მნიშვნელობა, რომელიც ახასიათებს მოვლენების ინტენსივობას პ ტესტები. პუასონის განაწილების ფორმულა
.Poisson-ის განაწილება კარგად აღწერს დაზღვევის თანხების გადახდის პრეტენზიების რაოდენობას წელიწადში, სატელეფონო სადგურზე მიღებულ ზარების რაოდენობას გარკვეულ დროში, საიმედოობის ტესტების დროს ელემენტების გაუმართაობის რაოდენობას, დეფექტური პროდუქტების რაოდენობას და ა.შ. .
პუასონის განაწილების ძირითადი რიცხვითი მახასიათებლები. მათემატიკური მოლოდინი უდრის დისპერსიას და უდრის ა . ანუ
. ეს არის ამ განაწილების გამორჩეული თვისება. ასიმეტრიისა და ქურტოზის კოეფიციენტები შესაბამისად ტოლია.მაგალითი 30. სადაზღვევო გადახდების საშუალო რაოდენობა დღეში არის ორი. იპოვეთ ალბათობა, რომ ხუთ დღეში მოგიწევთ გადაიხადოთ: 1) 6 სადაზღვევო თანხა; 2) ექვსზე ნაკლები თანხა; 3) მინიმუმ ექვსი. ან ექსპონენციალურიგანაწილება.
ეს განაწილება ხშირად შეინიშნება სხვადასხვა მოწყობილობების მომსახურების ვადის შესწავლისას, ცალკეული ელემენტების, სისტემის ნაწილების და მთლიანად სისტემის მუშაობის დროის შესწავლისას, ზედიზედ ორი იშვიათი მოვლენის წარმოშობას შორის შემთხვევითი დროის ინტერვალის განხილვისას.
ექსპონენციალური განაწილების სიმკვრივე განისაზღვრება პარამეტრით, რომელსაც ე.წ წარუმატებლობის მაჩვენებელი. ეს ტერმინი დაკავშირებულია გამოყენების კონკრეტულ სფეროსთან - სანდოობის თეორიასთან.
ექსპონენციალური განაწილების ინტეგრალური ფუნქციის გამოხატულება შეიძლება მოიძებნოს დიფერენციალური ფუნქციის თვისებების გამოყენებით:
ექსპონენციალური განაწილების მოლოდინი, ვარიაცია, სტანდარტული გადახრა. ამრიგად, ამ განაწილებისთვის დამახასიათებელია, რომ სტანდარტული გადახრა რიცხობრივად უდრის მათემატიკურ მოლოდინს. პარამეტრის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, ასიმეტრიისა და ქურტოზის კოეფიციენტები მუდმივი მნიშვნელობებია.
მაგალითი 31. ტელევიზორის მუშაობის საშუალო დრო პირველ უკმარისობამდე არის 500 საათი. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევით შერჩეული ტელევიზორი 1000 საათზე მეტ ხანს იმუშავებს ავარიის გარეშე.
გამოსავალი. ვინაიდან საშუალო ოპერაციული დრო პირველ წარუმატებლობამდე არის 500, მაშინ
. ჩვენ ვპოულობთ სასურველ ალბათობას ფორმულის გამოყენებით.ყველაზე ცნობილი და ხშირად გამოყენებული კანონი ალბათობის თეორიაში არის ნორმალური განაწილების კანონი ან გაუსის კანონი .
მთავარი თვისებანორმალური განაწილების კანონი ისაა, რომ ეს არის შემზღუდველი კანონი სხვა განაწილების კანონებისთვის.
გაითვალისწინეთ, რომ ნორმალური განაწილებისთვის ინტეგრალურ ფუნქციას აქვს ფორმა:
.მოდით ახლა ვაჩვენოთრომ პარამეტრების სავარაუდო მნიშვნელობა ასეთია: ა არის მათემატიკური მოლოდინი, - ნორმალური განაწილების სტანდარტული გადახრა (ე.ი.):
ა) უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინის განმარტებით გვაქვს
მართლა
,ვინაიდან ინტეგრალური ნიშნის ქვეშ არის კენტი ფუნქცია და ინტეგრაციის საზღვრები სიმეტრიულია საწყისის მიმართ;
- პუასონის ინტეგრალი .ასე რომ, ნორმალური განაწილების მათემატიკური მოლოდინი პარამეტრის ტოლია ა .
ბ) უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის დისპერსიის განმარტებით და იმის გათვალისწინებით, რომ შეგვიძლია დავწეროთ
.ნაწილებით ინტეგრირება, დაყენება
, მოდი ვიპოვოთ
აქედან გამომდინარე
.
ასე რომ, ნორმალური განაწილების სტანდარტული გადახრა უდრის პარამეტრს.
თუ განაწილება ასევე ნორმალურია, მას უწოდებენ ნორმალიზებულ (ან სტანდარტულ ნორმალურ) განაწილებას. შემდეგ, ცხადია, ნორმალიზებული სიმკვრივე (დიფერენციალური) და ნორმალიზებული ინტეგრალური განაწილების ფუნქცია დაიწერება შესაბამისად სახით:
(ფუნქციას, როგორც მოგეხსენებათ, ეწოდება ლაპლასის ფუნქცია (იხ. ლექცია 5) ან ალბათობის ინტეგრალი. ორივე ფუნქცია, ანუ
, ცხრილი და მათი მნიშვნელობები აღირიცხება შესაბამის ცხრილებში).ნორმალური განაწილების თვისებები (ნორმალური მრუდის თვისებები):
1. ცხადია, ფუნქცია მთელ რიცხვთა წრფეზე.
2.
, ანუ ნორმალური მრუდი მდებარეობს ღერძის ზემოთ ოჰ
.3.
, ანუ ღერძი ოჰ
ემსახურება როგორც გრაფის ჰორიზონტალური ასიმპტოტი.4. ნორმალური მრუდი სიმეტრიულია სწორი ხაზის მიმართ x = a (შესაბამისად, ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია ღერძის მიმართ OU ).
ამიტომ შეგვიძლია დავწეროთ: .
5.
.6. ადვილია იმის ჩვენება, რომ ქულები
და 
არის ნორმალური მრუდის გადახრის წერტილები (დაამტკიცეთ ეს თავად).7.აშკარაა რომ
მაგრამ მას შემდეგ
, ეს 
. გარდა ამისა 
მაშასადამე, ყველა უცნაური მომენტი ნულის ტოლია.თუნდაც წამებით შეგვიძლია დავწეროთ:
8.
.9.
.10.
, სად .11. შემთხვევითი ცვლადის უარყოფითი მნიშვნელობებისთვის: , სადაც .
13. განაწილების ცენტრის მიმართ სიმეტრიულ მონაკვეთში შემთხვევითი ცვლადის მოხვედრის ალბათობა უდრის:
მაგალითი 3. აჩვენეთ, რომ ნორმალურად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადი X გადაუხვევს მათემატიკური მოლოდინს მ(X) მეტი აღარ .
გამოსავალი. ნორმალური განაწილებისთვის:
.
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ალბათობა იმისა, რომ გადახრის აბსოლუტური მნიშვნელობა გადააჭარბებსსამმაგი სტანდარტული გადახრა არის ძალიან მცირე, კერძოდ 0,0027-ის ტოლი, რაც ნიშნავს, რომ მხოლოდ 0,27% შემთხვევაში შეიძლება ეს მოხდეს. ასეთი მოვლენები, წარმოუდგენელი მოვლენების შეუძლებლობის პრინციპიდან გამომდინარე, შეიძლება ჩაითვალოს პრაქტიკულად შეუძლებლად.
ასე რომ, მოვლენა 0,9973 ალბათობით შეიძლება ჩაითვალოს პრაქტიკულად საიმედოდ, ანუ შემთხვევითი ცვლადი გადახრის მათემატიკური მოლოდინიდან არაუმეტეს .
მაგალითი 4. შემთხვევითი ცვლადის ნორმალური განაწილების მახასიათებლების ცოდნა X - ფოლადის დაჭიმვის სიმტკიცე: კგ/მმ2 და კგ/მმ2, იპოვნეთ 31 კგ/მმ 2-დან 35 კგ/მმ2-მდე დაჭიმვის სიძლიერის ფოლადის მიღების ალბათობა.
გამოსავალი.
3. ექსპონენციალური განაწილება (ექსპონენციალური განაწილების კანონი)
ექსპონენციალური არის უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილება. X , რომელიც აღწერილია დიფერენციალური ფუნქციით (განაწილების სიმკვრივე)
სადაც არის მუდმივი დადებითი მნიშვნელობა.
ექსპონენციალური განაწილება განისაზღვრება ერთიპარამეტრი. ექსპონენციური განაწილების ეს მახასიათებელი მიუთითებს მის უპირატესობაზე დისტრიბუციებთან შედარებით, რომლებიც დამოკიდებულია უფრო მეტ პარამეტრზე. ჩვეულებრივ, პარამეტრები უცნობია და მათი შეფასებები (დაახლოებითი მნიშვნელობები) უნდა მოიძებნოს; რა თქმა უნდა, უფრო ადვილია ერთი პარამეტრის შეფასება, ვიდრე ორი, ან სამი და ა.შ.
ინტეგრალური ექსპონენციალური განაწილების ფუნქციის დაწერა მარტივია:
ჩვენ განვსაზღვრეთ ექსპონენციალური განაწილება დიფერენციალური ფუნქციის გამოყენებით; ნათელია, რომ მისი დადგენა შესაძლებელია ინტეგრალური ფუნქციის გამოყენებით.
კომენტარი: განვიხილოთ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი თ - პროდუქტის წარუმატებელი მუშაობის ხანგრძლივობა. მისი მიღებული მნიშვნელობები აღინიშნება ტ , . კუმულაციური განაწილების ფუნქცია
განსაზღვრავს წარუმატებლობის ალბათობაპროდუქტები გარკვეული პერიოდის განმავლობაში ტ
. შესაბამისად, უშეცდომოდ მუშაობის ალბათობა იმავე დროს, ხანგრძლივობაში ტ
, ანუ საპირისპირო მოვლენის ალბათობა უდრის) განსაკუთრებით მნიშვნელოვან როლს ასრულებს ალბათობის თეორიაში და ყველაზე ხშირად გამოიყენება პრაქტიკული პრობლემების გადაჭრისას. მისი მთავარი თვისებაიმით, რომ ეს არის შემზღუდველი კანონი, რომელსაც უახლოვდება განაწილების სხვა კანონები ძალიან გავრცელებულ ტიპურ პირობებში. მაგალითად, საკმარისად დიდი რაოდენობის დამოუკიდებელი (ან სუსტად დამოკიდებული) შემთხვევითი ცვლადების ჯამი დაახლოებით ემორჩილება ნორმალურ კანონს და ეს მართალია რაც უფრო ზუსტად იქნება შეჯამებული მეტი შემთხვევითი ცვლადი.
ექსპერიმენტულად დადასტურდა, რომ გაზომვის შეცდომები, გადახრები გეომეტრიულ ზომებში და შენობის სტრუქტურის ელემენტების პოზიცია მათი დამზადებისა და მონტაჟის დროს, და ცვალებადობა სამშენებლო კონსტრუქციებზე მოქმედი მასალებისა და დატვირთვების ფიზიკურ და მექანიკურ მახასიათებლებში ექვემდებარება ნორმალურ კანონს.
თითქმის ყველა შემთხვევითი ცვლადი ექვემდებარება გაუსის განაწილებას, რომლის გადახრა საშუალო მნიშვნელობებისგან გამოწვეულია შემთხვევითი ფაქტორების დიდი ნაკრებით, რომელთაგან თითოეული ინდივიდუალურად უმნიშვნელოა. (ცენტრალური ლიმიტის თეორემა).
Ნორმალური დისტრიბუციაარის შემთხვევითი უწყვეტი ცვლადის განაწილება, რომლის ალბათობის სიმკვრივეს აქვს ფორმა (ნახ. 18.1).
ბრინჯი. 18.1. ნორმალური განაწილების კანონი 1-ზე< a 2 .
(18.1) 
სადაც a და არის განაწილების პარამეტრები.
ჩვეულებრივი კანონის მიხედვით განაწილებული შემთხვევითი ცვლადის ალბათური მახასიათებლები უდრის:
მათემატიკური მოლოდინი (18.2)
ვარიაცია (18.3)
სტანდარტული გადახრა (18.4)
ასიმეტრიის კოეფიციენტი A = 0(18.5)
Ჭარბი ე= 0. (18.6)
პარამეტრი σ, რომელიც შედის გაუსის განაწილებაში, უდრის შემთხვევითი ცვლადის საშუალო კვადრატის შეფარდებას. მაგნიტუდა აგანსაზღვრავს განაწილების ცენტრის პოზიციას (იხ. სურ. 18.1) და მნიშვნელობას ა— განაწილების სიგანე (სურ. 18.2), ე.ი. სტატისტიკური გავრცელება საშუალო მნიშვნელობის გარშემო.
ბრინჯი. 18.2. ნორმალური განაწილების კანონი σ 1-ზე< σ 2 < σ 3
ნორმალურ განაწილებისთვის მოცემულ ინტერვალში (x 1-დან x 2-მდე) დაცემის ალბათობა, როგორც ყველა შემთხვევაში, განისაზღვრება ალბათობის სიმკვრივის ინტეგრალით (18.1), რომელიც არ არის გამოხატული ელემენტარული ფუნქციებით და წარმოდგენილია სპეციალური ფუნქცია, რომელსაც ლაპლასის ფუნქცია ეწოდება (ალბათობის ინტეგრალი).
ალბათობის ინტეგრალის ერთ-ერთი წარმოდგენა:
(18.7)მაგნიტუდა დადაურეკა კვანტილი
ნათელია, რომ F(x) - უცნაური ფუნქცია, ანუ Ф(-х) = -Ф(х) . ამ ფუნქციის მნიშვნელობები გამოითვლება და წარმოდგენილია ცხრილების სახით ტექნიკურ და საგანმანათლებლო ლიტერატურაში.
ნორმალური კანონის განაწილების ფუნქცია (ნახ. 18.3) შეიძლება გამოისახოს ალბათობის ინტეგრალის მეშვეობით:
(18.9)
ბრინჯი. 18.2. ნორმალური განაწილების ფუნქცია.
ჩვეულებრივი კანონის მიხედვით განაწილებული შემთხვევითი ცვლადის ალბათობა, რომელიც მოხვდება დან ინტერვალში X. x-მდე, განისაზღვრება გამოსახულებით:
უნდა აღინიშნოს, რომ
Ф(0) = 0; Ф(∞) = 0,5; Ф(-∞) = -0.5.
განაწილებასთან დაკავშირებული პრაქტიკული ამოცანების ამოხსნისას ხშირად საჭიროა გავითვალისწინოთ მათემატიკური მოლოდინის მიმართ სიმეტრიულ ინტერვალში ჩავარდნის ალბათობა, თუ ამ ინტერვალის სიგრძე, ე.ი. თუ თავად ინტერვალს აქვს საზღვარი დან მდე, გვაქვს:
პრაქტიკული პრობლემების გადაჭრისას, შემთხვევითი ცვლადების გადახრების საზღვრები გამოიხატება სტანდარტის საშუალებით, სტანდარტული გადახრა, გამრავლებული გარკვეულ ფაქტორზე, რომელიც განსაზღვრავს შემთხვევითი ცვლადის გადახრების რეგიონის საზღვრებს.
ფორმულის (18.10) და ცხრილის Ф(х) (დანართი No1) აღებით და ასევე გამოყენებით, ვიღებთ
ეს ფორმულები აჩვენებსრომ თუ შემთხვევით ცვლადს აქვს ნორმალური განაწილება, მაშინ მისი საშუალო მნიშვნელობიდან გადახრის ალბათობა σ-ზე მეტი არაუმეტეს არის 68,27%, არაუმეტეს 2σ-ით არის 95,45% და არაუმეტეს 3σ- 99,73%.
ვინაიდან 0,9973 მნიშვნელობა ახლოსაა ერთიანობასთან, პრაქტიკულად შეუძლებლად ითვლება შემთხვევითი ცვლადის ნორმალური განაწილება მათემატიკური მოლოდინიდან 3σ-ზე მეტით გადახვევა. ამ წესს, რომელიც მოქმედებს მხოლოდ ნორმალური განაწილებისთვის, ეწოდება სამი სიგმის წესი. მისი დარღვევა სავარაუდოა P = 1 - 0.9973 = 0.0027. ეს წესი გამოიყენება პროდუქტებისა და სტრუქტურების გეომეტრიული მახასიათებლების ტოლერანტობის დასაშვები გადახრების საზღვრების დადგენისას.
ნორმალური განაწილების კანონი, ეგრეთ წოდებული გაუსის კანონი, ერთ-ერთი ყველაზე გავრცელებული კანონია. ეს არის ფუნდამენტური კანონი ალბათობის თეორიაში და მის გამოყენებაში. ნორმალური განაწილება ყველაზე ხშირად გვხვდება ბუნებრივი და სოციალურ-ეკონომიკური ფენომენების შესწავლისას. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სტატისტიკური აგრეგატების უმეტესობა ბუნებაში და საზოგადოებაში ემორჩილება ნორმალური განაწილების კანონს. შესაბამისად, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ დიდი რაოდენობით დიდი ნიმუშების პოპულაციები ემორჩილება ნორმალური განაწილების კანონს. ის პოპულაციები, რომლებიც გადახრის ნორმალურ განაწილებას სპეციალური გარდაქმნების შედეგად, შეიძლება ნორმალურთან მიახლოება. ამასთან დაკავშირებით, უნდა გვახსოვდეს, რომ ამ კანონის ფუნდამენტური მახასიათებელი განაწილების სხვა კანონებთან მიმართებაში არის ის, რომ ეს არის საზღვრის კანონი, რომელსაც უახლოვდება განაწილების სხვა კანონები გარკვეულ (სტანდარტულ) პირობებში.
უნდა აღინიშნოს, რომ ტერმინს „ნორმალური განაწილება“ აქვს ჩვეულებრივი მნიშვნელობა, როგორც ტერმინი ზოგადად მიღებული მათემატიკური და სტატისტიკური ლიტერატურაში. განცხადება, რომ რომელიმე ფენომენის ესა თუ ის მახასიათებელი ემორჩილება ნორმალური განაწილების კანონს, სულაც არ ნიშნავს შესასწავლ ფენომენში ვითომდა თანდაყოლილი ნორმების ხელშეუხებლობას და ამ უკანასკნელის მეორე ტიპის კანონის კლასიფიკაცია არ ნიშნავს რაიმე სახის კანონს. ამ ფენომენის არანორმალურობა. ამ თვალსაზრისით, ტერმინი „ნორმალური განაწილება“ არ არის მთლად შესაბამისი.
ნორმალური განაწილება (გაუს-ლაპლასის კანონი) არის უწყვეტი განაწილების ტიპი. სადაც მოივრე (ათას შვიდას სამოცდაცამეტი, საფრანგეთი) გამოიყვანა ალბათობის განაწილების ნორმალური კანონი. ამ აღმოჩენის ძირითადი იდეები შეცდომების თეორიაში პირველად გამოიყენეს კ.გაუსმა (1809, გერმანია) და ა.ლაპლასმა (1812, საფრანგეთი), რომლებმაც მნიშვნელოვანი თეორიული წვლილი შეიტანეს თავად სამართლის განვითარებაში. კერძოდ, კ.გაუსი თავის განვითარებაში გამომდინარეობდა იმის აღიარებიდან, რომ შემთხვევითი ცვლადის ყველაზე სავარაუდო მნიშვნელობა არის საშუალო არითმეტიკული. ნორმალური განაწილების გაჩენის ზოგადი პირობები დაადგინა A.M. Lyapunova-მ. მან დაამტკიცა, რომ თუ შესასწავლი მახასიათებელი არის მრავალი ფაქტორის მთლიანი გავლენის შედეგი, რომელთაგან თითოეულს მცირე კავშირი აქვს სხვების უმრავლესობასთან, და თითოეული ფაქტორის გავლენა საბოლოო შედეგზე ბევრად გადაფარავს ტოტალურ გავლენას. ყველა სხვა ფაქტორი, მაშინ განაწილება ხდება ნორმალურთან ახლოს.
უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილებას ნორმალური ეწოდება და აქვს სიმკვრივე:
1 +1 (& #) 2
/ (x, x,<т) = - ^ е 2 st2
სადაც x არის მათემატიკური მოლოდინი ან საშუალო მნიშვნელობა. როგორც ხედავთ, ნორმალური განაწილება განისაზღვრება ორი პარამეტრით: x და °. ნორმალური განაწილების დასადგენად, საკმარისია ვიცოდეთ მათემატიკური მოლოდინი ან საშუალო და სტანდარტული გადახრა. ეს ორი სიდიდე განსაზღვრავს დაჯგუფების ცენტრს და ფორმას
მრუდი გრაფიკზე. u (xx, b) ფუნქციის გრაფიკს ეწოდება ნორმალური მრუდი (გაუსის მრუდი) x და b პარამეტრებით (ნახ. 12).
ნორმალური განაწილების მრუდს აქვს გადახრის წერტილები X ± 1-ზე. თუ წარმოდგენილია გრაფიკულად, მაშინ შორის X = +l და 1 = -1 არის მთელი მრუდის ფართობის 0,683 ნაწილი (ანუ 68,3%). X = + 2 და X- 2-ის საზღვრებში არის 0,954 ფართობი (95,4%), ხოლო X = + 3-სა და X = - 3-ს შორის - 0,997 ნაწილი მთელი განაწილების არეალის (99,7%). ნახ. სურათი 13 ასახავს ნორმალური განაწილების ბუნებას ერთი, ორი და სამი სიგმას საზღვრებით.
ნორმალური განაწილებით, საშუალო არითმეტიკული, რეჟიმი და მედიანა ერთმანეთის ტოლი იქნება. ნორმალური მრუდის ფორმას აქვს ერთწახნაგოვანი სიმეტრიული მრუდის ფორმა, რომლის ტოტები ასიმპტომურად უახლოვდება აბსცისის ღერძს. მრუდის უდიდეს ორდინატს შეესაბამება x = 0. ამ წერტილში აბსცისის ღერძზე მოთავსებულია მახასიათებლების რიცხვითი მნიშვნელობა, საშუალო არითმეტიკის, რეჟიმისა და მედიანას ტოლი. მრუდის ზედა ორივე მხარეს, მისი ტოტები მოდის, გარკვეულ წერტილებში ცვლის ამოზნექილობის ფორმას ჩაზნექილამდე. ეს წერტილები სიმეტრიულია და შეესაბამება x = ± 1 მნიშვნელობებს, ანუ მახასიათებლების მნიშვნელობებს, რომელთა გადახრები საშუალოდან რიცხობრივად ტოლია სტანდარტული გადახრის. ორდინატი, რომელიც შეესაბამება არითმეტიკულ საშუალოს, ყოფს მთელ ფართობს მრუდსა და აბსცისს შორის შუაზე. ასე რომ, შესწავლილი მახასიათებლის მნიშვნელობების გაჩენის ალბათობა საშუალოზე დიდი და ნაკლებია
არითმეტიკა იქნება 0,50-ის ტოლი, ანუ x, (~ ^ x) = 0,50 ვ
სურ. 12. ნორმალური განაწილების მრუდი (გაუსის მრუდი)
ნორმალური მრუდის ფორმა და პოზიცია განსაზღვრავს საშუალო და სტანდარტული გადახრის მნიშვნელობას. მათემატიკურად დადასტურდა, რომ საშუალო მნიშვნელობის შეცვლა (მათემატიკური მოლოდინი) არ ცვლის ნორმალური მრუდის ფორმას, არამედ იწვევს მხოლოდ მის გადაადგილებას აბსცისის ღერძის გასწვრივ. მრუდი გადაინაცვლებს მარჯვნივ, თუ ~ იზრდება, და მარცხნივ, თუ ~ მოდის.
სურ. 14. ნორმალური განაწილების მრუდები სხვადასხვა პარამეტრის მნიშვნელობებითვ
შეცვლისას ნორმალური მრუდის გრაფიკის ფორმის შეცვლის შესახებ
სტანდარტული გადახრა შეიძლება შეფასდეს მაქსიმუმ
დიფერენციალური ნორმალური განაწილების ფუნქცია, ტოლია 1
როგორც ჩანს, °-ის მნიშვნელობის ზრდასთან ერთად მრუდის მაქსიმალური ორდინატი მცირდება. შესაბამისად, ნორმალური განაწილების მრუდი შეკუმშავს x ღერძისკენ და მიიღებს უფრო ბრტყელ ფორმას.
და პირიქით, როგორც β პარამეტრი მცირდება, ნორმალური მრუდი იჭიმება ორდინატთა ღერძის დადებითი მიმართულებით და „ზარის“ ფორმა უფრო მახვილი ხდება (ნახ. 14). გაითვალისწინეთ, რომ პარამეტრების ~ და მნიშვნელობების მიუხედავად, აბსცისის ღერძით და მრუდით შემოსაზღვრული ფართობი ყოველთვის უდრის ერთიანობას (განაწილების სიმკვრივის თვისება). ამას ნათლად ასახავს გრაფიკი (სურ. 13).
განაწილების „ნორმალურობის“ მანიფესტაციის ზემოაღნიშნული მახასიათებლები საშუალებას გვაძლევს განვსაზღვროთ რიგი საერთო თვისებები, რომლებსაც აქვთ ნორმალური განაწილების მრუდები:
1) ნებისმიერი ნორმალური მრუდი აღწევს მაქსიმალურ წერტილს (X= x) განუწყვეტლივ მოდის მისგან მარჯვნივ და მარცხნივ, თანდათან უახლოვდება x-ღერძს;
2) ნებისმიერი ნორმალური მრუდი სიმეტრიულია სწორი ხაზის მიმართ,
ორდინატთა ღერძის პარალელურად და გადის მაქსიმალურ წერტილს (X= x)
მაქსიმალური ორდინატია ^^^ i;
3) ნებისმიერ ნორმალურ მრუდს აქვს "ზარის" ფორმა, აქვს ამოზნექილი, რომელიც მიმართულია ზევით მაქსიმალურ წერტილამდე. x ~ ° და x + b წერტილებში ის ცვლის ამოზნექილობას და რაც უფრო პატარაა a, მით უფრო მკვეთრია "ზარი" და რაც უფრო დიდია a, მით უფრო დამსჯელი ხდება "ზარის" ზედა ნაწილი (ნახ. 14). მათემატიკური მოლოდინის ცვლილება (მუდმივი მნიშვნელობით
გ) არ იწვევს მრუდის ფორმის შეცვლას.
როდესაც x = 0 და ° = 1, ნორმალურ მრუდს ეწოდება ნორმალიზებული მრუდი ან ნორმალური განაწილება კანონიკური ფორმით.
ნორმალიზებული მრუდი აღწერილია შემდეგი ფორმულით:
ემპირიულ მონაცემებზე დაფუძნებული ნორმალური მრუდის აგება ხორციელდება ფორმულის გამოყენებით:
პი 1 - "" = --- 7 = ე
სადაც და ™ არის განაწილების თითოეული ინტერვალის (ჯგუფის) თეორიული სიხშირე; "- პოპულაციის მოცულობის ტოლი სიხშირეების ჯამი; "- ინტერვალის საფეხური;
იგივე - წრის გარშემოწერილობის თანაფარდობა მის დიამეტრთან, რაც არის
e - ბუნებრივი ლოგარითმების ფუძე, ტოლია 2,71828;
ფორმულის მეორე და მესამე ნაწილები) არის ფუნქცია
ნორმალიზებული გადახრა CN), რომელიც შეიძლება გამოითვალოს X-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის. CN მნიშვნელობების ცხრილები) ჩვეულებრივ უწოდებენ "ნორმალური მრუდის ორდინატულ ცხრილებს" (დანართი 3). ამ ფუნქციების გამოყენებისას ნორმალური განაწილების სამუშაო ფორმულა იღებს მარტივ ფორმას:
მაგალითი.განვიხილოთ ნორმალური მრუდის აგების შემთხვევა 57 მუშაკის განაწილების მონაცემების მაგალითზე დღიური შემოსავლის დონის მიხედვით (ცხრილი 42). ცხრილი 42-ის მიხედვით, ჩვენ ვპოულობთ საშუალო არითმეტიკას:
~ = ^ = И6 54 =
ჩვენ ვიანგარიშებთ სტანდარტულ გადახრას:
ცხრილის თითოეული სტრიქონისთვის ვპოულობთ ნორმალიზებული გადახრის მნიშვნელობას
x და ~x | 12 გ => - = - ^ 2 = 1,92
ა 6.25 (პირველი ინტერვალის დდ I და ა.შ.).
ცხრილის მე-8 სვეტში. 42 ჩვენ ვწერთ Di) ფუნქციის ცხრილის მნიშვნელობას აპლიკაციიდან, მაგალითად, პირველი ინტერვალისთვის X = 1.92 ვპოულობთ „1.9“ „2“-ის წინააღმდეგ (0.0632).
თეორიული სიხშირეების, ანუ ნორმალური განაწილების მრუდის ორდინატების გამოსათვლელად, მულტიპლიკატორი გამოითვლება:
* = ^ = 36,5 a 6.25
ყველა ნაპოვნია ცხრილის მნიშვნელობებიფუნქციები / (r) გამრავლებული 36,5-ზე. ასე რომ, პირველი ინტერვალისთვის ვიღებთ 0.0632x36.5 = 2.31 ტონას.
სიხშირეები (P"<5) დააკავშიროთ (ჩვენს მაგალითში - პირველი ორი და ბოლო ორი ინტერვალი).
თუ უკიდურესი თეორიული სიხშირეები მნიშვნელოვნად განსხვავდება ნულიდან, შეუსაბამობა ემპირიულ და თეორიულ სიხშირეების ჯამებს შორის შეიძლება იყოს მნიშვნელოვანი.
ემპირიული და თეორიული სიხშირეების განაწილების გრაფიკი (ნორმალური მრუდი) განხილული მაგალითის მიხედვით ნაჩვენებია სურათზე 15.
განვიხილოთ ნორმალური განაწილების სიხშირეების განსაზღვრის მაგალითი იმ შემთხვევისთვის, როდესაც უკიდურეს ინტერვალებში სიხშირე არ არის (ცხრილი 43). აქ ემპირიული
X - ნორმალიზებული გადახრა, (გ) ა - სტანდარტული გადახრა.
პირველი ინტერვალის სიხშირე ნულის ტოლია. დაუზუსტებელი სიხშირეების შედეგად მიღებული ჯამი არ არის მათი ემპირიული მნიშვნელობების ჯამის ტოლი (56 * 57). ამ შემთხვევაში, თეორიული სიხშირე გამოითვლება ინტერვალის ცენტრის მიღებული მნიშვნელობების, ნორმალიზებული გადახრის და მისი ფუნქციის დასაბანად.
ცხრილში 43, ეს მნიშვნელობები შემოხაზულია მართკუთხედით. ნორმალური მრუდის გამოსახვისას, ასეთ შემთხვევებში თეორიული მრუდი გრძელდება. განსახილველ შემთხვევაში ნორმალური მრუდი გაგრძელდება საშუალოდან უარყოფითი გადახრებისკენ, ვინაიდან პირველი დაუზუსტებელი სიხშირე უდრის 5-ს. გამოთვლილი თეორიული სიხშირე (დაზუსტებული) პირველი ინტერვალისთვის იქნება ერთობის ტოლი. დახვეწილი სიხშირეების ჯამი ემთხვევა ემპირიულს
ცხრილი 42
გამოთვლილი მნიშვნელობები
სტატისტიკური პარამეტრები
ინტერვალი,
ერთეულების რაოდენობა,
x) 2 n¡
ნორმალიზებული განყოფილებები
თეორიული
ნორმალური განაწილების სერიების სიხშირე,
/ 0) x - ა
>>
ათას ექვსას ორმოცდათოთხმეტი
a = 6,25
^i=36.5 ა
ცხრილი 43
ნორმალური განაწილების სიხშირეების გამოთვლა (ემპირიული სიხშირეების გასწორება ნორმალური კანონის მიხედვით)
ერთეულების რაოდენობა,
გამოთვლილი მნიშვნელობები
სტატისტიკური პარამეტრები
ინტერვალი (და-2)
ინტერვალის მედიანური მნიშვნელობა (ცენტრი),
(მე, -xf
^ x ტ-x) 1 ნ და
ნორმალიზებული გადახრა
xs- X
ტ= x --L
ფუნქციის ცხრილის მნიშვნელობა, f (t)
თეორიული
ნორმალური განაწილების სერიების სიხშირე
დაზუსტებული თეორიული სიხშირის მნიშვნელობა,
ვ
-
-
-
-
-
o = 2,41
ბრინჯი. 15. ემპირიული განაწილება(1) და ნორმალური მრუდი (2)
საკვლევი პოპულაციის ნორმალური განაწილების მრუდი შეიძლება სხვაგვარად აშენდეს (ზემოთ განხილულისგან განსხვავებით). ასე რომ, თუ საჭიროა გქონდეთ სავარაუდო წარმოდგენა რეალური განაწილების შესაბამისობაზე ნორმალურთან, გამოთვლები ხორციელდება შემდეგი თანმიმდევრობით. განისაზღვრება მაქსიმალური ორდინატი, რომელიც შეესაბამება მახასიათებლების საშუალო ზომას), შემდეგ, სტანდარტული გადახრის გამოთვლის შემდეგ, ნორმალური განაწილების მრუდის წერტილების კოორდინატები გამოითვლება ცხრილებში 42 და 43 ასახული სქემის მიხედვით. 43 ცხრილის საწყისი და გამოთვლილი მონაცემების მიხედვით, საშუალო უნდა იყოს ~ = 26 ეს მნიშვნელობა შუა ემთხვევა მეოთხე ინტერვალის ცენტრს (25-27). ასე რომ, ამ ინტერვალის სიხშირე „20“ შეიძლება მივიღოთ (გრაფიკის გამოსახვისას) მაქსიმალურ ორდინატად). გამოთვლილი დისპერსიით (β = 2.41 სმ, ცხრილი 43), ჩვენ ვიანგარიშებთ ნორმალური განაწილების მრუდის ყველა საჭირო წერტილის კოორდინატებს (ცხრილები 44, 45). მიღებული კოორდინატების გამოყენებით ვხატავთ ნორმალურ მრუდს (ნახ. 16), მაქსიმალურ ორდინატად ვიღებთ მეოთხე ინტერვალის სიხშირეს.
ემპირიული განაწილების შესაბამისობა ნორმალურთან ასევე შეიძლება დადგინდეს გამარტივებული გამოთვლებით. ამრიგად, თუ ასიმეტრიის ხარისხის ინდიკატორის შეფარდება (^) მის საშუალო კვადრატულ ცდომილებას sh a "ან კურტოზის ინდიკატორის (E x) შეფარდება მის საშუალო კვადრატულ შეცდომასთან t & აღემატება რიცხვს "3" აბსოლუტურ მნიშვნელობაში, a გამოტანილია დასკვნა ემპირიულ განაწილებასა და ნორმალური განაწილების ბუნებას შორის შეუსაბამობის შესახებ (ანუ,
აც ე X
თუ ™ A>3 ან w ე "> 3).
არსებობს სხვა, არაშრომატევადი მეთოდები განაწილების „ნორმალურობის“ დასადგენად: ა) საშუალო არითმეტიკულის შედარება მოდთან და მედიანასთან; ბ) ვესტერგარდის ფიგურების გამოყენება; გ) გრაფიკული გამოსახულების გამოყენება ნახევრად ლოგარითმული ბადის გამოყენებით ტურბინა;დ) სპეციალური შესატყვისი კრიტერიუმების გამოთვლა და სხვ.
ცხრილი 44
კოორდინატებინორმალური განაწილების მრუდის 7 ქულა
ცხრილი 45
ნორმალური განაწილების მრუდის წერტილების კოორდინატების გამოთვლა
x- 1,5 (7 =
X - a = 23.6
X - 0,5 (7 = = 24,8
x + 0.5 = 27,2
X + a = 28.4
X+1.5 (7 =
სურ. 16. ნორმალური განაწილების მრუდი გამოსახულია შვიდი წერტილის გამოყენებით
პრაქტიკაში, პოპულაციის შესწავლისას, მისი განაწილების ნორმალურთან შეჯერების მიზნით, ხშირად გამოიყენება "3cr წესი".
მათემატიკურად დადასტურდა, რომ ალბათობა იმისა, რომ გადახრა საშუალოდან აბსოლუტური სიდიდით იქნება სამჯერ ნაკლები სტანდარტული გადახრა უდრის 0,9973, ანუ ალბათობა იმისა, რომ გადახრის აბსოლუტური მნიშვნელობა სამჯერ აჭარბებს სტანდარტულ გადახრას არის 0,0027 ან ძალიან პატარა. საეჭვო მოვლენების შეუძლებლობის პრინციპიდან გამომდინარე, მე-3 მუხლის „გადაჭარბების შემთხვევა“ პრაქტიკულად შეუძლებლად შეიძლება ჩაითვალოს. თუ შემთხვევითი ცვლადი განაწილებულია ნორმალურად, მაშინ მისი გადახრის აბსოლუტური მნიშვნელობა მათემატიკური მოლოდინიდან (საშუალო) არ აღემატება სამმაგ სტანდარტულ გადახრას.
პრაქტიკულ გამოთვლებში ისინი ასე მუშაობენ. თუ შესწავლილი შემთხვევითი ცვლადის განაწილების უცნობი ბუნების გათვალისწინებით, საშუალოდან გადახრის გამოთვლილი მნიშვნელობა აღმოჩნდება 3 ST-ის მნიშვნელობაზე ნაკლები, მაშინ არსებობს საფუძველი ვიფიქროთ, რომ შესასწავლი მახასიათებელი განაწილებულია ჩვეულებრივად. თუ მითითებული პარამეტრი აღემატება რიცხვითი მნიშვნელობა 3 ST, შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ შესასწავლი მნიშვნელობის განაწილება არ შეესაბამება ნორმალურ განაწილებას.
შესწავლილი ემპირიული განაწილების სერიებისთვის თეორიული სიხშირეების გამოთვლას ჩვეულებრივ უწოდებენ ემპირიული მრუდების გასწორებას ნორმალური (ან სხვა) განაწილების კანონის მიხედვით. ეს პროცესი მნიშვნელოვანია როგორც თეორიულად, ასევე პრაქტიკული მნიშვნელობა. ემპირიული მონაცემების გასწორება ავლენს მათ განაწილების ნიმუშს, რომელიც შეიძლება დაფარული იყოს მისი გამოვლინების შემთხვევითი ფორმით. ამ გზით ჩამოყალიბებული ნიმუში შეიძლება გამოყენებულ იქნას მრავალი პრაქტიკული პრობლემის გადასაჭრელად.
მკვლევარი ნორმალურთან მიახლოებულ განაწილებას ხვდება მეცნიერების სხვადასხვა დარგში და ადამიანის პრაქტიკული საქმიანობის სფეროებში. ეკონომიკაში ასეთი განაწილება ნაკლებად გავრცელებულია, ვიდრე, ვთქვათ, ტექნოლოგიასა თუ ბიოლოგიაში. ეს გამოწვეულია სოციალურ-ეკონომიკური ფენომენების ბუნებით, რომლებიც ხასიათდება ურთიერთდაკავშირებული და ურთიერთდაკავშირებული ფაქტორების დიდი სირთულით, ისევე როგორც რიგი პირობების არსებობით, რომლებიც ზღუდავს საქმეების თავისუფალ „თამაშს“. მაგრამ ეკონომისტმა უნდა მოიხსენიოს ნორმალური განაწილება, გააანალიზოს ემპირიული განაწილების სტრუქტურა, როგორც ერთგვარი სტანდარტი. ასეთი შედარება შესაძლებელს ხდის იმ შიდა პირობების ბუნების გარკვევას, რომელიც განსაზღვრავს ამ განაწილების ფიგურას.
სფეროს შეღწევა სტატისტიკური კვლევასოციალურ-ეკონომიკური ფენომენების ველში შესაძლებელი გახდა გამოევლინა სხვადასხვა ტიპის განაწილების მრუდების არსებობის დიდი რაოდენობა. თუმცა, არ უნდა ვივარაუდოთ, რომ ნორმალური განაწილების მრუდის თეორიული კონცეფცია ზოგადად ნაკლებად გამოიყენება ამ ტიპის ფენომენის სტატისტიკურ და მათემატიკურ ანალიზში. შეიძლება ყოველთვის არ იყოს მისაღები კონკრეტულის ანალიზისას სტატისტიკური განაწილება, მაგრამ თეორიისა და პრაქტიკის სფეროში კვლევის შერჩევის მეთოდს უდიდესი მნიშვნელობა აქვს.
დავასახელოთ სტატისტიკურ და მათემატიკურ ანალიზში ნორმალური განაწილების გამოყენების ძირითადი ასპექტები.
1. მახასიათებლის კონკრეტული მნიშვნელობის ალბათობის დადგენა. ეს აუცილებელია კონკრეტული ემპირიული განაწილების ნორმასთან შესაბამისობის შესახებ ჰიპოთეზების ტესტირებისას.
2. რიგი პარამეტრების შეფასებისას, მაგალითად, საშუალო, მაქსიმალური ალბათობის მეთოდის გამოყენებით. მისი არსი მდგომარეობს იმ კანონის განსაზღვრაში, რომელსაც ექვემდებარება მთლიანობა. ასევე განისაზღვრება შეფასება, რომელიც იძლევა მაქსიმალურ მნიშვნელობებს. პოპულაციის პარამეტრებთან საუკეთესო მიახლოება მოცემულია თანაფარდობით:
y = - 2 = e 2
3. სანიმუშო საშუალებების ალბათობის დადგენა ზოგად საშუალებებთან შედარებით.
4. ნდობის ინტერვალის განსაზღვრისას, რომელშიც განლაგებულია საერთო პოპულაციის მახასიათებლების მიახლოებითი მნიშვნელობა.