ელექტრონული პოტენციალები ქიმიური საცნობარო წიგნი "ქიმიური ანბანი (ლექსიკონი)" - დასახელებები, აბრევიატურები, პრეფიქსები, ნივთიერებებისა და ნაერთების აღნიშვნები.

წყალხსნარები და ნარევები ლითონის დამუშავებისთვის. წყლის ხსნარები ლითონის საფარების დასაყენებლად და მოსაშორებლად.ცხრილში ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები იწერება წილადის სახით, შენარჩუნებულია რიცხვების კვადრატული ფესვის ამოღების ნიშნები, რაც ძალიან ხშირად ეხმარება რთული მათემატიკური გამონათქვამების შემცირებას. ტანგენტისა და კოტანგენსისთვის, ზოგიერთი კუთხის მნიშვნელობების დადგენა შეუძლებელია. ასეთი კუთხეების ტანგენტისა და კოტანგენტის მნიშვნელობებისთვის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების ცხრილში არის ტირე. ზოგადად მიღებულია, რომ ასეთი კუთხეების ტანგენსი და კოტანგენსი უდრის უსასრულობას. ცალკე გვერდზე არის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შემცირების ფორმულები.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციის სინუს მნიშვნელობების ცხრილი აჩვენებს მნიშვნელობებს შემდეგი კუთხისთვის: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 გრადუსით, რაც შეესაბამება to sin 0 pi, sin pi/6 , sin pi/4, sin pi/3, sin pi/2, sin pi, sin 3 pi/2, sin 2 pi კუთხეების რადიანის ზომით. სინუსების სკოლის ცხრილი.

ტრიგონომეტრიული კოსინუსის ფუნქციისთვის, ცხრილი აჩვენებს მნიშვნელობებს შემდეგი კუთხისთვის: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 გრადუსებში, რაც შეესაბამება cos 0 pi-ს. , cos pi 6-ით, cos pi 4-ით, cos pi 3-ით, cos pi 2-ით, cos pi, cos 3 pi 2-ით, cos 2 pi კუთხეების რადიანის ზომით. კოსინუსების სკოლის ცხრილი.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციის ტანგენტის ტრიგონომეტრიული ცხრილი იძლევა მნიშვნელობებს შემდეგი კუთხეებისთვის: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 გრადუსით, რაც შეესაბამება tg 0 pi, tg pi/6, tg pi/4, tg pi/3, tg pi, tg 2 pi კუთხეების რადიანულ ზომაში. ტრიგონომეტრიული ტანგენტის ფუნქციების შემდეგი მნიშვნელობები არ არის განსაზღვრული tan 90, tan 270, tan pi/2, tan 3 pi/2 და ითვლება უსასრულობის ტოლად.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციის კოტანგენტისთვის ტრიგონომეტრიულ ცხრილში მოცემულია შემდეგი კუთხეების მნიშვნელობები: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 გრადუსით, რაც შეესაბამება ctg pi/6, ctg pi/4. , ctg pi/3, tg pi/ 2, tan 3 pi/2 კუთხეების რადიანულ ზომაში. ტრიგონომეტრიული კოტანგენტების ფუნქციების შემდეგი მნიშვნელობები არ არის განსაზღვრული ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 pi, ctg pi, ctg 2 pi და ითვლება უსასრულობის ტოლფასად.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების სეკანტისა და კოსეკანტის მნიშვნელობები მოცემულია იმავე კუთხეებისთვის გრადუსებში და რადიანებში, როგორც სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, კოტანგენსი.

არასტანდარტული კუთხეების ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების ცხრილი აჩვენებს სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის მნიშვნელობებს კუთხეებისთვის 15, 18, 22.5, 36, 54, 67.5 72 გრადუსებში და რადიანებში pi/12 , pi/10, pi/ 8, pi/5, 3pi/8, 2pi/5 რადიანი. ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები გამოიხატება წილადებისა და კვადრატული ფესვების სახით, რათა გაადვილდეს წილადების შემცირება სკოლის მაგალითებში.

კიდევ სამი ტრიგონომეტრიული მონსტრი. პირველი არის 1,5 ტანგენსი ერთი და ნახევარი გრადუსი ან პი გაყოფილი 120-ზე. მეორე არის pi-ის კოსინუსი გაყოფილი 240-ზე, pi/240. ყველაზე გრძელი არის pi-ს კოსინუსი გაყოფილი 17-ზე, pi/17.

სინუსის და კოსინუსის ფუნქციების მნიშვნელობების ტრიგონომეტრიული წრე ვიზუალურად წარმოადგენს სინუსის და კოსინუსის ნიშნებს, კუთხის სიდიდის მიხედვით. განსაკუთრებით ქერათმიანებისთვის, კოსინუსების მნიშვნელობები ხაზგასმულია მწვანე ტირეთი, რათა შემცირდეს დაბნეულობა. გრადუსების რადიანად გადაქცევა ასევე ძალიან მკაფიოდ არის წარმოდგენილი, როდესაც რადიანები გამოიხატება პი-ში.

ეს ტრიგონომეტრიული ცხრილი წარმოადგენს სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის მნიშვნელობებს 0 ნულიდან 90 ოთხმოცდაათი გრადუსამდე კუთხისთვის ერთი გრადუსიანი ინტერვალით. პირველი ორმოცდახუთი გრადუსისთვის, ტრიგონომეტრიული ფუნქციების სახელები უნდა გამოიყურებოდეს ცხრილის ზედა ნაწილში. პირველი სვეტი შეიცავს გრადუსებს, სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტების და კოტანგენტების მნიშვნელობები იწერება შემდეგ ოთხ სვეტში.

ორმოცდახუთი გრადუსიდან ოთხმოცდაათ გრადუსამდე კუთხეებისთვის ცხრილის ბოლოში იწერება ტრიგონომეტრიული ფუნქციების სახელები. ბოლო სვეტი შეიცავს ხარისხებს კოსინუსების, სინუსების, კოტანგენტებისა და ტანგენტების მნიშვნელობებში ჩაწერილი წინა ოთხ სვეტში. ფრთხილად უნდა იყოთ, რადგან ტრიგონომეტრიული ცხრილის ბოლოში მდებარე ტრიგონომეტრიული ფუნქციების სახელები განსხვავდება ცხრილის ზედა სახელებისგან. სინუსები და კოსინუსები ერთმანეთს ენაცვლება, ისევე როგორც ტანგენსი და კოტანგენსი. ეს გამოწვეულია ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების სიმეტრიით.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ნიშნები ნაჩვენებია ზემოთ მოცემულ ფიგურაში. სინუსს აქვს დადებითი მნიშვნელობები 0-დან 180 გრადუსამდე, ან 0-დან pi-მდე. სინუსს აქვს უარყოფითი მნიშვნელობები 180-დან 360 გრადუსამდე ან pi-დან 2 pi-მდე. კოსინუსის მნიშვნელობები დადებითია 0-დან 90-მდე და 270-დან 360 გრადუსამდე, ან 0-დან 1/2 პიქსამდე და 3/2-დან 2 პიქსამდე. ტანგენტს და კოტანგენტს აქვთ დადებითი მნიშვნელობები 0-დან 90 გრადუსამდე და 180-დან 270 გრადუსამდე, რაც შეესაბამება მნიშვნელობებს 0-დან 1/2 pi-მდე და pi-მდე 3/2 pi-მდე. ტანგენტისა და კოტანგენტის უარყოფითი მნიშვნელობებია 90-დან 180 გრადუსამდე და 270-დან 360 გრადუსამდე, ან 1/2 pi-დან pi-მდე და 3/2 pi-დან 2 pi-მდე. 360 გრადუსზე ან 2 pi-ზე მეტი კუთხისთვის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ნიშნების განსაზღვრისას უნდა გამოიყენოთ ამ ფუნქციების პერიოდულობის თვისებები.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციები სინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი უცნაური ფუნქციებია. უარყოფითი კუთხისთვის ამ ფუნქციების მნიშვნელობები უარყოფითი იქნება. კოსინუსი არის ლუწი ტრიგონომეტრიული ფუნქცია - უარყოფითი კუთხისთვის კოსინუსის მნიშვნელობა დადებითი იქნება. ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გამრავლებისა და გაყოფისას უნდა დაიცვან ნიშნების წესები.

1. ტრიგონომეტრიული სინუსური ფუნქციის მნიშვნელობების ცხრილი აჩვენებს მნიშვნელობებს შემდეგი კუთხისთვის

   დოკუმენტი

   ცალკე გვერდზე არის შემცირების ფორმულები ტრიგონომეტრიულიფუნქციები. IN მაგიდაღირებულებებიამისთვისტრიგონომეტრიულიფუნქციებისინუსიმოცემულიღირებულებებიამისთვისშემდეგიკუთხეები: ცოდვა 0, ცოდვა 30, ცოდვა 45 ...

2. შემოთავაზებული მათემატიკური აპარატი წარმოადგენს კომპლექსური გამოთვლების სრულ ანალოგს n-განზომილებიანი ჰიპერკომპლექსური რიცხვებისთვის ნებისმიერი რაოდენობის თავისუფლების ხარისხით n და განკუთვნილია არაწრფივი მათემატიკური მოდელირებისთვის.

   დოკუმენტი

   ... ფუნქციებიუდრის ფუნქციებისურათები. ამ თეორემიდან უნდა, რა ამისთვისიპოვეთ U, V კოორდინატები, საკმარისია გამოთვალოთ ფუნქცია... გეომეტრია; პოლინარული ფუნქციები(ორგანზომილებიანი მრავალგანზომილებიანი ანალოგები ტრიგონომეტრიულიფუნქციები), მათი თვისებები, მაგიდებიდა განაცხადი; ...

3. 
   

   ეს სტატია შეიცავს სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტების და კოტანგენტების ცხრილები. პირველ რიგში, ჩვენ შემოგთავაზებთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ძირითადი მნიშვნელობების ცხრილს, ანუ 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 გრადუსიანი კუთხეების სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტებისა და კოტანგენტების ცხრილს ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2πრადიანი). ამის შემდეგ მივცემთ სინუსებისა და კოსინუსების ცხრილს, ასევე ტანგენტებისა და კოტანგენტების ცხრილს V.M. Bradis-ის მიერ და ვაჩვენებთ, თუ როგორ გამოვიყენოთ ეს ცხრილები ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების პოვნისას.

   გვერდის ნავიგაცია.

   სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტების და კოტანგენტების ცხრილი 0, 30, 45, 60, 90, ... გრადუსიანი კუთხეებისთვის

   ცნობები.

   • ალგებრა:სახელმძღვანელო მე-9 კლასისთვის. საშ. სკოლა/იუ. ნ.მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა; რედ. S. A. Telyakovsky - M.: განათლება, 1990. - 272 გვ.: ISBN 5-09-002727-7
   • ბაშმაკოვი M.I.ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი: სახელმძღვანელო. 10-11 კლასებისთვის. საშ. სკოლა - მე-3 გამოცემა. - მ.: განათლება, 1993. - 351გვ.: ავად. - ISBN 5-09-004617-4.
   • ალგებრადა ანალიზის დასაწყისი: პროკ. 10-11 კლასებისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn და სხვ. რედ. A. N. Kolmogorov - 14th ed - M.: განათლება, 2004. - 384 pp.
   • გუსევი V.A., Mordkovich A.G.მათემატიკა (სახელმძღვანელო ტექნიკურ სასწავლებლებში შესვლისთვის): პროკ. შემწეობა.- მ. უმაღლესი სკოლა, 1984.-351გვ., ილ.
   • ბრედის V.M.ოთხნიშნა მათემატიკური ცხრილები: ზოგადი განათლებისთვის. სახელმძღვანელო დაწესებულებები. - მე-2 გამოცემა. - M.: Bustard, 1999.- 96გვ.: ავად. ISBN 5-7107-2667-2

   ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების ცხრილი
   

   შენიშვნა. ტრიგონომეტრიული ფუნქციის მნიშვნელობების ეს ცხრილი იყენებს √ ნიშანს აღსანიშნავად კვადრატული ფესვი. წილადის აღსანიშნავად გამოიყენეთ სიმბოლო "/".
   

   აგრეთვე იხილეთსასარგებლო მასალები:

   ამისთვის ტრიგონომეტრიული ფუნქციის მნიშვნელობის განსაზღვრაიპოვეთ იგი ტრიგონომეტრიული ფუნქციის მითითების წრფის გადაკვეთაზე. მაგალითად, სინუსი 30 გრადუსი - ჩვენ ვეძებთ სვეტს სათაურით sin (sine) და ვპოულობთ ამ ცხრილის სვეტის კვეთას მწკრივით "30 გრადუსი", მათ კვეთაზე ვკითხულობთ შედეგს - ერთი ნახევარი. ანალოგიურად ვპოულობთ კოსინუსი 60გრადუსი, სინუსი 60გრადუსი (კიდევ ერთხელ, sin სვეტისა და 60 გრადუსიანი ხაზის გადაკვეთაზე ვპოულობთ მნიშვნელობას sin 60 = √3/2) და ა.შ. სხვა "პოპულარული" კუთხეების სინუსების, კოსინუსების და ტანგენტების მნიშვნელობები ანალოგიურად არის ნაპოვნი.

   სინუს პი, კოსინუსი პი, ტანგენსი პი და სხვა კუთხეები რადიანებში

   კოსინუსების, სინუსების და ტანგენტების ქვემოთ მოცემული ცხრილი ასევე შესაფერისია ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობის საპოვნელად, რომელთა არგუმენტი არის მოცემულია რადიანებში. ამისათვის გამოიყენეთ კუთხის მნიშვნელობების მეორე სვეტი. ამის წყალობით, თქვენ შეგიძლიათ გადაიყვანოთ პოპულარული კუთხეების მნიშვნელობა გრადუსიდან რადიანამდე. მაგალითად, ვიპოვოთ 60 გრადუსიანი კუთხე პირველ სტრიქონში და წავიკითხოთ მისი მნიშვნელობა რადიანებში მის ქვეშ. 60 გრადუსი უდრის π/3 რადიანს.

   რიცხვი pi ცალსახად გამოხატავს წრეწირის დამოკიდებულებას კუთხის ხარისხის ზომაზე. ამრიგად, პი რადიანები უდრის 180 გრადუსს.

   ნებისმიერი რიცხვი, რომელიც გამოხატულია pi-ში (რადიანი) ადვილად შეიძლება გარდაიქმნას ხარისხებად პი (π) 180-ით ჩანაცვლებით..

   მაგალითები:
   1. სინე პი.
   sin π = sin 180 = 0
   ამრიგად, pi-ს სინუსი იგივეა, რაც 180 გრადუსის სინუსი და ის ნულის ტოლია.

   2. კოსინუსი პი.
   cos π = cos 180 = -1
   ამრიგად, pi-ს კოსინუსი იგივეა, რაც 180 გრადუსის კოსინუსი და უდრის მინუს ერთს.

   3. ტანგენტი პი
   tg π = tg 180 = 0
   ამრიგად, ტანგენტი pi იგივეა, რაც ტანგენსი 180 გრადუსი და ის ნულის ტოლია.

   სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტის მნიშვნელობების ცხრილი 0 - 360 გრადუსი კუთხეებისთვის (საერთო მნიშვნელობები)
   

   კუთხის α მნიშვნელობა (გრადუსები)	კუთხის α მნიშვნელობა რადიანებში (pi-ს მეშვეობით)	ცოდვა (სინუსი)	cos (კოსინუსი)	ტგ (ტანგენტი)	ctg (კოტანგენსი)	წმ (სეკანტი)	კოსეკი (თანამედროვე)
   0	0	0	1	0	-	1	-
   15	π/12			2 - √3	2 + √3
   30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
   45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
   60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
   75	5π/12			2 + √3	2 - √3
   90	π/2	1	0	-	0	-	1
   105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
   120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
   135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
   150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
   180	π	0	-1	0	-	-1	-
   210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
   240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
   270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
   360	2π	0	1	0	-	1	-

   თუ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების ცხრილში მითითებულია ტირე ფუნქციის მნიშვნელობის ნაცვლად (ტანგენსი (tg) 90 გრადუსი, კოტანგენსი (ctg) 180 გრადუსი), მაშინ კუთხის ხარისხის გაზომვის მოცემული მნიშვნელობისთვის ფუნქცია. არ აქვს კონკრეტული ღირებულება. თუ ტირე არ არის, უჯრედი ცარიელია, რაც ნიშნავს, რომ ჯერ არ შეგვიყვანია საჭირო მნიშვნელობა. ჩვენ გვაინტერესებს რა კითხვებზე მოდიან მომხმარებლები ჩვენთან და ავსებენ ცხრილს ახალი მნიშვნელობებით, მიუხედავად იმისა, რომ არსებული მონაცემები ყველაზე გავრცელებული კუთხის მნიშვნელობების კოსინუსების, სინუსების და ტანგენტების მნიშვნელობების შესახებ სავსებით საკმარისია უმრავლესობის გადასაჭრელად. პრობლემები.

   ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების ცხრილი sin, cos, tg ყველაზე პოპულარული კუთხისთვის
   0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 გრადუსი
   (რიცხობრივი მნიშვნელობები "ბრედისის ცხრილების მიხედვით")
   

   კუთხის α მნიშვნელობა (გრადუსები)	კუთხის α მნიშვნელობა რადიანებში	ცოდვა (სინუსი)	cos (კოსინუსი)	tg (ტანგენსი)	ctg (კოტანგენსი)
   0	0
   15		0,2588	0,9659	0,2679
   30		0,5000		0,5774
   45		0,7071
   		0,7660
   60		0,8660	0,5000	1,7321
   	7π/18

   სინუსი (), კოსინუსი (), ტანგენსი (), კოტანგენსი () განუყოფლად არის დაკავშირებული კუთხის ცნებასთან. ეს რომ კარგად გავიგოთ, ერთი შეხედვით, რთული ცნებები(რომლებიც ბევრ სკოლის მოსწავლეში საშინელ მდგომარეობას იწვევს) და იმისათვის, რომ დავრწმუნდეთ, რომ „ეშმაკი არ არის ისეთი საშინელი, როგორც მას ხატავენ“, დავიწყოთ თავიდანვე და გავიგოთ კუთხის ცნება.

   კუთხის კონცეფცია: რადიანი, ხარისხი

   მოდით შევხედოთ სურათს. ვექტორი წერტილის მიმართ გარკვეული რაოდენობით „მობრუნდა“. ამრიგად, ამ ბრუნვის ზომა საწყის პოზიციასთან შედარებით იქნება კუთხე.

   კიდევ რა უნდა იცოდეთ კუთხის კონცეფციის შესახებ? რა თქმა უნდა, კუთხის ერთეულები!

   კუთხე, როგორც გეომეტრიაში, ასევე ტრიგონომეტრიაში, შეიძლება გაიზომოს გრადუსით და რადიანებით.

   კუთხე (ერთი გრადუსი) არის ცენტრალური კუთხე წრეში, რომელსაც წრიული რკალი უდრის წრის ნაწილს. ამრიგად, მთელი წრე შედგება წრიული რკალების „ნაწილებისგან“, ან წრის მიერ აღწერილი კუთხე ტოლია.

   

   ანუ, ზემოთ მოყვანილი ფიგურა გვიჩვენებს ტოლ კუთხეს, ანუ ეს კუთხე ეყრდნობა წრეწირის ზომის წრიულ რკალს.

   კუთხე რადიანებში არის ცენტრალური კუთხე წრეში, რომელიც დაქვეითებულია წრიული რკალით, რომლის სიგრძე უდრის წრის რადიუსს. აბა, გაარკვიე? თუ არა, მაშინ მოდით გავარკვიოთ ეს ნახატიდან.

   

   ამრიგად, ფიგურაში ნაჩვენებია რადიანის ტოლი კუთხე, ანუ ეს კუთხე ეყრდნობა წრიულ რკალს, რომლის სიგრძე უდრის წრის რადიუსს (სიგრძე უდრის სიგრძეს ან რადიუსი ტოლია რკალის სიგრძე). ამრიგად, რკალის სიგრძე გამოითვლება ფორმულით:

   სად არის ცენტრალური კუთხე რადიანებში.

   კარგად, ამის ცოდნა, შეგიძლიათ უპასუხოთ რამდენ რადიანს შეიცავს წრის მიერ აღწერილ კუთხეში? დიახ, ამისათვის თქვენ უნდა გახსოვდეთ გარშემოწერილობის ფორმულა. აი ეს არის:

   კარგი, ახლა დავაკავშიროთ ეს ორი ფორმულა და აღმოვაჩინოთ, რომ წრის მიერ აღწერილი კუთხე ტოლია. ანუ, მნიშვნელობის გრადუსებში და რადიანებში კორელაციის გზით, ჩვენ ამას ვიღებთ. შესაბამისად,. როგორც ხედავთ, "გრადუსებისგან" განსხვავებით, სიტყვა "რადიანი" გამოტოვებულია, რადგან საზომი ერთეული, როგორც წესი, ნათელია კონტექსტიდან.

   რამდენი რადიანია? ასეა!

   გაიგე? შემდეგ გააგრძელეთ და გაასწორეთ:

   გაქვთ სირთულეები? მერე შეხედე პასუხები:

   მართკუთხა სამკუთხედი: სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, კუთხის კოტანგენსი

   ასე რომ, ჩვენ გავარკვიეთ კუთხის კონცეფცია. მაგრამ რა არის კუთხის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი? მოდი გავარკვიოთ. ამაში ის დაგვეხმარება მართკუთხა სამკუთხედი.

   

   რა ჰქვია მართკუთხა სამკუთხედის გვერდებს? ასეა, ჰიპოტენუზა და ფეხები: ჰიპოტენუზა არის ის მხარე, რომელიც მდებარეობს სწორი კუთხის საპირისპიროდ (ჩვენს მაგალითში ეს არის მხარე); ფეხები არის ორი დარჩენილი მხარე და (ის მიმდებარედ სწორი კუთხე), და, თუ განვიხილავთ ფეხებს კუთხესთან შედარებით, მაშინ ფეხი არის მიმდებარე ფეხი, ხოლო ფეხი საპირისპიროა. ახლა მოდით ვუპასუხოთ კითხვას: რა არის კუთხის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი?

   კუთხის სინუსი- ეს არის საპირისპირო (შორეული) ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან.

   ჩვენს სამკუთხედში.

   კუთხის კოსინუსი- ეს არის მიმდებარე (ახლო) ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან.

   ჩვენს სამკუთხედში.

   კუთხის ტანგენტი- ეს არის მოპირდაპირე (შორეული) მხარის თანაფარდობა მეზობელთან (ახლო).

   ჩვენს სამკუთხედში.

   კუთხის კოტანგენსი- ეს არის მიმდებარე (ახლო) ფეხის თანაფარდობა საპირისპირო (შორს).

   ჩვენს სამკუთხედში.

   ეს განმარტებები აუცილებელია გახსოვდეს! იმისთვის, რომ გაგიადვილდეთ დაიმახსოვროთ, რომელ ფეხი რაზე უნდა გაიყოთ, ნათლად უნდა გესმოდეთ ეს ტანგენსიდა კოტანგენსიმხოლოდ ფეხები ზის და ჰიპოტენუზა ჩნდება მხოლოდ შიგნით სინუსიდა კოსინუსი. შემდეგ კი შეგიძლიათ ასოციაციების ჯაჭვის შექმნა. მაგალითად, ეს:

   კოსინუსი→შეხება→შეხება→მიმდებარე;

   კოტანგენსი→შეხება→შეხება→მიმდებარე.

   უპირველეს ყოვლისა, უნდა გახსოვდეთ, რომ სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი, როგორც სამკუთხედის გვერდების თანაფარდობა, არ არის დამოკიდებული ამ გვერდების სიგრძეზე (იგივე კუთხით). არ გჯერა? შემდეგ დარწმუნდით, რომ სურათს შეხედეთ:

   

   განვიხილოთ, მაგალითად, კუთხის კოსინუსი. განმარტებით, სამკუთხედიდან: , მაგრამ შეგვიძლია გამოვთვალოთ კუთხის კოსინუსი სამკუთხედიდან: . ხედავთ, გვერდების სიგრძე განსხვავებულია, მაგრამ ერთი კუთხის კოსინუსის მნიშვნელობა იგივეა. ამრიგად, სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტის და კოტანგენტის მნიშვნელობები დამოკიდებულია მხოლოდ კუთხის სიდიდეზე.

   თუ გესმით განმარტებები, მაშინ განაგრძეთ და გააძლიერეთ ისინი!

   ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში ნაჩვენები სამკუთხედისთვის ჩვენ ვპოულობთ.

   

   აბა, გაიგე? შემდეგ სცადეთ თავად: გამოთვალეთ იგივე კუთხე.

   ერთეული (ტრიგონომეტრიული) წრე

   ხარისხისა და რადიანის ცნებების გაგებით, ჩვენ განვიხილეთ წრე, რომლის რადიუსი ტოლია. ასეთ წრეს ე.წ მარტოხელა. ძალიან გამოგადგებათ ტრიგონომეტრიის შესწავლისას. ამიტომ, მოდით შევხედოთ მას ცოტა უფრო დეტალურად.

   

   როგორც ხედავთ, ეს წრე აგებულია დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში. წრის რადიუსი ერთის ტოლი, მაშინ როცა წრის ცენტრი დევს კოორდინატების საწყისთან, რადიუსის ვექტორის საწყისი პოზიცია ფიქსირდება ღერძის დადებითი მიმართულების გასწვრივ (ჩვენს მაგალითში ეს არის რადიუსი).

   წრის თითოეულ წერტილს შეესაბამება ორი რიცხვი: ღერძის კოორდინატი და ღერძის კოორდინატი. რა არის ეს კოორდინატთა რიცხვები? და საერთოდ, რა შუაშია ისინი განსახილველ თემასთან? ამისათვის ჩვენ უნდა გვახსოვდეს განხილული მართკუთხა სამკუთხედი. ზემოთ მოცემულ ფიგურაში შეგიძლიათ იხილოთ ორი მთელი მართკუთხა სამკუთხედი. განვიხილოთ სამკუთხედი. ის მართკუთხაა, რადგან ღერძის პერპენდიკულარულია.

   რის ტოლია სამკუთხედი? ასეა. გარდა ამისა, ჩვენ ვიცით, რომ არის ერთეული წრის რადიუსი, რაც ნიშნავს . მოდით ჩავანაცვლოთ ეს მნიშვნელობა ჩვენს ფორმულაში კოსინუსისთვის. აი რა ხდება:

   რის ტოლია სამკუთხედი? კარგად რა თქმა უნდა! ჩაანაცვლეთ რადიუსის მნიშვნელობა ამ ფორმულაში და მიიღეთ:

   მაშ, შეგიძლიათ თქვათ, რა კოორდინატები აქვს წრეს მიკუთვნებულ წერტილს? ისე, არანაირად? რა მოხდება, თუ ამას ხვდები და მხოლოდ რიცხვებია? რომელ კოორდინატს შეესაბამება? რა თქმა უნდა, კოორდინატები! და რომელ კოორდინატს შეესაბამება? მართალია, კოორდინატები! ამრიგად, პერიოდი.

   

   რისი ტოლია მაშინ? ასეა, გამოვიყენოთ ტანგენტისა და კოტანგენტის შესაბამისი განმარტებები და მივიღოთ, ა.

   რა მოხდება, თუ კუთხე უფრო დიდია? მაგალითად, როგორც ამ სურათზე:

   

   რა შეიცვალა ამ მაგალითში? მოდი გავარკვიოთ. ამისათვის მოდით კვლავ მივუბრუნდეთ მართკუთხა სამკუთხედს. განვიხილოთ მართკუთხა სამკუთხედი: კუთხე (კუთხის მიმდებარედ). რა არის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის მნიშვნელობები კუთხისთვის? მართალია, ჩვენ ვიცავთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შესაბამის განმარტებებს:

   ისე, როგორც ხედავთ, კუთხის სინუსის მნიშვნელობა მაინც შეესაბამება კოორდინატს; კუთხის კოსინუსის მნიშვნელობა - კოორდინატი; და ტანგენტისა და კოტანგენტის მნიშვნელობები შესაბამის თანაფარდობასთან. ამრიგად, ეს ურთიერთობები ვრცელდება რადიუსის ვექტორის ნებისმიერ ბრუნზე.

   უკვე აღინიშნა, რომ რადიუსის ვექტორის საწყისი პოზიცია არის ღერძის დადებითი მიმართულების გასწვრივ. აქამდე ჩვენ ვატრიალებთ ამ ვექტორს საათის ისრის საწინააღმდეგოდ, მაგრამ რა მოხდება, თუ მას საათის ისრის მიმართულებით მოვატრიალებთ? არაფერი განსაკუთრებული, თქვენ ასევე მიიღებთ გარკვეული მნიშვნელობის კუთხეს, მაგრამ მხოლოდ ის იქნება უარყოფითი. ამრიგად, რადიუსის ვექტორის მობრუნებისას საათის ისრის საწინააღმდეგოდ ვიღებთ დადებითი კუთხეები და საათის ისრის მიმართულებით ბრუნვისას - უარყოფითი.

   ასე რომ, ჩვენ ვიცით, რომ რადიუსის ვექტორის მთელი რევოლუცია წრის გარშემო არის ან. შესაძლებელია თუ არა რადიუსის ვექტორის როტაცია? კარგი, რა თქმა უნდა, შეგიძლია! ამრიგად, პირველ შემთხვევაში, რადიუსის ვექტორი გააკეთებს ერთ სრულ ბრუნს და გაჩერდება პოზიციაზე ან.

   მეორე შემთხვევაში, ანუ რადიუსის ვექტორი გააკეთებს სამ სრულ ბრუნს და გაჩერდება პოზიციაზე ან.

   ამრიგად, ზემოთ მოყვანილი მაგალითებიდან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ კუთხეები, რომლებიც განსხვავდებიან ან (სად არის რომელიმე მთელი რიცხვი) შეესაბამება რადიუსის ვექტორის ერთსა და იმავე პოზიციას.

   ქვემოთ მოყვანილი ფიგურა გვიჩვენებს კუთხეს. იგივე სურათი შეესაბამება კუთხეს და ა.შ. ეს სია შეიძლება გაგრძელდეს განუსაზღვრელი ვადით. ყველა ეს კუთხე შეიძლება დაიწეროს ზოგადი ფორმულით ან (სად არის ნებისმიერი მთელი რიცხვი)

   

   ახლა, იცოდეთ ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განმარტებები და ერთეული წრის გამოყენებით, შეეცადეთ უპასუხოთ რა არის მნიშვნელობები:

   აქ არის ერთეულის წრე, რომელიც დაგეხმარებათ:

   

   გაქვთ სირთულეები? მერე გავარკვიოთ. ასე რომ, ჩვენ ვიცით, რომ:

   აქედან განვსაზღვრავთ კუთხის გარკვეული ზომების შესაბამისი წერტილების კოორდინატებს. მოდით, დავიწყოთ თანმიმდევრობით: კუთხე შეესაბამება კოორდინატებით წერტილს, ამიტომ:

   არ არსებობს;

   გარდა ამისა, იმავე ლოგიკის დაცვით, აღმოვაჩენთ, რომ კუთხეები შეესაბამება წერტილებს კოორდინატებით. ამის ცოდნა ადვილია ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების დადგენა შესაბამის წერტილებში. ჯერ თვითონ სცადე და მერე გადაამოწმე პასუხები.

   პასუხები:

   ამრიგად, შეგვიძლია შევქმნათ შემდეგი ცხრილი:

   

   არ არის საჭირო ყველა ამ მნიშვნელობის დამახსოვრება. საკმარისია გავიხსენოთ შესაბამისობა ერთეულ წრეზე წერტილების კოორდინატებსა და ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობებს შორის:

   მაგრამ კუთხეების ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები და, ქვემოთ მოცემულ ცხრილში, უნდა ახსოვდეს:

   

   ნუ გეშინია, ახლა ერთ მაგალითს გაჩვენებთ საკმაოდ მარტივია შესაბამისი მნიშვნელობების დამახსოვრება:

   ამ მეთოდის გამოსაყენებლად სასიცოცხლოდ მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს სინუსის მნიშვნელობები კუთხის სამივე საზომისთვის (), ისევე როგორც კუთხის ტანგენტის მნიშვნელობა. ამ მნიშვნელობების ცოდნით, საკმაოდ მარტივია მთელი ცხრილის აღდგენა - კოსინუსური მნიშვნელობები გადადის ისრების შესაბამისად, ანუ:

   ამის გაცნობიერებით, შეგიძლიათ აღადგინოთ მნიშვნელობები. მრიცხველი " " დაემთხვევა და მნიშვნელი " " ემთხვევა. კოტანგენტების მნიშვნელობები გადაიცემა ფიგურაში მითითებული ისრების შესაბამისად. თუ გესმით ეს და გახსოვთ დიაგრამა ისრებით, მაშინ საკმარისი იქნება ცხრილიდან ყველა მნიშვნელობის დამახსოვრება.

   წერტილის კოორდინატები წრეზე

   შესაძლებელია თუ არა წერტილის (მისი კოორდინატების) პოვნა წრეზე, წრის ცენტრის კოორდინატების, მისი რადიუსის და ბრუნვის კუთხის ცოდნა?

   კარგი, რა თქმა უნდა, შეგიძლია! მოდი ამოვიღოთ ზოგადი ფორმულაწერტილის კოორდინატების პოვნა.

   მაგალითად, აქ არის წრე ჩვენს წინ:

   

   გვეძლევა, რომ წერტილი არის წრის ცენტრი. წრის რადიუსი ტოლია. საჭიროა წერტილის გრადუსით ბრუნვით მიღებული წერტილის კოორდინატების პოვნა.

   როგორც ნახატიდან ჩანს, წერტილის კოორდინატი შეესაბამება სეგმენტის სიგრძეს. სეგმენტის სიგრძე შეესაბამება წრის ცენტრის კოორდინატს, ანუ ის ტოლია. სეგმენტის სიგრძე შეიძლება გამოიხატოს კოსინუსის განმარტებით:

   შემდეგ ჩვენ გვაქვს ეს წერტილის კოორდინატისთვის.

   იგივე ლოგიკის გამოყენებით ვპოულობთ წერტილის y კოორდინატს. ამრიგად,

   ასე რომ, შიგნით ზოგადი ხედიწერტილების კოორდინატები განისაზღვრება ფორმულებით:

   წრის ცენტრის კოორდინატები,

   წრის რადიუსი,

   ვექტორული რადიუსის ბრუნვის კუთხე.

   როგორც ხედავთ, ჩვენს მიერ განხილული ერთეული წრისთვის ეს ფორმულები მნიშვნელოვნად შემცირებულია, ვინაიდან ცენტრის კოორდინატები ნულის ტოლია, ხოლო რადიუსი უდრის ერთს:

   აბა, მოდით ვცადოთ ეს ფორმულები წრეზე ქულების პოვნის პრაქტიკით?

   1. იპოვეთ წერტილის კოორდინატები ერთეულ წრეზე, რომელიც მიღებულია წერტილის ბრუნვით.

   2. იპოვეთ წერტილის კოორდინატები ერთეულ წრეზე, რომელიც მიღებულია წერტილის ბრუნვით.

   3. იპოვეთ წერტილის კოორდინატები ერთეულ წრეზე, რომელიც მიღებულია წერტილის ბრუნვით.

   4. წერტილი არის წრის ცენტრი. წრის რადიუსი ტოლია. აუცილებელია ვიპოვოთ საწყისი რადიუსის ვექტორის როტაციით მიღებული წერტილის კოორდინატები.

   5. წერტილი არის წრის ცენტრი. წრის რადიუსი ტოლია. აუცილებელია ვიპოვოთ საწყისი რადიუსის ვექტორის როტაციით მიღებული წერტილის კოორდინატები.

   გიჭირთ წრეზე წერტილის კოორდინატების პოვნა?

   ამოხსენით ეს ხუთი მაგალითი (ან გამოიმუშავეთ მათი ამოხსნა) და ისწავლით მათ პოვნას!

   შემაჯამებელი და ძირითადი ფორმულები

   კუთხის სინუსი არის მოპირდაპირე (შორს) ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან.

   კუთხის კოსინუსი არის მიმდებარე (ახლო) ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან.

   კუთხის ტანგენსი არის მოპირდაპირე (შორი) მხარის შეფარდება მიმდებარე (ახლო) მხარესთან.

   კუთხის კოტანგენსი არის მიმდებარე (ახლო) მხარის შეფარდება მოპირდაპირე (შორს) მხარეს.

   ისე, თემა დამთავრდა. თუ ამ სტრიქონებს კითხულობ, ეს ნიშნავს, რომ ძალიან მაგარი ხარ.

   იმიტომ რომ ადამიანების მხოლოდ 5%-ს შეუძლია რაღაცის დაუფლება დამოუკიდებლად. და თუ ბოლომდე წაიკითხავთ, მაშინ ამ 5%-ში ხართ!

   ახლა ყველაზე მთავარი.

   თქვენ გაიგეთ თეორია ამ თემაზე. და ვიმეორებ, ეს... უბრალოდ სუპერა! თქვენ უკვე უკეთესი ხართ, ვიდრე თქვენი თანატოლების უმრავლესობა.

   პრობლემა ის არის, რომ ეს შეიძლება არ იყოს საკმარისი...

   რისთვის?

   ამისთვის წარმატებული დასრულებაერთიანი სახელმწიფო გამოცდა, ბიუჯეტში კოლეჯში მისაღები და, რაც მთავარია, უვადოდ.

   არაფერში არ დაგარწმუნებთ, მხოლოდ ერთს გეტყვით...

   ადამიანები, რომლებმაც მიიღეს კარგი განათლება, ბევრად მეტს გამოიმუშავებენ, ვიდრე მათ, ვინც არ მიუღია. ეს არის სტატისტიკა.

   მაგრამ ეს არ არის მთავარი.

   მთავარი ის არის, რომ ისინი უფრო ბედნიერები არიან (არის ასეთი კვლევები). იქნებ იმიტომ, რომ კიდევ ბევრი შესაძლებლობა იხსნება მათ წინაშე და ცხოვრება უფრო ნათელი ხდება? არ ვიცი...

   მაგრამ შენ თვითონ იფიქრე...

   რა არის საჭირო იმისთვის, რომ ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე სხვებზე უკეთესი იყო და საბოლოოდ... ბედნიერი?

   მოიპოვეთ თქვენი ხელი ამ თემაზე არსებული პრობლემების გადაჭრით.

   გამოცდის დროს თეორიას არ მოგთხოვენ.

   დაგჭირდებათ პრობლემების გადაჭრა დროის წინააღმდეგ.

   და თუ არ მოაგვარეთ ისინი (ბევრი!), აუცილებლად დაუშვებთ სადღაც სულელურ შეცდომას ან უბრალოდ დრო არ გექნებათ.

   ეს ისეა, როგორც სპორტში - აუცილებლად უნდა გაიმეორო, რომ აუცილებლად გაიმარჯვო.

   იპოვე კოლექცია სადაც გინდა, აუცილებლად გადაწყვეტილებებით, დეტალური ანალიზი და გადაწყვიტე, გადაწყვიტე, გადაწყვიტე!

   თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ჩვენი ამოცანები (სურვილისამებრ) და ჩვენ, რა თქმა უნდა, გირჩევთ მათ.

   იმისათვის, რომ უკეთ გამოიყენოთ ჩვენი ამოცანები, თქვენ უნდა დაეხმაროთ YouClever სახელმძღვანელოს სიცოცხლის გახანგრძლივებას, რომელსაც ამჟამად კითხულობთ.

   როგორ? არსებობს ორი ვარიანტი:

   1. განბლოკეთ ყველა ფარული დავალება ამ სტატიაში -
   2. განბლოკეთ წვდომა ყველა ფარულ ამოცანაზე სახელმძღვანელოს 99-ვე სტატიაში - შეიძინეთ სახელმძღვანელო - 499 რუბლი

   დიახ, ჩვენ გვაქვს 99 ასეთი სტატია ჩვენს სახელმძღვანელოში და წვდომა ყველა ამოცანაზე და მათში ყველა ფარულ ტექსტზე შეიძლება დაუყოვნებლივ გაიხსნას.

   ყველა ფარულ ამოცანაზე წვდომა უზრუნველყოფილია საიტის მთელი ცხოვრების განმავლობაში.

   და დასასრულს...

   თუ არ მოგწონთ ჩვენი ამოცანები, იპოვეთ სხვები. უბრალოდ არ გაჩერდე თეორიაზე.

   "გაგება" და "მე შემიძლია ამოხსნა" სრულიად განსხვავებული უნარებია. ორივე გჭირდება.

   იპოვეთ პრობლემები და მოაგვარეთ ისინი!