Олай болса, отырып, сандарды жазуды бастайық. Мысалы:
Сіз кез келген сандарды жаза аласыз және олардың саны қалағаныңызша болуы мүмкін (біздің жағдайда олар бар). Қанша сан жазсақ та, қайсысы бірінші, қайсысы екінші және т.б. соңғыға дейін айта аламыз, яғни нөмірлей аламыз. Бұл сандар тізбегінің мысалы:
Сан тізбегі
Мысалы, біздің реттілік үшін:
Тағайындалған нөмір реттіліктегі бір ғана санға тән. Басқаша айтқанда, тізбекте үш секундтық сан жоқ. Екінші сан (бірінші сан сияқты) әрқашан бірдей.
Нөмірі бар сан қатардың ші мүшесі деп аталады.
Біз әдетте бүкіл тізбекті қандай да бір әріппен атаймыз (мысалы,) және бұл тізбектің әрбір мүшесі осы мүшенің санына тең индексі бар бірдей әріп: .
Біздің жағдайда: 
Бізде бар делік сандар тізбегі, онда көршілес сандар арасындағы айырмашылық бірдей және тең.
Мысалы: 
т.б.
Бұл сандар тізбегі арифметикалық прогрессия деп аталады.
«Прогрессия» терминін римдік автор Боэций 6 ғасырда енгізген және кең мағынада шексіз сандық тізбек ретінде түсінілген. «Арифметика» атауы ежелгі гректер зерттеген үздіксіз пропорциялар теориясынан көшірілді.
Бұл сан тізбегі, оның әрбір мүшесі бір санға қосылған алдыңғысына тең. Бұл сан арифметикалық прогрессияның айырымы деп аталады және белгіленеді.
Қандай сандар тізбегі арифметикалық прогрессия, қайсысы емес екенін анықтауға тырысыңыз:
а)
б)
в)
г)
Түсінді ме? Жауаптарымызды салыстырайық:
Бұларифметикалық прогрессия – b, c.
Жоқарифметикалық прогрессия – a, d.
Берілген прогрессияға () оралайық және оның ші мүшесінің мәнін табуға тырысайық. Бар екітабу жолы.
1. Әдіс
Прогрессияның үшінші мүшесіне жеткенше прогрессия санын алдыңғы мәнге қосуға болады. Қорытындылайтын көп нәрсенің жоқтығы жақсы - тек үш мән:
Сонымен, сипатталған арифметикалық прогрессияның ші мүшесі тең.
2. Әдіс
Прогрессияның үшінші мүшесінің мәнін табу керек болса ше? Қорытындылау бізге бір сағаттан астам уақытты алады және сандарды қосқанда қателеспейтініміз шындық емес.
Әрине, математиктер алдыңғы мәнге арифметикалық прогрессияның айырмасын қосудың қажеті жоқ әдісті ойлап тапты. Салынған суретке мұқият қараңыз... Сіз белгілі бір үлгіні байқадыңыз, атап айтқанда:
Мысалы, осы арифметикалық прогрессияның ші мүшесінің мәні неден тұратынын көрейік: 
Басқаша айтқанда:
Осы жолмен берілген арифметикалық прогрессияның мүшесінің мәнін өзіңіз тауып көріңіз.
Сіз есептедіңіз бе? Жазбаларыңызды жауаппен салыстырыңыз:
Алдыңғы мәнге арифметикалық прогрессияның мүшелерін дәйекті түрде қосқанда, алдыңғы әдістегідей сан алғаныңызды ескеріңіз.
Бұл формуланы «жекешелендіруге» тырысайық - оны енгізейік жалпы көрінісжәне біз аламыз:
|
Арифметикалық прогрессияның теңдеуі. |
Арифметикалық прогрессиялар өсу немесе кему болуы мүмкін.
Көбеюде- терминдердің әрбір келесі мәні алдыңғысынан үлкен болатын прогрессиялар.
Мысалы:
Төмендеу- терминдердің әрбір келесі мәні алдыңғысынан кіші болатын прогрессиялар.
Мысалы:
Туынды формула арифметикалық прогрессияның өсу және кему мүшелерінің мүшелерін есептеуде қолданылады.
Мұны тәжірибеде тексеріп көрейік.
Бізге беріледі арифметикалық прогрессия, келесі сандардан тұрады: Осы арифметикалық прогрессияны есептеу үшін формуламызды қолданатын болсақ, оның № қандай болатынын тексерейік:
Содан бері:
Осылайша, формуланың арифметикалық прогрессияның кемуінде де, өсуінде де жұмыс істейтініне сенімдіміз.
Осы арифметикалық прогрессияның ші және ші мүшелерін өзіңіз тауып көріңіз.
Нәтижелерді салыстырайық:
Арифметикалық прогрессияның қасиеті
Есепті күрделендіріп көрейік – арифметикалық прогрессияның қасиетін шығарамыз.
Бізге келесі шарт қойылды делік:
- арифметикалық прогрессия, мәнін табу.
Оңай, сіз өзіңіз білетін формула бойынша айтасыз және санай бастайсыз:
Мейлі, а, онда:
Мүлдем рас. Алдымен табамыз, сосын бірінші санға қосып, іздегенімізді аламыз. Егер прогрессия шағын мәндермен ұсынылса, онда бұл туралы күрделі ештеңе жоқ, бірақ шартта сандар берілсе ше? Келісіңіз, есептеулерде қателесу мүмкіндігі бар.
Енді ойланыңыз, бұл мәселені кез келген формула арқылы бір қадаммен шешуге бола ма? Әрине, иә, және біз қазір шығаруға тырысамыз.
Арифметикалық прогрессияның қажетті мүшесін былай деп белгілейік, оны табу формуласы бізге белгілі – бұл біз басында шығарған формула:
, Содан кейін:
- прогрессияның алдыңғы мүшесі:
- прогрессияның келесі шарты:
Прогрессияның алдыңғы және кейінгі мүшелерін қорытындылайық:
Прогрессияның алдыңғы және кейінгі мүшелерінің қосындысы олардың арасында орналасқан прогрессия мүшесінің қосарланған мәні болып шығады. Басқаша айтқанда, белгілі алдыңғы және кезекті мәндері бар прогрессия мүшесінің мәнін табу үшін оларды қосып, бөлу керек.
Дұрыс, бізде бірдей нөмір бар. Материалды бекітейік. Прогресстің мәнін өзіңіз есептеңіз, бұл қиын емес.
Жарайсың! Сіз прогресс туралы бәрін дерлік білесіз! Аңыз бойынша, барлық уақыттағы ең ұлы математиктердің бірі, «математиктердің патшасы» Карл Гаусс өзі үшін оңай шығарылған бір ғана формуланы табу керек ...
Карл Гаусс 9 жаста болғанда, басқа сыныптардағы оқушылардың жұмысын тексерумен айналысқан мұғалім сабақта келесі есепті қойды: «Барлық есептердің қосындысын есептеңдер. натурал сандардейін (басқа дереккөздер бойынша) қоса алғанда. Бір минуттан кейін оның шәкірттерінің бірі (бұл Карл Гаусс) тапсырмаға дұрыс жауап берген кезде мұғалімнің таңданысын елестетіп көріңізші, ал батыл сыныптастарының көпшілігі ұзақ есептеулерден кейін қате нәтиже алды ...
Жас Карл Гаусс сіз де оңай байқайтын белгілі бір үлгіні байқады.
--ші мүшелерінен тұратын арифметикалық прогрессия бар делік: Арифметикалық прогрессияның осы мүшелерінің қосындысын табу керек. Әрине, біз барлық мәндерді қолмен қоса аламыз, бірақ егер тапсырма Гаусс іздегендей оның шарттарының қосындысын табуды талап етсе ше?
Бізге берілген прогрессті бейнелеп көрейік. Ерекшеленген сандарды мұқият қарап шығыңыз және олармен әртүрлі математикалық амалдарды орындауға тырысыңыз. 
Сіз оны қолданып көрдіңіз бе? Сіз не байқадыңыз? Дұрыс! Олардың қосындылары тең
Енді айтыңызшы, бізге берілген прогрессияда барлығы неше жұп бар? Әрине, барлық сандардың дәл жартысы, яғни.
Арифметикалық прогрессияның екі мүшесінің қосындысы тең, ал ұқсас жұптары тең екендігіне сүйене отырып, жалпы қосындының мынаған тең екенін аламыз:
.
Сонымен, кез келген арифметикалық прогрессияның бірінші мүшелерінің қосындысының формуласы:
Кейбір есептердегі біз үшінші мүшесін білмейміз, бірақ прогрессияның айырмашылығын білеміз. Қосынды формуласына ші мүшесінің формуласын қойып көріңіз.
Сіз не алдыңыз?
Жарайсың! Енді Карл Гауссқа қойылған мәселеге оралайық: th-дан басталатын сандардың қосындысы неге тең және th-ден басталатын сандардың қосындысы нешеге тең екенін өзіңіз есептеңіз.
Қанша алдың?
Гаусс мүшелерінің қосындысы тең, ал мүшелерінің қосындысы тең екенін анықтады. Сіз шешкеніңіз бе?
Шындығында, арифметикалық прогрессияның мүшелерінің қосындысының формуласын сонау 3 ғасырда ежелгі грек ғалымы Диофант дәлелдеген және осы уақыт ішінде тапқыр адамдар арифметикалық прогрессияның қасиеттерін толық пайдаланған.
Мысалы, елестетіңіз Ежелгі Египетал сол кездегі ең үлкен құрылыс жобасы – пирамида құрылысы... Суретте оның бір жағы көрсетілген. 
Бұл жерде прогресс қайда дейсіз бе? Мұқият қарап, пирамида қабырғасының әр жолындағы құмды блоктар санының үлгісін табыңыз. 
Неліктен арифметикалық прогрессия емес? Негізге блокты кірпіш қойылса, бір қабырғаны тұрғызу үшін қанша блок қажет екенін есептеңіз. Саусағыңызды монитор арқылы жылжытқанда санамайсыз деп үміттенемін, соңғы формуланы және арифметикалық прогрессия туралы айтқанымыздың барлығын есте сақтадыңыз ба?
Бұл жағдайда прогрессия келесідей болады: .
Арифметикалық прогрессияның айырмашылығы.
Арифметикалық прогрессияның мүшелерінің саны.
Мәліметтерімізді соңғы формулаларға ауыстырайық (блоктардың санын 2 тәсілмен есептеңіз).
1-әдіс.
2-әдіс.
Енді сіз мониторда есептей аласыз: алынған мәндерді біздің пирамидадағы блоктар санымен салыстырыңыз. Түсінді ме? Жарайсыңдар, арифметикалық прогрессияның n-ші мүшелерінің қосындысын меңгердіңдер.
Әрине, сіз базадағы блоктардан пирамида сала алмайсыз, бірақ? Осы шартпен қабырғаны салу үшін қанша құм кірпіш қажет екенін есептеп көріңіз.
Сіз басқардыңыз ба?
Дұрыс жауап блоктар:
Тренинг
Тапсырмалар:
- Маша жазға дайын. Күн сайын ол скват санын көбейтеді. Маша бірінші жаттығуда еңкейген болса, аптасына қанша рет еңкейеді?
- Құрамындағы барлық тақ сандардың қосындысы неге тең.
- Журналдарды сақтау кезінде тіркеушілер оларды әрбір жоғарғы қабатта алдыңғысынан бір журнал аз болатындай етіп жинайды. Тауардың іргетасы бөренелер болса, бір кірпіште қанша бөрене бар?
Жауаптары:
- Арифметикалық прогрессияның параметрлерін анықтайық. Бұл жағдайда
(апта = күн).Жауап:Екі аптадан кейін Маша күніне бір рет скват жасауы керек.
- Бірінші тақ сан, соңғы сан.
Арифметикалық прогрессияның айырмашылығы.
Тақ сандар саны жарты, дегенмен, арифметикалық прогрессияның үшінші мүшесін табу формуласы арқылы бұл фактіні тексерейік:Сандардың құрамында тақ сандар бар.
Қолда бар деректерді формулаға ауыстырайық:Жауап:Құрамындағы барлық тақ сандардың қосындысы тең.
- Пирамидалар туралы мәселені еске түсірейік. Біздің жағдайда, a , өйткені әрбір үстіңгі қабат бір журналға азаяды, онда барлығы қабаттар шоғыры бар, яғни.
Мәліметтерді формулаға ауыстырайық:Жауап:Кірпіште бөренелер бар.
Қорытындылайық
- - көрші сандар арасындағы айырмашылық бірдей және тең болатын сандар тізбегі. Ол ұлғаюы немесе азаюы мүмкін.
- Формула табуАрифметикалық прогрессияның ші мүшесі - формуласымен жазылады, мұндағы прогрессиядағы сандар саны.
- Арифметикалық прогрессияның мүшелерінің қасиеті- - мұндағы прогрессиядағы сандар саны.
- Арифметикалық прогрессияның мүшелерінің қосындысыекі жолмен табуға болады:
, мұндағы – мәндер саны.
АРИФМЕТИКАЛЫҚ ПРОГРЕССИЯ. ОРТА ДЕҢГЕЙ
Сан тізбегі
Орнымызға отырып, сандарды жазуды бастайық. Мысалы:
Сіз кез келген сандарды жаза аласыз және олардың саны қалағаныңызша болуы мүмкін. Бірақ біз әрқашан қайсысы бірінші, қайсысы екінші және т.б. айта аламыз, яғни біз оларды нөмірлей аламыз. Бұл сандар тізбегінің мысалы.
Сан тізбегі— әрқайсысына бірегей нөмір берілуі мүмкін сандар жиыны.
Басқаша айтқанда, әрбір санды белгілі бір натурал санмен және бірегеймен байланыстыруға болады. Және біз бұл нөмірді осы жиынтықтағы басқа нөмірге бермейміз.
Нөмірі бар сан тізбектің ші мүшесі деп аталады.
Біз әдетте бүкіл тізбекті қандай да бір әріппен атаймыз (мысалы,) және бұл тізбектің әрбір мүшесі осы мүшенің санына тең индексі бар бірдей әріп: .
Тізбектің үшінші мүшесін қандай да бір формуламен көрсетуге болатын болса, бұл өте ыңғайлы. Мысалы, формула
ретін орнатады:
Ал формула келесі реттілік:
Мысалы, арифметикалық прогрессия – тізбек (мұндағы бірінші мүшесі тең, ал айырмасы). Немесе (, айырмашылық).
n-ші мүше формуласы
Формуланы қайталанатын деп атаймыз, онда 3-ші мүшені білу үшін алдыңғы немесе бірнеше алдыңғыларын білу қажет:
Мысалы, осы формуланы пайдаланып прогрессияның үшінші мүшесін табу үшін алдыңғы тоғызды есептеу керек. Мысалы, рұқсат етіңіз. Содан кейін:
Енді формуланың қандай екені түсінікті ме?
Әрбір жолда біз қандай да бір санға көбейтеміз. Қайсысы? Өте қарапайым: бұл ағымдағы мүшенің саны минус:
Қазір әлдеқайда ыңғайлы, солай ма? Біз тексереміз:
Өзіңіз шешіңіз:
Арифметикалық прогрессияда n-ші мүшесінің формуласын тауып, жүзінші мүшесін табыңыз.
Шешімі:
Бірінші мүше тең. Қандай айырмашылық бар? Міне:
(Ол прогрессияның тізбекті мүшелерінің айырымына тең болғандықтан айырма деп аталады).
Сонымен, формула:
Сонда жүзінші мүше мынаған тең болады:
-ден бастап барлық натурал сандардың қосындысы неге тең?
Аңыз бойынша, ұлы математик Карл Гаусс 9 жасар бала кезінде бұл соманы бірнеше минутта есептеген. Ол бірінші және соңғы сандардың қосындысы тең, екінші мен соңғы санның қосындысы бірдей, соңынан үшінші және үшінші санның қосындысы бірдей және т.б. Барлығы неше жұп бар? Бұл дұрыс, барлық сандар санының дәл жартысы, яғни. Сонымен,
Кез келген арифметикалық прогрессияның бірінші мүшелерінің қосындысының жалпы формуласы:
Мысалы:
Барлық екі таңбалы көбейткіштердің қосындысын табыңыз.
Шешімі:
Мұндай бірінші сан мынау. Әрбір келесі сан алдыңғы санға қосу арқылы алынады. Осылайша, бізді қызықтыратын сандар бірінші мүшесі мен айырмасы бар арифметикалық прогрессияны құрайды.
Осы прогрессияның ші мүшесінің формуласы:
Прогрессияда неше мүше бар, егер олардың барлығы екі таңбалы болуы керек?
Өте оңай: .
Прогрессияның соңғы мүшесі тең болады. Сонда сома:
Жауап: .
Енді өзіңіз шешіңіз:
- Күн сайын спортшы алдыңғы күннен артық метрге жүгіреді. Бірінші күні ол км м жүгірген болса, ол бір аптада неше километр жүгіреді?
- Велосипедші күн сайын алдыңғы күнге қарағанда көп шақырым жол жүреді. Бірінші күні ол км жол жүрді. Бір километрді бағындыру үшін ол қанша күн жүруі керек? Саяхатының соңғы күнінде ол неше километр жол жүреді?
- Дүкендегі тоңазытқыштың бағасы жыл сайын бірдей мөлшерде төмендейді. Егер тоңазытқыш рубльге сатылса, алты жылдан кейін рубльге сатылса, оның бағасы жыл сайын қаншаға төмендегенін анықтаңыз.
Жауаптары:
- Бұл жерде ең бастысы арифметикалық прогрессияны тану және оның параметрлерін анықтау. Бұл жағдайда, (апта = күн). Осы прогрессияның бірінші мүшелерінің қосындысын анықтау керек:
.
Жауап: - Мұнда берілген: , табу керек.
Әлбетте, алдыңғы мәселедегідей қосынды формуласын пайдалану керек:
.
Мәндерді ауыстырыңыз:Түбір сәйкес келмейтіні анық, сондықтан жауап.
Үшінші қосылғыштың формуласы арқылы соңғы тәулікте жүріп өткен жолды есептейік:
(км).
Жауап: - Берілген: . Табу: .
Бұл қарапайым болуы мүмкін емес:
(сүрту).
Жауап:
АРИФМЕТИКАЛЫҚ ПРОГРЕССИЯ. НЕГІЗГІ НӘРСЕЛЕР ТУРАЛЫ ҚЫСҚА
Бұл көрші сандар арасындағы айырмашылық бірдей және тең болатын сандар тізбегі.
Арифметикалық прогрессияның өсуі () және кемуі () болуы мүмкін.
Мысалы:
Арифметикалық прогрессияның n-ші мүшесін табу формуласы
формуласымен жазылады, мұндағы прогрессиядағы сандар саны.
Арифметикалық прогрессияның мүшелерінің қасиеті
Ол прогрессияның мүшесін оңай табуға мүмкіндік береді, егер оның көрші мүшелері белгілі болса – прогрессиядағы сандар саны мұнда.
Арифметикалық прогрессияның мүшелерінің қосындысы
соманы табудың екі жолы бар:
Мәндердің саны қайда.
Мәндердің саны қайда.
ҚАЛҒАН 2/3 МАҚАЛАЛАР ТЕК СІЗДЕРДІҢ КӨЛЕМДІ СТУДЕНТТЕРІНЕ ҚОЛ БОЛАДЫ!
YouClever студенті болыңыз,
Бірыңғай мемлекеттік емтиханға немесе математикадан Бірыңғай мемлекеттік емтиханға «айына бір кесе кофе» бағасына дайындалыңыз,
Сондай-ақ «YouClever» оқулығына, «100gia» Дайындық бағдарламасына (жұмыс дәптеріне) шексіз қол жеткізіңіз, шектеусіз сот Бірыңғай мемлекеттік сараптамасыжәне OGE, шешімдерді талдаумен 6000 мәселе және YouClever және 100gia басқа қызметтері.
Арифметикалық прогрессияның қосындысы.
Арифметикалық прогрессияның қосындысы қарапайым нәрсе. Мағынасы жағынан да, формуласы жағынан да. Бірақ бұл тақырып бойынша әр түрлі тапсырмалар бар. Негізгіден әбден берікке дейін.
Алдымен соманың мәні мен формуласын түсінейік. Сосын шешеміз. Өзіңіздің көңіліңіз үшін.) Соманың мағынасы моо сияқты қарапайым. Арифметикалық прогрессияның қосындысын табу үшін оның барлық мүшелерін мұқият қосу керек. Егер бұл терминдер аз болса, формулаларсыз қосуға болады. Бірақ көп болса, әлде көп болса... қосу тітіркендіреді.) Бұл жағдайда формула көмекке келеді.
Соманың формуласы қарапайым:
Формулаға қандай әріптер кіретінін анықтайық. Бұл көп нәрсені түсіндіреді.
S n - арифметикалық прогрессияның қосындысы. Қосу нәтижесі барлығымүшелері, бірге біріншіАвторы соңғы.Бұл маңызды. Олар дәл қосылады Барлығымүшелер қатарынан, өткізіп немесе өткізіп жібермей. Және, дәлірек айтқанда, бастап бірінші.Үшінші және сегізінші мүшелердің қосындысын немесе бесіншіден жиырмасыншы мүшелердің қосындысын табу сияқты есептердегі формуланы тікелей қолдану көңілді қалдырады.)
а 1 - біріншіпрогрессияның мүшесі. Мұнда бәрі түсінікті, қарапайым біріншіжол нөмірі.
а н- соңғыпрогрессияның мүшесі. Серияның соңғы нөмірі. Өте таныс атау емес, бірақ сомаға қолданылғанда бұл өте қолайлы. Сонда өзіңіз көресіз.
n - соңғы мүшенің нөмірі. Формуладағы бұл санды түсіну маңызды қосылған терминдер санына сәйкес келеді.
Тұжырымдаманы анықтайық соңғымүшесі а н. Күрделі сұрақ: қай мүше болады соңғысыберілген болса шексізарифметикалық прогрессия?)
Сенімді жауап беру үшін арифметикалық прогрессияның элементар мағынасын түсіну керек және... тапсырманы мұқият оқып шығыңыз!)
Арифметикалық прогрессияның қосындысын табу тапсырмасында соңғы мүше әрқашан пайда болады (тікелей немесе жанама), ол шектелуі керек.Әйтпесе, соңғы, нақты сома жай жоқ.Шешім үшін прогрессияның берілгені маңызды емес: ақырлы немесе шексіз. Оның қалай берілгені маңызды емес: сандар қатары немесе n-ші мүшесінің формуласы.
Ең бастысы, формула прогрессияның бірінші мүшесінен санмен мүшеге дейін жұмыс істейтінін түсіну n.Шын мәнінде, формуланың толық атауы келесідей: арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысы.Бұл ең алғашқы мүшелердің саны, яғни. n, тек тапсырма арқылы анықталады. Тапсырмада бұл құнды ақпараттың бәрі жиі шифрланады, иә... Бірақ, қарсы емес, төмендегі мысалдарда біз бұл құпияларды ашамыз.)
Арифметикалық прогрессияның қосындысы бойынша тапсырмалар мысалдары.
Ең алдымен пайдалы ақпарат:
Арифметикалық прогрессияның қосындысы бар тапсырмалардағы негізгі қиындық формуланың элементтерін дұрыс анықтауда.
Тапсырма авторлары дәл осы элементтерді шексіз қиялмен шифрлайды.) Мұнда бастысы - қорықпау. Элементтердің мәнін түсіне отырып, оларды жай ғана дешифрлеу жеткілікті. Бірнеше мысалды егжей-тегжейлі қарастырайық. Нақты GIA негізіндегі тапсырмадан бастайық.
1. Арифметикалық прогрессия шартпен берілген: a n = 2n-3,5. Оның алғашқы 10 мүшесінің қосындысын табыңыз.
Жақсы жұмыс. Оңай.) Формула арқылы соманы анықтау үшін нені білуіміз керек? Бірінші мүше а 1, соңғы тоқсан а н, иә соңғы мүшенің нөмірі n.
Соңғы мүшенің нөмірін қайдан алуға болады? n? Иә, дәл сол жерде, шартпен! Онда былай делінген: қосындыны табыңыз алғашқы 10 мүше.Ал, ол қандай санмен болады? соңғы,оныншы мүше?) Сенбейсіз, оның саны оныншы!) Сондықтан, орнына а нформулаға ауыстырамыз а 10, және орнына n- он. Қайталап айтамын, соңғы мүшенің саны мүшелер санымен сәйкес келеді.
Оны анықтау қалды а 1Және а 10. Бұл есеп шығаруда берілген n-ші мүшесінің формуласы арқылы оңай есептеледі. Мұны қалай істеу керектігін білмейсіз бе? Өткен сабаққа қатысыңыз, онсыз жол жоқ.
а 1= 2 1 - 3,5 = -1,5
а 10=2·10 - 3,5 =16,5
S n = S 10.
Арифметикалық прогрессияның қосындысы формуласының барлық элементтерінің мағынасын білдік. Оларды ауыстыру және санау ғана қалады:
Міне бітті. Жауабы: 75.
GIA негізіндегі тағы бір тапсырма. Біраз күрделірек:
2. Айырмашылығы 3,7 болатын арифметикалық прогрессия (a n) берілген; a 1 =2,3. Оның алғашқы 15 мүшесінің қосындысын табыңыз.
Біз бірден қосынды формуласын жазамыз:
Бұл формула кез келген мүшенің мәнін оның саны бойынша табуға мүмкіндік береді. Біз қарапайым ауыстыруды іздейміз:
a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1
Арифметикалық прогрессияның қосындысының формуласына барлық элементтерді ауыстырып, жауапты есептеу ғана қалады:
Жауабы: 423.
Айтпақшы, егер оның орнына қосынды формуласында а нБіз жай ғана n-ші мүшесінің формуласын ауыстырамыз және мынаны аламыз:
Ұқсастарын ұсынып, арифметикалық прогрессияның мүшелерінің қосындысының жаңа формуласын алайық:
 |
Көріп отырғаныңыздай, бұл жерде қажет емес n-ші тоқсан а н. Кейбір есептерде бұл формула көп көмектеседі, иә... Бұл формуланы есте сақтай аласыз. Немесе сіз оны дәл осы жерде сияқты дұрыс уақытта көрсете аласыз. Өйткені, сіз әрқашан қосындының формуласын және n-ші мүшесінің формуласын есте сақтауыңыз керек.)
Енді қысқа шифрлау түріндегі тапсырма):
3. Үшке еселік барлық оң екі таңбалы сандардың қосындысын табыңыз.
Апыр-ай! Сіздің алғашқы мүшеңіз де, соңғы мүшеңіз де, ілгерілеу де емес... Қалай өмір сүру керек!?
Сізге баспен ойлап, шарттан арифметикалық прогрессияның қосындысының барлық элементтерін шығарып алу керек. Екі таңбалы сандардың не екенін білеміз. Олар екі саннан тұрады.) Қандай екі таңбалы сан болады бірінші? 10, болжам бойынша.) А соңғыекі таңбалы сан? 99, әрине! Үш таңбалылар оның соңынан ереді...
Үштің еселіктері... Хм... Бұл үшке бөлінетін сандар, міне! Он үшке бөлінбейді, 11 бөлінбейді... 12... бөлінбейді! Сонымен, бір нәрсе пайда болады. Есептің шарттарына сәйкес қатарды жазуға болады:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Бұл қатар арифметикалық прогрессия бола ма? Әрине! Әрбір термин алдыңғысынан үш қатаң ерекшеленеді. Егер сіз терминге 2 немесе 4 қоссаңыз, айталық, нәтиже, яғни. жаңа сан енді 3-ке бөлінбейді. Арифметикалық прогрессияның айырмасын бірден анықтауға болады: d = 3.Бұл пайдалы болады!)
Сонымен, біз прогрессияның кейбір параметрлерін қауіпсіз жаза аламыз:
саны қандай болады? nсоңғы мүше? Кім 99 деп ойласа, қателеседі... Сандар әрқашан қатар жүреді, бірақ біздің мүшелер үштен секіреді. Олар сәйкес келмейді.
Мұнда екі шешім бар. Бір жолы - өте еңбекқор. Прогрессияны, сандар қатарын түгел жазып, мүшелер санын саусағыңызбен санауға болады.) Екінші әдіс – ойлылар үшін. n-ші мүшесінің формуласын есте сақтау керек. Егер формуланы есепімізге қолданатын болсақ, 99 прогрессияның отызыншы мүшесі екенін табамыз. Сол. n = 30.
Арифметикалық прогрессияның қосындысының формуласын қарастырайық:
Біз қарап, қуанамыз.) Мәселе мәлімдемесінен соманы есептеуге қажеттінің барлығын шығарып алдық:
а 1= 12.
а 30= 99.
S n = S 30.
Тек қарапайым арифметика ғана қалады. Сандарды формулаға ауыстырып, есептейміз:
Жауабы: 1665 ж
Танымал басқатырғыштардың тағы бір түрі:
4. Арифметикалық прогрессия берілген:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Жиырмадан отыз төртке дейінгі мүшелердің қосындысын табыңыз.
Соманың формуласын қарап,... ренжіп қаламыз.) Формула, еске салайын, соманы есептейді. біріншіденмүшесі. Ал есепте қосындыны есептеу керек жиырмасыншы жылдан бастап...Формула жұмыс істемейді.
Сіз, әрине, барлық прогрессияны қатарға жазып, 20-дан 34-ке дейінгі шарттарды қоса аласыз. Бірақ... бұл қандай да бір ақымақ және көп уақытты алады, солай емес пе?)
Неғұрлым талғампаз шешім бар. Сериямызды екі бөлікке бөлейік. Бірінші бөлім болады бірінші тоқсаннан он тоғызыншы тоқсанға дейін.Екінші бөлім - жиырмадан отыз төртке дейін.Бірінші бөлімнің мүшелерінің қосындысын есептесек, түсінікті S 1-19, оны екінші бөліктің мүшелерінің қосындысымен қосайық S 20-34, бірінші мүшесінен отыз төртіншіге дейінгі прогрессияның қосындысын аламыз S 1-34. Бұл сияқты:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
Бұдан біз қосындыны табатынын көреміз S 20-34қарапайым алу арқылы жасауға болады
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Оң жақтағы екі сома да қарастырылады біріншіденмүше, яғни. стандартты қосынды формуласы оларға әбден жарамды. Бастайық?
Проблемалық мәлімдемеден прогрессияның параметрлерін шығарамыз:
d = 1,5.
а 1= -21,5.
Алғашқы 19 және алғашқы 34 мүшенің қосындысын есептеу үшін бізге 19-шы және 34-ші мүшелер қажет болады. Оларды 2-есептегідей n-ші мүшесінің формуласы арқылы есептейміз:
а 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5
а 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28
Ештеңе қалмады. 34 мүшенің қосындысынан 19 мүшесінің қосындысын шегереміз:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Жауабы: 262.5
Бір маңызды ескерту! Бұл мәселені шешуде өте пайдалы трюк бар. Тікелей есептеудің орнына сізге қажет (S 20-34),санадық қажет емес болып көрінетін нәрсе - S 1-19.Содан кейін олар анықтады S 20-34, толық нәтижеден қажетсізді алып тастау. Мұндай «құлақпен ұру» сізді жаман мәселелерден құтқарады.)
Бұл сабақта біз арифметикалық прогрессияның қосындысының мәнін түсіну жеткілікті болатын есептерді қарастырдық. Сіз бірнеше формуланы білуіңіз керек.)
Практикалық кеңес:
Арифметикалық прогрессияның қосындысына қатысты кез келген есепті шешкен кезде мен осы тақырыптағы екі негізгі формуланы дереу жазып шығуды ұсынамын.
n-ші мүшесінің формуласы:
Бұл формулалар мәселені шешу үшін нені іздеу керектігін және қандай бағытта ойлану керектігін бірден айтып береді. Көмектеседі.
Ал енді өз бетінше шешуге арналған тапсырмалар.
5. Үшке бөлінбейтін барлық екі таңбалы сандардың қосындысын табыңыз.
Керемет пе?) Кеңес 4-есептің жазбасында жасырылған. Ал, 3-есеп көмектеседі.
6. Арифметикалық прогрессия шартпен берілген: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Оның алғашқы 24 мүшесінің қосындысын табыңыз.
Ерекше?) Бұл қайталанатын формула. Бұл туралы өткен сабақта оқуға болады. Сілтемені елемеңіз, мұндай мәселелер Мемлекеттік ғылым академиясында жиі кездеседі.
7. Вася мерекеге ақша жинады. 4550 рубльге дейін! Ал мен сүйікті адамға (өзіме) бірнеше күн бақыт сыйлауды шештім). Өзіңізге ештеңені жоққа шығармай әдемі өмір сүріңіз. Бірінші күні 500 рубль жұмсаңыз, ал келесі күнде алдыңғысынан 50 рубль артық жұмсаңыз! Ақша біткенше. Васяның неше күні бақытты болды?
Қиын ба?) 2-тапсырмадағы қосымша формула көмектеседі.
Жауаптар (ретсіз): 7, 3240, 6.
Егер сізге бұл сайт ұнаса...
Айтпақшы, менде тағы бірнеше қызықты сайттар бар.)
Мысалдар шешуге жаттығып, өз деңгейіңізді білуге болады. Жедел тексеру арқылы тестілеу. Үйренейік - қызығушылықпен!)
Функциялармен және туындылармен танысуға болады.
Алгебраны оқығанда орта мектеп(9 сынып) маңызды тақырыптардың бірі - геометриялық және арифметикалық прогрессияларды қамтитын сандар тізбегін оқыту. Бұл мақалада біз арифметикалық прогрессияны және шешімдері бар мысалдарды қарастырамыз.
Арифметикалық прогрессия дегеніміз не?
Мұны түсіну үшін қарастырылып отырған прогрессияны анықтау керек, сонымен қатар кейінірек есептерді шешуде қолданылатын негізгі формулаларды беру қажет.
Арифметикалық немесе алгебралық прогрессия деп әрбір мүшесі алдыңғысынан қандай да бір тұрақты мәнмен ерекшеленетін реттелген рационал сандар жиынын айтады. Бұл мән айырмашылық деп аталады. Яғни, реттелген сандар қатарының кез келген мүшесін және айырмасын біле отырып, сіз бүкіл арифметикалық прогрессияны қалпына келтіре аласыз.
Мысал келтірейік. Келесі сандар тізбегі арифметикалық прогрессия болады: 4, 8, 12, 16, ..., өйткені бұл жағдайда айырмашылық 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Бірақ 3, 5, 8, 12, 17 сандар жиынын енді қарастырылып отырған прогрессия түріне жатқызуға болмайды, өйткені ол үшін айырмашылық тұрақты мән емес (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠) 17 - 12).
Маңызды формулалар
Енді арифметикалық прогрессияның көмегімен есептерді шешуге қажетті негізгі формулаларды көрсетейік. a n символымен қатардың n-ші мүшесін белгілейік, мұндағы n бүтін сан. Айырмашылықты латынның d әрпімен белгілейміз. Сонда келесі өрнектер жарамды:
- n-ші мүшесінің мәнін анықтау үшін келесі формула қолайлы: a n = (n-1)*d+a 1 .
- Бірінші n мүшесінің қосындысын анықтау үшін: S n = (a n +a 1)*n/2.
9-сыныпта шешімдері бар арифметикалық прогрессияның кез келген мысалдарын түсіну үшін осы екі формуланы есте сақтау жеткілікті, өйткені қарастырылатын типтегі кез келген есептер олардың қолданылуына негізделген. Прогрессия айырмашылығы мына формуламен анықталатынын есте ұстаған жөн: d = a n - a n-1.
№1 мысал: белгісіз мүшені табу
Арифметикалық прогрессияның қарапайым мысалын және оны шешу үшін қолданылатын формулаларды келтірейік.
10, 8, 6, 4, ... тізбегі берілсін, одан бес мүшесін табу керек.
Есептің шарттарынан алғашқы 4 термин белгілі екені шығады. Бесінші екі жолмен анықталуы мүмкін:
- Алдымен айырмашылықты есептейік. Бізде: d = 8 - 10 = -2. Сол сияқты, сіз бір-бірінің жанында тұрған кез келген басқа екі мүшені ала аласыз. Мысалы, d = 4 - 6 = -2. d = a n - a n-1 болатыны белгілі болғандықтан, d = a 5 - a 4, одан аламыз: a 5 = a 4 + d. Біз белгілі мәндерді ауыстырамыз: a 5 = 4 + (-2) = 2.
- Екінші әдіс сонымен қатар қарастырылып отырған прогрессияның айырмашылығын білуді талап етеді, сондықтан алдымен оны жоғарыда көрсетілгендей анықтау керек (d = -2). Бірінші мүшесі a 1 = 10 екенін біле отырып, біз тізбектің n санының формуласын қолданамыз. Бізде: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Соңғы өрнекке n = 5 мәнін қойып, мынаны аламыз: a 5 = 12-2 * 5 = 2.
Көріп отырғаныңыздай, екі шешім де бірдей нәтижеге әкелді. Бұл мысалдағы прогрессия айырмасы d теріс мән екенін ескеріңіз. Мұндай тізбектер кему деп аталады, өйткені әрбір келесі мүше алдыңғысынан аз болады.
№2 мысал: прогрессияның айырмашылығы
Енді тапсырманы аздап қиындатып көрейік, қалай болатынына мысал келтірейік
Кейбіреулерінде 1-мүше 6-ға, ал 7-мүше 18-ге тең болатыны белгілі.Айырманы тауып, осы тізбекті 7-ші мүшеге келтіру керек.
Белгісіз мүшені анықтау үшін формуланы қолданайық: a n = (n - 1) * d + a 1 . Шарттағы белгілі мәліметтерді, яғни a 1 және a 7 сандарын ауыстырайық, бізде: 18 = 6 + 6 * d. Бұл өрнектен сіз айырмашылықты оңай есептей аласыз: d = (18 - 6) /6 = 2. Осылайша, біз есептің бірінші бөлігіне жауап бердік.
7-мүшеге ретті қалпына келтіру үшін алгебралық прогрессияның анықтамасын қолдану керек, яғни a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d және т.б. Нәтижесінде біз бүкіл тізбекті қалпына келтіреміз: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.
№3 мысал: прогрессияны құрастыру
Мәселені одан да күрделендірейік. Енді арифметикалық прогрессияны қалай табуға болады деген сұраққа жауап беруіміз керек. Келесі мысалды келтіруге болады: екі сан берілген, мысалы – 4 және 5. Бұлардың арасына тағы үш мүше орналасатындай алгебралық прогрессия құру керек.
Бұл мәселені шешуді бастамас бұрын, берілген сандар болашақ прогрессияда қандай орын алатынын түсінуіңіз керек. Олардың арасында тағы үш мүше болатындықтан, а 1 = -4 және 5 = 5. Осыны анықтап, біз алдыңғыға ұқсас мәселеге көшеміз. Тағы да, n-ші мүшесі үшін формуланы қолданамыз, біз мынаны аламыз: a 5 = a 1 + 4 * d. Қайдан: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Мұнда алғанымыз айырманың бүтін мәні емес, ол рационал сан, сондықтан алгебралық прогрессияның формулалары өзгеріссіз қалады.
Енді табылған айырманы 1-ге қосып, прогрессияның жетіспейтін мүшелерін қалпына келтірейік. Біз мыналарды аламыз: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, сәйкес келді. мәселенің шарттарымен.
№4 мысал: прогрессияның бірінші мүшесі
Шешімдері бар арифметикалық прогрессияның мысалдарын келтіруді жалғастырайық. Барлығында алдыңғы тапсырмаларалгебралық прогрессияның бірінші саны белгілі болды. Енді басқа типтегі есепті қарастырайық: екі сан берілсін, мұнда а 15 = 50 және 43 = 37. Бұл реттілік қай саннан басталатынын табу керек.
Осы уақытқа дейін қолданылған формулалар 1 және d туралы білімді болжайды. Мәселе мәлімдемесінде бұл сандар туралы ештеңе белгілі емес. Дегенмен, біз ақпарат бар әрбір термин үшін өрнектерді жазамыз: a 15 = a 1 + 14 * d және a 43 = a 1 + 42 * d. Біз 2 белгісіз шама (a 1 және d) бар екі теңдеу алдық. Бұл есептің сызықтық теңдеулер жүйесін шешуге келтірілгенін білдіреді.
Бұл жүйені шешудің ең оңай жолы - әрбір теңдеуде 1-ді өрнектеп, содан кейін алынған өрнектерді салыстыру. Бірінші теңдеу: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; екінші теңдеу: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Бұл өрнектерді теңестіре отырып, біз аламыз: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, мұндағы айырма d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (тек 3 ондық белгі берілген).
d біле отырып, 1 үшін жоғарыдағы 2 өрнектің кез келгенін қолдануға болады. Мысалы, бірінші: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.
Алынған нәтижеге күмәніңіз болса, оны тексеруге болады, мысалы, шартта көрсетілген прогрессияның 43-ші мүшесін анықтаңыз. Біз аламыз: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Кішігірім қате есептеулерде мыңнан бірге дейін дөңгелектеу қолданылғанына байланысты.
№5 мысал: сома
Енді арифметикалық прогрессияның қосындысының шешімдері бар бірнеше мысалдарды қарастырайық.
Мына түрдегі сандық прогрессия берілсін: 1, 2, 3, 4, ...,. Осы сандардың 100-нің қосындысын қалай есептеуге болады?
Компьютерлік технологияның дамуының арқасында бұл мәселені шешуге болады, яғни адам Enter пернесін басқаннан кейін компьютер орындайтын барлық сандарды рет-ретімен қосу. Алайда берілген сандар қатары алгебралық прогрессия және оның айырмасы 1-ге тең екендігіне назар аударсақ, мәселені ойша шешуге болады. Қосынды формуласын қолданып, мынаны аламыз: S n = n * ( a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
Бір қызығы, бұл мәселенің «гаусс» деп аталуының себебі, 18 ғасырдың басында атақты неміс, әлі 10 жаста болса да, оны бірнеше секундта шеше алды. Бала алгебралық прогрессияның қосындысының формуласын білмеді, бірақ ол тізбектің соңындағы сандарды жұппен қоссаңыз, әрқашан бірдей нәтиже шығатынын, яғни 1 + 100 = 2 + 99 болатынын байқады. = 3 + 98 = ..., және бұл қосындылар дәл 50 (100/2) болатындықтан, дұрыс жауапты алу үшін 50-ні 101-ге көбейту жеткілікті.
№6 мысал: n-ден m-ге дейінгі мүшелердің қосындысы
Арифметикалық прогрессияның қосындысының тағы бір типтік мысалы келесідей: сандар қатары берілген: 3, 7, 11, 15, ..., оның 8-ден 14-ке дейінгі мүшелерінің қосындысы неге тең болатынын табу керек. .
Мәселе екі жолмен шешіледі. Олардың біріншісі 8-ден 14-ке дейінгі белгісіз мүшелерді табуды, содан кейін оларды ретімен қосуды қамтиды. Терминдер аз болғандықтан, бұл әдіс айтарлықтай еңбекті қажет етпейді. Осыған қарамастан, бұл мәселені екінші әдісті қолдану арқылы шешу ұсынылады, ол әмбебап болып табылады.
Мұндағы идея m және n мүшелері арасындағы алгебралық прогрессияның қосындысының формуласын алу, мұндағы n > m бүтін сандар. Екі жағдайда да қосынды үшін екі өрнек жазамыз:
- S m = m * (a m + a 1) / 2.
- S n = n * (a n + a 1) / 2.
n > m болғандықтан, 2-ші қосындыға біріншісі кіретіні анық. Соңғы қорытынды мынаны білдіреді: егер осы қосындылардың айырмасын алып, оған a m мүшесін қоссақ (айырымды қабылдаған жағдайда S n қосындысынан шегеріледі), есептің қажетті жауабын аламыз. Бізде: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- м/2). Бұл өрнекке a n және a m формулаларын ауыстыру қажет. Сонда мынаны аламыз: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1) - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * м - м 2 - 2) / 2.
Алынған формула біршама қиын, дегенмен S mn қосындысы тек n, m, a 1 және d-ге тәуелді. Біздің жағдайда a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Осы сандарды ауыстырсақ, мынаны аламыз: S mn = 301.
Жоғарыда келтірілген шешімдерден көрініп тұрғандай, барлық есептер n-ші мүшесінің өрнекін және бірінші мүшелер жиынының қосындысының формуласын білуге негізделген. Осы мәселелердің кез келгенін шешуді бастамас бұрын, шартты мұқият оқып шығып, нені табу керектігін нақты түсініп, содан кейін ғана шешімді жалғастыру ұсынылады.
Тағы бір кеңес - қарапайымдылыққа ұмтылу, яғни егер сіз күрделі математикалық есептеулерді қолданбай сұраққа жауап бере алсаңыз, дәл солай істеу керек, өйткені бұл жағдайда қателесу ықтималдығы аз болады. Мысалы, №6 шешімі бар арифметикалық прогрессия мысалында S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m формуласына тоқтауға болады, және үзіліс ортақ міндетбөлек ішкі тапсырмаларға (бұл жағдайда алдымен a n және a m терминдерін табыңыз).
Алынған нәтижеге күмәніңіз болса, келтірілген мысалдардың кейбірінде жасалғандай, оны тексеру ұсынылады. Арифметикалық прогрессияны қалай табуға болатынын білдік. Егер сіз оны анықтасаңыз, бұл қиын емес.
Кейбір адамдар «прогресс» сөзіне өте сақтықпен қарайды күрделі терминжоғары математика бөлімдерінен. Сонымен қатар, ең қарапайым арифметикалық прогрессия - бұл такси есептегішінің жұмысы (олар әлі де бар). Бірнеше қарапайым ұғымдарды талдай отырып, арифметикалық тізбектің мәнін (және математикада «мәні алудан» маңызды ештеңе жоқ) түсіну соншалықты қиын емес.
Математикалық сандар тізбегі
Сандық реттілік әдетте сандар қатары деп аталады, олардың әрқайсысының өз нөмірі бар.
a 1 – тізбектің бірінші мүшесі;
және 2 - қатардың екінші мүшесі;
және 7 - қатардың жетінші мүшесі;
және n – қатардың n-ші мүшесі;
Дегенмен, сандар мен сандардың кез келген ерікті жиынтығы бізді қызықтырмайды. Біз назарымызды n-ші мүшесінің мәні оның реттік санына математикалық түрде анық тұжырымдауға болатын қатынас арқылы қатысты болатын сандық тізбекке аударамыз. Басқаша айтқанда: сандық мән n-ші сан n-дің кейбір функциясы болып табылады.
a – сандық қатардың мүшесінің мәні;
n – оның сериялық нөмірі;
f(n) – функция, мұндағы n сандық қатардағы реттік сан аргумент болып табылады.
Анықтама
Арифметикалық прогрессия әдетте әрбір келесі мүше алдыңғысынан бірдей санға үлкен (кем) болатын сандық тізбек деп аталады. Арифметикалық қатардың n-ші мүшесінің формуласы келесідей:
a n – арифметикалық прогрессияның ағымдағы мүшесінің мәні;
a n+1 – келесі санның формуласы;
d - айырмашылық (белгілі бір сан).
Айырма оң (d>0) болса, онда қарастырылып отырған қатардың әрбір келесі мүшесі алдыңғысынан үлкен болатынын және мұндай арифметикалық прогрессияның өсетінін анықтау оңай.
Төмендегі графикте сандар тізбегі неліктен «өсу» деп аталатынын түсіну оңай.
Айырмашылық теріс болған жағдайларда (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Көрсетілген мүше мәні
Кейде арифметикалық прогрессияның кез келген ерікті a n мүшесінің мәнін анықтау қажет болады. Мұны арифметикалық прогрессияның барлық мүшелерінің мәндерін біріншіден бастап қажеттіге дейін дәйекті түрде есептеу арқылы жасауға болады. Бірақ, мысалы, бес мыңыншы немесе сегіз миллионыншы мүшенің мәнін табу қажет болса, бұл жол әрқашан қолайлы бола бермейді. Дәстүрлі есептеулер көп уақытты алады. Дегенмен, белгілі бір арифметикалық прогрессияны белгілі формулалар арқылы зерттеуге болады. Сондай-ақ n-ші мүшесінің формуласы бар: арифметикалық прогрессияның кез келген мүшесінің мәнін прогрессияның бірінші мүшесінің қосындысы прогрессияның айырмасымен, қажетті мүшенің санына көбейтілген, азайтылған қосындысы ретінде анықтауға болады. бір.
Формула прогрессияның жоғарылауы және төмендеуі үшін әмбебап болып табылады.
Берілген терминнің мәнін есептеудің мысалы
Арифметикалық прогрессияның n-ші мүшесінің мәнін табуға келесі есепті шығарайық.
Шарты: параметрлері бар арифметикалық прогрессия бар:
Тізбектің бірінші мүшесі 3;
Сандар қатарындағы айырмашылық 1,2.
Тапсырма: 214 мүшенің мәнін табу керек
Шешуі: берілген мүшенің мәнін анықтау үшін мына формуланы қолданамыз:
a(n) = a1 + d(n-1)
Мәселе мәлімдемесіндегі деректерді өрнекке ауыстырсақ, бізде:
a(214) = a1 + d(n-1)
a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6
Жауабы: Тізбектің 214-ші мүшесі 258,6-ға тең.
Бұл есептеу әдісінің артықшылықтары айқын - бүкіл шешім 2 жолдан аспайды.
Берілген терминдер санының қосындысы
Көбінесе берілген арифметикалық қатарда оның кейбір сегменттерінің мәндерінің қосындысын анықтау қажет. Мұны істеу үшін әр терминнің мәндерін есептеп, содан кейін оларды қосудың қажеті жоқ. Бұл әдіс қосындысын табуды қажет ететін мүшелердің саны аз болған жағдайда қолданылады. Басқа жағдайларда келесі формуланы қолдану ыңғайлырақ.
1-ден n-ге дейінгі арифметикалық прогрессияның мүшелерінің қосындысы бірінші және n-ші мүшелердің қосындысына тең, n мүшесінің санына көбейтіліп, екіге бөлінеді. Егер формулада n-ші мүшесінің мәні баптың алдыңғы абзацындағы өрнекпен ауыстырылса, мынаны аламыз:
Есептеу мысалы
Мысалы, келесі шарттармен мәселені шешейік:
Тізбектің бірінші мүшесі нөлге тең;
Айырмашылық 0,5.
Есеп 56-дан 101-ге дейінгі қатар мүшелерінің қосындысын анықтауды талап етеді.
Шешім. Прогрессия мөлшерін анықтау үшін формуланы қолданайық:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
Біріншіден, есептің берілген шарттарын формулаға ауыстыру арқылы прогрессияның 101 мүшесінің мәндерінің қосындысын анықтаймыз:
s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2,525
56-дан 101-ге дейінгі прогрессияның мүшелерінің қосындысын табу үшін S 101-ден S 55-ті алу керек екені анық.
s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5
Осылайша, осы мысал үшін арифметикалық прогрессияның қосындысы:
s 101 - s 55 = 2,525 - 742,5 = 1,782,5
Арифметикалық прогрессияның практикалық қолданылуының мысалы
Мақаланың соңында бірінші абзацта келтірілген арифметикалық тізбектің мысалына оралайық - таксиметр (такси вагонының есептегіші). Осы мысалды қарастырайық.
Таксиге отыру (оның ішінде 3 км жол жүру) 50 рубльді құрайды. Әрбір келесі шақырым 22 рубль/км мөлшерінде төленеді. Жол жүру қашықтығы 30 км. Сапардың құнын есептеңіз.
1. Бағасы қону құнына кіретін алғашқы 3 км-ден бас тартайық.
30 - 3 = 27 км.
2. Әрі қарай есептеу арифметикалық сандар қатарын талдаудан басқа ештеңе емес.
Мүше нөмірі – жүріп өткен километрлер саны (алғашқы үшті алып тастағанда).
Мүшенің мәні қосынды болып табылады.
Бұл мәселедегі бірінші термин 1 = 50 рубльге тең болады.
Прогрессия айырмасы d = 22 r.
бізді қызықтыратын сан арифметикалық прогрессияның (27+1)-ші мүшесінің мәні - 27-ші километрдің соңындағы метрдің көрсеткіші 27,999... = 28 км.
a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644
Ерікті ұзақ кезеңге арналған күнтізбе деректерінің есептеулері белгілі бір сандық реттіліктерді сипаттайтын формулаларға негізделген. Астрономияда орбитаның ұзындығы геометриялық тұрғыдан аспан денесінің жұлдызға дейінгі қашықтығына тәуелді. Сонымен қатар, әртүрлі сандар қатарлары статистикада және математиканың басқа қолданбалы салаларында сәтті қолданылады.
Сан тізбегінің тағы бір түрі геометриялық
Геометриялық прогрессия арифметикалық прогрессиямен салыстырғанда өзгерудің үлкен қарқынымен сипатталады. Саясатта, әлеуметтануда, медицинада белгілі бір құбылыстың, мысалы, індет кезіндегі аурудың таралу жылдамдығының жоғарылығын көрсету үшін бұл процесс геометриялық прогрессияда дамиды деп бекер айтылмаған.
Геометриялық сандар қатарының N-ші мүшесінің алдыңғысынан айырмашылығы, ол қандай да бір тұрақты санға – бөлгішке көбейтіледі, мысалы, бірінші мүшесі 1, бөлгіш сәйкесінше 2-ге тең, сонда:
n=1: 1 ∙ 2 = 2
n=2: 2 ∙ 2 = 4
n=3: 4 ∙ 2 = 8
n=4: 8 ∙ 2 = 16
n=5: 16 ∙ 2 = 32,
b n – геометриялық прогрессияның ағымдағы мүшесінің мәні;
b n+1 – геометриялық прогрессияның келесі мүшесінің формуласы;
q – геометриялық прогрессияның бөлгіші (тұрақты сан).
Егер арифметикалық прогрессияның графигі түзу болса, геометриялық прогрессия сәл басқаша суретті салады:
Арифметикалық жағдайдағы сияқты геометриялық прогрессияның ерікті мүшенің мәні үшін формуласы бар. Геометриялық прогрессияның кез келген n-ші мүшесі бірінші мүшесінің көбейтіндісіне және n дәрежесіне азайтылған прогрессияның бөліміне тең:
Мысал. Бізде бірінші мүшесі 3-ке, ал прогрессияның бөлгіші 1,5-ке тең геометриялық прогрессия бар. Прогрессияның 5-ші мүшесін табайық
b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875
Берілген терминдер санының қосындысы да арнайы формула арқылы есептеледі. Геометриялық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысы прогрессияның n-ші мүшесі мен оның бөлгіші мен прогрессияның бірінші мүшесінің көбейтіндісінің айырмасына тең, оны бірге азайтылған бөлгішке бөледі:
Егер b n жоғарыда қарастырылған формула арқылы ауыстырылса, қарастырылып отырған сандар қатарының бірінші n мүшесінің қосындысының мәні келесідей болады:
Мысал. Геометриялық прогрессия 1-ге тең бірінші мүшесінен басталады. Бөлгіш 3-ке тең. Алғашқы сегіз мүшесінің қосындысын табайық.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
Иә, иә: арифметикалық прогрессия сіз үшін ойыншық емес :) Ал, достар, егер сіз осы мәтінді оқып жатсаңыз, онда ішкі дәлелдер арифметикалық прогрессияның не екенін әлі білмегеніңізді айтады, бірақ сіз шынымен (жоқ, бұл сияқты: SOOOOO!) білгіңіз келеді. Сондықтан мен сізді ұзақ таныстырумен қинамаймын және тікелей сөзге көшемін.
Біріншіден, бірнеше мысал. Бірнеше сандар жиынын қарастырайық:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$
Барлық осы жиынтықтардың ортақтығы неде? Бір қарағанда, ештеңе жоқ. Бірақ іс жүзінде бір нәрсе бар. Атап айтқанда: әрбір келесі элемент алдыңғысынан бірдей санмен ерекшеленеді.
Өзіңіз бағалаңыз. Бірінші жиын жай қатарлы сандар, келесісі алдыңғысынан бір артық. Екінші жағдайда, көрші сандар арасындағы айырмашылық қазірдің өзінде бес, бірақ бұл айырмашылық әлі де тұрақты. Үшінші жағдайда тамырлар мүлде болмайды. Дегенмен, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, және $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, яғни. және бұл жағдайда әрбір келесі элемент $\sqrt(2)$-ға артады (және бұл сан қисынсыз деп қорықпаңыз).
Сонымен: мұндай тізбектердің барлығы арифметикалық прогрессиялар деп аталады. Қатаң анықтама берейік:
Анықтама. Әрбір келесісі алдыңғы саннан дәл бірдей мөлшерде ерекшеленетін сандар тізбегі арифметикалық прогрессия деп аталады. Сандар ерекшеленетін сома прогрессияның айырмашылығы деп аталады және көбінесе $d$ әрпімен белгіленеді.
Белгі: $\left(((a)_(n)) \right)$ - прогрессияның өзі, $d$ - оның айырмашылығы.
Және бірнеше маңызды ескертулер. Біріншіден, прогресс тек қана қарастырылады тапсырыс бердісандар тізбегі: олар жазылған ретпен қатаң оқуға рұқсат етіледі - басқа ештеңе жоқ. Сандарды қайта реттеу немесе ауыстыру мүмкін емес.
Екіншіден, тізбектің өзі ақырлы немесе шексіз болуы мүмкін. Мысалы, (1; 2; 3) жиыны ақырлы арифметикалық прогрессия екені анық. Бірақ егер сіз рухта бірдеңе жазсаңыз (1; 2; 3; 4; ...) - бұл қазірдің өзінде шексіз прогресс. Төрттен кейінгі эллипс алда әлі де бірнеше сан бар екенін меңзеп тұрғандай. Шексіз көп, мысалы.
Прогресстердің көбеюі немесе азаюы мүмкін екенін де атап өткім келеді. Біз өсіп келе жатқандарды көрдік - сол жиынтық (1; 2; 3; 4; ...). Төменде прогрессияның мысалдары келтірілген:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$
Жарайды, жақсы: соңғы мысал тым күрделі болып көрінуі мүмкін. Бірақ қалғаны, менің ойымша, сіз түсінесіз. Сондықтан біз жаңа анықтамаларды енгіземіз:
Анықтама. Арифметикалық прогрессия деп аталады:
- әрбір келесі элемент алдыңғысынан үлкен болса, ұлғайту;
- кему, егер, керісінше, әрбір келесі элемент алдыңғысынан аз болса.
Сонымен қатар, «стационарлық» деп аталатын тізбектер бар - олар бірдей қайталанатын саннан тұрады. Мысалы, (3; 3; 3; ...).
Бір ғана сұрақ қалады: өсіп келе жатқан прогрессияны төмендейтіннен қалай ажыратуға болады? Бақытымызға орай, мұнда бәрі тек $d$ санының белгісіне байланысты, яғни. прогрессияның айырмашылығы:
- $d \gt 0$ болса, онда прогрессия артады;
- Егер $d \lt 0$ болса, онда прогрессия анық төмендейді;
- Соңында, $d=0$ жағдайы бар - бұл жағдайда бүкіл прогрессия бірдей сандардың стационарлық тізбегіне келтіріледі: (1; 1; 1; 1; ...), т.б.
Жоғарыда келтірілген үш кему прогрессиясы үшін $d$ айырмасын есептеп көрейік. Ол үшін кез келген екі көршілес элементті (мысалы, бірінші және екінші) алып, оң жақтағы саннан сол жақтағы санды алып тастау жеткілікті. Ол келесідей болады:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.
Көріп отырғанымыздай, үш жағдайда да айырмашылық теріс болып шықты. Енді біз анықтамаларды азды-көпті анықтадық, прогрессиялар қалай сипатталатынын және олардың қандай қасиеттері бар екенін анықтаудың уақыты келді.
Прогрессия шарттары және қайталану формуласы
Біздің тізбектердің элементтерін ауыстыру мүмкін болмағандықтан, оларды нөмірлеуге болады:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\(((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \оң\)\]
Бұл жиынның жеке элементтері прогрессияның мүшелері деп аталады. Олар санмен белгіленеді: бірінші мүше, екінші мүше, т.б.
Сонымен қатар, біз білетіндей, прогрессияның көршілес мүшелері мына формуламен байланысады:
\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Оң жақ көрсеткі ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]
Қысқаша айтқанда, прогрессияның $n$-ші мүшесін табу үшін $n-1$-ші мүшесі мен $d$ айырмашылығын білу керек. Бұл формула қайталанатын деп аталады, өйткені оның көмегімен кез келген санды тек алдыңғысын (және іс жүзінде барлық алдыңғыларын) білу арқылы табуға болады. Бұл өте ыңғайсыз, сондықтан кез келген есептеулерді бірінші терминге және айырмашылыққа дейін азайтатын әлдеқайда айлакер формула бар:
\[((a)_(n))=((a)_(1))+\сол(n-1 \оң)d\]
Сіз бұл формуланы бұрыннан кездестірген шығарсыз. Олар оны әртүрлі анықтамалық кітаптар мен шешімдер кітаптарында бергенді ұнатады. Ал кез келген саналы математика оқулығында ол алғашқылардың бірі болып табылады.
Дегенмен, мен сізге аздап жаттығуды ұсынамын.
№1 тапсырма. $((a)_(1))=8,d=-5$ болса, $\left(((a)_(n)) \right)$ арифметикалық прогрессияның алғашқы үш мүшесін жазыңыз.
Шешім. Сонымен, біз $((a)_(1))=8$ бірінші мүшесін және $d=-5$ прогрессияның айырмасын білеміз. Жаңа берілген формуланы қолданып, $n=1$, $n=2$ және $n=3$ ауыстырайық:
\[\бастау(туралау) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\сол(2-1 \оң)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\сол(3-1 \оң)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \соңы(туралау)\]
Жауабы: (8; 3; −2)
Міне бітті! Назар аударыңыз: біздің ілгерілеушілік азайып келеді.
Әрине, $n=1$ ауыстыру мүмкін емес - бірінші термин бізге бұрыннан белгілі. Дегенмен, бірлікті алмастыра отырып, біз формуламыздың бірінші тоқсанның өзінде жұмыс істейтініне көз жеткіздік. Басқа жағдайларда бәрі банальды арифметикаға келді.
№2 тапсырма. Арифметикалық прогрессияның жетінші мүшесі -40-қа, он жетінші мүшесі -50-ге тең болса, оның алғашқы үш мүшесін жазыңыз.
Шешім. Мәселенің шартын таныс терминдермен жазайық:
\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]
\[\left\( \begin(туралау) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & (a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \соңы(туралау) \оңға.\]
\[\сол\( \бастау(туралау) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & (a)_(1))+16d=-50 \\ \соңы(туралау) \дұрыс.\]
Мен жүйе белгісін қойдым, себебі бұл талаптар бір уақытта орындалуы керек. Енді екінші теңдеуден біріншісін алып тастасақ (бізде жүйе болғандықтан, мұны істеуге құқығымыз бар), мынаны аламыз:
\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \соңы(туралау)\]
Прогрессиялық айырмашылықты табу оңай! Табылған санды жүйенің кез келген теңдеуіне ауыстыру ғана қалады. Мысалы, біріншісінде:
\[\бастау(матрица) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Төмен қарай \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((а)_(1))=-40+6=-34. \\ \соңы(матрица)\]
Енді бірінші мүше мен айырмашылықты біле отырып, екінші және үшінші мүшелерді табу керек:
\[\бастау(туралау) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \соңы(туралау)\]
Дайын! Мәселе шешілді.
Жауабы: (−34; −35; −36)
Прогрессияның біз ашқан қызықты қасиетіне назар аударыңыз: егер $n$th және $m$th мүшелерін алып, оларды бір-бірінен алсақ, прогрессияның айырмасын $n-m$ санына көбейтеміз:
\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \оң)\]
Сіз міндетті түрде білуіңіз керек қарапайым, бірақ өте пайдалы қасиет - оның көмегімен сіз прогрессияның көптеген мәселелерін шешуді айтарлықтай жылдамдата аласыз. Мұның айқын мысалы:
№3 тапсырма. Арифметикалық прогрессияның бесінші мүшесі 8,4, оныншы мүшесі 14,4-ке тең. Осы прогрессияның он бесінші мүшесін табыңыз.
Шешім. $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$ болғандықтан және $((a)_(15))$ табу керек болғандықтан, біз мынаны ескереміз:
\[\бастау(туралау) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \соңы(туралау)\]
Бірақ $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$ шарты бойынша $5d=6$, одан бізде:
\[\бастау(туралау) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \соңы(туралау)\]
Жауабы: 20.4
Міне бітті! Бізге ешқандай теңдеулер жүйесін құрудың және бірінші мүшесі мен айырмашылығын есептеудің қажеті жоқ - барлығы бірнеше жолда шешілді.
Енді мәселенің тағы бір түрін қарастырайық – прогрессияның теріс және оң шарттарын іздеу. Прогрессия ұлғайып, оның бірінші мүшесі теріс болса, онда ерте ме, кеш пе оң терминдер пайда болатыны ешкімге құпия емес. Және керісінше: төмендейтін прогрессияның шарттары ерте ме, кеш пе теріс болады.
Сонымен қатар, элементтерді дәйекті түрде өту арқылы осы сәтті «басқа» табу әрдайым мүмкін емес. Көбінесе есептер формулаларды білмей-ақ, есептеулер бірнеше парақ қағазды алатындай етіп жазылады — жауабын тапқанша біз жай ғана ұйықтап қалатынбыз. Сондықтан бұл мәселелерді тезірек шешуге тырысайық.
№4 тапсырма. Арифметикалық прогрессияда неше теріс мүше бар −38,5; −35,8; ...?
Шешім. Сонымен, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, сол жерден бірден айырмашылықты табамыз:
Айырмашылық оң екенін ескеріңіз, сондықтан прогресс артады. Бірінші мүше теріс, сондықтан біз бір сәтте оң сандарға тап боламыз. Бұл қашан болады деген жалғыз сұрақ.
Терминдердің теріс мәні қанша уақытқа дейін (яғни, $n$ қандай натурал санға дейін) болатынын анықтауға тырысайық:
\[\бастау(туралау) & ((a)_(n)) \lt 0\Оң жақ көрсеткі ((a)_(1))+\сол(n-1 \оң)d \lt 0; \\ & -38,5+\left(n-1 \оң)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \оңға. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Оң жақ көрсеткі ((n)_(\max ))=15. \\ \соңы(туралау)\]
Соңғы жол кейбір түсініктемелерді қажет етеді. Сонымен, біз $n \lt 15\frac(7)(27)$ екенін білеміз. Екінші жағынан, біз тек санның бүтін мәндерімен қанағаттанамыз (сонымен қатар: $n\in \mathbb(N)$), сондықтан ең үлкен рұқсат етілген сан дәл $n=15$ және ешбір жағдайда 16 емес. .
№5 тапсырма. Арифметикалық прогрессияда $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Осы прогрессияның бірінші оң мүшесінің нөмірін табыңыз.
Бұл алдыңғы мәселемен бірдей болады, бірақ біз $((a)_(1))$ білмейміз. Бірақ көршілес терминдер белгілі: $((a)_(5))$ және $((a)_(6))$, сондықтан прогрессияның айырмашылығын оңай таба аламыз:
Сонымен қатар, стандартты формула арқылы бесінші мүшені бірінші және айырма арқылы өрнектеп көрейік:
\[\бастау(туралау) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \соңы(туралау)\]
Енді біз алдыңғы тапсырмаға ұқсастық бойынша жалғастырамыз. Оң сандар қатарымыздың қай нүктесінде пайда болатынын білейік:
\[\бастау(туралау) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Оң жақ көрсеткі ((n)_(\мин ))=56. \\ \соңы(туралау)\]
Бұл теңсіздіктің ең кіші бүтін шешімі 56 саны.
Назар аударыңыз: соңғы тапсырмада бәрі қатаң теңсіздікке жетті, сондықтан $n=55$ опциясы бізге сәйкес келмейді.
Қарапайым есептерді шығаруды үйрендік, енді күрделірек есептерге көшейік. Бірақ алдымен арифметикалық прогрессияның тағы бір пайдалы қасиетін зерттеп көрейік, ол бізге көп уақытты және болашақта тең емес ұяшықтарды үнемдейді :)
Орташа арифметикалық және тең шегіністер
$\left(((a)_(n)) \right)$ өсетін арифметикалық прогрессияның бірнеше қатарынан мүшелерін қарастырайық. Оларды сан жолында белгілеп көрейік:
Сан түзуіндегі арифметикалық прогрессияның шарттарыМен $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ ерікті терминдерді арнайы белгіледім, кейбір $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$, т.б. Өйткені мен қазір айтатын ереже кез келген «сегменттерге» бірдей жұмыс істейді.
Ал ереже өте қарапайым. Қайталанатын формуланы еске түсіріп, оны барлық белгіленген терминдер үшін жазайық:
\[\бастау(туралау) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \соңы(туралау)\]
Дегенмен, бұл теңдіктерді басқаша қайта жазуға болады:
\[\бастау(туралау) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \соңы(туралау)\]
Сонда не? Ал $((a)_(n-1))$ және $((a)_(n+1))$ терминдерінің $((a)_(n)) $-дан бірдей қашықтықта жатқаны. . Және бұл қашықтық $d$-ға тең. $((a)_(n-2))$ және $((a)_(n+2))$ терминдері туралы да осылай айтуға болады - олар $((a)_(n) терминінен де жойылған. )$ бірдей қашықтықта $2d$ тең. Біз ad infinitum жалғастыра аламыз, бірақ мағынасы суретте жақсы суреттелген
Прогрессия шарттары центрден бірдей қашықтықта жатыр Бұл біз үшін нені білдіреді? Бұл көрші сандар белгілі болса, $((a)_(n))$ табуға болатынын білдіреді:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)(2)\]
Біз тамаша тұжырым алдық: арифметикалық прогрессияның әрбір мүшесі оның көрші мүшелерінің арифметикалық ортасына тең! Сонымен қатар: біз $((a)_(n))$ нүктесінен солға және оңға бір қадаммен емес, $k$ қадамдарымен артқа шегінуге болады - және формула әлі де дұрыс болады:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]
Сол. $((a)_(150))$ $((a)_(100))$ және $((a)_(200))$ білсек, біз оңай таба аламыз, себебі $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)(2)$. Бір қарағанда, бұл факт бізге пайдалы ештеңе бермейтін сияқты көрінуі мүмкін. Бірақ іс жүзінде көптеген есептер орташа арифметикалық шаманы қолдануға арнайы бейімделген. Қараңыз:
№6 тапсырма. $-6((x)^(2))$, $x+1$ және $14+4((x)^(2))$ сандары ретті терминдер болатын $x$ мәндерін табыңыз. арифметикалық прогрессия (көрсетілген ретпен).
Шешім. Бұл сандар прогрессияның мүшелері болғандықтан, олар үшін орташа арифметикалық шарт орындалады: $x+1$ орталық элементін көршілес элементтер арқылы көрсетуге болады:
\[\бастау(туралау) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \соңы(туралау)\]
Нәтижесінде классикалық квадрат теңдеу шығады. Оның түбірлері: $x=2$ және $x=-3$ жауап болып табылады.
Жауабы: −3; 2.
№7 тапсырма. $-1;4-3;(()^(2))+1$ сандары арифметикалық прогрессия құрайтын $$ мәндерін табыңыз (осы ретпен).
Шешім. Орташа мүшені көршілес мүшелердің арифметикалық ортасы арқылы тағы да өрнектейік:
\[\бастау(туралау) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \оңға.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \соңы(туралау)\]
Қайтадан квадрат теңдеу. Және тағы да екі түбір бар: $x=6$ және $x=1$.
Жауабы: 1; 6.
Егер мәселені шешу барысында сіз кейбір қатыгез сандарды ойлап тапсаңыз немесе табылған жауаптардың дұрыстығына толық сенімді болмасаңыз, онда тексеруге мүмкіндік беретін тамаша әдіс бар: біз мәселені дұрыс шештік пе?
№6 есепте −3 және 2 жауаптарын алдық делік. Бұл жауаптардың дұрыстығын қалай тексеруге болады? Оларды бастапқы күйге қосып, не болатынын көрейік. Естеріңізге сала кетейін, бізде арифметикалық прогрессия құрайтын үш сан ($-6(()^(2))$, $+1$ және $14+4(()^(2))$ бар. $x=-3$ ауыстырайық:
\[\бастау(туралау) & x=-3\Оң жақ көрсеткі \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \соңы(туралау)\]
Біз −54 сандарын алдық; −2; Айырмашылығы 52 болатын 50 саны арифметикалық прогрессия екені сөзсіз. $x=2$ үшін де солай болады:
\[\бастау(туралау) & x=2\Оң жақ көрсеткі \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \соңы(туралау)\]
Тағы да прогрессия, бірақ айырмашылығы 27. Осылайша, мәселе дұрыс шешілді. Қалаушылар екінші мәселені өз бетінше тексере алады, бірақ мен бірден айтамын: мұнда да бәрі дұрыс.
Жалпы, соңғы мәселелерді шешу барысында біз есте сақтауды қажет ететін тағы бір қызықты фактіге тап болдық:
Егер үш сан екіншісі бірінші және соңғының арифметикалық ортасы болатындай болса, онда бұл сандар арифметикалық прогрессияны құрайды.
Болашақта бұл мәлімдемені түсіну мәселенің шарттарына негізделген қажетті прогрессияларды сөзбе-сөз «құруға» мүмкіндік береді. Бірақ мұндай «құрылыспен» айналыспас бұрын, біз бұрын талқыланған нәрседен туындайтын тағы бір фактіге назар аударуымыз керек.
Топтастыру және элементтерді жинақтау
Сандар осіне қайта оралайық. Прогрессияның бірнеше мүшелерін атап өтейік, олардың арасында болуы мүмкін. көптеген басқа мүшелерге тұрарлық:
Сан түзуінде 6 элемент белгіленген«Сол жақ құйрықты» $((a)_(n))$ және $d$ арқылы, ал «оң құйрықты» $((a)_(k))$ және $d$ арқылы өрнектеп көрейік. Бұл өте қарапайым:
\[\бастау(туралау) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \соңы(туралау)\]
Енді келесі сомалар тең екенін ескеріңіз:
\[\бастау(туралау) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= С. \соңы(туралау)\]
Қарапайым тілмен айтқанда, егер біз жалпы $S$ санына тең болатын прогрессияның екі элементін бастама ретінде қарастырсақ, содан кейін осы элементтерден қарама-қарсы бағытта қадам бастай бастасақ (бір-біріне қарай немесе керісінше алыстау үшін), содан кейін біз сүрінетін элементтердің қосындылары да тең болады$S$. Мұны графикалық түрде ең айқын көрсетуге болады:
Бірдей шегіністер бірдей шамаларды береді Бұл фактіні түсіну бізге жоғарыда қарастырғандарға қарағанда күрделіліктің түбегейлі жоғары деңгейіндегі мәселелерді шешуге мүмкіндік береді. Мысалы, мыналар:
№8 тапсырма. Бірінші мүшесі 66, ал екінші және он екінші мүшелерінің көбейтіндісі мүмкін болатын ең кіші арифметикалық прогрессияның айырмасын анықтаңыз.
Шешім. Біз білетіндердің бәрін жазайық:
\[\бастау(туралау) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\мин . \соңы(туралау)\]
Сонымен, $d$ прогрессия айырмашылығын білмейміз. Шын мәнінде, бүкіл шешім айырмашылықтың айналасында құрылады, себебі $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ өнімін келесідей қайта жазуға болады:
\[\бастау(туралау) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \соңы(туралау)\]
Резервуардағылар үшін: Мен екінші жақшадан 11-дің жалпы көбейткішін алдым. Осылайша, қажетті туынды $d$ айнымалысына қатысты квадраттық функция болып табылады. Сондықтан $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ функциясын қарастырайық - оның графигі тармақтары жоғары парабола болады, өйткені жақшаларды кеңейтсек, аламыз:
\[\бастау(туралау) & f\left(d \оңға)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \оңға)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]
Көріп отырғаныңыздай, ең жоғары мүшенің коэффициенті 11 - бұл оң сан, сондықтан біз шын мәнінде жоғары тармақтары бар параболамен айналысамыз:
квадраттық функцияның графигі – парабола
Назар аударыңыз: бұл парабола өзінің ең төменгі мәнін $((d)_(0))$ абсциссасымен төбесінде қабылдайды. Әрине, біз бұл абсциссаны стандартты схема арқылы есептей аламыз ($((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ формуласы бар), бірақ ескергеніміз әлдеқайда орынды болар еді. қажетті шыңы параболаның осінің симметриясында жатқанын, сондықтан $((d)_(0))$ нүктесі $f\left(d \right)=0$ теңдеуінің түбірлерінен бірдей қашықтықта орналасқан:
\[\бастау(туралау) & f\left(d \оңға)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\төрт ((d)_(2))=-6. \\ \соңы(туралау)\]
Сондықтан мен жақшаларды ашуға асықпадым: олардың бастапқы түрінде тамырларды табу өте оңай болды. Демек, абсцисса −66 және −6 сандарының арифметикалық ортасына тең:
\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]
Табылған сан бізге не береді? Оның көмегімен қажетті өнім ең кіші мәнді қабылдайды (айтпақшы, біз ешқашан $((y)_(\min ))$ есептеген жоқпыз - бұл бізден талап етілмейді). Сонымен қатар, бұл сан бастапқы прогрессияның айырмашылығы, яғни. жауабын таптық. :)
Жауабы: −36
№9 тапсырма. $-\frac(1)(2)$ және $-\frac(1)(6)$ сандарының арасына осы сандармен бірге арифметикалық прогрессия құрайтындай үш санды енгізіңіз.
Шешім. Негізінде бірінші және соңғы саны белгілі бес саннан тұратын тізбегі жасауымыз керек. Жетіспейтін сандарды $x$, $y$ және $z$ айнымалылары арқылы белгілейік:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \оң\ )\]
$y$ саны біздің қатарымыздың «ортасы» екенін ескеріңіз - ол $x$ және $z$ сандарынан және $-\frac(1)(2)$ және $-\frac сандарынан бірдей қашықтықта орналасқан. (1)( 6)$. Ал егер біз $x$ және $z$ сандарынан $y$ ала алмасақ, онда прогрессияның соңындағы жағдай басқаша болады. Арифметикалық ортаны еске түсірейік:
Енді $y$ біле отырып, біз қалған сандарды табамыз. $x$ $-\frac(1)(2)$ және біз жаңа тапқан $y=-\frac(1)(3)$ сандары арасында жатқанын ескеріңіз. Сондықтан
Ұқсас дәлелдерді пайдалана отырып, біз қалған санды табамыз:
Дайын! Біз үш санды да таптық. Оларды жауапта бастапқы сандар арасына енгізу ретімен жазайық.
Жауабы: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$
№10 тапсырма. 2 және 42 сандарының арасына осы сандармен бірге арифметикалық прогрессия құрайтын бірнеше сандарды енгізіңіз, егер енгізілген сандардың бірінші, екінші және соңғысының қосындысы 56 екенін білсеңіз.
Шешім. Одан да күрделі мәселе, дегенмен, алдыңғылары сияқты схема бойынша - арифметикалық орта арқылы шешіледі. Мәселе мынада, біз нақты қанша санды енгізу керек екенін білмейміз. Сондықтан, барлығын енгізгеннен кейін нақты $n$ сандары болады деп есептейік, олардың біріншісі 2, ал соңғысы 42. Бұл жағдайда қажетті арифметикалық прогрессияны келесі түрде көрсетуге болады:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \оң\)\]
\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]
Алайда $((a)_(2))$ және $((a)_(n-1))$ сандары шеттердегі 2 және 42 сандарынан бір-біріне қарай бір қадаммен алынғанын ескеріңіз, яғни ретінің ортасына. Және бұл дегеніміз
\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]
Бірақ содан кейін жоғарыда жазылған өрнекті келесідей қайта жазуға болады:
\[\бастау(туралау) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \соңы(туралау)\]
$((a)_(3))$ және $((a)_(1))$ біле отырып, прогрессияның айырмашылығын оңай таба аламыз:
\[\бастау(туралау) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\сол(3-1 \оң)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Оң жақ көрсеткі d=5. \\ \соңы(туралау)\]
Қалған шарттарды табу ғана қалады:
\[\бастау(туралау) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \соңы(туралау)\]
Осылайша, 9-қадамда біз тізбектің сол жағына - 42 санына келеміз. Барлығы тек 7 санды енгізу керек болды: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
Жауабы: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
Прогрессиялармен сөз мәселелері
Қорытындылай келе, мен салыстырмалы түрде қарапайым бірнеше мәселені қарастырғым келеді. Бұл қарапайым: мектепте математиканы оқитын және жоғарыда жазылғандарды оқымаған студенттердің көпшілігі үшін бұл есептер қиын болып көрінуі мүмкін. Дегенмен, бұл математикадан OGE және Бірыңғай мемлекеттік емтиханда кездесетін есептердің түрлері, сондықтан мен сізге олармен танысуды ұсынамын.
№11 тапсырма. Ұжым қаңтар айында 62 деталь шығарса, келесі айда алдыңғы аймен салыстырғанда 14 дана артық өндірді. Команда қараша айында неше бөлшек шығарды?
Шешім. Айлар бойынша тізімделген бөліктер саны артып келе жатқан арифметикалық прогрессияны білдіретіні анық. Оның үстіне:
\[\бастау(туралау) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\сол(n-1 \оң)\cdot 14. \\ \соңы(туралау)\]
Қараша - жылдың 11 айы, сондықтан $((a)_(11))$ табу керек:
\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]
Сондықтан қараша айында 202 деталь шығарылады.
№12 тапсырма. Кітапты түптеу шеберханасы қаңтар айында 216 кітапты түптеп шығарса, келесі айда алдыңғы аймен салыстырғанда 4 кітапқа артық тігіледі. Желтоқсан айында шеберхана неше кітапты түптеді?
Шешім. Барлығы бірдей:
$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\сол(n-1 \оң)\cdot 4. \\ \соңы(туралау)$
Желтоқсан - жылдың соңғы, 12-ші айы, сондықтан біз $((a)_(12))$ іздейміз:
\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]
Бұл жауап – желтоқсан айында 260 кітап тігілетін болады.
Егер сіз осы уақытқа дейін оқыған болсаңыз, мен сізді құттықтауға асығамын: сіз арифметикалық прогрессияның «жас жауынгер курсын» сәтті аяқтадыңыз. Келесі сабаққа қауіпсіз өтуге болады, онда біз прогрессияның қосындысының формуласын, сондай-ақ одан маңызды және өте пайдалы нәтижелерді зерттейміз.