შესავალი ჩემი პროექტის პრობლემა ის არის, რომ წარმატებულია ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ჩაბარებამოითხოვს გადაჭრის უნარს სხვადასხვა სისტემებიგანტოლებები და ცოდნა საშუალო სკოლამათ არ დაეთმოთ საკმარისი დრო ამ საკითხის უფრო ღრმად გასაგებად. სამუშაოს მიზანი: მოემზადოს ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის წარმატებით ჩაბარებისთვის. სამუშაოს მიზნები: გააფართოვეთ ცოდნა მათემატიკის სფეროში, რომელიც დაკავშირებულია „სიმეტრიის“ ცნებასთან. გააუმჯობესეთ თქვენი მათემატიკური კულტურა „სიმეტრიის“ ცნების გამოყენებით სიმეტრიული განტოლებების სისტემების ამოხსნისას, ისევე როგორც მათემატიკაში სხვა ამოცანები.
სიმეტრიის ცნება. სიმეტრია - (ძველი ბერძნული συμμετρία), ფართო გაგებით - უცვლელობა ნებისმიერი გარდაქმნებისას. მაგალითად, სხეულის სფერული სიმეტრია ნიშნავს, რომ სხეულის გარეგნობა არ შეიცვლება, თუ იგი სივრცეში ბრუნავს თვითნებური კუთხით. ორმხრივი სიმეტრია ნიშნავს, რომ მარჯვენა და მარცხენა რომელიმე სიბრტყის მიმართ ერთნაირად გამოიყურება.
ამოცანების ამოხსნა სიმეტრიის გამოყენებით. ამოცანა No1 ორი ადამიანი რიგრიგობით ათავსებს იდენტურ მონეტებს მრგვალ მაგიდაზე და მონეტები არ უნდა ფარავდეს ერთმანეთს. ის, ვინც მოძრაობს ვერ აკეთებს, კარგავს. ვინ იგებს სწორად თამაშისას? (სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რომელ მოთამაშეს აქვს გამარჯვების სტრატეგია?)
სიმეტრიული სისტემების ამოხსნის მეთოდები. სიმეტრიული სისტემების ამოხსნა შესაძლებელია ცვლადების შეცვლით, რომლებსაც თამაშობენ ძირითადი სიმეტრიული მრავალწევრები. ორი განტოლების სიმეტრიული სისტემა ორი უცნობი x და y ამოხსნილია u = x + y, v = xy ჩანაცვლებით.
მაგალითი No2 3 x 2y – 2xy + 3xy 2 = 78, 2x – 3xy + 2y + 8 = 0 ძირითადი სიმეტრიული მრავალწევრების გამოყენებით სისტემა შეიძლება დაიწეროს შემდეგი სახით 3uv – 2v = 78, 2u – 3v = -8 .
გამოვხატავთ u = მეორე განტოლებიდან და შევცვლით მას პირველ განტოლებაში, ვიღებთ 9v2– 28v – 156 = 0. ამ განტოლების ფესვები v 1 = 6 და v 2 = - საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ შესაბამისი მნიშვნელობები U1 = 5, u2= - გამოთქმიდან u =.
სიმეტრიული სისტემების ამოხსნისას გამოყენებული თეორემები. თეორემა 1. (სიმეტრიული მრავალწევრების შესახებ) ჩვენ შეგვიძლია წარმოვადგინოთ ნებისმიერი სიმეტრიული პოლინომი ორ ცვლადში, როგორც ორი ძირითადი სიმეტრიული მრავალწევრის ფუნქცია. , ქ) ისეთი, რომ
თეორემა 2. (სიმეტრიული მრავალწევრების შესახებ) თეორემა 2. (სიმეტრიული მრავალწევრების შესახებ) ნებისმიერი სიმეტრიული პოლინომი სამ ცვლადში შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სამი ძირითადი სიმეტრიული მრავალწევრის ფუნქციად: სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ნებისმიერი სიმეტრიული პოლინომისთვის f (x, y) არის სამი ცვლადის θ (u, v, w) ასეთი ფუნქცია, რომელიც
უფრო რთული სიმეტრიული სისტემები - მოდულის შემცველი სისტემები: | x – y | + y2 = 3, | x – 1 | + | y – 1 | = 2. განვიხილოთ ეს სისტემა x-ისთვის ცალკე< 1 и при х ≥ 1.
Если х < 1, то:
а) при у < х система принимает вид
х – у + у 2 = 3,
- х + 1 – у + 1 = 2,
или
х – у + у 2 = 3,
х + у = 0,
откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = - 3, у2 = 3. Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области;
ბ) x ≤ y-სთვის< 1 система принимает вид
б) при х ≤ у < 1 система принимает вид
- х + у + у 2 = 3,
- х + 1 – у + 1 = 2,
или
- х + у + у 2 = 3,
х + у = 0,
откуда находим х 1 = 3, у 1 = - 3; х 2 = - 1, у 2 = 1.
Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области;
в) при у ≥ 1 (тогда у >x) სისტემა იღებს ფორმას - x + y + y 2 = 3, - x + 1 + y – 1 = 2, ან - x + y + y 2 = 3, x – y = - 2, საიდანაც ვპოულობთ x 1 = - 3, y 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 1. რიცხვების მეორე წყვილი განსახილველ ფართობს განეკუთვნება, ანუ ეს არის ამ სისტემის ამოხსნა.
თუ x ≥ 1, მაშინ: თუ x ≥ 1, მაშინ: ა) x > y და y< 1 система принимает вид
х – у + у 2 = 3,
х – 1 – у = 1 = 2,
или
х – у + у 2= 3,
х – у = 2,
откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = 4, у 2 = 2. Первая пара чисел принадлежит рассматриваемой области, т. Е. является решением данной системы;
б) при х >y და y ≥ 1 სისტემა იღებს ფორმას x – y + y 2 = 3, x – 1 + y – 1 = 2, ან x – y + y 2 = 3, x + y = 4, საიდანაც ვპოულობთ x = 1, y = 3. რიცხვების ეს წყვილი არ ეკუთვნის განსახილველ რეგიონს;
გ) x ≤ y (მაშინ y ≥ 1) სისტემა იღებს ფორმას c) x ≤ y (მაშინ y ≥ 1) სისტემა იღებს ფორმას - x + y + y 2 = 3, x – 1 + y – 1 = 2, ან - x + y + y 2 = 3, x + y = 4, საიდანაც ვპოულობთ x 1 = 5 + √8, y 1 = - 1 - √8; x 2 = 5 - √8, y 2 = - 1 + √8. რიცხვების ეს წყვილი არ ეკუთვნის განსახილველ რეგიონს. ამრიგად, x 1 = - 1, y 1 = 1; x 2 = 1, y 2 = - 1. პასუხი: (- 1; 1); (1; - 1).
დასკვნა მათემატიკა ავითარებს ადამიანის აზროვნებას, გვასწავლის ლოგიკის საშუალებით სხვადასხვა ამოხსნის პოვნას. ასე რომ, როდესაც ვისწავლე სიმეტრიული სისტემების ამოხსნა, მივხვდი, რომ მათი გამოყენება შესაძლებელია არა მხოლოდ ამოსახსნელად კონკრეტული მაგალითები, მაგრამ მე ვარ სხვადასხვა სახის პრობლემების გადაჭრის მომხრე. ვფიქრობ, რომ პროექტი არა მარტო მე მომგებიანია. ვისაც ასევე სურს ამ თემის გაცნობა, ჩემი ნამუშევარი კარგი ასისტენტი იქნება.
გამოყენებული ლიტერატურის სია: ბაშმაკოვი M.I., „ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი“, მე-2 გამოცემა, მოსკოვი, „Prosveshchenie“, 1992, 350 pp. Rudchenko P.A., Yaremchuk F.P., „Algebra and ელემენტარული ფუნქციები“, საცნობარო წიგნი; მესამე გამოცემა, შესწორებული და გაფართოებული; კიევი, ნაუკოვა, დუმკა, 1987, 648 გვ. Sharygin I.F., „მათემატიკა საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის“, მოსკოვი, გამომცემლობა"Bustard", 1995, 490 გვ. ინტერნეტ რესურსები: http://www.college.ru/
ნამუშევარი შეიძლება გამოყენებულ იქნას გაკვეთილებისთვის და მოხსენებებისთვის თემაზე "მათემატიკა"
მათემატიკაში მზა პრეზენტაციები გამოიყენება როგორც ვიზუალური დამხმარე საშუალებები, რომლებიც მასწავლებელს ან მშობელს საშუალებას აძლევს აჩვენონ სასწავლო წიგნიდან შესწავლილი თემა სლაიდების და ცხრილების გამოყენებით, აჩვენონ ამოცანებისა და განტოლებების ამოხსნის მაგალითები და ასევე შეამოწმონ ცოდნა. საიტის ამ განყოფილებაში შეგიძლიათ იპოვოთ და ჩამოტვირთოთ ბევრი მზა პრეზენტაცია მათემატიკაზე 1, 2, 3, 4, 5, 6 კლასების მოსწავლეებისთვის, ასევე პრეზენტაციები უმაღლესი მათემატიკაუნივერსიტეტის სტუდენტებისთვის.
განტოლებათა სისტემების ამოხსნის შესახებ დამატებითი ლიტერატურის შესწავლისას დამხვდა ახალი ტიპის სისტემა - სიმეტრიული. და ჩემს თავს დავსახე მიზანი:
შეაჯამეთ სამეცნიერო ინფორმაცია თემაზე „განტოლებათა სისტემები“.
გაიაზრონ და ისწავლონ ამოხსნა ახალი ცვლადების შემოტანით;
3) განვიხილოთ განტოლებათა სიმეტრიულ სისტემებთან დაკავშირებული ძირითადი თეორიები
4) ისწავლეთ განტოლებათა სიმეტრიული სისტემების ამოხსნა.
განტოლებათა სისტემების ამოხსნის ისტორია.
დიდი ხანია პრაქტიკაა უცნობის გამორიცხვა წრფივი განტოლებები. მე-17-18 საუკუნეებში. ვ. გამორიცხვის ტექნიკა შეიმუშავეს ფერმატმა, ნიუტონმა, ლაიბნიცმა, ეილერმა, ბეზოუტმა, ლაგრანჟმა.
თანამედროვე აღნიშვნით, ორი წრფივი განტოლების სისტემას ორი უცნობით აქვს ფორმა: a1x + b1y = c1, a2x + b2x = c2 x = c1b1 – c2b; y = a1c2 – a2c1 ამ სისტემის ამონახსნები გამოიხატება ფორმულებით.
a1b2 – a2b1 a1b2 – a2b1
მე-17 საუკუნეში შექმნილი კოორდინატული მეთოდის წყალობით. ფერმას და დეკარტს, შესაძლებელი გახდა განტოლებათა სისტემების გრაფიკულად ამოხსნა.
III-II ათასწლეულში დაწერილ ძველ ბაბილონურ ტექსტებში. ე. , შეიცავს უამრავ პრობლემას, რომელთა გადაჭრაც შესაძლებელია განტოლებათა სისტემების აგებით, რომლებშიც ასევე შეყვანილია მეორე ხარისხის განტოლებები.
მაგალითი #1:
მე დავამატე ჩემი ორი კვადრატის ფართობები: 25. მეორე კვადრატის გვერდი უდრის პირველს და კიდევ 5 განტოლებათა სისტემა შესაბამის აღნიშვნით ასე გამოიყურება: x2 + y2 = 25, y = x. = 5
დიოფანტე, რომელსაც ბევრი უცნობის ეტიკეტები არ ჰქონდა, დიდი შრომა სჭირდებოდა უცნობის ისე შერჩევას, რომ სისტემის ამონახსნები ერთი განტოლების ამონახვამდე დაეყვანა.
მაგალითი #2:
"იპოვე ორი ნატურალური რიცხვებიიმის ცოდნა, რომ მათი ჯამი არის 20, ხოლო კვადრატების ჯამი არის 208."
პრობლემა ასევე მოგვარდა განტოლებათა სისტემის შედგენით, x + y = 20, მაგრამ ამოხსნილია x2 + y2 = 208
დიოფანტე, უცნობ ნახევარად ირჩევს საჭირო რიცხვთა სხვაობას, ე.ი.
(x – y) = z, + (x + y) = 10
2z2 + 200 = 208 z = + 2z = -2- არ აკმაყოფილებს ამოცანის პირობებს, შესაბამისად, თუ z = 2x = 12 და y = 8
ალგებრული განტოლებათა სისტემის ცნებები.
ბევრ პრობლემაში აუცილებელია რამდენიმე უცნობი სიდიდის პოვნა, იმის ცოდნა, რომ მათი დახმარებით წარმოქმნილი სხვა სიდიდეები (უცნობების ფუნქციები) ტოლია ერთმანეთის ან რომელიმე მოცემული სიდიდის. მოდით შევხედოთ მარტივ მაგალითს.
2400 მ2 ფართობის მართკუთხა მიწის ნაკვეთი შემოღობილია 200 მ სიგრძის გალავნით. იპოვნეთ ნაკვეთის სიგრძე და სიგანე. სინამდვილეში, ამ პრობლემის „ალგებრული მოდელი“ არის ორი განტოლებისა და ერთი უტოლობის სისტემა.
შესაძლო უთანასწორობა ყოველთვის უნდა იყოს მხედველობაში. როცა ამოხსნით განტოლებათა სისტემების შედგენის ამოცანებს. მაგრამ მთავარია განტოლებების თავად ამოხსნა. მე გეტყვით გამოყენებული მეთოდების შესახებ.
დავიწყოთ განმარტებებით.
განტოლებათა სისტემა არის რამდენიმე (ერთზე მეტი) განტოლების ერთობლიობა, რომლებიც დაკავშირებულია ხვეული სამაგრით.
ხვეული ფრჩხილი ნიშნავს, რომ სისტემის ყველა განტოლება უნდა შესრულდეს ერთდროულად და აჩვენებს, რომ თქვენ უნდა იპოვოთ რიცხვების წყვილი (x; y), რომელიც აქცევს თითოეულ განტოლებას ნამდვილ ტოლობაში.
სისტემის ამონახსნი არის x და y რიცხვების წყვილი, რომლებიც ამ სისტემაში ჩანაცვლებისას მისი ყოველი განტოლება გარდაიქმნება სწორ რიცხვობრივ ტოლობაში.
განტოლებათა სისტემის ამოხსნა ნიშნავს მისი ყველა ამონახსნის პოვნას ან იმის დადგენას, რომ არ არსებობს.
ჩანაცვლების მეთოდი.
ჩანაცვლების მეთოდი არის ის, რომ ერთ-ერთ განტოლებაში ერთი ცვლადი გამოხატულია მეორის მიხედვით. მიღებული გამოხატულება ჩანაცვლებულია სხვა განტოლებით, რომელიც შემდეგ გადაიქცევა განტოლებად ერთი ცვლადით და შემდეგ იხსნება. ამ ცვლადის შედეგად მიღებული მნიშვნელობები ჩანაცვლებულია ორიგინალური სისტემის ნებისმიერ განტოლებაში და ნაპოვნია მეორე ცვლადი.
ალგორითმი.
1. სისტემის ერთი განტოლებიდან y გამოხატეთ x-ის მიხედვით.
2. შეცვალეთ მიღებული გამოხატულება y-ის ნაცვლად სისტემის სხვა განტოლებით.
3. ამოხსენით მიღებული განტოლება x-ისთვის.
4. რიგრიგობით ჩაანაცვლეთ მესამე საფეხურზე ნაპოვნი განტოლების თითოეული ფესვი x-ის ნაცვლად პირველ საფეხურზე მიღებულ y-დან x-მდე გამოსახულებით.
5) დაწერეთ პასუხი მნიშვნელობების წყვილის სახით (x; y).
მაგალითი No. 1 y = x – 1,
ჩავანაცვლოთ y = x – 1 მეორე განტოლებაში, მივიღებთ 5x + 2 (x – 1) = 16, საიდანაც x = 2. მიღებული გამოთქმა ჩაანაცვლეთ პირველ განტოლებაში: y = 2 – 1 = 1.
პასუხი: (2; 1).
მაგალითი #2:
8y – x = 4, 1) 2 (8y – 4) – 21y = 2
2х – 21у = 2 16у – 8 – 21у = 2
5y = 10 x = 8y – 4, y = -2
2х – 21у = 2
2) x = 8 * (-2) – 4 x = 8y – 4, x = -20
2 (8y – 4) – 21y = 2 x = 8y – 4, y = -2 x = -20, y = -2
პასუხი: (-20; -2).
მაგალითი No3: x2 + y +8 = xy, 1) x2 + 2x + 8 = x * 2x y – 2x = 0 x2 + 2x + 8 = 2x2
X2 + 2x + 8 = 0 x2 + y + 8 = xy, x2 – 2x – 8 = 0 – კვადრატული განტოლება y = 2x x1 = -2 x2 = 4 x2 + 2x + 8 = x * 2x 2) y1 = 2 * (-2) y = 2x y1 = -4 y2 = 2 * 4 x1= -2 y2 = 8 x2 = 4 y = 2x x1 = -2, x2 = 4 y1= -4, y2 = 8
ამიტომ (-2; -4); (4; 8) – ამ სისტემის გადაწყვეტილებები.
დამატების მეთოდი.
დამატების მეთოდი არის ის, რომ თუ მოცემული სისტემა შედგება განტოლებისგან, რომლებიც ერთად შეკრებისას ქმნიან განტოლებას ერთ ცვლადთან, მაშინ ამ განტოლების ამოხსნით მივიღებთ ერთ-ერთი ცვლადის მნიშვნელობებს. ნაპოვნია მეორე ცვლადის მნიშვნელობა, როგორც ჩანაცვლების მეთოდით.
სისტემის ამოხსნის ალგორითმი დამატების მეთოდის გამოყენებით.
1. კოეფიციენტების მოდულების გათანაბრება ერთ-ერთი უცნობისთვის.
2. მიღებული განტოლებების მიმატებით ან გამოკლებით იპოვეთ ერთი უცნობი.
3. აღმოჩენილი მნიშვნელობის ჩანაცვლება საწყისი სისტემის ერთ-ერთ განტოლებაში, იპოვეთ მეორე უცნობი.
მაგალითი No1. ამოხსენით განტოლებათა სისტემა შეკრების მეთოდით: x + y = 20, x – y = 10
მეორეს გამოვაკლებთ პირველ განტოლებას, მივიღებთ
გამოვხატოთ მეორე გამონათქვამიდან x = 20 - y
ჩაანაცვლეთ y = 5 ამ გამოსახულებაში: x = 20 – 5 x = 15.
პასუხი: (15; 5).
მაგალითი #2:
მოდით წარმოვადგინოთ შემოთავაზებული სისტემის განტოლებები განსხვავების სახით, მივიღებთ
7y = 21, საიდანაც y = 3
მოდით ჩავანაცვლოთ ეს მნიშვნელობა x = გამოსახული სისტემის მეორე განტოლებიდან, მივიღებთ x = 4.
პასუხი: (4; 3).
მაგალითი #3:
2x + 11y = 15,
10x – 11y = 9
ამ განტოლებების მიმატებით მივიღებთ:
2x + 10x = 15 + 9
12x = 24 x = 2, ამ მნიშვნელობის მეორე განტოლებაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ:
10 * 2 – 11y = 9, საიდანაც y = 1.
ამ სისტემის გამოსავალი არის წყვილი: (2; 1).
განტოლებათა სისტემების ამოხსნის გრაფიკული მეთოდი.
ალგორითმი.
1. ააგეთ თითოეული სისტემის განტოლების გრაფიკები.
2. იპოვეთ აგებული ხაზების გადაკვეთის წერტილის კოორდინატები.
ხდება შედარებითი პოზიციასწორი ხაზები თვითმფრინავზე.
1. თუ წრფეები იკვეთება, ანუ აქვთ ერთი საერთო წერტილი, მაშინ განტოლებათა სისტემას აქვს ერთი ამონახსნი.
2. თუ წრფეები პარალელურია, ანუ საერთო წერტილები არ აქვთ, მაშინ განტოლებათა სისტემას ამონახსნები არ აქვს.
3. თუ წრფეები ერთმანეთს ემთხვევა, ანუ მათ აქვთ მრავალი წერტილი, მაშინ განტოლებათა სისტემას ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა აქვს.
მაგალითი #1:
გრაფიკულად ამოხსენით განტოლებათა სისტემა x – y = -1,
გამოვსახოთ y პირველი და მეორე განტოლებიდან: y = 1 + x, y = 4 – 2x x
მოდით ავაშენოთ თითოეული სისტემის განტოლების გრაფიკები:
1) y = 1 + x – ფუნქციის გრაფიკი არის სწორი ხაზი x 0 1 (1; 2) y 1 2
2) y = 4 – 2x – ფუნქციის გრაფიკი არის სწორი ხაზი x 0 1 y 4 2
პასუხი: (1; 2).
მაგალითი No2: y x + 2y = 6,
4y = 8 – 2x x y = , y = y = - ფუნქციის გრაფიკი არის სწორი ხაზი x 0 2 y 3 2 y = - ფუნქციის გრაფიკი არის სწორი ხაზი x 0 2 y 2 1
პასუხი: არ არსებობს გამოსავალი.
მაგალითი No3: y x – 2y = 2,
3x – 6y = 6 x – 2y = 2, x – 2y = 2 x y = - ფუნქციის გრაფიკი არის სწორი ხაზი x 0 2 y -1 0
პასუხი: სისტემას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.
ახალი ცვლადების დანერგვის მეთოდი.
ახალი ცვლადების შემოღების მეთოდი არის ის, რომ ახალი ცვლადი შემოდის მხოლოდ ერთ განტოლებაში ან ორ ახალ ცვლადში ორივე განტოლებისთვის ერთდროულად, შემდეგ განტოლება ან განტოლებები წყდება ახალ ცვლადებთან მიმართებაში, რის შემდეგაც რჩება უფრო მარტივი სისტემის ამოხსნა. განტოლებათა, საიდანაც ვპოულობთ სასურველ ამონახსნებს.
მაგალითი #1:
X + y = 5
ავღნიშნოთ = z, შემდეგ =.
პირველი განტოლება მიიღებს z + = ფორმას, ის უდრის 6z – 13 + 6 = 0. მიღებული განტოლების ამოხსნის შემდეგ გვაქვს z = ; z =. შემდეგ = ან =, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პირველი განტოლება იყოფა ორ განტოლებად, შესაბამისად, გვაქვს ორი სისტემა:
X + y = 5 x + y = 5
ამ სისტემების გადაწყვეტილებები არის მოცემული სისტემის გადაწყვეტილებები.
პირველი სისტემის გამოსავალი არის წყვილი: (2; 3), ხოლო მეორე არის წყვილი (3; 2).
მაშასადამე, სისტემის ამონახსნები + = , x + y = 5
წყვილები არიან (2; 3); (3; 2)
მაგალითი #2:
მოდით = X, a = Y.
X =, 5 * - 2U = 1
5Х – 2У = 1 2.5 (8 – 3У) – 2У = 1
20 – 7.5U – 2U = 1
X =, -9.5U = -19
5 * - 2U = 1 U = 2
ჩვენ გავაკეთებთ საპირისპირო ჩანაცვლებას.
2 x = 1, y = 0.5
პასუხი: (1; 0.5).
განტოლებათა სიმეტრიული სისტემები.
სისტემას, რომელსაც აქვს n უცნობი, ეწოდება სიმეტრიული, თუ ის არ იცვლება უცნობის გადალაგებისას.
ორი განტოლების სიმეტრიული სისტემა ორი უცნობით x და y ამოხსნილია u = x + y, v = xy ჩანაცვლებით. გაითვალისწინეთ, რომ სიმეტრიულ სისტემებში შეხვედრილი გამონათქვამები გამოხატულია u და v-ით. მოდით მოვიყვანოთ რამდენიმე ასეთი მაგალითი, რომლებიც უდავო ინტერესს იწვევს მრავალი სიმეტრიული სისტემის ამოხსნისთვის: x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = u2 - 2v, x3 + y3 = (x + y) (x2 - xy + y2) = u ( u2 - 2v – v) = u3 - 3uv, x4 + y4 = (x2 + y2)2 - 2x2y2 = (u2 - 2v)2 - 2v2 = u4 - 4u2v + 2v2, x2 + xy + y2 = u2 - 2v + v = u2 - v და ა.შ.
სამი განტოლების სიმეტრიული სისტემა უცნობი x y, z ამოხსნილია x + y + z = u, xy + yz + xz = w ჩანაცვლებით. თუ მოიძებნება u, v, w, მაშინ შედგენილია კუბური განტოლება t2 – ut2 + vt – w = 0, რომლის ფესვები t1, t2, t3 სხვადასხვა პერმუტაციებში არის საწყისი სისტემის ამონახსნები. ასეთ სისტემებში ყველაზე გავრცელებული გამონათქვამები გამოიხატება u, v, w შემდეგნაირად: x2 + y2 + z2 = u2 - 2v x3 + y3 + z3 = u3 - 3uv + 3w
მაგალითი No1: x2 + xy + y2 = 13, x + y = 4
მოდით x + y = u, xy = v.
u2 – v = 13, u = 4
16 – v = 13, u = 4 v = 3, u = 4
ჩვენ გავაკეთებთ საპირისპირო ჩანაცვლებას.
პასუხი: (1; 3); (3; 1).
მაგალითი No2: x3 + y3 = 28, x + y = 4
მოდით x + y = u, xy = v.
u3 – 3uv = 28, u = 4
64 – 12 v = 28, u = 4
12v = -36 u = 4 v = 3, u = 4
ჩვენ გავაკეთებთ საპირისპირო ჩანაცვლებას.
x + y = 4, xy = 3 x = 4 – y xy = 3 x = 4 – y,
(4 – y) y = 3 x = 4 – y, y1 = 3; y2 = 1 x1 = 1, x2 = 3, y1 = 3, y2 = 1
პასუხი: (1; 3); (3; 1).
მაგალითი No3: x + y + xy = 7, x2 + y2 + xy = 13
მოდით x =y = u, xy =v.
u + v = 7, u2 – v = 13 u2 – v = 13 u2 – 7 + u =13 u2 + u = 20 v = 7 – u, u (u + 1) =20 u2 – v =13 u = 4 v = 7 – u, u = 4 v = 3, u = 4
ჩვენ გავაკეთებთ საპირისპირო ჩანაცვლებას.
x + y = 4, xy = 3 x = 4 – y xy = 3 x = 4 – y,
(4 – y) y = 3 x = 4 – y, y1 = 3; y2 = 1 x1 = 1, x2 = 3, y1 = 3, y2 = 1
პასუხი: (1; 3); (3; 1).
მაგალითი No4: x + y = 5, x3 + y3 = 65
მოდით x + y = u, xy = v.
u = 5, u3 – 3uv = 65 u3 – 3uv = 65 125 – 15v = 65
15v = -60 u = 5, v = 4 v = 4
ჩვენ გავაკეთებთ საპირისპირო ჩანაცვლებას.
x + y = 5, xy = 4 x = 5 – y, xy = 4 x = 5 – y, y (5 – y) = 4 x = 5 – y y1 = 1, y2 = 4 x1 = 4, x2 = 1, y1 = 1, y2 = 4
პასუხი: (4; 1); (1; 4).
მაგალითი No5: x2 + xy + y2 = 49, x + y + xy = 23
მოდით შევცვალოთ უცნობები, სისტემა მიიღებს ფორმას u2 + v = 49, u + v = 23
ამ განტოლებების მიმატებით მივიღებთ u2 + u – 72 = 0 ფესვებით u1 = 8, u2 = -9. შესაბამისად, v1 = 15, v2 = 32. რჩება სისტემების სიმრავლის ამოხსნა x + y = 8, x + y = -9, xy = 15 xy = 32
სისტემა x + y = 8, აქვს ამონახსნები x1 = 3, y1 = 5; x2=5, y2=3.
სისტემა x + y = -9 არ აქვს რეალური ამონახსნები.
პასუხი: (3; 5), (5; 3).
მაგალითი No6. ამოხსენით განტოლებათა სისტემა.
2x2 – 3xy + 2y2 = 16, x + xy + y + 3 = 0
ძირითადი სიმეტრიული მრავალწევრების გამოყენებით u = y + x და v = xy ვიღებთ განტოლებათა შემდეგ სისტემას
2u2 – 7v = 16, u + v = -3
სისტემის მეორე განტოლებიდან v = -3 – u გამოთქმის პირველ განტოლებაში ჩანაცვლებით მივიღებთ შემდეგ განტოლებას 2u2 + 7u + 5 = 0, რომლის ფესვებია u1 = -1 და u2 = -2,5; და შესაბამისად, v1 = -2 და v2 = -0.5 მნიშვნელობები მიიღება v = -3 – u-დან.
ახლა რჩება სისტემის შემდეგი სიმრავლის ამოხსნა x + y = -1, და x + y = -2.5, xy = -2 xy = -0.5
სისტემების ამ ნაკრების და, შესაბამისად, თავდაპირველი სისტემის ამონახსნები (მათი ეკვივალენტობის გამო) შემდეგია: (1; -2), (-2; 1), (;).
მაგალითი #7:
3x2y – 2xy + 3xy2 = 78,
2x – 3xy + 2y + 8 = 0
ძირითადი სიმეტრიული მრავალწევრების გამოყენებით, სისტემა შეიძლება დაიწეროს შემდეგი ფორმით
3uv – 2v = 78,
გამოვხატავთ u = მეორე განტოლებიდან და შევცვლით მას პირველ განტოლებაში, ვიღებთ 9v2 – 28v – 156 = 0. ამ განტოლების ფესვები v1 = 6 და v2 = - საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ შესაბამისი მნიშვნელობები U1 = 5, u2 = - გამოთქმიდან u =.
ახლა გადავწყვიტოთ სისტემების შემდეგი სიმრავლე x + y = 5, და x + y = -, xy = 6 xy = -.
x = 5 – y, და y = -x -, xy = 6 xy = -.
x = 5 – y, და y = -x -, y (5 – y) = 6 x (-x -) = -.
x = 5 – y, და y = -x -, y1= 3, y2 =2 x1 = , x2 = - x1 = 2, x2 = 3 და x1 = , x2 = - y1= 3, y2 =2 y1 = -, y2 =
პასუხი: (2; 3), (3; 2), (; -), (-;).
დასკვნა.
ამ სტატიის წერის პროცესში შევხვდი სხვადასხვა სახისალგებრული განტოლებების სისტემები. შეჯამებული სამეცნიერო ინფორმაცია თემაზე „განტოლებათა სისტემები“.
გავარკვიე და ვისწავლე ამოხსნა ახალი ცვლადების შემოტანით;
განვიხილეთ განტოლებათა სიმეტრიულ სისტემებთან დაკავშირებული ძირითადი თეორიები
ისწავლა განტოლებათა სიმეტრიული სისტემების ამოხსნა.
შესავალი
სიმეტრია... არის იდეა, რომლის მეშვეობითაც ადამიანი საუკუნეების მანძილზე ცდილობდა გაეგო და შეექმნა წესრიგი, სილამაზე და სრულყოფილება.
სიმეტრიის კონცეფცია ვრცელდება კაცობრიობის ისტორიაში. ის უკვე გვხვდება ადამიანის ცოდნის საწყისებში. იგი წარმოიშვა ცოცხალი ორგანიზმის, კერძოდ, ადამიანის შესწავლასთან დაკავშირებით და გამოიყენებოდა მოქანდაკეების მიერ ჯერ კიდევ ჩვენს წელთაღრიცხვამდე V საუკუნეში. ე.
სიტყვა "სიმეტრია" ბერძნულია. ეს ნიშნავს "პროპორციულობას", "პროპორციულობას", ნაწილების განლაგების ერთგვაროვნებას. იგი ფართოდ გამოიყენება ყველა მიმართულებით გამონაკლისის გარეშე. თანამედროვე მეცნიერება.
ბევრი დიდი ადამიანი ფიქრობდა ამ ნიმუშზე. მაგალითად, ლ. რა არის სიმეტრია? თანდაყოლილი გრძნობაა. რას ეფუძნება იგი? ”
მართლაც, სიმეტრია სასიამოვნოა თვალისთვის. ვინ არ აღფრთოვანებულა ბუნების შემოქმედების სიმეტრიით: ფოთლები, ყვავილები, ფრინველები, ცხოველები; ანუ ადამიანის შემოქმედება: შენობები, ტექნოლოგია, - ყველაფერი, რაც ბავშვობიდან გვახვევია, ყველაფერი, რაც სილამაზისა და ჰარმონიისკენ ისწრაფვის.
სიმეტრია (ძველი ბერძნული συμμετρία - "პროპორციულობა"), ფართო გაგებით - უცვლელობა ნებისმიერი ტრანსფორმაციის დროს. ასე, მაგალითად, სხეულის სფერული სიმეტრია ნიშნავს, რომ სხეულის გარეგნობა არ შეიცვლება, თუ იგი სივრცეში ბრუნავს თვითნებური კუთხით (ერთი წერტილის შენარჩუნებით). ორმხრივი სიმეტრია ნიშნავს, რომ სიბრტყის მარჯვენა და მარცხენა მხარეები ერთნაირად გამოიყურება.
სიმეტრიას ყველგან ვხვდებით - ბუნებაში, ტექნოლოგიაში, ხელოვნებაში, მეცნიერებაში. შევნიშნოთ, მაგალითად, პეპლისა და ნეკერჩხლის ფოთლისთვის დამახასიათებელი სიმეტრია, მანქანისა და თვითმფრინავის სიმეტრია, სიმეტრია ლექსისა და მუსიკალური ფრაზის რიტმულ სტრუქტურაში, ორნამენტებისა და საზღვრების სიმეტრია, სიმეტრია. მოლეკულების და კრისტალების ატომური სტრუქტურის შესახებ. სიმეტრიის ცნება გადის ადამიანის შემოქმედების მთელ მრავალსაუკუნოვან ისტორიაში. ის უკვე გვხვდება ადამიანის ცოდნის საწყისებში; მას ფართოდ იყენებენ თანამედროვე მეცნიერების ყველა სფერო გამონაკლისის გარეშე. სიმეტრიის პრინციპები მნიშვნელოვან როლს ასრულებს ფიზიკასა და მათემატიკაში, ქიმიასა და ბიოლოგიაში, ტექნოლოგიასა და არქიტექტურაში, ფერწერასა და ქანდაკებაში, პოეზიასა და მუსიკაში. ბუნების კანონები, რომლებიც მართავენ ფენომენების ამოუწურავ სურათს მათი მრავალფეროვნებით, თავის მხრივ, ექვემდებარება სიმეტრიის პრინციპებს.
მიზნები:
განვიხილოთ სიმეტრიის სახეები და ტიპები;
გააანალიზეთ როგორ და სად გამოიყენება სიმეტრია;
განვიხილოთ, თუ როგორ გამოიყენება სიმეტრია სკოლის კურსიალგებრა
სიმეტრია.
სიტყვა "სიმეტრიას" აქვს ორმაგი ინტერპრეტაცია. ერთი გაგებით, სიმეტრიული ნიშნავს რაღაც ძალიან პროპორციულს, დაბალანსებულს; სიმეტრია გვიჩვენებს მრავალი ნაწილის კოორდინაციას, რომლის დახმარებით ისინი გაერთიანებულია მთლიანობაში. ამ სიტყვის მეორე მნიშვნელობა არის ბალანსი. არისტოტელემ ასევე ისაუბრა სიმეტრიაზე, როგორც მდგომარეობაზე, რომელიც ხასიათდება უკიდურესობათა ურთიერთობით. ამ განცხადებადან გამომდინარეობს, რომ არისტოტელე, ალბათ, ყველაზე ახლოს იყო ბუნების ერთ-ერთი ფუნდამენტური კანონის - მისი ორმაგობის კანონის აღმოჩენასთან.
აუცილებელია ხაზი გავუსვა ასპექტებს, რომელთა გარეშე სიმეტრია შეუძლებელია:
1) ობიექტი არის სიმეტრიის მატარებელი; ნივთები, პროცესები, გეომეტრიული ფორმები, მათემატიკური გამონათქვამები, ცოცხალი ორგანიზმები და ა.შ.
2) საგნის ზოგიერთი მახასიათებელი - რაოდენობები, თვისებები, მიმართებები, პროცესები, ფენომენები, რომლებიც უცვლელი რჩება სიმეტრიის გარდაქმნების დროს; მათ უწოდებენ ინვარიანტებს ან უცვლელებს.
3) ცვლილებები (ობიექტის), რომელიც ტოვებს ობიექტს თავის იდენტურს უცვლელი მახასიათებლების მიხედვით; ასეთ ცვლილებებს სიმეტრიის გარდაქმნები ეწოდება;
4) ობიექტის თვისება, რომ შერჩეული მახასიათებლების მიხედვით გარდაიქმნას საკუთარ თავში შესაბამისი ცვლილებების შემდეგ.
ამრიგად, სიმეტრია გამოხატავს რაღაცის შენარჩუნებას გარკვეული ცვლილებების მიუხედავად ან რაღაცის შენარჩუნებას ცვლილების მიუხედავად. სიმეტრია გულისხმობს არა მხოლოდ თავად ობიექტის, არამედ მისი ნებისმიერი თვისების უცვლელობას ობიექტზე შესრულებულ გარდაქმნებთან მიმართებაში. გარკვეული ობიექტების უცვლელობა შეიძლება შეინიშნოს სხვადასხვა ოპერაციებთან მიმართებაში - ბრუნვა, თარგმნა, ნაწილების ურთიერთგამოცვლა, ანარეკლები და ა.შ. ამასთან დაკავშირებით ისინი ხაზს უსვამენ სხვადასხვა სახისსიმეტრია.
ასიმეტრია
ასიმეტრია არის სიმეტრიის არარსებობა ან დარღვევა.
არქიტექტურაში სიმეტრია და ასიმეტრია სივრცითი ფორმის ლოგიკური ორგანიზების ორი საპირისპირო მეთოდია. არქიტექტურული განვითარების პროცესში ასიმეტრიული კომპოზიციები წარმოიშვა, როგორც ცხოვრების პროცესებისა და გარემო პირობების რთული კომბინაციების განსახიერება.
დისიმეტრია
ჩვენ მოვუწოდებთ გატეხილი, ნაწილობრივ დარღვევის სიმეტრიას დისიმეტრია
.
დისიმეტრია ცოცხალ ბუნებაში გავრცელებული ფენომენია. ასევე დამახასიათებელია ადამიანისთვის. ადამიანი დისიმეტრიულია, მიუხედავად იმისა, რომ მისი სხეულის კონტურებს აქვს სიმეტრიის სიბრტყე. დისიმეტრია მოქმედებს
ერთ-ერთი ხელის უკეთესი კონტროლი, გულის და მრავალი სხვა ორგანოს ასიმეტრიული განლაგება, ამ ორგანოების სტრუქტურაში.
ადამიანის სხეულის დისიმეტრია არქიტექტურაში ზუსტი სიმეტრიიდან გადახრების მსგავსია. ისინი, როგორც წესი, გამოწვეულია პრაქტიკული აუცილებლობით, იმით, რომ ფუნქციების მრავალფეროვნება არ ჯდება მკაცრი სიმეტრიის კანონების საზღვრებში. ზოგჯერ ასეთი გადახრები იძლევა მწვავე ემოციური ეფექტის საფუძველს.
^ მათემატიკასა და მეცნიერებაში ნაპოვნი სიმეტრიის ტიპები:
ორმხრივი სიმეტრია- სარკის ასახვის სიმეტრია, რომელშიც ობიექტს აქვს სიმეტრიის ერთი სიბრტყე, რომლის მიმართაც მისი ორი ნახევარი სარკე სიმეტრიულია. ცხოველებში ორმხრივი სიმეტრია ვლინდება სხეულის მარცხენა და მარჯვენა ნახევრის მსგავსებაში ან თითქმის სრულ იდენტურობაში. ამ შემთხვევაში ყოველთვის არის შემთხვევითი გადახრები სიმეტრიიდან (მაგალითად, პაპილარული ხაზების განსხვავება, სისხლძარღვების განშტოება. ხშირად არის მცირე, მაგრამ ბუნებრივი განსხვავებები გარე სტრუქტურაში და უფრო მნიშვნელოვანი განსხვავებები სხეულის მარჯვენა და მარცხენა ნახევრებს შორის. მდებარეობა შინაგანი ორგანოები. მაგალითად, ძუძუმწოვრებში გული ჩვეულებრივ მოთავსებულია ასიმეტრიულად, მარცხნივ გადაადგილებით.
ცხოველებში, ევოლუციაში ორმხრივი სიმეტრიის გამოჩენა ასოცირდება სუბსტრატის გასწვრივ (რეზერვუარის ფსკერზე) სეირნობასთან, რის გამოც ჩნდება სხეულის დორსალური და ვენტრალური, ასევე მარჯვენა და მარცხენა ნახევარი. ზოგადად, ცხოველებს შორის ორმხრივი სიმეტრია უფრო გამოხატულია აქტიურად მოძრავ ფორმებში, ვიდრე მჯდომარეებში, როგორც წესი, ორმხრივი სიმეტრია აქვს არა მთელ ორგანიზმს, არამედ მის ცალკეულ ნაწილებს - ფოთლებს ან ყვავილებს. ბოტანიკოსები ორმხრივ სიმეტრიულ ყვავილებს ზიგომორფებს უწოდებენ.
^ N-ე რიგის სიმეტრია- სიმეტრია ნებისმიერი ღერძის გარშემო 360°/ნ კუთხით ბრუნვის მიმართ. აღწერილია Zn ჯგუფის მიერ.
ღერძული სიმეტრია(რადიალური სიმეტრია, სხივის სიმეტრია) - სიმეტრიის ფორმა, რომელშიც სხეული (ან ფიგურა) ემთხვევა თავის თავს, როდესაც ობიექტი ბრუნავს გარკვეული წერტილის ან ხაზის გარშემო. ხშირად ეს წერტილი ემთხვევა ობიექტის სიმეტრიის ცენტრს, ანუ იმ წერტილს, სადაც
ორმხრივი სიმეტრიის ღერძების უსასრულო რაოდენობა იკვეთება. გეომეტრიულ ობიექტებს, როგორიცაა წრე, ბურთი, ცილინდრი ან კონუსი, აქვთ რადიალური სიმეტრია. აღწერილია SO(2) ჯგუფის მიერ.
↑ სფერული სიმეტრია- სიმეტრია შემობრუნებებთან მიმართებაში სამგანზომილებიანი სივრცეთვითნებური კუთხით. აღწერილია SO(3) ჯგუფის მიერ. სივრცის ან საშუალო ლოკალურ სფერულ სიმეტრიას ასევე უწოდებენ იზოტროპიას.
^ ბრუნვის სიმეტრია- ტერმინი, რომელიც ნიშნავს ობიექტის სიმეტრიას m-განზომილებიანი ევკლიდური სივრცის ყველა ან ზოგიერთი სწორი ბრუნვის მიმართ.
^ სიმეტრია ცხოველებსა და ადამიანებში.
სიმეტრია სასიცოცხლო მახასიათებელია, რომელიც ასახავს ცხოველის სტრუქტურის, ცხოვრების სტილისა და ქცევის მახასიათებლებს. თევზის ცურვისთვის აუცილებელია სიმეტრიული ფორმა; ჩიტი საფრენად. ასე რომ, სიმეტრია ბუნებაში არსებობს მიზეზის გამო: ის ასევე სასარგებლოა, ან სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მიზანშეწონილი. ბიოლოგიაში სიმეტრიის ცენტრს აქვს: ყვავილები, მედუზები, ვარსკვლავური თევზები და ა.შ. სიმეტრიის ფორმების არსებობა უკვე შეინიშნება უმარტივესში - ერთუჯრედიანში (ცილიატები, ამებაები). სიმეტრია. ტვინი ორ ნაწილად იყოფა. ადამიანის სხეულის ზოგადი სიმეტრიის სრული დაცვით, თითოეული ნახევარსფერო მეორის თითქმის ზუსტი სარკისებური გამოსახულებაა. ადამიანის სხეულის ძირითადი მოძრაობებისა და მისი სენსორული ფუნქციების კონტროლი თანაბრად ნაწილდება ტვინის ორ ნახევარსფეროს შორის. მარცხენა ნახევარსფერო აკონტროლებს მარჯვენა მხარეტვინი, ხოლო მარჯვენა - მარცხენა მხარე. კვლევებმა აჩვენა, რომ სიმეტრიული სახე უფრო მიმზიდველია. მკვლევარები ასევე ამტკიცებენ, რომ იდეალური პროპორციების მქონე სახე იმის ნიშანია, რომ მისი მფლობელის სხეული კარგად არის მომზადებული ინფექციებთან საბრძოლველად. ჩვეულებრივი გაციება, ასთმა და გრიპი უფრო მეტად გაუმჯობესდება იმ ადამიანებში, რომელთა მარცხენა მხარე ზუსტად მათ მარჯვენას ჰგავს. ტანსაცმელში კი ადამიანი, როგორც წესი, ასევე ცდილობს შეინარჩუნოს სიმეტრიის შთაბეჭდილება: მარჯვენა ყდის შეესაბამება მარცხენას, მარჯვენა შარვლის ფეხი - მარცხენას. პიჯაკისა და პერანგზე ღილები ზუსტად შუაზე ზის და თუ მისგან მოშორდება, მაშინ სიმეტრიულ დისტანციებზე. და ამავე დროს, ზოგჯერ ადამიანი ცდილობს ხაზი გაუსვას და გააძლიეროს განსხვავება მარცხენასა და მარჯვენას შორის. შუა საუკუნეებში მამაკაცები ერთ დროს ატარებდნენ სხვადასხვა ფერის შარვალს (მაგალითად, ერთი წითელი და მეორე შავი ან თეთრი). მაგრამ
ასეთი მოდა ყოველთვის ხანმოკლეა. მხოლოდ ტაქტიანი, მოკრძალებული გადახრები სიმეტრიისგან რჩება დიდი ხნის განმავლობაში.
სიმეტრია ხელოვნებაში
სიმეტრია ზოგადად ხელოვნებაში და კონკრეტულად სახვით ხელოვნებაში სათავეს იღებს რეალობა, სავსეა სიმეტრიულად განლაგებული ფორმებით.
კომპოზიციის სიმეტრიული ორგანიზაცია ხასიათდება მისი ნაწილების წონასწორობით მასაში, ტონში, ფერში და თანაბარ ფორმაში. ასეთ შემთხვევებში ერთი ნაწილი მეორის თითქმის სარკისებური გამოსახულებაა. სიმეტრიულ კომპოზიციებს ყველაზე ხშირად აქვთ გამოხატული ცენტრი. როგორც წესი, ემთხვევა გეომეტრიული ცენტრისურათის თვითმფრინავი. თუ გაქრობის წერტილი ცენტრიდან არის გადატანილი, ერთ-ერთი ნაწილი უფრო დატვირთულია მასებით, ან გამოსახულება დიაგონალზეა აგებული, ეს ყველაფერი კომპოზიციას დინამიზმს ანიჭებს და გარკვეულწილად არღვევს იდეალურ წონასწორობას.
სიმეტრიის წესს იყენებდნენ მოქანდაკეებიც ძველი საბერძნეთი. მაგალითია ზევსისა და ოლიმპიას ტაძრის დასავლეთ ფრონტონის კომპოზიცია. მას საფუძვლად უდევს ლაპიტების (ბერძნების) ბრძოლა კენტავრებთან ღმერთის აპოლონის თანდასწრებით. მოძრაობა კიდეებიდან ცენტრისკენ თანდათან ძლიერდება. ის მაქსიმალურ ექსპრესიულობას აღწევს ორი ახალგაზრდა მამაკაცის გამოსახულებაში, რომლებიც კენტავრებს ატრიალებდნენ. მზარდი მოძრაობა, როგორც ჩანს, მაშინვე ჩერდება აპოლონის ფიგურის მიდგომებთან, რომელიც მშვიდად და დიდებულად დგას ფრონტონის ცენტრში.
ძველი წელთაღრიცხვით მე-5 საუკუნის ცნობილი მხატვრების დაკარგული ნამუშევრების იდეა. ე. შეიძლება შედგენილი იყოს უძველესი ვაზის ნახატებიდან და პომპეის ფრესკებიდან, შთაგონებული, როგორც მკვლევარები მიიჩნევენ, კლასიკური ეპოქის ბერძენი ოსტატების ნამუშევრებით...
სიმეტრიული კომპოზიციები შეიმჩნეოდა აგრეთვე ჩვენს წელთაღრიცხვამდე IV-III საუკუნეების ბერძენ ოსტატებს შორის. ე. ეს შეიძლება ვიმსჯელოთ ფრესკების ასლებიდან. პომპეის ფრესკებში მთავარი ფიგურები პირამიდული კომპოზიციის ცენტრშია, რომელიც ხასიათდება სიმეტრიით.
მხატვრები ხშირად მიმართავდნენ სიმეტრიის წესებს, როდესაც ასახავდნენ საზეიმო ხალხმრავალ შეხვედრებს, აღლუმებს, შეხვედრებს დიდ დარბაზებში და ა.შ.
ადრეული რენესანსის მხატვრები დიდ ყურადღებას აქცევდნენ სიმეტრიის წესს, რასაც მონუმენტური მხატვრობა მოწმობს (მაგალითად, ჯოტოს ფრესკები). მაღალი რენესანსის დროს იტალიურმა კომპოზიციამ სიმწიფეს მიაღწია. მაგალითად, ნახატში „წმინდა ანა მარიამთან და ყრმა ქრისტესთან“ ლეონარდო და ვინჩი აწყობს სამ ფიგურას ზემოთ მიმართულ სამკუთხედად. ქვედა მარჯვენა კუთხეში ის გვაძლევს კრავის ფიგურას, რომელსაც პატარა ქრისტე უჭირავს. ყველაფერი ისეა მოწყობილი, რომ ამ სამკუთხედის გამოცნობა მხოლოდ ფიგურათა მოცულობით-სივრცითი ჯგუფის ქვეშაა შესაძლებელი.
ლეონარდო და ვინჩის ბოლო ვახშამი ასევე შეიძლება ეწოდოს სიმეტრიულ კომპოზიციას. ეს ფრესკა გვიჩვენებს დრამატულ მომენტს, როდესაც
ქრისტემ თავის მოწაფეებს უთხრა: „ერთი თქვენგანი გამცემს მე“. მოციქულთა ფსიქოლოგიური რეაქცია ამ წინასწარმეტყველურ სიტყვებზე პერსონაჟებს აკავშირებს კომპოზიციურ ცენტრთან, რომელშიც ქრისტეს ფიგურა მდებარეობს. ამ ცენტრიდანული კომპოზიციის მთლიანობის შთაბეჭდილებას კიდევ უფრო აძლიერებს ის ფაქტი, რომ მხატვარმა სატრაპეზო პერსპექტიულად აჩვენა სარკმლის შუაში პარალელური ხაზების გაქრობის წერტილით, რომლის წინააღმდეგაც აშკარად არის დახატული ქრისტეს თავი. ამრიგად, მაყურებლის მზერა უნებურად არის მიმართული სურათის ცენტრალურ ფიგურაზე.
სიმეტრიის შესაძლებლობებს წარმოაჩენს ნამუშევრებს შორის, ასევე შეიძლება დავასახელოთ რაფაელის „მარიამის ნიშნობა“, სადაც რენესანსისთვის დამახასიათებელმა კომპოზიციურმა ტექნიკამ ყველაზე სრულყოფილი გამოხატულება ჰპოვა.
ვ.მ. ვასნეცოვის ნახატი "ბოგატირები" ასევე აგებულია სიმეტრიის წესის საფუძველზე. კომპოზიციის ცენტრია ილია მურომეცის ფიგურა. მარცხნივ და მარჯვნივ, თითქოს სარკისებურად გამოსახულია ალიოშა პოპოვიჩი და დობრინია ნიკიტიჩი. ფიგურები განლაგებულია სურათის სიბრტყის გასწვრივ, მშვიდად სხედან ცხენებზე. კომპოზიციის სიმეტრიული კონსტრუქცია შედარებით სიმშვიდის მდგომარეობას გადმოსცემს. მარცხენა და მარჯვენა ფიგურები მასობრივად ერთნაირი არ არის, რაც ავტორის იდეოლოგიურ გეგმას განაპირობებს. მაგრამ ორივე მათგანი ნაკლებად ძლიერია მურომეცის ფიგურასთან შედარებით და, მთლიანობაში, სრულ ბალანსს ანიჭებს კომპოზიციას.
კომპოზიციის სტაბილურობა მაყურებელს აძლევს ნდობის განცდას გმირების, რუსული მიწის დამცველების დაუმარცხებლობის მიმართ. უფრო მეტიც, „ბოგატირსში“ მოქმედებაში გადასვლის ზღვარზე მყოფი დაძაბული სიმშვიდის მდგომარეობაა გადმოცემული. და ეს ნიშნავს, რომ სიმეტრიაც თავის თავში ატარებს ჩანასახს დინამიური მოძრაობადროსა და სივრცეში.
სიმეტრია ალგებრაში.
კვადრატული განტოლების ფესვების უმარტივესი სიმეტრიული გამონათქვამები გვხვდება ვიეტას თეორემაში. ეს საშუალებას აძლევს მათ გამოიყენონ გარკვეული პრობლემების გადაჭრაში კვადრატული განტოლებები. მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს.
მაგალითი 1:
კვადრატული განტოლება 
აქვს ფესვები და. ამ განტოლების ამოხსნის გარეშე, ჩვენ გამოვხატავთ მეშვეობით და ჯამებს, . გამოთქმა სიმეტრიულია და . მოდით გამოვხატოთ ისინი + და ში და შემდეგ გამოვიყენოთ ვიეტას თეორემა.
1.
განტოლებები ე.წ მე-3 ხარისხის სიმეტრიული განტოლებები, თუ ფორმა აქვთ
ცული 3 + bx 2 + bx + a = 0.
ამ ტიპის განტოლებების წარმატებით ამოხსნის მიზნით, სასარგებლოა საპასუხო განტოლებების შემდეგი მარტივი თვისებების ცოდნა და გამოყენება:
ა)კენტი ხარისხის ნებისმიერ საპასუხო განტოლებას ყოველთვის აქვს ფესვი -1-ის ტოლი.
მართლაც, თუ მარცხენა მხარეს ტერმინებს დავაჯგუფებთ შემდეგნაირად: a(x 3 + 1) + bx(x + 1) = 0, მაშინ შესაძლებელია საერთო ფაქტორის ამოღება, ე.ი. (x + 1)(ax 2 + (b – a)x + a) = 0, შესაბამისად,
x + 1 = 0 ან ax 2 + (b – a)x + a = 0, პირველი განტოლება ადასტურებს ჩვენთვის საინტერესო დებულებას.
ბ)საპასუხო განტოლებას არ აქვს ფესვები ნულის ტოლი.
V)უცნაური ხარისხის მრავალწევრის (x + 1-ზე) გაყოფისას, კოეფიციენტი ისევ განმეორებადი მრავალწევრია და ეს მტკიცდება ინდუქციით.
მაგალითი.
x 3 + 2x 2 + 2x + 1 = 0.
გამოსავალი.
თავდაპირველ განტოლებას აუცილებლად აქვს ფესვი x = -1, ამიტომ ჩვენ ვყოფთ x 3 + 2x 2 + 2x + 1-ზე (x + 1) ჰორნერის სქემის მიხედვით:
| . |
1 |
2 |
2 |
1 |
| -1 |
1 |
2 – 1 = 1 | 2 – 1 = 1 | 1 – 1 = 0 |
x 3 + 2x 2 + 2x + 1 = (x + 1) (x 2 + x + 1) = 0.
კვადრატულ განტოლებას x 2 + x + 1 = 0 არ აქვს ფესვები.
პასუხი: -1.
2.
განტოლებები ე.წ მე-4 ხარისხის სიმეტრიული განტოლებები, თუ ფორმა აქვთ
ცული 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0.
ამოხსნის ალგორითმიმსგავსი განტოლებებია:
ა)გაყავით ორიგინალური განტოლების ორივე მხარე x 2-ზე. ეს მოქმედება არ გამოიწვევს ფესვის დაკარგვას, რადგან x = 0 არ არის მოცემული განტოლების ამონახსნი.
ბ)დაჯგუფების გამოყენებით მიიტანეთ განტოლება ფორმაში:
a(x 2 + 1/x 2) + b(x + 1/x) + c = 0.
V)შეიყვანეთ ახალი უცნობი: t = (x + 1/x).
გავაკეთოთ ტრანსფორმაცია: t 2 = x 2 +2 + 1/x 2 . თუ ახლა გამოვხატავთ x 2 + 1/x 2, მაშინ t 2 – 2 = x 2 + 1/x 2.
გ)ამოხსენით მიღებული კვადრატული განტოლება ახალ ცვლადებში:
2 + bt + c – 2a = 0.
დ)გააკეთეთ საპირისპირო ჩანაცვლება.
მაგალითი.
6x 4 – 5x 3 – 38x 2 – 5x + 6 = 0.
გამოსავალი.
6x 2 – 5x – 38 – 5/x + 6/x 2 = 0.
6 (x 2 + 1/x 2) - 5 (x + 1/x) - 38 = 0.
შეიყვანეთ t: ჩანაცვლება (x + 1/x) = t. ჩანაცვლება: (x 2 + 1/x 2) = t 2 – 2, გვაქვს:
6t 2 – 5t – 50 = 0.
t = -5/2 ან t = 10/3.
დავუბრუნდეთ x ცვლადს. საპირისპირო ჩანაცვლების შემდეგ ჩვენ ვხსნით მიღებულ ორ განტოლებას:
1) x + 1/x = -5/2;
x 2 + 5/2 x +1 = 0;
x = -2 ან x = -1/2.
2) x + 1/x = 10/3;
x 2 – 10/3 x + 1 = 0;
x = 3 ან x = 1/3.
პასუხი: -2; -1/2; 1/3; 3.
უფრო მაღალი ხარისხის განტოლებების გარკვეული ტიპის ამოხსნის მეთოდები
1. განტოლებები, რომლებსაც აქვთ ფორმა (x + a) n + (x + ბ) n = c,იხსნება t = x + (a + b)/2 ჩანაცვლებით. ამ მეთოდს ე.წ სიმეტრიიზაციის მეთოდი.
ასეთი განტოლების მაგალითი იქნება (x + a) 4 + (x + b) 4 = c ფორმის განტოლება.
მაგალითი.
(x + 3) 4 + (x + 1) 4 = 272.
გამოსავალი.
ჩვენ ვაკეთებთ ზემოთ ნახსენებ ჩანაცვლებას:
t = x + (3 + 1)/2 = x + 2, გამარტივების შემდეგ: x = t – 2.
(t – 2 + 3) 4 + (t – 2 + 1) 4 = 272.
(t + 1) 4 + (t – 1) 4 = 272.
ფრჩხილების ამოღებით ფორმულების გამოყენებით, მივიღებთ:
t 4 + 4t 3 + 6t 2 + 4t + 1 + t 4 – 4t 3 + 6t 2 – 4t + 1 = 272.
2t 4 + 12t 2 – 270 = 0.
t 4 + 6t 2 – 135 = 0.
t 2 = 9 ან t 2 = -15.
მეორე განტოლება არ იძლევა ფესვებს, მაგრამ პირველიდან გვაქვს t = ±3.
საპირისპირო ჩანაცვლების შემდეგ მივიღებთ, რომ x = -5 ან x = 1.
პასუხი: -5; 1.
ასეთი განტოლებების ამოხსნა ხშირად ეფექტურია განტოლების მარცხენა მხარის ფაქტორინგის მეთოდი.
2. ფორმის განტოლებები (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = A, სადაც a + d = c + b.
ასეთი განტოლებების ამოხსნის ტექნიკა არის ფრჩხილების ნაწილობრივ გახსნა და შემდეგ ახალი ცვლადის შემოღება.
მაგალითი.
(x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) = 24.
გამოსავალი.
ჩვენ ვიანგარიშებთ: 1 + 4 = 2 + 3. დააჯგუფეთ ფრჩხილები წყვილებად:
((x + 1) (x + 4)) ((x + 2) (x + 3)) = 24,
(x 2 + 5x + 4) (x 2 + 5x + 6) = 24.
ჩანაცვლების გაკეთება x 2 + 5x + 4 = t, გვაქვს განტოლება
t(t + 2) = 24, ეს არის კვადრატი:
t 2 + 2t - 24 = 0.
t = -6 ან t = 4.
საპირისპირო ჩანაცვლების შესრულების შემდეგ, ჩვენ ადვილად ვპოულობთ საწყისი განტოლების ფესვებს.
პასუხი: -5; 0.
3. ფორმის განტოლებები (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = Ax 2, სადაც ad = cb.
ამოხსნის მეთოდი არის ფრჩხილების ნაწილობრივ გახსნა, ორივე მხარის გაყოფა x 2-ზე და ამოხსნის კვადრატული განტოლებების სიმრავლეს.
მაგალითი.
(x + 12) (x + 2) (x + 3) (x + 8) = 4x 2.
გამოსავალი.
მარცხენა მხარეს პირველი ორი და ბოლო ორი ფრჩხილის გამრავლებით მივიღებთ:
(x 2 + 14x + 24) (x 2 + 11x + 24) = 4x 2. გავყოთ x 2 ≠ 0-ზე.
(x + 14 + 24/x)(x + 11 + 24/x) = 4. ჩანაცვლებით (x + 24/x) = t მივდივართ კვადრატულ განტოლებამდე:
(t + 14) (t + 11) = 4;
t 2 + 25x + 150 = 0.
t = 10 ან t = 15.
საპირისპირო ჩანაცვლებით x + 24/x = 10 ან x + 24/x = 15, ვიპოვით ფესვებს.
პასუხი: (-15 ± √129)/2; -4; -6.
4.
ამოხსენით განტოლება (3x + 5) 4 + (x + 6) 3 = 4x 2 + 1.
გამოსავალი.
ძნელია ამ განტოლების დაუყოვნებლივ კლასიფიკაცია და ამოხსნის მეთოდის არჩევა. ამიტომ, პირველ რიგში, ჩვენ გარდაქმნით კვადრატებისა და კუბების განსხვავების გამოყენებით:
((3x + 5) 2 – 4x 2) + ((x + 6) 3 – 1) = 0. შემდეგ ზოგადი ფაქტორის ამოღების შემდეგ მივდივართ მარტივ განტოლებამდე:
(x + 5) (x 2 + 18x + 48) = 0.
პასუხი: -5; -9 ± √33.
დავალება.
ააგეთ მესამე ხარისხის მრავალწევრი, რომელშიც ერთ ფესვს 4-ის ტოლი აქვს 2-ის სიმრავლე და ფესვს -2-ის ტოლი.
გამოსავალი.
f(x)/((x – 4) 2 (x + 2)) = q(x) ან f(x) = (x – 4) 2 (x + 2)q(x).
პირველი ორი ფრჩხილის გამრავლება და მოტანა მსგავსი ტერმინები, ვიღებთ: f(x) = (x 3 – 6x 2 + 32)q(x).
x 3 – 6x 2 + 32 არის მესამე ხარისხის მრავალწევრი, ამიტომ q(x) არის რაღაც რიცხვი რ(ანუ რეალური). მოდით q(x) იყოს ერთი, შემდეგ f(x) = x 3 – 6x 2 + 32.
პასუხი: f(x) = x 3 – 6x 2 + 32.
ჯერ კიდევ გაქვთ შეკითხვები? არ იცით განტოლების ამოხსნა?
დამრიგებლის დახმარების მისაღებად დარეგისტრირდით.
პირველი გაკვეთილი უფასოა!
ვებსაიტზე, მასალის სრულად ან ნაწილობრივ კოპირებისას საჭიროა წყაროს ბმული.