Математикада бір-бірінен кейін келетін, қандай да бір түрде ұйымдастырылған кез келген сандар жиыны реттілік деп аталады. Барлық қолданыстағы сандар тізбегінен екі қызықты жағдай ерекшеленеді: алгебралық және геометриялық прогрессия.
Арифметикалық прогрессия дегеніміз не?
Бірден айта кету керек, алгебралық прогрессия жиі арифметика деп аталады, өйткені оның қасиеттерін математиканың саласы - арифметика зерттейді.
Бұл прогрессия – әрбір келесі мүше алдыңғысынан белгілі бір тұрақты санмен ерекшеленетін сандар тізбегі. Ол алгебралық прогрессияның айырымы деп аталады. Анық болу үшін оны латынның d әрпімен белгілейміз.
Мұндай тізбектің мысалы келесідей болуы мүмкін: 3, 5, 7, 9, 11 ..., мұнда 5 саны 3 санынан 2-ге, 7 саны 5-тен 2-ге артық екенін көруге болады, және т.б. Осылайша, ұсынылған мысалда d = 5-3 = 7-5 = 9-7 = 11-9 = 2.
Арифметикалық прогрессияның қандай түрлері бар?
Бұл реттелген сандар тізбегінің сипаты негізінен d санының таңбасы арқылы анықталады. Алгебралық прогрессияның келесі түрлері бөлінеді:
- d оң болғанда жоғарылайды (d>0);
- d = 0 кезіндегі тұрақты;
- d теріс болғанда азаяды (d<0).
Алдыңғы абзацта келтірілген мысал өсіп келе жатқан прогрессияны көрсетеді. Төмендеу тізбегіне мысал ретінде келесі сандар тізбегін келтіруге болады: 10, 5, 0, -5, -10, -15 ... Тұрақты прогрессия, оның анықтамасынан келесідей, бірдей сандар жиыны болып табылады.
прогрессияның n-ші мүшесі
Қарастырылып отырған прогрессиядағы әрбір келесі сан алдыңғы саннан d тұрақтысына ерекшеленетіндіктен, оның n-ші мүшесін оңай анықтауға болады. Ол үшін тек d ғана емес, сонымен қатар 1 - прогрессияның бірінші мүшесін білу керек. Рекурсивті тәсілді қолдана отырып, n-ші мүшесін табу үшін алгебралық прогрессияның формуласын алуға болады. Ол келесідей көрінеді: a n = a 1 + (n-1)*d. Бұл формула өте қарапайым және интуитивті түрде түсінуге болады.
Оны пайдалану да қиын емес. Мысалы, жоғарыда келтірілген прогрессияда (d=2, a 1 =3) оның 35-ші мүшесін анықтаймыз. Формула бойынша ол мынаған тең болады: a 35 = 3 + (35-1)*2 = 71.
Соманың формуласы
Арифметикалық прогрессия берілгенде, оның бірінші n мүшесінің қосындысы n-ші мүшесінің мәнін анықтаумен қатар жиі кездесетін есеп болып табылады. Алгебралық прогрессияның қосындысының формуласы келесі түрде жазылады: ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2, мұндағы ∑ n 1 таңбасы 1-ден n-ге дейінгі мүшелердің қосындысын көрсетеді.
Жоғарыдағы өрнекті сол рекурсияның қасиеттеріне жүгіну арқылы алуға болады, бірақ оның дұрыстығын дәлелдеудің оңай жолы бар. Осы қосындының алғашқы 2 және соңғы 2 мүшесін a 1, a n және d сандарымен өрнектеп жазып алайық және мынаны аламыз: a 1, a 1 +d,...,a n -d, a n. Енді назар аударыңыз, егер сіз бірінші мүшені соңғысына қоссаңыз, ол екінші және соңғы мүшелердің қосындысына тура тең болады, яғни a 1 +a n. Осыған ұқсас жолмен үшінші және соңғы мүшелерді қосу арқылы бірдей қосынды алуға болатынын және т.б. Тізбектегі сандар жұбы болған жағдайда, әрқайсысы 1 +a n-ге тең n/2 қосынды аламыз. Яғни, қосынды үшін алгебралық прогрессияның жоғарыдағы формуласын аламыз: ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2.
n мүшелерінің жұпталмаған саны үшін сипатталған пайымдауды орындасаңыз, ұқсас формула алынады. Прогрессияның ортасында орналасқан қалған терминді қосуды ұмытпаңыз.
Жоғарыда келтірілген (3, 5, 7, 9, 11 ...) қарапайым прогрессияның мысалы арқылы жоғарыдағы формуланы қалай қолдану керектігін көрсетейік. Мысалы, оның алғашқы 15 мүшесінің қосындысын анықтау керек. Алдымен 15 санын анықтайық. n-ші мүшенің формуласын қолданып (алдыңғы абзацты қараңыз), біз мынаны аламыз: a 15 = a 1 + (n-1)*d = 3 + (15-1)*2 = 31. Енді біз мына формуланы қолдана аламыз: алгебралық прогрессияның қосындысы: ∑ 15 1 = 15*(3+31)/2 = 255.
Бір қызық тарихи деректі келтіре кету қызық. Арифметикалық прогрессияның қосындысының формуласын алғаш рет Карл Гаусс (18 ғасырдағы атақты неміс математигі) алған. Ол небәрі 10 жаста болғанда, мұғалім 1-ден 100-ге дейінгі сандардың қосындысын табу мәселесін қойды. Олар кішкентай Гаусс бұл есепті бірнеше секундта шешіп, сандарды басынан және аяғындағы сандарды қосу арқылы шешкенін байқады. жұппен реттілік, сіз әрқашан 101 алуға болады, және мұндай 50 сомасы болғандықтан, ол тез жауап берді: 50*101 = 5050.
Мәселені шешудің мысалы
Алгебралық прогрессия тақырыбын аяқтау үшін біз тағы бір қызықты есепті шешуге мысал келтіреміз, сол арқылы қарастырылып отырған тақырыпты түсінуді күшейтеміз. d = -3 айырымы белгілі, сондай-ақ оның 35-ші мүшесі a 35 = -114 болатын белгілі бір прогрессия берілсін. Прогрессияның 7 мүшесін табу керек a 7 .
Есептің шарттарынан көрініп тұрғандай, 1 мәні белгісіз, сондықтан n-ші мүшесі үшін формуланы тікелей қолдануға болмайды. Рекурсиялық әдіс те ыңғайсыз, оны қолмен орындау қиын, қателесу ықтималдығы жоғары. Келесідей әрекет етейік: 7 және 35 формулаларын жазыңыз, бізде: a 7 = a 1 + 6*d және a 35 = a 1 + 34*d. Бірінші өрнектен екіншісін алып тастасақ, мынаны аламыз: a 7 - a 35 = a 1 + 6*d - a 1 - 34*d. Ол келесідей: a 7 = a 35 - 28*d. Есептің қойылымындағы белгілі деректерді алмастырып, жауабын жазу қалды: a 7 = -114 - 28*(-3) = -30.
Геометриялық прогрессия
Мақаланың тақырыбын толығырақ ашу үшін біз прогрессияның басқа түрінің - геометрияның қысқаша сипаттамасын береміз. Математикада бұл атау әрбір келесі мүше алдыңғысынан белгілі бір фактормен ерекшеленетін сандар тізбегі ретінде түсініледі. Бұл факторды r әрпімен белгілейік. Қарастырылып отырған прогрессияның түрінің бөлгіші деп аталады. Бұл сандар тізбегінің мысалы: 1, 5, 25, 125, ...
Жоғарыдағы анықтамадан көрініп тұрғандай, алгебралық және геометриялық прогрессиялар идеясы жағынан ұқсас. Олардың бір-бірінен айырмашылығы, біріншісі екіншісіне қарағанда баяу өзгереді.
Геометриялық прогрессия да өсу, тұрақты немесе кему болуы мүмкін. Оның түрі r бөлгішінің мәніне байланысты: егер r>1 болса, онда өсу прогрессиясы болады, егер r болса<1 - убывающая, наконец, если r = 1 - постоянная, которая в этом случае может также называться постоянной арифметической прогрессией.
Геометриялық прогрессияның формулалары
Алгебралық жағдайдағы сияқты, геометриялық прогрессияның формулалары оның n-ші мүшесі мен n мүшесінің қосындысын анықтауға келтіріледі. Төменде мына өрнектер берілген:
- a n = a 1 *r (n-1) - бұл формула геометриялық прогрессияның анықтамасынан шығады.
- ∑ n 1 = a 1 *(r n -1)/(r-1). Айта кету керек, егер r = 1 болса, онда жоғарыдағы формула белгісіздік береді, сондықтан оны қолдануға болмайды. Бұл жағдайда n мүшесінің қосындысы a 1 *n жай көбейтіндісіне тең болады.
Мысалы, 1, 5, 25, 125, ... қатарының тек 10 мүшесінің қосындысын табайық, ... a 1 = 1 және r = 5 екенін біле отырып, мынаны аламыз: ∑ 10 1 = 1*(5 10 -1 )/4 = 2441406. Алынған мән геометриялық прогрессияның қаншалықты жылдам өсетінінің айқын мысалы болып табылады.
Тарихтағы бұл прогресс туралы бірінші рет шахмат тақтасы туралы аңыз бір сұлтанның досы оған шахмат ойнауды үйретіп, оның қызметі үшін астық сұрайды. Оның үстіне астықтың мөлшері келесідей болуы керек еді: шахмат тақтасының бірінші шаршысына бір дәнді қою керек, екіншісіне біріншіден екі есе көп, үшіншіден екіншіден екі есе көп және т.б. . Сұлтан бұл өтінішті орындауға ықыласпен келісті, бірақ сөзінде тұру үшін елінің барлық жәшіктерін босату керектігін білмеді.
Назар аударыңыз!
Қосымша бар
ішіндегі материалдар Ерекше бөлім 555.
Өте «өте емес...» дегендер үшін
Ал «өте...» дегендер үшін)
Арифметикалық прогрессия - әрбір сан алдыңғы саннан бірдей мөлшерде үлкен (немесе аз) болатын сандар қатары.
Бұл тақырып жиі күрделі және түсініксіз болып көрінеді. Әріптердің индекстері, прогрессияның n-ші мүшесі, прогрессияның айырмашылығы - мұның бәрі әйтеуір шатастырады, иә... Арифметикалық прогрессияның мағынасын анықтайық, сонда бәрі бірден жақсарады.)
Арифметикалық прогрессия туралы түсінік.
Арифметикалық прогрессия өте қарапайым және түсінікті ұғым. Сізде күмән бар ма? Бекер.) Өзіңіз қараңыз.
Мен аяқталмаған сандар қатарын жазамын:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Бұл серияны ұзарта аласыз ба? Келесі бестен кейін қандай сандар келеді? Барлығы... у..., қысқасы, 6, 7, 8, 9, т.б. сандардың келесі келетінін бәрі түсінеді.
Тапсырманы күрделендірейік. Мен сізге аяқталмаған сандар қатарын беремін:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Сіз үлгіні ұстай аласыз, серияны кеңейте аласыз және атай аласыз жетіншіқатар нөмірі?
Егер сіз бұл санның 20 екенін түсінсеңіз, құттықтаймыз! Тек сезініп қана қойған жоқсың Арифметикалық прогрессияның негізгі нүктелері,сонымен қатар оларды бизнесте сәтті қолданды! Егер сіз оны түсінбесеңіз, оқыңыз.
Енді негізгі ойларды сезімдерден математикаға аударайық.)
Бірінші негізгі нүкте.
Арифметикалық прогрессия сандар қатарын қарастырады.Бұл алдымен шатастырады. Біз теңдеулерді шешуге, графиктерді салуға және осының бәріне үйреніп қалғанбыз... Бірақ бұл жерде қатарды кеңейтеміз, қатардың нөмірін табамыз...
Бәрі жақсы. Прогрессиялар математиканың жаңа саласымен алғашқы танысу болып табылады. Бөлім «Қатарлар» деп аталады және арнайы сандар мен өрнектер қатарымен жұмыс істейді. Оған үйреніңіз.)
Екінші негізгі нүкте.
Арифметикалық прогрессияда кез келген сан алдыңғы саннан өзгеше болады бірдей мөлшерде.
Бірінші мысалда бұл айырмашылық біреу. Қандай санды алсаңыз да, алдыңғы саннан бір артық. Екіншісінде - үшеу. Кез келген сан алдыңғы саннан үшке артық. Шын мәнінде, дәл осы сәт бізге үлгіні түсінуге және кейінгі сандарды есептеуге мүмкіндік береді.
Үшінші негізгі нүкте.
Бұл сәт таң қалдырмайды, иә... Бірақ бұл өте маңызды. Мінеки: Әрбір прогрессия саны өз орнында.Бірінші сан бар, жетінші бар, қырық бесінші бар, т.б. Егер сіз оларды кездейсоқ араластырсаңыз, үлгі жоғалады. Арифметикалық прогрессия да жоғалады. Қалғаны сандар қатары ғана.
Мәселе осында.
Әрине, жаңа тақырыпта жаңа терминдер мен белгілер пайда болады. Сіз оларды білуіңіз керек. Әйтпесе тапсырманы түсінбейсіз. Мысалы, сіз келесідей нәрсені шешуіңіз керек:
Арифметикалық прогрессияның (a n) алғашқы алты мүшесін жазыңыз, егер a 2 = 5, d = -2,5.
Шабыттандырады ма?) Хаттар, кейбір индекстер... Ал тапсырма, айтпақшы, қарапайым болуы мүмкін емес. Сізге тек терминдер мен белгілердің мағынасын түсіну керек. Енді осы істі меңгеріп, тапсырмаға қайта ораламыз.
Терминдер мен белгілеулер.
Арифметикалық прогрессияәр сан алдыңғы саннан ерекшеленетін сандар қатары бірдей мөлшерде.
Бұл шама деп аталады . Бұл тұжырымдаманы толығырақ қарастырайық.
Арифметикалық прогрессияның айырмашылығы.
Арифметикалық прогрессияның айырмашылығыкез келген прогрессия санының шамасы болып табылады көбірекалдыңғы.
Бір маңызды нүкте. Сөзге назар аударыңыз «көбірек».Математикалық тұрғыдан бұл әрбір прогрессия саны екенін білдіреді қосу арқылыарифметикалық прогрессияның алдыңғы санға айырмашылығы.
Есептеу үшін айталық екіншісериялардың нөмірлері қажет біріншісаны қосудәл осы арифметикалық прогрессияның айырмашылығы. Есептеу үшін бесінші- айырмашылық қажет қосуКімге төртінші,жақсы және т.б.
Арифметикалық прогрессияның айырмашылығыМүмкін оң,сонда қатардағы әрбір сан нақты болып шығады алдыңғысынан көп.Бұл прогрессия деп аталады ұлғайту.Мысалы:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Мұнда әрбір сан алынады қосу арқылыоң сан, алдыңғыға +5.
Айырмашылық болуы мүмкін теріс,содан кейін қатардағы әрбір сан болады алдыңғысынан аз.Бұл прогресс деп аталады (сенбейсіз!) төмендеу.
Мысалы:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Мұнда әрбір нөмір де алынады қосу арқылыалдыңғыға, бірақ қазірдің өзінде теріс сан, -5.
Айтпақшы, прогрессиямен жұмыс істегенде, оның табиғатын бірден анықтау өте пайдалы - ол өсуде немесе кемуде. Бұл шешім қабылдауға, қателеріңізді анықтауға және тым кеш болмай тұрып түзетуге көп көмектеседі.
Арифметикалық прогрессияның айырмашылығыәдетте әріппен белгіленеді d.
Қалай табуға болады г? Өте қарапайым. Қатардағы кез келген саннан алу керек алдыңғысаны. Алу. Айтпақшы, азайтудың нәтижесі «айырма» деп аталады.)
Мысалы, анықтайық гАрифметикалық прогрессияны арттыру үшін:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Біз қатардағы кез келген санды аламыз, мысалы, 11. Одан шегереміз алдыңғы нөмірсол. 8:
Бұл дұрыс жауап. Бұл арифметикалық прогрессия үшін айырмашылық үшке тең.
Сіз оны ала аласыз кез келген прогрессия саны,өйткені белгілі бір прогресс үшін d-әрқашан бірдей.Кем дегенде бір жерде қатардың басында, кем дегенде ортасында, кем дегенде кез келген жерде. Сіз тек бірінші нөмірді ала алмайсыз. Тек бірінші сан болғандықтан алдыңғысы жоқ.)
Айтпақшы, соны білу d=3, бұл прогрессияның жетінші санын табу өте оңай. Бесінші санға 3-ті қосайық - алтыншыны аламыз, ол 17 болады. Алтыншы санға үшті қосайық, жетінші санды аламыз - жиырма.
анықтайық гкемімелі арифметикалық прогрессия үшін:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Белгілеріне қарамастан анықтау керек екенін еске саламын гкез келген нөмірден қажет алдыңғысын алып тастаңыз.Кез келген прогрессия санын таңдаңыз, мысалы -7. Оның бұрынғы саны -2. Содан кейін:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Арифметикалық прогрессияның айырымы кез келген сан болуы мүмкін: бүтін, бөлшек, иррационал, кез келген сан.
Басқа терминдер мен белгілер.
Қатардағы әрбір сан шақырылады арифметикалық прогрессияның мүшесі.
Прогрессияның әрбір мүшесі өз нөмірі бар.Сандар қатаң тәртіпте, ешқандай айласыз. Бірінші, екінші, үшінші, төртінші, т.б. Мысалы, прогрессияда 2, 5, 8, 11, 14, ... екі - бірінші мүше, бес - екінші, он бір - төртінші, жақсы, түсіндіңіздер...) Нақты түсініңіздер - сандардың өзіабсолютті кез келген болуы мүмкін, бүтін, бөлшек, теріс, кез келген, бірақ сандарды нөмірлеу- қатаң тәртіпте!
Прогрессия жалпы түрде қалай жазылады? Сұрақ жоқ! Қатардағы әрбір сан әріп түрінде жазылады. Арифметикалық прогрессияны белгілеу үшін әдетте әріп қолданылады а. Мүше нөмірі төменгі оң жақтағы индекспен көрсетіледі. Біз терминдерді үтірмен (немесе нүктелі үтірмен) келесідей жазамыз:
а 1, а 2, а 3, а 4, а 5, .....
а 1- бұл бірінші сан, а 3- үшінші және т.б. Керемет ештеңе жоқ. Бұл серияны қысқаша былай жазуға болады: (а н).
Прогрессиялар орын алады шекті және шексіз.
Түпкіліктіпрогрессияның шектеулі мүшелері бар. Бес, отыз сегіз, бәрібір. Бірақ бұл шекті сан.
Шексізпрогрессия - сіз болжағандай мүшелердің шексіз саны бар.)
Соңғы прогрессті келесідей қатар, барлық терминдер мен соңында нүкте арқылы жаза аласыз:
а 1, 2, 3, 4, 5.
Немесе көптеген мүшелер болса:
a 1, a 2, ... a 14, a 15.
Қысқа жазбада сіз мүшелер санын қосымша көрсетуіңіз керек. Мысалы (жиырма мүше үшін) келесідей:
(a n), n = 20
Шексіз прогрессияны осы сабақтағы мысалдардағыдай жолдың соңындағы эллипс арқылы тануға болады.
Енді сіз тапсырмаларды шеше аласыз. Тапсырмалар қарапайым, тек арифметикалық прогрессияның мағынасын түсінуге арналған.
Арифметикалық прогрессия бойынша тапсырмалар мысалдары.
Жоғарыда берілген тапсырманы егжей-тегжейлі қарастырайық:
1. Арифметикалық прогрессияның (a n) алғашқы алты мүшесін жаз, егер a 2 = 5, d = -2,5.
Тапсырманы түсінікті тілге аударамыз. Шексіз арифметикалық прогрессия берілген. Бұл прогрессияның екінші саны белгілі: a 2 = 5.Прогрессия айырмашылығы белгілі: d = -2,5.Бұл прогрессияның бірінші, үшінші, төртінші, бесінші және алтыншы мүшелерін табуымыз керек.
Түсінікті болу үшін есептің шарттарына сәйкес қатар жазамын. Бірінші алты мүше, мұндағы екінші мүше бес:
1, 5, 3, 4, 5, 6,....
а 3 = а 2 + г
Өрнекте алмастыру a 2 = 5Және d = -2,5. Минус туралы ұмытпаңыз!
а 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Үшінші мүше екіншіден кіші болып шықты. Барлығы логикалық. Егер сан алдыңғы саннан көп болса терісмән, яғни санның өзі алдыңғысынан аз болады. Прогрессия азайып келеді. Жарайды, ескерейік.) Қатарымыздың төртінші мүшесін санаймыз:
а 4 = а 3 + г
а 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
а 5 = а 4 + г
а 5=0+(-2,5)= - 2,5
а 6 = а 5 + г
а 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Сонымен, үшіншіден алтыншыға дейінгі мерзімдер есептелді. Нәтиже келесі серия болып табылады:
a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....
Бірінші мүшені табу қалды а 1белгілі екінші бойынша. Бұл басқа бағытта, солға қарай қадам.) Сонымен, арифметикалық прогрессияның айырмашылығы гқосуға болмайды а 2, А ала кету:
а 1 = а 2 - г
а 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
Міне бітті. Тапсырманың жауабы:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
Сөз арасында бұл міндетті шешкенімізді атап өткім келеді қайталанатынжол. Бұл қорқынышты сөз тек прогрессияның мүшесін іздеуді білдіреді алдыңғы (көрші) санға сәйкес.Төменде прогрессиямен жұмыс істеудің басқа жолдарын қарастырамыз.
Осы қарапайым тапсырмадан бір маңызды қорытынды жасауға болады.
Есіңізде болсын:
Егер біз кем дегенде бір мүшесін және арифметикалық прогрессияның айырмасын білсек, бұл прогрессияның кез келген мүшесін таба аламыз.
Сенің есіңде ме? Бұл қарапайым қорытынды осы тақырып бойынша мектеп курсының көптеген мәселелерін шешуге мүмкіндік береді. Барлық тапсырмалар үш негізгі параметрдің айналасында айналады: арифметикалық прогрессияның мүшесі, прогрессияның айырмасы, прогрессияның мүшесінің саны.Барлығы.
Әрине, барлық алдыңғы алгебра жойылмайды.) Прогрессияға теңсіздіктер, теңдеулер және басқалар қосылады. Бірақ прогрессияның өзіне сәйкес- барлығы үш параметрдің айналасында айналады.
Мысал ретінде осы тақырып бойынша танымал тапсырмаларды қарастырайық.
2. n=5, d = 0,4 және a 1 = 3,6 болса, ақырлы арифметикалық прогрессияны қатар түрінде жазыңыз.
Мұнда бәрі қарапайым. Барлығы қазірдің өзінде берілді. Арифметикалық прогрессияның мүшелері қалай есептелетінін есте сақтау керек, оларды санап, жазып алу керек. Тапсырма шарттарындағы сөздерді жіберіп алмаған жөн: «қорытынды» және « n=5". Бетіңіз толығымен көгергенше санамас үшін.) Бұл прогрессияда тек 5 (бес) мүше бар:
a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4
a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4
а 4 = а 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
а 5 = а 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Жауапты жазу қалды:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Тағы бір тапсырма:
3. 7 саны арифметикалық прогрессияның (a n) мүшесі болатынын анықтаңыз, егер a 1 = 4,1; d = 1,2.
Хм... Кім біледі? Бір нәрсені қалай анықтауға болады?
Қалай-қалай... Прогрессияны қатар түрінде жазып, онда жеті болатынын немесе болмайтынын көріңіз! Біз санаймыз:
a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3
a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5
а 4 = а 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Енді небәрі жеті екеніміз анық көрініп тұр сырғып өтті 6,5 пен 7,7 арасында! Жеті саны біздің сандар қатарымызға енген жоқ, демек, жеті берілген прогрессияның мүшесі болмайды.
Жауап: жоқ.
Міне, GIA нақты нұсқасына негізделген мәселе:
4. Арифметикалық прогрессияның бірнеше қатарынан мүшелері жазылады:
...; 15; X; 9; 6; ...
Міне, соңы мен басы жоқ жазылған серия. Мүше нөмірлері жоқ, айырмашылық жоқ г. Бәрі жақсы. Есепті шешу үшін арифметикалық прогрессияның мағынасын түсіну жеткілікті. Қарап көрейік және не мүмкін екенін көрейік білуосы сериядан? Үш негізгі параметр қандай?
Мүше нөмірлері? Мұнда бірде-бір сан жоқ.
Бірақ үш сан бар және - назар аударыңыз! - сөз «дәйекті»күйінде. Бұл сандар бос орынсыз, қатаң тәртіпте екенін білдіреді. Бұл қатарда екеуі бар ма? көршібелгілі сандар? Иә, менде! Бұлар 9 және 6. Сондықтан арифметикалық прогрессияның айырмасын есептей аламыз! Алтыдан азайт алдыңғысаны, яғни. тоғыз:
Ұсақ-түйектер қалды. X үшін алдыңғы сан қандай болады? Он бес. Бұл X-ті қарапайым қосу арқылы оңай табуға болатынын білдіреді. Арифметикалық прогрессияның айырмасын 15-ке қосыңыз:
Міне бітті. Жауап: x=12
Төмендегі мәселелерді өзіміз шешеміз. Ескерту: бұл есептер формулаларға негізделмеген. Тек арифметикалық прогрессияның мағынасын түсіну үшін.) Біз жай ғана сандар мен әріптер қатарын жазып аламыз, қарап, анықтаймыз.
5. Арифметикалық прогрессияның бірінші оң мүшесін табыңыз, егер a 5 = -3 болса; d = 1.1.
6. 5,5 саны арифметикалық прогрессияның (a n) мүшесі екені белгілі, мұндағы a 1 = 1,6; d = 1,3. Осы мүшенің n санын анықтаңыз.
7. Арифметикалық прогрессияда а 2 = 4 болатыны белгілі; a 5 = 15,1. 3 табыңыз.
8. Арифметикалық прогрессияның бірнеше қатарынан мүшелері жазылады:
...; 15,6; X; 3.4; ...
Х әрпімен көрсетілген прогрессияның мүшесін табыңыз.
9. Пойыз стансадан қозғала бастады, жылдамдықты минутына 30 метрге біркелкі арттырды. Бес минутта пойыздың жылдамдығы қандай болады? Жауабыңызды км/сағатпен беріңіз.
10. Арифметикалық прогрессияда a 2 = 5 болатыны белгілі; a 6 = -5. 1-ді табыңыз.
Жауаптар (ретсіз): 7,7; 7,5; 9.5; 9; 0,3; 4.
Бәрі ойдағыдай болды ма? Керемет! Келесі сабақтарда арифметикалық прогрессияны жоғары деңгейде меңгеруге болады.
Бәрі ойдағыдай болмады ма? Мәселе жоқ. IN Ерекше бөлім 555Бұл мәселелердің барлығы бір-бірден сұрыпталған.) Және, әрине, қарапайым практикалық әдіс сипатталған, ол бірден осындай тапсырмалардың шешімін бір қарағанда анық, анық көрсетеді!
Айтпақшы, пойыз пазлында адамдар жиі сүрінетін екі мәселе бар. Біреуі тек прогрессия тұрғысынан, ал екіншісі математика мен физикадағы кез келген есептерге ортақ. Бұл өлшемдердің бірінен екіншісіне аудармасы. Бұл проблемаларды қалай шешу керек екенін көрсетеді.
Бұл сабақта біз арифметикалық прогрессияның элементар мағынасын және оның негізгі параметрлерін қарастырдық. Бұл осы тақырып бойынша барлық дерлік мәселелерді шешуге жеткілікті. қосу гсандарға, қатар жазыңыз, бәрі шешіледі.
Саусақ ерітіндісі осы сабақтағы мысалдардағыдай қатардың өте қысқа бөліктерінде жақсы жұмыс істейді. Егер қатар ұзағырақ болса, есептеулер күрделене түседі. Мысалы, егер сұрақтағы 9 есепте біз ауыстырамыз «бес минут»қосулы «отыз бес минут»мәселе айтарлықтай нашарлайды.)
Сондай-ақ мәні бойынша қарапайым, бірақ есептеулер бойынша абсурдтық тапсырмалар бар, мысалы:
Арифметикалық прогрессия (a n) берілген. a 1 =3 және d=1/6 болса, 121-ді табыңыз.
Сонда не, 1/6-ны көп, көп есе қосамыз ба?! Сіз өзіңізді өлтіре аласыз!?
Сіз жасай аласыз.) Егер сіз осындай тапсырмаларды бір минут ішінде шешуге болатын қарапайым формуланы білмесеңіз. Бұл формула келесі сабақта болады. Және бұл мәселе сонда шешіледі. Бір минуттан кейін.)
Егер сізге бұл сайт ұнаса...
Айтпақшы, менде тағы бірнеше қызықты сайттар бар.)
Мысалдар шешуге жаттығып, өз деңгейіңізді білуге болады. Жедел тексеру арқылы тестілеу. Үйренейік - қызығушылықпен!)
Функциялармен және туындылармен танысуға болады.
Арифметикалық және геометриялық прогрессиялар
Теориялық ақпарат
Теориялық ақпарат
Арифметикалық прогрессия |
Геометриялық прогрессия |
|
Анықтама |
Арифметикалық прогрессия а нәрбір мүшесі екіншіден бастап сол санға қосылған алдыңғы мүшеге тең болатын тізбек г (г- прогрессияның айырмашылығы) |
Геометриялық прогрессия б ннөлдік емес сандар тізбегі, олардың әрбір мүшесі екіншісінен бастап алдыңғы мүшесінің сол санға көбейтіндісіне тең. q (q- прогрессияның бөлгіші) |
Қайталану формуласы |
Кез келген табиғи үшін n |
Кез келген табиғи үшін n |
Формула n-ші мүшесі |
a n = a 1 + d (n – 1) |
b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0 |
| Сипаттама қасиеті |  |
|
| Бірінші n мүшесінің қосындысы |  |
 |
Түсініктемелері бар тапсырмалар мысалдары
1-тапсырма
Арифметикалық прогрессияда ( а н) а 1 = -6, а 2
n-ші мүшесінің формуласы бойынша:
а 22 = а 1+ d (22 - 1) = а 1+ 21 г
Шарт бойынша:
а 1= -6, онда а 22= -6 + 21 d .
Прогрессиялардың айырмашылығын табу керек:
d = а 2 – а 1 = -8 – (-6) = -2
а 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Жауап: а 22 = -48.
2-тапсырма
Геометриялық прогрессияның бесінші мүшесін табыңыз: -3; 6;.....
1-әдіс (n-мүшелік формуланы қолдану)
Геометриялық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласы бойынша:
b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
Өйткені б 1 = -3,
2-әдіс (қайталанатын формуланы пайдалану)
Прогрессияның бөлгіші -2 (q = -2) болғандықтан, онда:
б 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
б 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
б 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Жауап: б 5 = -48.
3-тапсырма
Арифметикалық прогрессияда ( a n ) a 74 = 34; а 76= 156. Осы прогрессияның жетпіс бесінші мүшесін табыңыз.
Арифметикалық прогрессия үшін сипаттамалық қасиет пішінге ие 
.
Бұдан былай шығады:
.
Мәліметтерді формулаға ауыстырайық:
Жауабы: 95.
4-тапсырма
Арифметикалық прогрессияда ( a n ) a n= 3n - 4. Алғашқы он жеті мүшенің қосындысын табыңыз.
Арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысын табу үшін екі формула қолданылады:
.
Бұл жағдайда олардың қайсысын пайдалану ыңғайлы?
Шарт бойынша бастапқы прогрессияның n-ші мүшесінің формуласы белгілі ( а н) а н= 3n - 4. Сіз бірден таба аласыз және а 1, Және а 16таппай d. Сондықтан біз бірінші формуланы қолданамыз.
Жауабы: 368.
5-тапсырма
Арифметикалық прогрессияда ( а н) а 1 = -6; а 2= -8. Прогрессияның жиырма екінші мүшесін табыңыз.
n-ші мүшесінің формуласы бойынша:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = а 1+ 21күн.
Шарт бойынша, егер а 1= -6, онда а 22= -6 + 21күн. Прогрессиялардың айырмашылығын табу керек:
d = а 2 – а 1 = -8 – (-6) = -2
а 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Жауап: а 22 = -48.
6-тапсырма
Геометриялық прогрессияның бірнеше қатарынан мүшелері жазылады:
Х деп белгіленген прогрессияның мүшесін табыңыз.
Шешу кезінде n-ші мүшесінің формуласын қолданамыз b n = b 1 ∙ q n - 1геометриялық прогрессиялар үшін. Прогрессияның бірінші мүшесі. Прогрессияның q бөлімін табу үшін прогрессияның берілген мүшелерінің кез келгенін алып, алдыңғысына бөлу керек. Біздің мысалда біз алуға және бөлуге болады. q = 3 болатынын аламыз. Берілген геометриялық прогрессияның үшінші мүшесін табу керек болғандықтан, формулада n орнына 3-ті қоямыз.
Табылған мәндерді формулаға қойып, мынаны аламыз:
.
Жауап: .
7-тапсырма
n-ші мүшесінің формуласымен берілген арифметикалық прогрессияның ішінен шарты орындалатынын таңдаңыз. а 27 > 9:
Берілген шарт прогрессияның 27 мүшесі үшін орындалуы керек болғандықтан, төрт прогрессияның әрқайсысында n орнына 27-ні қоямыз. 4-ші прогрессте біз аламыз:
.
Жауабы: 4.
8-тапсырма
Арифметикалық прогрессияда а 1= 3, d = -1,5. Теңсіздік орындалатын n-дің ең үлкен мәнін көрсетіңіз а н > -6.