ინტერვალის მეთოდი: უმარტივესი მკაცრი უტოლობების ამოხსნა. წრფივი უტოლობა

ax 2 + bx + 0 0 ფორმისგან, სადაც (> ნიშნის ნაცვლად, რა თქმა უნდა, შეიძლება იყოს ნებისმიერი სხვა უტოლობის ნიშანი). ჩვენ გვაქვს ყველა თეორიული ფაქტი, რომელიც აუცილებელია ასეთი უთანასწორობის გადასაჭრელად, როგორც ახლა დავინახავთ.

მაგალითი 1. უტოლობის ამოხსნა:

ა) x 2 - 2x - 3 >0; ბ) x 2 - 2x - 3< 0;
გ) x 2 - 2x - 3 > 0; დ) x 2 - 2x - 3< 0.
გამოსავალი,

ა) განვიხილოთ პარაბოლა y = x 2 - 2x - 3, ნაჩვენები ნახ. 117.

x 2 - 2x - 3 > 0 უტოლობის ამოხსნა ნიშნავს კითხვაზე პასუხის გაცემას x-ის რომელ მნიშვნელობებზე არის პარაბოლის წერტილების ორდინატები დადებითი.

აღვნიშნავთ, რომ y > 0, ანუ ფუნქციის გრაფიკი მდებარეობს x ღერძის ზემოთ, x-ზე.< -1 или при х > 3.

ეს ნიშნავს, რომ უტოლობის ამონახსნები ყველა ღია წერტილია სხივი(- 00 , - 1), ისევე როგორც ღია სხივის ყველა წერტილი (3, +00).

U ნიშნის გამოყენებით (სიმრავლეების გაერთიანების ნიშანი) პასუხი შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად: (-00, - 1) U (3, +00). თუმცა პასუხი შეიძლება ასე დაიწეროს: x< - 1; х > 3.

ბ) უტოლობა x 2 - 2x - 3< 0, или у < 0, где у = х 2 - 2х - 3, также можно решить с помощью рис. 117: განრიგიმდებარეობს x ღერძის ქვემოთ, თუ -1< х < 3. Поэтому решениями данного неравенства служат все точки интервала (- 1, 3).

გ) უტოლობა x 2 - 2x - 3 > 0 განსხვავდება x 2 - 2x - 3 > 0 უტოლობისგან იმით, რომ პასუხი ასევე უნდა მოიცავდეს x 2 - 2x - 3 = 0 განტოლების ფესვებს, ანუ წერტილებს x = - 1

და x = 3. ამრიგად, ამ არამკაცრი უტოლობის ამონახსნები არის სხივის ყველა წერტილი (-00, - 1], ისევე როგორც სხივის ყველა წერტილი.

პრაქტიკული მათემატიკოსები, როგორც წესი, ამბობენ ასე: რატომ უნდა ავაშენოთ კვადრატული ფუნქციის პარაბოლის გრაფიკი ცული 2 + bx + c > 0 უტოლობის ამოხსნისას.

y = ax 2 + bx + c (როგორც გაკეთდა მაგალითში 1)? საკმარისია გრაფიკის სქემატური ჩანახატის გაკეთება, რისთვისაც უბრალოდ უნდა იპოვოთ ფესვებიკვადრატული ტრინომი (პარაბოლის გადაკვეთის წერტილი x ღერძთან) და დაადგინეთ პარაბოლის ტოტები მიმართულია ზემოთ თუ ქვემოთ. ეს სქემატური ესკიზი მისცემს უთანასწორობის ამოხსნის ვიზუალურ ინტერპრეტაციას.

მაგალითი 2.ამოხსენით უტოლობა - 2x 2 + 3x + 9< 0.
გამოსავალი.

1) იპოვეთ კვადრატული ტრინომის ფესვები - 2x 2 + 3x + 9: x 1 = 3; x 2 = - 1,5.

2) პარაბოლა, რომელიც ემსახურება y = -2x 2 + 3x + 9 ფუნქციის გრაფიკს, კვეთს x ღერძს 3 და - 1.5 წერტილებში, ხოლო პარაბოლის ტოტები მიმართულია ქვემოთ, რადგან უმაღლესი კოეფიციენტი- უარყოფითი რიცხვი - 2. ნახ. 118 გვიჩვენებს გრაფიკის ჩანახატს.

3) ნახ. 118, ჩვენ დავასკვნით:< 0 на тех промежутках оси х, где график расположен ниже оси х, т.е. на открытом луче (-оо, -1,5) или на открытом луче C, +оо).
პასუხი: x< -1,5; х > 3.

მაგალითი 3.ამოხსენით უტოლობა 4x 2 - 4x + 1< 0.
გამოსავალი.

1) განტოლებიდან 4x 2 - 4x + 1 = 0 ვპოულობთ .

2) კვადრატულ ტრინომს აქვს ერთი ფესვი; ეს ნიშნავს, რომ პარაბოლა, რომელიც ემსახურება კვადრატული ტრინომის გრაფიკს, არ კვეთს x ღერძს, არამედ ეხება მას წერტილში. პარაბოლას ტოტები მიმართულია ზემოთ (სურ. 119.)

3) გეომეტრიული მოდელის გამოყენება ნახ. 119, ჩვენ ვადგენთ, რომ მოცემული უტოლობა დაკმაყოფილებულია მხოლოდ წერტილში, რადგან x-ის ყველა სხვა მნიშვნელობისთვის გრაფიკის ორდინატები დადებითია.
პასუხი:.
თქვენ ალბათ შენიშნეთ, რომ სინამდვილეში, მაგალითებში 1, 2, 3, ძალიან სპეციფიკურია ალგორითმიკვადრატული უტოლობების ამოხსნა, მოდით ფორმალიზება.

კვადრატული უტოლობის ამოხსნის ალგორითმი ax 2 + bx + 0 0 (ax 2 + bx + c< 0)

ამ ალგორითმის პირველი ნაბიჯი არის კვადრატული ტრინომის ფესვების პოვნა. მაგრამ ფესვები შეიძლება არ არსებობდეს, რა ვქნათ? მაშინ ალგორითმი არ გამოიყენება, რაც იმას ნიშნავს, რომ სხვაგვარად უნდა ვიფიქროთ. ამ არგუმენტების გასაღები მოცემულია შემდეგი თეორემებით.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ დ< 0, а >0, მაშინ უტოლობა ax 2 + bx + c > 0 მოქმედებს ყველა x-ზე; პირიქით, უტოლობა ცული 2 + bx + c< 0 не имеет решений.
მტკიცებულება. განრიგი ფუნქციები y = ax 2 + bx + c არის პარაბოლა, რომლის ტოტები მიმართულია ზევით (რადგან a > 0) და რომელიც არ კვეთს x ღერძს, რადგან კვადრატულ ტრინომს არ აქვს ფესვები პირობით. გრაფიკი ნაჩვენებია ნახ. 120. ჩვენ ვხედავთ, რომ ყველა x-ისთვის გრაფიკი მდებარეობს x ღერძის ზემოთ, რაც ნიშნავს, რომ x-ის უტოლობაზე მოქმედებს ცული 2 + bx + c > 0, რაც დამტკიცება იყო საჭირო.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ დ< 0, а < 0, то неравенство ах 2 + bх + с < 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах 2 + bх + с >0-ს არ აქვს გადაწყვეტილებები.

მტკიცებულება. y = ax 2 + bx +c ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა, რომლის ტოტები მიმართულია ქვემოთ (რადგან a< 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 121. Видим, что при всех х график расположен ниже оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах 2 + bх + с < 0, что и требовалось доказать.

მაგალითი 4. უტოლობის ამოხსნა:

ა) 2x 2 - x + 4 >0; ბ) -x 2 + 3x - 8 >0.

ა) იპოვეთ კვადრატული ტრინომის დისკრიმინანტი 2x 2 - x + 4. გვაქვს D = (-1) 2 - 4 2 4 = - 31< 0.
ტრინომის წამყვანი კოეფიციენტი (ნომერი 2) დადებითია.

ეს ნიშნავს, 1 თეორემის მიხედვით, ყველა x-ისთვის მოქმედებს უტოლობა 2x 2 - x + 4 > 0, ანუ მოცემული უტოლობის ამონახსნი არის მთელი (-00, + 00).

ბ) იპოვეთ კვადრატული ტრინომის დისკრიმინანტი - x 2 + 3x - 8. გვაქვს D = 32 - 4 (- 1) (- 8) = - 23< 0. Старший коэффициент трехчлена (число - 1) отрицателен. Следовательно, по теореме 2, при всех х выполняется неравенство - х 2 + Зx - 8 < 0. Это значит, что неравенство - х 2 + Зх - 8 0 не выполняется ни при каком значении х, т. е. заданное неравенство не имеет решений.

პასუხი: ა) (-00, + 00); ბ) არ არის გადაწყვეტილებები.

შემდეგ მაგალითში წარმოგიდგენთ მსჯელობის სხვა მეთოდს, რომელიც გამოიყენება კვადრატული უტოლობების ამოსახსნელად.

მაგალითი 5.ამოხსენით უტოლობა 3x 2 - 10x + 3< 0.
გამოსავალი. დავშალოთ კვადრატული ტრინომიალი 3x 2 - 10x + 3 გამრავლებისთვის. ტრინომის ფესვებია რიცხვები 3 და , ამიტომ ცულის გამოყენებით 2 + bx + c = a (x - x 1) (x - x 2), მივიღებთ 3x 2 - 10x + 3 = 3(x - 3) ( x - )
რიცხვთა წრფეზე გამოვყოთ ტრინომის ფესვები: 3 და (სურ. 122).

მოდით x > 3; შემდეგ x-3>0 და x->0 და შესაბამისად ნამრავლი 3(x - 3)(x - ) დადებითია. შემდეგი, მოდით< х < 3; тогда x-3< 0, а х- >0. მაშასადამე, ნამრავლი 3(x-3)(x-) უარყოფითია. საბოლოოდ, მოდით x<; тогда x-3< 0 и x- < 0. Но в таком случае произведение
3(x -3)(x -) დადებითია.

მსჯელობის შეჯამებით მივდივართ დასკვნამდე: კვადრატული ტრინომის ნიშნები 3x 2 - 10x + 3 იცვლება, როგორც ნაჩვენებია ნახ. 122. ჩვენ გვაინტერესებს რაზე იღებს x კვადრატული ტრინომი უარყოფით მნიშვნელობებს. ნახ. 122 ვასკვნით: კვადრატული ტრინომი 3x 2 - 10x + 3 იღებს უარყოფით მნიშვნელობებს x-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის ინტერვალიდან (, 3)
უპასუხეთ (, 3), ან< х < 3.

კომენტარი. მსჯელობის მეთოდს, რომელიც ჩვენ გამოვიყენეთ მე-5 მაგალითში, ჩვეულებრივ უწოდებენ ინტერვალების მეთოდს (ან ინტერვალების მეთოდს). აქტიურად გამოიყენება მათემატიკაში ამოსახსნელად რაციონალურიუთანასწორობები მე-9 კლასში უფრო დეტალურად შევისწავლით ინტერვალის მეთოდს.

მაგალითი 6. p პარამეტრის რა მნიშვნელობებზე არის კვადრატული განტოლება x 2 - 5x + p 2 = 0:
ა) აქვს ორი განსხვავებული ფესვი;

ბ) აქვს ერთი ფესვი;

გ) ფესვები არ აქვს?

გამოსავალი. ფესვების რაოდენობა კვადრატული განტოლებადამოკიდებულია მისი განმასხვავებელი D ნიშანზე. ამ შემთხვევაში ვპოულობთ D = 25 - 4p 2.

ა) კვადრატულ განტოლებას აქვს ორი განსხვავებული ფესვი, თუ D>0, მაშინ ამოცანა მცირდება 25 - 4р 2 > 0 უტოლობის ამოხსნამდე. მოდით გავამრავლოთ ამ უტოლობის ორივე მხარე -1-ზე (არ უნდა დაგვავიწყდეს, რომ შევცვალოთ ნიშნის ნიშანი. უთანასწორობა). ვიღებთ ეკვივალენტურ უტოლობას 4p 2 - 25< 0. Далее имеем 4 (р - 2,5) (р + 2,5) < 0.

4(p - 2.5) (p + 2.5) გამოხატვის ნიშნები ნაჩვენებია ნახ. 123.

ჩვენ ვასკვნით, რომ უტოლობა 4(p - 2.5)(p + 2.5)< 0 выполняется для всех значений р из интервала (-2,5; 2,5). Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет два различных корня.

ბ) კვადრატული განტოლებააქვს ერთი ფესვი, თუ D - 0.
როგორც ზემოთ დავადგინეთ, D = 0 p = 2.5 ან p = -2.5.

p პარამეტრის ამ მნიშვნელობებისთვის ამ კვადრატულ განტოლებას აქვს მხოლოდ ერთი ფესვი.

გ) კვადრატულ განტოლებას არ აქვს ფესვები, თუ D< 0. Решим неравенство 25 - 4р 2 < 0.

ვიღებთ 4p 2 - 25 > 0; 4 (p-2.5)(p + 2.5)>0, საიდანაც (იხ. სურ. 123) p< -2,5; р >2.5. p პარამეტრის ამ მნიშვნელობებისთვის, ამ კვადრატულ განტოლებას არ აქვს ფესვები.

პასუხი: ა) p-ზე (-2.5, 2.5);

ბ) p = 2,5 ან = -2,5-ზე;
გ) გვ< - 2,5 или р > 2,5.

მორდკოვიჩ ა.გ., ალგებრა. მე-8 კლასი: სახელმძღვანელო. ზოგადი განათლებისთვის ინსტიტუტები - მე-3 გამოცემა, შესწორებული. - მ.: მნემოსინე, 2001. - 223 გვ.: ილ.

დახმარება სკოლის მოსწავლეებისთვის ონლაინ, მათემატიკა მე-8 კლასის ჩამოტვირთვა, კალენდარი და თემატური დაგეგმვა

ინტერვალის მეთოდი- წილადი რაციონალური უტოლობების ამოხსნის მარტივი გზა. ეს არის რაციონალური (ან წილად-რაციონალური) გამონათქვამების შემცველი უტოლობების სახელი, რომლებიც დამოკიდებულია ცვლადზე.

1. განვიხილოთ, მაგალითად, შემდეგი უტოლობა

ინტერვალის მეთოდი საშუალებას გაძლევთ ამოხსნათ იგი რამდენიმე წუთში.

ამ უთანასწორობის მარცხენა მხარეს - წილადი რაციონალური ფუნქცია. რაციონალურია, რადგან ის არ შეიცავს ფესვებს, სინუსებს ან ლოგარითმებს - მხოლოდ რაციონალურ გამონათქვამებს. მარჯვნივ არის ნული.

ინტერვალის მეთოდი ეფუძნება წილადი რაციონალური ფუნქციის შემდეგ თვისებას.

წილადის რაციონალურ ფუნქციას შეუძლია შეცვალოს ნიშანი მხოლოდ იმ წერტილებში, რომლებშიც ის ნულის ტოლია ან არ არსებობს.

მოდით გავიხსენოთ, თუ როგორ ხდება კვადრატული ტრინომის ფაქტორირება, ანუ ფორმის გამოხატულება.

სად და არის კვადრატული განტოლების ფესვები.

ვხატავთ ღერძს და ვათავსებთ წერტილებს, რომლებზეც მრიცხველი და მნიშვნელი მიდის ნულზე.

მნიშვნელის ნულები და პუნქციური წერტილებია, რადგან ამ წერტილებში უტოლობის მარცხენა მხარეს ფუნქცია არ არის განსაზღვრული (ნულზე ვერ გაყოფთ). მრიცხველის და - ნულები დაჩრდილულია, რადგან უტოლობა არ არის მკაცრი. როდის და ჩვენი უტოლობა დაკმაყოფილებულია, ვინაიდან მისი ორივე მხარე ნულის ტოლია.

ეს წერტილები არღვევენ ღერძს ინტერვალებად.

მოდით განვსაზღვროთ წილადი რაციონალური ფუნქციის ნიშანი ჩვენი უტოლობის მარცხენა მხარეს თითოეულ ამ ინტერვალზე. ჩვენ გვახსოვს, რომ წილადის რაციონალურ ფუნქციას შეუძლია შეცვალოს ნიშანი მხოლოდ იმ წერტილებში, სადაც ის უდრის ნულს ან არ არსებობს.

ეს ნიშნავს, რომ იმ წერტილებს შორის თითოეულ ინტერვალში, სადაც მრიცხველი ან მნიშვნელი მიდის ნულამდე, უტოლობის მარცხენა მხარეს გამოხატვის ნიშანი იქნება მუდმივი - ან "პლუს" ან "მინუს".
და ამიტომ, თითოეულ ასეთ ინტერვალზე ფუნქციის ნიშნის დასადგენად, ვიღებთ ამ ინტერვალს მიკუთვნებულ ნებისმიერ წერტილს. ის, რაც ჩვენთვის მოსახერხებელია.

. აიღეთ, მაგალითად, და შეამოწმეთ გამოხატვის ნიშანი უტოლობის მარცხენა მხარეს. თითოეული „ფრჩხილი“ უარყოფითია. მარცხენა მხარეს აქვს ნიშანი.

შემდეგი ინტერვალი: . მოდით შევამოწმოთ ნიშანი ზე. ჩვენ აღმოვაჩენთ, რომ მარცხენა მხარეს შეიცვალა ნიშანი.

ავიღოთ. როდესაც გამოთქმა დადებითია - მაშასადამე, ის დადებითია მთელი ინტერვალიდან მდე.

როდესაც უტოლობის მარცხენა მხარე უარყოფითია."> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

და ბოლოს, class="tex" alt="x>7

ჩვენ აღმოვაჩინეთ, რა ინტერვალებით არის გამოხატული დადებითი. რჩება მხოლოდ პასუხის ჩაწერა:

პასუხი:. გთხოვთ გაითვალისწინოთ: ნიშნები მონაცვლეობს ინტერვალებს შორის. ეს იმიტომ მოხდა.

თითოეულ წერტილში გავლისას ზუსტად ერთმა წრფივმა ფაქტორმა იცვალა ნიშანი, დანარჩენებმა კი უცვლელად ინახებოდა

ჩვენ ვხედავთ, რომ ინტერვალის მეთოდი ძალიან მარტივია. წილად-რაციონალური უტოლობის ამოსახსნელად ინტერვალის მეთოდის გამოყენებით, ვამცირებთ მას ფორმაზე: ან"> !} class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \მარჯვნივ)) > 0

, ან , ან .

(მარცხნივ არის წილადი რაციონალური ფუნქცია, მარჯვენა მხარეს არის ნული).
შემდეგ რიცხვით წრფეზე ვნიშნავთ წერტილებს, რომლებზეც მრიცხველი ან მნიშვნელი მიდის ნულზე.
ეს წერტილები მთელ რიცხვთა წრფეს ყოფენ ინტერვალებად, რომელთაგან თითოეულზე წილად-რაციონალური ფუნქცია ინარჩუნებს თავის ნიშანს.
ამას ვაკეთებთ გამოხატვის ნიშნის შემოწმებით მოცემულ ინტერვალს მიეკუთვნება ნებისმიერ წერტილში. ამის შემდეგ ჩვენ ვწერთ პასუხს. ესე იგი.

მაგრამ ჩნდება კითხვა: ნიშნები ყოველთვის ალტერნატიულია? არა, ყოველთვის არა! ფრთხილად უნდა იყოთ და არ განათავსოთ ნიშნები მექანიკურად და დაუფიქრებლად.

2. განვიხილოთ კიდევ ერთი უთანასწორობა.

Class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \მარჯვნივ) \ მარცხენა(x-3 \მარჯვნივ))>0"> !}

კვლავ მოათავსეთ წერტილები ღერძზე. წერტილები და პუნქციაა, რადგან ისინი მნიშვნელის ნულებია. წერტილი ასევე ამოჭრილია, რადგან უთანასწორობა მკაცრია.

როდესაც მრიცხველი დადებითია, მნიშვნელში ორივე ფაქტორი უარყოფითია. ამის მარტივად შემოწმება შესაძლებელია მოცემული ინტერვალიდან ნებისმიერი რიცხვის აღებით, მაგალითად, . მარცხენა მხარეს აქვს ნიშანი:

როცა მრიცხველი დადებითია; მნიშვნელში პირველი ფაქტორი დადებითია, მეორე კი უარყოფითი. მარცხენა მხარეს აქვს ნიშანი:

სიტუაცია იგივეა! მრიცხველი დადებითია, მნიშვნელში პირველი ფაქტორი დადებითია, მეორე უარყოფითი. მარცხენა მხარეს აქვს ნიშანი:

ბოლოს, class="tex" alt="x>3-ით"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

რატომ დაირღვა ნიშნების მონაცვლეობა? რადგან წერტილის გავლისას მულტიპლიკატორი მასზე "პასუხისმგებელია". ნიშანი არ შეცვლილა. შესაბამისად, ჩვენი უთანასწორობის მთელი მარცხენა მხარე არ იცვლიდა ნიშანს.

დასკვნა: თუ წრფივი მულტიპლიკატორი არის ლუწი სიმძლავრე (მაგალითად, კვადრატში), მაშინ წერტილის გავლისას მარცხენა მხარეს გამოხატვის ნიშანი არ იცვლება. კენტი ხარისხის შემთხვევაში, ნიშანი, რა თქმა უნდა, იცვლება.

3. განვიხილოთ უფრო რთული შემთხვევა. იგი წინაგან განსხვავდება იმით, რომ უთანასწორობა არ არის მკაცრი:

მარცხენა მხარე იგივეა რაც შიგნით წინა დავალება. ნიშნების სურათი იგივე იქნება:

იქნებ პასუხი იგივე იყოს? არა! ამონახსნი ემატება ეს იმიტომ ხდება, რომ უტოლობის ორივე მარცხენა და მარჯვენა მხარეს ნულის ტოლია - მაშასადამე, ეს წერტილი არის ამონახსნი.

ეს სიტუაცია ხშირად გვხვდება მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის პრობლემებში. სწორედ აქ ხვდებიან აპლიკანტები ხაფანგში და კარგავენ ქულებს. ფრთხილად იყავი!

4. რა უნდა გააკეთოს, თუ მრიცხველი ან მნიშვნელი არ შეიძლება წრფივ ფაქტორებად ფაქტორებად იქცეს? განვიხილოთ ეს უთანასწორობა:

კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზაცია შეუძლებელია: დისკრიმინანტი უარყოფითია, ფესვები არ არსებობს. მაგრამ ეს კარგია! ეს ნიშნავს, რომ გამოხატვის ნიშანი ყველასთვის ერთნაირია და კონკრეტულად, დადებითი. ამის შესახებ მეტი შეგიძლიათ წაიკითხოთ სტატიაში კვადრატული ფუნქციების თვისებების შესახებ.

ახლა კი შეგვიძლია ჩვენი უთანასწორობის ორივე მხარე გავყოთ ყველასთვის დადებითი მნიშვნელობით. მოდით მივიდეთ ეკვივალენტურ უტოლობამდე:

რომელიც ადვილად წყდება ინტერვალის მეთოდით.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ჩვენ გავყავით უტოლობის ორივე მხარე იმ მნიშვნელობით, რომელიც დანამდვილებით ვიცოდით, რომ დადებითი იყო. რა თქმა უნდა, ზოგადად, თქვენ არ უნდა გაამრავლოთ ან გაყოთ უტოლობა ცვლადი მნიშვნელობა, რომლის ნიშანი უცნობია.

5 . განვიხილოთ კიდევ ერთი უტოლობა, ერთი შეხედვით საკმაოდ მარტივი:

უბრალოდ მინდა გავამრავლო ის. მაგრამ ჩვენ უკვე ჭკვიანები ვართ და ამას არ გავაკეთებთ. ყოველივე ამის შემდეგ, ეს შეიძლება იყოს როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი. ჩვენ ვიცით, რომ თუ უტოლობის ორივე მხარე გამრავლებულია უარყოფით მნიშვნელობაზე, უტოლობის ნიშანი იცვლება.

ჩვენ ამას სხვაგვარად გავაკეთებთ - ყველაფერს ერთ ნაწილში მოვაგროვებთ და საერთო მნიშვნელამდე მივიყვანთ. მარჯვენა მხარე ნული დარჩება:

Class="tex" alt="\genfrac())()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

და ამის შემდეგ - მიმართეთ ინტერვალის მეთოდი.

უტოლობას წრფივი ეწოდებარომლის მარცხენა და მარჯვენა მხარეები წრფივი ფუნქციებია უცნობი სიდიდის მიმართ. ეს მოიცავს, მაგალითად, უთანასწორობებს:

2x-1-x+3; 7x0;

5 >4 - 6x 9- x< x + 5 .

1) მკაცრი უტოლობები: ცული +b>0ან ნაჯახი+ბ<0

2) არა მკაცრი უტოლობები: ცული +b≤0ან ნაჯახი+ბ≫ 0

გავაანალიზოთ ეს ამოცანა. პარალელოგრამის ერთ-ერთი გვერდი არის 7 სმ. რამდენი უნდა იყოს მეორე მხარის სიგრძე ისე, რომ პარალელოგრამის პერიმეტრი 44 სმ-ზე მეტი იყოს?

დაე საჭირო მხარე იყოს Xსმ ამ შემთხვევაში პარალელოგრამის პერიმეტრი წარმოდგენილი იქნება (14 + 2x) სმ-ით. უტოლობა 14 + 2x > 44 არის პარალელოგრამის ამოცანის მათემატიკური მოდელი. თუ ამ უტოლობაში ცვლადს ჩავანაცვლებთ Xმაგალითად, რიცხვზე 16, მაშინ მივიღებთ სწორ რიცხვობრივ უტოლობას 14 + 32 > 44. ამ შემთხვევაში, ისინი ამბობენ, რომ რიცხვი 16 არის 14 + 2x > 44 უტოლობის ამოხსნა.

უტოლობის ამოხსნადაასახელეთ ცვლადის მნიშვნელობა, რომელიც აქცევს მას ნამდვილ რიცხვობრივ უტოლობად.

მაშასადამე, თითოეული რიცხვი არის 15,1; 20;73 არის გამოსავალი 14 + 2x > 44 უტოლობისთვის, მაგრამ რიცხვი 10, მაგალითად, არ არის გამოსავალი.

უტოლობის ამოხსნანიშნავს მისი ყველა გადაწყვეტის დადგენას ან იმის მტკიცებას, რომ გადაწყვეტილებები არ არსებობს.

უტოლობის ამოხსნის ფორმულირება განტოლების ფესვის ფორმულირების მსგავსია. და მაინც არ არის ჩვეულებრივი "უთანასწორობის ფესვის" დანიშვნა.

რიცხვითი ტოლობების თვისებები დაგვეხმარა განტოლებების ამოხსნაში. ანალოგიურად, რიცხვითი უტოლობების თვისებები დაეხმარება უტოლობების ამოხსნას.

განტოლების ამოხსნისას მას სხვა, უფრო მარტივი, მაგრამ მოცემულის ექვივალენტური განტოლებით ვცვლით. უტოლობების პასუხი ანალოგიურად არის ნაპოვნი. განტოლების ეკვივალენტურ განტოლებაზე შეცვლისას ისინი იყენებენ თეორემას განტოლების ერთი მხრიდან საპირისპიროზე ტერმინების გადატანის და განტოლების ორივე მხარის ერთსა და იმავე არანულოვან რიცხვზე გამრავლების შესახებ. უტოლობის ამოხსნისას მასა და განტოლებას შორის მნიშვნელოვანი განსხვავებაა, რაც მდგომარეობს იმაში, რომ განტოლების ნებისმიერი ამონახსნის შემოწმება შესაძლებელია უბრალოდ თავდაპირველ განტოლებაში ჩანაცვლებით. უტოლობაში ეს მეთოდი არ არსებობს, რადგან შეუძლებელია უთვალავი ამონახსნის ჩანაცვლება თავდაპირველ უტოლობაში. აქედან გამომდინარე, არსებობს მნიშვნელოვანი კონცეფცია, ეს ისრები<=>არის ეკვივალენტური, ანუ ეკვივალენტური გარდაქმნების ნიშანი. ტრანსფორმაცია ე.წ ექვივალენტი,ან ექვივალენტი, თუ ისინი არ შეცვლიან გადაწყვეტილებების კომპლექტს.

უტოლობების ამოხსნის მსგავსი წესები.

თუ რომელიმე ტერმინს გადავიტანთ უტოლობის ერთი ნაწილიდან მეორეზე, შევცვლით მის ნიშანს საპირისპირო ნიშნით, მივიღებთ ამ უტოლობის ეკვივალენტს.

თუ უტოლობის ორივე მხარე გავამრავლებთ (გაიყოფთ) ერთსა და იმავე დადებით რიცხვზე, მივიღებთ ამ ერთის ტოლფას უტოლობას.

თუ უტოლობის ორივე მხარე გავამრავლებთ (გაიყოფთ) ერთსა და იმავე უარყოფით რიცხვზე, უტოლობის ნიშნის საპირისპირო ნიშნით ვცვლით, მივიღებთ მოცემულის ტოლფას უტოლობას.

ამათ გამოყენება წესებიგამოვთვალოთ შემდეგი უტოლობა.

1) გავაანალიზოთ უთანასწორობა 2x - 5 > 9.

ეს წრფივი უტოლობა, ვიპოვით მის გადაწყვეტას და განვიხილავთ ძირითად ცნებებს.

2x - 5 > 9<=>2x>14(5 საპირისპირო ნიშნით მარცხენა მხარეს გადავიდა), შემდეგ ყველაფერი გავყავით 2-ზე და გვაქვს x > 7. მოდით გამოვსახოთ ამონახსნების ნაკრები ღერძზე x

ჩვენ მივიღეთ დადებითად მიმართული სხივი. ჩვენ აღვნიშნავთ ამონახსნების სიმრავლეს ან უტოლობის სახით x > 7, ან x(7; ∞) ინტერვალის სახით. რა არის ამ უთანასწორობის კონკრეტული გამოსავალი? მაგალითად, x = 10არის ამ უთანასწორობის განსაკუთრებული გადაწყვეტა, x = 12- ეს ასევე არის ამ უთანასწორობის განსაკუთრებული გამოსავალი.

ნაწილობრივი გამოსავალი ბევრია, მაგრამ ჩვენი ამოცანაა ყველა გამოსავლის პოვნა. და, როგორც წესი, არსებობს უამრავი გამოსავალი.

მოდი მოვაგვაროთ მაგალითი 2:

2) უტოლობის ამოხსნა 4a - 11 > a + 13.

მოდი მოვაგვაროთ: აგადაიტანეთ იგი ერთ მხარეს 11 გადაიტანეთ იგი მეორე მხარეს, მივიღებთ 3a< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 უთანასწორობას აქვს ფორმა ა<8 .

4a - 11 > a + 13<=>3ა< 24 <=>ა< 8 .

ჩვენ ასევე გამოვაჩენთ კომპლექტს ა< 8 , მაგრამ უკვე ღერძზე ა.

პასუხს ან უტოლობის სახით ვწერთ ა< 8, либо ა(-∞;8), 8 არ ირთვება.

თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, გადახედოთ ჩვენს კონფიდენციალურობის პრაქტიკას და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.

პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან დასაკავშირებლად.

თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.

ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.

რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:

როდესაც განაცხადებს წარადგენთ საიტზე, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, ელექტრონული ფოსტის მისამართი და ა.შ.

როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:

ჩვენს მიერ შეგროვებული პირადი ინფორმაციასაშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ და გაცნობოთ უნიკალური შეთავაზებების, აქციების და სხვა ღონისძიებებისა და მომავალი ღონისძიებების შესახებ.
დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პირადი ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და კომუნიკაციების გასაგზავნად.
ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტის ჩატარება, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევა, რათა გავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს აქციაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.

ინფორმაციის გამჟღავნება მესამე პირებისთვის

ჩვენ არ ვუმხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.

გამონაკლისები:

საჭიროების შემთხვევაში - კანონის, სასამართლო პროცესის, სასამართლო პროცესის შესაბამისად ან/და საჯარო მოთხოვნის ან მოთხოვნის საფუძველზე. სამთავრობო უწყებებსრუსეთის ფედერაციის ტერიტორიაზე - გაამჟღავნეთ თქვენი პირადი ინფორმაცია. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ გადავწყვეტთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოების, კანონის აღსრულების ან სხვა საზოგადოებრივი მნიშვნელობის მიზნებისთვის.
რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეიძლება გადავიტანოთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მემკვიდრე მესამე მხარეს.

პირადი ინფორმაციის დაცვა

ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პერსონალური ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არაავტორიზებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.

თქვენი კონფიდენციალურობის პატივისცემა კომპანიის დონეზე

თქვენი პერსონალური ინფორმაციის უსაფრთხოების უზრუნველსაყოფად, ჩვენ ვუწოდებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების სტანდარტებს ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.

მაგალითად, უტოლობა არის გამოხატულება \(x>5\).

უტოლობების სახეები:

თუ \(a\) და \(b\) არის რიცხვები ან , მაშინ უტოლობა იწოდება რიცხვითი. სინამდვილეში ეს მხოლოდ ორი რიცხვის შედარებაა. ასეთი უტოლობები იყოფა ერთგულიდა მოღალატე.

მაგალითად:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) არასწორი რიცხვითი უტოლობაა, რადგან \(17+3=20\), და \(20\) ნაკლებია \(115\) (და არა მეტი ან ტოლი) .

თუ \(a\) და \(b\) არის გამონათქვამები, რომლებიც შეიცავს ცვლადს, მაშინ გვაქვს უთანასწორობა ცვლადთან. ასეთი უტოლობები იყოფა ტიპებად, შინაარსიდან გამომდინარე:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				ცვალებადია მხოლოდ პირველ ძალაზე
\(3x^2-x+5>0\)				არის ცვლადი მეორე ხარისხში (კვადრატში), მაგრამ არ არსებობს უფრო მაღალი ძალა (მესამე, მეოთხე და ა.შ.)
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

... და ასე შემდეგ.

რა არის უთანასწორობის გამოსავალი?

თუ რიცხვს ცვლადის ნაცვლად ჩაანაცვლებთ უტოლობით, ის გადაიქცევა რიცხვით.

თუ x-ის მოცემული მნიშვნელობა აქცევს თავდაპირველ უტოლობას ნამდვილ რიცხვად, მაშინ მას უწოდებენ უთანასწორობის გადაწყვეტა. თუ არა, მაშინ ეს მნიშვნელობა არ არის გამოსავალი. და ასე რომ უთანასწორობის ამოხსნა- თქვენ უნდა იპოვოთ მისი ყველა გამოსავალი (ან აჩვენოთ, რომ არ არსებობს).

მაგალითად,თუ რიცხვს \(7\) ჩავანაცვლებთ წრფივი უტოლობით \(x+6>10\), მივიღებთ სწორ რიცხვობრივ უტოლობას: \(13>10\). და თუ ჩავანაცვლებთ \(2\), იქნება არასწორი რიცხვითი უტოლობა \(8>10\). ანუ, \(7\) არის საწყისი უტოლობის ამოხსნა, მაგრამ \(2\) არა.

თუმცა, უტოლობას \(x+6>10\) სხვა ამონახსნები აქვს. მართლაც, ჩვენ მივიღებთ სწორ რიცხვობრივ უტოლობას \(5\), და \(12\), და \(138\) ჩანაცვლებისას... და როგორ ვიპოვოთ ყველა შესაძლო ამონახსნები? ამისათვის ისინი იყენებენ ჩვენს შემთხვევაში გვაქვს:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

ანუ ოთხზე მეტი ნებისმიერი რიცხვი მოგვწონს. ახლა თქვენ უნდა დაწეროთ პასუხი. უტოლობების ამონახსნები, როგორც წესი, იწერება რიცხვით, დამატებით აღნიშნავენ მათ რიცხვით ღერძზე დაჩრდილვით. ჩვენი საქმისთვის გვაქვს:

პასუხი: \(x\in(4;+\infty)\)

როდის იცვლება უთანასწორობის ნიშანი?

არის ერთი დიდი ხაფანგი უთანასწორობებში, რომლებშიც მოსწავლეებს ნამდვილად „უყვართ“ ჩავარდნა:

უტოლობის უარყოფით რიცხვზე გამრავლებისას (ან გაყოფისას) იგი უკუგდება ("მეტი" "ნაკლებად", "მეტი ან ტოლი" "ნაკლები ან ტოლი" და ა.შ.)

რატომ ხდება ეს? ამის გასაგებად, მოდით შევხედოთ \(3>1\) რიცხვითი უტოლობის გარდაქმნებს. მართალია, სამი მართლაც მეტია ერთზე. პირველ რიგში, ვცადოთ მისი გამრავლება ნებისმიერ დადებით რიცხვზე, მაგალითად, ორზე:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

როგორც ვხედავთ, გამრავლების შემდეგ უტოლობა ჭეშმარიტი რჩება. და რა დადებით რიცხვზეც არ უნდა გავამრავლოთ, ყოველთვის მივიღებთ სწორ უტოლობას. ახლა ვცადოთ გავამრავლოთ უარყოფით რიცხვზე, მაგალითად, მინუს სამი:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

შედეგი არის არასწორი უტოლობა, რადგან მინუს ცხრა ნაკლებია მინუს სამზე! ანუ, იმისთვის, რომ უტოლობა ჭეშმარიტი გახდეს (და, შესაბამისად, გამრავლების უარყოფითად გარდაქმნა იყო „კანონიერი“), თქვენ უნდა შეცვალოთ შედარების ნიშანი, ასე: \(−9<− 3\).
გაყოფით ეს ასე გამოვა, შეგიძლიათ თავად შეამოწმოთ.

ზემოთ დაწერილი წესი ვრცელდება ყველა სახის უტოლობაზე და არა მხოლოდ რიცხვით.

მაგალითი: ამოხსენით უტოლობა \(2(x+1)-1<7+8x\)
გამოსავალი:


\(2x+2-1<7+8x\)	გადავიტანოთ \(8x\) მარცხნივ, ხოლო \(2\) და \(-1\) მარჯვნივ, არ დაგვავიწყდეს ნიშნების შეცვლა
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(\|:(-6)\)	მოდით გავყოთ უტოლობის ორივე მხარე \(-6\-ზე), არ დაგვავიწყდეს გადავიდეთ „ნაკლებიდან“ „მეტზე“
	მოდი აღვნიშნოთ რიცხვითი ინტერვალი ღერძზე. უთანასწორობა, ამიტომ ჩვენ თავად „გამოვყოფთ“ მნიშვნელობას \(-1\) და არ ვიღებთ მას პასუხად.
	დავწეროთ პასუხი ინტერვალის სახით

პასუხი: \(x\in(-1;\infty)\)

უთანასწორობა და ინვალიდობა

უტოლობებს, ისევე როგორც განტოლებებს, შეიძლება ჰქონდეთ შეზღუდვები ზე, ანუ x-ის მნიშვნელობებზე. შესაბამისად, ის მნიშვნელობები, რომლებიც მიუღებელია DZ-ის მიხედვით, უნდა გამოირიცხოს გადაწყვეტილებების სპექტრიდან.

მაგალითი: ამოხსენით უტოლობა \(\sqrt(x+1)<3\)

გამოსავალი: ნათელია, რომ იმისათვის, რომ მარცხენა მხარე იყოს \(3\)-ზე ნაკლები, რადიკალური გამოხატულება უნდა იყოს \(9\)-ზე ნაკლები (ბოლოს და ბოლოს, \(9\)-დან მხოლოდ \(3\)). ჩვენ ვიღებთ:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\ (x<8\)

ყველა? \(8\)-ზე მცირე x-ის ნებისმიერი მნიშვნელობა მოგვწონს? არა! რადგან თუ ავიღებთ, მაგალითად, მნიშვნელობას \(-5\), რომელიც, როგორც ჩანს, შეესაბამება მოთხოვნას, ეს არ იქნება საწყისი უტოლობის ამოხსნა, რადგან მიგვიყვანს უარყოფითი რიცხვის ფესვის გამოთვლამდე.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

ამიტომ, ასევე უნდა გავითვალისწინოთ X-ის მნიშვნელობის შეზღუდვები - არ შეიძლება იყოს ისეთი, რომ ფესვის ქვეშ იყოს უარყოფითი რიცხვი. ამრიგად, ჩვენ გვაქვს მეორე მოთხოვნა x-სთვის:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

და იმისათვის, რომ x იყოს საბოლოო ამონახსნი, ის ერთდროულად უნდა აკმაყოფილებდეს ორივე მოთხოვნას: ის უნდა იყოს \(8\)-ზე ნაკლები (რომ იყოს ამონახსნი) და მეტი \(-1\) (რომ იყოს დასაშვები პრინციპში). რიცხვით ხაზზე გამოსახვით, ჩვენ გვაქვს საბოლოო პასუხი:

პასუხი: \(\მარცხნივ[-1;8\მარჯვნივ)\)