Барлық жұп функциялар. Функция қасиеттері

Көрсетуді жасыру

Функцияны анықтау әдістері

Функция мына формуламен берілсін: y=2x^(2)-3. Тәуелсіз x айнымалысына кез келген мәндерді тағайындау арқылы сіз осы формуланы пайдаланып, тәуелді айнымалы удың сәйкес мәндерін есептей аласыз. Мысалы, егер x=-0,5 болса, онда формуланы пайдалана отырып, у-ның сәйкес мәні y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5 екенін табамыз.

y=2x^(2)-3 формуласындағы х аргументі қабылдаған кез келген мәнді алып, оған сәйкес функцияның тек бір мәнін есептеуге болады. Функцияны кесте түрінде көрсетуге болады:

x	−2	−1	0	1	2	3
ж	−4	−3	−2	−1	0	1

Бұл кестені пайдалана отырып, −1 аргумент мәні үшін −3 функция мәні сәйкес келетінін көруге болады; және x=2 мәні у=0 сәйкес болады, т.б. Кестедегі әрбір аргумент мәні тек бір функция мәніне сәйкес келетінін білу де маңызды.

Қосымша функцияларды графиктер арқылы көрсетуге болады. Графиктің көмегімен функцияның қандай мәні белгілі х мәнімен корреляциясы анықталады. Көбінесе бұл функцияның шамамен мәні болады.

Жұп және тақ функция

Функция болып табылады біркелкі функция, анықтау облысындағы кез келген х үшін f(-x)=f(x) болғанда. Мұндай функция Oy осіне қатысты симметриялы болады.

Функция болып табылады тақ функция, анықтау облысындағы кез келген х үшін f(-x)=-f(x) болғанда. Мұндай функция O (0;0) басына қатысты симметриялы болады.

Функция болып табылады тіпті емес, таңқаларлық емесжәне деп аталады функциясы жалпы көрініс , осіне немесе басына қатысты симметрия болмаған кезде.

Паритет үшін келесі функцияны қарастырайық:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) бастапқы нүктеге қатысты анықтаудың симметриялық облысы бар. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Бұл f(x)=3x^(3)-7x^(7) функциясының тақ екенін білдіреді.

Периодтық функция

Кез келген х үшін анықталу аймағында f(x+T)=f(x-T)=f(x) теңдігі орындалатын y=f(x) функциясы деп аталады. периодтық функция T периодымен \neq 0 .

Ұзындығы T болатын х осінің кез келген кесіндісінде функцияның графигін қайталау.

Функция оң болатын интервалдар, яғни f(x) > 0 абсцисса осінің абсцисса осінен жоғары жатқан функция графигінің нүктелеріне сәйкес келетін кесінділері болып табылады.

f(x) > 0 қосулы (x_(1); x_(2)) \кесе (x_(3); +\infty)

Функция теріс болатын интервалдар, яғни f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \кесе (x_(2); x_(3))

Шектеулі функция

Төменнен шектелгенКез келген x \in X үшін f(x) \geq A теңсіздігі орындалатын А саны болған кезде y=f(x), x \in X функциясын шақыру әдетке айналған.

Төменнен шектелген функцияның мысалы: кез келген x үшін y=\sqrt(1+x^(2)) болғандықтан y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1.

Жоғарыдан шектелген y=f(x), x \in X функциясы кез келген X үшін f(x) \neq B теңсіздігі орындалатын В саны болғанда шақырылады.

Төменде шектелген функцияның мысалы: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1]өйткені y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 кез келген x \in [-1;1] үшін.

Шектеулі y=f(x), x \in X функциясын \сол теңсіздігі K > 0 саны болғанда шақыру әдетке айналған | f(x)\right | \neq K кез келген x \in X үшін.

Шектеулі функцияның мысалы: y=\sin x бүкіл сан осінде шектелген, өйткені \сол | \sin x \right | \neq 1.

Арту және кему функциясы

ретінде қарастырылатын аралықта өсетін функция туралы айту әдеттегідей функциясын арттыруонда x-тің үлкен мәні y=f(x) функциясының үлкен мәніне сәйкес келгенде. Бұдан x_(1) және x_(2) аргументінің екі ерікті мәнін x_(1) > x_(2) арқылы қарастырылып отырған аралықтан алсақ, нәтиже у(x_(1)) > болады. y(x_(2)).

Қарастырылып отырған аралықта кемитін функция деп аталады кему функциясы x-тің үлкен мәні y(x) функциясының кіші мәніне сәйкес келгенде. Бұдан шығатыны, x_(1) және x_(2) аргументінің екі ерікті мәнін қарастырып отырған аралықтан x_(1) > x_(2) болғанда, нәтиже у(x_(1)) болады.< y(x_{2}) .

Функция түбірлері F=y(x) функциясы абсцисса осімен қиылысатын нүктелерді атау әдетке айналған (олар у(х)=0 теңдеуін шешу арқылы алынады).

а) Егер x > 0 үшін жұп функция өссе, онда х үшін азаяды< 0

б) Жұп функция x > 0 кезінде азайса, х үшін артады< 0

в) Тақ функция x > 0 кезінде өссе, х кезінде де өседі< 0

d) Тақ функция x > 0 кезінде азайса, х үшін де азаяды< 0

Функцияның экстремумы

Функцияның минималды нүктесі y=f(x) әдетте x=x_(0) нүктесі деп аталады, оның маңайында басқа нүктелер болады (x=x_(0) нүктесінен басқа), және олар үшін f(x) > f теңсіздігі сонда болады. қанағаттандырылды (x_(0)) . y_(min) - функцияның мин нүктесінде белгіленуі.

Функцияның максималды нүктесі y=f(x) әдетте x=x_(0) нүктесі деп аталады, оның маңайында басқа нүктелер болады (x=x_(0) нүктесінен басқа) және олар үшін f(x) теңсіздігі орындалады.< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Алғы шарт

Ферма теоремасы бойынша: f"(x)=0, егер x_(0) нүктесінде дифференциалданатын f(x) функциясы осы нүктеде экстремумға ие болады.

Жағдайы жеткілікті

1. Туынды таңбаны плюстен минусқа өзгерткенде, онда x_(0) минималды нүкте болады;
2. x_(0) - тұрақты x_(0) нүктесі арқылы өткенде туынды таңбаны минустан плюске өзгерткенде ғана максималды нүкте болады.

Интервалдағы функцияның ең үлкен және ең кіші мәні

Есептеу қадамдары:

1. f"(x) туындысы ізделінді;
2. Стационарлық және бар сыни нүктелерфункцияларды таңдау және сегментке жататындарды таңдау;
3. f(x) функциясының мәндері кесіндінің стационарлық және критикалық нүктелері мен ұштарында табылады. Алынған нәтижелер соғұрлым аз болады функцияның ең кіші мәні, және тағы басқалар - ең үлкені.

у айнымалысының х айнымалысына тәуелділігі, ондағы х-тің әрбір мәні у-дің бір мәніне сәйкес келетін функция деп аталады. Белгілеу үшін y=f(x) белгісін пайдаланыңыз. Әрбір функцияның бірқатар негізгі қасиеттері бар, мысалы, монотондылық, паритеттік, мерзімділік және т.б.

Паритет қасиетін мұқият қарастырыңыз.

y=f(x) функциясы келесі екі шартты қанағаттандырса да шақырылады:

2. Функцияның анықталу облысына жататын х нүктесіндегі функцияның мәні -х нүктесіндегі функцияның мәніне тең болуы керек. Яғни, кез келген х нүктесі үшін функцияның анықталу облысы бойынша келесі теңдік орындалуы керек: f(x) = f(-x).

Жұп функцияның графигі

Егер жұп функцияның графигін салсаңыз, ол Oy осіне қатысты симметриялы болады.

Мысалы, y=x^2 функциясы жұп. Оны тексеріп көрейік. Анықтау облысы бүкіл сандық ось болып табылады, бұл оның О нүктесіне қатысты симметриялы екенін білдіреді.

Еркін x=3 алайық. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Сондықтан f(x) = f(-x). Осылайша, екі шарт орындалады, яғни функция жұп. Төменде y=x^2 функциясының графигі берілген.

Суретте графиктің Oy осіне қатысты симметриялы екендігі көрсетілген.

Тақ функцияның графигі

y=f(x) функциясы келесі екі шартты қанағаттандырса тақ деп аталады:

1. Берілген функцияның анықталу облысы О нүктесіне қатысты симметриялы болуы керек. Яғни, қандай да бір а нүктесі функцияның анықталу облысына жататын болса, онда сәйкес -а нүктесі де анықтау облысына жатуы керек. берілген функцияның.

2. Кез келген х нүктесі үшін функцияның анықталу облысы бойынша келесі теңдік орындалуы керек: f(x) = -f(x).

Тақ функцияның графигі О нүктесіне қатысты симметриялы - координаталар басы. Мысалы, y=x^3 функциясы тақ. Оны тексеріп көрейік. Анықтау облысы бүкіл сандық ось болып табылады, бұл оның О нүктесіне қатысты симметриялы екенін білдіреді.

Еркін x=2 алайық. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Сондықтан f(x) = -f(x). Осылайша, екі шарт орындалады, бұл функция тақ дегенді білдіреді. Төменде y=x^3 функциясының графигі берілген.

Суретте y=x^3 тақ функциясының координат басына қатысты симметриялы екендігі анық көрсетілген.

Артқа Алға

Назар аударыңыз! Слайдтарды алдын ала қарау тек ақпараттық мақсаттарға арналған және презентацияның барлық мүмкіндіктерін көрсетпеуі мүмкін. Егер сізді осы жұмыс қызықтырса, толық нұсқасын жүктеп алыңыз.

Мақсаттар:

• Функцияның паритеті мен тақтығы туралы түсінік қалыптастыру, осы қасиеттерді қашан анықтап, қолдана білуге ​​үйрету функцияны зерттеу, сызба құру;
• оқушылардың шығармашылық белсенділігін, логикалық ойлауын, салыстыру және жалпылау қабілеттерін дамыту;
• еңбексүйгіштікке және математикалық мәдениетке тәрбиелеу; қарым-қатынас дағдыларын дамыту .

Жабдық:мультимедиялық қондырғы, интерактивті тақта, үлестірмелі материалдар.

Жұмыс формалары:ізденіс және зерттеу әрекетінің элементтері бар фронтальды және топтық.

Ақпарат көздері:

1. Алгебра 9 сынып А.Г.Мордкович. Оқулық.
2. Алгебра 9 сынып А.Г.Мордкович. Проблемалық кітап.
3. Алгебра 9 сынып. Оқушылардың оқуы мен дамуына арналған тапсырмалар. Беленкова Е.Ю. Лебединцева Е.А.

САБАҚТЫҢ БАРЛЫҒЫ

1. Ұйымдастыру кезеңі

Сабақтың мақсаты мен міндеттерін қою.

2. Үй тапсырмасын тексеру

No10.17 (9-сынып есептер кітабы. А.Г. Мордкович).

A) сағ = f(X), f(X) =

б) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 кезінде X ~ 0,4
4. f(X) >0 кезінде X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Функция келесімен артады X € [– 2; + ∞)
6. Функция төменнен шектелген.
7. сағ naim = – 3, сағнаиб жоқ
8. Функция үздіксіз.

(Сіз функцияны зерттеу алгоритмін қолдандыңыз ба?) Слайд.

2. Слайдтан сұралған кестені тексерейік.

Кестені толтырыңыз
	Анықтау аймағы	Функция нөлдері	Белгі тұрақтылығының интервалдары		Графиктің Оймен қиылысу нүктелерінің координаталары
		x = –5, x = 2	x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ –5, x ≠ 2		x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ –5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Білімді жаңарту

– Функциялар берілген.
– Әрбір функция үшін анықтама көлемін көрсетіңіз.
– Аргумент мәндерінің әрбір жұбы үшін әрбір функцияның мәнін салыстырыңыз: 1 және – 1; 2 және – 2.
– Анықтау облысындағы осы функциялардың қайсысы үшін теңдіктер орындалады f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (алынған мәліметтерді кестеге енгізіңіз) Слайд

		f(1) және f(– 1)	f(2) және f(– 2)	графика	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = | X |
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		және анықталмаған

4. Жаңа материал

– Балалар, осы жұмысты орындау барысында біз функцияның сендерге таныс емес, бірақ басқаларынан кем емес тағы бір қасиетін анықтадық – бұл функцияның жұптығы мен тақтығы. Сабақтың тақырыбын жазыңыз: «Жұп және тақ функциялар», біздің міндетіміз функцияның жұптығы мен тақтығын анықтауды үйрену, функцияларды зерттеуде және графиктерін салуда бұл қасиеттің маңызын білу.
Олай болса, оқулықтағы анықтамаларды тауып оқып көрейік (110-бет). . Слайд

Def. 1Функция сағ = f (X), Х жиынында анықталған деп аталады тіпті, егер қандай да бір мән үшін XЄ X орындалады f(–x)= f(x) теңдігі. Мысалдар келтіріңіз.

Def. 2Функция y = f(x), Х жиынында анықталған деп аталады тақ, егер қандай да бір мән үшін XЄ X f(–х)= –f(х) теңдігі орындалады. Мысалдар келтіріңіз.

«Жұп» және «тақ» терминдерін қай жерде кездестірдік?
Осы функциялардың қайсысы жұп болады деп ойлайсыз? Неліктен? Қайсысы біртүрлі? Неліктен?
Пішіннің кез келген функциясы үшін сағ= x n, Қайда n– бүтін сан, функция қашан тақ болады деп айтуға болады n– тақ және функциясы жұп болғанда n– тіпті.
– Функцияларды қарау сағ= және сағ = 2X– 3 жұп та, тақ та емес, өйткені теңдіктері қанағаттандырылмайды f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Функцияның жұп немесе тақ екендігін зерттейтін ғылымды функцияның паритеттігін зерттеу деп атайды.Слайд

1 және 2 анықтамаларында біз функцияның x және – x нүктелеріндегі мәндері туралы айттық, осылайша функция мәнде де анықталған деп болжанады. X, және – X.

Анықтама 3.Егер сандар жинағыоның әрбір элементімен бірге x қарама-қарсы элемент –x, содан кейін жиынды қамтиды Xсимметриялы жиын деп аталады.

Мысалдар:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) симметриялы жиындар, ал , [–5;4] симметриялы емес.

– Тіпті функциялардың симметриялы жиын болып табылатын анықтау облысы бар ма? Біртүрлілер?
– Егер D( f) асимметриялық жиын болса, онда қандай функция болады?
– Осылайша, егер функция сағ = f(X) – жұп немесе тақ, онда оның анықтау облысы D( f) симметриялы жиын болып табылады. Керісінше тұжырым дұрыс па: егер функцияның анықталу облысы симметриялы жиын болса, онда ол жұп па, әлде тақ па?
– Бұл анықтау аймағының симметриялық жиынының болуы қажетті шарт, бірақ жеткіліксіз дегенді білдіреді.
– Сонымен паритет үшін функцияны қалай зерттеуге болады? Алгоритм құруға тырысайық.

Слайд

Паритет үшін функцияны зерттеу алгоритмі

1. Функцияның анықталу облысы симметриялы ма екенін анықтаңыз. Олай болмаса, функция жұп та, тақ та болмайды. Егер солай болса, алгоритмнің 2-қадамына өтіңіз.

2. өрнекті жазыңыз f(–X).

3. Салыстыру f(–X).Және f(X):

• Егер f(–X).= f(X), онда функция жұп болады;
• Егер f(–X).= – f(X), онда функция тақ болады;
• Егер f(–X) ≠ f(X) Және f(–X) ≠ –f(X), онда функция жұп та, тақ та болмайды.

Мысалдар:

a) функциясын паритет үшін қарастырыңыз сағ= x 5 +; б) сағ= ; V) сағ= .

Шешім.

a) h(x) = x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), симметриялық жиын.

2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),

3) h(– x) = – h (x) => функциясы h(x)= x 5 + тақ.

б) y =,

сағ = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), асимметриялық жиын, бұл функцияның жұп та, тақ та емес екенін білдіреді.

V) f(X) = , y = f (x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; б) (∞; –2), (–4; 4]?

2-нұсқа

1. Берілген жиын симметриялы ма: а) [–2;2]; ә) (∞; 0], (0; 7) ?

A); б) y = x (5 – x 2). 2. Функцияны паритет үшін қарастырыңыз:

а) у = х 2 (2х – х 3), б) у =

3. Суретте. график құрылды сағ = f(X), барлығы үшін X, шартты қанағаттандыру X? 0.
Функцияның графигін салыңыз сағ = f(X), Егер сағ = f(X) жұп функция болып табылады.

3. Суретте. график құрылды сағ = f(X), x шартын қанағаттандыратын барлық х үшін? 0.
Функцияның графигін салыңыз сағ = f(X), Егер сағ = f(X) тақ функция болып табылады.

Өзара тексеру слайд.

6. Үйге тапсырма: №11.11, 11.21,11.22;

Паритет қасиетінің геометриялық мағынасын дәлелдеу.

***(Бірыңғай мемлекеттік емтихан нұсқасын тағайындау).

1. y = f(x) тақ функциясы бүкіл сандар жолында анықталған. x айнымалысының кез келген теріс емес мәні үшін бұл функцияның мәні g( функциясының мәніне сәйкес келеді. X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). h( функциясының мәнін табыңыз. X) = кезінде X = 3.

7. Қорытындылау

Функцияны зерттеу.

1) D(y) – Анықтау облысы: x айнымалысының барлық мәндерінің жиыны. ол үшін f(x) және g(x) алгебралық өрнектері мағыналы.

Егер функция формула арқылы берілсе, онда анықтау облысы формула мағынасы бар тәуелсіз айнымалының барлық мәндерінен тұрады.

2) Функцияның қасиеттері: жұп/тақ, периодтылық:

БіртүрліЖәне тіптіграфиктері аргумент таңбасының өзгеруіне қатысты симметриялы функциялар деп аталады.

Біртүрлі функция- тәуелсіз айнымалының таңбасы өзгерген кезде мәнін керісінше өзгертетін функция (координаталар центріне қатысты симметриялы).

Біркелкі функция- тәуелсіз айнымалының таңбасы өзгергенде (ординатқа қатысты симметриялы) мәні өзгермейтін функция.

Жұп та, тақ та емес функция (жалпы функция)- симметриясы жоқ функция. Бұл санат алдыңғы 2 санатқа жатпайтын функцияларды қамтиды.

Жоғарыда аталған категориялардың ешқайсысына жатпайтын функциялар деп аталады жұп та, тақ та емес(немесе жалпы функциялар).

Біртүрлі функциялар

Тақ дәреже - бұл ерікті бүтін сан.

Тіпті функциялар

Тіпті дәреже - бұл ерікті бүтін сан.

Периодтық функция- белгілі бір тұрақты аргумент интервалында өз мәндерін қайталайтын функция, яғни аргументке нөлден басқа тұрақты санды қосқанда оның мәнін өзгертпейді ( кезеңфункциялар) анықтаудың барлық аймағында.

3) Функцияның нөлдері (түбірлері) оның нөлге айналатын нүктелері.

Графиктің осімен қиылысу нүктесін табу Ой. Мұны істеу үшін мәнді есептеу керек f(0). Графиктің осімен қиылысу нүктелерін де табыңыз Өгіз, неге теңдеудің түбірлерін табу керек f(x) = 0 (немесе түбірлердің жоқтығына көз жеткізіңіз).

График осьпен қиылысатын нүктелер деп аталады функцияның нөлдері. Функцияның нөлдерін табу үшін теңдеуді шешу керек, яғни табу керек бұл «х» мағыналары, бұл кезде функция нөлге айналады.

4) Олардағы белгілердің, белгілердің тұрақтылық интервалдары.

f(x) функциясы таңбаны сақтайтын интервалдар.

Белгінің тұрақтылық интервалы - интервал оның әрбір нүктесіндефункция оң немесе теріс.

x осінен жоғары.

осьтен төмен.

5) Үздіксіздік (үзіліс нүктелері, үзіліс сипаты, асимптоталар).

Үздіксіз функция- «секірулері» жоқ функция, яғни аргументтегі кішігірім өзгерістер функция мәніндегі аздаған өзгерістерге әкелетін функция.

Алынбалы үзіліс нүктелері

Егер функцияның шегі болса бар, бірақ функция осы нүктеде анықталмаған немесе шектеу осы нүктедегі функцияның мәнімен сәйкес келмейді:

,

содан кейін нүкте деп аталады алынбалы үзіліс нүктесіфункциялары (күрделі талдауда, алынбалы сингулярлық нүкте).

Алынбалы үзіліс нүктесінде функцияны «түзетсек» және қоямыз , онда берілген нүктеде үздіксіз болатын функцияны аламыз. Функциядағы бұл операция деп аталады функцияны үздіксізге кеңейтунемесе функцияны үздіксіздік арқылы қайта анықтау, бұл нүктенің атауын нүкте ретінде негіздейді алынбалыжарылуы.

Бірінші және екінші түрдегі үзіліс нүктелері

Егер функция берілген нүктеде үзіліске ие болса (яғни берілген нүктедегі функцияның шегі жоқ немесе берілген нүктедегі функцияның мәнімен сәйкес келмесе), онда сандық функциялар үшін екі мүмкін нұсқа бар. сандық функциялардың болуымен байланысты біржақты шектеулер:

егер бір жақты шектердің екеуі де бар болса және ақырлы болса, онда мұндай нүкте деп аталады бірінші түрдегі үзіліс нүктесі.

Алынбалы үзіліс нүктелері бірінші түрдегі үзіліс нүктелері болып табылады; егер бір жақты шектердің ең болмағанда біреуі болмаса немесе соңғы шама болмаса, онда мұндай нүкте деп аталады.

екінші түрдегі үзіліс нүктесі - Асимптоттүзу , оның қасиеті бар қисық нүктеден осыған дейінгі қашықтықтікелей

Тік

Вертикаль асимптот – шекті сызық .

Әдетте, тік асимптотаны анықтау кезінде олар бір шекті емес, екі бір жақты (сол және оң) шегін іздейді. Бұл функция тік асимптотаға әр түрлі бағытта жақындаған кезде қалай әрекет ететінін анықтау үшін жасалады. Мысалы:

Көлденең

Көлденең асимптот – Асимптотбар болуына байланысты түрлер шектеу

.

Көлбеу

Қиғаш асимптот – Асимптотбар болуына байланысты түрлер шектеулер

Ескерту: функцияның екі қиғаш (көлденең) асимптоттарынан аспауы мүмкін.

Ескерту: егер жоғарыда аталған екі шектің кем дегенде біреуі болмаса (немесе -ге тең болса), онда (немесе ) нүктесіндегі қиғаш асимптота жоқ.

егер 2.), онда , ал шек көлденең асимптот формуласы арқылы табылады, .

6) Монотондылық интервалдарын табу.Функцияның монотондылық интервалдарын табыңыз f(x)(яғни өсу және кему аралықтары). Бұл туындының белгісін тексеру арқылы жасалады f(x). Ол үшін туындыны табыңыз f(x) және теңсіздікті шешіңіз f(x)0. Бұл теңсіздік орындалатын аралықтарда функция f(x) артады. Кері теңсіздік орындалатын жерде f(x)0, функция f(x) азайып келеді.

Жергілікті экстремумды табу.Монотондылық интервалдарын тауып, өсу төмендеумен ауыстырылатын, жергілікті максимумдар орналасқан, ал төмендеу өсумен ауыстырылатын жергілікті минимумдар орналасқан жергілікті экстремум нүктелерін бірден анықтай аламыз. Осы нүктелердегі функцияның мәнін есептеңіз. Егер функцияның жергілікті экстремум нүктелері болып табылмайтын критикалық нүктелері болса, онда функцияның мәнін осы нүктелердегі де есептеу пайдалы.

Ең үлкенін табу және ең төменгі мәндер y = f(x) функциялары(жалғасы)

1. Функцияның туындысын табыңыз: f(x). 2. Туынды нөлге тең болатын нүктелерді табыңыз: f(x)=0x 1, x 2 ,... 3. Ұпайлардың тиістілігін анықтаңыз X 1 ,X 2 , … сегмент [ а; б]: рұқсат етіңіз x 1а;б, А x 2а;б . 4. Таңдалған нүктелердегі және кесіндінің соңындағы функцияның мәндерін табыңыз: f(x 1), f(x 2),..., f(x а),f(x б), 5. Табылғандардың ішінен ең үлкен және ең кіші функция мәндерін таңдау. Пікір. Егер сегментте [ а; б] үзіліс нүктелері бар, содан кейін оларда бір жақты шектеулерді есептеу керек, содан кейін функцияның ең үлкен және ең кіші мәндерін таңдауда олардың мәндерін ескеру қажет.

7) Дөңес және ойыс аралықтарын табу. Бұл екінші туындының белгісін тексеру арқылы жасалады f(x). Дөңес және ойыс аралықтардың түйіскен жеріндегі иілу нүктелерін табыңыз. Функцияның иілу нүктелеріндегі мәнін есептеңіз. Егер функцияның екінші туындысы 0 болатын немесе жоқ басқа үздіксіздік нүктелері болса (иілу нүктелерінен басқа), онда функцияның осы нүктелердегі мәнін есептеу де пайдалы. Табылған f(x), теңсіздікті шешеміз f(x)0. Шешім аралықтарының әрқайсысында функция төмен қарай дөңес болады. Кері теңсіздікті шешу f(x)0, функция дөңес жоғары (яғни ойыс) болатын аралықтарды табамыз. Біз иілу нүктелерін функция дөңестік бағытын өзгертетін нүктелер ретінде анықтаймыз (және үздіксіз).

Функцияның иілу нүктесі- бұл функция үздіксіз болатын нүкте және өткенде функция дөңестік бағытын өзгертеді.

Болу шарттары

Иілу нүктесінің болуы үшін қажетті шарт:егер функция нүктенің кейбір тесілген маңайында екі рет дифференциалданатын болса, онда немесе .

. Ол үшін графикалық қағазды немесе графикалық калькуляторды пайдаланыңыз. Тәуелсіз айнымалы мәндердің кез келген санын таңдаңыз x (\displaystyle x)және оларды тәуелді айнымалының мәндерін есептеу үшін функцияға қосыңыз y (\displaystyle y). Нүктелердің табылған координаталарын сызыңыз координаталық жазықтық, содан кейін функцияның графигі үшін осы нүктелерді қосыңыз.

• Функцияға оң мәндерді қойыңыз сандық мәндер x (\displaystyle x)және сәйкес теріс сандық мәндер. Мысалы, берілген функция f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1). Оның орнына келесі мәндерді қойыңыз x (\displaystyle x):

Функция графигі Y осіне қатысты симметриялы екенін тексеріңіз.Симметрия деп графтың ордината осіне қатысты айнадағы бейнесін айтады. Егер графиктің Y осінің оң жағындағы бөлігі (тәуелсіз айнымалының оң мәндері) графиканың Y осінің сол жағындағы бөлігімен бірдей болса (тәуелсіз айнымалының теріс мәндері) ), график Y осіне қатысты симметриялы болса, функция у осіне қатысты симметриялы болса, функция жұп болады.

Функция графигі бастапқы нүктеге қатысты симметриялы екенін тексеріңіз.Бастапқы нүкте координаталары (0,0) болатын нүкте болып табылады. Бастауышқа қатысты симметрия оң мәнді білдіреді y (\displaystyle y)(оң мәнмен x (\displaystyle x)) теріс мәнге сәйкес келеді y (\displaystyle y)(теріс мәнмен x (\displaystyle x)) және керісінше. Біртүрлі функцияларшығу тегіне қатысты симметрия болады.

Функция графигінде қандай да бір симметрия бар-жоғын тексеріңіз.Функцияның соңғы түрі – графигі симметриясыз, яғни ордината осіне қатысты да, координат басына қатысты да айна бейнесі жоқ функция. Мысалы, функциясы берілген.

• Функцияға бірнеше оң және сәйкес теріс мәндерді ауыстырыңыз x (\displaystyle x):
• Алынған нәтижелерге сәйкес симметрия жоқ. Мәндер y (\displaystyle y)қарама-қарсы мәндер үшін x (\displaystyle x)сәйкес келмейді және қарама-қарсы болмайды. Осылайша, функция жұп та, тақ та емес.
• функциясы екенін ескеріңіз f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1)былай жазуға болады: f (x) = (x + 1) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)). Бұл пішінде жазылғанда, функция жұп көрсеткіші бар болғандықтан пайда болады. Бірақ бұл мысал, егер тәуелсіз айнымалы жақшаға алынса, функция түрін тез анықтау мүмкін еместігін дәлелдейді. Бұл жағдайда жақшаларды ашып, алынған дәрежелерді талдау керек.