Брадистің барлық тригонометриялық кестелерінің ішінде ең жиі қолданылатындардың бірі синустар кестесі болып табылады. Бұл мақалада біз синус (син) ұғымын түсінеміз, әртүрлі бұрыштар үшін синус мәндерін қалай табуға болатынын білеміз (0, 30, 45, 60, 90) және синустар кестесі не үшін қажет екенін түсінеміз.
Синустар кестесі және оның қолданылуы
Алдымен, бұрыштың синусы ұғымы нені білдіретінін еске түсіруіміз керек.
Синус -бұл осы бұрышқа қарсы тұрған катеттің гипотенузаға қатынасы.
Егер үшбұрыш тік бұрышты болса, бұл дұрыс.
Стандартты тікбұрышты үшбұрыш: а (ВС) және b (АС) қабырғалары катеттері, с қабырғасы (АВ) гипотенузасы.
Мысалы: бұрыштың ⍺ синусын және β бұрышын табыңыз
күнә ⍺ = a/cнемесе ВС жағының АВ жағына қатынасы. Егер β бұрышын алсақ, онда b немесе АС жағы қарама-қарсы деп есептеледі. Бұл жағдайда гипотенузасы бірдей – АВ. Содан кейін:
sin β = b/sнемесе айнымалы ток қатынасы AB.
Тікбұрышты үшбұрышта әрқашан 2 аяқжәне тек бір гипотенузасы
Өздеріңіз білетіндей, 360 бүтін бұрыш мәндері бар, бірақ көбінесе ең танымал бұрыштардың мәндерін есептеу керек, мысалы: синус 0°, синус 30°, синус 45°, синус 60°, синус 90. °. Бұл мәндерді Bradis кестелерінен табуға болады.
2021 жылы өзінің жүз жылдығын атап өтсе де, Брэдис үстелі өзектілігін жоғалтқан жоқ. Атап айтқанда, оны сәулетшілер, дизайнерлер және конструкторлар жылдам аралық есептеулерді жүргізу үшін пайдаланады. Bradis кестелері бар мектептерде қолдануға рұқсат етілген Бірыңғай мемлекеттік емтиханды тапсыру, калькуляторлардан айырмашылығы.
Бұрыштың синусын есептеуге арналған онлайн калькулятор
Тригонометриялық функциялардың мәндерінің кестесі
Ескерту. Бұл тригонометриялық функция мәндерінің кестесі көрсету үшін √ белгісін пайдаланады шаршы түбір. Бөлшекті көрсету үшін «/» белгісін пайдаланыңыз.
Сондай-ақ қараңызпайдалы материалдар:
үшін тригонометриялық функцияның мәнін анықтау, оны тригонометриялық функцияны көрсететін түзудің қиылысында табыңыз. Мысалы, синус 30 градус - біз sin (синус) тақырыбы бар бағанды іздейміз және осы кесте бағанының «30 градус» жолымен қиылысуын табамыз, олардың қиылысында нәтижені оқимыз - жарты. Сол сияқты табамыз косинус 60дәрежелер, синус 60градус (тағы да күн бағанасы мен 60 градус сызығының қиылысында sin 60 = √3/2 мәнін табамыз) т.б. Басқа «танымал» бұрыштардың синустарының, косинустарының және тангенстерінің мәндері дәл осылай табылады.
Синус пи, косинус пи, тангенс пи және радиандағы басқа бұрыштар
Төмендегі косинустардың, синустардың және тангенстердің кестесі аргументі болатын тригонометриялық функциялардың мәнін табу үшін де қолайлы. радианмен берілген. Ол үшін бұрыш мәндерінің екінші бағанын пайдаланыңыз. Осының арқасында танымал бұрыштардың мәнін градустан радианға түрлендіруге болады. Мысалы, бірінші жолдағы 60 градус бұрышты тауып, оның астындағы радиандағы мәнін оқимыз. 60 градус π/3 радианға тең.
Пи саны шеңбердің бұрыштың градустық өлшеміне тәуелділігін бір мәнді түрде білдіреді. Осылайша, пи радиандары 180 градусқа тең.
Пи (радиан) арқылы көрсетілген кез келген санды пи (π) 180-ге ауыстыру арқылы градусқа оңай түрлендіруге болады..
Мысалдар:
1. Синус пи.
sin π = sin 180 = 0
осылайша, pi синусы 180 градус синусымен бірдей және ол нөлге тең.
2. Косинус пи.
cos π = cos 180 = -1
осылайша, пи косинусы 180 градус косинусымен бірдей және ол минус бірге тең.
3. Тангенс пи
тг π = тг 180 = 0
осылайша, тангенс pi 180 градус жанамамен бірдей және ол нөлге тең.
0 - 360 градус бұрыштар үшін синус, косинус, тангенс мәндерінің кестесі (жалпы мәндер)
|
бұрыштың α мәні (дәрежелер) |
бұрыштың α мәні (pi арқылы) |
күнә (синус) |
cos (косинус) |
тг (тангенс) |
ctg (котангенс) |
сек (секант) |
косек (косекант) |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
| 15 | π/12 | 2 - √3 | 2 + √3 | ||||
| 30 | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 | √3 | 2/√3 | 2 |
| 45 | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 | √2 | √2 |
| 60 | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 | 1/√3 | 2 | 2/√3 |
| 75 | 5π/12 | 2 + √3 | 2 - √3 | ||||
| 90 | π/2 | 1 | 0 | - | 0 | - | 1 |
| 105 | 7π/12 |
- |
- 2 - √3 | √3 - 2 | |||
| 120 | 2π/3 | √3/2 | -1/2 | -√3 | -√3/3 | ||
| 135 | 3π/4 | √2/2 | -√2/2 | -1 | -1 | -√2 | √2 |
| 150 | 5π/6 | 1/2 | -√3/2 | -√3/3 | -√3 | ||
| 180 | π | 0 | -1 | 0 | - | -1 | - |
| 210 | 7π/6 | -1/2 | -√3/2 | √3/3 | √3 | ||
| 240 | 4π/3 | -√3/2 | -1/2 | √3 | √3/3 | ||
| 270 | 3π/2 | -1 | 0 | - | 0 | - | -1 |
| 360 | 2π | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
Егер тригонометриялық функциялар мәндерінің кестесінде функция мәнінің орнына сызықша (тангенс (тг) 90 градус, котангенс (ctg) 180 градус) көрсетілсе, онда бұрыштың градустық өлшемінің берілген мәні үшін функция белгілі бір мәнге ие емес. Егер сызықша болмаса, ұяшық бос, яғни біз әлі қажетті мәнді енгізген жоқпыз. Бізге пайдаланушылардың қандай сұраулар бойынша келетіні және ең көп таралған бұрыш мәндерінің косинустарының, синусының және тангенстерінің мәндері туралы ағымдағы деректердің көпшілігін шешуге жеткілікті болғанына қарамастан, кестені жаңа мәндермен толықтыратыны қызықтырады. проблемалар.
Ең танымал бұрыштар үшін sin, cos, tg тригонометриялық функциялардың мәндерінің кестесі
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 градус
(«Брадис кестелері бойынша» сандық мәндер)
| бұрыштың α мәні (градус) | радиандағы α бұрышының мәні | күнә (син) | cos (косинус) | тг (тангенс) | ctg (котангенс) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | ||||
| 15 |
0,2588 |
0,9659
|
0,2679 |
||
| 30 |
0,5000 |
0,5774 |
|||
| 45 |
0,7071 |
||||
|
0,7660 |
|||||
| 60 |
0,8660 |
0,5000
|
1,7321 |
||
|
7π/18 |
Бұрышты синус бойынша тап
Сонымен, бізде 0-ден 90°-қа дейінгі кез келген бұрыштың синусын екі ондық бөлшекте есептеу мүмкіндігі бар. Дайын үстелдің қажеті жоқ; шамамен есептеулер үшін, егер қаласақ, біз оны әрқашан өзіміз құрастыра аламыз.
Бірақ тригонометриялық есептерді шешу үшін сіз керісінше жасай білуіңіз керек - берілген синустан бұрыштарды есептеңіз. Бұл да оңай. Синусы 0,38-ге тең бұрышты табу керек делік. Бұл синус 0,5-тен аз болғандықтан, қажетті бұрыш 30°-тан аз. Бірақ ол 15°-тан үлкен, өйткені sin 15°, біз білеміз, 0,26-ға тең. 15 және 30° аралығындағы бұрышты табу үшін біз бұрын түсіндірілгендей әрекет етеміз:
Сонымен, қалаған бұрыш шамамен 22,5 °. Тағы бір мысал: синусы 0,62 болатын бұрышты табыңыз.
Қажетті бұрыш шамамен 38,6°.
Соңында, үшінші мысал: синусы 0,91 болатын бұрышты табыңыз.
Бұл синус 0,71 мен 1 аралығында болғандықтан, қажетті бұрыш 45° пен 90° арасында болады. Қосулы: сур. 91 Күн L бұрышының синусы, егер В.А= 1. Білу күн,бұрыштың синусын табу оңай IN:
Енді бұрышты табайық IN,оның синусы 0,42; Осыдан кейін 90°-қа тең А бұрышын табу оңай болады - IN.
0,42 0,26 мен 0,5 аралығында болғандықтан, бұрыш болады IN 15° пен 30° арасында орналасады, ол келесідей анықталады:
Және, демек, бұрыш A = 90 ° - B = 90 ° - 25 ° = 65 °.
Біз қазір тригонометриялық есептерді шамамен шешуге толықтай жабдықталғанбыз, өйткені біз өріс мақсаттары үшін жеткілікті дәлдікпен бұрыштардан және синустардан бұрыштардан синустарды таба аламыз.
Бірақ бұл үшін тек синус жеткілікті ме? Бізге қалған тригонометриялық функциялар – косинус, тангенс, т.б. керек емес пе? Енді біз жеңілдетілген тригонометрия үшін тек синус арқылы толықтай алатынымызды бірнеше мысалдармен көрсетеміз.
Математиканың оқушылар көп қиналатын салаларының бірі – тригонометрия. Бұл таңқаларлық емес: білімнің бұл саласын еркін меңгеру үшін сізге кеңістіктік ойлау, формулаларды пайдалана отырып, синустар, косинустар, тангенстер, котангенстерді табу, өрнектерді оңайлату және пи санын пайдалана білу қажет. есептеулер. Сонымен қатар, теоремаларды дәлелдеу кезінде тригонометрияны қолдана білу керек, бұл үшін не дамыған математикалық жады, не күрделі логикалық тізбектерді шығару мүмкіндігі қажет.
Тригонометрияның шығу тегі
Бұл ғылыммен танысу бұрыштың синусын, косинусын және тангенсін анықтаудан басталуы керек, бірақ алдымен тригонометрияның жалпы не істейтінін түсіну керек.
Тарихи тұрғыдан алғанда, математика ғылымының бұл саласының негізгі зерттеу нысаны тікбұрышты үшбұрыштар болды. 90 градус бұрыштың болуы екі жағы мен бір бұрышын немесе екі бұрыш пен бір жағын пайдаланып қарастырылып жатқан фигураның барлық параметрлерінің мәндерін анықтауға мүмкіндік беретін әртүрлі операцияларды орындауға мүмкіндік береді. Бұрын адамдар бұл үлгіні байқап, оны ғимараттар салуда, навигацияда, астрономияда және тіпті өнерде белсенді қолдана бастады.
Бастапқы кезең
Бастапқыда адамдар бұрыштар мен қабырғалар арасындағы қатынас туралы тек тікбұрышты үшбұрыштардың мысалын қолдана отырып айтты. Содан кейін пайдалану шекарасын кеңейтуге мүмкіндік беретін арнайы формулалар ашылды күнделікті өмірматематиканың бұл саласы.
Бүгінгі таңда мектепте тригонометрияны оқыту тікбұрышты үшбұрыштардан басталады, содан кейін оқушылар физикадан алған білімдерін және орта мектептен басталатын абстрактілі тригонометриялық теңдеулерді шешуде қолданады.
Сфералық тригонометрия
Кейін ғылым дамуының келесі деңгейіне жеткенде, әртүрлі ережелер қолданылатын сфералық геометрияда синусы, косинусы, тангенсі және котангенсі бар формулалар қолданыла бастады, ал үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы әрқашан 180 градустан жоғары болады. Бұл бөлім мектепте оқытылмайды, бірақ оның бар екендігі туралы білу керек, өйткені кем дегенде жер беті, ал кез келген басқа планетаның беті дөңес болады, бұл кез келген беттік таңбаның ішінде болатынын білдіреді үш өлшемді кеңістік«доға тәрізді».
Глобус пен жіпті алыңыз. Жіпті жер шарының кез келген екі нүктесіне бекітіңіз, сонда ол тартылады. Назар аударыңыз - ол доға пішінін алды. Сфералық геометрия геодезия, астрономия және басқа да теориялық және қолданбалы салаларда қолданылатын осындай формалармен айналысады.
Тік бұрышты үшбұрыш
Тригонометрияны қолдану жолдары туралы аздап біліп алғаннан кейін синус, косинус, тангенс деген не екенін, олардың көмегімен қандай есептеулер жүргізуге болатынын және қандай формулаларды қолдану керектігін түсіну үшін негізгі тригонометрияға оралайық.
Бірінші қадам байланысты ұғымдарды түсіну болып табылады тікбұрышты үшбұрыш. Біріншіден, гипотенуза 90 градус бұрышқа қарама-қарсы жақ болып табылады. Бұл ең ұзын. Пифагор теоремасы бойынша оның сандық мәні қалған екі жақтың квадраттарының қосындысының түбірімен тең болатыны есімізде.
Мысалы, егер екі қабырға сәйкесінше 3 және 4 сантиметр болса, гипотенузаның ұзындығы 5 сантиметр болады. Айтпақшы, ежелгі мысырлықтар бұл туралы төрт жарым мың жыл бұрын білген.
Тік бұрышты құрайтын қалған екі жағы аяқтар деп аталады. Сонымен қатар, тікбұрышты координаталар жүйесіндегі үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы 180 градусқа тең екенін есте ұстаған жөн.
Анықтама
Соңында, геометриялық негізді нақты түсінгеннен кейін, бұрыштың синус, косинусы және тангенсінің анықтамасына жүгінуге болады.
Бұрыштың синусы – қарама-қарсы катеттің (яғни, қажетті бұрышқа қарама-қарсы жағының) гипотенузаға қатынасы. Бұрыштың косинусы деп көрші қабырғаның гипотенузаға қатынасын айтады.
Есіңізде болсын, синус та, косинус та біреуден үлкен емес! Неліктен? Гипотенуза әдепкі бойынша ең ұзын болғандықтан, ол қаншалықты ұзын болса да, ол гипотенузаға қарағанда қысқа болады, яғни олардың қатынасы әрқашан бірден аз болады. Осылайша, мәселеге жауабыңызда 1-ден жоғары мәні бар синус немесе косинус алсаңыз, есептеулерде немесе дәлелдемелерде қатені іздеңіз. Бұл жауап анық дұрыс емес.
Соңында, бұрыштың тангенсі - қарама-қарсы жақтың көрші жаққа қатынасы. Синусты косинусқа бөлу дәл осындай нәтиже береді. Қараңыз: формула бойынша қабырғаның ұзындығын гипотенузаға бөлеміз, содан кейін екінші қабырғасының ұзындығына бөлеміз және гипотенузаға көбейтеміз. Осылайша, біз тангенс анықтамасындағыдай қатынасты аламыз.
Котангенс, сәйкесінше, бұрышқа іргелес жатқан жақтың қарама-қарсы жағына қатынасы. Бірді тангенске бөлу арқылы бірдей нәтиже аламыз.
Сонымен, біз синус, косинус, тангенс және котангенс деген ненің анықтамаларын қарастырдық және формулаларға көшуге болады.
Ең қарапайым формулалар
Тригонометрияда формулаларсыз жасай алмайсыз - оларсыз синусты, косинусты, тангенсті, котангентті қалай табуға болады? Бірақ бұл мәселелерді шешу кезінде қажет нәрсе.
Тригонометрияны оқуды бастағанда білу қажет бірінші формула бұрыштың синусы мен косинусының квадраттарының қосындысы бірге тең екенін айтады. Бұл формула Пифагор теоремасының тікелей салдары болып табылады, бірақ бүйірден гөрі бұрыштың өлшемін білу қажет болса, уақытты үнемдейді.
Көптеген оқушылар екінші формуланы есіне түсіре алмайды, ол мектеп есептерін шешуде де өте танымал: бірдің қосындысы мен бұрыштың жанамасының квадраты бұрыштың косинусының квадратына бөлінгенге тең. Мұқият қараңыз: бұл бірінші формуладағыдай мәлімдеме, тек сәйкестендірудің екі жағы да косинустың квадратына бөлінген. Қарапайым математикалық операция жасайды екен тригонометриялық формуламүлдем танылмайтын. Есіңізде болсын: синустың, косинустың, тангенстің және котангенстің не екенін, түрлендіру ережелерін және бірнеше негізгі формулаларды біле отырып, сіз кез келген уақытта қажетті қосымшаны дербес шығара аласыз. күрделі формулаларқағаз парағында.
Қос бұрыштардың формулалары және аргументтерді қосу
Сізге үйрену керек тағы екі формула бұрыштардың қосындысы мен айырмасы үшін синус пен косинус мәндеріне қатысты. Олар төмендегі суретте берілген. Назар аударыңыз, бірінші жағдайда синус пен косинус екі есеге көбейтіледі, ал екіншісінде синус пен косинустың жұптық көбейтіндісі қосылады.
Қос бұрыштық аргументтермен байланысты формулалар да бар. Олар толығымен алдыңғылардан алынған - тәжірибе ретінде бета бұрышына тең альфа бұрышын алу арқылы оларды өзіңіз алуға тырысыңыз.
Соңында, қос бұрыш формулаларын синус, косинус, тангенс альфа қуатын азайту үшін қайта реттеуге болатынын ескеріңіз.
Теоремалар
Негізгі тригонометриядағы екі негізгі теорема синустар теоремасы және косинус теоремасы. Осы теоремалардың көмегімен сіз синусты, косинусты және тангенсті, демек фигураның ауданын, әр жақтың өлшемін және т.б. табуды оңай түсінуге болады.
Синустар теоремасы үшбұрыштың әр қабырғасының ұзындығын қарама-қарсы бұрышқа бөлгенде бірдей сан шығатынын айтады. Сонымен қатар, бұл сан шектелген шеңбердің екі радиусына тең болады, яғни берілген үшбұрыштың барлық нүктелерін қамтитын шеңбер.
Косинус теоремасы Пифагор теоремасын жалпылайды, оны кез келген үшбұрыштарға проекциялайды. Екі жақтың квадраттарының қосындысынан олардың көбейтіндісін іргелес бұрыштың қос косинусына көбейтіңіз - алынған мән үшінші жақтың квадратына тең болады. Осылайша, Пифагор теоремасы косинус теоремасының ерекше жағдайы болып шығады.
Абайсыз қателер
Синустың, косинустың және тангенстің не екенін біле тұра, ойсыздықтан немесе қарапайым есептеулердегі қателіктен қателесу оңай. Мұндай қателерді болдырмау үшін ең танымалдарын қарастырайық.
Біріншіден, соңғы нәтижеге қол жеткізбейінше, бөлшектерді ондық бөлшектерге түрлендіруге болмайды - жауапты келесідей қалдыра аласыз. жай бөлшек, егер шарттарда басқаша көрсетілмесе. Мұндай түрлендіруді қате деп атауға болмайды, бірақ мәселенің әр кезеңінде жаңа тамырлар пайда болуы мүмкін екенін есте ұстаған жөн, автордың идеясына сәйкес оларды азайту керек. Бұл жағдайда сіз уақытыңызды қажетсіз математикалық операцияларға жұмсайсыз. Бұл әсіресе үштің түбірі немесе екінің түбірі сияқты мәндерге қатысты, өйткені олар әр қадамда мәселелерде кездеседі. «Ұсқынсыз» сандарды дөңгелектеуге де қатысты.
Әрі қарай, косинус теоремасы кез келген үшбұрышқа қолданылады, бірақ Пифагор теоремасы емес! Егер сіз олардың арасындағы бұрыштың косинусына көбейтілген қабырғалардың екі еселенген көбейтіндісін алуды қателесіп ұмытып кетсеңіз, сіз мүлде қате нәтижеге қол жеткізіп қана қоймай, сонымен қатар тақырыпты толық түсінбеуіңізді көрсетесіз. Бұл абайсызда жасалған қателіктен де жаман.
Үшіншіден, синустар, косинустар, тангенстер, котангенстер үшін 30 және 60 градус бұрыштарының мәндерін шатастырмаңыз. Бұл мәндерді есте сақтаңыз, өйткені синус 30 градус косинусқа тең 60 және керісінше. Оларды шатастыру оңай, нәтижесінде сіз сөзсіз қате нәтиже аласыз.
Қолданба
Көптеген студенттер тригонометрияны оқуды бастауға асықпайды, өйткені олар оның практикалық мәнін түсінбейді. Инженер немесе астроном үшін синус, косинус, тангенс дегеніміз не? Бұл алыстағы жұлдыздарға дейінгі қашықтықты есептеуге, метеориттің құлауын болжауға немесе басқа планетаға зерттеу зондын жіберуге мүмкіндік беретін тұжырымдамалар. Оларсыз ғимарат салу, машинаны жобалау, бетке түсетін жүктемені немесе объектінің траекториясын есептеу мүмкін емес. Және бұл ең айқын мысалдар ғана! Өйткені, тригонометрия музыкадан медицинаға дейін барлық жерде қолданылады.
Қорытындысында
Демек, сіз синус, косинус, тангенссіз. Сіз оларды есептеулерде пайдалана аласыз және мектеп мәселелерін сәтті шеше аласыз.
Тригонометрияның барлық мәні үшбұрыштың белгілі параметрлерін пайдалана отырып, белгісіздерді есептеу керек екендігіне байланысты. Барлығы алты параметр бар: үш жақтың ұзындығы және үш бұрыштың өлшемі. Тапсырмалардың жалғыз айырмашылығы - әртүрлі кіріс деректері беріледі.
Сіз енді синусты, косинусты, тангенсті аяқтардың немесе гипотенузаның белгілі ұзындықтары негізінде қалай табуға болатынын білесіз. Бұл терминдер қатынастан басқа ештеңені білдірмейтіндіктен, ал қатынас бөлшек болып табылады, басты мақсатТригонометриялық есеп кәдімгі теңдеудің немесе теңдеулер жүйесінің түбірлерін табу болып табылады. Ал мұнда сізге кәдімгі мектеп математикасы көмектеседі.