Негізгі элементар функцияларды жазыңыз. Негізгі элементар функциялар және олардың қасиеттері

1) Функция облысы және функция ауқымы.

Функцияның облысы - барлық жарамды аргумент мәндерінің жиыны x(айнымалы x), ол үшін функция y = f(x)анықталды. Функцияның ауқымы - барлық нақты мәндердің жиыны ж, бұл функция қабылдайды.

Бастауыш математикада функциялар тек нақты сандар жиынында зерттеледі.

2) Функция нөлдері.

Функция нөл – функцияның мәні нөлге тең болатын аргументтің мәні.

3) Функцияның тұрақты таңбасының интервалдары.

Функцияның тұрақты таңбасының интервалдары - бұл функция мәндері тек оң немесе теріс болатын аргумент мәндерінің жиыны.

4) Функцияның монотондылығы.

Өсіп келе жатқан функция (белгілі бір аралықта) деп осы аралықтағы аргументтің үлкен мәні функцияның үлкен мәніне сәйкес келетін функцияны айтады.

Азайғыш функция (белгілі бір аралықта) - бұл аралықтағы аргументтің үлкен мәні функцияның кіші мәніне сәйкес келетін функция.

5) Жұп (тақ) функция.

Жұп функция - анықтау облысы бастапқы және кез келген үшін симметриялы болатын функция Xанықтау аймағынан теңдік f(-x) = f(x). Кестебіркелкі функция

ордината осіне қатысты симметриялы. XТақ функция деп анықтау облысы бастапқы және кез келген үшін симметриялы болатын функцияны айтады анықтау аймағынан теңдік ақиқат f(-x) = - f(x

)..

Тақ функцияның графигі бастапқы нүктеге қатысты симметриялы.

6) Шектеулі және шектеусіз функциялар.

|f(x)| болатындай оң M саны болса, функция шектелген деп аталады ≤ M x-тің барлық мәндері үшін. Егер мұндай сан жоқ болса, онда функция шексіз болады. 7) Функцияның периодтылығы f(x) функциясы периодты болып табылады, егер функцияның анықталу облысындағы кез келген х үшін келесі орындалатындай нөлдік емес T саны болса: f(x+T) = f(x). Бұл ең кіші сан функцияның периоды деп аталады. Барлығы

тригонометриялық функциялар

мерзімді болып табылады. (Тригонометриялық формулалар).

19. Негізгі элементар функциялар, олардың қасиеттері және графиктері. Функцияларды экономикада қолдану.

Негізгі элементар функциялар. Олардың қасиеттері және графиктері түрінің функциясы деп аталады, мұндағы х - айнымалы, a және b - нақты сандар.

Сан Атүзудің еңісі деп аталады, ол осы түзудің көлбеу бұрышының х осінің оң бағытына жанамасына тең. Сызықтық функцияның графигі түзу болады. Ол екі нүктемен анықталады.

Сызықтық функцияның қасиеттері

1. Анықтау облысы – барлық нақты сандар жиыны: D(y)=R

2. Мәндер жиыны барлық нақты сандар жиыны болып табылады: E(y)=R

3. Функция немесе болғанда нөлдік мән қабылдайды.

4. Функция анықтаудың барлық облысы бойынша артады (кемітеді).

5. Сызықтық функция анықтаудың барлық облысы бойынша үздіксіз, дифференциалданатын және .

2. Квадраттық функция.

Түрдегі функция, мұнда x айнымалы, a, b, c коэффициенттері нақты сандар болып табылады. квадраттық

Білім негізгі элементар функциялар, олардың қасиеттері және графиктерікөбейту кестелерін білуден кем емес. Олар іргетас сияқты, бәрі соларға негізделген, бәрі солардан салынған және бәрі соларға түседі.

Бұл мақалада біз барлық негізгі элементар функцияларды тізімдейміз, олардың графиктерін береміз және қорытындысыз немесе дәлелсіз береміз. негізгі элементар функциялардың қасиеттерісхемаға сәйкес:

анықтау облысы, тік асимптоталар шекараларындағы функцияның әрекеті (қажет болса, функцияның үзіліс нүктелерінің мақала классификациясын қараңыз);
жұп және тақ;
дөңес (дөңес жоғары) және ойыс (төмен қарай дөңес), иілу аралықтары (қажет болса, функцияның дөңестігін, дөңестің бағытын, иілу нүктелерін, дөңес және иілу шарттарын қараңыз);
көлбеу және көлденең асимптоталар;
функциялардың дара нүктелері;
кейбір функциялардың арнайы қасиеттері (мысалы, тригонометриялық функциялардың ең кіші оң периоды).

Егер сізді қызықтыратын болсаңыз немесе, онда сіз теорияның осы бөлімдеріне өтуіңізге болады.

Негізгі элементар функцияларолар: тұрақты функция (тұрақты), n-ші түбір, дәреже функциясы, көрсеткіштік, логарифмдік функция, тригонометриялық және кері тригонометриялық функциялар.

Бетті шарлау.

Тұрақты функция.

Тұрақты функция барлық нақты сандар жиынында формула бойынша анықталады, мұндағы С - қандай да бір нақты сан. Тұрақты функция х тәуелсіз айнымалысының әрбір нақты мәнін тәуелді y айнымалысының бірдей мәнімен - С мәнімен байланыстырады. Тұрақты функцияны тұрақты деп те атайды.

Тұрақты функцияның графигі х осіне параллель және координаталары (0,С) нүктесі арқылы өтетін түзу. Мысалы, төмендегі суретте сәйкесінше қара, қызыл және көк сызықтарға сәйкес келетін у=5, у=-2 және тұрақты функциялардың графиктерін көрсетейік.

Тұрақты функцияның қасиеттері.

Домен: нақты сандар жиыны.
Тұрақты функция жұп.
Мәндер ауқымы: С дара санынан тұратын жиын.
Тұрақты функция өспейді және кемімейді (сол себепті ол тұрақты).
Тұрақтының дөңестігі мен ойысы туралы айтудың мағынасы жоқ.
Асимптоталар жоқ.
Функция координаталық жазықтықтың (0,С) нүктесі арқылы өтеді.

n-ші дәрежелі тамыр.

n – формуласымен берілген негізгі элементар функцияны қарастырайық. натурал сан, біреуден үлкен.

n-дәрежелі түбір, n – жұп сан.

n түбір көрсеткішінің жұп мәндері үшін n-ші түбір функциясынан бастайық.

Мысал ретінде мұнда функция графиктерінің суреттері бар сурет берілген және , олар қара, қызыл және көк сызықтарға сәйкес келеді.

Жұп дәрежелі түбір функцияларының графиктері көрсеткіштің басқа мәндері үшін ұқсас көрініске ие.

Жұп n үшін n-ші түбір функциясының қасиеттері.

n-ші түбір, n тақ сан.

Тақ түбір көрсеткіші n болатын n-ші түбір функциясы нақты сандардың барлық жиынында анықталған. Мысалы, мұнда функция графиктері берілген және , олар қара, қызыл және көк қисықтарға сәйкес келеді.

Түбірлік көрсеткіштің басқа тақ мәндері үшін функция графиктері ұқсас көрініске ие болады.

Тақ n үшін n-ші түбір функциясының қасиеттері.

Қуат функциясы.

Қуат функциясы түрдегі формуламен берілген.

Дәрежелік функцияның графиктерінің түрін және дәрежелік функцияның қасиеттерін дәреженің мәніне байланысты қарастырайық.

Бүтін көрсеткіші a болатын қуат функциясынан бастайық. Бұл жағдайда дәрежелік функциялардың графиктерінің түрі және функциялардың қасиеттері көрсеткіштің жұп немесе тақтығына, сондай-ақ оның таңбасына байланысты болады. Сондықтан, алдымен а көрсеткішінің тақ оң мәндері үшін, одан кейін жұп оң дәрежелер үшін, содан кейін тақ теріс дәрежелер үшін және ең соңында жұп теріс а үшін дәрежелік функцияларды қарастырамыз.

Бөлшек және иррационал дәрежелі дәрежелік функциялардың қасиеттері (сондай-ақ мұндай дәрежелік функциялардың графиктерінің түрі) а көрсеткішінің мәніне байланысты. Оларды, біріншіден, нөлден бірге дейін, екіншіден, бірден үлкен үшін, үшіншіден, минус бірден нөлге дейін, төртіншіден, минус бірден кіші үшін қарастырамыз.

Бұл бөлімнің соңында толық болу үшін көрсеткіші нөлдік дәреже функциясын сипаттаймыз.

Тақ оң көрсеткішті қуат функциясы.

Дәрежесі тақ оң көрсеткішті, яғни a = 1,3,5,... болатын дәреже функциясын қарастырайық.

Төмендегі суретте қуат функцияларының графиктері көрсетілген - қара сызық, - көк сызық, - қызыл сызық, - жасыл сызық. a=1 үшін бізде бар сызықтық функция y=x.

Дәрежесі тақ оң көрсеткішті функцияның қасиеттері.

Жұп оң көрсеткішті қуат функциясы.

Дәрежесі жұп оң дәрежелі функцияны қарастырайық, яғни a = 2,4,6,... үшін.

Мысал ретінде қуат функцияларының графиктерін келтіреміз – қара сызық, – көк сызық, – қызыл сызық. a=2 үшін бізде бар квадраттық функция, кімнің графигі квадраттық парабола.

Жұп оң көрсеткішті дәрежелік функцияның қасиеттері.

Тақ теріс көрсеткішті қуат функциясы.

Көрсеткіштің тақ теріс мәндері үшін қуат функциясының графиктерін қараңыз, яғни a = -1, -3, -5,....

Суретте қуат функцияларының графиктері мысал ретінде көрсетілген - қара сызық, - көк сызық, - қызыл сызық, - жасыл сызық. a=-1 үшін бізде бар кері пропорционалдық, кімнің графигі гипербола.

Теріс көрсеткіші тақ дәрежелі функцияның қасиеттері.

Теріс көрсеткіші бар қуат функциясы.

a=-2,-4,-6,… үшін қуат функциясына көшейік.

Суретте қуат функцияларының графиктері көрсетілген – қара сызық, – көк сызық, – қызыл сызық.

Дәрежесі жұп теріс көрсеткішті функцияның қасиеттері.

Мәні нөлден үлкен және бірден кіші рационал немесе иррационал көрсеткіші бар дәреже функциясы.

Назар аударыңыз!Егер а тақ бөлгіші бар оң бөлшек болса, онда кейбір авторлар дәреже функциясының анықталу облысын интервал деп есептейді. Көрсетілгендей, а көрсеткіші азайтылмайтын бөлшек. Қазір алгебра және талдаудың бастаулары бойынша көптеген оқулықтардың авторлары аргументтің теріс мәндері үшін тақ бөлгіші бар бөлшек түріндегі көрсеткіші бар дәреже функцияларын АНЫҚТАМАДЫ. Біз дәл осы көзқарасты ұстанамыз, яғни бөлшектік функцияларды анықтау облыстарын қарастырамыз. оң көрсеткіштердәрежелері көп. Келіспеушілік тудырмас үшін оқушыларға осы нәзік тұсқа мұғалімнің пікірін білуге кеңес береміз.

Рационал немесе иррационал a, және дәрежесі бар дәреже функциясын қарастырайық.

a=11/12 (қара сызық), a=5/7 (қызыл сызық), (көк сызық), a=2/5 (жасыл сызық) үшін қуат функцияларының графиктерін көрсетейік.

Бірден үлкен бүтін емес рационал немесе иррационал көрсеткіші бар дәреже функциясы.

Бүтін емес рационал немесе иррационал көрсеткіші а, және болатын дәреже функциясын қарастырайық.

Формулалар арқылы берілген дәрежелік функциялардың графиктерін ұсынайық (тиісінше қара, қызыл, көк және жасыл сызықтар).

a көрсеткішінің басқа мәндері үшін функцияның графиктері ұқсас көрініске ие болады.

кезіндегі қуат функциясының қасиеттері.

Нақты көрсеткіші минус бірден үлкен және нөлден кіші дәреже функциясы.

Назар аударыңыз!Егер а - тақ бөлгіші бар теріс бөлшек болса, онда кейбір авторлар дәреже функциясының анықталу облысын интервал деп есептейді. . Көрсетілгендей, а көрсеткіші азайтылмайтын бөлшек. Қазір алгебра және талдаудың бастаулары бойынша көптеген оқулықтардың авторлары аргументтің теріс мәндері үшін тақ бөлгіші бар бөлшек түріндегі көрсеткіші бар дәреже функцияларын АНЫҚТАМАДЫ. Біз дәл осы көзқарасты ұстанамыз, яғни бөлшек бөлшек теріс көрсеткішті дәреже функцияларын анықтау облыстарын сәйкесінше жиын деп қарастырамыз. Келіспеушілік тудырмас үшін оқушыларға осы нәзік тұсқа мұғалімнің пікірін білуге кеңес береміз.

Қуат функциясына көшейік, kgod.

Дәрежелік функциялардың графиктерінің пішіні туралы жақсы түсінікке ие болу үшін функциялардың графиктеріне мысалдар келтіреміз. (тиісінше қара, қызыл, көк және жасыл қисық).

Көрсеткіші а, болатын дәрежелік функцияның қасиеттері.

Минус бірден кіші бүтін емес нақты көрсеткіші бар дәреже функциясы.

үшін дәрежелік функциялардың графиктеріне мысалдар келтірейік , олар сәйкесінше қара, қызыл, көк және жасыл сызықтармен бейнеленген.

Бүтін емес теріс көрсеткіші минус бірден кіші дәрежелік функцияның қасиеттері.

a = 0 болғанда және бізде функция бар - бұл (0;1) нүктесі алынып тасталатын түзу (0 0 өрнегіне ешқандай мән бермеуге келісті).

Көрсеткіштік функция.

Негізгі элементар функциялардың бірі – көрсеткіштік функция.

Кесте көрсеткіштік функция, мұндағы және негізі а мәніне байланысты әртүрлі формада болады. Осыны анықтап көрейік.

Біріншіден, көрсеткіштік функцияның негізі нөлден бірге дейінгі мән алатын жағдайды қарастырайық, яғни .

Мысал ретінде a = 1/2 – көк сызық, a = 5/6 – қызыл сызық үшін көрсеткіштік функцияның графиктерін келтіреміз. Көрсеткіштік функцияның графиктері аралықтағы негіздің басқа мәндері үшін ұқсас көрініске ие.

Негізі бірден кіші көрсеткіштік функцияның қасиеттері.

Көрсеткіштік функцияның негізі бірден үлкен болған жағдайға көшейік, яғни .

Иллюстрация ретінде біз экспоненциалды функциялардың графиктерін ұсынамыз - көк сызық және - қызыл сызық. Бірден үлкен негіздің басқа мәндері үшін көрсеткіштік функцияның графиктері ұқсас көрініске ие болады.

Негізі бірден үлкен көрсеткіштік функцияның қасиеттері.

Логарифмдік функция.

Келесі негізгі элементар функция логарифмдік функция, мұндағы , . Логарифмдік функция аргументтің оң мәндері үшін ғана анықталады, яғни үшін.

Кесте логарифмдік функциянегізі а мәніне байланысты әртүрлі формада болады.

Бөлімде негізгі элементар функциялар және олардың қасиеттері туралы анықтамалық материал бар. Элементар функциялардың классификациясы берілген. Төменде нақты функциялардың қасиеттерін талқылайтын ішкі бөлімдерге сілтемелер берілген - графиктер, формулалар, туындылар, қарсы туындылар (интегралдар), қатарларды кеңейту, күрделі айнымалылар арқылы өрнектер.

Мазмұны

Негізгі функцияларға арналған анықтамалық беттер

Элементар функциялардың классификациясы

Алгебралық функциятеңдеуді қанағаттандыратын функция:
,
мұндағы y тәуелді айнымалы мен тәуелсіз х айнымалысындағы көпмүше.
,
Оны былай жазуға болады:

көпмүшелер қайда.

Алгебралық функциялар көпмүшеліктер (барлық рационал функциялар), рационал функциялар және иррационал функциялар болып бөлінеді.Толық рационал функция , ол да деп аталадыкөпмүшелік немесе, қосу (алу) және көбейту арифметикалық амалдары арқылы х айнымалысы мен соңғы санынан алынады. Жақшаларды ашқаннан кейін көпмүше канондық түрге келтіріледі:
.

Бөлшек рационал функция , немесе жай рационал функция, қосу (алу), көбейту және бөлу арифметикалық амалдарының көмегімен х айнымалысы мен соңғы санынан алынады. Рационал функцияны пішінге келтіруге болады
,
Мұндағы және көпмүшелік.

Иррационал функциярационал емес алгебралық функция болып табылады. Әдетте иррационал функция деп түбірлер мен олардың рационал функциялары бар құрамдары түсініледі. n дәрежелі түбір теңдеудің шешімі ретінде анықталады
.
Ол келесідей белгіленеді:
.

Трансценденттік функцияларалгебралық емес функциялар деп аталады. Бұл көрсеткіштік, тригонометриялық, гиперболалық және олардың кері функциялары.

Негізгі элементар функцияларға шолу

Барлық элементар функцияларды пішін өрнекте орындалатын қосу, алу, көбейту және бөлу амалдарының соңғы саны ретінде көрсетуге болады:
z т.
Кері функцияларды логарифмдер арқылы да көрсетуге болады. Негізгі элементар функциялар төменде келтірілген.

Қуат функциясы:
y(x) = x p ,
мұндағы p – көрсеткіш. Бұл х дәрежесінің негізіне байланысты.
Қуат функциясына кері функция да қуат функциясы болып табылады:
.
p көрсеткішінің бүтін теріс емес мәні үшін ол көпмүше болып табылады. Бүтін p мәні үшін – рационал функция. Рационалды мағынасы бар – иррационалды функция.

Трансценденттік функциялар

Көрсеткіштік функция:
y(x) = a x ,
мұндағы a – дәреженің негізі. Бұл х көрсеткішіне байланысты.
Кері функция- а негізіне логарифм:
x = журнал а ж.

Көрсеткіш, e-x дәрежесі:
y(x) = e x ,
Бұл туындысы функцияның өзіне тең экспоненциалды функция:
.
Көрсеткіштің негізі e саны:
≈ 2,718281828459045... .
Кері функция – натурал логарифм – е негізіне логарифм:
x = ln y ≡ log e y.

Тригонометриялық функциялар:
Синус: ;
Косинус: ;
Тангенс: ;
Котангенс: ;
Мұндағы i – елестетілген бірлік, i 2 = -1.

Кері тригонометриялық функциялар:
Арксинус: x = арксин у, ;
Доғаның косинусы: x = arccos y, ;
Арктангенс: x = арктан ж, ;
Доғаның тангенсі: x = arcctg ж, .

Негізгі элементар функциялар, олардың өзіне тән қасиеттері және сәйкес графиктері маңыздылығы бойынша көбейту кестесіне ұқсас математикалық білім негіздерінің бірі болып табылады. Элементарлы функциялар барлық теориялық мәселелерді зерттеудің негізі, тірегі болып табылады.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Төмендегі мақалада негізгі элементар функциялар тақырыбы бойынша негізгі материал берілген. Терминдерді енгіземіз, оларға анықтама береміз; Элементар функциялардың әрбір түрін егжей-тегжейлі зерттеп, олардың қасиеттерін талдап көрейік.

Негізгі элементар функциялардың келесі түрлері бөлінеді:

Анықтама 1

тұрақты функция (тұрақты);
n-ші түбір;
қуат функциясы;
көрсеткіштік функция;
логарифмдік функция;
тригонометриялық функциялар;
бауырлас тригонометриялық функциялар.

Тұрақты функция мына формуламен анықталады: у = С (С – белгілі бір нақты сан) және де атауы бар: тұрақты. Бұл функция х тәуелсіз айнымалысының кез келген нақты мәнінің у айнымалысының бірдей мәніне – С мәніне сәйкестігін анықтайды.

Тұрақтының графигі абсцисса осіне параллель және координаталары (0, С) болатын нүкте арқылы өтетін түзу. Түсінікті болу үшін y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 тұрақты функциялардың графиктерін ұсынамыз (сызбада сәйкесінше қара, қызыл және көк түстермен көрсетілген).

Анықтама 2

Бұл элементар функция y = x n формуласымен анықталады (n - бірден үлкен натурал сан).

Функцияның екі нұсқасын қарастырайық.

n-ші түбір, n – жұп сан

Түсінікті болу үшін біз осындай функциялардың графиктерін көрсететін сызбаны көрсетеміз: y = x, y = x 4 және y = x8. Бұл мүмкіндіктер түсті кодталған: сәйкесінше қара, қызыл және көк.

Жұп дәрежелі функцияның графиктері көрсеткіштің басқа мәндері үшін ұқсас көрініске ие.

Анықтама 3

n-ші түбір функциясының қасиеттері, n - жұп сан

анықтау облысы – барлық теріс емес нақты сандар жиыны [ 0 , + ∞) ;
x = 0 болғанда, функция y = x n нөлге тең мәнге ие;
берілген функция-функция жалпы көрініс(жұп та, тақ та емес);
диапазон: [ 0 , + ∞) ;
бұл функция y = x n жұп түбірлік дәрежелермен анықтаудың бүкіл облысы бойынша артады;
функцияның барлық анықтау облысы бойынша жоғары бағытталған дөңестігі бар;
бұрылыс нүктелері жоқ;
асимптоталар жоқ;
жұп n үшін функцияның графигі (0; 0) және (1; 1) нүктелері арқылы өтеді.

n-ші түбір, n – тақ сан

Мұндай функция нақты сандардың барлық жиынында анықталған. Түсінікті болу үшін функциялардың графиктерін қарастырыңыз y = x 3 , y = x 5 және x 9 . Сызбада олар түстермен көрсетілген: тиісінше қара, қызыл және көк - қисықтардың түстері.

y = x n функциясының түбірлік көрсеткішінің басқа тақ мәндері ұқсас түрдегі графикті береді.

Анықтама 4

n-ші түбір функциясының қасиеттері, n - тақ сан

анықтау облысы – барлық нақты сандар жиыны;
бұл функция тақ;
мәндер диапазоны – барлық нақты сандар жиыны;
тақ түбірлік дәрежелер үшін y = x n функциясы анықтаудың барлық облысы бойынша артады;
функцияның (- ∞ ; 0 ] интервалында ойыстығы және [ 0 , + ∞) интервалында дөңестігі бар;
иілу нүктесінің координаттары бар (0; 0);
асимптоталар жоқ;
Тақ n үшін функцияның графигі (- 1 ; - 1), (0 ; 0) және (1 ; 1) нүктелері арқылы өтеді.

Қуат функциясы

Анықтама 5

Қуат функциясы у = x a формуласымен анықталады.

Графиктердің пайда болуы және функцияның қасиеттері дәреженің мәніне байланысты.

дәрежелік функцияның бүтін көрсеткіші а болса, онда дәреже функциясының графигінің түрі және оның қасиеттері көрсеткіштің жұп немесе тақ болуына, сондай-ақ көрсеткіштің қандай белгісі бар екеніне байланысты. Осы ерекше жағдайлардың барлығын төменде толығырақ қарастырайық;
көрсеткіш бөлшек немесе иррационал болуы мүмкін - осыған байланысты функцияның графиктерінің түрі мен қасиеттері де өзгереді. Біз бірнеше шарттарды қою арқылы ерекше жағдайларды талдаймыз: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
қуат функциясы нөлдік көрсеткішке ие болуы мүмкін, біз бұл жағдайды төменде толығырақ талдаймыз.

Қуат функциясын талдап көрейік y = x a, a тақ оң сан болғанда, мысалы, a = 1, 3, 5...

Түсінікті болу үшін мұндай дәрежелік функциялардың графиктерін көрсетеміз: у = х (графикалық түс қара), y = x 3 (графиктің көк түсі), y = x 5 (графиктің қызыл түсі), y = x 7 (графикалық түс жасыл). a = 1 болғанда, y = x сызықтық функциясын аламыз.

Анықтама 6

Көрсеткіш тақ оң болғанда дәрежелік функцияның қасиеттері

функция x ∈ үшін өсуде (- ∞ ; + ∞) ;
функция x ∈ үшін дөңес (- ∞ ; 0 ] және x ∈ [ 0 ; + ∞) үшін ойыс болады (сызықтық функцияны қоспағанда);
иілу нүктесінің координаттары бар (0 ; 0) (сызықтық функцияны қоспағанда);
асимптоталар жоқ;
функциясының өту нүктелері: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Қуат функциясын талдап көрейік y = x a, a жұп оң сан болғанда, мысалы, a = 2, 4, 6...

Түсінікті болу үшін біз осындай қуат функцияларының графиктерін көрсетеміз: y = x 2 (графикалық түс қара), y = x 4 (графиктің көк түсі), y = x 8 (графиктің қызыл түсі). a = 2 болғанда, графигі квадраттық парабола болатын квадраттық функцияны аламыз.

Анықтама 7

Көрсеткіш жұп оң болғанда дәрежелік функцияның қасиеттері:

анықтау облысы: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
x ∈ үшін кему (- ∞ ; 0 ] ;
функцияның x ∈ (- ∞ ; + ∞) үшін ойыстығы бар;
бұрылыс нүктелері жоқ;
асимптоталар жоқ;
функциясының өту нүктелері: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Төмендегі суретте қуат функциясы графиктерінің мысалдары көрсетілген y = x a, егер а тақ теріс сан болса: y = x - 9 (графикалық түс қара); y = x - 5 (графиктің көк түсі); y = x - 3 (графиктің қызыл түсі); y = x - 1 (графикалық түс жасыл). a = - 1 болғанда, графигі гипербола болатын кері пропорционалдылықты аламыз.

Анықтама 8

Көрсеткіш тақ теріс болғанда дәрежелік функцияның қасиеттері:

x = 0 болғанда, екінші текті үзіліс аламыз, өйткені lim x → 0 - 0 x a = - ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ a = - 1, - 3, - 5, …. Сонымен, х = 0 түзу тік асимптотаны құрайды;

диапазон: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
функция тақ, себебі y (- x) = - y (x);
функция x ∈ - ∞ үшін кемиді; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
функция x ∈ (- ∞ ; 0) үшін дөңес және x ∈ (0 ; + ∞) үшін ойыс болады;
бұрылыс нүктелері жоқ;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 болғанда, a = - 1, - 3, - 5, . . . .

функциясының өту нүктелері: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

Төмендегі суретте а жұп теріс сан болғанда y = x a дәреже функциясының графиктерінің мысалдары көрсетілген: y = x - 8 (графикалық түс қара); y = x - 4 (графиктің көк түсі); y = x - 2 (графиктің қызыл түсі).

Анықтама 9

Көрсеткіш жұп теріс болғандағы дәрежелік функцияның қасиеттері:

анықтау облысы: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

x = 0 болғанда, екінші текті үзіліс аламыз, өйткені lim x → 0 - 0 x a = + ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ a = - 2, - 4, - 6, …. Сонымен, х = 0 түзу тік асимптотаны құрайды;

функциясы жұп, себебі y(-x) = y(x);
функция x ∈ (- ∞ ; 0) үшін өсуде және x ∈ 0 үшін кемуде; + ∞ ;
функцияның x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) кезінде ойыстығы бар;
бұрылыс нүктелері жоқ;
горизонталь асимптота – түзу у = 0, себебі:

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 болғанда, a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

функциясының өту нүктелері: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Ең басынан бастап мына аспектіге назар аударыңыз: а тақ бөлімі бар оң бөлшек болған жағдайда, кейбір авторлар бұл дәреже функциясының анықталу облысы ретінде - ∞ интервалын алады; + ∞ , a көрсеткішінің азайтылмайтын бөлшек екенін шарттай отырып. Қазіргі уақытта көптеген авторлар оқу басылымдарыалгебрада және талдау принциптерінде дәрежелік функцияларды АНЫҚТАМАҢЫЗ, мұнда көрсеткіш аргументтің теріс мәндері үшін тақ бөлгіші бар бөлшек болып табылады. Әрі қарай біз дәл осы ұстанымды ұстанамыз: жиынды аламыз [ 0 ; + ∞) . Студенттерге ұсыныс: келіспеушіліктерді болдырмау үшін осы мәселе бойынша мұғалімнің көзқарасын біліңіз.

Сонымен, қуат функциясын қарастырайық y = x a , дәреже көрсеткіші рационал немесе иррационал сан болғанда, 0 болған жағдайда< a < 1 .

Қуат функцияларын графиктер арқылы көрсетейік y = x a кезінде a = 11 12 (графикалық түс қара); a = 5 7 (графиктің қызыл түсі); a = 1 3 (графиктің көк түсі); a = 2 5 (графиктің жасыл түсі).

a көрсеткішінің басқа мәндері (0 берілген< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Анықтама 10

0-дегі қуат функциясының қасиеттері< a < 1:

диапазон: y ∈ [ 0 ; + ∞);
функция x ∈ [ 0 үшін өсуде; + ∞);
функциясы х ∈ (0 ; + ∞) үшін дөңес;
бұрылыс нүктелері жоқ;
асимптоталар жоқ;

Қуат функциясын талдап көрейік y = x a, дәреже көрсеткіші бүтін емес рационал немесе иррационал сан болғанда, a > 1 болған жағдайда.

Қуат функциясын графиктер арқылы көрсетейік y = x a берілген шарттарда келесі функцияларды мысал ретінде пайдалана отырып: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (тиісінше қара, қызыл, көк, жасыл графиктер).

a > 1 жағдайында a көрсеткішінің басқа мәндері ұқсас графикті береді.

Анықтама 11

a > 1 үшін қуат функциясының қасиеттері:

анықтау облысы: x ∈ [ 0 ; + ∞);
диапазон: y ∈ [ 0 ; + ∞);
бұл функция жалпы түрдегі функция (ол тақ та, жұп та емес);
функция x ∈ [ 0 үшін өсуде; + ∞);
функция x ∈ (0 ; + ∞) үшін ойыс болады (1 болғанда< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
бұрылыс нүктелері жоқ;
асимптоталар жоқ;
функциясының өту нүктелері: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Назар аударыңыз! a - тақ бөлгіші бар теріс бөлшек болғанда, кейбір авторлардың еңбектерінде бұл жағдайда анықтау облысы - ∞ интервалы деген пікір бар; 0 ∪ (0 ; + ∞) a көрсеткішінің азайтылмайтын бөлшек екенін ескертеді. Қазіргі уақытта авторлар оқу материалдарыалгебра мен талдау принциптерінде аргументтің теріс мәндері үшін тақ бөлгіші бар бөлшек түріндегі көрсеткіші бар дәреже функциялары АНЫҚТАМАДЫ. Әрі қарай, біз дәл осы көзқарасты ұстанамыз: бөлшек теріс көрсеткішті дәрежелік функцияларды анықтау облысы ретінде (0 ; + ∞) жиынын аламыз. Оқушыларға ұсыныс: Келіспеушіліктерді болдырмау үшін осы сәтте мұғалімнің көзқарасын нақтылаңыз.

Тақырыпты жалғастырып, қуат функциясына талдау жасайық y = x a берілген: - 1< a < 0 .

Мұнда графиктердің сызбасы берілген келесі мүмкіндіктер: y = x - 5 6 , y = x - 2 3 , y = x - 1 2 2 , y = x - 1 7 (сәйкесінше сызықтардың қара, қызыл, көк, жасыл түсі).

Анықтама 12

- 1 кезіндегі қуат функциясының қасиеттері< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ болғанда - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

диапазон: y ∈ 0 ; + ∞ ;
бұл функция жалпы түрдегі функция (ол тақ та, жұп та емес);
бұрылыс нүктелері жоқ;

Төмендегі сызбада y = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 (тиісінше қисықтардың қара, қызыл, көк, жасыл түстері) қуат функцияларының графиктері көрсетілген.

Анықтама 13

a үшін қуат функциясының қасиеттері< - 1:

анықтау облысы: x ∈ 0 ; + ∞ ;

a болғанда lim x → 0 + 0 x a = + ∞< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

диапазон: y ∈ (0 ; + ∞) ;
бұл функция жалпы түрдегі функция (ол тақ та, жұп та емес);
функция x ∈ 0 үшін кемиді; + ∞ ;
функцияның x ∈ 0 үшін ойыстығы бар; + ∞ ;
бұрылыс нүктелері жоқ;
көлденең асимптот – түзу у = 0;
функцияның өту нүктесі: (1; 1) .

a = 0 және x ≠ 0 болғанда, (0; 1) нүктесі алынып тасталатын түзуді анықтайтын y = x 0 = 1 функциясын аламыз (0 0 өрнегіне ешқандай мағына берілмейді деп келісілді. ).

Көрсеткіштік функцияның пішіні бар y = a x, мұндағы a > 0 және a ≠ 1, және бұл функцияның графигі a негізінің мәніне байланысты басқаша көрінеді. Ерекше жағдайларды қарастырайық.

Алдымен көрсеткіштік функцияның негізі нөлден бірге дейінгі мәнге ие болатын жағдайды қарастырайық (0< a < 1) . Айқын мысал a = 1 2 (қисық сызықтың көк түсі) және a = 5 6 (қисық сызықтың қызыл түсі) функцияларының графиктері қызмет етеді.

Көрсеткіштік функцияның графиктері 0 шарты бойынша негіздің басқа мәндері үшін ұқсас көрініске ие болады< a < 1 .

Анықтама 14

Көрсеткіштік функцияның негізі бірден кіші болғандағы қасиеттері:

диапазон: y ∈ (0 ; + ∞) ;
бұл функция жалпы түрдегі функция (ол тақ та, жұп та емес);
негізі біреуден кіші экспоненциалды функция анықтаудың барлық облысы бойынша кемиді;
бұрылыс нүктелері жоқ;
көлденең асимптота – y = 0 түзу сызық x айнымалысы + ∞-ке бейім;

Енді көрсеткіштік функцияның негізі бірден үлкен (a > 1) болған жағдайды қарастырайық.

Бұл ерекше жағдайды y = 3 2 x (қисық сызықтың көк түсі) және y = e x (графиктің қызыл түсі) көрсеткіштік функцияларының графигі арқылы көрейік.

Негіздің басқа мәндері, үлкенірек бірліктер экспоненциалды функцияның графигіне ұқсас көрініс береді.

Анықтама 15

Көрсеткіштік функцияның негізі бірден үлкен болғандағы қасиеттері:

анықтау облысы – нақты сандар жиыны;
диапазон: y ∈ (0 ; + ∞) ;
бұл функция жалпы түрдегі функция (ол тақ та, жұп та емес);
негізі біреуден үлкен көрсеткіштік функция x ∈ - ∞ ретінде өседі; + ∞ ;
функцияның х ∈ - ∞ нүктесінде ойыстығы бар; + ∞ ;
бұрылыс нүктелері жоқ;
көлденең асимптота – y = 0 түзу сызық, х айнымалысы - ∞ бейім;
функцияның өту нүктесі: (0; 1) .

Логарифмдік функция y = log a (x) түрінде болады, мұндағы a > 0, a ≠ 1.

Мұндай функция тек аргументтің оң мәндері үшін анықталады: x ∈ 0 үшін; + ∞ .

Логарифмдік функцияның графигі а негізінің мәніне негізделген басқа көрініске ие.

Алдымен 0 болған жағдайды қарастырайық< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Үлкен бірліктер емес, негіздің басқа мәндері графиктің ұқсас түрін береді.

Анықтама 16

Логарифмдік функцияның негізі бірден кіші болғандағы қасиеттері:

анықтау облысы: x ∈ 0 ; + ∞ . x оң жақтан нөлге ұмтылатындықтан, функция мәндері +∞-ке бейім;
мәндер диапазоны: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
бұл функция жалпы түрдегі функция (ол тақ та, жұп та емес);
логарифмдік
функцияның x ∈ 0 үшін ойыстығы бар; + ∞ ;
бұрылыс нүктелері жоқ;
асимптоталар жоқ;

Енді логарифмдік функцияның негізі бірден үлкен болатын ерекше жағдайды қарастырайық: a > 1 . Төмендегі сызбада y = log 3 2 x және y = ln x логарифмдік функциялардың графиктері көрсетілген (тиісінше графиктердің көк және қызыл түстері).

Бірден жоғары негіздің басқа мәндері ұқсас график түрін береді.

Анықтама 17

Негізі бірден үлкен болғанда логарифмдік функцияның қасиеттері:

анықтау облысы: x ∈ 0 ; + ∞ . x оң жақтан нөлге ұмтылатындықтан, функция мәндері - ∞ ;
мәндер диапазоны: y ∈ - ∞ ; + ∞ (нақты сандар жиыны);
бұл функция жалпы түрдегі функция (ол тақ та, жұп та емес);
логарифмдік функция x ∈ 0 үшін өсуде; + ∞ ;
функция х ∈ 0 үшін дөңес; + ∞ ;
бұрылыс нүктелері жоқ;
асимптоталар жоқ;
функцияның өту нүктесі: (1; 0) .

Тригонометриялық функцияларға синус, косинус, тангенс және котангенс жатады. Олардың әрқайсысының қасиеттерін және сәйкес графиканы қарастырайық.

Жалпы алғанда, барлық тригонометриялық функциялар периодтылық қасиетімен сипатталады, яғни. функциялардың мәндері бір-бірінен f (x + T) = f (x) периодымен ерекшеленетін аргументтің әртүрлі мәндері үшін қайталанған кезде (T - период). Осылайша, тригонометриялық функциялардың қасиеттерінің тізіміне «ең кіші оң кезең» тармағы қосылады. Сонымен қатар, сәйкес функция нөлге айналатын аргументтің мәндерін көрсетеміз.

Синус функциясы: y = sin(x)

Бұл функцияның графигі синус толқыны деп аталады.

Анықтама 18

Синус функциясының қасиеттері:

анықтау облысы: нақты сандардың бүкіл жиыны x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
функция x = π · k болғанда жойылады, мұндағы k ∈ Z (Z – бүтін сандар жиыны);
функция x ∈ - π 2 + 2 π · k үшін өсуде; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z және x ∈ π 2 + 2 π · k үшін кему; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
синус функциясының π 2 + 2 π · k нүктелерінде жергілікті максимумдары бар; 1 және нүктелердегі жергілікті минимумдар - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z;
x ∈ - π + 2 π · k болғанда синус функциясы ойыс болады; 2 π · k, k ∈ Z және х ∈ 2 π · k болғанда дөңес; π + 2 π k, k ∈ Z;
асимптоталар жоқ.

Косинус функциясы: y = cos(x)

Бұл функцияның графигі косинус толқыны деп аталады.

Анықтама 19

Косинус функциясының қасиеттері:

анықтау облысы: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
ең кіші оң период: T = 2 π;
мәндер диапазоны: y ∈ - 1 ; 1 ;
бұл функция жұп, өйткені y (- x) = y (x);
функция x ∈ - π + 2 π · k үшін өсуде; 2 π · k, k ∈ Z және x ∈ 2 π · k үшін кему; π + 2 π k, k ∈ Z;
косинус функциясы 2 π · k нүктелерінде жергілікті максимумдарға ие; 1, k ∈ Z және π + 2 π · k нүктелеріндегі жергілікті минимумдар; - 1, k ∈ z;
x ∈ π 2 + 2 π · k болғанда косинус функциясы ойыс болады; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z және x ∈ - π 2 + 2 π · k болғанда дөңес; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
иілу нүктелерінің координаталары π 2 + π · k; 0 , k ∈ Z
асимптоталар жоқ.

Тангенс функциясы: y = t g (x)

Бұл функцияның графигі деп аталады жанама.

Анықтама 20

Тангенс функциясының қасиеттері:

анықтау облысы: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, мұндағы k ∈ Z (Z – бүтін сандар жиыны);
lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ анықтау облысы шекарасындағы тангенс функциясының әрекеті . Сонымен, x = π 2 + π · k k ∈ Z түзулері тік асимптоталар;
k ∈ Z үшін x = π · k болғанда функция жойылады (Z – бүтін сандар жиыны);
мәндер диапазоны: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
бұл функция тақ, өйткені y (- x) = - y (x) ;
функциясы ретінде артады - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, k ∈ Z;
тангенс функциясы x ∈ [π · k үшін ойыс; π 2 + π · k) , k ∈ Z және x ∈ үшін дөңес (- π 2 + π · k ; π · k ] , k ∈ Z ;
иілу нүктелерінің координаталары бар π · k ; 0 , k ∈ Z ;

Котангенс функциясы: y = c t g (x)

Бұл функцияның графигі котангентоид деп аталады. .

Анықтама 21

Котангенс функциясының қасиеттері:

анықтау облысы: x ∈ (π · k ; π + π · k) , мұндағы k ∈ Z (Z – бүтін сандар жиыны);

Анықтау облысы шекарасындағы котангенс функциясының әрекеті lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Сонымен, x = π · k k ∈ Z түзулері тік асимптоталар;

ең кіші оң периоды: T = π;
k ∈ Z үшін x = π 2 + π · k болғанда функция жойылады (Z – бүтін сандар жиыны);
мәндер диапазоны: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
бұл функция тақ, өйткені y (- x) = - y (x) ;
функция x ∈ π · k үшін кемиді; π + π k, k ∈ Z;
котангенс функциясы x ∈ үшін ойыс (π · k; π 2 + π · k ], k ∈ Z және x ∈ үшін дөңес [ - π 2 + π · k ; π · k), k ∈ Z ;
иілу нүктелерінің координаттары π 2 + π · k; 0 , k ∈ Z ;
Қиғаш немесе көлденең асимптоталар жоқ.

Кері тригонометриялық функцияларға арксинус, арккосинус, арктангенс және арккотангенс жатады. Көбінесе атауында «доға» префиксінің болуына байланысты кері тригонометриялық функцияларды доға функциялары деп атайды. .

Доға синусы функциясы: y = a r c sin (x)

Анықтама 22

Арксинус функциясының қасиеттері:

бұл функция тақ, өйткені y (- x) = - y (x) ;
арксинус функциясының х ∈ 0 үшін ойыстығы бар; 1 және х ∈ - 1 үшін дөңес; 0 ;
иілу нүктелерінің координаталары (0; 0) болады, бұл да функцияның нөлі;
асимптоталар жоқ.

Косинус доғасының функциясы: y = a r c cos (x)

Анықтама 23

Доғалық косинус функциясының қасиеттері:

анықтау облысы: x ∈ - 1 ; 1 ;
диапазон: y ∈ 0 ; π;
бұл функция жалпы формада (жұп емес те, тақ та емес);
функция анықтаудың барлық облысы бойынша кемиді;
доғалық косинус функциясы x ∈ - 1 кезінде ойыс болады; 0 және х ∈ 0 үшін дөңес; 1 ;
иілу нүктелерінің координаттары 0; π 2;
асимптоталар жоқ.

Арктангенс функциясы: y = a r c t g (x)

Анықтама 24

Арктангенс функциясының қасиеттері:

анықтау облысы: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
мәндер диапазоны: y ∈ - π 2 ; π 2;
бұл функция тақ, өйткені y (- x) = - y (x) ;
функция анықтаудың барлық облысы бойынша өсуде;
арктангенс функциясының x ∈ (- ∞ ; 0 ] үшін ойыстығы және x ∈ [ 0 ; + ∞) үшін дөңестігі бар;
иілу нүктесінде координаталар (0; 0) бар, бұл да функцияның нөлі;
көлденең асимптоталар x → - ∞ түрінде y = - π 2 түзулері және x → + ∞ түрінде у = π 2 түзулері (суретте асимптоталар жасыл сызықтар).

Доғаның жанама функциясы: y = a r c c t g (x)

Анықтама 25

Аркотангенс функциясының қасиеттері:

анықтау облысы: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
диапазон: y ∈ (0; π) ;
бұл функция жалпы формада;
функция анықтаудың барлық облысы бойынша кемиді;
доға котангенсі функциясы x ∈ [ 0 үшін ойыс болады; + ∞) және x ∈ үшін дөңес (- ∞ ; 0 ] ;
иілу нүктесінің координаттары 0; π 2;
көлденең асимптоталар x → - ∞ (сызбадағы жасыл сызық) y = π түзулері және x → + ∞ нүктесінде у = 0 түзулері.

Мәтінде қатені байқасаңыз, оны бөлектеп, Ctrl+Enter пернелерін басыңыз

Негізгі элементар функциялармыналар: тұрақты функция (тұрақты), түбір n-ші дәреже, дәреже функциясы, көрсеткіштік, логарифмдік функция, тригонометриялық және кері тригонометриялық функциялар.

Тұрақты функция.

Тұрақты функция барлық нақты сандар жиынында , мұндағы формуламен берілген C– кейбір нақты сан. Тұрақты функция тәуелсіз айнымалының әрбір нақты мәнін тағайындайды xтәуелді айнымалының бірдей мәні ж- мағынасы МЕН. Тұрақты функцияны тұрақты деп те атайды.

Тұрақты функцияның графигі – х осіне параллель және координаталары бар нүкте арқылы өтетін түзу. (0,C). Мысалы, тұрақты функциялардың графиктерін көрсетейік y=5,y=-2және , төмендегі суретте сәйкесінше қара, қызыл және көк сызықтарға сәйкес келеді.

Тұрақты функцияның қасиеттері.

Домен: нақты сандар жиыны.

Тұрақты функция жұп.

Мәндер ауқымы: дара саннан тұратын жиын МЕН.

Тұрақты функция өспейді және кемімейді (сол себепті ол тұрақты).

Тұрақтының дөңестігі мен ойысы туралы айтудың мағынасы жоқ.

Асимптоталар жоқ.

Функция нүкте арқылы өтеді (0,C)координаталық жазықтық.

n-ші дәрежелі тамыр.

Мұндағы формуламен берілген негізгі элементар функцияны қарастырайық n– бірден үлкен натурал сан.

n-ші түбір, n жұп сан.

Түбір функциясынан бастайық n- түбірлік көрсеткіштің жұп мәндері үшін дәреже n.

Жұп дәрежелі түбір функцияларының графиктері көрсеткіштің басқа мәндері үшін ұқсас көрініске ие.

Түбір функциясының қасиеттеріn - жұп үшін қуатn .

n-ші түбір, n тақ сан.

Түбірлік функция n- тақ түбір көрсеткіші бар дәреже nнақты сандардың барлық жиынында анықталады. Мысалы, мұнда функция графиктері берілген және , олар қара, қызыл және көк қисықтарға сәйкес келеді.