Бұл сабақта біз қалай табуға болатынын білеміз күрделі функцияның туындысы. Сабақ – сабақтың логикалық жалғасы Туындыны қалай табуға болады?, онда біз ең қарапайым туындыларды қарастырдық, сонымен қатар дифференциалдау ережелерімен және туындыларды табудың кейбір техникалық әдістерімен таныстық. Осылайша, егер сіз функциялардың туындыларын жақсы білмесеңіз немесе осы мақаланың кейбір тармақтары толығымен түсініксіз болса, алдымен жоғарыдағы сабақты оқып шығыңыз. Маңызды көңіл-күйге ие болыңыз - материал қарапайым емес, бірақ мен оны қарапайым және түсінікті етіп көрсетуге тырысамын.
Практикада күрделі функцияның туындысымен өте жиі айналысуға тура келеді, тіпті туындыларды табу тапсырмалары берілгенде дерлік дерлік дер едім.
Күрделі функцияны дифференциалдау үшін ережедегі кестені (No5) қарастырамыз:
Оны анықтап көрейік. Ең алдымен, жазбаға назар аударайық. Мұнда бізде екі функция бар – және , және функция, бейнелі түрде айтқанда, функцияның ішінде кірістірілген. Бұл түрдегі функция (бір функция басқа функцияның ішіне кірістірілгенде) күрделі функция деп аталады.
Мен функцияны шақырамын сыртқы функция, және функциясы – ішкі (немесе кірістірілген) функция.
! Бұл анықтамалар теориялық емес және тапсырмаларды түпкілікті ресімдеуде көрсетілмеуі керек. Мен «сыртқы функция», «ішкі» функция сияқты бейресми өрнектерді материалды түсінуді жеңілдету үшін ғана қолданамын.
Жағдайды түсіндіру үшін мыналарды қарастырыңыз:
1-мысал
Функцияның туындысын табыңыз
Синус астында бізде «Х» әрпі ғана емес, тұтас өрнек бар, сондықтан туындыны кестеден бірден табу жұмыс істемейді. Мұнда алғашқы төрт ережені қолдану мүмкін емес екенін байқаймыз, айырмашылық бар сияқты, бірақ синусын «бөлшектерге бөлуге» болмайды:
Бұл мысалда функцияның күрделі функция, ал көпмүшеліктің ішкі функция (енгізу) және сыртқы функция екендігі менің түсініктемелерімнен интуитивті түрде анық болды.
Бірінші қадамкүрделі функцияның туындысын табу үшін не істеу керек Қандай функция ішкі, қайсысы сыртқы екенін түсіну.
Қарапайым мысалдар жағдайында көпмүше синусының астына енгізілгені анық көрінеді. Бірақ бәрі анық болмаса ше? Қандай функция сыртқы, қайсысы ішкі екенін қалай дәл анықтауға болады? Ол үшін мен ойша немесе жобада жасауға болатын келесі әдістемені қолдануды ұсынамын.
өрнектің мәнін есептеу үшін калькуляторды пайдалану керек деп елестетіп көрейік (бір санның орнына кез келген сан болуы мүмкін).
Алдымен нені есептейміз? Ең біріншіденкелесі әрекетті орындау керек: , сондықтан көпмүше ішкі функция болады: 
Екіншідентабу керек, сондықтан синус – сыртқы функция болады: 
Бізден кейін САТЫЛДЫІшкі және сыртқы функциялармен күрделі функцияларды дифференциалдау ережесін қолдану уақыты келді.
Шешім қабылдауды бастайық. Сыныптан Туындыны қалай табуға болады?Кез келген туынды шешімнің дизайны әрқашан осылай басталатынын есте ұстаймыз - біз өрнекті жақшаға алып, жоғарғы оң жаққа штрих қоямыз:
Басындасыртқы функцияның (синус) туындысын табыңыз, туындылар кестесін қараңыз элементар функцияларжәне біз мұны байқаймыз. Барлық кесте формулалары «x» күрделі өрнекпен ауыстырылса да қолданылады, бұл жағдайда:
Ішкі функцияны ескеріңіз өзгерген жоқ, біз оған тиіспейміз.
Ал, бұл анық
Формуланы қолданудың соңғы нәтижесі келесідей болады:
Тұрақты көбейткіш әдетте өрнектің басында орналасады:
Түсінбеушілік болса, шешімді қағазға жазып, түсініктемелерді қайта оқыңыз.
2-мысал
Функцияның туындысын табыңыз
3-мысал
Функцияның туындысын табыңыз
Әдеттегідей, біз жазамыз: 
Бізде қай жерде сыртқы функция бар, ал қай жерде ішкі функция бар екенін анықтайық. Ол үшін өрнектің мәнін (ойша немесе жобада) есептеуге тырысамыз. Алдымен не істеу керек? Ең алдымен, негіз неге тең екенін есептеу керек: сондықтан көпмүше ішкі функция болып табылады: 
Сонда ғана дәрежелеу орындалады, демек, қуат функциясысыртқы функция болып табылады: 
Формула бойынша алдымен сыртқы функцияның туындысын, бұл жағдайда дәрежесін табу керек. Қажетті формуланы кестеден іздейміз: . Тағы да қайталаймыз: кез келген кестелік формула тек «X» үшін ғана емес, күрделі өрнек үшін де жарамды. Осылайша, күрделі функцияны дифференциалдау ережесін қолданудың нәтижесі келесідей болады:
Мен сыртқы функцияның туындысын қабылдағанда, ішкі функциямыз өзгермейтінін тағы да атап өтемін: 
Енді ішкі функцияның өте қарапайым туындысын табу және нәтижені аздап өзгерту ғана қалады:
4-мысал
Функцияның туындысын табыңыз
Бұл сізге өз бетінше шешуге арналған мысал (сабақ соңында жауап).
Күрделі функцияның туындысы туралы түсінігіңді бекіту үшін мен түсініктемесіз мысал келтіремін, оны өз бетінше анықтауға тырысамын, себебі сыртқы және ішкі функция қайда, неге тапсырмалар осылай шешіледі?
5-мысал
а) Функцияның туындысын табыңыз
б) Функцияның туындысын табыңыз
6-мысал
Функцияның туындысын табыңыз 
Мұнда бізде түбір бар, ал түбірді ажырату үшін оны қуат ретінде көрсету керек. Осылайша, алдымен функцияны дифференциалдау үшін қолайлы пішінге келтіреміз:
Функцияны талдай отырып, үш мүшенің қосындысы ішкі функция, ал дәрежеге көтеру сыртқы функция деген қорытындыға келеміз. Күрделі функцияларды дифференциалдау ережесін қолданамыз:
Біз қайтадан дәрежені радикал (түбір) ретінде көрсетеміз және ішкі функцияның туындысы үшін қосындыны дифференциалдаудың қарапайым ережесін қолданамыз:
Дайын. Сондай-ақ, өрнекті жақшадағы ортақ бөлгішке дейін азайтып, барлығын бір бөлшек түрінде жазуға болады. Бұл, әрине, әдемі, бірақ сіз ұзақ мерзімді туындыларды алған кезде мұны жасамағаныңыз жөн (шатастыру оңай, қажетсіз қателік жіберіңіз және мұғалімге тексеру ыңғайсыз болады).
7-мысал
Функцияның туындысын табыңыз
Бұл сізге өз бетінше шешуге арналған мысал (сабақ соңында жауап).
Бір қызығы, кейде күрделі функцияны дифференциалдау ережесінің орнына бөлімді дифференциалдау ережесін қолдануға болады. 
, бірақ мұндай шешім күлкілі бұрмалау сияқты болады. Міне, әдеттегі мысал:
8-мысал
Функцияның туындысын табыңыз
Мұнда бөлімді дифференциалдау ережесін қолдануға болады , бірақ күрделі функцияны дифференциалдау ережесі арқылы туындыны табу әлдеқайда тиімді:
Функцияны дифференциалдау үшін дайындаймыз - минусты туынды таңбадан шығарып, косинусты алымға көтереміз:
Косинус ішкі функция, дәрежеге шығару сыртқы функция.
Ережемізді қолданайық:
Ішкі функцияның туындысын табамыз және косинусты қайтадан төмендетеміз:
Дайын. Қарастырылған мысалда белгілерде шатастырмау маңызды. Айтпақшы, оны ережені пайдаланып шешуге тырысыңыз , жауаптары сәйкес болуы керек.
9-мысал
Функцияның туындысын табыңыз
Бұл сізге өз бетінше шешуге арналған мысал (сабақ соңында жауап).
Осы уақытқа дейін бізде күрделі функцияда бір ғана ұя болған жағдайларды қарастырдық. Практикалық тапсырмаларда сіз көбінесе туындыларды таба аласыз, оларда ұя салатын қуыршақтар сияқты бірінің ішінде бірінің ішінде 3 немесе тіпті 4-5 функция бірден кірістірілген.
10-мысал
Функцияның туындысын табыңыз
Осы функцияның қосымшаларын түсінейік. Эксперименттік мәнді пайдаланып өрнекті есептеп көрейік. Калькуляторға қалай сенер едік?
Алдымен сіз оны табуыңыз керек, бұл доғаның ең терең кірістіру екенін білдіреді:
Бірдің бұл доғасының квадраты болуы керек:
Соңында біз жеті күшке көтереміз: 
Яғни, бұл мысалда бізде үшеу бар әртүрлі функцияларжәне екі кірістіру, ішкі функциясы доға синусы және ең сыртқы функциясы экспоненциалды функция болып табылады.
Шешім қабылдауды бастайық
Ережеге сәйкес, алдымен сыртқы функцияның туындысын алу керек. Туындылар кестесіне қарап, туындыны табамыз көрсеткіштік функция: Жалғыз айырмашылығы - «x» орнына бізде күрделі өрнек бар, бұл формуланың дұрыстығын жоққа шығармайды. Сонымен, күрделі функцияны дифференциалдау ережесін қолданудың нәтижесі келесідей болады:
Инсульт астында бізде қайтадан күрделі функция бар! Бірақ бұл қазірдің өзінде қарапайым. Ішкі функция - доға синусы, сыртқы функция - дәреже екенін тексеру оңай. Күрделі функцияны дифференциалдау ережесіне сәйкес, алдымен дәреженің туындысын алу керек.
Есте сақтау өте оңай.
Алысқа бармай-ақ қояйық, бірден қарайық кері функция. Қандай функция көрсеткіштік функцияға кері функция? Логарифм:
Біздің жағдайда негіз сан болып табылады:
Мұндай логарифм (яғни негізі бар логарифм) «табиғи» деп аталады және біз ол үшін арнайы белгілерді қолданамыз: орнына жазамыз.
Ол неге тең? Әрине.
Натурал логарифмнің туындысы да өте қарапайым:
Мысалдар:
- Функцияның туындысын табыңыз.
- Функцияның туындысы дегеніміз не?
Жауаптары: Көрсеткіштік және натурал логарифм туынды перспективада ерекше қарапайым функциялар болып табылады. Кез келген басқа базасы бар көрсеткіштік және логарифмдік функциялардың басқа туындысы болады, біз оны кейінірек талдаймыз. ережелерімен өтейікдифференциация.
Дифференциация ережелері
Ненің ережелері? Тағы да жаңа термин, тағы?!...
Дифференциациятуындыны табу процесі болып табылады.
Бар болғаны. Бұл процесті бір сөзбен тағы қалай атауға болады? Туынды емес... Математиктердің дифференциалы кезіндегі функцияның өсімімен бірдей. Бұл термин латынның дифференция - айырмашылық сөзінен шыққан. Мұнда.
Осы ережелердің барлығын шығарған кезде біз екі функцияны қолданамыз, мысалы, және. Бізге олардың өсімдері үшін формулалар қажет болады:
Барлығы 5 ереже бар.
Тұрақты шама туынды таңбадан алынады.
Егер - қандай да бір тұрақты сан (тұрақты), онда.
Әлбетте, бұл ереже айырмашылық үшін де жұмыс істейді: .
Дәлелдейік. Бұл болсын, немесе қарапайымырақ.
Мысалдар.
Функциялардың туындыларын табыңыз:
- нүктеде;
- нүктеде;
- нүктеде;
- нүктесінде.
Шешімдер:
- (туынды барлық нүктелерде бірдей, өйткені ол сызықтық функция, есіңізде ме?);
Өнімнің туындысы
Мұнда бәрі ұқсас: жаңа функцияны енгізіп, оның өсімін табайық:
Туынды:
Мысалдар:
- және функцияларының туындыларын табыңыз;
- Функцияның нүктедегі туындысын табыңыз.
Шешімдер:
Көрсеткіштік функцияның туындысы
Енді сіздің біліміңіз көрсеткішті ғана емес, кез келген экспоненциалды функцияның туындысын табуды үйрену үшін жеткілікті (сіз оның не екенін әлі ұмыттыңыз ба?).
Сонымен, қандай да бір сан қайда.
Біз функцияның туындысын бұрыннан білеміз, сондықтан функциямызды жаңа негізге келтіруге тырысайық:
Ол үшін қарапайым ережені қолданамыз: . Содан кейін:
Жақсы, бұл жұмыс істеді. Енді туындыны табуға тырысыңыз және бұл функция күрделі екенін ұмытпаңыз.
Бұл жұмыс істеді ме?
Міне, өзіңізді тексеріңіз:
Формула дәреже көрсеткішінің туындысына өте ұқсас болып шықты: бұрынғыдай, ол өзгеріссіз қалады, тек қана фактор пайда болды, ол жай ғана сан, бірақ айнымалы емес.
Мысалдар:
Функциялардың туындыларын табыңыз:
Жауаптары:
Бұл калькуляторсыз есептелмейтін сан ғана, яғни оны қарапайым түрде жазуға болмайды. Сондықтан жауапта оны осы формада қалдырамыз.
Назар аударыңыз, мұнда екі функцияның бөлімі бар, сондықтан біз сәйкес дифференциалдау ережесін қолданамыз:
Бұл мысалда екі функцияның туындысы:
Логарифмдік функцияның туындысы
Бұл жерде ұқсас: сіз табиғи логарифмнің туындысын білесіз:
Сондықтан, басқа негізі бар ерікті логарифмді табу үшін, мысалы:
Біз бұл логарифмді негізге келтіруіміз керек. Логарифмнің негізін қалай өзгертуге болады? Бұл формуланы есте сақтайсыз деп үміттенемін:
Оның орнына енді ғана жазамыз:
Бөлгіш жай ғана тұрақты (айнымалысы жоқ тұрақты сан). Туынды өте қарапайым түрде алынады:
Көрсеткіштік және логарифмдік функциялардың туындылары Бірыңғай мемлекеттік емтиханда ешқашан кездеспейді, бірақ оларды білу артық болмайды.
Күрделі функцияның туындысы.
«Күрделі функция» дегеніміз не? Жоқ, бұл логарифм емес, арктангенс емес. Бұл функцияларды түсіну қиын болуы мүмкін (бірақ сіз логарифмді қиын деп тапсаңыз, «Логарифмдер» тақырыбын оқып шығыңыз және сіз жақсы боласыз), бірақ математикалық тұрғыдан «күрделі» сөзі «қиын» дегенді білдірмейді.
Кішкентай конвейерді елестетіңіз: екі адам отырады және кейбір заттармен кейбір әрекеттерді жасайды. Мысалы, біріншісі шоколадты қаптамаға орап, екіншісі оны таспамен байлайды. Нәтиже – композициялық нысан: лентамен оралған және байланған шоколадты батончик. Шоколадты жеу үшін кері қадамдарды орындау керек кері тәртіп.
Ұқсас математикалық құбырды құрайық: алдымен санның косинусын табамыз, содан кейін алынған санның квадратын аламыз. Сонымен, бізге сан (шоколад) беріледі, мен оның косинусын (орауын) табамын, сосын менің алғанымды шаршылайсың (лентамен байлаңыз). Не болды? Функция. Бұл күрделі функцияның мысалы: оның мәнін табу үшін біз бірінші әрекетті тікелей айнымалымен орындаймыз, содан кейін бірінші әрекеттің нәтижесімен екінші әрекетті орындаймыз.
Басқаша айтқанда, күрделі функция - аргументі басқа функция болатын функция: .
Біздің мысал үшін, .
Біз бірдей қадамдарды кері ретпен оңай жасай аламыз: алдымен сіз оны квадраттайсыз, содан кейін алынған санның косинусын іздеймін: . Нәтиже әрдайым дерлік басқаша болатынын болжау оңай. Маңызды мүмкіндіккүрделі функциялар: әрекеттердің реті өзгерсе, функция өзгереді.
Екінші мысал: (сол нәрсе). .
Соңғы орындайтын әрекетіміз шақырылады «сыртқы» функция, ал бірінші орындалатын әрекет – сәйкесінше «ішкі» функция(бұл бейресми атаулар, мен оларды материалды қарапайым тілмен түсіндіру үшін ғана қолданамын).
Қандай функция сыртқы және қайсысы ішкі екенін өзіңіз анықтап көріңіз:
Жауаптары:Ішкі және сыртқы функцияларды бөлу айнымалыларды өзгертуге өте ұқсас: мысалы, функцияда
- Алдымен қандай әрекетті орындаймыз? Алдымен синусты есептейік, содан кейін ғана оны текшелейміз. Бұл ішкі функция, бірақ сыртқы функция екенін білдіреді.
Ал бастапқы қызметі олардың құрамы: . - Ішкі: ; сыртқы: .
Емтихан: . - Ішкі: ; сыртқы: .
Емтихан: . - Ішкі: ; сыртқы: .
Емтихан: . - Ішкі: ; сыртқы: .
Емтихан: .
Біз айнымалыларды өзгертіп, функцияны аламыз.
Енді біз шоколадты батончиктен шығарып, туындысын іздейміз. Процедура әрқашан кері болады: алдымен сыртқы функцияның туындысын іздейміз, содан кейін нәтижені ішкі функцияның туындысына көбейтеміз. Бастапқы мысалға қатысты ол келесідей көрінеді:
Тағы бір мысал:
Сонымен, соңында ресми ережені тұжырымдаймыз:
Күрделі функцияның туындысын табу алгоритмі:
Бұл қарапайым сияқты, солай ма?
Мысалдармен тексерейік:
Шешімдер:
1) Ішкі: ;
Сыртқы: ;
2) Ішкі: ;
(Қазір оны кесуге тырыспаңыз! Косинустың астынан ештеңе шықпайды, есіңізде ме?)
3) Ішкі: ;
Сыртқы: ;
Бұл үш деңгейлі күрделі функция екені бірден түсінікті: бұл қазірдің өзінде күрделі функция, біз одан түбірді де шығарамыз, яғни үшінші әрекетті орындаймыз (шоколадты қаптамаға салыңыз. және портфельдегі лентамен). Бірақ қорқудың қажеті жоқ: біз бұл функцияны әдеттегідей тәртіпте «ораймыз»: соңына дейін.
Яғни, алдымен түбірді, содан кейін косинусты, содан кейін ғана жақшадағы өрнекті ажыратамыз. Сосын барлығын көбейтеміз.
Мұндай жағдайларда әрекеттерді нөмірлеу ыңғайлы. Яғни, не білетінімізді елестетейік. Осы өрнектің мәнін есептеу үшін әрекеттерді қандай ретпен орындаймыз? Мысал қарастырайық:
Әрекет неғұрлым кеш орындалса, сәйкес функция соғұрлым «сыртқы» болады. Әрекеттер тізбегі бұрынғыдай:
Мұнда ұя салу әдетте 4 деңгейлі. Әрекет бағытын анықтайық.
1. Радикалды өрнек. .
2. Түбір. .
3. Синус. .
4. Шаршы. .
5. Барлығын біріктіру:
ТУЫНДЫ. НЕГІЗГІ НӘРСЕЛЕР ТУРАЛЫ ҚЫСҚА
Функцияның туындысы- функция өсімінің аргументтің шексіз аз өсімшесінің аргументінің өсіміне қатынасы:
Негізгі туындылар:
Дифференциация ережелері:
Тұрақты шама туынды таңбадан алынады:
Қосындының туындысы:
Өнімнің туындысы:
Бөлімшенің туындысы:
Күрделі функцияның туындысы:
Күрделі функцияның туындысын табу алгоритмі:
- Біз «ішкі» функцияны анықтаймыз және оның туындысын табамыз.
- «Сыртқы» функцияны анықтаймыз және оның туындысын табамыз.
- Бірінші және екінші нүктелердің нәтижелерін көбейтеміз.
Туындыны табу операциясы дифференциалдау деп аталады.
Аргумент өсімшесінің өсімшеге қатынасының шегі ретінде туындыны анықтау арқылы ең қарапайым (және өте қарапайым емес) функциялардың туындыларын табу есептерін шешу нәтижесінде туындылар кестесі және дифференциалдаудың нақты анықталған ережелері пайда болды. . Туындыларды табу саласында алғаш жұмыс істегендер Исаак Ньютон (1643-1727) және Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716) болды.
Сондықтан біздің заманымызда кез келген функцияның туындысын табу үшін функцияның өсімшесінің аргумент өсіміне қатынасының жоғарыда айтылған шегін есептеудің қажеті жоқ, тек мына кестені пайдалану керек: туындылар және дифференциалдау ережелері. Туындыны табу үшін келесі алгоритм қолайлы.
Туындыны табу, сізге жай таңбаның астындағы өрнек керек қарапайым функцияларды құрамдас бөліктерге бөлужәне қандай әрекеттерді анықтау (өнім, қосынды, үлес)бұл функциялар өзара байланысты. Әрі қарай, элементар функциялардың туындыларын туындылар кестесінен, ал туындының, қосындының және үлестің туындыларының формулаларын дифференциалдау ережелерінен табамыз. Туынды кесте және дифференциалдау ережелері алғашқы екі мысалдан кейін берілген.
1-мысал.Функцияның туындысын табыңыз
Шешім. Дифференциалдау ережелерінен біз функциялар қосындысының туындысы туынды функциялардың қосындысы болатынын анықтаймыз, яғни.
Туындылар кестесінен «Х» туындысы бірге, ал синустың туындысы косинусқа тең екенін білеміз. Бұл мәндерді туындылар қосындысына ауыстырамыз және есеп шарты бойынша талап етілетін туындыны табамыз:
2-мысал.Функцияның туындысын табыңыз
Шешім. Екінші мүшесі тұрақты көбейткіші бар қосындының туындысы ретінде оны туынды белгіден шығаруға болады:
Егер бірдеңенің қайдан шыққаны туралы әлі де сұрақтар туындаса, олар әдетте туындылар кестесімен және дифференциацияның қарапайым ережелерімен танысқаннан кейін жойылады. Біз қазір оларға көшеміз.
Қарапайым функциялардың туындыларының кестесі
| 1. Тұрақтының (санның) туындысы. Функция өрнегіндегі кез келген сан (1, 2, 5, 200...). Әрқашан нөлге тең. Мұны есте сақтау өте маңызды, өйткені бұл өте жиі қажет | |
| 2. Тәуелсіз айнымалының туындысы. Көбінесе «X». Әрқашан бірге тең. Мұны да ұзақ уақыт есте сақтау маңызды | |
| 3. Дәреженің туындысы. Есептерді шығарғанда квадрат емес түбірлерді дәрежелерге түрлендіру керек. | |
| 4. Айнымалының -1 дәрежесіне туындысы | |
| 5. Туынды шаршы түбір | |
| 6. Синустың туындысы | |
| 7. Косинустың туындысы |  |
| 8. Тангенстің туындысы |  |
| 9. Котангенс туындысы |  |
| 10. Арксинустың туындысы |  |
| 11. Арккосинның туындысы |  |
| 12. Арктангенстің туындысы |  |
| 13. Доға котангенсінің туындысы |  |
| 14. Натурал логарифмнің туындысы | |
| 15. Логарифмдік функцияның туындысы |  |
| 16. Көрсеткіштің туындысы | |
| 17. Көрсеткіштік функцияның туындысы |
Дифференциация ережелері
| 1. Қосындының немесе айырманың туындысы |  |
| 2. Өнімнің туындысы |  |
| 2а. Тұрақты көбейткішке көбейтілген өрнектің туындысы | |
| 3. Бөлімшенің туындысы |  |
| 4. Күрделі функцияның туындысы |  |
1-ереже.Функциялар болса
бір нүктеде дифференциалданатын болса, онда функциялар бір нүктеде дифференциалданатын болады
және
сол. функциялардың алгебралық қосындысының туындысы осы функциялардың туындыларының алгебралық қосындысына тең.
Салдары. Егер екі дифференциалданатын функция тұрақты мүшемен ерекшеленсе, олардың туындылары тең болады, яғни.
2-ереже.Функциялар болса
бір нүктеде дифференциалданатын болса, олардың көбейтіндісі сол нүктеде дифференциалданатын болады
және
сол. Екі функцияның туындысының туындысы осы функциялардың әрқайсысының туындысы мен екіншісінің туындысының қосындысына тең.
Қорытынды 1. Тұрақты көбейткішті туындының таңбасынан шығаруға болады:
Қорытынды 2. Бірнеше дифференциалданатын функциялардың туындысының туындысы әрбір фактордың және барлық басқаларының туындыларының көбейтінділерінің қосындысына тең.
Мысалы, үш көбейткіш үшін:
3-ереже.Функциялар болса
белгілі бір уақытта дифференциалданады Және , онда бұл кезде олардың бөлшегі де дифференциалданадыu/v , және
сол. екі функцияның бөліндісінің туындысы бөлшекке тең, оның алымы азайғыш пен алымның туындысы мен алым мен азалғыштың туындысының айырмасы, ал бөлгіш - -ның квадраты. бұрынғы алым.
Басқа беттердегі заттарды қайдан іздеу керек
Нақты есептердегі көбейтіндінің туындысын және көбейтіндіні табу кезінде әрқашан бірден бірнеше дифференциалдау ережелерін қолдану қажет, сондықтан мақалада бұл туындыларға көбірек мысалдар бар«Функциялардың туындысы мен бөлімі».
Пікір.Тұрақтыны (яғни санды) қосындыдағы мүше ретінде және тұрақты көбейткіш ретінде шатастырмау керек! Термин жағдайында оның туындысы нөлге тең, ал тұрақты көбейткіште туындылардың таңбасынан алынады. Бұл типтік қате, күні орын алады бастапқы кезеңтуындыларды зерттейді, бірақ олар бірнеше бір және екі бөліктен тұратын мысалдарды шешетіндіктен, орташа оқушы енді бұл қатені жібермейді.
Ал егер өнімді немесе үлесті саралау кезінде сізде термин болса u"v, онда u- сан, мысалы, 2 немесе 5, яғни тұрақты, онда бұл санның туындысы нөлге тең болады, демек, бүкіл мүше нөлге тең болады (бұл жағдай 10-мысалда талқыланады).
Тағы бір жиі кездесетін қателік күрделі функцияның туындысын қарапайым функцияның туындысы ретінде механикалық жолмен шешу болып табылады. Сондықтан күрделі функцияның туындысыжеке мақала арналған. Бірақ алдымен қарапайым функциялардың туындыларын табуды үйренеміз.
Жолда сіз өрнектерді түрлендірусіз жасай алмайсыз. Мұны істеу үшін нұсқаулықты жаңа терезелерде ашу қажет болуы мүмкін. Күштері мен тамыры бар әрекеттерЖәне Бөлшектермен амалдар .
Егер сіз дәрежелері мен түбірлері бар бөлшектердің туындыларының шешімдерін іздесеңіз, яғни функция қай кезде көрінеді 
, содан кейін «Дәрежелері мен түбірі бар бөлшектердің қосындыларының туындысы» сабағын орындаңыз.
Егер сізде осындай тапсырма болса 
, содан кейін «Қарапайым тригонометриялық функциялардың туындылары» сабағын өтесіз.
Қадамдық мысалдар – туындыны қалай табуға болады
3-мысал.Функцияның туындысын табыңыз
Шешім. Функция өрнегінің бөліктерін анықтаймыз: бүкіл өрнек туындыны білдіреді, ал оның көбейткіштері қосындылар болып табылады, екіншісінде терминдердің бірінде тұрақты фактор бар. Біз туынды дифференциалдау ережесін қолданамыз: екі функцияның туындысының туындысы осы функциялардың әрқайсысының екіншісінің туындысына көбейтіндісінің қосындысына тең:
Әрі қарай, қосынды дифференциалдау ережесін қолданамыз: функциялардың алгебралық қосындысының туындысы осы функциялардың туындыларының алгебралық қосындысына тең. Біздің жағдайда әрбір қосындыда екінші мүшенің минус таңбасы болады. Әрбір қосындыда туындысы бірге тең тәуелсіз айнымалыны да, туындысы нөлге тең тұрақтыны да (сан) көреміз. Сонымен, «X» бірге айналады, ал минус 5 нөлге айналады. Екінші өрнекте «x» 2-ге көбейтіледі, сондықтан біз «x» туындысы сияқты екі бірлікке көбейтеміз. Біз келесі туынды мәндерді аламыз:
Табылған туындыларды көбейтінділердің қосындысына ауыстырамыз және есеп шарты талап ететін барлық функцияның туындысын аламыз:
Сіз туынды есептің шешімін мына жерден тексере аласыз.
4-мысал.Функцияның туындысын табыңыз
Шешім. Бөлімнің туындысын табу керек. Бөлімді дифференциалдау формуласын қолданамыз: екі функцияның бөлімінен алынған туынды бөлшекке тең, оның алымы азайғыш пен алым мен алым мен туындының туындысы арасындағы айырма болып табылады. бөлгіш, ал бөлгіш бұрынғы алымның квадраты болып табылады. Біз аламыз:
Біз 2-мысалдағы алымдағы көбейткіштердің туындысын таптық. Сонымен қатар ағымдағы мысалдағы алымдағы екінші көбейткіш болып табылатын көбейтіндінің минус таңбасымен алынғанын ұмытпайық:
Егер сіз түбірлер мен дәрежелердің үздіксіз үйіндісі болатын функцияның туындысын табу қажет есептердің шешімін іздесеңіз, мысалы, 
, онда сабаққа қош келдіңіз «Дәрежелері мен түбірлері бар бөлшектердің қосындыларының туындысы» .
Синустардың, косинустардың, тангенстердің және басқалардың туындылары туралы көбірек білу қажет болса тригонометриялық функциялар, яғни функция көрінгенде , онда сізге сабақ «Қарапайым тригонометриялық функциялардың туындылары» .
5-мысал.Функцияның туындысын табыңыз
Шешім. Бұл функцияда біз көбейтіндіні көреміз, оның факторларының бірі тәуелсіз айнымалының квадрат түбірі болып табылады, оның туындысымен біз туындылар кестесінде таныстық. Өнімнің дифференциация ережесі бойынша және кестенің мәніквадрат түбірдің туындысын аламыз:
Туынды есептің шешімін мына жерден тексеруге болады туынды құралдардың онлайн калькуляторы .
6-мысал.Функцияның туындысын табыңыз
Шешім. Бұл функцияда дивиденді тәуелсіз айнымалының квадрат түбірі болатын бөлінді көреміз. Біз 4-мысалда қайталаған және қолданатын үлестерді дифференциалдау ережесін және квадрат түбірдің туындысының кестелік мәнін пайдалана отырып, біз мынаны аламыз:
Алымдағы бөлшектен құтылу үшін алым мен бөлгішті көбейту керек.
Егер g(x) Және f(u) – нүктелердегі сәйкесінше олардың аргументтерінің дифференциалданатын функциялары xЖәне u= g(x), онда күрделі функция нүктеде де дифференциалданады xжәне формула бойынша табылады
Туынды есептерді шешудегі әдеттегі қате қарапайым функцияларды күрделі функцияларға дифференциалдау ережелерін механикалық түрде беру болып табылады. Бұл қателіктен аулақ болуды үйренейік.
2-мысал.Функцияның туындысын табыңыз
Қате шешім:жақшадағы әрбір мүшенің натурал логарифмін есептеп, туындыларының қосындысын табыңыз:
Дұрыс шешім:тағы да біз «алманың» және «фарштың» қайда екенін анықтаймыз. Мұнда жақшадағы өрнектің натурал логарифмі «алма», яғни аралық аргумент үстіндегі функция. u, ал жақшадағы өрнек «фарш», яғни аралық аргумент uтәуелсіз айнымалы арқылы x.
Содан кейін (туындылар кестесіндегі 14 формуланы пайдалану)
Көптеген нақты өмірлік есептерде логарифмі бар өрнек біршама күрделірек болуы мүмкін, сондықтан сабақ бар.
3-мысал.Функцияның туындысын табыңыз
Қате шешім:
Дұрыс шешім.Тағы да біз «алма» қайда және «тарш» қайда екенін анықтаймыз. Мұнда жақшадағы өрнектің косинусы (туындылар кестесіндегі 7 формула) «алма» болып табылады, ол тек оған әсер ететін 1 режимде дайындалады, ал жақшадағы өрнек (дәреженің туындысы 3 саны) туындылар кестесінде) «тартылған ет» болып табылады, ол тек оған әсер ететін 2 режимде дайындалады. Және әдеттегідей екі туындыны туынды белгісімен қосамыз. Нәтиже:
Комплекстің туындысы логарифмдік функция- тесттерде жиі кездесетін тапсырма, сондықтан біз сізге «Логарифмдік функцияның туындысы» сабағына қатысуды ұсынамыз.
Алғашқы мысалдар күрделі функцияларға қатысты болды, оларда тәуелсіз айнымалыға аралық аргумент қарапайым функция болды. Бірақ ішінде практикалық тапсырмаларКөбінесе күрделі функцияның туындысын табу қажет, мұнда аралық аргумент не өзі күрделі функция болып табылады немесе осындай функцияны қамтиды. Мұндай жағдайларда не істеу керек? Кестелер мен дифференциалдау ережелерін пайдаланып, осындай функциялардың туындыларын табыңыз. Аралық аргументтің туындысы табылғанда, ол жай ғана формуладағы дұрыс орынға ауыстырылады. Төменде мұны істеудің екі мысалы келтірілген.
Сонымен қатар, мыналарды білу пайдалы. Егер күрделі функцияны үш функцияның тізбегі ретінде көрсетуге болады
онда оның туындысын осы функциялардың әрқайсысының туындыларының көбейтіндісі ретінде табу керек:
Көптеген үй тапсырмалары үшін нұсқаулықтарды жаңа терезелерде ашу қажет болуы мүмкін. Күштері мен тамыры бар әрекеттерЖәне Бөлшектермен амалдар .
4-мысал.Функцияның туындысын табыңыз
Туындылардың нәтижелік туындысында тәуелсіз айнымалыға қатысты аралық аргумент болатынын ұмытпай, күрделі функцияны дифференциалдау ережесін қолданамыз. xөзгермейді:
Өнімнің екінші факторын дайындаймыз және қосындыны дифференциалдау ережесін қолданамыз:
Екінші мүше – түбір, сондықтан
Осылайша, қосынды болып табылатын аралық аргумент терминдердің бірі ретінде күрделі функцияны қамтитынын анықтадық: күшке көтеру - күрделі функция, ал күшке көтерілу - тәуелсізге қатысты аралық аргумент. айнымалы x.
Сондықтан күрделі функцияны дифференциалдау ережесін тағы да қолданамыз:
Бірінші көбейткіштің дәрежесін түбірге айналдырамыз, ал екінші көбейткішті дифференциалдау кезінде тұрақтының туындысы нөлге тең екенін ұмытпа:
Енді мәселенің қойылымында талап етілетін күрделі функцияның туындысын есептеу үшін қажет аралық аргументтің туындысын таба аламыз. ж:
5-мысал.Функцияның туындысын табыңыз
Алдымен қосындыны дифференциалдау ережесін қолданамыз:
Екі күрделі функцияның туындыларының қосындысын алдық. Біріншісін табайық:
Мұнда синусты дәрежеге көтеру күрделі функция, ал синустың өзі тәуелсіз айнымалы үшін аралық аргумент болып табылады. x. Сондықтан біз күрделі функцияны дифференциалдау ережесін қолданамыз факторды жақшадан шығару :
Енді функцияның туындыларының екінші мүшесін табамыз ж:
Мұнда косинусты дәрежеге көтеру күрделі функция болып табылады f, ал косинустың өзі тәуелсіз айнымалыдағы аралық аргумент болып табылады x. Күрделі функцияны дифференциалдау үшін тағы бір ережені қолданайық:
Нәтиже - қажетті туынды:
Кейбір күрделі функциялардың туындыларының кестесі
Күрделі функцияны дифференциалдау ережесіне негізделген күрделі функциялар үшін жай функцияның туындысының формуласы басқа формада болады.
| 1. Күрделі дәрежелік функцияның туындысы, мұндағы u x |  |
| 2. Өрнектің түбірінің туындысы | |
| 3. Көрсеткіштік функцияның туындысы |  |
| 4. Көрсеткіштік функцияның ерекше жағдайы | |
| 5. Ерікті оң негізі бар логарифмдік функцияның туындысы А |  |
| 6. Күрделі логарифмдік функцияның туындысы, мұндағы u– аргументтің дифференциалданатын қызметі x | |
| 7. Синустың туындысы |  |
| 8. Косинустың туындысы |  |
| 9. Тангенстің туындысы |  |
| 10. Котангенс туындысы |  |
| 11. Арксинустың туындысы |  |
| 12. Арккосиннің туындысы |  |
| 13. Арктангенс туындысы |  |
| 14. Доға котангенсінің туындысы |  |
Ол бойынша біз ең қарапайым туындыларды қарастырдық, сонымен қатар дифференциалдау ережелерімен және туындыларды табудың кейбір техникалық әдістерімен таныстық. Осылайша, егер сіз функциялардың туындыларын жақсы білмесеңіз немесе осы мақаланың кейбір тармақтары толығымен түсініксіз болса, алдымен жоғарыдағы сабақты оқып шығыңыз. Маңызды көңіл-күйге ие болыңыз - материал қарапайым емес, бірақ мен оны қарапайым және түсінікті етіп көрсетуге тырысамын.
Практикада күрделі функцияның туындысымен өте жиі айналысуға тура келеді, тіпті туындыларды табу тапсырмалары берілгенде дерлік дерлік дер едім.
Күрделі функцияны дифференциалдау үшін ережедегі кестені (No5) қарастырамыз:
Оны анықтап көрейік. Ең алдымен, жазбаға назар аударайық. Мұнда бізде екі функция бар – және , және функция, бейнелі түрде айтқанда, функцияның ішінде кірістірілген. Бұл түрдегі функция (бір функция басқа функцияның ішіне кірістірілгенде) күрделі функция деп аталады.
Мен функцияны шақырамын сыртқы функция, және функциясы – ішкі (немесе кірістірілген) функция.
! Бұл анықтамалар теориялық емес және тапсырмаларды түпкілікті ресімдеуде көрсетілмеуі керек. Мен «сыртқы функция», «ішкі» функция сияқты бейресми өрнектерді материалды түсінуді жеңілдету үшін ғана қолданамын.
Жағдайды түсіндіру үшін мыналарды қарастырыңыз:
1-мысал
Функцияның туындысын табыңыз
Синус астында бізде «Х» әрпі ғана емес, тұтас өрнек бар, сондықтан туындыны кестеден бірден табу жұмыс істемейді. Мұнда алғашқы төрт ережені қолдану мүмкін емес екенін байқаймыз, айырмашылық бар сияқты, бірақ синусын «бөлшектерге бөлуге» болмайды:
Бұл мысалда функцияның күрделі функция, ал көпмүшеліктің ішкі функция (енгізу) және сыртқы функция екендігі менің түсініктемелерімнен интуитивті түрде анық болды.
Бірінші қадамкүрделі функцияның туындысын табу үшін не істеу керек Қандай функция ішкі, қайсысы сыртқы екенін түсіну.
Қарапайым мысалдар жағдайында көпмүше синусының астына енгізілгені анық көрінеді. Бірақ бәрі анық болмаса ше? Қандай функция сыртқы, қайсысы ішкі екенін қалай дәл анықтауға болады? Ол үшін мен ойша немесе жобада жасауға болатын келесі әдістемені қолдануды ұсынамын.
өрнектің мәнін есептеу үшін калькуляторды пайдалану керек деп елестетіп көрейік (бір санның орнына кез келген сан болуы мүмкін).
Алдымен нені есептейміз? Ең біріншіденкелесі әрекетті орындау керек: , сондықтан көпмүше ішкі функция болады: 
Екіншідентабу керек, сондықтан синус – сыртқы функция болады: 
Бізден кейін САТЫЛДЫішкі және сыртқы функциялармен күрделі функцияларды дифференциалдау ережесін қолданудың уақыты келді 
.
Шешім қабылдауды бастайық. Сабақтан Туындыны қалай табуға болады?Кез келген туынды шешімнің дизайны әрқашан осылай басталатынын есте ұстаймыз - біз өрнекті жақшаға алып, жоғарғы оң жаққа штрих қоямыз:
Басындасыртқы функцияның (синус) туындысын табамыз, элементар функциялардың туындылары кестесін қарап, . Барлық кесте формулалары «x» күрделі өрнекпен ауыстырылса да қолданылады, бұл жағдайда:
Ішкі функцияны ескеріңіз өзгерген жоқ, біз оған тиіспейміз.
Ал, бұл анық
Формуланы қолдану нәтижесі 
оның соңғы түрінде ол келесідей көрінеді:
Тұрақты көбейткіш әдетте өрнектің басында орналасады:
Түсінбеушілік болса, шешімді қағазға жазып, түсініктемелерді қайта оқыңыз.
2-мысал
Функцияның туындысын табыңыз
3-мысал
Функцияның туындысын табыңыз
Әдеттегідей, біз жазамыз: 
Бізде қай жерде сыртқы функция бар, ал қай жерде ішкі функция бар екенін анықтайық. Ол үшін өрнектің мәнін (ойша немесе жобада) есептеуге тырысамыз. Алдымен не істеу керек? Ең алдымен, негіз неге тең екенін есептеу керек: сондықтан көпмүше ішкі функция болып табылады: 
Сонда ғана дәреже көрсеткіші орындалады, демек, дәреже функциясы сыртқы функция болып табылады: 
Формула бойынша 
, алдымен сыртқы функцияның туындысын, бұл жағдайда дәрежесін табу керек. Қажетті формуланы кестеден іздейміз: . Тағы да қайталаймыз: кез келген кестелік формула тек «X» үшін ғана емес, күрделі өрнек үшін де жарамды. Осылайша, күрделі функцияны дифференциалдау ережесін қолдану нәтижесі 
келесі:
Мен сыртқы функцияның туындысын қабылдағанда, ішкі функциямыз өзгермейтінін тағы да атап өтемін: 
Енді ішкі функцияның өте қарапайым туындысын табу және нәтижені сәл бұрмалау ғана қалады:
4-мысал
Функцияның туындысын табыңыз
Бұл сізге өз бетінше шешуге арналған мысал (сабақ соңында жауап).
Күрделі функцияның туындысы туралы түсінігіңді бекіту үшін мен түсініктемесіз мысал келтіремін, оны өз бетінше анықтауға тырысамын, себебі сыртқы және ішкі функция қайда, неге тапсырмалар осылай шешіледі?
5-мысал
а) Функцияның туындысын табыңыз
б) Функцияның туындысын табыңыз
6-мысал
Функцияның туындысын табыңыз 
Мұнда бізде түбір бар, ал түбірді ажырату үшін оны қуат ретінде көрсету керек. Осылайша, алдымен функцияны дифференциалдау үшін қолайлы пішінге келтіреміз:
Функцияны талдай отырып, үш мүшенің қосындысы ішкі функция, ал дәрежеге көтеру сыртқы функция деген қорытындыға келеміз. Күрделі функцияларды дифференциалдау ережесін қолданамыз 
:
Біз қайтадан дәрежені радикал (түбір) ретінде көрсетеміз және ішкі функцияның туындысы үшін қосындыны дифференциалдаудың қарапайым ережесін қолданамыз:
Дайын. Сондай-ақ, өрнекті жақшадағы ортақ бөлгішке дейін азайтып, барлығын бір бөлшек түрінде жазуға болады. Бұл, әрине, әдемі, бірақ сіз ұзақ мерзімді туындыларды алған кезде мұны жасамағаныңыз жөн (шатастыру оңай, қажетсіз қателік жіберіңіз және мұғалімге тексеру ыңғайсыз болады).
7-мысал
Функцияның туындысын табыңыз
Бұл сізге өз бетінше шешуге арналған мысал (сабақ соңында жауап).
Бір қызығы, кейде күрделі функцияны дифференциалдау ережесінің орнына бөлімді дифференциалдау ережесін қолдануға болады. 
, бірақ мұндай шешім әдеттен тыс бұрмалау сияқты болады. Міне, әдеттегі мысал:
8-мысал
Функцияның туындысын табыңыз
Мұнда бөлімді дифференциалдау ережесін қолдануға болады 
, бірақ күрделі функцияны дифференциалдау ережесі арқылы туындыны табу әлдеқайда тиімді:
Функцияны дифференциалдау үшін дайындаймыз - минусты туынды таңбадан шығарып, косинусты алымға көтереміз:
Косинус ішкі функция, дәрежеге шығару сыртқы функция.
Ережемізді қолданайық 
:
Ішкі функцияның туындысын табамыз және косинусты қайтадан төмендетеміз:
Дайын. Қарастырылған мысалда белгілерде шатастырмау маңызды. Айтпақшы, оны ережені пайдаланып шешуге тырысыңыз 
, жауаптары сәйкес болуы керек.
9-мысал
Функцияның туындысын табыңыз
Бұл сізге өз бетінше шешуге арналған мысал (сабақ соңында жауап).
Осы уақытқа дейін бізде күрделі функцияда бір ғана ұя болған жағдайларды қарастырдық. Практикалық тапсырмаларда сіз көбінесе туындыларды таба аласыз, оларда ұя салатын қуыршақтар сияқты бірінің ішінде бірінің ішінде 3 немесе тіпті 4-5 функция бірден кірістірілген.
10-мысал
Функцияның туындысын табыңыз
Осы функцияның қосымшаларын түсінейік. Эксперименттік мәнді пайдаланып өрнекті есептеп көрейік. Калькуляторға қалай сенер едік?
Алдымен сіз оны табуыңыз керек, бұл доғаның ең терең кірістіру екенін білдіреді:
Бірдің бұл доғасының квадраты болуы керек:
Соңында біз жеті күшке көтереміз: 
Яғни, бұл мысалда бізде үш түрлі функция және екі кірістіру бар, ал ішкі функция - доға синусы, ал ең сыртқы функция - көрсеткіштік функция.
Шешім қабылдауды бастайық
Ережеге сәйкес 
Алдымен сыртқы функцияның туындысын алу керек. Туындылар кестесін қарап, көрсеткіштік функцияның туындысын табамыз: Жалғыз айырмашылығы – «x» орнына күрделі өрнек бар, бұл формуланың дұрыстығын жоққа шығармайды. Сонымен, күрделі функцияны дифференциалдау ережесін қолдану нәтижесі 
келесі.