ax 2 + bx + 0 0 түріндегі (> белгісінің орнына, әрине, кез келген басқа теңсіздік белгісі болуы мүмкін). Бізде мұндай теңсіздіктерді шешуге қажетті барлық теориялық фактілер бар, оны қазір көретін боламыз.
1-мысал. Теңсіздікті шешу:
а) x 2 - 2x - 3 >0; б) х 2 - 2х - 3< 0;
в) х 2 - 2х - 3 > 0; г) х 2 - 2х - 3< 0.
Шешім,
а) Суретте көрсетілген у = x 2 - 2x - 3 параболасын қарастырайық. 117.
x 2 - 2x - 3 > 0 теңсіздігін шешу х-тің қандай мәндерінде парабола нүктелерінің ординаталары оң болады деген сұраққа жауап беруді білдіреді.
y > 0, яғни функция графигі х осінен жоғары, х нүктесінде орналасқанын ескереміз.< -1 или при х > 3.
Бұл теңсіздіктің шешімдері барлық ашық нүктелер екенін білдіреді сәуле(- 00 , - 1), сондай-ақ ашық сәуленің барлық нүктелері (3, +00).
U белгісін (жиындарды біріктіру белгісі) пайдаланып, жауапты былай жазуға болады: (-00, - 1) U (3, +00). Дегенмен, жауапты былай жазуға болады: x< - 1; х > 3.
б) x 2 - 2x - 3 теңсіздігі< 0, или у < 0, где у = х 2 - 2х - 3, также можно решить с помощью рис. 117: кесте x осінен төмен орналасқан, егер -1< х < 3. Поэтому решениями данного неравенства служат все точки интервала (- 1, 3).
в) x 2 - 2x - 3 > 0 теңсіздігі x 2 - 2x - 3 > 0 теңсіздігінен ерекшеленеді, себебі жауапта x 2 - 2x - 3 = 0 теңдеуінің түбірлері де болуы керек, яғни x = - нүктелері. 1
және x = 3. Сонымен, бұл қатаң емес теңсіздіктің шешімдері сәуленің барлық нүктелері (-00, - 1], сонымен қатар сәуленің барлық нүктелері болып табылады.
Практикалық математиктер әдетте былай дейді: ax 2 + bx + c > 0 теңсіздігін шешкенде квадраттық функцияның парабола графигін неге мұқият салу керек?
y = ax 2 + bx + c (1-мысалда орындалғандай)? Графиктің схемалық нобайын жасау жеткілікті, ол үшін сізге жай табу керек тамырларквадрат үшмүшені (параболаның х осімен қиылысу нүктесі) және параболаның тармақтарының жоғары немесе төмен бағытталғанын анықтаңыз. Бұл схемалық нобай теңсіздікті шешудің көрнекі түсіндірмесін береді.
2-мысал. 2х 2 + 3х + 9 теңсіздігін шеш< 0.
Шешім.
1) Квадрат үшмүшесінің түбірлерін табыңыз - 2x 2 + 3x + 9: x 1 = 3; x 2 = - 1,5.
2) у = -2x 2 + 3x + 9 функциясының графигі қызметін атқаратын парабола х осін 3 және - 1,5 нүктелерінде қиып өтеді, ал параболаның тармақтары төмен бағытталған, өйткені ең жоғары коэффициент- теріс сан - 2. Суретте. 118 сызбаның нобайын көрсетеді.
3) суретті пайдалану. 118, қорытынды жасаймыз:< 0 на тех промежутках оси х, где график расположен ниже оси х, т.е. на открытом луче (-оо, -1,5) или на открытом луче C, +оо).
Жауабы: x< -1,5; х > 3.
3-мысал. 4x 2 - 4x + 1 теңсіздігін шешіңіз< 0.
Шешім.
1) 4x 2 - 4x + 1 = 0 теңдеуінен табамыз.
2) Шаршы үшмүшенің бір түбірі бар; бұл квадрат үшмүшенің графигі қызметін атқаратын парабола х осімен қиылыспайды, бірақ оны нүктесінде жанасады дегенді білдіреді. Парабола тармақтары жоғары бағытталған (119-сурет).
3) Суретте берілген геометриялық модельді қолдану. 119, берілген теңсіздік тек нүктеде ғана орындалатынын анықтаймыз, өйткені х-тің барлық басқа мәндері үшін графтың ординаталары оң болады.
Жауап: .
Сіз 1, 2, 3 мысалдарда өте нақты екенін байқаған боларсыз алгоритмквадрат теңсіздіктерді шешу, оны формалдап көрейік.
ax 2 + bx + 0 0 квадрат теңсіздігін шешу алгоритмі (ax 2 + bx + c)< 0)
Бұл алгоритмнің бірінші қадамы квадрат үшмүшенің түбірлерін табу болып табылады. Бірақ тамырлар жоқ болуы мүмкін, сондықтан біз не істей аламыз? Сонда алгоритм қолданылмайды, яғни біз басқаша ойлауымыз керек. Бұл аргументтердің кілті келесі теоремалар арқылы берілген.
Басқаша айтқанда, егер Д< 0, а >0 болса, онда ax 2 + bx + c > 0 теңсіздігі барлық х үшін орындалады; керісінше, ax 2 + bx + c теңсіздігі< 0 не имеет решений.
Дәлелдеу.
Кесте функциялары y = ax 2 + bx + c - тармақтары жоғары бағытталған (a > 0 болғандықтан) және х осімен қиылыспайтын парабола, өйткені квадрат үшмүшенің шарты бойынша түбірі жоқ. График суретте көрсетілген. 120. Барлық х үшін график х осінен жоғары орналасқанын көреміз, яғни барлық х үшін ax 2 + bx + c > 0 теңсіздігі орындалады, бұл дәлелдеуді қажет етеді.
Басқаша айтқанда, егер Д< 0, а < 0, то неравенство ах 2 + bх + с < 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах 2 + bх + с >0 шешімі жоқ.
Дәлелдеу. y = ax 2 + bx +c функциясының графигі тармақтары төмен бағытталған парабола (себебі a< 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 121. Видим, что при всех х график расположен ниже оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах 2 + bх + с < 0, что и требовалось доказать.
4-мысал. Теңсіздікті шешу:
а) 2x 2 - x + 4 >0; б) -x 2 + 3x - 8 >0.
а) 2х 2 - x + 4 шаршы үшмүшесінің дискриминантын табыңыз. Бізде D = (-1) 2 - 4 2 4 = - 31< 0.
Үшмүшенің жетекші коэффициенті (2 саны) оң.
Бұл 1-теорема бойынша барлық x үшін 2x 2 - x + 4 > 0 теңсіздігі орындалады, яғни берілген теңсіздіктің шешімі бүтін (-00, + 00) болады.
б) Квадрат үшмүшесінің дискриминантын табыңыз - x 2 + 3x - 8. Бізде D = 32 - 4 (- 1) (- 8) = - 23< 0. Старший коэффициент трехчлена (число - 1) отрицателен. Следовательно, по теореме 2, при всех х выполняется неравенство - х 2 + Зx - 8 < 0. Это значит, что неравенство - х 2 + Зх - 8 0 не выполняется ни при каком значении х, т. е. заданное неравенство не имеет решений.
Жауабы: а) (-00, + 00); б) шешімдер жоқ.
Келесі мысалда квадрат теңсіздіктерді шешу үшін қолданылатын пайымдаудың басқа әдісін енгіземіз.
5-мысал. 3x 2 - 10x + 3 теңсіздігін шешіңіз< 0.
Шешім. Шыдайық квадрат үшмүше 3x 2 - көбейткіштер үшін 10x + 3. Үшмүшенің түбірлері 3 және сандары, сондықтан ax 2 + bx + c = a (x - x 1)(x - x 2) көмегімен 3x 2 - 10x + 3 = 3(x - 3) (x - 3) аламыз. x - )
Үшмүшенің түбірлерін сан түзуінде белгілейік: 3 және (122-сурет).
x > 3 болсын; онда x-3>0 және x->0, демек 3(x - 3)(x - ) көбейтіндісі оң болады. Әрі қарай, рұқсат етіңіз< х < 3; тогда x-3< 0, а х- >0. Демек, 3(x-3)(x-) көбейтіндісі теріс. Соңында x болсын<; тогда x-3< 0 и x- < 0. Но в таком случае произведение
3(x -3)(x -) оң.
Дәлелдеуді қорытындылай келе, біз мынадай қорытындыға келеміз: 3x 2 - 10x + 3 квадрат үшмүшесінің белгілері суретте көрсетілгендей өзгереді. 122. Бізді х квадрат үшмүшесінің теріс мәндер қабылдайтыны қызықтырады. Суреттен. 122 қорытынды жасаймыз: 3x 2 - 10x + 3 үшмүшелік квадраты (, 3) аралығынан х-тің кез келген мәні үшін теріс мәндерді қабылдайды.
Жауабы (, 3), немесе< х < 3.
Түсініктеме. 5-мысалда қолданылған пайымдау әдісі әдетте интервалдар әдісі (немесе интервалдар әдісі) деп аталады. Ол математикада шешу үшін белсенді қолданылады ұтымдытеңсіздіктер 9-сыныпта интервал әдісін толығырақ зерттейміз.
6-мысал. p параметрінің қандай мәндерінде квадрат теңдеу x 2 - 5x + p 2 = 0 болады:
а) екі түрлі түбірі бар;
б) бір тамыры бар;
в) тамыры жоқ па?
Шешім. Тамырлар саны квадрат теңдеуоның дискриминантының D белгісіне тәуелді. Бұл жағдайда D = 25 - 4p 2 табамыз.
а) Квадрат теңдеудің екі түрлі түбірі бар, егер D>0 болса, онда есеп 25 - 4р 2 > 0 теңсіздігін шешуге келтіріледі. Осы теңсіздіктің екі жағын да -1-ге көбейтейік (таңбасын өзгертуді ұмытпай. теңсіздік). 4p 2 - 25 эквивалентті теңсіздігін аламыз< 0. Далее имеем 4 (р - 2,5) (р + 2,5) < 0.
4(p - 2,5) (p + 2,5) өрнектің белгілері суретте көрсетілген. 123.
4(p - 2,5)(p + 2,5) теңсіздігі туралы қорытынды жасаймыз.< 0 выполняется для всех значений р из интервала (-2,5; 2,5). Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет два различных корня.
б) квадрат теңдеубір түбірі бар, егер D - 0 болса.
Жоғарыда белгілегеніміздей, p = 2,5 немесе p = -2,5 кезінде D = 0.
p параметрінің осы мәндері үшін бұл квадрат теңдеудің бір ғана түбірі бар.
в) Квадрат теңдеудің түбірі болмайды, егер D< 0. Решим неравенство 25 - 4р 2 < 0.
Біз 4p 2 аламыз - 25 > 0; 4 (p-2,5)(p + 2,5)>0, қайдан (123-суретті қараңыз) б< -2,5; р >2.5. p параметрінің осы мәндері үшін бұл квадрат теңдеудің түбірі жоқ.
Жауабы: а) p (-2,5, 2,5);
б) p = 2,5 немесе = -2,5 кезінде;
в) б< - 2,5 или р > 2,5.
Мордкович А.Г., Алгебра. 8-сынып: Оқулық. жалпы білім беруге арналған мекемелер - 3-бас., қайта қаралған. - М.: Мнемосине, 2001. - 223 б.: сырқат.
Оқушыларға көмек онлайн, Математика 8 сынып скачать, күнтізбелік және тақырыптық жоспарлау
Интервал әдісі– бөлшек рационал теңсіздіктерді шешудің қарапайым тәсілі. Бұл айнымалыға тәуелді рационал (немесе бөлшек-рационал) өрнектері бар теңсіздіктердің атауы.
1. Мысалы, келесі теңсіздікті қарастырайық
Интервал әдісі оны бірнеше минут ішінде шешуге мүмкіндік береді.
Бұл теңсіздіктің сол жағында – бөлшек рационал функция. Рационал, өйткені оның құрамында түбірлер, синустар немесе логарифмдер жоқ - тек рационал өрнектер. Оң жақта нөл.
Интервал әдісі бөлшек рационал функцияның келесі қасиетіне негізделген.
Бөлшек рационал функция таңбаны тек нөлге тең немесе жоқ нүктелерде өзгерте алады.
Квадрат үшмүшенің көбейткіштерге жіктелуін, яғни түрінің өрнегін еске түсірейік.
Мұндағы және квадрат теңдеудің түбірлері.
Біз ось жүргіземіз және алым мен бөлгіш нөлге келетін нүктелерді орналастырамыз.
Бөлгіштің нөлдері және тесілген нүктелер, өйткені бұл нүктелерде теңсіздіктің сол жағындағы функция анықталмаған (нөлге бөлуге болмайды). Алым және - нөлдері көлеңкеленген, өйткені теңсіздік қатаң емес. Қашан және біздің теңсіздігіміз қанағаттандырылады, өйткені оның екі жағы да нөлге тең.
Бұл нүктелер осьтерді аралықтарға бөледі.
Осы интервалдардың әрқайсысы бойынша теңсіздігіміздің сол жағындағы бөлшек рационал функциясының таңбасын анықтайық. Бөлшек рационал функциясы нөлге тең немесе жоқ нүктелерде ғана таңбасын өзгерте алатынын есте ұстаймыз.
Бұл алым немесе бөлгіш нөлге баратын нүктелер арасындағы аралықтардың әрқайсысында теңсіздіктің сол жағындағы өрнектің таңбасы тұрақты болады - «плюс» немесе «минус».
Сондықтан әрбір осындай интервалдағы функцияның таңбасын анықтау үшін осы интервалға жататын кез келген нүктені аламыз. Бізге ыңғайлысы.
. Мысалы, теңсіздіктің сол жағындағы өрнектің таңбасын тексеріңіз. «Жақшалардың» әрқайсысы теріс. Сол жағында белгі бар.
Келесі аралық: . мекенжайындағы белгіні тексерейік. Сол жақ таңбасын өзгерткенін байқаймыз.
Алайық. Өрнек оң болғанда - демек, ол бүкіл интервалда оң болады.
Теңсіздіктің сол жағы теріс болғанда."> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}
Соңында, class="tex" alt="x>7
Өрнектің қандай аралықтарда оң болатынын таптық. Жауапты жазу ғана қалды:
Жауап: . Назар аударыңыз: белгілер интервалдар арасында ауысып отырады. Бұл болды, өйткені.
әрбір нүктеден өткенде сызықтық факторлардың дәл біреуі таңбаны өзгертті, ал қалғандары оны өзгеріссіз қалдырды
Интервалдық әдіс өте қарапайым екенін көреміз. Бөлшек-рационал теңсіздікті интервал әдісі арқылы шешу үшін оны келесі түрге келтіреміз: Немесе"> !} class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle P\left(x \оң))(\displaystyle Q\left(x \оң)) > 0
, немесе , немесе .
(сол жағында бөлшек рационал функция, оң жағында нөл).
Содан кейін сан түзуінде алым немесе бөлгіш нөлге келетін нүктелерді белгілейміз.
Бұл нүктелер бүкіл сан түзуін интервалдарға бөледі, олардың әрқайсысында бөлшек-рационал функция таңбасын сақтайды.
Мұны берілген интервалға жататын кез келген нүктедегі өрнектің таңбасын тексеру арқылы орындаймыз. Осыдан кейін біз жауапты жазамыз. Міне бітті.
Бірақ сұрақ туындайды: белгілер әрқашан кезектесе ме? Жоқ, әрқашан емес! Сіз абай болуыңыз керек және белгілерді механикалық және ойланбай қоймаңыз.
2. Тағы бір теңсіздікті қарастырайық.
Class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \сол(x-1 \оң) \ left(x-3 \right))>0"> !}
Нүктелерді қайтадан оське қойыңыз. және нүктелері тесілген, себебі олар бөлгіштің нөлдері. Теңсіздік қатаң болғандықтан, нүкте де кесілген.
Алым оң болғанда, бөлгіштегі екі көбейткіш те теріс болады. Мұны берілген аралықтан кез келген санды алу арқылы оңай тексеруге болады, мысалы, . Сол жағында белгі бар:
Алым оң болғанда; Бөлгіштегі бірінші фактор оң, екінші фактор теріс. Сол жағында белгі бар:
Жағдай бірдей! Алым оң, бөлгіштегі бірінші көбейткіш оң, екіншісі теріс. Сол жағында белгі бар:
Соңында, class="tex" alt="x>3) көмегімен">
все множители положительны, и левая часть имеет знак :!} 
Өрнектің қандай аралықтарда оң болатынын таптық. Жауапты жазу ғана қалды:
Неліктен белгілердің кезектесуі бұзылды? Өйткені нүктеден өткенде көбейткіш оған «жауапты» болады белгісін өзгертпеді. Демек, теңсіздігіміздің бүкіл сол жағы таңбасын өзгерткен жоқ.
Қорытынды: егер сызықтық көбейткіш жұп дәреже болса (мысалы, квадрат), онда нүкте арқылы өткенде сол жақтағы өрнектің таңбасы өзгермейді. Тақ дәрежеде белгі, әрине, өзгереді.
3. Күрделі істі қарастырайық. Оның алдыңғысынан айырмашылығы: теңсіздік қатаң емес:
Сол жағы бұрынғымен бірдей алдыңғы тапсырма. Белгілердің суреті бірдей болады:
Мүмкін жауап бірдей болар? Жоқ! Шешім қосылады Бұл теңсіздіктің сол және оң жағында нөлге тең болғандықтан орын алады, сондықтан бұл нүкте шешім болып табылады.
Өрнектің қандай аралықтарда оң болатынын таптық. Жауапты жазу ғана қалды:
Бұл жағдай математикадан Бірыңғай мемлекеттік емтиханға есептер шығаруда жиі кездеседі. Міне, талапкерлер тұзаққа түсіп, ұпай жоғалтады. Сақ болыңыз!
4. Алым немесе бөлгішті сызықтық көбейткіштерге бөлу мүмкін болмаса не істеу керек? Мына теңсіздікті қарастырайық:
Квадрат үшмүшені көбейткіштерге бөлуге болмайды: дискриминант теріс, түбірлері жоқ. Бірақ бұл жақсы! Бұл бәрі үшін өрнектің белгісі бірдей, нақтырақ айтқанда, оң дегенді білдіреді. Бұл туралы толығырақ квадраттық функциялардың қасиеттері туралы мақаладан оқи аласыз.
Ал енді теңсіздігіміздің екі жағын барлығына оң мәнге бөлуге болады. Эквивалентті теңсіздікке келейік:
Бұл интервал әдісі арқылы оңай шешіледі.
Назар аударыңыз, біз теңсіздіктің екі жағын да оң екенін анық білетін мәнге бөлдік. Әрине, жалпы алғанда, теңсіздікті көбейтуге немесе бөлуге болмайды айнымалы мән, оның белгісі белгісіз.
5 . Қарапайым болып көрінетін тағы бір теңсіздікті қарастырайық:
Мен оны жай ғана көбейткім келеді. Бірақ біз қазірдің өзінде ақылдымыз және мұны істемейміз. Өйткені, бұл оң және теріс болуы мүмкін. Ал егер теңсіздіктің екі жағы да теріс мәнге көбейтілсе, теңсіздіктің таңбасы өзгеретінін білеміз.
Біз мұны басқаша жасаймыз - біз бәрін бір бөлікке жинап, оны ортақ бөлгішке жеткіземіз. Оң жағы нөл болып қалады:
Class="tex" alt="\genfrac())()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}
Содан кейін - өтініш беріңіз интервал әдісі.
Теңсіздіктер сызықтық деп аталадысол және оң жақтары белгісіз шамаға қатысты сызықтық функциялар. Оларға, мысалы, теңсіздіктер жатады:
2х-1-x+3; 7x0;
5 >4 - 6x 9- x< x + 5 .
1) қатаң теңсіздіктер: ax +b>0немесе балта+б<0
2) Қатаң емес теңсіздіктер: ax +b≤0немесе балта+б≫ 0
Осы тапсырманы талдап көрейік. Параллелограмның бір қабырғасы 7см. Параллелограммның периметрі 44 см-ден үлкен болуы үшін екінші қабырғасының ұзындығы қандай болуы керек?
Қажетті жағы болсын Xсм. Бұл жағдайда параллелограмның периметрі (14 + 2х) см арқылы көрсетіледі 14 + 2x > 44 параллелограммның периметрі есебінің математикалық моделі. Осы теңсіздіктегі айнымалыны ауыстырсақ Xмысалы, 16 саны бойынша, онда 14 + 32 > 44 дұрыс сандық теңсіздігін аламыз. Бұл жағдайда олар 16 саны 14 + 2x > 44 теңсіздігінің шешімі екенін айтады.
Теңсіздікті шешуайнымалыны шын сандық теңсіздікке айналдыратын мәнін атаңыз.
Демек, сандардың әрқайсысы 15,1; 20;73 14 + 2x > 44 теңсіздігінің шешімі ретінде әрекет етеді, бірақ, мысалы, 10 саны оның шешімі емес.
Теңсіздікті шешуоның барлық шешімдерін орнату немесе шешімдердің жоқтығын дәлелдеу дегенді білдіреді.
Теңсіздіктің шешімін тұжырымдау теңдеудің түбірін тұжырымдауға ұқсас. Дегенмен, «теңсіздіктің түбірін» белгілеу әдеттегідей емес.
Сандық теңдіктердің қасиеттері теңдеулерді шешуге көмектесті. Сол сияқты, сандық теңсіздіктердің қасиеттері теңсіздіктерді шешуге көмектеседі.
Теңдеуді шешкен кезде оны басқа, қарапайым, бірақ берілген теңдеумен алмастырамыз. Теңсіздіктердің жауабы да дәл осылай табылады. Теңдеуді эквивалентті теңдеуге өзгерткенде, олар теңдеудің бір жағынан қарама-қарсы жаққа мүшелерді көшіру және теңдеудің екі жағын бірдей нөлдік емес санға көбейту туралы теореманы пайдаланады. Теңсіздікті шешу кезінде оның теңдеуден айтарлықтай айырмашылығы бар, ол теңдеудің кез келген шешімін бастапқы теңдеуге ауыстыру арқылы ғана тексеруге болатындығынан тұрады. Теңсіздіктерде бұл әдіс жоқ, өйткені бастапқы теңсіздікке сансыз шешімдерді ауыстыру мүмкін емес. Сондықтан маңызды тұжырымдама бар, бұл көрсеткілер<=>эквивалентті немесе баламалы түрлендірулердің белгісі болып табылады. Трансформация деп аталады эквивалент,немесе эквивалент, егер олар шешімдер жиынын өзгертпесе.
Теңсіздіктерді шешудің ұқсас ережелері.
Кез келген мүшені теңсіздіктің бір бөлігінен екіншісіне оның таңбасын қарама-қарсысымен ауыстырсақ, осыған тең теңсіздікті аламыз.
Егер теңсіздіктің екі жағы да бірдей оң санға көбейтілсе (бөлінсе), осыған тең теңсіздікті аламыз.
Егер теңсіздіктің екі жағы бірдей теріс санға көбейтілсе (бөлінсе), теңсіздік таңбасын қарама-қарсысына ауыстырса, берілгенге тең теңсіздікті аламыз.
Осыларды пайдалану ережелерКелесі теңсіздіктерді есептейік.
1) Теңсіздікті талдап көрейік 2x - 5 > 9.
Бұл сызықтық теңсіздік, оның шешімін тауып, негізгі ұғымдарды талқылаймыз.
2x - 5 > 9<=>2x>14(5 қарама-қарсы таңбамен сол жаққа жылжытылды), содан кейін біз бәрін 2-ге бөлдік және бізде бар x > 7. Шешімдердің жиынын оське салайық x
Біз оң бағытталған сәулені алдық. Шешімдер жиынын не теңсіздік түрінде белгілейміз x > 7, немесе x(7; ∞) интервалы түрінде. Бұл теңсіздіктің нақты шешімі қандай? Мысалы, x = 10бұл теңсіздіктің ерекше шешімі, x = 12- бұл да осы теңсіздіктің ерекше шешімі.
Көптеген ішінара шешімдер бар, бірақ біздің міндетіміз барлық шешімдерді табу. Және әдетте сансыз шешімдер бар.
Оны реттеп көрейік 2 мысал:
2) Теңсіздікті шешу 4a - 11 > a + 13.
Оны шешейік: Аоны бір жағына жылжытыңыз 11 оны екінші жағына жылжытыңыз, біз 3a аламыз< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 теңсіздік формасы болады а<8 .
4a - 11 > a + 13<=>3а< 24 <=>а< 8 .
Біз жиынтықты да көрсетеміз а< 8 , бірақ қазірдің өзінде осьте А.
Жауапты не теңсіздік түрінде жазамыз а< 8, либо А(-∞;8), 8 қосылмайды.
Құпиялықты сақтау біз үшін маңызды. Осы себепті біз сіздің ақпаратыңызды қалай пайдаланатынымызды және сақтайтынымызды сипаттайтын Құпиялылық саясатын әзірледік. Құпиялылық тәжірибелерімізді қарап шығыңыз және сұрақтарыңыз болса, бізге хабарлаңыз.
Жеке ақпаратты жинау және пайдалану
Жеке ақпарат белгілі бір адамды анықтау немесе онымен байланысу үшін пайдаланылуы мүмкін деректерді білдіреді.
Бізбен байланысқан кез келген уақытта сізден жеке ақпаратыңызды беру сұралуы мүмкін.
Төменде біз жинай алатын жеке ақпарат түрлерінің және мұндай ақпаратты қалай пайдалана алатынымыздың кейбір мысалдары берілген.
Біз қандай жеке ақпаратты жинаймыз:
- Сайтта өтініш жіберген кезде біз әртүрлі ақпаратты, соның ішінде атыңызды, телефон нөміріңізді, электрондық пошта мекенжайыңызды және т.б. жинай аламыз.
Жеке ақпаратыңызды қалай қолданамыз:
- Біз жинаған жеке ақпаратСізбен байланысуға және бірегей ұсыныстар, жарнамалық акциялар және басқа оқиғалар мен алдағы оқиғалар туралы хабарлауға мүмкіндік береді.
- Кейде біз сіздің жеке ақпаратыңызды маңызды хабарламалар мен хабарламаларды жіберу үшін пайдалана аламыз.
- Сондай-ақ біз жеке ақпаратты біз ұсынатын қызметтерді жақсарту және қызметтерімізге қатысты ұсыныстар беру үшін аудиттер жүргізу, деректерді талдау және әртүрлі зерттеулер сияқты ішкі мақсаттарда пайдалана аламыз.
- Егер сіз ұтыс ойынына, конкурсқа немесе ұқсас науқанға қатыссаңыз, біз сіз берген ақпаратты осындай бағдарламаларды басқару үшін пайдалана аламыз.
Ақпаратты үшінші тұлғаларға ашу
Біз сізден алынған ақпаратты үшінші тұлғаларға жария етпейміз.
Ерекшеліктер:
- Қажет болған жағдайда - заңға сәйкес, сот тәртібімен, сот ісін жүргізу және/немесе қоғамдық өтініштер немесе өтініштер негізінде мемлекеттік органдарРесей Федерациясының аумағында - жеке ақпаратыңызды ашыңыз. Сондай-ақ, мұндай ашу қауіпсіздік, құқық қорғау немесе басқа да қоғамдық маңызды мақсаттар үшін қажет немесе сәйкес екенін анықтасақ, сіз туралы ақпаратты аша аламыз.
- Қайта ұйымдастыру, біріктіру немесе сату жағдайында біз жинаған жеке ақпаратты тиісті мұрагерге үшінші тарапқа бере аламыз.
Жеке ақпаратты қорғау
Біз сіздің жеке ақпаратыңызды жоғалудан, ұрланудан және теріс пайдаланудан, сондай-ақ рұқсатсыз кіруден, жария етуден, өзгертуден және жоюдан қорғау үшін сақтық шараларын, соның ішінде әкімшілік, техникалық және физикалық шараларды қабылдаймыз.
Компания деңгейінде құпиялылығыңызды құрметтеу
Сіздің жеке ақпаратыңыздың қауіпсіз болуын қамтамасыз ету үшін біз қызметкерлерге құпиялылық пен қауіпсіздік стандарттарын хабарлаймыз және құпиялылық тәжірибесін қатаң түрде орындаймыз.
Мысалы, теңсіздік \(x>5\) өрнегі болып табылады.
Теңсіздіктердің түрлері:
Егер \(a\) және \(b\) сандар немесе , онда теңсіздік шақырылады сандық. Бұл шын мәнінде екі санды салыстыру. Мұндай теңсіздіктер бөлінеді адалЖәне опасыз.
Мысалы:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);
\(17+3\geq 115\) қате сандық теңсіздік, себебі \(17+3=20\) және \(20\) \(115\) мәнінен кіші (және одан үлкен немесе тең емес) .
Егер \(a\) және \(b\) айнымалысы бар өрнектер болса, онда бізде бар айнымалысы бар теңсіздік. Мұндай теңсіздіктер мазмұнына қарай түрлерге бөлінеді:
|
\(2x+1\geq4(5-x)\) |
Бірінші қуатқа ғана айнымалы |
|||
|
\(3x^2-x+5>0\) |
Екінші дәрежеде (шаршы) айнымалы бар, бірақ одан жоғары дәрежелер (үшінші, төртінші, т.б.) жоқ. |
|||
|
\(\log_(4)((x+1))<3\) |
||||
|
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\) |
Теңсіздіктің шешімі қандай?
Егер теңсіздікке айнымалының орнына санды қойсаңыз, ол санға айналады.
Егер х үшін берілген мән бастапқы теңсіздікті шынайы санға айналдырса, онда ол деп аталады теңсіздіктің шешімі. Олай болмаса, бұл мән шешім емес. Және солай теңсіздікті шешу– оның барлық шешімдерін табу керек (немесе олардың жоқтығын көрсету).
Мысалы,\(7\) санын \(x+6>10\) сызықтық теңсіздігіне қойсақ, дұрыс сандық теңсіздікті аламыз: \(13>10\). Ал \(2\) орнына қойсақ, \(8>10\) қате сандық теңсіздік пайда болады. Яғни, \(7\) бастапқы теңсіздіктің шешімі, бірақ \(2\) емес.
Алайда \(x+6>10\) теңсіздігінің басқа шешімдері бар. Шынында да, \(5\), және \(12\), \(138\) орнына қойғанда дұрыс сандық теңсіздіктерді аламыз... Және барлық мүмкін болатын шешімдерді қалай табуға болады? Бұл үшін олар пайдаланады Біздің жағдайымыз үшін бізде:
\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)
Яғни, төрттен жоғары кез келген сан бізге сәйкес келеді. Енді жауабын жазу керек. Теңсіздіктердің шешімдері әдетте сандық түрде жазылады, оларды қосымша көлеңкелеу арқылы сандар осінде белгілейді. Біздің жағдайда бізде:
Жауап:
\(x\in(4;+\infty)\)
Теңсіздік белгісі қашан өзгереді?
Студенттер шынымен «жақсы көретін» теңсіздіктердің бір үлкен тұзағы бар:
Теңсіздікті теріс санға көбейткенде (немесе бөлгенде) ол кері болады («көп» «кем», «көп немесе тең» «кіші немесе тең» және т.б.)
Неліктен бұл болып жатыр? Мұны түсіну үшін \(3>1\) сандық теңсіздігінің түрлендірулерін қарастырайық. Бұл дұрыс, үш саны біреуден үлкен. Алдымен оны кез келген оң санға көбейтіп көрейік, мысалы, екі:
\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)
Көріп отырғанымыздай, көбейтуден кейін теңсіздік ақиқат болып қалады. Және қандай оң санға көбейтсек те, біз әрқашан дұрыс теңсіздікті аламыз. Енді теріс санға көбейтіп көрейік, мысалы, минус үш:
\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)
Нәтижесі дұрыс емес теңсіздік, өйткені минус тоғыз минус үштен кем! Яғни, теңсіздік ақиқат болуы үшін (сондықтан, көбейтіндінің теріске айналуы «заңды» болды) салыстыру белгісін келесідей өзгерту керек: \(−9<− 3\).
Бөлу кезінде ол дәл осылай жұмыс істейді, оны өзіңіз тексере аласыз.
Жоғарыда жазылған ереже тек сандық емес теңсіздіктердің барлық түрлеріне қолданылады.
Мысалы: \(2(x+1)-1) теңсіздігін шешіңіз<7+8x\)Шешімі:
|
\(2x+2-1<7+8x\) |
Таңбаларды өзгертуді ұмытпай, \(8x\) солға, ал \(2\) және \(-1\) оңға жылжайық. |
|
\(2x-8x<7-2+1\) |
|
|
\(-6x<6\) \(|:(-6)\) |
Теңсіздіктің екі жағын да \(-6\-ға бөлейік, "аздан" "көпке" өзгертуді ұмытпаймыз. |
|
Осьте сандық интервалды белгілейік. Теңсіздік, сондықтан біз \(-1\) мәннің өзін «шығарып» аламыз және оны жауап ретінде қабылдамаймыз. |
|
|
Жауабын интервал ретінде жазайық |
Жауап: \(x\in(-1;\infty)\)
Теңсіздіктер және мүгедектік
Теңсіздіктер, теңдеулер сияқты, -ға, яғни x мәндеріне шектеулер қоюы мүмкін. Тиісінше, DZ сәйкес қабылданбайтын мәндер шешімдер ауқымынан шығарылуы керек.
Мысалы: \(\sqrt(x+1) теңсіздігін шешіңіз.<3\)
Шешімі: Сол жақтың \(3\) кіші болуы үшін радикалды өрнек \(9\)-дан кіші болуы керек екені анық (әйткенде, \(9\) тек \(3\)). Біз аламыз:
\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)
Барлығы? \(8\) мәнінен кіші x мәні бізге сәйкес келе ме? Жоқ! Өйткені, мысалы, талапқа сәйкес келетін \(-5\) мәнін алсақ, ол бастапқы теңсіздіктің шешімі болмайды, өйткені ол теріс санның түбірін есептеуге әкеледі.
\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)
Сондықтан, біз X мәніне қатысты шектеулерді де ескеруіміз керек - бұл түбірдің астында теріс сан болатындай болуы мүмкін емес. Осылайша, бізде x үшін екінші талап бар:
\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)
Ал х соңғы шешім болуы үшін ол екі талапты бірден қанағаттандыруы керек: ол \(8\) (шешім болуы үшін) және \(-1\) мәнінен үлкен болуы керек (негізінде рұқсат етілген). Оны сандар сызығына салып, бізде соңғы жауап бар:
Жауап: \(\сол[-1;8\оң)\)