Анимация
Сипаттама
Массалы денеге серпімді күш әсер етіп, оны тепе-теңдік күйіне қайтарғанда, ол осы позицияның айналасында тербеледі.
Мұндай денені серіппелі маятник деп атайды. Тербеліс әсерінен пайда болады сыртқы күш. Сыртқы күш әрекетін тоқтатқаннан кейін жалғасатын тербелістер еркін деп аталады. Сыртқы күш әсерінен болатын тербелістер мәжбүрлі деп аталады. Бұл жағдайда күштің өзі мәжбүрлеу деп аталады.
Қарапайым жағдайда серіппелі маятник – көлденең жазықтық бойымен қозғалатын зат қатты, қабырғаға серіппе арқылы бекітілген (Cурет 1).
Серіппелі маятник
Күріш. 1
Дененің түзу сызықты қозғалысы оның координаталарының уақытқа тәуелділігімен сипатталады:
x = x(t). (1)
Егер денеге әсер ететін барлық күштер белгілі болса, онда бұл тәуелділікті Ньютонның екінші заңы арқылы анықтауға болады:
md 2 x /dt 2 = S F , (2)
мұндағы m – дене массасы.
(2) теңдеудің оң жағы денеге әсер ететін барлық күштердің х осіне проекцияларының қосындысы.
Бұл жағдайда басты рөлсерпімділік күшін атқарады, ол консервативті және келесі түрде ұсынылуы мүмкін:
F (x) = - dU (x)/dx, (3)
мұндағы U = U (x) - деформацияланған серіппенің потенциалдық энергиясы.
Серіппенің жалғасы x болсын. Тәжірибе жүзінде серіппенің салыстырмалы ұзаруының шағын мәндерінде, яғни. болған жағдайда:
½ x ½<< l ,
мұндағы l – деформацияланбаған серіппенің ұзындығы.
Келесі қатынас шамамен дұрыс:
U (x) = k x 2 /2, (4)
мұндағы k коэффициенті серіппенің қаттылығы деп аталады.
Бұл формуладан серпімділік күші үшін келесі өрнек шығады:
F (x) = - kx. (5)
Бұл қатынас Гук заңы деп аталады.
Серпімділік күшінен басқа, үйкеліс күші жазықтық бойымен қозғалатын денеге әсер етуі мүмкін, ол эмпирикалық формуламен қанағаттанарлық түрде сипатталады:
F tr = - r dx /dt , (6)
мұндағы r – үйкеліс коэффициенті.
(5) және (6) формулаларды ескере отырып, (2) теңдеуді келесідей жазуға болады:
md 2 x /dt 2 + rdx /dt + kx = F (t), (7)
мұндағы F(t) – сыртқы күш.
Егер денеге тек Гук күші (5) әсер етсе, онда дененің еркін тербелістері гармоникалық болады. Мұндай дене гармоникалық серіппелі маятник деп аталады.
Бұл жағдайда Ньютонның екінші заңы мына теңдеуге әкеледі:
d 2 x /dt 2 + w 0 2 x = 0, (8)
w 0 = шаршы(к/м) (9)
Тербеліс жиілігі.
(8) теңдеудің жалпы шешімі мына түрде болады:
x (t) = A cos (w 0 t + a), (10)
мұндағы А амплитудасы және бастапқы а фазасы бастапқы шарттармен анықталады.
Қарастырылып отырған денеге тек серпімділік күші (5) әсер еткенде оның толық механикалық энергиясы уақыт өте өзгермейді:
mv 2/2 + k x 2 /2 = const. (11)
Бұл мәлімдеме гармоникалық серіппелі маятниктің энергиясының сақталу заңының мазмұнын құрайды.
Массалы денеге оны тепе-теңдік күйіне қайтаратын серпімді күштен басқа үйкеліс күші де әсер етсін делік. Бұл жағдайда белгілі бір уақытта қозғалған дененің еркін тербелістері уақыт өте келе ыдырайды және дене тепе-теңдік жағдайына бейім болады.
Мұнда Ньютонның екінші заңын (7) былай жазуға болады:
m d 2 x /dt 2 + rdx /dt + kx = 0, (12)
мұндағы m – дене массасы.
(12) теңдеудің жалпы шешімі келесі түрде болады:
x(t) = a exp(- b t )cos (w t + a ), (13)
w = sqrt(w o 2 - b 2 ) (14)
Тербеліс жиілігі
b = r / 2 м (15)
Тербеліс тежеу коэффициенті, амплитудасы a және бастапқы фазасы бастапқы шарттармен анықталады. Функция (13) демпферлік тербелістерді сипаттайды.
Серіппелі маятниктің толық механикалық энергиясы, яғни. оның кинетикалық және потенциалдық энергияларының қосындысы
E = m v 2 /2 + kx 2/2 (16)
заңға сәйкес уақыт өте келе өзгереді:
dE/dt = P, (17)
мұндағы P = - rv 2 - үйкеліс күшінің күші, яғни. уақыт бірлігінде жылуға айналатын энергия.
Уақыт ерекшеліктері
Бастау уақыты (-3-тен -1-ге дейін журнал);
Өмір сүру ұзақтығы (log tc 1-ден 15-ке дейін);
Тозу уақыты (log td -3-тен 3-ке дейін);
Оңтайлы даму уақыты (log tk -3-тен -2-ге дейін).
Серіппелі маятник – массасы m материалдық нүктеден және серіппеден тұратын тербелмелі жүйе. Көлденең серіппелі маятникті қарастырайық (1-сурет, а). Ол ортасынан бұрғыланған және көлденең штангаға орналастырылған массивтік денеден тұрады, оның бойымен үйкеліссіз сырғана алады (идеалды тербелмелі жүйе). Штанга екі тік тірек арасында бекітілген.
Денеге бір ұшынан салмақсыз серіппе бекітілген. Оның екінші ұшы тірекке бекітілген, ол қарапайым жағдайда маятник тербелетін инерциялық санақ жүйесіне қатысты тыныштықта болады. Бастапқыда серіппе деформацияланбайды, дене тепе-теңдік күйінде болады C. Егер серіппені созу немесе қысу арқылы дене тепе-теңдік күйінен шығарылса, онда серіппелі күш оған серпімді күш әсер ете бастайды. деформацияланған серіппенің әрқашан тепе-теңдік жағдайына бағытталған жағы.
Денені А позициясына жылжытып, серіппені қысып, оны босатайық. Серпімділік күшінің әсерінен ол тезірек қозғалады. Бұл жағдайда А позициясында денеге максималды серпімді күш әсер етеді, өйткені мұнда серіппенің абсолютті ұзаруы х м ең үлкен. Сондықтан бұл позицияда жеделдету максималды болады. Дене тепе-теңдік күйіне қарай жылжыған сайын серіппенің абсолютті ұзаруы азаяды, демек, серпімділік күші берген үдеу азаяды. Бірақ берілген қозғалыс кезіндегі үдеу жылдамдықпен бірге бағытталғандықтан, маятниктің жылдамдығы артады және тепе-теңдік күйінде ол максималды болады.
C тепе-теңдік күйіне жеткенде, дене тоқтамайды (бұл күйде серіппе деформацияланбайды және серпімділік күші нөлге тең болса да), бірақ жылдамдыққа ие бола отырып, серіппені созып, инерция арқылы әрі қарай жылжиды. Пайда болған серпімділік күші енді дененің қозғалысына қарсы бағытталған және оны баяулатады. D нүктесінде дененің жылдамдығы нөлге тең болады, ал үдеу максимум болады, дене бір сәтке тоқтайды, содан кейін серпімділік күшінің әсерінен ол қарама-қарсы бағытта қозғала бастайды. , тепе-теңдік жағдайына. Оны қайтадан инерция арқылы өтіп, дене серіппені қысып, қозғалысты баяулатып, А нүктесіне жетеді (өйткені үйкеліс жоқ), яғни. толық серпінді аяқтайды. Осыдан кейін дене қозғалысы сипатталған ретпен қайталанады. Сонымен, серіппелі маятниктің еркін тербелістерінің себептері серіппе деформацияланған кезде пайда болатын серпімділік күшінің әрекеті және дененің инерциясы болып табылады.
Гук заңы бойынша F x = -kx. Ньютонның екінші заңы бойынша F x = ma x. Демек, ma x = -kx. Осы жерден
Серіппелі маятник қозғалысының динамикалық теңдеуі.
Біз жеделдету араласуға тура пропорционал және оған қарама-қарсы бағытталғанын көреміз. Алынған теңдеуді гармоникалық тербелістер теңдеуімен салыстыру 
, серіппелі маятник циклдік жиілікпен гармоникалық тербелістерді орындайтынын көреміз
Серіппелі маятниктің тербеліс периоды.
Сол формуланы пайдаланып тік серіппелі маятниктің тербеліс периодын есептеуге болады (1. б-сурет). Шынында да, тепе-теңдік күйде, гравитацияның әсерінен серіппе мг = kx 0 қатынасымен анықталатын белгілі бір мөлшерде х 0 созылады. Маятник О тепе-теңдік күйінен х-ке ығысқанда серпімділік күшінің проекциясы
Көптеген механизмдердің жұмысы физика мен математиканың қарапайым заңдарына негізделген. Серіппелі маятник туралы түсінік айтарлықтай кең тарады. Мұндай механизм өте кең таралған, өйткені серіппе қажетті функционалдылықты қамтамасыз етеді және автоматты құрылғылардың элементі бола алады. Мұндай құрылғыны, оның жұмыс принципін және басқа да көптеген тармақтарды толығырақ қарастырайық.
Серіппелі маятниктің анықтамалары
Бұрын айтылғандай, серіппелі маятник өте кең таралған. Ерекшеліктердің арасында келесілер бар:
- Құрылғы жүктеме мен серіппенің комбинациясы арқылы ұсынылған, олардың массасы ескерілмеуі мүмкін. Әртүрлі нысандар жүк ретінде әрекет ете алады. Сонымен бірге оған сыртқы күш әсер етуі мүмкін. Жалпы мысал - құбыр жүйесінде орнатылған қауіпсіздік клапанын жасау. Жүктеме серіппеге әртүрлі тәсілдермен бекітіледі. Бұл жағдайда тек қана классикалық бұрандалы нұсқасы қолданылады, ол ең көп қолданылады. Негізгі қасиеттер көбінесе өндірісте қолданылатын материалдың түріне, катушканың диаметріне, дұрыс туралауға және басқа да көптеген нүктелерге байланысты. Сыртқы бұрылыстар көбінесе жұмыс кезінде үлкен жүктемеге төтеп бере алатындай етіп жасалады.
- Деформация басталғанға дейін толық механикалық энергия болмайды. Бұл жағдайда денеге серпімді күш әсер етпейді. Әрбір серіппе ұзақ уақыт бойы сақтайтын бастапқы позицияға ие. Дегенмен, белгілі бір қаттылыққа байланысты дене бастапқы күйде бекітіледі. Күштің қалай қолданылатыны маңызды. Мысал ретінде оны серіппенің осі бойымен бағыттау керек, өйткені әйтпесе деформация мүмкіндігі және басқа да көптеген мәселелер бар. Әрбір серіппенің өзіндік қысу және ұзарту шегі бар. Бұл жағдайда максималды қысу шиеленіс кезінде жеке бұрылыстар арасындағы алшақтықтың болмауымен ұсынылған, өнімнің қайтымсыз деформациясы пайда болатын сәт бар; Егер сым тым ұзартылған болса, негізгі қасиеттердің өзгеруі орын алады, содан кейін өнім бастапқы күйіне оралмайды.
- Қарастырылып отырған жағдайда серпімділік күшінің әсерінен тербеліс пайда болады. Ол назарға алынуы керек көптеген ерекшеліктермен сипатталады. Серпімділік әсері бұрылыстардың белгілі бір орналасуы мен өндіріс кезінде қолданылатын материал түріне байланысты қол жеткізіледі. Бұл жағдайда серпімділік күші екі бағытта да әрекет ете алады. Көбінесе қысу орын алады, бірақ созылу да жүзеге асырылуы мүмкін - бәрі нақты жағдайдың сипаттамаларына байланысты.
- Дененің қозғалыс жылдамдығы айтарлықтай кең диапазонда өзгеруі мүмкін, бәрі әсерге байланысты. Мысалы, серіппелі маятник аспалы жүкті көлденең және тік жазықтықта жылжыта алады. Бағытталған күштің әсері көбінесе тік немесе көлденең орнатуға байланысты.
Жалпы алғанда, серіппелі маятниктің анықтамасы өте жалпы деп айта аламыз. Бұл жағдайда объектінің қозғалыс жылдамдығы әртүрлі параметрлерге, мысалы, түсірілген күштің шамасы мен басқа моменттерге байланысты. Нақты есептеулер алдында диаграмма жасалады:
- Серіппе бекітілген тірек көрсетілген. Көбінесе оны көрсету үшін артқы штрихпен сызық сызылады.
- Серіппе схемалық түрде көрсетілген. Ол жиі толқынды сызықпен бейнеленген. Схематикалық дисплейде ұзындық пен диаметрлік көрсеткіш маңызды емес.
- Денесі де бейнеленген. Ол өлшемдерге сәйкес келмеуі керек, бірақ тікелей бекіту орны маңызды.
Құрылғыға әсер ететін барлық күштерді схемалық түрде көрсету үшін диаграмма қажет. Тек осы жағдайда қозғалыс жылдамдығына, инерцияға және басқа да көптеген аспектілерге әсер ететін барлық нәрсені ескеруге болады.
Серіппелі маятниктер тек есептеулерде немесе әртүрлі есептерді шешуде ғана емес, сонымен қатар тәжірибеде де қолданылады. Алайда мұндай механизмнің барлық қасиеттері қолданыла бермейді.
Мысал ретінде тербелмелі қозғалыстар қажет емес жағдайды келтіруге болады:
- Құлыптау элементтерін құру.
- Әртүрлі материалдар мен заттарды тасымалдауға байланысты серіппелі механизмдер.
Серіппелі маятниктің есептеулері ең қолайлы дене салмағын, сондай-ақ серіппе түрін таңдауға мүмкіндік береді. Ол келесі ерекшеліктермен сипатталады:
- Бұрылыстардың диаметрі. Бұл өте әртүрлі болуы мүмкін. Диаметр негізінен өндіріске қанша материал қажет екенін анықтайды. Катушкалардың диаметрі сонымен қатар толық қысу немесе ішінара созылу үшін қанша күш қолдану керектігін анықтайды. Дегенмен, өлшемді ұлғайту өнімді орнатуда айтарлықтай қиындықтар тудыруы мүмкін.
- Сымның диаметрі. Тағы бір маңызды параметр - сымның диаметрлік өлшемі. Ол беріктік пен икемділік дәрежесіне байланысты кең ауқымда өзгеруі мүмкін.
- Өнімнің ұзындығы. Бұл көрсеткіш толық қысу үшін қанша күш қажет екенін, сондай-ақ өнімнің қандай икемділікке ие болуы мүмкін екенін анықтайды.
- Қолданылатын материалдың түрі негізгі қасиеттерді де анықтайды. Көбінесе серіппе тиісті қасиеттерге ие арнайы қорытпаның көмегімен жасалады.
Математикалық есептеулерде көптеген ұпайлар есепке алынбайды. Серпімділік күші және басқа да көптеген көрсеткіштер есептеу арқылы анықталады.
Серіппелі маятниктердің түрлері
Серіппелі маятниктің бірнеше түрі бар. Жіктеуді орнатылған серіппе түріне қарай жүргізуге болатындығын ескерген жөн. Ерекшеліктер арасында біз атап өтеміз:
- Тік тербеліс айтарлықтай кең тарады, өйткені бұл жағдайда жүк үйкеліске және басқа әсерлерге ұшырамайды. Жүктеме тігінен орналасса, ауырлық күшінің әсер ету дәрежесі айтарлықтай артады. Бұл орындау опциясы әртүрлі есептеулерді орындау кезінде кең таралған. Ауырлық күшінің әсерінен бастапқы нүктедегі дененің көптеген инерциялық қозғалыстар жасау мүмкіндігі бар. Бұған инсульттің соңында дененің серпімділігі мен инерциясы да ықпал етеді.
- Көлденең серіппелі маятник де қолданылады. Бұл жағдайда жүктеме тірек бетінде болады және үйкеліс қозғалыс кезінде де пайда болады. Көлденең орналасқанда, ауырлық күші біршама басқаша жұмыс істейді. Дененің көлденең орналасуы әртүрлі тапсырмаларда кең таралған.
Серіппелі маятниктің қозғалысын барлық күштердің әсерін ескеру қажет жеткілікті көп санды әртүрлі формулалар арқылы есептеуге болады. Көп жағдайда классикалық серіппе орнатылады. Ерекшеліктер арасында біз мыналарды атап өтеміз:
- Классикалық ширатылған қысу серіппесі бүгінгі күні өте кең таралған. Бұл жағдайда бұрылыстар арасында бос орын бар, ол қадам деп аталады. Сығымдау серіппесі созылуы мүмкін, бірақ көбінесе бұл үшін орнатылмайды. Айырықша ерекшелігі - соңғы бұрылыстар күштің біркелкі таралуын қамтамасыз ететін ұшақ түрінде жасалады.
- Созылған нұсқасын орнатуға болады. Ол қолданылған күш ұзындықтың ұлғаюына әкелетін жағдайларда орнатуға арналған. Бекіту үшін ілмектер орналастырылған.
Нәтижесінде ұзақ уақытқа созылуы мүмкін тербеліс пайда болады. Жоғарыда келтірілген формула барлық нүктелерді ескере отырып, есептеуді жүргізуге мүмкіндік береді.
Серіппелі маятниктің тербеліс периоды мен жиілігінің формулалары
Негізгі көрсеткіштерді жобалау және есептеу кезінде тербеліс жиілігі мен кезеңіне де көп көңіл бөлінеді. Косинус – белгілі бір уақыттан кейін өзгермейтін мәнді қолданатын периодтық функция. Бұл көрсеткіш серіппелі маятниктің тербеліс периоды деп аталады. Бұл көрсеткішті белгілеу үшін Т әрпі тербеліс кезеңіне (v) кері мәнді сипаттайтын ұғым да жиі қолданылады. Көп жағдайда есептеулерде T=1/v формуласы қолданылады.
Тербеліс периоды біршама күрделі формула арқылы есептеледі. Ол келесідей: T=2п√m/k. Тербеліс жиілігін анықтау үшін мына формула қолданылады: v=1/2п√k/m.
Серіппелі маятниктің қарастырылатын циклдік тербеліс жиілігі келесі нүктелерге байланысты:
- Серіппеге бекітілген жүктің массасы. Бұл көрсеткіш ең маңызды болып саналады, өйткені ол әртүрлі параметрлерге әсер етеді. Инерция күші, жылдамдық және басқа да көптеген көрсеткіштер массаға байланысты. Сонымен қатар, жүктің массасы - бұл арнайы өлшеу құралдарының болуына байланысты өлшеуі ешқандай қиындық тудырмайтын шама.
- Серпімділік коэффициенті. Әрбір көктем үшін бұл көрсеткіш айтарлықтай ерекшеленеді. Серіппенің негізгі параметрлерін анықтау үшін серпімділік коэффициенті көрсетілген. Бұл параметр бұрылыстардың санына, өнімнің ұзындығына, бұрылыстар арасындағы қашықтыққа, олардың диаметріне және тағы басқаларға байланысты. Ол әртүрлі тәсілдермен анықталады, көбінесе арнайы жабдықты пайдаланады.
Серіппе қатты созылған кезде Гук заңы қолданысын тоқтататынын ұмытпаңыз. Бұл жағдайда серіппелі тербеліс периоды амплитудаға тәуелді бола бастайды.
Уақыттың әмбебап бірлігі, көп жағдайда секунд, периодты өлшеу үшін қолданылады. Көп жағдайда тербеліс амплитудасы әртүрлі есептерді шешу кезінде есептеледі. Процесті жеңілдету үшін негізгі күштерді көрсететін жеңілдетілген диаграмма құрастырылады.
Серіппелі маятниктің амплитудасы мен бастапқы фазасының формулалары
Қатысқан процестердің ерекшеліктерін шешіп, серіппелі маятниктің тербеліс теңдеуін, сондай-ақ бастапқы мәндерін біле отырып, сіз серіппелі маятниктің амплитудасы мен бастапқы фазасын есептей аласыз. Бастапқы фазаны анықтау үшін f мәні пайдаланылады, ал амплитудасы А символымен белгіленеді.
Амплитуданы анықтау үшін мына формуланы қолдануға болады: A = √x 2 +v 2 /w 2. Бастапқы фаза мына формула бойынша есептеледі: tgf=-v/xw.
Осы формулаларды пайдалана отырып, есептеулерде қолданылатын негізгі параметрлерді анықтауға болады.
Серіппелі маятниктің тербеліс энергиясы
Серіппедегі жүктің тербелісін қарастырғанда маятниктің қозғалысын екі нүкте арқылы сипаттауға болатынын, яғни оның табиғаты түзу сызықты екенін ескеру керек. Бұл сәт қарастырылып отырған күшке қатысты шарттардың орындалуын анықтайды. Жалпы энергияны потенциал деп айта аламыз.
Серіппелі маятниктің тербеліс энергиясын барлық ерекшеліктерін ескере отырып есептеуге болады. Негізгі тармақтар мыналар:
- Тербеліс көлденең және тік жазықтықта болуы мүмкін.
- Тепе-теңдік күйі ретінде нөлдік потенциалдық энергия таңдалады. Дәл осы жерде координаттардың шығу тегі белгіленеді. Әдетте, бұл күйде серіппе деформациялаушы күш болмаған жағдайда өз пішінін сақтайды.
- Қарастырылып отырған жағдайда серіппелі маятниктің есептелген энергиясы үйкеліс күшін есепке алмайды. Жүк тік болған кезде үйкеліс күші шамалы, жүк көлденең болған кезде дене бетінде болады және қозғалыс кезінде үйкеліс пайда болуы мүмкін.
- Діріл энергиясын есептеу үшін келесі формула қолданылады: E=-dF/dx.
Жоғарыда келтірілген мәліметтер энергияның сақталу заңының келесідей екенін көрсетеді: mx 2 /2+mw 2 x 2 /2=const. Пайдаланылған формула мынаны айтады:
Әртүрлі есептерді шығарғанда серіппелі маятниктің тербеліс энергиясын анықтауға болады.
Серіппелі маятниктің еркін тербелістері
Серіппелі маятниктің еркін тербелісіне не себеп болатынын қарастырған кезде ішкі күштердің әрекетіне назар аудару керек. Олар қозғалыс денеге ауысқаннан кейін бірден қалыптаса бастайды. Гармоникалық тербелістердің ерекшеліктеріне келесі нүктелер жатады:
- Заңның барлық нормаларын қанағаттандыратын, квазисерпімді деп аталатын әсер етуші сипаттағы күштердің басқа түрлері де пайда болуы мүмкін.
- Заң әрекетінің негізгі себептері дененің кеңістіктегі орны өзгерген сәтте бірден пайда болатын ішкі күштер болуы мүмкін. Бұл жағдайда жүктің белгілі бір массасы бар, күш бір ұшын жеткілікті беріктігі бар қозғалмайтын затқа, екіншісін жүктің өзіне бекіту арқылы жасалады. Үйкеліс болмаса, дене тербелмелі қозғалыстарды жасай алады. Бұл жағдайда бекітілген жүктеме сызықтық деп аталады.
Тербелмелі қозғалыс пайда болатын жүйелердің әртүрлі типтерінің өте көп саны бар екенін ұмытпау керек. Сондай-ақ оларда серпімді деформация пайда болады, бұл оларды кез келген жұмысты орындау үшін пайдаланудың себебі болады.