დ'ალბერტის განუყოფელი ნიშანი. რიცხვების სერია: განმარტებები, თვისებები, კონვერგენციის ნიშნები, მაგალითები, ამონახსნები

სანამ თავად ნიშანი ჩამოვაყალიბოთ, განვიხილოთ მნიშვნელოვანი კითხვა:
როდის უნდა გამოვიყენოთ დ'ალმბერის კონვერგენციის ტესტი?

დ'ალმბერის ტესტის გამოყენების ძირითადი წინაპირობები შემდეგია:

1) სერიის საერთო ტერმინი (სერიის „ჩაყრა“) გარკვეულ რიცხვს მოიცავს, მაგალითად, და ა.შ. უფრო მეტიც, საერთოდ არ აქვს მნიშვნელობა სად მდებარეობს ეს ფუნქციები, მრიცხველში თუ მნიშვნელში - მთავარია, რომ ისინი იქ არიან.

2) სერიის საერთო ტერმინი მოიცავს ფაქტორიალს. რა არის ფაქტორული?

…

…

! დ'ალმბერის ტესტის გამოყენებისას მოგვიწევს ფაქტორების დეტალური აღწერა. როგორც წინა აბზაცში, ფაქტორიალი შეიძლება განთავსდეს ფრაქციის ზედა ან ქვედა ნაწილში.

3) თუ სერიის ზოგად ტერმინში არის „ფაქტორების ჯაჭვი“, მაგალითად, . ეს შემთხვევა იშვიათია.

სიმძლავრეებთან და/ან ფაქტორებთან ერთად, სერიების შევსებაში ხშირად გვხვდება მრავალწევრები, ეს არ ცვლის სიტუაციას - თქვენ უნდა გამოიყენოთ დ'ალმბერის ნიშანი;

გარდა ამისა, სერიის საერთო ტერმინში შეიძლება მოხდეს როგორც ხარისხი, ასევე ფაქტორიალი ერთდროულად; შეიძლება იყოს ორი ფაქტორიალი, ორი გრადუსი, მნიშვნელოვანია რომ იყოს რაღაც მაინცგანხილული პუნქტებიდან – და სწორედ ეს არის დ’ალმბერის ნიშნის გამოყენების წინაპირობა.

დ'ალბერტის ნიშანი: განვიხილოთ დადებითი რიცხვების სერია. თუ არსებობს შეზღუდვა მომდევნო ტერმინის შეფარდებაზე წინასთან: , მაშინ:
ა) როცა მწკრივი იყრის თავს
ბ) როცა მწკრივი განსხვავდება
გ) როდის ნიშანი არ იძლევა პასუხს. თქვენ უნდა გამოიყენოთ სხვა ნიშანი. ყველაზე ხშირად, ერთი მიიღება იმ შემთხვევაში, როდესაც ისინი ცდილობენ გამოიყენონ დ'ალმბერტის ტესტი, სადაც აუცილებელია შეზღუდვის შედარების ტესტის გამოყენება.

ზღვრის გააზრებისა და გაურკვევლობის გამოვლენის უნარის გარეშე, სამწუხაროდ, წინსვლა შეუძლებელია.

მაგალითი:
გამოსავალი:ჩვენ ვხედავთ, რომ სერიის ზოგად ტერმინში გვაქვს , და ეს არის დ'ალმბერის ტესტის გამოყენების უეჭველი წინაპირობა.

ჩვენ ვიყენებთ დ'ალბერტის ნიშანს:

იყრის თავს.

რადიკალური კოშის ნიშანი.

კოშის კონვერგენციის ტესტი დადებითი რიცხვების სერიებისთვის გარკვეულწილად წააგავს დ'ალბერტის ტესტს, რომელიც ახლახან განვიხილეთ.

! საინტერესოა ისიც, რომ თუ კოშის ტესტი არ გაგვცემს პასუხს სერიის დაახლოების კითხვაზე, მაშინ დ'ალმბერის ტესტიც არ მოგვცემს პასუხს. მაგრამ თუ დ’ალმბერის ნიშანი არ იძლევა პასუხს, მაშინ კოშის ნიშანი შეიძლება „იმუშაოს“. ანუ კოშის ნიშანი ამ თვალსაზრისით უფრო ძლიერი ნიშანია.

!!! როდის უნდა გამოვიყენოთ რადიკალური კოშის ნიშანი?რადიკალური კოშის ტესტი ჩვეულებრივ გამოიყენება იმ შემთხვევებში, როდესაც სერიის საერთო ტერმინია სრულადარის ხარისხი დამოკიდებულია "en"-ზე. ან როცა ძირი „კარგი“ ამოღებულია სერიის საერთო წევრიდან. არის ეგზოტიკური შემთხვევებიც, მაგრამ ჩვენ მათზე არ ვიდარდებთ.

მაგალითი:გადახედეთ სერიას კონვერგენციისთვის

გამოსავალი:ჩვენ ვხედავთ, რომ სერიის ზოგადი ტერმინი მთლიანად ექვემდებარება ძალას, რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ უნდა გამოვიყენოთ რადიკალური კოშის ტესტი:

ამრიგად, შესწავლილი სერია განსხვავდება.

ინტეგრალური კოშის ტესტი.

კოშის ინტეგრალური ტესტის გამოსაყენებლად, მეტ-ნაკლებად დარწმუნებული უნდა იყოთ წარმოებულების, ინტეგრალების პოვნაში და ასევე გქონდეთ გამოთვლის უნარი. არასწორი ინტეგრალიპირველი სახის.

ჩემი სიტყვებით ჩამოვაყალიბებ (გაგების გასაადვილებლად).

ინტეგრალური კოშის ტესტი:განვიხილოთ დადებითი რიცხვების სერია. ეს სერია იყრის ან განსხვავდება შესაბამის არასწორ ინტეგრალთან ერთად.

! !! ქოშის ინტეგრალური ტესტის გამოყენების მთავარი წინაპირობააარის ის ფაქტი, რომ სერიის ზოგად ტერმინში არის გარკვეული ფუნქცია და მისი წარმოებული.

მაგალითი:გადახედეთ სერიას კონვერგენციისთვის

გამოსავალი:თემიდან წარმოებულიალბათ გახსოვთ ცხრილის უმარტივესი რამ: , და ჩვენ გვაქვს ასეთი კანონიკური შემთხვევა.

როგორ გამოვიყენოთ ინტეგრალური ატრიბუტი? პირველ რიგში, ჩვენ ვიღებთ ინტეგრალურ ხატულას და გადავიწერთ ზედა და ქვედა საზღვრებს სერიის "მრიცხველიდან": . შემდეგ ინტეგრალის ქვეშ გადავიწერთ სერიის „შევსებას“ ასო „X“-ით: .

ახლა ჩვენ უნდა გამოვთვალოთ არასწორი ინტეგრალი. ამ შემთხვევაში შესაძლებელია ორი შემთხვევა:

1) თუ აღმოჩნდება, რომ ინტეგრალი იყრის თავს, მაშინ ჩვენი სერიაც გადაიყრება.

2) თუ აღმოჩნდება, რომ ინტეგრალი განსხვავდება, მაშინ ჩვენი სერიაც განსხვავდება.

ჩვენ ვიყენებთ ინტეგრალურ ნიშანს:

ინტეგრაციის ფუნქცია უწყვეტია

ამრიგად, შესწავლილი სერია განსხვავდებაშესაბამის არასწორ ინტეგრალთან ერთად.

მაგალითი:გამოიკვლიეთ სერიის კონვერგენცია

გამოსავალი:პირველ რიგში შევამოწმოთ სერიის კონვერგენციის აუცილებელი ნიშანი. ეს არ არის ფორმალობა, მაგრამ შესანიშნავი შანსია გაუმკლავდეთ მაგალითს „პატარა სისხლისღვრით“.

რიცხვების თანმიმდევრობაუფრო მაღალი ზრდის ბრძანება, ვიდრე მაშასადამე , ანუ დაკმაყოფილებულია დაახლოების აუცილებელი ნიშანი და სერიები შეიძლება ან გადავიდეს ან განსხვავდებოდეს.

ამრიგად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ რაიმე სახის ნიშანი. მაგრამ რომელი? შედარების ზღვარიაშკარად არ ჯდება, რადგან ლოგარითმი შეკუმშულია სერიის საერთო ტერმინში, დ'ალბერტისა და კოშის ნიშნებიასევე არ იწვევს შედეგებს. ჩვენ რომ გვქონდა, მაშინ სულ მცირე, შეგვეძლო გასვლა განუყოფელი თვისება.

„ინციდენტის ადგილის დათვალიერება“ გვთავაზობს განსხვავებულ სერიას (განზოგადებული ჰარმონიული სერიის შემთხვევა), მაგრამ კვლავ ჩნდება კითხვა, როგორ უნდა გავითვალისწინოთ მრიცხველში არსებული ლოგარითმი?

რჩება შედარების პირველივე ნიშანი, რომელიც დაფუძნებულია უთანასწორობაზე, რომელიც ხშირად არ არის გათვალისწინებული და შორეულ თაროზე აგროვებს მტვერს. მოდით უფრო დეტალურად აღვწეროთ სერია:

შეგახსენებთ, რომ - შეუზღუდავად იზრდება რიცხვების თანმიმდევრობა :

და, რიცხვიდან დაწყებული, უტოლობა დაკმაყოფილდება:

ანუ სერიალის წევრები იქნებიან კიდევ უფრო მეტიშესაბამისი წევრები განსხვავებული რიგი.

შედეგად, სერიას სხვა გზა არ აქვს, გარდა დაშლა.

კონვერგენცია თუ დივერგენცია რიცხვების სერიადამოკიდებულია მის „დაუსრულებელ კუდზე“ (ნარჩენი). ჩვენს შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია უგულებელვყოთ ის ფაქტი, რომ უტოლობა არ არის ჭეშმარიტი პირველი ორი რიცხვისთვის - ეს არ მოქმედებს დასკვნაზე.

დასრულებული მაგალითი ასე უნდა გამოიყურებოდეს:

მოდით შევადაროთ ამ სერიასგანსხვავებული სერიით.
ყველა რიცხვისთვის, დაწყებული , უტოლობა დაკმაყოფილებულია, შესაბამისად, შედარების კრიტერიუმის მიხედვით, შესწავლილი სერია განსხვავდება.

ალტერნატიული რიგები. ლაიბნიცის ნიშანი. გადაწყვეტილებების მაგალითები.

რა არის ალტერნატიული სერია?ეს აშკარაა ან თითქმის გასაგებია თავად სახელიდან. უბრალოდ მარტივი მაგალითი.

მოდით გადავხედოთ სერიას და უფრო დეტალურად აღვწეროთ:

გასწორება უზრუნველყოფს მულტიპლიკატორს: თუ ლუწი, იქნება პლუს ნიშანი, თუ კენტი, იქნება მინუს ნიშანი.

პრაქტიკულ მაგალითებში, სერიის ტერმინების მონაცვლეობა შეიძლება უზრუნველყოფილი იყოს არა მხოლოდ მამრავლით, არამედ მისი ძმებით: , , , .... მაგალითად:

ხაფანგია "მოტყუება": , , და ა.შ. - ასეთი მულტიპლიკატორები არ უზრუნველყოთ ნიშნის შეცვლა. აბსოლუტურად გასაგებია, რომ ნებისმიერი ბუნებრივი: , , .

როგორ გამოვიკვლიოთ ალტერნატიული სერია კონვერგენციისთვის?გამოიყენეთ ლაიბნიცის ტესტი.

ლაიბნიცის ტესტი: თუ ალტერნატიულ სერიაში დაკმაყოფილებულია ორი პირობა: 1) სერიის პირობები მონოტონურად მცირდება აბსოლუტურ მნიშვნელობაში. 2) მოდულში საერთო ტერმინის ზღვარი ნულის ტოლია, შემდეგ რიგი იყრის თავს და ამ სერიის ჯამის მოდული არ აღემატება პირველი წევრის მოდულს.

მოკლე ინფორმაციამოდულის შესახებ:

რას ნიშნავს "მოდულო"? მოდული, როგორც სკოლიდან გვახსოვს, "ჭამს" მინუს ნიშანს. დავუბრუნდეთ რიგს . ძალაუნებურად წაშალეთ ყველა ნიშანი საშლელით და მოდით შევხედოთ ციფრებს. ჩვენ ამას დავინახავთ ყოველი მომდევნოსერიის წევრი ნაკლებივიდრე წინა.

ახლა ცოტა ერთფეროვნების შესახებ.

სერიალის წევრები მკაცრად ერთფეროვანიმოდულის შემცირება თუ სერიის ყოველი შემდეგი წევრი მოდულიწინაზე ნაკლები: . ზედიზედ შემცირების მკაცრი ერთფეროვნება შეიძლება დაწვრილებით იყოს აღწერილი:

ან შეიძლება მოკლედ ვთქვათ: სერიის ყოველი შემდეგი წევრი მოდულიწინაზე ნაკლები: .

სერიალის წევრები არა მკაცრად ერთფეროვანიმოდულის შემცირება, თუ სერიის მოდულის თითოეული შემდეგი წევრი არ არის უფრო დიდი ვიდრე წინა: . განვიხილოთ სერია ფაქტორებით: აქ არის ფხვიერი ერთფეროვნება, რადგან სერიის პირველი ორი ტერმინი მოდულში იდენტურია. ანუ სერიის ყოველი შემდეგი წევრი მოდულიწინაზე მეტი არა: .

ლაიბნიცის თეორემის პირობებში უნდა დაკმაყოფილდეს კლებადი ერთფეროვნება (არ აქვს მნიშვნელობა მკაცრია თუ არამკაცრი). ამ შემთხვევაში სერიის წევრებს შეუძლიათ მოდულის გაზრდაც კი გარკვეული დროით, მაგრამ სერიის "კუდი" აუცილებლად უნდა იყოს მონოტონურად კლებადი.

მაგალითი:გადახედეთ სერიას კონვერგენციისთვის

გამოსავალი:სერიის საერთო ტერმინი მოიცავს ფაქტორს, რაც ნიშნავს, რომ თქვენ უნდა გამოიყენოთ ლაიბნიცის კრიტერიუმი

1) სერიის შემოწმება მონოტონურ შემცირებაზე.

1<2<3<…, т.е. n+1>n –პირველი პირობა არ არის დაკმაყოფილებული

2) - მეორე პირობა ასევე არ არის დაცული.

დასკვნა: სერია განსხვავდება.

განმარტება:თუ სერია ლაიბნიცის კრიტერიუმის მიხედვით იყრის თავს და მოდულებისგან შემდგარი სერიაც იყრის თავს, მაშინ ამბობენ, რომ სერია აბსოლუტურად ემთხვევა.

თუ სერია ერთმანეთს ემთხვევა ლაიბნიცის კრიტერიუმის მიხედვით, ხოლო მოდულებისგან შემდგარი სერია განსხვავდება, მაშინ სერია ითვლება პირობითად იყრის თავს.

თუ მოდულებისგან შემდგარი სერია იყრის თავს, მაშინ ეს სერიაც იყრის თავს.

ამიტომ, ალტერნატიული კონვერგენციული სერია უნდა შემოწმდეს აბსოლუტური ან პირობითი კონვერგენციისთვის.

მაგალითი:

გამოსავალი:ჩვენ ვიყენებთ ლაიბნიცის კრიტერიუმს:

1) სერიის ყოველი შემდეგი წევრი წინაზე ნაკლებია აბსოლუტური მნიშვნელობით: – პირველი პირობა დაკმაყოფილებულია.

2) - მეორე პირობაც დაკმაყოფილებულია.

დასკვნა: სერია იყრის თავს.

მოდით შევამოწმოთ პირობითი ან აბსოლუტური კონვერგენცია.

მოდით შევქმნათ მოდულების სერია - ისევ უბრალოდ ვხსნით მულტიპლიკატორს, რომელიც უზრუნველყოფს ნიშნების მონაცვლეობას:
– განსხვავდება (ჰარმონიული სერია).

ასე რომ, ჩვენი სერია არ არის აბსოლუტურად კონვერგენტული.
შესწავლილი სერია პირობითად იყრის თავს.

მაგალითი:შეისწავლეთ რიგი პირობითი ან აბსოლუტური კონვერგენციისთვის

გამოსავალი:ჩვენ ვიყენებთ ლაიბნიცის კრიტერიუმს:
1) შევეცადოთ ჩამოვწეროთ სერიის პირველი რამდენიმე ტერმინი:

…?!

საქმე იმაშია, რომ ასეთი ლიმიტების გადაჭრის სტანდარტული, ყოველდღიური ტექნიკა არ არსებობს. სად გადის ეს ზღვარი? ნულამდე, უსასრულობამდე? აქ მნიშვნელოვანია ის, თუ რა იზრდება უფრო სწრაფად უსასრულობაში- მრიცხველი ან მნიშვნელი.

თუ მრიცხველი at იზრდება უფრო სწრაფად ვიდრე ფაქტორიალი, მაშინ . თუ უსასრულობაში ფაქტორიალი მრიცხველზე უფრო სწრაფად იზრდება, მაშინ ის, პირიქით, „გაიყვანს“ ზღვარს ნულამდე: . ან იქნებ ეს ზღვარი უდრის რაიმე არანულოვან რიცხვს? ან . ამის ნაცვლად, შეგიძლიათ შეცვალოთ მეათასე ხარისხის ზოგიერთი პოლინომი, ეს ისევ არ შეცვლის სიტუაციას - ადრე თუ გვიან ფაქტორიალი მაინც "გასწრებს" ასეთ საშინელ პოლინომს. ფაქტორული მეტი მაღალი შეკვეთაზრდა.

– ფაქტორიალი უფრო სწრაფად იზრდება ვიდრე ნებისმიერი რაოდენობის პროდუქტიექსპონენციალური და სიმძლავრის მიმდევრობები(ჩვენი შემთხვევა).

– ნებისმიერიექსპონენციალური მიმდევრობა იზრდება უფრო სწრაფად, ვიდრე ნებისმიერი სიმძლავრის მიმდევრობა, მაგალითად: , . ექსპონენციალური თანმიმდევრობა ზრდის უფრო მაღალი რიგივიდრე ნებისმიერი სიმძლავრის თანმიმდევრობა. ფაქტორულის მსგავსად, ექსპონენციალური მიმდევრობა „გაათრევს“ ნებისმიერი რაოდენობის სიმძლავრის მიმდევრობის ან მრავალწევრის ნამრავლს: .

– არის რამე ფაქტორულზე „ძლიერი“? ჭამე! სიმძლავრის ექსპონენციალური თანმიმდევრობა ("en" ხარისხამდე "en") იზრდება უფრო სწრაფად, ვიდრე ფაქტორიალი. პრაქტიკაში ეს იშვიათია, მაგრამ ინფორმაცია არ იქნება ზედმეტი.

დახმარების დასასრული

ამრიგად, კვლევის მეორე პუნქტი შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:
2) , ვინაიდან ზრდის რიგი უფრო მაღალია ვიდრე .
სერიის პირობები მცირდება მოდულის მიხედვით, რაღაც რიცხვიდან დაწყებული, ამ შემთხვევაში სერიის ყოველი შემდეგი წევრი წინაზე ნაკლებია აბსოლუტური მნიშვნელობით, შესაბამისად კლება ერთფეროვანია.

დასკვნა: სერია იყრის თავს.

აქ არის ზუსტად ის კურიოზული შემთხვევა, როდესაც სერიის პირობები პირველად იზრდება აბსოლუტური მნიშვნელობით, რის გამოც ჩვენ გვქონდა მცდარი საწყისი მოსაზრება ლიმიტის შესახებ. მაგრამ, დაწყებული რაღაც რიცხვიდან "en", ფაქტორიალი უსწრებს მრიცხველს და რიგის „კუდი“ ხდება მონოტონურად კლებადი, რაც ფუნდამენტურად მნიშვნელოვანია ლაიბნიცის თეორემის პირობების შესასრულებლად. ზუსტად რას უდრის ეს „ენ“ საკმაოდ რთული გასარკვევია..

ჩვენ განვიხილავთ სერიას აბსოლუტური ან პირობითი კონვერგენციისთვის:

და აქ დ’ალმბერტის ნიშანი უკვე მუშაობს:

ჩვენ ვიყენებთ დ'ალბერტის ნიშანს:

ამგვარად, სერია ერთმანეთს ემთხვევა.

შესწავლილი სერია აბსოლუტურად ემთხვევა.

გაანალიზებული მაგალითი შეიძლება სხვაგვარადაც ამოხსნას (გამოვიყენებთ საკმარის კრიტერიუმს ალტერნატიული სერიის კონვერგენციისთვის).

ალტერნატიული სერიის კონვერგენციის საკმარისი ნიშანი:თუ მოცემული სერიის ტერმინების აბსოლუტური მნიშვნელობებისგან შემდგარი სერია იყრის თავს, მაშინ მოცემული სერიაც იყრის თავს.

მეორე გზა:

შეისწავლეთ რიგი პირობითი ან აბსოლუტური კონვერგენციისთვის

გამოსავალი : ჩვენ განვიხილავთ სერიას აბსოლუტური კონვერგენციისთვის:

ჩვენ ვიყენებთ დ'ალბერტის ნიშანს:

ამგვარად, სერია ერთმანეთს ემთხვევა.
ალტერნატიული სერიის კონვერგენციის საკმარის კრიტერიუმზე დაყრდნობით, სერია თავად იყრის თავს.

დასკვნა: სასწავლო სერია აბსოლუტურად ემთხვევა.

სერიების ჯამის გამოთვლა მოცემული სიზუსტითჩვენ გამოვიყენებთ შემდეგ თეორემას:

მორიგეობითი სერიის ნიშანი აკმაყოფილებს ლაიბნიცის კრიტერიუმის პირობებს და ნება - მისი ნნაწილობრივი თანხა. შემდეგ სერიები იყრის თავს და შეცდომაა მისი ჯამის სავარაუდო გამოთვლაში საბსოლუტურ მნიშვნელობაში არ აღემატება პირველი გაუქმებული ტერმინის მოდულს:

ფუნქციური სერია. სიმძლავრის სერია.
სერიის კონვერგენციის დიაპაზონი.

თემის წარმატებით ათვისებისთვის საჭიროა კარგად გესმოდეთ ჩვეულებრივი რიცხვების სერიები.

დ'ალბერტის კონვერგენციის ტესტი რადიკალური კოშის კონვერგენციის ტესტი ინტეგრალური კოშის კონვერგენციის ტესტი

ერთ-ერთი საერთო შედარების ნიშანი, რომელიც გვხვდება პრაქტიკულ მაგალითებში, არის დ'ალმბერის ნიშანი. კოშის ნიშნები ნაკლებად გავრცელებულია, მაგრამ ასევე ძალიან პოპულარულია. როგორც ყოველთვის, შევეცდები წარმოვადგინო მასალა მარტივად, მისაწვდომად და გასაგებად. თემა არ არის ყველაზე რთული და ყველა დავალება გარკვეულწილად სტანდარტულია.

ჟან ლერონ დ'ალმბერი იყო მე-18 საუკუნის ცნობილი ფრანგი მათემატიკოსი. ზოგადად, დ’ალმბერი სპეციალიზირებული იყო დიფერენციალურ განტოლებებში და მისი კვლევის საფუძველზე სწავლობდა ბალისტიკას, რათა მისი უდიდებულესობის ქვემეხები უკეთესად ფრენდნენ. ამავდროულად, მე არ დამავიწყდა რიცხვების სერიების შესახებ, უშედეგოდ, ნაპოლეონის ჯარების რიგები ასე აშკარად გადაიზარდა.

ჯერ დავიწყოთ მიმოხილვით. გავიხსენოთ შემთხვევები, როდესაც ყველაზე პოპულარული უნდა გამოიყენოთ შედარების ზღვარი. შედარების შემზღუდველი კრიტერიუმი გამოიყენება სერიის ზოგად ტერმინში:
1) მნიშვნელი შეიცავს მრავალწევრს.
2) პოლინომები არის მრიცხველშიც და მნიშვნელშიც.
3) ერთი ან ორივე მრავალწევრი შეიძლება იყოს ფესვის ქვეშ.

დ'ალმბერის ტესტის გამოყენების ძირითადი წინაპირობები შემდეგია:

1) სერიის საერთო ტერმინი (სერიის „ჩაყრა“) გარკვეულ რიცხვს მოიცავს, მაგალითად, და ა.შ. უფრო მეტიც, საერთოდ არ აქვს მნიშვნელობა სად მდებარეობს ეს ნივთი, მრიცხველში თუ მნიშვნელში - მთავარია ის იქ იყოს.

2) სერიის საერთო ტერმინი მოიცავს ფაქტორიალს. კლასში დავჯვარედინეთ ხმლები ფაქტორებით რიცხვების თანმიმდევრობა და მისი ზღვარი. თუმცა, არ დააზარალებს ხელახლა აწყობილი სუფრის გაშლა:

…

…

3) თუ სერიის ზოგად ტერმინში არის „ფაქტორების ჯაჭვი“, მაგალითად, . ეს შემთხვევა იშვიათია, მაგრამ! ასეთი სერიის შესწავლისას ხშირად უშვებენ შეცდომას - იხილეთ მაგალითი 6.

გარდა ამისა, სერიის საერთო ტერმინში შეიძლება მოხდეს როგორც ხარისხი, ასევე ფაქტორიალი ერთდროულად; შეიძლება იყოს ორი ფაქტორიალი, ორი გრადუსი, მნიშვნელოვანია რომ იყოს რაღაც მაინცგანხილული პუნქტები - და სწორედ ეს არის დ'ალმბერის ნიშნის გამოყენების წინაპირობა.

დ'ალბერტის ნიშანი: განვიხილოთ დადებითი რიცხვების სერია. თუ არსებობს შეზღუდვა მომდევნო ტერმინის შეფარდებაზე წინასთან: , მაშინ:
ა) როცა მწკრივი იყრის თავს. კერძოდ, სერია იყრის თავს.
ბ) როცა მწკრივი განსხვავდება. კერძოდ, სერია განსხვავდება ზე.
გ) როდის ნიშანი არ იძლევა პასუხს. თქვენ უნდა გამოიყენოთ სხვა ნიშანი. ყველაზე ხშირად, ერთი მიიღება იმ შემთხვევაში, როდესაც ისინი ცდილობენ გამოიყენონ დ'ალმბერტის ტესტი, სადაც აუცილებელია შეზღუდვის შედარების ტესტის გამოყენება.

ვისაც ჯერ კიდევ აქვს პრობლემები საზღვრებთან ან საზღვრების გაუგებრობით, იხილეთ გაკვეთილი ლიმიტები. გადაწყვეტილებების მაგალითები. ზღვრის გააზრებისა და გაურკვევლობის გამოვლენის უნარის გარეშე, სამწუხაროდ, წინსვლა შეუძლებელია.

ახლა კი დიდი ხნის ნანატრი მაგალითები.

მაგალითი 1

ჩვენ ვხედავთ, რომ სერიის ზოგად ტერმინში გვაქვს , და ეს არის დ'ალმბერის ტესტის გამოყენების უეჭველი წინაპირობა. პირველი, სრული გადაწყვეტა და ნიმუშის დიზაინი, კომენტარები ქვემოთ.

ჩვენ ვიყენებთ დ'ალბერტის ნიშანს:

იყრის თავს.

(1) ჩვენ ვადგენთ სერიის შემდეგი წევრის თანაფარდობას წინასთან: . მდგომარეობიდან ვხედავთ, რომ სერიის ზოგადი ტერმინია . სერიის შემდეგი წევრის მისაღებად აუცილებელია ჩანაცვლების ნაცვლად: .
(2) ვაშორებთ ოთხსართულიან წილადს. თუ გადაწყვეტის გამოცდილება გაქვთ, შეგიძლიათ გამოტოვოთ ეს ნაბიჯი.
(3) გახსენით ფრჩხილები მრიცხველში. მნიშვნელში ოთხს ვიღებთ სიმძლავრისგან.
(4) შემცირება . ჩვენ ვიღებთ მუდმივ ზღვრულ ნიშანს. მრიცხველში წარმოგიდგენთ მსგავს ტერმინებს ფრჩხილებში.
(5) გაურკვევლობა აღმოიფხვრება სტანდარტული გზით - მრიცხველისა და მნიშვნელის "en"-ზე გაყოფით უმაღლეს ხარისხზე.
(6) ჩვენ ვყოფთ მრიცხველებს ტერმინებზე მნიშვნელებზე და მივუთითებთ ტერმინებს, რომლებიც ნულისკენ მიდრეკილნი არიან.
(7) ჩვენ ვამარტივებთ პასუხს და ვაკეთებთ შენიშვნას, რომ დასკვნა, რომ დ’ალმბერტის კრიტერიუმის მიხედვით, შესასწავლი სერიები ერთმანეთს ემთხვევა.

განხილულ მაგალითში სერიის ზოგად ტერმინში შევხვდით მე-2 ხარისხის მრავალწევრს. რა უნდა გააკეთოს, თუ არის მე-3, მე-4 ან უფრო მაღალი ხარისხის მრავალწევრი? ფაქტია, რომ თუ უფრო მაღალი ხარისხის პოლინომია მოცემული, მაშინ სირთულეები წარმოიქმნება ფრჩხილების გახსნისას. ამ შემთხვევაში, შეგიძლიათ გამოიყენოთ "ტურბო" გადაწყვეტის მეთოდი.

მაგალითი 2

ავიღოთ მსგავსი სერია და შევამოწმოთ კონვერგენციისთვის

ჯერ სრული გამოსავალი, შემდეგ კომენტარები:

ჩვენ ვიყენებთ დ'ალბერტის ნიშანს:

ამრიგად, შესწავლილი სერია იყრის თავს.

(1) ჩვენ ვქმნით კავშირს.
(2) ვაშორებთ ოთხსართულიან წილადს.
(3) განვიხილოთ გამოხატულება მრიცხველში და გამოხატულება მნიშვნელში. ჩვენ ვხედავთ, რომ მრიცხველში უნდა გავხსნათ ფრჩხილები და ავწიოთ ისინი მეოთხე ხარისხზე: , რაც აბსოლუტურად არ გვინდა. გარდა ამისა, მათთვის, ვინც არ იცნობს ნიუტონის ბინომალს, ეს ამოცანა შეიძლება საერთოდ არ იყოს შესრულებული. გავაანალიზოთ უმაღლესი გრადუსები: თუ ზევით ფრჩხილებს გავხსნით, მივიღებთ უმაღლეს ხარისხს. ქვემოთ გვაქვს იგივე უმაღლესი ხარისხი: . წინა მაგალითის ანალოგიით, აშკარაა, რომ მრიცხველის და მნიშვნელის ტერმინის ტერმინებზე გაყოფისას, ჩვენ ერთს ვიღებთ ზღვარში. ან, როგორც მათემატიკოსები ამბობენ, მრავალწევრები და - ზრდის იგივე თანმიმდევრობა. ამრიგად, სავსებით შესაძლებელია შეფარდება უბრალო ფანქრით შემოხაზოთ და დაუყოვნებლივ მიუთითოთ, რომ ეს ნივთი ერთისკენ არის მიდრეკილი. პოლინომების მეორე წყვილსაც ანალოგიურად ვაქცევთ: და , ისინიც ზრდის იგივე თანმიმდევრობადა მათი თანაფარდობა მიდრეკილია ერთიანობისკენ.

სინამდვილეში, ასეთი "ჰაკი" შეიძლებოდა გამოეყვანა მაგალით 1-ში, მაგრამ მე-2 ხარისხის პოლინომისთვის ასეთი ამონახსნი მაინც რატომღაც უღირსად გამოიყურება. პირადად მე ასე ვაკეთებ: თუ არის პირველი ან მეორე ხარისხის პოლინომი (ან პოლინომები), ვიყენებ „გრძელ“ მეთოდს მაგალითი 1-ის გადასაჭრელად. თუ შემხვდა მე-3 ან უფრო მაღალი ხარისხის პოლინომი, ვიყენებ "ტურბო" მეთოდი, როგორც მაგალითი 2.

მაგალითი 3

გადახედეთ სერიას კონვერგენციისთვის

ამოხსნის სრული და ნიმუშის დიზაინი გაკვეთილის ბოლოს რიცხვების მიმდევრობის შესახებ.
(4) ჩვენ ვჭრით ყველაფერს, რისი მოჭრაც შესაძლებელია.
(5) ჩვენ გადავაადგილებთ მუდმივას ზღვრულ ნიშანს მიღმა. გახსენით ფრჩხილები მრიცხველში.
(6) ჩვენ აღმოვფხვრათ გაურკვევლობა სტანდარტული გზით - მრიცხველის და მნიშვნელის გაყოფით "en"-ზე უმაღლეს ხარისხზე.

მაგალითი 5

გადახედეთ სერიას კონვერგენციისთვის

სრული გადაწყვეტა და ნიმუშის დიზაინი გაკვეთილის ბოლოს

მაგალითი 6

გადახედეთ სერიას კონვერგენციისთვის

ზოგჯერ არის სერიები, რომლებიც შეიცავს ფაქტორების "ჯაჭვს" მათ შევსებაში, ჩვენ ჯერ არ განვიხილავთ ამ ტიპის სერიას. როგორ შევისწავლოთ სერია ფაქტორების „ჯაჭვით“? გამოიყენეთ დ'ალბერტის ნიშანი. მაგრამ ჯერ იმის გასაგებად, თუ რა ხდება, მოდით დეტალურად აღვწეროთ სერია:

გაფართოებიდან ვხედავთ, რომ სერიის ყოველ მომდევნო წევრს აქვს დამატებითი ფაქტორი დამატებული მნიშვნელზე, შესაბამისად, თუ სერიის საერთო წევრი არის , მაშინ სერიის შემდეგი წევრია:
. ეს არის სადაც ისინი ხშირად ავტომატურად უშვებენ შეცდომას, ფორმალურად წერენ ალგორითმის მიხედვით, რომ

გამოსავლის ნიმუში შეიძლება ასე გამოიყურებოდეს:

ჩვენ ვიყენებთ დ'ალბერტის ნიშანს:

ამრიგად, შესწავლილი სერია იყრის თავს.

სანამ ამ თემაზე მუშაობას დაიწყებთ, გირჩევთ, გადახედოთ რიცხვების სერიების ტერმინოლოგიით განყოფილებას. განსაკუთრებით ღირს ყურადღების მიქცევა სერიის საერთო ტერმინის კონცეფციაზე. თუ თქვენ გაქვთ ეჭვი კონვერგენციის კრიტერიუმის სწორ არჩევანში, გირჩევთ, გადახედოთ თემას „რიცხვთა სერიებისთვის კონვერგენციის კრიტერიუმის არჩევა“.

D'Alembert-ის ტესტი (ან d'Alembert-ის ტესტი) გამოიყენება იმ სერიების კონვერგენციის შესასწავლად, რომელთა საერთო ტერმინი მკაცრად აღემატება ნულს, ანუ $u_n > 0$ მკაცრად დადებითი. სტანდარტულ მაგალითებში დ'ალმბერის ნიშანი გამოიყენება უკიდურესი ფორმით.

დ'ალბერტის ნიშანი (მისი უკიდურესი ფორმით)

თუ სერია $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ მკაცრად დადებითია და $$ \lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=L , $$ შემდეგ $L<1$ ряд сходится, а при $L>1$ (და $L=\infty$) სერია განსხვავდება.

ფორმულირება საკმაოდ მარტივია, მაგრამ შემდეგი კითხვა რჩება ღია: რა მოხდება, თუ $L=1$? დ'ალმბერტის ტესტს არ შეუძლია ამ კითხვაზე პასუხის გაცემა, თუ $L=1$, მაშინ სერია შეიძლება გადაიზარდოს და განსხვავდებოდეს.

ყველაზე ხშირად, სტანდარტულ მაგალითებში, დ'ალმბერის კრიტერიუმი გამოიყენება, თუ სერიის ზოგადი ტერმინის გამოხატულება შეიცავს $n$-ის მრავალწევრს (მრავალნომი შეიძლება იყოს ფესვის ქვეშ) და $a^n ფორმის ხარისხს. $ ან $n!$ მაგალითად, $u_n= \frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$ (იხ. მაგალითი No1) ან $u_n=\frac(\. sqrt(4n+5))((3n-2)$ (см. пример №2). Вообще, для стандартного примера наличие $n!$ - это своеобразная "визитная карточка" признака Д"Аламбера.!}

რას ნიშნავს გამოთქმა "n!" ჩვენება/დამალვა

ჩაწერა "n!" (წაიკითხეთ "en factorial") აღნიშნავს ყველა ნატურალური რიცხვის ნამრავლს 1-დან n-მდე, ე.ი.

$$ n!=1\cdot2\cdot 3\cdot \ldots\cdot n $$

განმარტებით, ვარაუდობენ, რომ $0!=1!=1$. მაგალითად, ვიპოვოთ 5!:

$$ 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120. $$

გარდა ამისა, დ'ალმბერტის ტესტი ხშირად გამოიყენება სერიის კონვერგენციის დასადგენად, რომლის საერთო ტერმინი შეიცავს შემდეგი სტრუქტურის ნამრავლს: $u_n=\frac(3\cdot 5\cdot 7\cdot\ldots\cdot(2n +1))(2\ cdot 5\cdot 8\cdot\ldots\cdot(3n-1))$.

მაგალითი No1

შეისწავლეთ სერია $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$ კონვერგენციისთვის.

ვინაიდან შეჯამების ქვედა ზღვარი არის 1, სერიის ზოგადი ტერმინი იწერება ჯამის ნიშნის ქვეშ: $u_n=\frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$. ვინაიდან $n≥ 1$-ისთვის გვაქვს $3n+7 > 0$, $5^n>0$ და $2n^3-1 > 0$, შემდეგ $u_n > 0$. ამიტომ, ჩვენი სერია მკაცრად პოზიტიურია.

$$ 5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac((3n+10)\left(2n^3-1\მარჯვნივ))(\left(2(n+1)^3-1\მარჯვნივ )(3n+7))=\მარცხნივ|\frac(\infty)(\infty)\right|= 5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\frac((3n+10)\მარცხნივ (2n^3-1\მარჯვნივ))(n^4))(\frac(\left(2(n+1)^3-1\right)(3n+7))(n^4))= 5 \cdot\lim_(n\infty)\frac(\frac(3n+10)(n)\cdot\frac(2n^3-1)(n^3))(\frac(\left(2( n+1)^3-1\მარჯვნივ))(n^3)\cdot\frac(3n+7)(n))=\\ =5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\ მარცხენა(\frac(3n)(n)+\frac(10)(n)\right)\cdot\left(\frac(2n^3)(n^3)-\frac(1)(n^3) \მარჯვნივ))(\left(2\left(\frac(n)(n)+\frac(1)(n)\right)^3-\frac(1)(n^3)\right)\cdot \left(\frac(3n)(n)+\frac(7)(n)\right))=5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\left(3+\frac(10) (n)\right)\cdot\left(2-\frac(1)(n^3)\right))(\left(2\left(1+\frac(1)(n)\right)^3 -\frac(1)(n^3)\right)\cdot\left(3+\frac(7)(n)\right))=5\cdot\frac(3\cdot 2)(2\cdot 3 )=5. $$

ვინაიდან $\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=5>1$, მაშინ მოცემული სერიების მიხედვით განსხვავდება.

მართალი გითხრათ, დ'ალმბერის ტესტი არ არის ერთადერთი ვარიანტი ამ სიტუაციაში, მაგალითად, რადიკალური კოშის ტესტის გამოყენება მოითხოვს დამატებით ფორმულებს D'Alembert ტესტი ამ სიტუაციაში უფრო მოსახერხებელია.

უპასუხე: სერია განსხვავდება.

მაგალითი No2

გამოიკვლიეთ სერია $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)$ на сходимость.!}

ვინაიდან შეჯამების ქვედა ზღვარი არის 1, სერიის ზოგადი ტერმინი იწერება ჯამის ნიშნის ქვეშ: $u_n=\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)$. Заданный ряд является строго положительным, т.е. $u_n>0$.!}

რიგის საერთო ტერმინი შეიცავს მრავალწევრს ფესვის ქვეშ, ე.ი. $\sqrt(4n+5)$ და ფაქტორული $(3n-2)!$. სტანდარტულ მაგალითში ფაქტორების არსებობა დ'ალმბერის კრიტერიუმის გამოყენების თითქმის ასი პროცენტიანი გარანტიაა.

ამ კრიტერიუმის გამოსაყენებლად, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ $\frac(u_(n+1))(u_n)$ თანაფარდობის ზღვარი. $u_(n+1)$-ის დასაწერად საჭიროა ფორმულაში $u_n=\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)$ вместо $n$ подставить $n+1$:!}

$$ u_(n+1)=\frac(\sqrt(4(n+1)+5))((3(n+1)-2)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n+1)!}. $$ !}

ვინაიდან $(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$, მაშინ $u_(n+1)$-ის ფორმულა შეიძლება დაიწეროს როგორც სხვას:

$$ u_(n+1)=\frac(\sqrt(4n+9))((3n+1)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}. $$ !}

ეს აღნიშვნა მოსახერხებელია შემდგომი გადაწყვეტილებებისთვის, როდესაც წილადი უნდა შევამციროთ ლიმიტის ქვეშ. თუ ფაქტორებთან თანასწორობა დაზუსტებას მოითხოვს, გთხოვთ გახსენით ქვემოთ მოცემული შენიშვნა.

როგორ მივიღეთ ტოლობა $(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$? ჩვენება/დამალვა

აღნიშვნა $(3n+1)!$ ნიშნავს ყველა ნატურალური რიცხვის ნამრავლს 1-დან $3n+1$-მდე. იმათ. ეს გამოთქმა შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

$$ (3n+1)!=1\cdot 2\cdot\ldots\cdot(3n+1). $$

პირდაპირ $3n+1$ რიცხვამდე არის რიცხვი, რომელიც ერთით ნაკლებია, ე.ი. ნომერი $3n+1-1=3n$. და პირდაპირ რიცხვამდე $3n$ არის რიცხვი $3n-1$. ისე, პირდაპირ რიცხვამდე $3n-1$ გვაქვს რიცხვი $3n-1-1=3n-2$. მოდით გადავწეროთ $(3n+1)!$-ის ფორმულა:

$$ (3n+1)!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot(3n-2)\cdot(3n-1)\cdot 3n\cdot (3n+1) $$

რა არის პროდუქტი $1\cdot2\cdot\ldots\cdot(3n-2)$? ეს პროდუქტი უდრის $(3n-2)!$-ს. აქედან გამომდინარე, გამოხატულება $(3n+1)!$ შეიძლება გადაიწეროს შემდეგი ფორმით:

$$(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$$

ეს აღნიშვნა მოსახერხებელია შემდგომი ამონახსნებისთვის, როცა წილადი უნდა შევამციროთ ლიმიტის ქვეშ.

მოდით გამოვთვალოთ $\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)$-ის მნიშვნელობა:

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=\lim_(n\infty)\frac(\frac(\sqrt(4n+9))(( 3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)))(\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)}= \lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\frac{(3n-2)!}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}\right)=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}= \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4+\frac{9}{n}}}{\sqrt{4+\frac{5}{n}}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}=1\cdot 0=0. $$ !}

ვინაიდან $\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=0<1$, то согласно

დ'ალმბერის ტესტის გამოყენების ძირითადი წინაპირობები შემდეგია:

2) სერიის საერთო ტერმინი მოიცავს ფაქტორიალს. რა არის ფაქტორული? არაფერია რთული, ფაქტორული მხოლოდ პროდუქტის შედედებული წარმოდგენაა:

…

…

ვისაც ჯერ კიდევ აქვს საზღვრების პრობლემა ან გაუგებრობა, მიმართეთ თემას ლიმიტები. გადაწყვეტილებების მაგალითები. ზღვრის გააზრებისა და გაურკვევლობის გამოვლენის უნარის გარეშე, სამწუხაროდ, წინსვლა შეუძლებელია. ახლა კი დიდი ხნის ნანატრი მაგალითები.

მაგალითი 1
ჩვენ ვხედავთ, რომ სერიის ზოგად ტერმინში გვაქვს , და ეს არის დ'ალმბერის ტესტის გამოყენების უეჭველი წინაპირობა. პირველი, სრული გადაწყვეტა და ნიმუშის დიზაინი, კომენტარები ქვემოთ.

ჩვენ ვიყენებთ დ'ალბერტის ნიშანს:

იყრის თავს.

მაგალითი 2 ავიღოთ მსგავსი სერია და შევამოწმოთ კონვერგენციისთვის
ჯერ სრული გამოსავალი, შემდეგ კომენტარები:

ჩვენ ვიყენებთ დ'ალბერტის ნიშანს:

ამრიგად, შესწავლილი სერია იყრის თავს.

მაგალითი 3 .

მოდით შევხედოთ ტიპურ მაგალითებს ფაქტორებით:

მაგალითი 4 გადახედეთ სერიას კონვერგენციისთვის

სერიის საერთო ტერმინი მოიცავს როგორც ხარისხს, ასევე ფაქტორიალს. დღევით ნათელია, რომ აქ დ'ალმბერის ნიშანი უნდა იყოს გამოყენებული. გადავწყვიტოთ.

ამრიგად, შესწავლილი სერია განსხვავდება.

(1) ჩვენ ვქმნით კავშირს. ისევ ვიმეორებთ. პირობით, სერიის საერთო ტერმინია: . სერიის შემდეგი ტერმინის მისაღებად, ამის ნაცვლად, თქვენ უნდა შეცვალოთ, ამრიგად: .
(2) ვაშორებთ ოთხსართულიან წილადს.
(3) ამოიღეთ შვიდი ხარისხიდან. ჩვენ დეტალურად აღვწერთ ფაქტორებს. როგორ გავაკეთოთ ეს - იხილეთ გაკვეთილის დასაწყისი.
(4) ჩვენ ვჭრით ყველაფერს, რისი მოჭრაც შესაძლებელია.
(5) ჩვენ გადავაადგილებთ მუდმივას ზღვრულ ნიშანს მიღმა. გახსენით ფრჩხილები მრიცხველში.
(6) ჩვენ აღმოვფხვრათ გაურკვევლობა სტანდარტული გზით - მრიცხველის და მნიშვნელის გაყოფით "en"-ზე უმაღლეს ხარისხზე.

მაგალითი 5გადახედეთ სერიას კონვერგენციის მიზნით.

მაგალითი 6გადახედეთ სერიას კონვერგენციისთვის

მიახლოებითი ნიმუშის გამოსავალი შეიძლება ასე გამოიყურებოდეს: გამოვიყენოთ დ'ალბერტის ნიშანი:
ამრიგად, შესწავლილი სერია იყრის თავს.
რადიკალური კაუშის ნიშანი

ავგუსტინ ლუი კოში კიდევ უფრო ცნობილი ფრანგი მათემატიკოსია. ინჟინერიის ნებისმიერ სტუდენტს შეუძლია გითხრათ კოშის ბიოგრაფია. ყველაზე თვალწარმტაცი ფერებში. შემთხვევითი არ არის, რომ ეს სახელი ეიფელის კოშკის პირველ სართულზეა ამოკვეთილი.

რადიკალ კოშის ნიშანი:განვიხილოთ დადებითი რიცხვების სერია. თუ არსებობს ლიმიტი: , მაშინ:
ა) როცა მწკრივი იყრის თავს. კერძოდ, სერია იყრის თავს.
ბ) როცა მწკრივი განსხვავდება. კერძოდ, სერია განსხვავდება ზე.
გ) როდის ნიშანი არ იძლევა პასუხს. თქვენ უნდა გამოიყენოთ სხვა ნიშანი. საინტერესოა ისიც, რომ თუ კოშის ტესტი არ გაგვცემს პასუხს სერიის დაახლოების კითხვაზე, მაშინ დ'ალმბერის ტესტიც არ მოგვცემს პასუხს. მაგრამ თუ დ’ალმბერის ნიშანი არ იძლევა პასუხს, მაშინ კოშის ნიშანი შეიძლება „იმუშაოს“. ანუ კოშის ნიშანი ამ თვალსაზრისით უფრო ძლიერი ნიშანია.

როდის უნდა გამოვიყენოთ რადიკალური კოშის ნიშანი?რადიკალური კოშის ტესტი ჩვეულებრივ გამოიყენება იმ შემთხვევებში, როდესაც სერიის საერთო ტერმინია სრულადარის ხარისხი დამოკიდებულია "en"-ზე. ან როცა ძირი „კარგი“ ამოღებულია სერიის საერთო წევრიდან. არის ეგზოტიკური შემთხვევებიც, მაგრამ ჩვენ მათზე არ ვიდარდებთ.

მაგალითი 7გადახედეთ სერიას კონვერგენციისთვის

ჩვენ ვხედავთ, რომ სერიის ზოგადი ტერმინი მთლიანად ექვემდებარება ძალას, რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ უნდა გამოვიყენოთ რადიკალური კოშის ტესტი:

ამრიგად, შესწავლილი სერია განსხვავდება.

(1) ჩვენ ვაყალიბებთ სერიის საერთო ტერმინს ფესვის ქვეშ.
(2) ჩვენ ხელახლა ვწერთ იგივეს, მხოლოდ ფესვის გარეშე, გრადუსების თვისების გამოყენებით.
(3) ინდიკატორში ჩვენ ვყოფთ მრიცხველს მნიშვნელზე ტერმინით, რაც მიუთითებს იმაზე, რომ
(4) შედეგად, ჩვენ გვაქვს გაურკვევლობა. აქ შეგიძლიათ გაიაროთ გრძელი გზა: კუბი, კუბი, შემდეგ გაყავით მრიცხველი და მნიშვნელი „en“-ზე უმაღლეს ხარისხამდე. მაგრამ ამ შემთხვევაში, არსებობს უფრო ეფექტური გამოსავალი: შეგიძლიათ მრიცხველის და მნიშვნელის ტერმინი გაყოთ ტერმინებზე პირდაპირ მუდმივი სიმძლავრის ქვეშ. გაურკვევლობის აღმოსაფხვრელად, გაყავით მრიცხველი და მნიშვნელი (უმაღლეს ხარისხზე).
(5) ჩვენ რეალურად ვასრულებთ ტერმინებით დაყოფას და მივუთითებთ ტერმინებს, რომლებიც ნულისკენ მიდრეკილნი არიან.
(6) მახსენდება პასუხი, აღვნიშნავთ რა გვაქვს და ვასკვნით, რომ სერია განსხვავდება.

აქ არის უფრო მარტივი მაგალითი, რომლითაც თქვენ თავად უნდა მოაგვაროთ:

მაგალითი 8 გადახედეთ სერიას კონვერგენციისთვის

და კიდევ რამდენიმე ტიპიური მაგალითი.

სრული გადაწყვეტა და ნიმუშის დიზაინი მოცემულია ქვემოთ.

მაგალითი 9 გადახედეთ სერიას კონვერგენციისთვის
ჩვენ ვიყენებთ რადიკალურ კოშის ტესტს:

ამრიგად, შესწავლილი სერია იყრის თავს.

(1) მოათავსეთ სერიის საერთო ტერმინი ფესვის ქვეშ.
(2) ჩვენ ხელახლა ვწერთ იგივეს, მაგრამ ფესვის გარეშე, ფრჩხილების გახსნისას გამრავლების შემოკლებული ფორმულის გამოყენებით: .
(3) ინდიკატორში ჩვენ ვყოფთ მრიცხველს მნიშვნელის ტერმინზე და მივუთითებთ, რომ .
(4) ფორმის გაურკვევლობა. აქ შეგიძლიათ პირდაპირ გაყოთ მრიცხველი ფრჩხილებში მოცემულ მნიშვნელზე "en"-ით უმაღლეს ხარისხამდე. მსგავსი რამ სწავლისას შეგვხვდა მეორე მშვენიერი ლიმიტი. მაგრამ აქ სიტუაცია განსხვავებულია. თუ კოეფიციენტები უფრო მაღალ სიმძლავრეებზე იყო იდენტური, მაგალითად: , მაშინ ტრიუკი ტერმინით გაყოფით აღარ იმუშავებს და საჭირო იქნებოდა მეორე საყურადღებო ლიმიტის გამოყენება. მაგრამ ჩვენ გვაქვს ეს კოეფიციენტები განსხვავებული(5 და 6), ამიტომ შესაძლებელია (და აუცილებელია) ტერმინის დაყოფა ტერმინებზე (სხვათა შორის, პირიქით - მეორე ღირსშესანიშნავი ზღვარი განსხვავებულიკოეფიციენტები უფრო მაღალ სიმძლავრეებზე აღარ მუშაობს).
(5) ჩვენ რეალურად ვასრულებთ ტერმინებით დაყოფას და მივუთითებთ, რომელი ტერმინები მიდრეკილია ნულისკენ.
(6) გაურკვევლობა აღმოიფხვრა, უმარტივესი ზღვარი რჩება: რატომ? უსასრულოდ დიდიმიდრეკილია ნულისკენ? რადგან ხარისხის საფუძველი აკმაყოფილებს უთანასწორობას. თუ ვინმეს ეჭვი ეპარება ლიმიტის სამართლიანობაში, მაშინ მე არ ვიქნები ზარმაცი, ავიღებ კალკულატორს:
თუ, მაშინ
თუ, მაშინ
თუ, მაშინ
თუ, მაშინ
თუ, მაშინ
... და ა.შ. უსასრულობამდე - ანუ ზღვარში:
(7) ჩვენ მივუთითებთ, რომ დავასკვნით, რომ სერია ერთმანეთს ემთხვევა.

მაგალითი 10 გადახედეთ სერიას კონვერგენციისთვის

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი.

ზოგჯერ გამოსავალს სთავაზობენ პროვოკაციულ მაგალითს, მაგალითად:. აქ ექსპონენტში არა "ენ", მხოლოდ მუდმივი. აქ საჭიროა მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატი (მიიღებთ მრავალწევრებს), შემდეგ კი მიჰყევით სტატიის ალგორითმს რიგები დუმებისთვის. ასეთ მაგალითში ან სერიის კონვერგენციისთვის აუცილებელი ტესტი ან შედარებისთვის შემზღუდველი ტესტი უნდა მუშაობდეს.
ინტეგრალური CAUCHY ნიშანი

ვისაც კარგად არ ესმოდა პირველი კურსის მასალა, იმედი გავუცრუებ. კოშის ინტეგრალური ტესტის გამოსაყენებლად, მეტ-ნაკლებად დარწმუნებული უნდა იყოთ წარმოებულების, ინტეგრალების პოვნაში და ასევე გქონდეთ გამოთვლის უნარი. არასწორი ინტეგრალიპირველი სახის. მათემატიკური ანალიზის სახელმძღვანელოებში ინტეგრალური კოშის ტესტი მოცემულია მათემატიკურად მკაცრი ფორმით. და დაუყოვნებლივ მაგალითები განმარტებისთვის.

ინტეგრალური კოშის ტესტი:განვიხილოთ დადებითი რიცხვების სერია. ეს სერია ერთმანეთს ემთხვევა თუ ერთმანეთს ემთხვევა?

მაგალითი 11 გადახედეთ სერიას კონვერგენციისთვის

თითქმის კლასიკა. ბუნებრივი ლოგარითმი და რაღაც სისულელე.

ქოშის ინტეგრალური ტესტის გამოყენების მთავარი წინაპირობააარის ის ფაქტი, რომ სერიის ზოგად ტერმინში არის გარკვეული ფუნქცია და მისი წარმოებული. თემიდან წარმოებულიალბათ გახსოვთ ცხრილის უმარტივესი რამ: , და ჩვენ გვაქვს ასეთი კანონიკური შემთხვევა.

როგორ გამოვიყენოთ ინტეგრალური ატრიბუტი? პირველ რიგში, ჩვენ ვიღებთ ინტეგრალურ ხატულას და გადავიწერთ ზედა და ქვედა საზღვრებს სერიის "მრიცხველიდან": . შემდეგ ინტეგრალის ქვეშ გადავწერთ სერიის „შევსებას“ ასო „ის“: . რაღაც აკლია..., ოჰ, დიახ, თქვენ ასევე გჭირდებათ დიფერენციალური ხატის ჩასმა მრიცხველში: .

1) თუ აღმოჩნდება, რომ ინტეგრალი იყრის თავს, მაშინ ჩვენი სერიაც გადაიყრება.

ვიმეორებ, თუ მასალა უგულებელყოფილია, მაშინ აბზაცის წაკითხვა რთული და გაუგებარი იქნება, რადგან მახასიათებლის გამოყენება არსებითად გამოთვლაზე მოდის. არასწორი ინტეგრალიპირველი სახის.

სრული გადაწყვეტა და მაგალითის ფორმატი ასე უნდა გამოიყურებოდეს:

ჩვენ ვიყენებთ ინტეგრალურ ნიშანს:

მაგალითი 12 გადახედეთ სერიას კონვერგენციისთვის

ამოხსნა და ნიმუშის დიზაინი გაკვეთილის ბოლოს

განხილულ მაგალითებში, ლოგარითმი შეიძლება იყოს ძირის ქვეშ, ეს არ ცვლის ამოხსნის მეთოდს.

და კიდევ ორი მაგალითი დამწყებთათვის

მაგალითი 13 გადახედეთ სერიას კონვერგენციისთვის

ზოგადი „პარამეტრების“ მიხედვით, სერიის ზოგადი ტერმინი, როგორც ჩანს, შესაფერისია შედარებისთვის შემზღუდველი კრიტერიუმის გამოსაყენებლად. თქვენ უბრალოდ უნდა გახსნათ ფრჩხილები და დაუყონებლივ გადასცეთ კანდიდატს, რათა საფუძვლიანად შეადაროს ეს სერია კონვერგენტულ სერიას. თუმცა, ცოტას ვატყუებდი, არ გჭირდებათ ფრჩხილების გახსნა, მაგრამ მაინც შეზღუდვის შედარების კრიტერიუმით გამოსავალი საკმაოდ პრეტენზიულად გამოიყურება.

ამიტომ, ჩვენ ვიყენებთ ინტეგრალურ კოშის ტესტს:

ინტეგრაციის ფუნქცია უწყვეტია

იყრის თავსშესაბამის არასწორ ინტეგრალთან ერთად.

! შენიშვნა:შედეგად მიღებული რიცხვი არისარ არის სერიის ჯამი!!!

მაგალითი 14 გადახედეთ სერიას კონვერგენციისთვის

გამოსავალი და ნიმუშის დიზაინი არის განყოფილების ბოლოს, რომელიც მთავრდება.

იმისათვის, რომ სრულად და შეუქცევად დაეუფლოთ რიცხვთა სერიების თემას, ეწვიეთ თემებს.

გადაწყვეტილებები და პასუხები:

მაგალითი 3:ჩვენ ვიყენებთ დ'ალბერტის ნიშანს:

ამრიგად, შესწავლილი სერია განსხვავდება.
შენიშვნა: ასევე შესაძლებელი იყო "ტურბო" გადაწყვეტის მეთოდის გამოყენება: დაუყოვნებლივ შემოხაზეთ თანაფარდობა ფანქრით, მიუთითეთ, რომ იგი მიდრეკილია ერთიანობისკენ და გააკეთეთ შენიშვნა: "ზრდის იგივე რიგის".

მაგალითი 5: ვიყენებთ დ'ალმბერის ნიშანს: ამრიგად, შესასწავლი სერია იყრის თავს.

მაგალითი 8:

ამრიგად, შესწავლილი სერია იყრის თავს.

მაგალითი 10:
ჩვენ ვიყენებთ რადიკალურ კოშის ტესტს.

ამრიგად, შესწავლილი სერია განსხვავდება.
შენიშვნა: აქ საფუძველი არის ხარისხი, ასე რომ

მაგალითი 12: ჩვენ ვიყენებთ ინტეგრალურ ნიშანს.

მიიღება სასრული რიცხვი, რაც ნიშნავს, რომ შესწავლილი სერია არის იყრის თავს

მაგალითი 14: ჩვენ ვიყენებთ ინტეგრალურ ნიშანს
ინტეგრანტი უწყვეტია.

ამრიგად, შესწავლილი სერია განსხვავდებაშესაბამის არასწორ ინტეგრალთან ერთად.
შენიშვნა: სერიის შემოწმება ასევე შესაძლებელია გამოყენებითშედარების შემზღუდველი კრიტერიუმი . ამისათვის თქვენ უნდა გახსნათ ფრჩხილები ფესვის ქვეშ და შეადაროთ შესასწავლი სერია განსხვავებული სერიებს.

ალტერნატიული რიგები. ლაიბნიცის ნიშანი. გადაწყვეტილებების მაგალითები

ამ გაკვეთილის მაგალითების გასაგებად, თქვენ უნდა გესმოდეთ დადებითი რიცხვების სერიები: გაიგოთ რა არის სერია, იცოდეთ სერიების კონვერგენციის აუცილებელი ნიშანი, შეძლოთ შედარების ტესტების გამოყენება, დ'ალმბერის ტესტი. , კოშის ტესტი. თემის წამოწევა შესაძლებელია თითქმის ნულიდან სტატიების თანმიმდევრული შესწავლით რიგები დუმებისთვისდა დ'ალბერტის ნიშანი. კოშის ნიშნები. ლოგიკურად, ეს გაკვეთილი რიგით მესამეა და საშუალებას მოგცემთ გაიგოთ არა მხოლოდ მონაცვლეობითი რიგები, არამედ გააერთიანოთ უკვე დაფარული მასალა! მცირე სიახლე იქნება და ალტერნატიული რიგების დაუფლება რთული არ იქნება. ყველაფერი მარტივი და ხელმისაწვდომია.

რა არის ალტერნატიული სერია?ეს აშკარაა ან თითქმის გასაგებია თავად სახელიდან. უბრალოდ, მოდით შევხედოთ სერიას და აღვწეროთ იგი უფრო დეტალურად:

ახლა კი იქნება მკვლელი კომენტარი. ალტერნატიული სერიის წევრებს აქვთ მონაცვლეობითი ნიშნები: პლუს, მინუს, პლუს, მინუს, პლუს, მინუს და ა.შ. უსასრულოდ.
გასწორება უზრუნველყოფს მულტიპლიკატორს: თუ ლუწი, იქნება პლუს ნიშანი, თუ კენტი იქნება მინუს ნიშანი. მათემატიკური ჟარგონში ამ ნივთს „ფლეშერი“ ეწოდება. ამრიგად, ალტერნატიული სერია "იდენტიფიცირებულია" მინუს ერთით "en" ხარისხამდე.

ხაფანგია "მოტყუება": , , და ა.შ. - ასეთი მულტიპლიკატორები არ უზრუნველყოთ ნიშნის შეცვლა. აბსოლუტურად გასაგებია, რომ ნებისმიერი ბუნებრივი: , , . მოტყუებით რიგები ეცემა არა მხოლოდ განსაკუთრებით ნიჭიერ სტუდენტებს, ისინი დროდადრო წარმოიქმნება "თვითონ" გადაწყვეტის დროს. ფუნქციური სერია.

როგორ გამოვიკვლიოთ ალტერნატიული სერია კონვერგენციისთვის?გამოიყენეთ ლაიბნიცის ტესტი. არაფრის თქმა არ მინდა გერმანელ აზროვნების გიგანტზე, გოტფრიდ ვილჰელმ ლაიბნიცზე, რადგან მათემატიკური ნაშრომების გარდა, მან დაწერა რამდენიმე ტომი ფილოსოფიაზე. საშიშია ტვინისთვის.

ლაიბნიცის ტესტი: თუ მონაცვლეობითი სერიის წევრები მონოტონურადმცირდება მოდულის, შემდეგ სერია კონვერგირდება. ან ორ პუნქტში:

2) სერიის პირობები მცირდება აბსოლუტური მნიშვნელობით: . უფრო მეტიც, ისინი მონოტონურად მცირდება.

თუ დასრულებულია ორივეპირობები, შემდეგ სერია იყრის თავს.

მოდულის შესახებ მოკლე ინფორმაცია მოცემულია სახელმძღვანელოშიცხელი ფორმულები სასკოლო მათემატიკის კურსისთვის , მაგრამ კიდევ ერთხელ მოხერხებულობისთვის:

რას ნიშნავს "მოდულო"? მოდული, როგორც სკოლიდან გვახსოვს, "ჭამს" მინუს ნიშანს. დავუბრუნდეთ რიგს. ძალაუნებურად წაშალეთ ყველა ნიშანი საშლელით და მოდით შევხედოთ ციფრებს. ჩვენ ამას დავინახავთ ყოველი მომდევნოსერიის წევრი ნაკლებივიდრე წინა. ამრიგად, შემდეგი ფრაზები იგივეს ნიშნავს:

- სერიალის წევრები ნიშნის მიუხედავადმცირდება.
– სერიალის წევრები მცირდება მოდული.
– სერიალის წევრები მცირდება აბსოლუტურ ღირებულებაში.
– მოდულისერიის საერთო ტერმინი ნულისკენ მიისწრაფვის: დახმარების დასასრული

ახლა მოდით ვისაუბროთ ცოტა ერთფეროვნებაზე. ერთფეროვნება მოსაწყენი თანმიმდევრულობაა.

სერიალის წევრები მკაცრად ერთფეროვანიმოდულის შემცირება თუ სერიის ყოველი შემდეგი წევრი მოდულიწინაზე ნაკლები: . სერიას აქვს კლების მკაცრი ერთფეროვნება, რომელიც შეიძლება დეტალურად იყოს აღწერილი:

ან შეიძლება მოკლედ ვთქვათ: სერიის ყოველი შემდეგი წევრი მოდულიწინაზე ნაკლები: .

სერიალის წევრები არა მკაცრად ერთფეროვანიმოდულის შემცირება, თუ სერიის მოდულის თითოეული შემდეგი წევრი არ არის უფრო დიდი ვიდრე წინა: . განვიხილოთ სერიები ფაქტორებით: აქ არის თავისუფალი ერთფეროვნება, რადგან სერიის პირველი ორი წევრი მოდულში იდენტურია. ანუ სერიის ყოველი შემდეგი წევრი მოდულიწინაზე მეტი არა: .

მაგალითი 1გადახედეთ სერიას კონვერგენციისთვის

სერიის საერთო ტერმინი მოიცავს ფაქტორს, რაც ნიშნავს, რომ თქვენ უნდა გამოიყენოთ ლაიბნიცის კრიტერიუმი

1) მწკრივის შემოწმება მონაცვლეობისთვის. როგორც წესი, გადაწყვეტილების ამ ეტაპზე სერია დეტალურად არის აღწერილი და გამოტანილია განაჩენი „სერია მონაცვლეობით“.

2) მცირდება თუ არა სერიის პირობები აბსოლუტურ მნიშვნელობაში? აუცილებელია ლიმიტის გადაჭრა, რაც ყველაზე ხშირად ძალიან მარტივია.

– სერიის პირობები არ მცირდება მოდულში. სხვათა შორის, შემცირების ერთფეროვნებაზე საუბარი აღარ არის საჭირო. დასკვნა: სერია განსხვავდება.

როგორ გავარკვიოთ რა არის ტოლი? ძალიან მარტივი. მოგეხსენებათ, მოდული ანადგურებს მინუსებს, ამიტომ მის შესაქმნელად, თქვენ უბრალოდ უნდა მოაცილოთ მოციმციმე შუქი სახურავიდან. ამ შემთხვევაში, სერიის საერთო ტერმინია. ჩვენ სულელურად ვხსნით "მოციმციმე შუქს": .

მაგალითი 2 გადახედეთ სერიას კონვერგენციისთვის

ჩვენ ვიყენებთ ლაიბნიცის კრიტერიუმს:

1) სერია მონაცვლეობითია.

2) – სერიის პირობები მცირდება აბსოლუტურ მნიშვნელობაში. სერიის ყოველი შემდეგი წევრი წინასთან შედარებით ნაკლებია აბსოლუტური მნიშვნელობით: ამრიგად, შემცირება ერთფეროვანია.

დასკვნა: სერია იყრის თავს.

ყველაფერი ძალიან მარტივი იქნებოდა - მაგრამ ეს არ არის გამოსავლის დასასრული!

თუ სერია ლაიბნიცის ტესტის მიხედვით იყრის თავს, მაშინ ასევე ნათქვამია, რომ სერია პირობითად იყრის თავს.

თუ მოდულებისგან შემდგარი სერიაც იყრის თავს, მაშინ ისინი ამბობენ, რომ სერია აბსოლუტურად ემთხვევა.

ამიტომ დღის წესრიგში დგას ტიპიური პრობლემის გადაჭრის მეორე ეტაპი - ალტერნატიული სერიის ნიშნის შესწავლა აბსოლუტური კონვერგენციისთვის.

ეს ჩემი ბრალი არ არის - ეს მხოლოდ რიცხვების სერიის თეორიაა =)

მოდით განვიხილოთ ჩვენი სერია აბსოლუტური კონვერგენციისთვის.
მოდით შევადგინოთ მოდულების სერია - ისევ უბრალოდ ვხსნით ფაქტორს, რომელიც უზრუნველყოფს ნიშნების მონაცვლეობას: - diverges (ჰარმონიული სერია).

ასე რომ, ჩვენი სერია არ არის აბსოლუტურად კონვერგენტული.
შესწავლილი სერია თანხვედრა მხოლოდ პირობითად.

გაითვალისწინეთ, რომ No1 მაგალითში არ არის საჭირო არააბსოლუტური კონვერგენციის შესწავლა, რადგან პირველ ეტაპზე დაასკვნეს, რომ სერია განსხვავდება.

ჩვენ ვაგროვებთ თაიგულებს, ნიჩბებს, მანქანებს და ვტოვებთ ქვიშის ყუთს, რათა შევხედოთ სამყაროს ფართოდ გახელილი თვალებით ჩემი ექსკავატორის სალონიდან:

მაგალითი 3 გადახედეთ სერიას კონვერგენციისთვის, ჩვენ ვიყენებთ ლაიბნიცის კრიტერიუმს:

1)
ეს სერია მონაცვლეობითია.

2) – სერიის პირობები მცირდება აბსოლუტურ მნიშვნელობაში. სერიის ყოველი შემდეგი წევრი წინასთან შედარებით ნაკლებია აბსოლუტური მნიშვნელობით: ეს ნიშნავს, რომ შემცირება ერთფეროვანია. დასკვნა: სერია ერთმანეთს ემთხვევა.

სერიის შევსების ანალიზით, მივდივართ დასკვნამდე, რომ აქ აუცილებელია შედარებისთვის შეზღუდვის კრიტერიუმის გამოყენება. უფრო მოსახერხებელია ფრჩხილების გახსნა მნიშვნელში:

მოდით შევადაროთ ეს სერია კონვერგენტულ სერიას. შედარებისთვის ვიყენებთ შემზღუდველ კრიტერიუმს.

მიიღება ნულისაგან განსხვავებული სასრული რიცხვი, რაც ნიშნავს, რომ სერიები თანხვედრაშია სერიებთან. შესწავლილი სერია აბსოლუტურად ემთხვევა.

მაგალითი 4 გადახედეთ სერიას კონვერგენციისთვის

მაგალითი 5 გადახედეთ სერიას კონვერგენციისთვის

ეს არის მაგალითები, რომ დამოუკიდებლად გადაწყვიტოთ. სრული გადაწყვეტა და ნიმუშის დიზაინი განყოფილების ბოლოს.

როგორც ხედავთ, ალტერნატიული რიგები მარტივი და მოსაწყენია! ოღონდ ნუ იჩქარებთ გვერდის დახურვას, მხოლოდ რამდენიმე ეკრანზე შევხედავთ შემთხვევას, რომელიც ბევრს აბრკოლებს. ამასობაში, კიდევ რამდენიმე მაგალითი პრაქტიკისა და განმეორებისთვის.

მაგალითი 6 გადახედეთ სერიას კონვერგენციისთვის

ვიყენებთ ლაიბნიცის კრიტერიუმს.
1) სერია მონაცვლეობითია.
2)
სერიის პირობები მცირდება მოდულში. სერიის ყოველი შემდეგი წევრი წინასთან შედარებით ნაკლებია აბსოლუტური მნიშვნელობით, რაც ნიშნავს, რომ შემცირება ერთფეროვანია. დასკვნა: სერია იყრის თავს.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ მე დეტალურად არ აღვწერე სერიალის წევრები. ყოველთვის მიზანშეწონილია მათი აღწერა, მაგრამ "რთულ" შემთხვევებში დაუძლეველი სიზარმაცის გამო, შეგიძლიათ შემოიფარგლოთ ფრაზით "სერიები ცვლის ნიშნით". სხვათა შორის, არ არის საჭირო ამ საკითხის ფორმალურად განხილვა, ჩვენ ყოველთვის ვამოწმებთ(ყოველ შემთხვევაში გონებრივად), რომ სერია რეალურად ალტერნატიულია. სწრაფი მზერა მარცხდება და შეცდომა ავტომატურად ხდება. დაიმახსოვრე "მოტყუებების" შესახებ, , , თუ ისინი არსებობს, მაშინ თქვენ უნდა მოიცილოთ ისინი, მიიღოთ "რეგულარული" სერია დადებითი ტერმინებით.

მეორე დახვეწილობა ეხება ერთფეროვნების ფრაზას, რომელიც მეც შეძლებისდაგვარად დავამოკლე. თქვენ შეგიძლიათ ამის გაკეთება და თითქმის ყოველთვის თქვენი დავალება მიიღება. სრულიად ცუდს ვიტყვი - პირადად მე ხშირად ვჩუმდები ერთფეროვნებაზე და ასეთი რიცხვი გადის. მაგრამ მზად იყავით ყველაფრის დეტალურად აღსაწერად, უთანასწორობის დეტალურ ჯაჭვებამდე (იხილეთ მაგალითი გაკვეთილის დასაწყისში). გარდა ამისა, ხანდახან ერთფეროვნება არ არის მკაცრი და ამასაც მონიტორინგი სჭირდება, რათა სიტყვა „ნაკლები“ შეცვალოს სიტყვით „არა მეტი“.

განვიხილოთ სერია აბსოლუტური კონვერგენციისთვის:

ცხადია, თქვენ უნდა გამოიყენოთ რადიკალური კოშის ტესტი:

ამდენად, სერია ერთმანეთს ემთხვევა. შესწავლილი სერია აბსოლუტურად ემთხვევა.

მაგალითი 7გადახედეთ სერიას კონვერგენციისთვის

ეს არის მაგალითი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის. ხშირად არის ალტერნატიული რიგები, რომლებიც იწვევს სირთულეებს.

მაგალითი 8გადახედეთ სერიას კონვერგენციისთვის

ჩვენ ვიყენებთ ლაიბნიცის კრიტერიუმს:
1) სერია მონაცვლეობითია.

შენიშვნა: ფუნქციის ზრდის რიგის კონცეფცია დეტალურად არის აღწერილი სტატიაშილიმიტების ამოხსნის მეთოდები . გვაქვს თანმიმდევრობის საზღვრები, მაგრამ ეს არ ცვლის არსს.

თუ მრიცხველი at იზრდება უფრო სწრაფად ვიდრე ფაქტორიალი, მაშინ . თუ უსასრულობაში ფაქტორიალი მრიცხველზე უფრო სწრაფად იზრდება, მაშინ, პირიქით, ის ზღვარს ნულამდე „გაყვანს“: . ან იქნებ ეს ზღვარი უდრის რაღაც არანულოვან რიცხვს?

შევეცადოთ ჩამოვწეროთ სერიის პირველი რამდენიმე ტერმინი:
თქვენ შეგიძლიათ შეცვალოთ მეათასე ხარისხის ზოგიერთი პოლინომი, ეს ისევ არ შეცვლის სიტუაციას - ადრე თუ გვიან ფაქტორიალი მაინც "გასწრებს" ასეთ საშინელ პოლინომს. ფაქტორული ზრდის უფრო მაღალი რიგივიდრე ნებისმიერი სიმძლავრის თანმიმდევრობა.

– ფაქტორიალი უფრო სწრაფად იზრდება, ვიდრე ნებისმიერი რაოდენობის პროდუქტიექსპონენციალური და სიმძლავრის მიმდევრობები (ჩვენი შემთხვევა).

– ფაქტორულზე უფრო მაგარი რამეა? ჭამე! სიმძლავრის ექსპონენციალური თანმიმდევრობა ("en" სიმძლავრის "en") იზრდება უფრო სწრაფად, ვიდრე ფაქტორიალი. პრაქტიკაში ეს იშვიათია, მაგრამ ინფორმაცია არ იქნება ზედმეტი. დახმარების დასასრული

ამრიგად, კვლევის მეორე პუნქტი (ეს კიდევ გახსოვთ? =)) შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:
2) , ვინაიდან ზრდის რიგი უფრო მაღალია ვიდრე .
სერიის პირობები მცირდება მოდულის მიხედვით, რაღაც რიცხვიდან დაწყებული, ამ შემთხვევაში სერიის ყოველი შემდეგი წევრი წინაზე ნაკლებია აბსოლუტური მნიშვნელობით, შესაბამისად კლება ერთფეროვანია.

დასკვნა: სერია იყრის თავს.

აქ არის ზუსტად ის კურიოზული შემთხვევა, როდესაც სერიის პირობები პირველად იზრდება აბსოლუტური მნიშვნელობით, რის გამოც ჩვენ გვქონდა მცდარი საწყისი მოსაზრება ლიმიტის შესახებ. მაგრამ, დაწყებული რაღაც რიცხვიდან "en", ფაქტორიალს უსწრებს მრიცხველი და რიგის „კუდი“ ხდება მონოტონურად კლებადი, რაც ფუნდამენტურად მნიშვნელოვანია ლაიბნიცის თეორემის პირობების შესასრულებლად. ზუსტად რას უდრის ეს „ენ“ საკმაოდ რთული გასარკვევია.

შესაბამისი თეორემის მიხედვით, რიგის აბსოლუტური კონვერგენციიდან გამომდინარეობს რიგის პირობითი კონვერგენცია. დასკვნა: სასწავლო სერია აბსოლუტურად ემთხვევა.

და ბოლოს, რამდენიმე მაგალითი, რომ თავად გადაწყვიტოთ. ერთი იგივე ოპერიდან (ხელახლა წაიკითხეთ დახმარება), მაგრამ უფრო მარტივი. კიდევ ერთი გურმანებისთვის არის კონვერგენციის განუყოფელი ნიშნის კონსოლიდაცია.

მაგალითი 9გადახედეთ სერიას კონვერგენციისთვის

მაგალითი 10გადახედეთ სერიას კონვერგენციისთვის

რიცხვითი დადებითი და ალტერნატიული სერიების მაღალი ხარისხის შესწავლის შემდეგ, სუფთა სინდისით შეგიძლიათ გადახვიდეთ ფუნქციური სერია, რომლებიც არანაკლებ ერთფეროვანი და ერთფეროვანია საინტერესო.

გადაწყვეტილებები და პასუხები:

მაგალითი 4ჩვენ ვიყენებთ ლაიბნიცის კრიტერიუმს:

1) ეს სერია მონაცვლეობითია.
2)
სერიის პირობები არ მცირდება მოდულში. დასკვნა: სერია განსხვავდება..

, ამ შემთხვევაში, სერიის ყოველი შემდეგი წევრი წინაზე ნაკლებია აბსოლუტური მნიშვნელობით, შესაბამისად კლება ერთფეროვანია. თანხვედრა მხოლოდ პირობითად.