ორი ცვლადის ფუნქციის უწყვეტობა წერტილში. ორი ცვლადის ფუნქციის ლიმიტი და უწყვეტობა

76. პირობითი ექსტრემუმი. ლაგრანგის გამრავლების მეთოდი . z=f(x,y) ფუნქციას აქვს პირობითი მინიმუმი (მაქსიმუმი) შიდა წერტილში M 0 (x 0 ,y 0), თუ რომელიმე უბნის M(x,y) წერტილისთვის O(M 0), დამაკმაყოფილებელია კავშირის განტოლება ϕ(x,y)=0, პირობა ∆f(x 0 ,y 0)=f(x,y)-f(x 0 ,y 0)≥0, (∆f(x 0 ,y 0)≤ 0). ზოგად შემთხვევაში, ამ პრობლემას მივყავართ ჩვეულებრივი ლაგრანგის ექსტრემის პოვნამდე L(x,y,λ)=f(x,y)=λφ(x,y) უცნობი ლაგრანჟის გამრავლებით λ. ლაგრანჟის L(x,y,λ) ფუნქციის უკიდურესობის აუცილებელი პირობაა სამი განტოლების სისტემა სამი უცნობი x,y,λ: . ლაგრანჟის ფუნქციის უკიდურესობის საკმარისი პირობაა შემდეგი დებულება ∆>0, მაშინ ფუნქცია z=f(x,y) M 0 (x 0 ,y 0) წერტილში აქვს პირობითი მინიმუმი, ∆.<0- то условный максимум.

77. რიცხვების სერია. ძირითადი ცნებები. სერიის კონვერგენცია . ნომრების სერიაჰქვია ფორმის გამოხატულება, სადაც u 1,u 2,….,u n,… არის რეალური ან რთული რიცხვები ნომრის წევრები, შენ ნ - საერთო წევრირიგი. სერია მიჩნეულია, თუ ცნობილია u n სერიის საერთო წევრი, რომელიც გამოიხატება მისი n რიცხვის ფუნქციით: u n =f(n) სერიის პირველი n წევრის ჯამს ეწოდება n-ე ნაწილობრივი თანხასერია და აღინიშნება S n-ით, ე.ი. S n =u 1 +u 2 +…+u n. თუ არსებობს სერიების ნაწილობრივი ჯამების მიმდევრობის სასრული ზღვარი , მაშინ ეს ლიმიტი ეწოდება სერიის ჯამიდა ამბობენ, რომ რიგი იყრის თავს.

78. დაახლოების აუცილებელი ნიშანი. ჰარმონიული სერია. თეორემა:მოდით რიცხვების სერია u 1 +u 2 +…+u n +…, (1) გადავიდეს და S იყოს მისი ჯამი. შემდეგ, სერიების n-ის რიცხვის შეუზღუდავი ზრდით, მისი საერთო წევრი u n მიისწრაფვის 0-მდე. ეს ნიშანი არის აუცილებელი, მაგრამ არა საკმარისი ნიშანი სერიების კონვერგენციისა, რადგან თქვენ შეგიძლიათ მიუთითოთ სერია, რომლისთვისაც თანასწორობა მოქმედებს

ფაქტობრივად, თუ ის დაახლოება, 0-ის ტოლი იქნება. ამრიგად, ჩვენ მიერ დამტკიცებული თეორემა ზოგჯერ საშუალებას გვაძლევს, S n ჯამის გამოთვლის გარეშე, გამოვიტანოთ დასკვნა კონკრეტული სერიის დივერგენციის შესახებ. მაგალითად, სერია განსხვავდება იმის გამო . ჰარმონიული სერია- ჯამი, რომელიც შედგება უსასრულო რაოდენობის წევრებისგან, ნატურალური რიგის თანმიმდევრული რიცხვების შებრუნებულებისაგან: სერიას ჰქვია ჰარმონიული, რადგან იგი შედგება "ჰარმონიებისგან": (\displaystyle k) ვიოლინოს სიმისგან ამოღებული მე-თე ჰარმონია არის ფუნდამენტური ბგერა, რომელიც წარმოიქმნება სიგრძის სიმისგან (\displaystyle (\frac (1)(k))). ორიგინალური სტრიქონის სიგრძე.

განმარტება 1

თუ რომელიმე დომენიდან ორი დამოუკიდებელი ცვლადის $(x,y)$ მნიშვნელობის თითოეული $(x,y)$ მნიშვნელობისთვის ასოცირდება გარკვეული მნიშვნელობა $z$, მაშინ $z$ ნათქვამია, რომ არის ორი ცვლადის ფუნქცია $(x,y) $ ამ დომენში.

აღნიშვნა: $z=f(x,y)$.

დაე, $z=f(x,y)$ იყოს ორი დამოუკიდებელი ცვლადის $(x,y)$ ფუნქცია.

შენიშვნა 1

ვინაიდან $(x,y)$ ცვლადები დამოუკიდებელია, ერთი მათგანი შეიძლება შეიცვალოს, მეორე კი მუდმივი დარჩეს.

მოდით მივცეთ $x$ ცვლადს $\Delta x$-ის ზრდა, ხოლო $y$ ცვლადის მნიშვნელობა უცვლელი შევინარჩუნოთ.

მაშინ ფუნქცია $z=f(x,y)$ მიიღებს ნამატს, რომელსაც დაერქმევა $z=f(x,y)$ ფუნქციის ნაწილობრივი ზრდა $x$ ცვლადის მიმართ. აღნიშვნა:

განმარტება 2

ნაწილობრივი წარმოებული მოცემული ფუნქციის $x$ ცვლადთან მიმართებაში $z=f(x,y)$ არის მოცემული ფუნქციის $\Delta _(x) z$ ნაწილობრივი ნამატის შეფარდების ზღვარი. გაზარდეთ $\Delta x$ $\Delta x\ 0$-მდე.

აღნიშვნა: $z"_(x) ,\, \, f"_(x) (x,y),\, \, \frac(\ ნაწილობრივი z)(\ ნაწილობრივი x) ,\, \, \frac( \ნაწილობრივი ვ)(\ნაწილობრივი x) $.

შენიშვნა 2

\[\frac(\partial z)(\partial x) =\mathop(\lim)\limits_(\Delta x\ to 0) \frac(\Delta _(x) z)(\Delta x) =\mathop (\lim )\limits_(\დელტა x\ 0-მდე) \frac(f(x+\დელტა x,y)-f(x,y))(\დელტა x) .\]

მოდით მივცეთ $y$ ცვლადს $\Delta y$-ის ზრდა, ხოლო $x$ ცვლადის მნიშვნელობა უცვლელი შევინარჩუნოთ.

მაშინ ფუნქცია $z=f(x,y)$ მიიღებს ნამატს, რომელსაც დაერქმევა $z=f(x,y)$ ფუნქციის ნაწილობრივი ზრდა $y$ ცვლადის მიმართ. აღნიშვნა:

განმარტება 3

ნაწილობრივი წარმოებული მოცემული ფუნქციის $z=f(x,y)$ ცვლადთან მიმართებაში არის მოცემული ფუნქციის $\Delta _(y) z$ ნაწილობრივი ნამატის შეფარდების ზღვარი. გაზარდეთ $\Delta y$ $\Delta y\ 0$-მდე.

აღნიშვნა: $z"_(y) ,\, \, f"_(y) (x,y),\, \, \frac(\ ნაწილობრივი z)(\ნაწილობრივი y) ,\, \, \frac( \ნაწილობრივი ვ)(\ნაწილობრივი y) $.

შენიშვნა 3

ნაწილობრივი წარმოებულის განმარტებით გვაქვს:

\[\frac(\partial z)(\partial y) =\mathop(\lim)\limits_(\Delta y\ to 0) \frac(\Delta _(y) z)(\Delta y) =\mathop (\lim )\limits_(\დელტა y\ 0-მდე) \frac(f(x,y+\დელტა y)-f(x,y))(\დელტა y) .\]

გაითვალისწინეთ, რომ მოცემული ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულის გამოთვლის წესები ემთხვევა ერთი ცვლადის ფუნქციის წარმოებულების გამოთვლის წესებს. თუმცა, ნაწილობრივი წარმოებულის გამოთვლისას, უნდა გვახსოვდეს, თუ რომელი ცვლადისთვის ხდება ნაწილობრივი წარმოებულის ძიება.

მაგალითი 1

გამოსავალი:

$\frac(\partial z)(\partial x) =(x+y^(2))"_(x) =1$ (ცვლადი $x$),

$\frac(\partial z)(\partial y) =(x+y^(2))"_(y) =2y$ (ცვლადი $y$).

მაგალითი 2

განსაზღვრეთ მოცემული ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები:

წერტილში (1;2).

გამოსავალი:

ნაწილობრივი წარმოებულების განმარტებით ვიღებთ:

$\frac(\ ნაწილობრივი z)(\ ნაწილობრივი x) =(x^(2) +y^(3))"_(x) =2x$ (ცვლადი $x$),

$\frac(\partial z)(\partial y) =(x^(2) +y^(3))"_(y) =3y^(2) $ (ცვლადი $y$).

\[\მარცხნივ. \frac(\ნაწილობრივი z)(\ნაწილობრივი x) \მარჯვნივ|_((1;2)) =2\cdot 1=2, \მარცხნივ. \frac(\ნაწილობრივი z)(\ნაწილობრივი y) \მარჯვნივ|_((1;2)) =3\cdot 2^(2) =12.\]

განმარტება 4

თუ რომელიმე დომენიდან სამი დამოუკიდებელი ცვლადის $(x,y,z)$ მნიშვნელობის ყოველ სამმაგად ასოცირდება გარკვეული მნიშვნელობა $w$, მაშინ $w$ ნათქვამია, რომ არის სამი ცვლადის ფუნქცია $(x, y,z)$ ამ სფეროში.

აღნიშვნა: $w=f(x,y,z)$.

განმარტება 5

თუ ცალკეული რეგიონის დამოუკიდებელი ცვლადების მნიშვნელობების $(x,y,z,...,t)$-ის თითოეული ნაკრებისთვის ასოცირდება გარკვეული მნიშვნელობა $w$, მაშინ ამბობენ, რომ $w$ არის ფუნქცია. ცვლადები $(x,y, z,...,t)$ ამ ზონაში.

აღნიშვნა: $w=f(x,y,z,...,t)$.

სამი ან მეტი ცვლადის ფუნქციისთვის, ნაწილობრივი წარმოებულები თითოეული ცვლადის მიმართ განისაზღვრება ისევე, როგორც ორი ცვლადის ფუნქციისთვის:

$\frac(\partial w)(\partial z) =\mathop(\lim)\limits_(\Delta z\ to 0) \frac(\Delta _(z) w)(\Delta z) =\mathop( \lim )\limits_(\Delta z\ to 0) \frac(f(x,y,z+\delta z)-f(x,y,z))(\delta z) $;

$\frac(\partial w)(\partial t) =\mathop(\lim)\limits_(\Delta t\ to 0) \frac(\Delta _(t) w)(\Delta t) =\mathop( \lim )\limits_(\Delta t\ to 0) \frac(f(x,y,z,...,t+\delta t)-f(x,y,z,...,t))( \დელტა ტ) $.

მაგალითი 3

განსაზღვრეთ მოცემული ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები:

გამოსავალი:

ნაწილობრივი წარმოებულების განმარტებით ვიღებთ:

$\frac(\partial w)(\partial x) =(x+y^(2) +2z)"_(x) =1$ (ცვლადი $x$),

$\frac(\partial w)(\partial y) =(x+y^(2) +2z)"_(y) =2y$ (ცვლადი $y$),

$\frac(\partial w)(\partial z) =(x+y^(2) +2z)"_(z) =2$ (ცვლადი $z$).

მაგალითი 4

განსაზღვრეთ მოცემული ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები:

წერტილში (1;2;1).

გამოსავალი:

ნაწილობრივი წარმოებულების განმარტებით ვიღებთ:

$\frac(\ ნაწილობრივი w)(\ ნაწილობრივი x) =(x+y^(2) +2\ln z)"_(x) =1$ (ცვლადი $x$),

$\frac(\partial w)(\partial y) =(x+y^(2) +2\ln z)"_(y) =2y$ (ცვლადი $y$),

$\frac(\partial w)(\partial z) =(x+y^(2) +2\ln z)"_(z) =\frac(2)(z) $ (ცვლადი $z$) .

ნაწილობრივი წარმოებულების მნიშვნელობები მოცემულ წერტილში:

\[\მარცხნივ. \frac(\partial w)(\partial x) \მარჯვნივ|_((1;2;1)) =1, \მარცხნივ. \frac(\partial w)(\partial y) \right|_((1;2;1)) =2\cdot 2=4, \მარცხნივ. \frac(\partial w)(\partial z) \right|_((1;2;1)) =\frac(2)(1) =2.\]

მაგალითი 5

განსაზღვრეთ მოცემული ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები:

გამოსავალი:

ნაწილობრივი წარმოებულების განმარტებით ვიღებთ:

$\frac(\ ნაწილობრივი w)(\ ნაწილობრივი x) =(3\ln x+y^(2) +2z+...+t^(2))"_(x) =\frac(3)(x ) $ ($x$ ცვლადის მიხედვით),

$\frac(\ ნაწილობრივი w)(\ ნაწილობრივი y) =(3\ln x+y^(2) +2z+...+t^(2))"_(y) =2y$ (ცვლადი $y $),

$\frac(\partial w)(\partial z) =(3\ln x+y^(2) +2z+...+t^(2))"_(z) =2$ (ცვლადი $z $),

$\frac(\partial w)(\partial t) =(3\ln x+y^(2) +2z+...+t^(2))"_(t) =2t$ (ცვლადი $t $).

დეპარტამენტი: უმაღლესი მათემატიკა

აბსტრაქტი

დისციპლინაში "უმაღლესი მათემატიკა"

თემა: „რამდენიმე ცვლადის ფუნქციების ლიმიტი და უწყვეტობა“

ტოლიატი, 2008 წ

შესავალი

ერთი ცვლადის ფუნქციის კონცეფცია არ მოიცავს ბუნებაში არსებულ ყველა დამოკიდებულებას. უმარტივეს პრობლემებშიც კი არის რაოდენობები, რომელთა მნიშვნელობები განისაზღვრება რამდენიმე სიდიდის მნიშვნელობების კომბინაციით.

ასეთი დამოკიდებულებების შესასწავლად შემოღებულია რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის კონცეფცია.

რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის კონცეფცია

განმარტება.მაგნიტუდა uეწოდება რამდენიმე დამოუკიდებელი ცვლადის ფუნქცია ( x, წ, ზ, …, ტ), თუ ამ ცვლადების მნიშვნელობების თითოეული ნაკრები ასოცირდება რაოდენობის გარკვეულ მნიშვნელობასთან u.

თუ ცვლადი ორი ცვლადის ფუნქციაა Xდა ზე, მაშინ აღინიშნება ფუნქციური დამოკიდებულება

ზ = ვ (x, წ).

სიმბოლო ვაქ განსაზღვრავს მოქმედებების ერთობლიობას ან მნიშვნელობის გამოთვლის წესს ზმოცემული წყვილისთვის Xდა ზე.

ასე რომ, ფუნქციისთვის ზ = x 2 + 3xy

ზე X= 1 და ზე= 1 გვაქვს ზ = 4,

ზე X= 2 და ზე= 3 გვაქვს ზ = 22,

ზე X= 4 და ზე= 0 გვაქვს ზ= 16 და ა.შ.

რაოდენობას ანალოგიურად უწოდებენ uსამი ცვლადის ფუნქცია x, წ, ზ, თუ მოცემულია წესი, როგორც მნიშვნელობების მოცემული სამმაგი x, წდა ზგამოთვალეთ შესაბამისი მნიშვნელობა u:

u = ფ (x, წ, ზ).

აქ არის სიმბოლო ფგანსაზღვრავს მოქმედებების ერთობლიობას ან მნიშვნელობის გამოთვლის წესს u, ამ მნიშვნელობების შესაბამისი x, წდა ზ.

ასე რომ, ფუნქციისთვის u = xy + 2xz – 3yz

ზე X = 1, ზე= 1 და ზ= 1 გვაქვს u = 0,

ზე X = 1, ზე= -2 და ზ= 3 გვაქვს u = 22,

ზე X = 2, ზე= -1 და ზ= -2 გვაქვს u = -16 და ა.შ.

ამგვარად, თუ თითოეული მოსახლეობის რაიმე კანონის ძალით ნნომრები ( x, წ, ზ, …, ტ) ზოგიერთი ნაკრებიდან ეანიჭებს კონკრეტულ მნიშვნელობას ცვლადს u, მაშინ uფუნქციას უწოდებენ ნცვლადები x, წ, ზ, …, ტ, განსაზღვრული კომპლექტში ე, და აღინიშნება

u = ვ(x, წ, ზ, …, ტ).

ცვლადები x, წ, ზ, …, ტეწოდება ფუნქციის არგუმენტები, ნაკრები ე– ფუნქციის განსაზღვრის დომენი.

ფუნქციის ნაწილობრივი მნიშვნელობა არის ფუნქციის მნიშვნელობა რაღაც მომენტში მ 0 (x 0 , წ 0 , ზ 0 , …, ტ 0) და დანიშნულია ვ (მ 0) = ვ (x 0 , წ 0 , ზ 0 , …, ტ 0).

ფუნქციის დომენი არის ყველა არგუმენტის მნიშვნელობის ნაკრები, რომელიც შეესაბამება ფუნქციის ნებისმიერ რეალურ მნიშვნელობას.

ორი ცვლადის ფუნქცია ზ = ვ (x, წ) სივრცეში იგი წარმოდგენილია რაღაც ზედაპირით. ანუ როცა წერტილი კოორდინატებით X, ზეგადის სიბრტყეში მდებარე ფუნქციის განსაზღვრის მთელ დომენში xOy, შესაბამისი სივრცითი წერტილი, ზოგადად რომ ვთქვათ, აღწერს ზედაპირს.

სამი ცვლადის ფუნქცია u = ფ (x, წ, ზ) განიხილება, როგორც სამგანზომილებიანი სივრცის წერტილების გარკვეული სიმრავლის წერტილის ფუნქცია. ანალოგიურად, ფუნქცია ნცვლადები u = ვ(x, წ, ზ, …, ტ) განიხილება ზოგიერთის წერტილის ფუნქციად ნ- განზომილებიანი სივრცე.

რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის ლიმიტი

იმისათვის, რომ მივცეთ რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის ლიმიტის კონცეფცია, შემოვიფარგლებით ორი ცვლადის შემთხვევაში. Xდა ზე. განმარტებით, ფუნქცია ვ (x, წ) აქვს ზღვარი წერტილში ( X 0 , ზე 0), რიცხვის ტოლი ა, აღინიშნება შემდეგნაირად:

(ისინიც წერენ ვ (x, წ) →აზე (x, წ) → (X 0 , ზე 0)), თუ იგი განსაზღვრულია წერტილის რომელიმე მახლობლად ( X 0 , ზე 0), გარდა ალბათ ამ მომენტისა და თუ არსებობს ლიმიტი

როგორიც არ უნდა იყოს მიდრეკილება ( X 0 , ზე 0) პუნქტების თანმიმდევრობა ( x k, y k).

ისევე, როგორც ერთი ცვლადის ფუნქციის შემთხვევაში, შეიძლება დაინერგოს ორი ცვლადის ფუნქციის ლიმიტის სხვა ეკვივალენტური განმარტება: ფუნქცია. ვაქვს მომენტში ( X 0 , ზე 0) ლიმიტი ტოლია ა, თუ იგი განსაზღვრულია წერტილის რომელიმე მახლობლად ( X 0 , ზე 0) გარდა, შესაძლოა, თავად ამ წერტილისა და ნებისმიერი ε > 0-ისთვის არის δ > 0 ისეთი, რომ

| ვ (x, წ) – ა| < ε(3)

ყველასთვის (x, წ) , უთანასწორობების დაკმაყოფილება

ეს განსაზღვრება, თავის მხრივ, უდრის შემდეგს: ნებისმიერი ε > 0-ისთვის არის წერტილის δ-მეზობლობა ( X 0 , ზე 0) ისეთი, რომ ყველასთვის ( x, წ) ამ უბნიდან, განსხვავებული ( X 0 , ზე 0), უტოლობა (3) დაკმაყოფილებულია.

ვინაიდან თვითნებური წერტილის კოორდინატები ( x, წ) წერტილის მეზობლობა ( X 0 , ზე 0) შეიძლება დაიწეროს როგორც x = x 0 + Δ X, y = y 0 + Δ ზე, მაშინ ტოლობა (1) უდრის შემდეგ ტოლობას:

განვიხილოთ რამდენიმე ფუნქცია, რომელიც განსაზღვრულია წერტილის სამეზობლოში ( X 0 , ზე 0), გარდა, შესაძლოა, თავად ამ წერტილისა.

მოდით ω = (ω X, ω ზე) – ერთი სიგრძის თვითნებური ვექტორი (|ω| 2 = ω X 2 + ω ზე 2 = 1) და ტ> 0 – სკალარული. პუნქტების ნახვა

(X 0 + ტω X, წ 0 + ტω ზე) (0 < ტ)

წარმოქმნის სხივს, რომელიც გამოდის ( X 0 , ზე 0) ვექტორის ω მიმართულებით. თითოეული ω-სთვის შეგვიძლია განვიხილოთ ფუნქცია

ვ(X 0 + ტω X, წ 0 + ტω ზე) (0 < ტ< δ)

სკალარული ცვლადიდან ტ, სადაც δ არის საკმაოდ მცირე რიცხვი.

ამ ფუნქციის ლიმიტი (ერთი ცვლადი) ტ)

თუ ის არსებობს, ბუნებრივია, რომ მას ლიმიტი ვუწოდოთ ვწერტილში ( X 0 , ზე 0) ω მიმართულებით.

მაგალითი 1.ფუნქციები

განსაზღვრულია თვითმფრინავში ( x, წ) წერტილის გარდა X 0 = 0, ზე 0 = 0. გვაქვს (გავითვალისწინოთ, რომ

(ε > 0-სთვის ჩვენ ვაყენებთ δ = ε/2 და შემდეგ | ვ (x, წ) | < ε, если

საიდანაც ნათელია, რომ ზღვარი φ წერტილში (0, 0) სხვადასხვა მიმართულებით ზოგადად განსხვავებულია (ერთეული სხივის ვექტორი წ = kx, X> 0, აქვს ფორმა

მაგალითი 2.მოდით განვიხილოთ რ 2 ფუნქცია

ეს ფუნქცია ნებისმიერ ხაზზე (0, 0) წერტილში წ = kxსაწყისზე გავლისას აქვს ნულის ტოლი ზღვარი:

თუმცა ამ ფუნქციას არ აქვს ლიმიტი წერტილებში (0, 0), რადგან როდის y = x 2

ჩვენ დავწერთ

|ვ (x, წ) | > ნ,

როგორც კი 0<

ლიმიტზეც შეიძლება ვისაუბროთ ვ, როდის X, ზე → ∞:

მაგალითად, სასრული რიცხვის შემთხვევაში ათანასწორობა (5) უნდა გავიგოთ იმ გაგებით, რომ ყოველ ε > 0-ზე არის ასეთი ნ> 0, რომელიც ყველასთვისაა X, ზე, რისთვისაც | x| > ნ, |წ| > ნ, ფუნქცია ვგანსაზღვრული და უთანასწორობა მოქმედებს

მრავალი ფენომენი, რომელიც ხდება ბუნებაში, ეკონომიკასა და სოციალურ ცხოვრებაში, არ შეიძლება აღწერილი იყოს ერთი ცვლადის ფუნქციის გამოყენებით. მაგალითად, საწარმოს მომგებიანობა დამოკიდებულია მოგებაზე, ძირითად და საბრუნავ კაპიტალზე. ამ სახის დამოკიდებულების შესასწავლად შემოღებულია რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის კონცეფცია.

ეს ლექცია განიხილავს ორი ცვლადის ფუნქციებს, ვინაიდან ორი ცვლადის ფუნქციისთვის ჩამოყალიბებული ყველა ძირითადი ცნება და თეორემა შეიძლება ადვილად განზოგადდეს ცვლადების უფრო დიდი რაოდენობის შემთხვევაში.

დაე ბ- რეალური რიცხვების მოწესრიგებული წყვილების ნაკრები.

განმარტება 1თუ რიცხვების თითოეული შეკვეთილი წყვილი, რაიმე კანონის მიხედვით, დაკავშირებულია ერთ რეალურ რიცხვთან, მაშინ ამბობენ, რომ მოცემული ორი ცვლადის ფუნქცია ან .ნომრებს ეძახიან დამოუკიდებელი ცვლადებიან ფუნქციის არგუმენტებიდა ნომერი არის დამოკიდებული ცვლადი.

მაგალითად, ცილინდრის მოცულობის გამომხატველი ფორმულა არის ორი ცვლადის ფუნქცია: – ბაზის რადიუსი და – სიმაღლე.

რიცხვთა წყვილს ზოგჯერ წერტილი ეწოდება, ხოლო ორი ცვლადის ფუნქციას ზოგჯერ წერტილის ფუნქციას უწოდებენ.

ფუნქციის ღირებულება წერტილში აღნიშნავენ ან და დარეკე ორი ცვლადის ფუნქციის პირადი მნიშვნელობა.

ყველა წერტილის ერთობლიობა, რომლებზეც განსაზღვრულია ფუნქცია , დაურეკა განმარტების სფერო ამ ფუნქციას. ორი ცვლადის ფუნქციისთვის, განმარტების დომენი არის მთელი კოორდინატთა სიბრტყე ან მისი ნაწილი, შეზღუდული ერთი ან მეტი ხაზით.

მაგალითად, ფუნქციის განსაზღვრის დომენი არის მთელი სიბრტყე და ფუნქციები - ერთეული წრე საწყისთან ცენტრით ( ან .

ორი ცვლადის ფუნქციის ლიმიტისა და უწყვეტობის ცნებები მსგავსია ერთი ცვლადის შემთხვევისა.

მოდით იყოს თვითნებური წერტილი თვითმფრინავზე. - წერტილის მეზობლობა არის ყველა წერტილის ერთობლიობა, რომელთა კოორდინატები აკმაყოფილებს უტოლობას. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, წერტილის მეზობლობა არის წრის ყველა შიდა წერტილი, რომელსაც აქვს ცენტრი წერტილი და რადიუსი.

განმარტება 2ნომერზე იწოდება ფუნქციის ლიმიტიზე (ან წერტილში), თუ რაიმე თვითნებურად მცირე დადებითი რიცხვისთვის არსებობს (დამოკიდებულია) ისეთი, რომ ყველასთვის , უთანასწორობის დაკმაყოფილება, უთანასწორობა დაკმაყოფილებულია .

ლიმიტი მითითებულია შემდეგნაირად: ან .

მაგალითი 1იპოვეთ ლიმიტი .

გამოსავალი.შემოვიღოთ აღნიშვნა , სადაც . ზე ჩვენ ეს გვაქვს. მაშინ

.

განმარტება 3ფუნქციას ეძახიან უწყვეტი წერტილში, თუ: 1) განსაზღვრულია წერტილსა და მის შემოგარენში; 2) აქვს სასრული ზღვარი; 3) ეს ზღვარი უდრის ფუნქციის მნიშვნელობას წერტილში, ე.ი. .

ფუნქცია დაურეკა უწყვეტი ზოგიერთ მხარეშითუ ის უწყვეტია ამ რეგიონის ყველა წერტილში.

წერტილები, რომლებშიც უწყვეტობის პირობა არ არის დაკმაყოფილებული, ეწოდება შესვენების წერტილებიამ ფუნქციას. ზოგიერთ ფუნქციაში, შესვენების წერტილები ქმნიან მთელ შესვენების ხაზებს. მაგალითად, ფუნქციას აქვს ორი წყვეტის ხაზი: axis() და axis().

მაგალითი 2იპოვნეთ ფუნქციის წყვეტის წერტილები .

გამოსავალი.ეს ფუნქცია არ არის განსაზღვრული იმ წერტილებში, სადაც მნიშვნელი ქრება, ანუ იმ წერტილებში, სადაც ან . ეს არის წრე, რომლის ცენტრი და რადიუსია. ეს ნიშნავს, რომ თავდაპირველი ფუნქციის შეწყვეტის ხაზი იქნება წრე.

2 პირველი რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები. სრული დიფერენციალი.
უმაღლესი რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები

მიეცით ორი ცვლადის ფუნქცია . მოდით არგუმენტს მივცეთ ნამატი და დავტოვოთ არგუმენტი უცვლელი. შემდეგ ფუნქცია მიიღებს ნამატს, რომელიც ე.წ პირადი ზრდა ცვლადის მიხედვითდა აღინიშნება:

ანალოგიურად, არგუმენტის დაფიქსირება და არგუმენტის ნამატის მიცემა, მივიღებთ ფუნქციის ნაწილობრივი ზრდა ცვლადის მიხედვით:

რაოდენობას ე.წ ფუნქციის სრული ზრდა წერტილში .

განმარტება 4 ორი ცვლადის ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებული ერთ-ერთი ამ ცვლადის მიხედვით, ფუნქციის შესაბამისი ნაწილობრივი ზრდის შეფარდების ლიმიტი მოცემული ცვლადის ზრდასთან იწოდება, როდესაც ეს უკანასკნელი ნულისკენ მიისწრაფვის (თუ ეს ზღვარი არსებობს).

ნაწილობრივი წარმოებული აღინიშნება შემდეგნაირად: ან , ან .

ამრიგად, მე-4 განმარტებით გვაქვს:

ნაწილობრივი წარმოებული ფუნქციები გამოითვლება ერთი და იგივე წესებისა და ფორმულების მიხედვით, როგორც ერთი ცვლადის ფუნქცია, იმის გათვალისწინებით, რომ ცვლადის მიმართ დიფერენცირებისას, ითვლება მუდმივი და ცვლადის მიმართ დიფერენცირებისას ითვლება მუდმივი.

მაგალითი 3იპოვნეთ ფუნქციების ნაწილობრივი წარმოებულები:

გამოსავალი:

1 ვიპოვოთ, ჩვენ ვითვლით მუდმივი მნიშვნელობა და დიფერენცირება როგორც ერთი ცვლადის ფუნქცია:

ანალოგიურად, მუდმივი მნიშვნელობის გათვალისწინებით, ჩვენ ვპოულობთ:

.

.

განმარტება 5 სრული დიფერენციალური ფუნქცია არის ამ ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულების ნამრავლების ჯამი შესაბამისი დამოუკიდებელი ცვლადების ნამატებით, ე.ი.

.

გამოუსწორებელისთვის: და მთლიანი დიფერენციალური ფორმულა შეიძლება დაიწეროს როგორც

ან .

მაგალითი 4იპოვნეთ ფუნქციის სრული დიფერენციალი .

გამოსავალი.იმიტომ რომ , შემდეგ ჩვენ ვიპოვით მთლიანი დიფერენციალური ფორმულის გამოყენებით

.

ნაწილობრივ წარმოებულებს უწოდებენ პირველი რიგის ნაწილობრივ წარმოებულებს.

განმარტება 6 მეორე რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები ფუნქციებს უწოდებენ პირველი რიგის ნაწილობრივი წარმოებულების ნაწილობრივ წარმოებულებს.

არსებობს ოთხი მეორე რიგის ნაწილობრივი წარმოებული. ისინი დანიშნულია შემდეგნაირად:

ან ; ან ;

ან ; ან .

ანალოგიურად არის განსაზღვრული მე-3, მე-4 და უფრო მაღალი რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები. მაგალითად, ფუნქციისთვის ჩვენ გვაქვს:

; და ა.შ.

მეორე ან უფრო მაღალი რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები, აღებული სხვადასხვა ცვლადის მიმართ, ეწოდება შერეული ნაწილობრივი წარმოებულები.ფუნქციისთვის ეს არის წარმოებულები. გაითვალისწინეთ, რომ იმ შემთხვევაში, როდესაც შერეული წარმოებულები უწყვეტია, მაშინ თანასწორობა მოქმედებს.

მაგალითი 5იპოვეთ ფუნქციის მეორე რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები.

გამოსავალი.პირველი რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები ამ ფუნქციისთვის ნაპოვნია მაგალითში 3:

დიფერენცირება ცვლადების მიხედვით Xდა წ, ვიღებთ:

3 რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის ექსტრემუმი.
ექსტრემის არსებობისთვის აუცილებელი და საკმარისი პირობები

განმარტება 7წერტილი ე.წ მინიმალური (მაქსიმალური) ქულაფუნქცია, თუ არსებობს წერტილის ისეთი მეზობლობა, რომ ამ უბნის ყველა წერტილისთვის არის უტოლობა , ().

ფუნქციის მინიმალური და მაქსიმალური ქულები ეძახიან ექსტრემალური წერტილებიდა ფუნქციის მნიშვნელობები ამ წერტილებში არის ფუნქციის უკიდურესი(შესაბამისად მინიმალური და მაქსიმალური).

გაითვალისწინეთ, რომ მინიმალური და მაქსიმალური ფუნქციები აქვს ადგილობრივიხასიათი, ვინაიდან ფუნქციის მნიშვნელობა წერტილში შედარებულია მის მნიშვნელობებთან საკმარისად ახლოს მდებარე წერტილებთან.

თეორემა 1(აუცილებელი პირობები ექსტრემისთვის). თუ არის დიფერენცირებადი ფუნქციის უკიდურესი წერტილი, მაშინ მისი ნაწილობრივი წარმოებულები ამ წერტილში ნულის ტოლია: .

წერტილები, რომლებშიც პირველი რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები ნულის ტოლია, ეწოდება კრიტიკულიან სტაციონარული. კრიტიკულ წერტილებში ფუნქცია შეიძლება ჰქონდეს ან არ ჰქონდეს ექსტრემუმი.

თეორემა 2(საკმარისი პირობა ექსტრემისთვის: ა) განისაზღვროს კრიტიკული წერტილის რომელიღაც სამეზობლოში, რომელშიც და ; ბ) აქვს მეორე რიგის უწყვეტი ნაწილობრივი წარმოებულები . მაშინ თუ , მაშინ ფუნქციას წერტილის აქვს უკიდურესი: მაქსიმალური თუ A<0; минимум, если А>0; თუ , მაშინ ფუნქციას არ აქვს ექსტრემუმი. იმ შემთხვევაში ექსტრემის არსებობის საკითხი ღია რჩება.

ექსტრემისთვის ორი ცვლადის ფუნქციის შესწავლისას რეკომენდებულია შემდეგი სქემის გამოყენება:

1 იპოვნეთ პირველი რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები: და .

2 ამოხსენით განტოლებათა სისტემა და იპოვეთ ფუნქციის კრიტიკული წერტილები.

3 იპოვეთ მეორე რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები: , , .

4 გამოთვალეთ მეორე რიგის ნაწილობრივი წარმოებულების მნიშვნელობები თითოეულში

მიაღწიოს კრიტიკულ წერტილს და საკმარისი პირობების გამოყენებით გამოიტანოს დასკვნა ექსტრემის არსებობის შესახებ.

5 იპოვეთ ფუნქციის უკიდურესობა.

მაგალითი 6იპოვეთ ფუნქციის უკიდურესობა .

გამოსავალი:

1 ნაწილობრივი წარმოებულების მოძიება და :

; .

2 კრიტიკული წერტილების დასადგენად, ჩვენ ვხსნით განტოლებათა სისტემას:

ან

სისტემის პირველი განტოლებიდან ვხვდებით: . ნაპოვნი მნიშვნელობის ჩანაცვლება წმეორე განტოლებაში მივიღებთ:

, , ,

.

ღირებულებების პოვნა წმნიშვნელობების შესაბამისი . შემცვლელი მნიშვნელობები განტოლებაში ვიღებთ: ; ძირითადი განუსაზღვრელი ინტეგრალების ცხრილი ტოლობა დაკმაყოფილებულია.

გამოსავალი.მოდით განვასხვავოთ ინტეგრაციის შედეგი:

.

ჩვენ მივიღეთ ინტეგრანი, ამიტომ ინტეგრაცია სწორია.

განმარტება 1.ნომერი აეწოდება ფუნქციის ზღვარი წერტილში (ან და ზე), თუ რაიმე თვითნებურად მცირე დადებითი რიცხვისთვის არის ისეთი დადებითი რიცხვი, რომ ყველა წერტილისთვის, რომელიც მდებარეობს წერტილიდან ნაკლებ მანძილზე, უტოლობა მოქმედებს.

ლიმიტი მითითებულია.

განმარტება 2.ფუნქცია
უწყვეტი ეწოდება წერტილს, თუ ამ წერტილში ფუნქციის ზღვარი არსებობს და .

წერტილებს, რომლებზეც ფუნქციას არ გააჩნია უწყვეტობის თვისება, ეწოდება შეწყვეტის წერტილები.

ერთი ცვლადის ფუნქციის ლიმიტების თეორიის ყველა თვისება და მეთოდი გადადის რამდენიმე ცვლადის ფუნქციებზე.

2) შემთხვევითი ცვლადი ალბათობის თეორიის ერთ-ერთი ძირითადი ცნებაა. შემთხვევითი ცვლადი არის გაზომვადი ფუნქცია, რომელიც განსაზღვრულია რაიმე ალბათობის სივრცეში

დისკრეტული მნიშვნელობა არის შემთხვევითი ცვლადი, რომელსაც ტესტირებისას შეუძლია მიიღოს ერთ-ერთი იზოლირებული მნიშვნელობა, რომლის რაოდენობაც სასრულია. ეს მოიცავს რაოდენობებს პირველი ჯგუფიდან.
შემთხვევით ცვლადს ეწოდება უწყვეტი, რომელსაც თავისი ცვალებადობის ფარგლებში შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი მნიშვნელობა, რომელიც შეიძლება იყოს სასრული ან უსასრულო. ეს მოიცავს რაოდენობებს მეორე ჯგუფიდან.

ბილეთი No6

1) ექსპონენტაცია- ორობითი ოპერაცია, თავდაპირველად მიღებული ნატურალური რიცხვის განმეორებით გამრავლებიდან თავისთავად. დანიშნულება: ე.წ ხარისხითან საფუძველიდა მაჩვენებელი .

მოივრის ფორმულართული რიცხვებისთვის აცხადებს, რომ

ვინმესთვის

ფორმულა ეწოდა მათემატიკოს ი.მოივრის, დიდი ი.ნიუტონის მეგობრის პატივსაცემად, რომელმაც დააარსა იგი 1707 წელს; ლ. ეილერმა ფორმულას თანამედროვე სახე მისცა.

მტკიცებულება [რედაქტირება]

მოივრის ფორმულა დაუყოვნებლივ გამომდინარეობს ეილერის ფორმულიდან და ექსპონენციალურობის იდენტობიდან, სადაც ბ- მთელი რიცხვი.

აპლიკაცია [რედაქტირება]

მსგავსი ფორმულა ასევე გამოიყენება ფესვების გაანგარიშებისას ნ-არანულოვანი კომპლექსური რიცხვის ხარისხში:

სად კ = 0, 1, …, ნ-1.

ჰიპოთეზების ალბათობა

ჰიპოთეზების ალბათობა.

დაე, მოვლენა A მოხდეს ერთ-ერთი შეუთავსებელი მოვლენის B1, B2, Bn წარმოქმნით, რაც ქმნის სრულ ჯგუფს. ვინაიდან წინასწარ არ არის ცნობილი ამ მოვლენებიდან რომელი მოხდება, მათ ჰიპოთეზას უწოდებენ. A მოვლენის დადგომის ალბათობა განისაზღვრება საერთო ალბათობის ფორმულით:

Р(А) = Р(В1)?РВ1(А) + Р(В2) ?РВ2(А)+ ? +Р(Вn) ?РВn(А)

ბეიზის ფორმულა:

,

ჰიპოთეზის წინასწარი ალბათობა ა(ასეთი ტერმინოლოგიის მნიშვნელობა იხილეთ ქვემოთ);

ჰიპოთეზის ალბათობა ამოვლენის დადგომისას ბ(უკანა ალბათობა);

მოვლენის დადგომის ალბათობა ბთუ ჰიპოთეზა მართალია ა;

მოვლენის სრული ალბათობა ბ.

მაგალითი:

გაანგარიშების მაგალითი

პირველი მუშაკისთვის ქორწინების ალბათობა იყოს, მეორე მუშაკისთვის - და მესამესთვის -. პირველმა ნაწილები გააკეთა, მეორემ ნაწილები და მესამემ ნაწილები. მაღაზიის მენეჯერი იღებს შემთხვევით ნაწილს და აღმოჩნდება დეფექტური. საკითხავია, რამდენად სავარაუდოა, რომ მესამე მუშამ შექმნა ეს ნაწილი?

მოვლენა - დეფექტური ნაწილი, მოვლენა - მუშის მიერ წარმოებული ნაწილი. მაშინ , სად, და . საერთო ალბათობის ფორმულის მიხედვით

ბეიზის ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ:

ბილეთი No12

1. ტრიგონომეტრიული ფურიეს სერია- თვითნებური ფუნქციის წარმოდგენა პერიოდით სერიის სახით

შანსები ao,an და bn-ს უწოდებენ ფურიეს კოეფიციენტებს და თუ მათი პოვნა შესაძლებელია, მაშინ (1) სერიას ეწოდება f(x) ფუნქციის შესაბამისი ფურიეს სერია. სერიისთვის (1) ტერმინს (a1cosx+b1sinx) ეწოდება პირველი ან ფუნდამენტური ჰარმონია,

პერიოდული ფუნქციების ფურიეს სერია 2π პერიოდით.

ფურიეს სერია

სტანდარტული (=ჩვეულებრივი) აღნიშვნა sinx-ისა და cosx-ის ჯამის მეშვეობით

f(x)=ao+ a1cosx+a2cos2x+a3cos3x+...+b1sinx+b2sin2x+b3sin3x+...,

სადაც ao, a1,a2,...,b1,b2,.. არის რეალური მუდმივები, ე.ი.

2.საპირისპირო მოვლენები.
საპირისპიროდაასახელეთ ორი ცალსახად შესაძლო მოვლენა, რომლებიც ქმნიან სრულ ჯგუფს. თუ ორი საპირისპირო მოვლენიდან ერთი აღინიშნება A-ით, მაშინ მეორე ჩვეულებრივ აღინიშნება

თეორემა. საპირისპირო მოვლენების ალბათობების ჯამი უდრის ერთს:

მაგალითი 1.მიზანზე სროლისას დარტყმა და გაცდენა საპირისპირო მოვლენაა. თუ A არის დარტყმა, მაშინ საპირისპირო მოვლენა არის გამოტოვება.

მაგალითი 2.ნაწილი შემთხვევით იღება ყუთიდან. საპირისპიროა მოვლენები „გაჩნდა სტანდარტული ნაწილი“ და „არასტანდარტული ნაწილი გამოჩნდა“.

, აშკარად უდრის 10/21-ს, როგორც ზემოთ აღინიშნა. [ 1 ]

გამოვთვალოთ საპირისპირო მოვლენის ალბათობა A. მოვლენა არის ის, რომ შერჩეული რიცხვი არ შეიცავს არცერთ მოცემულ სამ ციფრს. [ 2 ]

ჯამი საპირისპირო მოვლენების ალბათობაერთის ტოლი. [ 3 ]

ამავე დროს საპირისპირო მოვლენის ალბათობა A იქნება 1-a-ზე მეტი, ანუ ის იქნება ერთთან, რამდენადაც A მოვლენის ალბათობა ნულს უახლოვდება.

ბილეთი No9

1. სიხშირის პოლიგონი ეწოდება გატეხილი ხაზი, რომლის სეგმენტები აკავშირებს წერტილებს ( x 1 ; n 1 ), (x 2 ; n 2 ), ..., (x k ; ნ კ ). სიხშირის მრავალკუთხედის ასაგებად, ვარიანტები გამოსახულია აბსცისის ღერძზე. x i , ხოლო ორდინატზე - შესაბამისი სიხშირეები n i . ქულები ( x i ; n i ) დაკავშირებულია სწორი სეგმენტებით და მიიღება სიხშირის მრავალკუთხედი

სიხშირის ჰისტოგრამაეწოდება საფეხურიანი ფიგურა, რომელიც შედგება ოთხკუთხედებისგან, რომელთა ფუძეები სიგრძის ნაწილობრივი ინტერვალებია თ და სიმაღლეები თანაფარდობის ტოლია NIH (სიხშირის სიმკვრივე).

2. მოვლენები ადა INდამოუკიდებელ თუ P(AB) = P(A) P(B).რამდენიმე მოვლენა ა, IN, თან,... დამოუკიდებელნი უწოდებენ, თუ მათი ერთობლივი განხორციელების ალბათობა უდრის თითოეული მათგანის ცალ-ცალკე ალბათობების ნამრავლს: რ(ABC…) = რ(ა)რ(IN)რ(თან)…

ზოგჯერ თანაფარდობა რ(AB) = რ(ა) რ(IN|ა) = პ(ბ)პ(ა|ბ), მოქმედებს პ(ა)პ(B) > 0, რომელსაც ასევე უწოდებენ ალბათობის გამრავლების თეორემას

ბილეთი No11

1) შემთხვევით ცვლადს X ეწოდება უწყვეტი (უწყვეტად განაწილებული) ცვლადი, თუ არსებობს არაუარყოფითი ფუნქცია p(t), განსაზღვრული მთელ რიცხვით ღერძზე, ისე, რომ ყველა x-ისთვის შემთხვევითი ცვლადის F(x) განაწილების ფუნქცია. ) უდრის:

.

ამ შემთხვევაში, ფუნქციას p(t) ეწოდება უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილების სიმკვრივე.

თუ ასეთი ფუნქცია p(t) არ არსებობს, მაშინ X არ არის უწყვეტად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადი.

ამრიგად, განაწილების სიმკვრივის ცოდნით, ფორმულის (6.7) გამოყენებით მარტივად შეგიძლიათ იპოვოთ განაწილების ფუნქცია F(x). და, პირიქით, ცნობილი განაწილების ფუნქციის გამოყენებით, განაწილების სიმკვრივე შეიძლება აღდგეს:

ალბათობის სიმკვრივის თვისებები

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი:

1. განაწილების სიმკვრივე არაუარყოფითი ფუნქციაა:

გეომეტრიულად, ეს ნიშნავს, რომ განაწილების სიმკვრივის გრაფიკი მდებარეობს Ox ღერძის ზემოთ ან ამ ღერძზე.

იმის გათვალისწინებით, რომ F(+¥)=1, მივიღებთ: =1. იმათ. ფართობი ალბათობის სიმკვრივის გრაფიკსა და x-ღერძს შორის უდრის ერთი.

ეს ორი თვისება დამახასიათებელია ალბათობის სიმკვრივის განაწილებისთვის. საპირისპირო განცხადება ასევე დადასტურებულია:

A და B მოვლენების ჯამი არის მესამე მოვლენა A + B, რომელიც ხდება მაშინ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მოხდება A ან B მოვლენადან ერთი მაინც.

A და B მოვლენების ნამრავლი არის მესამე მოვლენა AB, რომელიც ხდება თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ორივე მოვლენა A და B.

ორი მოვლენის ჯამისა და ნამრავლის ცნებები აშკარად გადადის მოვლენათა ნებისმიერი სიმრავლის შემთხვევაში.

A მოვლენის საპირისპირო მოვლენა არის მოვლენა, რომელიც ხდება თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მოვლენა A არ მოხდება.