არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრთა ჯამი. არითმეტიკული პროგრესიის მე-n წევრის ფორმულა როგორ ვიპოვოთ s არითმეტიკული პროგრესიაში

დიახ, დიახ: არითმეტიკული პროგრესია თქვენთვის სათამაშო არ არის :)

აბა, მეგობრებო, თუ თქვენ კითხულობთ ამ ტექსტს, მაშინ შიდა ქუდი-მტკიცებულება მეუბნება, რომ თქვენ ჯერ არ იცით რა არის არითმეტიკული პროგრესია, მაგრამ ნამდვილად (არა, ასე: SOOOOO!) გსურთ იცოდეთ. ამიტომ, გრძელი შესავლებით არ დაგტანჯავთ და პირდაპირ საქმეზე გადავალ.

პირველი, რამდენიმე მაგალითი. მოდით შევხედოთ რიცხვების რამდენიმე კომპლექტს:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

რა საერთო აქვს ყველა ამ კომპლექტს? ერთი შეხედვით არაფერი. მაგრამ რეალურად არის რაღაც. კერძოდ: ყოველი შემდეგი ელემენტი წინადან ერთი და იგივე რაოდენობით განსხვავდება.

თავად განსაჯეთ. პირველი ნაკრები უბრალოდ თანმიმდევრული რიცხვებია, ყოველი შემდეგი წინაზე ერთით მეტია. მეორე შემთხვევაში, მეზობელ რიცხვებს შორის სხვაობა უკვე ხუთია, მაგრამ ეს განსხვავება მაინც მუდმივია. მესამე შემთხვევაში, ფესვები საერთოდ არ არის. თუმცა, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ და $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, ე.ი. და ამ შემთხვევაში, ყოველი შემდეგი ელემენტი უბრალოდ იზრდება $\sqrt(2)$-ით (და ნუ გეშინიათ, რომ ეს რიცხვი ირაციონალურია).

ასე რომ: ყველა ასეთ მიმდევრობას არითმეტიკული პროგრესია ეწოდება. მოდით მივცეთ მკაცრი განმარტება:

განმარტება. რიცხვების თანმიმდევრობას, რომლებშიც ყოველი შემდეგი განსხვავდება წინადან ზუსტად იგივე რაოდენობით, არითმეტიკული პროგრესია ეწოდება. იმ რაოდენობას, რომლითაც რიცხვები განსხვავდება, ეწოდება პროგრესირების განსხვავება და ყველაზე ხშირად აღინიშნება ასო $d$-ით.

აღნიშვნა: $\left(((a)_(n)) \right)$ არის თავად პროგრესია, $d$ არის მისი განსხვავება.

და მხოლოდ რამდენიმე მნიშვნელოვანი შენიშვნა. პირველ რიგში, მხოლოდ პროგრესირება განიხილება უბრძანარიცხვების თანმიმდევრობა: ნებადართულია მათი წაკითხვა მკაცრად იმ თანმიმდევრობით, რომლითაც ისინი იწერება - და სხვა არაფერი. ნომრების გადაწყობა ან გაცვლა შეუძლებელია.

მეორეც, თანმიმდევრობა თავისთავად შეიძლება იყოს სასრული ან უსასრულო. მაგალითად, სიმრავლე (1; 2; 3) აშკარად არის სასრული არითმეტიკული პროგრესია. მაგრამ თუ რამეს წერთ სულით (1; 2; 3; 4; ...) - ეს უკვე უსასრულო პროგრესია. ოთხის შემდეგ ელიფსისი, როგორც ჩანს, მიანიშნებს იმაზე, რომ წინ კიდევ რამდენიმე რიცხვია. უსაზღვროდ ბევრი, მაგალითად.

ასევე მინდა აღვნიშნო, რომ პროგრესი შეიძლება იყოს მზარდი ან კლებადი. ჩვენ უკვე ვნახეთ მზარდი - იგივე ნაკრები (1; 2; 3; 4; ...). აქ მოცემულია პროგრესირების შემცირების მაგალითები:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

კარგი, კარგი: ბოლო მაგალითი შეიძლება ზედმეტად რთული ჩანდეს. მაგრამ დანარჩენი, ვფიქრობ, გესმით. ამიტომ, ჩვენ შემოგთავაზებთ ახალ განმარტებებს:

განმარტება. არითმეტიკული პროგრესია ეწოდება:

1. იზრდება, თუ ყოველი შემდეგი ელემენტი მეტია წინაზე;
2. მცირდება, თუ პირიქით, ყოველი მომდევნო ელემენტი წინაზე ნაკლებია.

გარდა ამისა, არსებობს ეგრეთ წოდებული "სტაციონარული" მიმდევრობები - ისინი შედგება იგივე განმეორებადი რიცხვისგან. მაგალითად, (3; 3; 3; ...).

რჩება მხოლოდ ერთი კითხვა: როგორ განვასხვავოთ მზარდი პროგრესი კლებისგან? საბედნიეროდ, აქ ყველაფერი დამოკიდებულია მხოლოდ $d$ რიცხვის ნიშანზე, ე.ი. პროგრესირების განსხვავებები:

1. თუ $d \gt 0$, მაშინ პროგრესია იზრდება;
2. თუ $d \lt 0$, მაშინ პროგრესი აშკარად მცირდება;
3. და ბოლოს, არის შემთხვევა $d=0$ - ამ შემთხვევაში მთელი პროგრესია მცირდება იდენტური რიცხვების სტაციონარულ მიმდევრობამდე: (1; 1; 1; 1; ...) და ა.შ.

შევეცადოთ გამოვთვალოთ სხვაობა $d$ ზემოთ მოცემული სამი კლებადი პროგრესიისთვის. ამისათვის საკმარისია აიღოთ ნებისმიერი ორი მომიჯნავე ელემენტი (მაგალითად, პირველი და მეორე) და გამოვაკლოთ მარცხნივ მდებარე რიცხვი მარჯვენა რიცხვს. ეს ასე გამოიყურება:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

როგორც ვხედავთ, სამივე შემთხვევაში განსხვავება რეალურად უარყოფითი აღმოჩნდა. ახლა კი, როდესაც ჩვენ მეტ-ნაკლებად გავარკვიეთ განმარტებები, დროა გაერკვნენ, თუ როგორ არის აღწერილი პროგრესიები და რა თვისებები აქვთ მათ.

პროგრესირების პირობები და განმეორების ფორმულა

ვინაიდან ჩვენი თანმიმდევრობის ელემენტების გაცვლა შეუძლებელია, მათი დანომრვა შესაძლებელია:

\[\ მარცხნივ(((ა)_(ნ)) \მარჯვნივ)=\მარცხნივ\(((ა)_(1)),\ ((ა)_(2)),((ა)_(3 )),... \მარჯვნივ\)\]

ამ ნაკრების ცალკეულ ელემენტებს პროგრესიის წევრებს უწოდებენ. ისინი მითითებულია რიცხვით: პირველი წევრი, მეორე წევრი და ა.შ.

გარდა ამისა, როგორც უკვე ვიცით, პროგრესირების მეზობელი ტერმინები დაკავშირებულია ფორმულით:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\მარჯვენა ისარი ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

მოკლედ, პროგრესიის $n$th ტერმინის საპოვნელად, თქვენ უნდა იცოდეთ $n-1$th წევრი და სხვაობა $d$. ამ ფორმულას ეწოდება განმეორებადი, რადგან მისი დახმარებით თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ ნებისმიერი რიცხვი მხოლოდ წინა (და სინამდვილეში, ყველა წინა) ცოდნით. ეს ძალიან მოუხერხებელია, ამიტომ არსებობს უფრო მზაკვრული ფორმულა, რომელიც ამცირებს ნებისმიერ გამოთვლას პირველ ტერმინამდე და განსხვავებაზე:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\მარცხნივ(n-1 \მარჯვნივ)d\]

თქვენ ალბათ უკვე წააწყდით ამ ფორმულას. მათ მოსწონთ მისი მიცემა ყველა სახის საცნობარო წიგნში და გადაწყვეტილების წიგნებში. და მათემატიკის ნებისმიერ საღად მოაზროვნე სახელმძღვანელოში ის ერთ-ერთი პირველია.

თუმცა, გირჩევთ, ცოტა ივარჯიშოთ.

დავალება No1. ჩაწერეთ პირველი სამი ტერმინი არითმეტიკული პროგრესია$\left(((a)_(n)) \მარჯვნივ)$ თუ $((a)_(1))=8,d=-5$.

გამოსავალი. ასე რომ, ჩვენ ვიცით პირველი წევრი $((a)_(1))=8$ და სხვაობა $d=-5$ პროგრესიაში. მოდით გამოვიყენოთ მოცემული ფორმულა და ჩავანაცვლოთ $n=1$, $n=2$ და $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \მარჯვნივ)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\მარცხნივ(1-1 \მარჯვნივ)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\მარცხნივ(2-1 \მარჯვნივ)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\მარცხნივ(3-1 \მარჯვნივ)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

პასუხი: (8; 3; −2)

ესე იგი! გთხოვთ გაითვალისწინოთ: ჩვენი პროგრესი მცირდება.

რა თქმა უნდა, $n=1$-ის ჩანაცვლება ვერ მოხერხდა - პირველი ტერმინი ჩვენთვის უკვე ცნობილია. თუმცა, ერთიანობის ჩანაცვლებით დავრწმუნდით, რომ პირველი ვადითაც კი ჩვენი ფორმულა მუშაობს. სხვა შემთხვევაში ყველაფერი ბანალურ არითმეტიკამდე მიდიოდა.

დავალება No2. ჩაწერეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი სამი წევრი, თუ მისი მეშვიდე წევრი უდრის -40-ს, ხოლო მეჩვიდმეტე წევრი უდრის -50-ს.

გამოსავალი. მოდით დავწეროთ პრობლემის მდგომარეობა ნაცნობი ტერმინებით:

\[((a)_(7))=-40;\ quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\მარცხნივ\( \დაწყება(გასწორება) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=(a) _(1))+16d \\ \ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

\[\მარცხნივ\( \დაწყება(გასწორება) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

სისტემის ნიშანი დავდე იმიტომ, რომ ეს მოთხოვნები ერთდროულად უნდა დაკმაყოფილდეს. ახლა აღვნიშნოთ, რომ თუ პირველს გამოვაკლებთ მეორე განტოლებას (ჩვენ გვაქვს ამის უფლება, რადგან გვაქვს სისტემა), მივიღებთ ამას:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \მარჯვნივ); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ასე ადვილია პროგრესის სხვაობის პოვნა! რჩება მხოლოდ ნაპოვნი რიცხვის ჩანაცვლება სისტემის რომელიმე განტოლებაში. მაგალითად, პირველში:

\[\ დასაწყისი(მატრიცა) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \ქვემოთ \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((ა)_(1))=-40+6=-34. \\ \ბოლო (მატრიცა)\]

ახლა, პირველი ტერმინისა და განსხვავების ცოდნით, რჩება მეორე და მესამე ტერმინების პოვნა:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

მზადაა! პრობლემა მოგვარებულია.

პასუხი: (−34; −35; −36)

დააკვირდით პროგრესიის საინტერესო თვისებას, რომელიც აღმოვაჩინეთ: თუ ავიღებთ $n$th და $m$th წევრებს და გამოვაკლებთ მათ ერთმანეთს, მივიღებთ პროგრესიის სხვაობას გამრავლებული $n-m$ რიცხვზე:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \მარცხნივ(n-m \მარჯვნივ)\]

მარტივი, მაგრამ ძალიან სასარგებლო თვისება, რომელიც აუცილებლად უნდა იცოდეთ - მისი დახმარებით შეგიძლიათ მნიშვნელოვნად დააჩქაროთ პროგრესირების მრავალი პრობლემის გადაჭრა. აი ამის ნათელი მაგალითი:

დავალება No3. არითმეტიკული პროგრესიის მეხუთე წევრი არის 8,4, ხოლო მისი მეათე წევრი არის 14,4. იპოვეთ ამ პროგრესიის მეთხუთმეტე წევრი.

გამოსავალი. ვინაიდან $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$ და ჩვენ უნდა ვიპოვოთ $((a)_(15))$, აღვნიშნავთ შემდეგს:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5დ. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

მაგრამ პირობით $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, შესაბამისად $5d=6$, საიდანაც გვაქვს:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

პასუხი: 20.4

ესე იგი! ჩვენ არ დაგვჭირდა განტოლებათა სისტემის შექმნა და პირველი წევრის და სხვაობის გამოთვლა - ყველაფერი მოგვარდა მხოლოდ რამდენიმე სტრიქონში.

ახლა მოდით შევხედოთ სხვა ტიპის პრობლემას - პროგრესის უარყოფითი და დადებითი ტერმინების ძიებას. საიდუმლო არ არის, რომ თუ პროგრესი იზრდება და მისი პირველი ტერმინი უარყოფითია, ადრე თუ გვიან მასში დადებითი ტერმინები გამოჩნდება. და პირიქით: კლებადი პროგრესირების პირობები ადრე თუ გვიან გახდება უარყოფითი.

ამავდროულად, ყოველთვის არ არის შესაძლებელი ამ მომენტის პოვნა „პირისპირ“ ელემენტების თანმიმდევრული გავლის გზით. ხშირად პრობლემები ისე იწერება, რომ ფორმულების ცოდნის გარეშე გამოთვლებს რამდენიმე ფურცელი დასჭირდება - პასუხის პოვნისას უბრალოდ დავიძინებდით. ამიტომ, შევეცადოთ ეს პრობლემები უფრო სწრაფად მოვაგვაროთ.

დავალება No4. რამდენი უარყოფითი წევრია არითმეტიკული პროგრესიაში −38,5; −35,8; ...?

გამოსავალი. ასე რომ, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, საიდანაც მაშინვე ვპოულობთ განსხვავებას:

გაითვალისწინეთ, რომ განსხვავება დადებითია, ამიტომ პროგრესირება იზრდება. პირველი წევრი უარყოფითია, ასე რომ, რაღაც მომენტში ჩვენ წავაწყდებით დადებით რიცხვებს. ერთადერთი საკითხია, როდის მოხდება ეს.

შევეცადოთ გავარკვიოთ რამდენ ხანს (ე.ი. რომელ ბუნებრივ რიცხვამდე $n$) რჩება ტერმინების ნეგატიურობა:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\მარცხნივ(n-1 \მარჯვნივ)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \მარჯვნივ. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ბოლო სტრიქონი გარკვეულ ახსნას მოითხოვს. ასე რომ, ჩვენ ვიცით, რომ $n \lt 15\frac(7)(27)$. მეორეს მხრივ, ჩვენ ვკმაყოფილდებით რიცხვის მხოლოდ მთელი მნიშვნელობებით (უფრო მეტიც: $n\in \mathbb(N)$), ამიტომ ყველაზე დიდი დასაშვები რიცხვი არის ზუსტად $n=15$ და არავითარ შემთხვევაში 16. .

დავალება No5. არითმეტიკული პროგრესიით $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. იპოვეთ ამ პროგრესიის პირველი დადებითი წევრის რიცხვი.

ეს იქნება ზუსტად იგივე პრობლემა, როგორც წინა, მაგრამ ჩვენ არ ვიცით $((a)_(1))$. მაგრამ მეზობელი ტერმინები ცნობილია: $((a)_(5))$ და $((a)_(6))$, ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია მარტივად ვიპოვოთ პროგრესიის განსხვავება:

გარდა ამისა, შევეცადოთ გამოვხატოთ მეხუთე ტერმინი პირველში და განსხვავება სტანდარტული ფორმულის გამოყენებით:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ახლა ჩვენ გავაგრძელებთ ანალოგიით წინა დავალება. მოდით გავარკვიოთ ჩვენი მიმდევრობის რომელ მომენტში გამოჩნდება დადებითი რიცხვები:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \მარჯვნივ)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\მარჯვენა ისარი ((n)_(\წთ))=56. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ამ უტოლობის მინიმალური მთელი რიცხვი არის რიცხვი 56.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ: ბოლო ამოცანაში ეს ყველაფერი ჩამოყალიბდა მკაცრი უთანასწორობაასე რომ, ვარიანტი $n=55$ არ მოგვწონს.

ახლა, როდესაც ვისწავლეთ მარტივი პრობლემების გადაჭრა, მოდით გადავიდეთ უფრო რთულზე. ოღონდ ჯერ შევისწავლოთ არითმეტიკული პროგრესიების კიდევ ერთი ძალიან სასარგებლო თვისება, რომელიც დაგვიზოგავს უამრავ დროს და არათანაბარ უჯრედებს მომავალში.

საშუალო არითმეტიკული და თანაბარი ჩაღრმავები

განვიხილოთ $\left((a)_(n)) \right)$ მზარდი არითმეტიკული პროგრესიის რამდენიმე თანმიმდევრული წევრი. შევეცადოთ აღვნიშნოთ ისინი რიცხვით ხაზზე:

რიცხვთა წრფეზე არითმეტიკული პროგრესიის პირობები

მე კონკრეტულად აღვნიშნე თვითნებური ტერმინები $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, და არა ზოგიერთი $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ და ა.შ. იმის გამო, რომ წესი, რომლის შესახებაც ახლა მოგიყვებით, იგივე მუშაობს ნებისმიერი "სეგმენტისთვის".

და წესი ძალიან მარტივია. გავიხსენოთ განმეორებითი ფორმულა და დავწეროთ ყველა მონიშნული ტერმინისთვის:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \ბოლო (გასწორება)\]

თუმცა, ეს თანასწორობები შეიძლება სხვაგვარად გადაიწეროს:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \ბოლო (გასწორება)\]

მერე რა? და ის ფაქტი, რომ ტერმინები $((a)_(n-1))$ და $((a)_(n+1))$ ერთსა და იმავე მანძილზეა $((a)_(n)) $-დან. . და ეს მანძილი $d$-ის ტოლია. იგივე შეიძლება ითქვას ტერმინებზე $((a)_(n-2))$ და $((a)_(n+2))$ - ისინი ასევე ამოღებულია $((a)_(n)-დან. )$ იმავე მანძილზე უდრის $2d$-ს. ჩვენ შეგვიძლია გავაგრძელოთ უსასრულოდ, მაგრამ მნიშვნელობა კარგად არის ილუსტრირებული სურათზე

პროგრესირების პირობები დევს ცენტრიდან იმავე მანძილზე

რას ნიშნავს ეს ჩვენთვის? ეს ნიშნავს, რომ $((a)_(n))$ შეიძლება მოიძებნოს, თუ ცნობილია მეზობელი ნომრები:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

ჩვენ მივიღეთ შესანიშნავი განცხადება: არითმეტიკული პროგრესიის ყოველი წევრი უდრის მისი მეზობელი ტერმინების საშუალო არითმეტიკულს! უფრო მეტიც: ჩვენ შეგვიძლია დავიხიოთ $((a)_(n))$-დან მარცხნივ და მარჯვნივ არა ერთი ნაბიჯით, არამედ $k$ ნაბიჯებით - და ფორმულა მაინც სწორი იქნება:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

იმათ. ჩვენ მარტივად შეგვიძლია ვიპოვოთ $((a)_(150))$ თუ ვიცით $((a)_(100))$ და $((a)_(200))$, რადგან $((a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. ერთი შეხედვით შეიძლება მოგვეჩვენოს, რომ ეს ფაქტი არაფერს გვაძლევს სასარგებლოს. თუმცა, პრაქტიკაში, ბევრი პრობლემა სპეციალურად არის მორგებული საშუალო არითმეტიკის გამოსაყენებლად. შეხედე:

დავალება No6. იპოვეთ $x$-ის ყველა მნიშვნელობა, რომლისთვისაც რიცხვები $-6((x)^(2))$, $x+1$ და $14+4((x)^(2))$ არის თანმიმდევრული ტერმინები. არითმეტიკული პროგრესია (მითითებული თანმიმდევრობით).

გამოსავალი. ვინაიდან ეს რიცხვები პროგრესიის წევრები არიან, მათთვის საშუალო არითმეტიკული პირობა დაკმაყოფილებულია: ცენტრალური ელემენტი $x+1$ შეიძლება გამოისახოს მეზობელი ელემენტების მიხედვით:

\[\begin(გასწორება) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

შედეგი არის კლასიკური კვადრატული განტოლება. მისი ფესვები: $x=2$ და $x=-3$ არის პასუხები.

პასუხი: −3; 2.

დავალება No7. იპოვეთ $$-ის მნიშვნელობები, რომლებისთვისაც რიცხვები $-1;4-3;(()^(2))+1$ ქმნიან არითმეტიკულ პროგრესიას (ამ თანმიმდევრობით).

გამოსავალი. მოდით კვლავ გამოვხატოთ შუა რიცხვი მეზობელი ტერმინების საშუალო არითმეტიკული საშუალებით:

\[\begin(გასწორება) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \მარცხნივ| \cdot 2 \მარჯვნივ.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ისევ კვადრატული განტოლება. და ისევ არის ორი ფესვი: $x=6$ და $x=1$.

პასუხი: 1; 6.

თუ პრობლემის გადაჭრის პროცესში გამოგივათ რაღაც სასტიკი რიცხვები, ან ბოლომდე დარწმუნებული არ ხართ ნაპოვნი პასუხების სისწორეში, მაშინ არსებობს შესანიშნავი ტექნიკა, რომელიც საშუალებას გაძლევთ შეამოწმოთ: სწორად გადავწყვიტეთ პრობლემა?

ვთქვათ, მე-6 ამოცანაში მივიღეთ პასუხები −3 და 2. როგორ შევამოწმოთ, რომ ეს პასუხები სწორია? მოდით შევაერთოთ ისინი თავდაპირველ მდგომარეობაში და ვნახოთ რა მოხდება. შეგახსენებთ, რომ გვაქვს სამი რიცხვი ($-6(()^(2))$, $+1$ და $14+4(()^(2))$), რომლებიც არითმეტიკულ პროგრესიას უნდა ქმნიან. მოდით ჩავანაცვლოთ $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \ბოლო (გასწორება)\]

მივიღეთ რიცხვები −54; −2; 50, რომელიც განსხვავდება 52-ით, უდავოდ არის არითმეტიკული პროგრესია. იგივე ხდება $x=2$-ზე:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & x=2\მარჯვენა ისარი \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \ბოლო (გასწორება)\]

ისევ პროგრესია, მაგრამ 27-ის სხვაობით. ამრიგად, პრობლემა სწორად მოგვარდა. მსურველებს შეუძლიათ დამოუკიდებლად შეამოწმონ მეორე პრობლემა, მაგრამ მე მაშინვე ვიტყვი: იქაც ყველაფერი სწორია.

ზოგადად, ბოლო პრობლემების გადაჭრისას სხვას წავაწყდით საინტერესო ფაქტი, რომელიც ასევე უნდა გვახსოვდეს:

თუ სამი რიცხვი ისეთია, რომ მეორე შუაშია ჯერ არითმეტიკადა ბოლოს, შემდეგ ეს რიცხვები ქმნიან არითმეტიკულ პროგრესიას.

მომავალში, ამ განცხადების გაგება საშუალებას მოგვცემს ფაქტიურად „ავაშენოთ“ საჭირო პროგრესი პრობლემის პირობებზე დაყრდნობით. მაგრამ სანამ ასეთ „მშენებლობაში“ ჩაერთვებით, ყურადღება უნდა მივაქციოთ კიდევ ერთ ფაქტს, რომელიც პირდაპირ გამომდინარეობს უკვე განხილულიდან.

ელემენტების დაჯგუფება და შეჯამება

ისევ რიცხვთა ღერძს დავუბრუნდეთ. აქვე აღვნიშნოთ პროგრესის რამდენიმე წევრი, რომელთა შორის, შესაძლოა. ღირს ბევრი სხვა წევრი:

რიცხვთა ხაზზე მონიშნულია 6 ელემენტი

შევეცადოთ გამოვხატოთ „მარცხენა კუდი“ $((a)_(n))$-ით და $d$-ით, ხოლო „მარჯვენა კუდი“ $((a)_(k))$-ით და $d$-ით. ძალიან მარტივია:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((ა)_(კ-1))=((ა)_(კ))-დ; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ახლა გაითვალისწინეთ, რომ შემდეგი თანხები ტოლია:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= ს. \ბოლო (გასწორება)\]

მარტივად რომ ვთქვათ, თუ დასაწყისად განვიხილავთ პროგრესიის ორ ელემენტს, რომლებიც მთლიანობაში უდრის რაღაც რიცხვს $S$ და შემდეგ დავიწყებთ ამ ელემენტებიდან გადადგმულ ნაბიჯს საპირისპირო მიმართულებით (ერთმანეთისკენ ან პირიქით გადაადგილებისთვის), მაშინ ელემენტების ჯამები, რომლებზეც ჩვენ წავაწყდებით, ასევე ტოლი იქნება$S$. ეს შეიძლება იყოს ყველაზე ნათლად წარმოდგენილი გრაფიკულად:

თანაბარი ჩაღრმავები იძლევა თანაბარ რაოდენობას

ამ ფაქტის გაგება საშუალებას მოგვცემს გადავჭრათ ფუნდამენტურად უფრო მაღალი დონის სირთულის პრობლემები, ვიდრე ზემოთ განვიხილეთ. მაგალითად, ესენი:

დავალება No8. დაადგინეთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა, რომელშიც პირველი წევრი არის 66, ხოლო მეორე და მეთორმეტე წევრის ნამრავლი ყველაზე მცირეა.

გამოსავალი. მოდით დავწეროთ ყველაფერი, რაც ვიცით:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\წთ. \ბოლო (გასწორება)\]

ასე რომ, ჩვენ არ ვიცით პროგრესირების სხვაობა $d$. სინამდვილეში, მთელი გამოსავალი აგებული იქნება სხვაობის გარშემო, ვინაიდან პროდუქტი $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

\[\begin(გასწორება) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\მარცხნივ(66+d \მარჯვნივ)\cdot \left(66+11d \მარჯვნივ)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \მარჯვნივ)\cdot \left(d+6 \მარჯვნივ). \ბოლო (გასწორება)\]

ავზში მყოფთათვის: მე ავიღე 11-ის საერთო მულტიპლიკატორი მეორე ფრჩხილიდან. ამრიგად, საჭირო პროდუქტი არის კვადრატული ფუნქცია $d$ ცვლადის მიმართ. ამიტომ, განიხილეთ ფუნქცია $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - მისი გრაფიკი იქნება პარაბოლა ტოტებით ზემოთ, რადგან თუ გავაფართოვებთ ფრჩხილებს, მივიღებთ:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & f\ მარცხნივ(d \მარჯვნივ)=11\მარცხნივ(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \მარჯვნივ)= \\ & =11(( დ)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end (გასწორება)\]

როგორც ხედავთ, უმაღლესი წევრის კოეფიციენტი არის 11 - ეს არის დადებითი რიცხვი, ასე რომ, ჩვენ ნამდვილად გვაქვს საქმე პარაბოლასთან აღმავალი ტოტებით:

განრიგი კვადრატული ფუნქცია- პარაბოლა

გთხოვთ გაითვალისწინოთ: ეს პარაბოლა იღებს თავის მინიმალურ მნიშვნელობას თავის წვეროზე $((d)_(0))$ აბსცისით. რა თქმა უნდა, ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ ეს აბსციზა სტანდარტული სქემის გამოყენებით (არსებობს ფორმულა $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), მაგრამ უფრო გონივრული იქნებოდა აღნიშვნა. რომ სასურველი წვერო დევს პარაბოლას ღერძის სიმეტრიაზე, ამიტომ წერტილი $((d)_(0))$ თანაბარი მანძილით არის დაშორებული $f\left(d \right)=0$ განტოლების ფესვებისგან:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((დ)_(1))=-66;\ოთხი ((დ)_(2))=-6. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ამიტომაც არ ვჩქარობდი ფრჩხილების გახსნას: თავდაპირველი სახით ფესვები ძალიან, ძალიან ადვილი საპოვნელი იყო. მაშასადამე, აბსციზა უდრის −66 და −6 რიცხვების საშუალო არითმეტიკულს:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

რას გვაძლევს აღმოჩენილი რიცხვი? მასთან ერთად, საჭირო პროდუქტი იღებს უმცირესი ღირებულება(სხვათა შორის, ჩვენ არასდროს გამოვთვალეთ $((y)_(\min ))$ - ეს ჩვენგან არ არის საჭირო). ამავდროულად, ეს რიცხვი არის ორიგინალური პროგრესიის განსხვავება, ე.ი. ვიპოვეთ პასუხი. :)

პასუხი: -36

დავალება No9. $-\frac(1)(2)$ და $-\frac(1)(6)$ რიცხვებს შორის ჩადეთ სამი რიცხვი ისე, რომ ამ ციფრებთან ერთად მათ შექმნან არითმეტიკული პროგრესია.

გამოსავალი. არსებითად, ჩვენ უნდა შევქმნათ ხუთი რიცხვის მიმდევრობა, პირველი და ბოლო რიცხვი უკვე ცნობილია. გამოტოვებული რიცხვები ავღნიშნოთ $x$, $y$ და $z$ ცვლადებით:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \მარჯვნივ\ )\]

გაითვალისწინეთ, რომ რიცხვი $y$ არის ჩვენი მიმდევრობის „შუა“ - ის თანაბარი მანძილით არის დაშორებული $x$ და $z$ რიცხვებისგან და $-\frac(1)(2)$ და $-\frac რიცხვებისგან. (1)(6)$. და თუ ამჟამად ვერ მივიღებთ $y$-ს $x$ და $z$ რიცხვებიდან, მაშინ სიტუაცია განსხვავებულია პროგრესიის ბოლოებთან დაკავშირებით. გავიხსენოთ საშუალო არითმეტიკული:

ახლა, ვიცით $y$, ჩვენ ვიპოვით დარჩენილ ნომრებს. გაითვალისწინეთ, რომ $x$ დევს რიცხვებს შორის: $-\frac(1)(2)$ და $y=-\frac(1)(3)$, რომელიც ახლახან ვიპოვეთ. ამიტომაც

მსგავსი მსჯელობის გამოყენებით ვპოულობთ დარჩენილ რიცხვს:

მზადაა! სამივე ნომერი ვიპოვეთ. დავწეროთ ისინი პასუხში იმ თანმიმდევრობით, რომლითაც ისინი უნდა იყოს ჩასმული თავდაპირველ რიცხვებს შორის.

პასუხი: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

დავალება No10. 2 და 42 რიცხვებს შორის ჩასვით რამდენიმე რიცხვი, რომლებიც ამ რიცხვებთან ერთად ქმნიან არითმეტიკულ პროგრესიას, თუ იცით, რომ ჩასმული რიცხვებიდან პირველი, მეორე და ბოლო ჯამი არის 56.

გამოსავალი. კიდევ უფრო რთული პრობლემა, რომელიც, თუმცა, წყდება იგივე სქემით, როგორც წინა - საშუალო არითმეტიკული საშუალებით. პრობლემა ის არის, რომ ზუსტად არ ვიცით რამდენი რიცხვის ჩასმაა საჭირო. მაშასადამე, დანამდვილებით დავუშვათ, რომ ყველაფრის ჩასმის შემდეგ იქნება ზუსტად $n$ რიცხვები და მათგან პირველი არის 2, ხოლო ბოლო არის 42. ამ შემთხვევაში, საჭირო არითმეტიკული პროგრესია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სახით:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( ა)_(n-1));42 \მარჯვნივ\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

თუმცა გაითვალისწინეთ, რომ რიცხვები $((a)_(2))$ და $((a)_(n-1))$ მიღებულია 2 და 42 რიცხვებიდან კიდეებზე ერთი ნაბიჯით ერთმანეთისკენ. ე.ი. მიმდევრობის ცენტრამდე. და ეს იმას ნიშნავს

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

მაგრამ შემდეგ ზემოთ დაწერილი გამოთქმა შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \მარჯვნივ)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

თუ ვიცით $((a)_(3))$ და $((a)_(1))$, ჩვენ მარტივად შეგვიძლია ვიპოვოთ პროგრესიის განსხვავება:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((ა)_(3))-((ა)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\მარცხნივ(3-1 \მარჯვნივ)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\მარჯვენა ისარი d=5. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

რჩება მხოლოდ დარჩენილი პირობების პოვნა:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ამრიგად, უკვე მე-9 საფეხურზე მივალთ მიმდევრობის მარცხენა ბოლოში - რიცხვი 42. ჯამში მხოლოდ 7 რიცხვის ჩასმა იყო საჭირო: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

პასუხი: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

სიტყვის პრობლემები პროგრესირებასთან

დასასრულს, მსურს განვიხილო რამდენიმე შედარებით მარტივი პრობლემა. ასე მარტივია: სტუდენტების უმრავლესობისთვის, რომლებიც მათემატიკას სწავლობენ სკოლაში და არ წაკითხული აქვთ ზემოთ დაწერილი, ეს პრობლემები შეიძლება რთული ჩანდეს. მიუხედავად ამისა, ეს არის პრობლემების ტიპები, რომლებიც ჩნდება OGE-სა და მათემატიკაში ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე, ამიტომ გირჩევთ გაეცნოთ მათ.

დავალება No11. გუნდმა იანვარში დაამზადა 62 ნაწილი, ხოლო ყოველ მომდევნო თვეში 14-ით მეტი ნაწილი გამოუშვა, ვიდრე წინა თვეში. რამდენი ნაწილი დაამზადა გუნდმა ნოემბერში?

გამოსავალი. ცხადია, თვეების მიხედვით ჩამოთვლილი ნაწილების რაოდენობა წარმოადგენს მზარდ არითმეტიკულ პროგრესს. უფრო მეტიც:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\მარცხნივ(n-1 \მარჯვნივ)\cdot 14. \\ \end (გასწორება)\]

ნოემბერი არის წლის მე-11 თვე, ამიტომ ჩვენ უნდა ვიპოვოთ $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

შესაბამისად, ნოემბერში 202 ნაწილის წარმოება მოხდება.

დავალება No12. იანვარში წიგნების აკინძვის სახელოსნომ 216 წიგნი შეკრა, ხოლო ყოველ მომდევნო თვეში წინა თვესთან შედარებით 4 წიგნით მეტი შეკრა. რამდენი წიგნი შეიკრა სახელოსნომ დეკემბერში?

გამოსავალი. ყველაფერი იგივეა:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\მარცხნივ(n-1 \მარჯვნივ)\cdot 4. \\ \end (გასწორება)$

დეკემბერი არის წლის ბოლო, მე-12 თვე, ამიტომ ჩვენ ვეძებთ $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

ეს არის პასუხი - დეკემბერში 260 წიგნი იკვრება.

აბა, თუ აქამდე წაიკითხეთ, მეჩქარება მოგილოცოთ: თქვენ წარმატებით დაასრულეთ არითმეტიკული პროგრესიების "ახალგაზრდა მებრძოლის კურსი". შეგიძლიათ უსაფრთხოდ გადახვიდეთ შემდეგ გაკვეთილზე, სადაც შევისწავლით პროგრესირების ჯამის ფორმულას, ასევე მისგან მნიშვნელოვან და ძალიან სასარგებლო შედეგებს.

მათემატიკას აქვს თავისი სილამაზე, ისევე როგორც მხატვრობა და პოეზია.

რუსი მეცნიერი, მექანიკოსი ნ.ე. ჟუკოვსკი

ძალიან გავრცელებული ამოცანები მისაღები გამოცდებიმათემატიკაში არის არითმეტიკული პროგრესიის კონცეფციასთან დაკავშირებული პრობლემები. ასეთი პრობლემების წარმატებით გადასაჭრელად თქვენ უნდა გქონდეთ არითმეტიკული პროგრესიის თვისებების კარგად ცოდნა და მათი გამოყენების გარკვეული უნარები.

ჯერ გავიხსენოთ არითმეტიკული პროგრესიის ძირითადი თვისებები და წარმოგიდგინოთ ყველაზე მნიშვნელოვანი ფორმულები, დაკავშირებულია ამ კონცეფციასთან.

განმარტება. რიცხვების თანმიმდევრობა, რომლებშიც ყოველი მომდევნო ტერმინი წინადან ერთი და იგივე რიცხვით განსხვავდება, არითმეტიკული პროგრესია ეწოდება. ამ შემთხვევაში ნომერიპროგრესირების განსხვავებას უწოდებენ.

არითმეტიკული პროგრესიისთვის მოქმედებს შემდეგი ფორმულები:

, (1)

სად . ფორმულა (1) ეწოდება არითმეტიკული პროგრესიის ზოგადი ტერმინის ფორმულას, ხოლო ფორმულა (2) წარმოადგენს არითმეტიკული პროგრესიის ძირითად თვისებას: პროგრესიის ყოველი წევრი ემთხვევა მისი მეზობელი ტერმინების საშუალო არითმეტიკას და .

გაითვალისწინეთ, რომ სწორედ ამ თვისების გამო განხილულ პროგრესიას ეწოდება "არითმეტიკა".

ზემოთ მოყვანილი ფორმულები (1) და (2) განზოგადებულია შემდეგნაირად:

(3)

თანხის გამოსათვლელადპირველი არითმეტიკული პროგრესიის პირობებიფორმულა ჩვეულებრივ გამოიყენება

(5) სად და .

თუ გავითვალისწინებთ ფორმულას (1), შემდეგ (5) ფორმულიდან გამომდინარეობს

თუ აღვნიშნავთ, მაშინ

სად . ვინაიდან , ფორმულები (7) და (8) არის შესაბამისი ფორმულების (5) და (6) განზოგადება.

კერძოდ, ფორმულიდან (5) გამომდინარეობს, რა

სტუდენტების უმეტესობისთვის ნაკლებად ცნობილია არითმეტიკული პროგრესიის თვისება, რომელიც ჩამოყალიბებულია შემდეგი თეორემით.

თეორემა.თუ, მაშინ

მტკიცებულება.თუ, მაშინ

თეორემა დადასტურდა.

მაგალითად, თეორემის გამოყენებით, შეიძლება იმის ჩვენება, რომ

მოდით გადავიდეთ პრობლემის გადაჭრის ტიპური მაგალითების განხილვაზე თემაზე „არითმეტიკული პროგრესია“.

მაგალითი 1.დაე იყოს. იპოვე .

გამოსავალი.ფორმულის (6) გამოყენებით ვიღებთ. მას შემდეგ, რაც და, მაშინ ან.

მაგალითი 2.მოდით იყოს სამჯერ მეტი, და როდესაც იყოფა კოეფიციენტზე, შედეგი არის 2 და დარჩენილი არის 8. განვსაზღვროთ და .

გამოსავალი.მაგალითის პირობებიდან გამომდინარეობს განტოლებათა სისტემა

ვინაიდან , , და , მაშინ განტოლებათა სისტემიდან (10) ვიღებთ

განტოლებათა ამ სისტემის ამონახსნი არის და.

მაგალითი 3.იპოვეთ თუ და.

გამოსავალი.(5) ფორმულის მიხედვით გვაქვს ან . თუმცა, ქონების (9) გამოყენებით ვიღებთ .

მას შემდეგ, რაც და, მაშინ თანასწორობიდან განტოლება შემდეგნაირადან .

მაგალითი 4.იპოვეთ თუ.

გამოსავალი.ფორმულის მიხედვით (5) გვაქვს

თუმცა, თეორემის გამოყენებით შეგვიძლია დავწეროთ

აქედან და ფორმულიდან (11) ვიღებთ .

მაგალითი 5. მოცემული: . იპოვე .

გამოსავალი.მას შემდეგ. თუმცა, ამიტომ.

მაგალითი 6.დაე , და . იპოვე .

გამოსავალი.ფორმულის (9) გამოყენებით ვიღებთ. ამიტომ, თუ , მაშინ ან .

მას შემდეგ, რაც და მაშინ აქ გვაქვს განტოლებათა სისტემა

რომლის ამოხსნაც მივიღებთ და .

განტოლების ბუნებრივი ფესვიარის .

მაგალითი 7.იპოვეთ თუ და.

გამოსავალი.ვინაიდან (3) ფორმულის მიხედვით გვაქვს ეს, მაშინ განტოლებათა სისტემა გამომდინარეობს პრობლემის პირობებიდან

თუ გამონათქვამს შევცვლითსისტემის მეორე განტოლებაში, მაშინ მივიღებთ ან .

ფესვები კვადრატული განტოლებაარიანდა .

განვიხილოთ ორი შემთხვევა.

1. მოდით, მაშინ. მას მერე და მერე .

ამ შემთხვევაში, ფორმულის მიხედვით (6) გვაქვს

2. თუ , მაშინ , და

პასუხი: და.

მაგალითი 8.ცნობილია, რომ და. იპოვე .

გამოსავალი.ფორმულის (5) და მაგალითის მდგომარეობის გათვალისწინებით ვწერთ და .

ეს გულისხმობს განტოლებათა სისტემას

თუ სისტემის პირველ განტოლებას გავამრავლებთ 2-ზე და შემდეგ დავუმატებთ მეორე განტოლებას, მივიღებთ

ფორმულის მიხედვით (9) გვაქვს. ამასთან დაკავშირებით, ეს გამომდინარეობს (12)ან .

მას მერე და მერე .

პასუხი:.

მაგალითი 9.იპოვეთ თუ და.

გამოსავალი.ვინაიდან და პირობით , მაშინ ან .

ფორმულიდან (5) ცნობილიარა . მას შემდეგ.

აქედან გამომდინარე, აქ გვაქვს წრფივი განტოლებათა სისტემა

აქედან ვიღებთ და . ფორმულის (8) გათვალისწინებით, ჩვენ ვწერთ.

მაგალითი 10.ამოხსენით განტოლება.

გამოსავალი.მოცემული განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ . დავუშვათ , რომ , და . იმ შემთხვევაში.

(1) ფორმულის მიხედვით შეგვიძლია დავწეროთ ან .

ვინაიდან , მაშინ განტოლებას (13) აქვს ერთადერთი შესაფერისი ფესვი.

მაგალითი 11.იპოვეთ მაქსიმალური მნიშვნელობა იმ პირობით, რომ და .

გამოსავალი.მას შემდეგ, რაც , მაშინ განხილული არითმეტიკული პროგრესია მცირდება. ამასთან დაკავშირებით, გამოხატულება იღებს თავის მაქსიმალურ მნიშვნელობას, როდესაც ეს არის პროგრესირების მინიმალური დადებითი წევრის რიცხვი.

გამოვიყენოთ ფორმულა (1) და ფაქტი, რომ და . მაშინ მივიღებთ ამას ან.

მას შემდეგ ან . თუმცა ამ უთანასწორობაშიუდიდესი ბუნებრივი რიცხვი, სწორედ ამიტომ.

თუ და-ს მნიშვნელობები ჩანაცვლებულია ფორმულაში (6), მივიღებთ.

პასუხი:.

მაგალითი 12.დაადგინეთ ყველა ორნიშნა ჯამი ნატურალური რიცხვები, რომელიც 6-ზე გაყოფისას ტოვებს ნარჩენს 5-ს.

გამოსავალი.ავღნიშნოთ ყველა ორნიშნა ნატურალური რიცხვის სიმრავლით, ე.ი. . შემდეგი, ჩვენ ავაშენებთ ქვესიმრავლეს, რომელიც შედგება სიმრავლის იმ ელემენტებისაგან (რიცხვებისგან), რომლებიც 6-ზე გაყოფისას მიიღებენ ნარჩენს 5-ს.

მარტივი ინსტალაციარა . ცხადია, რომ ნაკრების ელემენტებიარითმეტიკული პროგრესიის ფორმირება, რომელშიც და .

ნაკრების კარდინალურობის (ელემენტების რაოდენობის) დასადგენად, ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ . ვინაიდან და , ეს გამომდინარეობს ფორმულიდან (1) ან . ფორმულის (5) გათვალისწინებით, ვიღებთ.

პრობლემის გადაჭრის ზემოთ მოყვანილი მაგალითები არავითარ შემთხვევაში არ შეიძლება იყოს ამომწურავი. ეს სტატია დაწერილია ანალიზის საფუძველზე თანამედროვე მეთოდებიგადაწყვეტილებები ტიპიური ამოცანებიმოცემულ თემაზე. არითმეტიკული პროგრესიასთან დაკავშირებული ამოცანების გადაჭრის მეთოდების უფრო ღრმა შესწავლისთვის მიზანშეწონილია მიმართოთ რეკომენდებული ლიტერატურის ჩამონათვალს.

1. მათემატიკაში ამოცანების კრებული კოლეჯების მსურველთათვის / რედ. მ.ი. სკანავი. - მ.: მშვიდობა და განათლება, 2013. – 608გვ.

2. სუპრუნი ვ.პ. მათემატიკა საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის: დამატებითი სექციები სკოლის სასწავლო გეგმა. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216გვ.

3. მედინსკი მ.მ. ელემენტარული მათემატიკის სრული კურსი ამოცანებსა და სავარჯიშოებში. წიგნი 2: რიცხვების თანმიმდევრობა და პროგრესი. – მ.: ედიტუსი, 2015. – 208გვ.

ჯერ კიდევ გაქვთ შეკითხვები?

დამრიგებლის დახმარების მისაღებად დარეგისტრირდით.

ვებსაიტზე, მასალის სრულად ან ნაწილობრივ კოპირებისას საჭიროა წყაროს ბმული.

ზოგიერთი ადამიანი სიტყვა „პროგრესს“ სიფრთხილით ეპყრობა, როგორც ძალიან რთული ტერმინისექციებიდან უმაღლესი მათემატიკა. იმავდროულად, უმარტივესი არითმეტიკული პროგრესია არის ტაქსის მრიცხველის მუშაობა (სადაც ისინი ჯერ კიდევ არსებობს). და არითმეტიკული თანმიმდევრობის არსის გაგება (და მათემატიკაში არაფერია უფრო მნიშვნელოვანი, ვიდრე „არსის მიღება“) არც ისე რთულია, რამდენიმე ელემენტარული ცნების გაანალიზებით.

მათემატიკური რიცხვების თანმიმდევრობა

ციფრულ თანმიმდევრობას ჩვეულებრივ უწოდებენ რიცხვების სერიას, რომელთაგან თითოეულს აქვს საკუთარი ნომერი.

a 1 არის მიმდევრობის პირველი წევრი;

და 2 არის რიგითობის მეორე წევრი;

და 7 არის რიგითობის მეშვიდე წევრი;

და n არის მიმდევრობის n-ე წევრი;

თუმცა, რიცხვებისა და რიცხვების რაიმე თვითნებური ნაკრები არ გვაინტერესებს. ჩვენ ყურადღებას გავამახვილებთ რიცხვით მიმდევრობაზე, რომელშიც n-ე წევრის მნიშვნელობა დაკავშირებულია მის რიგით რიცხვთან ურთიერთობით, რომელიც შეიძლება მკაფიოდ ჩამოყალიბდეს მათემატიკურად. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ: რიცხვითი მნიშვნელობა n-ე რიცხვი არის n-ის გარკვეული ფუნქცია.

a არის რიცხვითი მიმდევრობის წევრის მნიშვნელობა;

n არის მისი სერიული ნომერი;

f(n) არის ფუნქცია, სადაც n რიცხვითი მიმდევრობის რიგითი რიცხვი არის არგუმენტი.

განმარტება

არითმეტიკულ პროგრესიას ჩვეულებრივ უწოდებენ რიცხვითი თანმიმდევრობას, რომელშიც ყოველი მომდევნო წევრი უფრო მეტია (ნაკლები) ვიდრე წინა ერთი და იგივე რიცხვით. არითმეტიკული მიმდევრობის n-ე წევრის ფორმულა ასეთია:

a n - არითმეტიკული პროგრესიის მიმდინარე წევრის მნიშვნელობა;

a n+1 - შემდეგი რიცხვის ფორმულა;

d - განსხვავება (გარკვეული რიცხვი).

ადვილია იმის დადგენა, რომ თუ სხვაობა დადებითია (d>0), მაშინ განხილული სერიების ყოველი მომდევნო წევრი წინაზე მეტი იქნება და ასეთი არითმეტიკული პროგრესია გაიზრდება.

ქვემოთ მოცემულ დიაგრამაში ადვილი გასაგებია რატომ რიცხვების თანმიმდევრობასახელწოდებით "მზარდი".

იმ შემთხვევებში, როდესაც განსხვავება უარყოფითია (დ<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

მითითებული წევრის ღირებულება

ზოგჯერ საჭიროა არითმეტიკული პროგრესიის ნებისმიერი თვითნებური ტერმინის მნიშვნელობის განსაზღვრა. ეს შეიძლება გაკეთდეს არითმეტიკული პროგრესიის ყველა წევრის მნიშვნელობების თანმიმდევრული გაანგარიშებით, დაწყებული პირველიდან სასურველამდე. თუმცა, ეს გზა ყოველთვის არ არის მისაღები, თუ, მაგალითად, აუცილებელია ხუთიათასიანი ან რვა მილიონიანი ტერმინის მნიშვნელობის პოვნა. ტრადიციულ გამოთვლებს დიდი დრო დასჭირდება. თუმცა, კონკრეტული არითმეტიკული პროგრესიის შესწავლა შესაძლებელია გარკვეული ფორმულების გამოყენებით. ასევე არსებობს n-ე წევრის ფორმულა: არითმეტიკული პროგრესიის ნებისმიერი წევრის მნიშვნელობა შეიძლება განისაზღვროს, როგორც პროგრესიის პირველი წევრის ჯამი პროგრესიის სხვაობით, გამრავლებული სასურველი წევრის რაოდენობაზე, შემცირებული ერთი.

ფორმულა უნივერსალურია პროგრესირების გაზრდისა და შემცირებისთვის.

მოცემული ტერმინის მნიშვნელობის გამოთვლის მაგალითი

მოდით გადავჭრათ არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის მნიშვნელობის პოვნის შემდეგი ამოცანა.

მდგომარეობა: არსებობს არითმეტიკული პროგრესია პარამეტრებით:

მიმდევრობის პირველი წევრი არის 3;

რიცხვების სერიებში განსხვავება არის 1.2.

ამოცანა: თქვენ უნდა იპოვოთ 214 ტერმინის მნიშვნელობა

ამოხსნა: მოცემული ტერმინის მნიშვნელობის დასადგენად ვიყენებთ ფორმულას:

a(n) = a1 + d(n-1)

პრობლემის განცხადებიდან მონაცემების გამონათქვამში ჩანაცვლებით, ჩვენ გვაქვს:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

პასუხი: მიმდევრობის 214-ე წევრი უდრის 258,6-ს.

გაანგარიშების ამ მეთოდის უპირატესობები აშკარაა - მთელი გამოსავალი იღებს არაუმეტეს 2 ხაზს.

მოცემული რაოდენობის ტერმინების ჯამი

ძალიან ხშირად, მოცემულ არითმეტიკულ სერიაში აუცილებელია მისი ზოგიერთი სეგმენტის მნიშვნელობების ჯამის დადგენა. ამისათვის ასევე არ არის საჭირო თითოეული ტერმინის მნიშვნელობების გამოთვლა და შემდეგ მათი შეკრება. ეს მეთოდი გამოიყენება, თუ ტერმინების რაოდენობა, რომელთა ჯამი უნდა მოიძებნოს, მცირეა. სხვა შემთხვევებში უფრო მოსახერხებელია შემდეგი ფორმულის გამოყენება.

არითმეტიკული პროგრესიის წევრთა ჯამი 1-დან n-მდე უდრის პირველი და მე-n წევრის ჯამს, გამრავლებული n-ის რიცხვზე და გაყოფილი ორზე. თუ ფორმულაში n-ე ტერმინის მნიშვნელობა შეიცვლება სტატიის წინა პუნქტის გამოსახულებით, მივიღებთ:

გაანგარიშების მაგალითი

მაგალითად, მოვაგვაროთ პრობლემა შემდეგი პირობებით:

მიმდევრობის პირველი წევრი არის ნული;

განსხვავება არის 0.5.

პრობლემა მოითხოვს სერიის ტერმინების ჯამის განსაზღვრას 56-დან 101-მდე.

გამოსავალი. მოდით გამოვიყენოთ ფორმულა პროგრესირების რაოდენობის დასადგენად:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

პირველ რიგში, ჩვენ განვსაზღვრავთ პროგრესირების 101 ტერმინის მნიშვნელობების ჯამს ჩვენი პრობლემის მოცემული პირობების ფორმულით ჩანაცვლებით:

s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2525

ცხადია, 56-დან 101-მდე პროგრესირების ტერმინების ჯამის გასარკვევად საჭიროა S 101-ს გამოვაკლოთ S 55.

s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5

ამრიგად, ამ მაგალითისთვის არითმეტიკული პროგრესიის ჯამია:

s 101 - s 55 = 2,525 - 742,5 = 1,782.5

არითმეტიკული პროგრესიის პრაქტიკული გამოყენების მაგალითი

სტატიის დასასრულს დავუბრუნდეთ პირველ აბზაცში მოცემულ არითმეტიკული მიმდევრობის მაგალითს - ტაქსიმეტრი (ტაქსი მანქანის მრიცხველი). განვიხილოთ ეს მაგალითი.

ტაქსიში ჩაჯდომა (რომელიც მოიცავს 3 კმ მგზავრობას) 50 მანეთი ღირს. ყოველი მომდევნო კილომეტრის გადახდა ხდება 22 რუბლი / კმ. მგზავრობის მანძილი 30 კმ. გამოთვალეთ მოგზაურობის ღირებულება.

1. გადავაგდოთ პირველი 3 კმ, რომლის ფასიც შედის დაშვების ღირებულებაში.

30 - 3 = 27 კმ.

2. შემდგომი გამოთვლა სხვა არაფერია, თუ არა არითმეტიკული რიცხვების სერიის გარჩევა.

წევრის ნომერი - გავლილი კილომეტრების რაოდენობა (პირველი სამის გამოკლებით).

წევრის ღირებულება არის ჯამი.

ამ პრობლემის პირველი ვადა იქნება 1 = 50 რუბლის ტოლი.

პროგრესირების სხვაობა d = 22 r.

რიცხვი, რომელიც გვაინტერესებს არის არითმეტიკული პროგრესიის (27+1)-ე წევრის მნიშვნელობა - მრიცხველის მაჩვენებელი 27-ე კილომეტრის ბოლოს არის 27,999... = 28 კმ.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

კალენდარული მონაცემების გამოთვლები თვითნებურად ხანგრძლივი პერიოდისთვის ეფუძნება ფორმულებს, რომლებიც აღწერს გარკვეულ რიცხვობრივ თანმიმდევრობას. ასტრონომიაში ორბიტის სიგრძე გეომეტრიულად არის დამოკიდებული ციური სხეულის ვარსკვლავამდე მანძილს. გარდა ამისა, სხვადასხვა რიცხვების სერიები წარმატებით გამოიყენება სტატისტიკაში და მათემატიკის სხვა გამოყენებით სფეროებში.

რიცხვების მიმდევრობის კიდევ ერთი ტიპია გეომეტრიული

გეომეტრიულ პროგრესიას ახასიათებს ცვლილების უფრო დიდი ტემპები არითმეტიკულ პროგრესირებასთან შედარებით. შემთხვევითი არ არის, რომ პოლიტიკაში, სოციოლოგიაში და მედიცინაში, კონკრეტული ფენომენის გავრცელების მაღალი სიჩქარის საჩვენებლად, მაგალითად, დაავადების ეპიდემიის დროს, ამბობენ, რომ პროცესი გეომეტრიული პროგრესიით ვითარდება.

გეომეტრიული რიცხვების სერიის N-ე წევრი განსხვავდება წინადან იმით, რომ ის მრავლდება რაიმე მუდმივ რიცხვზე - მნიშვნელი, მაგალითად, პირველი წევრი არის 1, მნიშვნელი შესაბამისად უდრის 2-ს, შემდეგ:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - გეომეტრიული პროგრესიის მიმდინარე ტერმინის მნიშვნელობა;

b n+1 - გეომეტრიული პროგრესიის შემდეგი წევრის ფორმულა;

q არის გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი (მუდმივი რიცხვი).

თუ არითმეტიკული პროგრესიის გრაფიკი სწორი ხაზია, მაშინ გეომეტრიული პროგრესია ოდნავ განსხვავებულ სურათს ქმნის:

როგორც არითმეტიკის შემთხვევაში, გეომეტრიულ პროგრესიას აქვს თვითნებური ტერმინის მნიშვნელობის ფორმულა. გეომეტრიული პროგრესიის ნებისმიერი n-ე წევრი უდრის პირველი წევრის ნამრავლს და პროგრესიის მნიშვნელს n-ის ხარისხზე შემცირებული ერთით:

მაგალითი. გვაქვს გეომეტრიული პროგრესია, რომლის პირველი წევრი უდრის 3-ს, ხოლო პროგრესიის მნიშვნელი უდრის 1,5-ს. ვიპოვოთ პროგრესიის მე-5 წევრი

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1.5 4 = 15.1875

ტერმინების მოცემული რაოდენობის ჯამი ასევე გამოითვლება სპეციალური ფორმულით. გეომეტრიული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამი უდრის სხვაობას პროგრესიის n-ე წევრისა და მისი მნიშვნელის ნამრავლსა და პროგრესიის პირველ წევრს შორის, გაყოფილი მნიშვნელზე შემცირებული ერთით:

თუ b n ჩანაცვლებულია ზემოთ განხილული ფორმულის გამოყენებით, განხილული რიცხვების სერიის პირველი n პუნქტების ჯამის მნიშვნელობა მიიღებს ფორმას:

მაგალითი. გეომეტრიული პროგრესია იწყება პირველი წევრით 1-ის ტოლი. მნიშვნელი დაყენებულია 3. ვიპოვოთ პირველი რვა წევრის ჯამი.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

მაგალითად, თანმიმდევრობა \(2\); \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)... არის არითმეტიკული პროგრესია, რადგან ყოველი მომდევნო ელემენტი განსხვავდება წინა ელემენტისგან სამით (შეიძლება მივიღოთ წინადან სამის მიმატებით):

ამ პროგრესიაში სხვაობა \(d\) დადებითია (ტოლია \(3\)) და ამიტომ ყოველი შემდეგი წევრი წინაზე მეტია. ასეთ პროგრესებს ე.წ იზრდება.

თუმცა, \(d\) ასევე შეიძლება იყოს უარყოფითი რიცხვი. მაგალითად, არითმეტიკული პროგრესიაში \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... პროგრესიის სხვაობა \(d\) უდრის მინუს ექვსი.

და ამ შემთხვევაში, ყოველი შემდეგი ელემენტი წინაზე მცირე იქნება. ამ პროგრესირებას ე.წ მცირდება.

არითმეტიკული პროგრესიის აღნიშვნა

პროგრესი მითითებულია პატარა ლათინური ასოებით.

რიცხვები, რომლებიც ქმნიან პროგრესიას, ეწოდება წევრები(ან ელემენტები).

ისინი აღინიშნება იგივე ასოებით, როგორც არითმეტიკული პროგრესია, მაგრამ რიცხვითი ინდექსით, რომელიც ტოლია ელემენტის რაოდენობის მიხედვით.

მაგალითად, არითმეტიკული პროგრესია \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14...\right\)\) შედგება ელემენტებისაგან \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) და ასე შემდეგ.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პროგრესიისთვის \(a_n = \მარცხნივ\(2; 5; 8; 11; 14…\მარჯვნივ\)\)

არითმეტიკული პროგრესიის ამოცანების ამოხსნა

პრინციპში, ზემოთ წარმოდგენილი ინფორმაცია უკვე საკმარისია თითქმის ნებისმიერი არითმეტიკული პროგრესიის პრობლემის გადასაჭრელად (მათ შორის OGE-ში შემოთავაზებული).

მაგალითი (OGE). არითმეტიკული პროგრესია მითითებულია პირობებით \(b_1=7; d=4\). იპოვეთ \(b_5\).
გამოსავალი:

პასუხი: \(b_5=23\)

მაგალითი (OGE). მოცემულია არითმეტიკული პროგრესიის პირველი სამი წევრი: \(62; 49; 36…\) იპოვეთ ამ პროგრესიის პირველი უარყოფითი წევრის მნიშვნელობა..
გამოსავალი:

	ჩვენ მოცემულია მიმდევრობის პირველი ელემენტები და ვიცით, რომ ეს არის არითმეტიკული პროგრესია. ანუ, თითოეული ელემენტი განსხვავდება მეზობლისგან ერთი და იგივე რაოდენობით. გავარკვიოთ რომელი წინა ელემენტის გამოკლებით: \(d=49-62=-13\).
	ახლა ჩვენ შეგვიძლია აღვადგინოთ პროგრესი ჩვენთვის საჭირო (პირველ უარყოფით) ელემენტამდე.
	მზადაა. შეგიძლიათ დაწეროთ პასუხი.

პასუხი: \(-3\)

მაგალითი (OGE). მოცემულია არითმეტიკული პროგრესიის რამდენიმე თანმიმდევრული ელემენტი: \(…5; x; 10; 12.5...\) იპოვეთ ელემენტის მნიშვნელობა, რომელიც მითითებულია ასო \(x\).
გამოსავალი:

	\(x\) საპოვნელად უნდა ვიცოდეთ, რამდენად განსხვავდება შემდეგი ელემენტი წინა ელემენტისგან, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პროგრესირების განსხვავება. ვიპოვოთ ის ორი ცნობილი მეზობელი ელემენტიდან: \(d=12.5-10=2.5\).
	ახლა კი ჩვენ მარტივად შეგვიძლია ვიპოვოთ ის რასაც ვეძებთ: \(x=5+2.5=7.5\).
	მზადაა. შეგიძლიათ დაწეროთ პასუხი.

პასუხი: \(7,5\).

მაგალითი (OGE). არითმეტიკული პროგრესია განისაზღვრება შემდეგი პირობებით: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) იპოვეთ ამ პროგრესიის პირველი ექვსი წევრის ჯამი.
გამოსავალი:

	ჩვენ უნდა ვიპოვოთ პროგრესიის პირველი ექვსი წევრის ჯამი. მაგრამ ჩვენ არ ვიცით მათი მნიშვნელობა. ამიტომ, ჩვენ პირველ რიგში ვიანგარიშებთ მნიშვნელობებს სათითაოდ, იმის გამოყენებით, რაც ჩვენ გვაქვს: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) და ჩვენ გვჭირდება ექვსი ელემენტის გამოთვლის შემდეგ, ვპოულობთ მათ ჯამს.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	ნაპოვნია საჭირო თანხა.

პასუხი: \(S_6=9\).

მაგალითი (OGE). არითმეტიკული პროგრესიაში \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). იპოვნეთ ამ პროგრესის განსხვავება.
გამოსავალი:

პასუხი: \(d=7\).

არითმეტიკული პროგრესირების მნიშვნელოვანი ფორმულები

როგორც ხედავთ, არითმეტიკული პროგრესიის მრავალი პრობლემის გადაჭრა შესაძლებელია უბრალოდ მთავარის გაგებით - რომ არითმეტიკული პროგრესია არის რიცხვების ჯაჭვი და ამ ჯაჭვის ყოველი მომდევნო ელემენტი მიიღება იმავე რიცხვის წინას მიმატებით ( პროგრესის განსხვავება).

თუმცა, ზოგჯერ არის სიტუაციები, როდესაც გადაწყვეტილების მიღება "პირდაპირი" ძალიან მოუხერხებელია. მაგალითად, წარმოიდგინეთ, რომ პირველივე მაგალითში უნდა ვიპოვოთ არა მეხუთე ელემენტი \(b_5\), არამედ სამას ოთხმოცდამეექვსე \(b_(386)\). ოთხჯერ \(385\) უნდა დავამატოთ? ან წარმოიდგინეთ, რომ ბოლო მაგალითში თქვენ უნდა იპოვოთ პირველი სამოცდასამი ელემენტის ჯამი. მოგბეზრდებათ დათვლა...

მაშასადამე, ასეთ შემთხვევებში ისინი არ წყვეტენ საკითხებს „პირისპირ“, არამედ იყენებენ არითმეტიკული პროგრესიისთვის მიღებულ სპეციალურ ფორმულებს. და მთავარია პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულა და \(n\) პირველი ტერმინების ჯამის ფორმულა.

\(n\)-ე ტერმინის ფორმულა: \(a_n=a_1+(n-1)d\), სადაც \(a_1\) არის პროგრესიის პირველი წევრი;
\(n\) – საჭირო ელემენტის ნომერი;
\(a_n\) – პროგრესიის ვადა ნომრით \(n\).

ეს ფორმულა საშუალებას გვაძლევს სწრაფად ვიპოვოთ თუნდაც სამასი ან მემილიონე ელემენტი, ვიცით მხოლოდ პირველი და პროგრესიის განსხვავება.

მაგალითი. არითმეტიკული პროგრესია მითითებულია პირობებით: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). იპოვეთ \(b_(246)\).
გამოსავალი:

პასუხი: \(b_(246)=1850\).

პირველი n წევრის ჯამის ფორმულა: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), სადაც

\(a_n\) – ბოლო ჯამი;

მაგალითი (OGE). არითმეტიკული პროგრესია მითითებულია პირობებით \(a_n=3.4n-0.6\). იპოვეთ ამ პროგრესიის პირველი \(25\) ტერმინების ჯამი.
გამოსავალი:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25\)		პირველი ოცდახუთი წევრის ჯამის გამოსათვლელად უნდა ვიცოდეთ პირველი და ოცდამეხუთე წევრის მნიშვნელობა. ჩვენი პროგრესირება მოცემულია n-ე წევრის ფორმულით მისი რიცხვიდან გამომდინარე (დაწვრილებით იხ.). გამოვთვალოთ პირველი ელემენტი \(n\) ერთის შეცვლით.
\(n=1;\) \(a_1=3.4·1-0.6=2.8\)		ახლა ვიპოვოთ ოცდამეხუთე წევრი \(n\)-ის ნაცვლად ოცდახუთის ჩანაცვლებით.
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4·25-0.6=84.4\)		კარგი, ახლა ჩვენ შეგვიძლია მარტივად გამოვთვალოთ საჭირო თანხა.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		პასუხი მზადაა.

პასუხი: \(S_(25)=1090\).

პირველი ტერმინების ჯამისთვის \(n\) შეგიძლიათ მიიღოთ სხვა ფორმულა: თქვენ უბრალოდ გჭირდებათ \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) ნაცვლად \(a_n\) შეცვალეთ მისი ფორმულა \(a_n=a_1+(n-1)d\). ჩვენ ვიღებთ:

პირველი n წევრის ჯამის ფორმულა: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), სადაც

\(S_n\) – \(n\) პირველი ელემენტების საჭირო ჯამი;
\(a_1\) – პირველი შეჯამებული წევრი;
\(d\) – პროგრესირების განსხვავება;
\(n\) – ელემენტების რაოდენობა ჯამში.

მაგალითი. იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი \(33\)-ექს წევრთა ჯამი: \(17\); \(15.5\); \(14\)…
გამოსავალი:

პასუხი: \(S_(33)=-231\).

უფრო რთული არითმეტიკული პროგრესირების პრობლემები

ახლა თქვენ გაქვთ ყველა ინფორმაცია, რომელიც გჭირდებათ თითქმის ნებისმიერი არითმეტიკული პროგრესიის პრობლემის გადასაჭრელად. დავასრულოთ თემა იმ პრობლემების გათვალისწინებით, რომლებშიც არა მხოლოდ ფორმულების გამოყენება გჭირდებათ, არამედ ცოტათი დაფიქრებაც (მათემატიკაში ეს შეიძლება სასარგებლო იყოს ☺)

მაგალითი (OGE). იპოვეთ პროგრესიის ყველა უარყოფითი წევრის ჯამი: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
გამოსავალი:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		დავალება ძალიან ჰგავს წინას. ჩვენ ვიწყებთ იგივეს ამოხსნას: ჯერ ვპოულობთ \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		ახლა მსურს \(d\) ჩავანაცვლო ჯამის ფორმულაში... და აქ ჩნდება მცირე ნიუანსი - ჩვენ არ ვიცით \(n\). სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ არ ვიცით რამდენი ტერმინის დამატება იქნება საჭირო. როგორ გავარკვიოთ? მოდი ვიფიქროთ. ჩვენ შევწყვეტთ ელემენტების დამატებას, როდესაც მივაღწევთ პირველ დადებით ელემენტს. ანუ, თქვენ უნდა გაარკვიოთ ამ ელემენტის რაოდენობა. როგორ? მოდით ჩამოვწეროთ არითმეტიკული პროგრესიის ნებისმიერი ელემენტის გამოთვლის ფორმულა: \(a_n=a_1+(n-1)d\) ჩვენი შემთხვევისთვის.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19.3+(n-1)·0.3\)		ჩვენ გვჭირდება \(a_n\) რომ გახდეს ნულზე მეტი. მოდით გავარკვიოთ, რა \(n\) მოხდება ეს.
\(-19.3+(n-1)·0.3>0\)
\((n-1)·0.3>19.3\) \(|:0.3\)		უტოლობის ორივე მხარეს ვყოფთ \(0.3\-ზე).
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		ჩვენ გადავცემთ მინუს ერთს, არ გვავიწყდება ნიშნების შეცვლა
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		მოდით გამოვთვალოთ...
\(n>65,333…\)		...და გამოდის, რომ პირველ დადებით ელემენტს ექნება რიცხვი \(66\). შესაბამისად, ბოლო უარყოფითს აქვს \(n=65\). ყოველი შემთხვევისთვის, მოდით შევამოწმოთ ეს.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1)·0.3=-0.1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1)·0.3=0.2\)		ასე რომ, ჩვენ უნდა დავამატოთ პირველი \(65\) ელემენტები.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		პასუხი მზადაა.

პასუხი: \(S_(65)=-630.5\).

მაგალითი (OGE). არითმეტიკული პროგრესია მითითებულია პირობებით: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). იპოვეთ ჯამი \(26\)-დან \(42\) ელემენტის ჩათვლით.
გამოსავალი:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	ამ პრობლემაში თქვენ ასევე უნდა იპოვოთ ელემენტების ჯამი, მაგრამ დაწყებული არა პირველიდან, არამედ \(26\)-დან. ასეთი შემთხვევისთვის ფორმულა არ გვაქვს. როგორ გადავწყვიტოთ? ადვილია - \(26\)-დან \(42\)-მდე ჯამი რომ მიიღოთ, ჯერ უნდა იპოვოთ ჯამი \(1\)-დან \(42\)-მდე და შემდეგ გამოაკლოთ. მისგან ჯამი პირველიდან \(25\)-მდე (იხ. სურათი).
	ჩვენი პროგრესიისთვის \(a_1=-33\) და სხვაობისთვის \(d=4\) (ბოლოს და ბოლოს, ჩვენ ვუმატებთ ოთხს წინა ელემენტს, რომ ვიპოვოთ შემდეგი). ამის ცოდნა ჩვენ ვპოულობთ პირველი \(42\)-y ელემენტების ჯამს.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	ახლა პირველი \(25\) ელემენტების ჯამი.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	და ბოლოს, ჩვენ ვიანგარიშებთ პასუხს.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

პასუხი: \(S=1683\).

არითმეტიკული პროგრესირებისთვის, არის კიდევ რამდენიმე ფორმულა, რომლებიც ჩვენ არ განვიხილეთ ამ სტატიაში მათი დაბალი პრაქტიკული სარგებლობის გამო. თუმცა, თქვენ შეგიძლიათ მარტივად იპოვოთ ისინი.

გაკვეთილის ტიპი:ახალი მასალის სწავლა.

გაკვეთილის მიზნები:

• არითმეტიკული პროგრესიის გამოყენებით ამოხსნილი ამოცანების შესახებ მოსწავლეთა გაგების გაფართოება და გაღრმავება; მოსწავლეთა საძიებო აქტივობების ორგანიზება არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n პუნქტების ჯამის ფორმულის გამოყვანისას;
• ახალი ცოდნის დამოუკიდებლად შეძენის და უკვე მიღებული ცოდნის მოცემული ამოცანის მისაღწევად გამოყენების უნარის გამომუშავება;
• მიღებული ფაქტების განზოგადების სურვილისა და მოთხოვნილების განვითარება, დამოუკიდებლობის განვითარება.

ამოცანები:

• არსებული ცოდნის შეჯამება და სისტემატიზაცია თემაზე „არითმეტიკული პროგრესია“;
• არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამის გამოანგარიშების ფორმულების გამოყვანა;
• ასწავლეთ მიღებული ფორმულების გამოყენება სხვადასხვა ამოცანების ამოხსნისას;
• მოსწავლეთა ყურადღება მიაპყროს რიცხვითი გამოხატვის მნიშვნელობის პოვნის პროცედურას.

აღჭურვილობა:

• ბარათები ჯგუფებში და წყვილებში მუშაობის დავალებებით;
• ქულათა ფურცელი;
• პრეზენტაცია"არითმეტიკული პროგრესია."

I. საბაზისო ცოდნის განახლება.

1. დამოუკიდებელი მუშაობაწყვილებში.

1 ვარიანტი:

არითმეტიკული პროგრესიის განსაზღვრა. ჩამოწერეთ განმეორების ფორმულა, რომელიც განსაზღვრავს არითმეტიკულ პროგრესიას. გთხოვთ, მიუთითოთ არითმეტიკული პროგრესიის მაგალითი და მიუთითოთ მისი განსხვავება.

მე-2 ვარიანტი:

ჩაწერეთ არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულა. იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის მე-100 წევრი ( a n}: 2, 5, 8 …
ამ დროს დაფის უკანა მხარეს ორი სტუდენტი ამზადებს პასუხებს ერთსა და იმავე კითხვებზე.
მოსწავლეები აფასებენ პარტნიორის მუშაობას დაფაზე მათი შემოწმებით. (ფურცლები პასუხებით გადაეცემა.)

2. თამაშის მომენტი.

დავალება 1.

მასწავლებელი.რაღაც არითმეტიკული პროგრესირებაზე ვფიქრობდი. დამისვით მხოლოდ ორი შეკითხვა, რათა პასუხების შემდეგ სწრაფად დაასახელოთ ამ პროგრესიის მე-7 ტერმინი. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

კითხვები სტუდენტებისგან.

1. რა არის პროგრესის მეექვსე ვადა და რა განსხვავებაა?
2. რა არის პროგრესის მერვე ვადა და რა განსხვავებაა?

თუ კითხვები აღარ არის, მაშინ მასწავლებელს შეუძლია მათი სტიმულირება - „აკრძალვა“ d-ზე (განსხვავება), ანუ დაუშვებელია კითხვა, რის ტოლია განსხვავება. შეგიძლიათ დასვათ კითხვები: რას უდრის პროგრესიის მე-6 წევრი და რის ტოლია პროგრესიის მე-8 წევრი?

დავალება 2.

დაფაზე 20 რიცხვია დაწერილი: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

მასწავლებელი დგას ზურგით დაფისკენ. მოსწავლეები იძახიან ნომერს, მასწავლებელი კი მყისიერად იძახებს თავად ნომერს. ამიხსენი, როგორ შემიძლია ამის გაკეთება?

მასწავლებელს ახსოვს n-ე ნაწილის ფორმულა a n = 3n - 2და მითითებული n მნიშვნელობების ჩანაცვლებით, პოულობს შესაბამის მნიშვნელობებს a n.

II. სასწავლო დავალების დაყენება.

მე ვთავაზობ ძველი წელთაღრიცხვის II ათასწლეულით დათარიღებული პრობლემის გადაჭრას, რომელიც ნაპოვნია ეგვიპტურ პაპირუსებში.

ამოცანა:„მოდით, გითხრათ: 10 საზომი ქერი გაყავით 10 ადამიანზე, თითოეულ ადამიანსა და მის მეზობელს შორის სხვაობა ზომის 1/8-ია“.

• როგორ უკავშირდება ეს პრობლემა თემის არითმეტიკული პროგრესირებას? (თითოეული შემდეგი ადამიანი იღებს საზომის 1/8-ით მეტს, რაც ნიშნავს, რომ განსხვავებაა d=1/8, 10 ადამიანი, რაც ნიშნავს n=10.)
• როგორ ფიქრობთ, რას ნიშნავს რიცხვი 10 საზომი? (პროგრესიის ყველა ტერმინის ჯამი.)
• კიდევ რა უნდა იცოდეთ, რომ ქერის დაყოფა პრობლემის პირობების მიხედვით მარტივი და მარტივი იყოს? (პროგრესიის პირველი ვადა.)

გაკვეთილის მიზანი– პროგრესირების ტერმინების ჯამის დამოკიდებულების მიღება მათ რიცხვზე, პირველ წევრზე და განსხვავებაზე და შემოწმება, სწორად იყო თუ არა ამოხსნილი პრობლემა ძველ დროში.

სანამ ფორმულას გამოვიტანთ, ვნახოთ, როგორ გადაჭრეს პრობლემა ძველ ეგვიპტელებმა.

და მათ გადაჭრეს ეს შემდეგნაირად:

1) 10 ზომა: 10 = 1 საზომი – საშუალო წილი;
2) 1 საზომი ∙ = 2 საზომი – გაორმაგდა საშუალოდგაზიარება.
გაორმაგდა საშუალოდწილი არის მე-5 და მე-6 პირის წილების ჯამი.
3) 2 საზომი – 1/8 საზომი = 1 7/8 საზომი – მეხუთე ადამიანის წილი გაორმაგებულია.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 – მეხუთედის ნაწილი; და ასე შემდეგ, შეგიძლიათ იპოვოთ თითოეული წინა და მომდევნო ადამიანის წილი.

ჩვენ ვიღებთ თანმიმდევრობას:

III. პრობლემის გადაჭრა.

1. ჯგუფებში მუშაობა

ჯგუფი I:იპოვეთ 20 ზედიზედ ნატურალური რიცხვის ჯამი: S 20 =(20+1)∙10 =210.

ზოგადად

II ჯგუფი:იპოვეთ ნატურალური რიცხვების ჯამი 1-დან 100-მდე (ლეგენდა პატარა გაუსის შესახებ).

S 100 = (1+100)∙50 = 5050

დასკვნა:

III ჯგუფი:იპოვეთ ნატურალური რიცხვების ჯამი 1-დან 21-მდე.

ამოხსნა: 1+21=2+20=3+19=4+18…

დასკვნა:

IV ჯგუფი:იპოვეთ ნატურალური რიცხვების ჯამი 1-დან 101-მდე.

დასკვნა:

განხილული პრობლემების გადაჭრის ამ მეთოდს ეწოდება "გაუსის მეთოდი".

2. თითოეული ჯგუფი დაფაზე წარმოადგენს პრობლემის გადაწყვეტას.

3. შემოთავაზებული ამონახსნების განზოგადება თვითნებური არითმეტიკული პროგრესიისთვის:

a 1, a 2, a 3,…, a n-2, a n-1, a n.
S n =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +…+ a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

მოდი ვიპოვოთ ეს ჯამი მსგავსი მსჯელობის გამოყენებით:

4. მოვაგვარეთ პრობლემა?(დიახ.)

IV. ამოცანების ამოხსნისას მიღებული ფორმულების პირველადი გაგება და გამოყენება.

1. უძველესი პრობლემის გადაწყვეტის შემოწმება ფორმულის გამოყენებით.

2. ფორმულის გამოყენება სხვადასხვა ამოცანების გადაჭრაში.

3. სავარჯიშოები ამოცანების ამოხსნისას ფორმულების გამოყენების უნარის გასავითარებლად.

ა) No613

მოცემულია: ( ა) -არითმეტიკული პროგრესია;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

იპოვე: S 1500

გამოსავალი: , a 1 = 1 და 1500 = 1500,

ბ) მოცემული: ( ა) -არითმეტიკული პროგრესია;
(a n): 1, 2, 3,…
S n = 210

იპოვე: ნ
გამოსავალი:

V. დამოუკიდებელი მუშაობა ურთიერთდამოწმებით.

დენისმა კურიერად დაიწყო მუშაობა. პირველ თვეში მისი ხელფასი 200 მანეთი იყო, ყოველ მომდევნო თვეში 30 რუბლით გაიზარდა. რამდენი გამოიმუშავა მან წელიწადში?

მოცემულია: ( ა) -არითმეტიკული პროგრესია;
a 1 = 200, d = 30, n = 12
იპოვე: S 12
გამოსავალი:

პასუხი: დენისმა მიიღო 4380 რუბლი წელიწადში.

VI. საშინაო დავალების ინსტრუქცია.

1. ნაწილი 4.3 – ისწავლეთ ფორმულის წარმოშობა.
2. №№ 585, 623 .
3. შექმენით პრობლემა, რომლის გადაჭრაც შესაძლებელია არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამის ფორმულის გამოყენებით.

VII. გაკვეთილის შეჯამება.

1. ქულების ფურცელი

2. განაგრძეთ წინადადებები

• დღეს გაკვეთილზე ვისწავლე...
• ნასწავლი ფორმულები...
• მე მჯერა, რომ...

3. შეგიძლიათ იპოვოთ რიცხვების ჯამი 1-დან 500-მდე? რა მეთოდს გამოიყენებთ ამ პრობლემის მოსაგვარებლად?

ცნობები.

1. ალგებრა, მე-9 კლასი. ტუტორიალი ამისთვის საგანმანათლებლო დაწესებულებები. რედ. გ.ვ. დოროფეევა.მ.: „განმანათლებლობა“, 2009 წ.