Арифметикалық прогрессияның алғашқы n-мүшелерінің қосындысы. Арифметикалық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласы Арифметикалық прогрессиядағы s-ті қалай табуға болады

Иә, иә: арифметикалық прогрессия сіз үшін ойыншық емес :)

Ал, достар, егер сіз осы мәтінді оқып жатсаңыз, онда ішкі дәлелдер арифметикалық прогрессияның не екенін әлі білмегеніңізді айтады, бірақ сіз шынымен (жоқ, бұл сияқты: SOOOOO!) білгіңіз келеді. Сондықтан мен сізді ұзақ таныстырумен қинамаймын және тікелей сөзге көшемін.

Біріншіден, бірнеше мысал. Бірнеше сандар жиынын қарастырайық:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Барлық осы жиынтықтардың ортақтығы неде? Бір қарағанда, ештеңе жоқ. Бірақ іс жүзінде бір нәрсе бар. Атап айтқанда: әрбір келесі элемент алдыңғысынан бірдей санмен ерекшеленеді.

Өзіңіз бағалаңыз. Бірінші жиын жай қатардағы сандар, келесісі алдыңғысынан бір артық. Екінші жағдайда, көрші сандар арасындағы айырмашылық қазірдің өзінде бес, бірақ бұл айырмашылық әлі де тұрақты. Үшінші жағдайда түбірі бар. Дегенмен, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, және $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, яғни. және бұл жағдайда әрбір келесі элемент жай $\sqrt(2)$ артады (және бұл сан қисынсыз деп қорықпаңыз).

Сонымен: мұндай тізбектердің барлығы арифметикалық прогрессиялар деп аталады. Қатаң анықтама берейік:

Анықтама. Әрбір келесісі алдыңғы саннан дәл бірдей мөлшерде ерекшеленетін сандар тізбегі арифметикалық прогрессия деп аталады. Сандар ерекшеленетін сома прогрессияның айырмашылығы деп аталады және көбінесе $d$ әрпімен белгіленеді.

Белгі: $\left(((a)_(n)) \right)$ - прогрессияның өзі, $d$ - оның айырмашылығы.

Және бірнеше маңызды ескертулер. Біріншіден, прогресс тек қана қарастырылады тапсырыс бердісандар тізбегі: олар жазылған ретпен қатаң оқуға рұқсат етіледі - басқа ештеңе жоқ. Сандарды қайта реттеу немесе ауыстыру мүмкін емес.

Екіншіден, тізбектің өзі ақырлы немесе шексіз болуы мүмкін. Мысалы, (1; 2; 3) жиыны ақырлы арифметикалық прогрессия екені анық. Бірақ егер сіз рухта бірдеңе жазсаңыз (1; 2; 3; 4; ...) - бұл қазірдің өзінде шексіз прогресс. Төрттен кейінгі эллипс алда әлі де бірнеше сандар бар екенін меңзеп тұрғандай. Шексіз көп, мысалы.

Прогресстердің көбеюі немесе азаюы мүмкін екенін де атап өткім келеді. Біз өсіп келе жатқандарды көрдік - сол жиынтық (1; 2; 3; 4; ...). Төмендегі прогрессияның мысалдары:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Жарайды, жақсы: соңғы мысал тым күрделі болып көрінуі мүмкін. Бірақ қалғаны, менің ойымша, сіз түсінесіз. Сондықтан біз жаңа анықтамаларды енгіземіз:

Анықтама. Арифметикалық прогрессия деп аталады:

1. әрбір келесі элемент алдыңғысынан үлкен болса, ұлғайту;
2. кему, егер, керісінше, әрбір келесі элемент алдыңғысынан аз болса.

Сонымен қатар, «стационарлық» деп аталатын тізбектер бар - олар бірдей қайталанатын саннан тұрады. Мысалы, (3; 3; 3; ...).

Бір ғана сұрақ қалады: өсіп келе жатқан прогрессияны төмендейтіннен қалай ажыратуға болады? Бақытымызға орай, мұнда бәрі тек $d$ санының белгісіне байланысты, яғни. прогрессияның айырмашылығы:

1. $d \gt 0$ болса, онда прогрессия артады;
2. Егер $d \lt 0$ болса, онда прогрессия анық төмендейді;
3. Соңында, $d=0$ жағдайы бар - бұл жағдайда бүкіл прогрессия бірдей сандардың стационарлық тізбегіне келтіріледі: (1; 1; 1; 1; ...), т.б.

Жоғарыда келтірілген үш кему прогрессиясы үшін $d$ айырмасын есептеп көрейік. Ол үшін кез келген екі көршілес элементті (мысалы, бірінші және екінші) алып, оң жақтағы саннан сол жақтағы санды алып тастау жеткілікті. Ол келесідей болады:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Көріп отырғанымыздай, үш жағдайда да айырмашылық теріс болып шықты. Енді біз анықтамаларды азды-көпті анықтадық, прогрессиялар қалай сипатталатынын және олардың қандай қасиеттері бар екенін анықтаудың уақыты келді.

Прогрессия шарттары және қайталану формуласы

Біздің тізбектердің элементтерін ауыстыру мүмкін болмағандықтан, оларды нөмірлеуге болады:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\(((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \оң\)\]

Бұл жиынның жеке элементтері прогрессияның мүшелері деп аталады. Олар санмен белгіленеді: бірінші мүше, екінші мүше, т.б.

Сонымен қатар, біз білетіндей, прогрессияның көршілес мүшелері мына формуламен байланысады:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Оң жақ көрсеткі ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Қысқаша айтқанда, прогрессияның $n$-ші мүшесін табу үшін $n-1$-ші мүшесі мен $d$ айырмашылығын білу керек. Бұл формула қайталанатын деп аталады, өйткені оның көмегімен кез келген санды тек алдыңғысын (және іс жүзінде барлық алдыңғыларын) білу арқылы табуға болады. Бұл өте ыңғайсыз, сондықтан кез келген есептеулерді бірінші терминге және айырмашылыққа дейін азайтатын әлдеқайда айлакер формула бар:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\сол(n-1 \оң)d\]

Сіз бұл формуланы бұрыннан кездестірген шығарсыз. Олар оны әртүрлі анықтамалық кітаптар мен шешімдер кітаптарында бергенді ұнатады. Ал кез келген саналы математика оқулығында ол алғашқылардың бірі болып табылады.

Дегенмен, мен сізге аздап жаттығуды ұсынамын.

№1 тапсырма. Алғашқы үш терминді жазыңыз арифметикалық прогрессия$\left(((a)_(n)) \right)$ егер $((a)_(1))=8,d=-5$.

Шешім. Сонымен, біз $((a)_(1))=8$ бірінші мүшесін және $d=-5$ прогрессияның айырмасын білеміз. Жаңа берілген формуланы қолданып, $n=1$, $n=2$ және $n=3$ ауыстырайық:

\[\бастау(туралау) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\сол(2-1 \оң)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\сол(3-1 \оң)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \соңы(туралау)\]

Жауабы: (8; 3; −2)

Міне бітті! Назар аударыңыз: біздің ілгерілеушілік азайып келеді.

Әрине, $n=1$ ауыстыру мүмкін емес - бірінші термин бізге бұрыннан белгілі. Дегенмен, бірлікті алмастыра отырып, біз формуламыздың бірінші тоқсанның өзінде жұмыс істейтініне көз жеткіздік. Басқа жағдайларда бәрі банальды арифметикаға келді.

№2 тапсырма. Арифметикалық прогрессияның жетінші мүшесі -40-қа, он жетінші мүшесі -50-ге тең болса, оның алғашқы үш мүшесін жазыңыз.

Шешім. Мәселенің шартын таныс терминдермен жазайық:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(туралау) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & (a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \соңы(туралау) \оңға.\]

\[\сол\( \бастау(туралау) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & (a)_(1))+16d=-50 \\ \соңы(туралау) \right.\]

Мен жүйе белгісін қойдым, себебі бұл талаптар бір уақытта орындалуы керек. Енді екінші теңдеуден біріншісін алып тастасақ (бізде жүйе болғандықтан, мұны істеуге құқығымыз бар), мынаны аламыз:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \соңы(туралау)\]

Прогрессиялық айырмашылықты табу оңай! Табылған санды жүйенің кез келген теңдеуіне ауыстыру ғана қалады. Мысалы, біріншісінде:

\[\бастау(матрица) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Төмен қарай \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((а)_(1))=-40+6=-34. \\ \соңы(матрица)\]

Енді бірінші мүше мен айырмашылықты біле отырып, екінші және үшінші мүшелерді табу керек:

\[\бастау(туралау) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \соңы(туралау)\]

Дайын! Мәселе шешілді.

Жауабы: (−34; −35; −36)

Прогрессияның біз ашқан қызықты қасиетіне назар аударыңыз: егер $n$th және $m$th мүшелерін алып, оларды бір-бірінен алсақ, прогрессияның айырмасын $n-m$ санына көбейтеміз:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \оң)\]

Сіз міндетті түрде білуіңіз керек қарапайым, бірақ өте пайдалы қасиет - оның көмегімен сіз прогрессияның көптеген мәселелерін шешуді айтарлықтай жылдамдата аласыз. Мұның айқын мысалы:

№3 тапсырма. Арифметикалық прогрессияның бесінші мүшесі 8,4, оныншы мүшесі 14,4-ке тең. Осы прогрессияның он бесінші мүшесін табыңыз.

Шешім. $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$ болғандықтан және $((a)_(15))$ табу керек болғандықтан, біз мынаны ескереміз:

\[\бастау(туралау) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \соңы(туралау)\]

Бірақ $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$ шарты бойынша $5d=6$, одан бізде:

\[\бастау(туралау) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \соңы(туралау)\]

Жауабы: 20.4

Міне бітті! Бізге ешқандай теңдеулер жүйесін құрудың және бірінші мүшесі мен айырмашылығын есептеудің қажеті жоқ - барлығы бірнеше жолда шешілді.

Енді мәселенің тағы бір түрін қарастырайық – прогрессияның теріс және оң шарттарын іздеу. Прогрессия ұлғайып, оның бірінші мүшесі теріс болса, онда ерте ме, кеш пе оң терминдер пайда болатыны ешкімге құпия емес. Және керісінше: төмендейтін прогрессияның шарттары ерте ме, кеш пе теріс болады.

Сонымен қатар, элементтерді дәйекті түрде өту арқылы осы сәтті «басқа» табу әрдайым мүмкін емес. Көбінесе есептер формулаларды білмей-ақ, есептеулер бірнеше парақ қағазды алатындай етіп жазылады — жауабын тапқанша біз жай ғана ұйықтап қалатынбыз. Сондықтан бұл мәселелерді тезірек шешуге тырысайық.

№4 тапсырма. Арифметикалық прогрессияда неше теріс мүше бар −38,5; −35,8; ...?

Шешім. Сонымен, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, сол жерден бірден айырмашылықты табамыз:

Айырмашылық оң екенін ескеріңіз, сондықтан прогресс артады. Бірінші мүше теріс, сондықтан біз бір сәтте оң сандарға тап боламыз. Бұл қашан болады деген жалғыз сұрақ.

Терминдердің теріс мәні қанша уақытқа дейін (яғни, $n$ қандай натурал санға дейін) болатынын анықтауға тырысайық:

\[\бастау(туралау) & ((a)_(n)) \lt 0\Оң жақ көрсеткі ((a)_(1))+\сол(n-1 \оң)d \lt 0; \\ & -38,5+\сол(n-1 \оң)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \оңға. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Оң жақ көрсеткі ((n)_(\max ))=15. \\ \соңы(туралау)\]

Соңғы жол кейбір түсініктемелерді қажет етеді. Сонымен, біз $n \lt 15\frac(7)(27)$ екенін білеміз. Екінші жағынан, біз тек санның бүтін мәндерімен қанағаттанамыз (сонымен қатар: $n\in \mathbb(N)$), сондықтан ең үлкен рұқсат етілген сан дәл $n=15$ және ешбір жағдайда 16 емес. .

№5 тапсырма. Арифметикалық прогрессияда $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Осы прогрессияның бірінші оң мүшесінің нөмірін табыңыз.

Бұл алдыңғы мәселемен бірдей болады, бірақ біз $((a)_(1))$ білмейміз. Бірақ көршілес терминдер белгілі: $((a)_(5))$ және $((a)_(6))$, сондықтан прогрессияның айырмашылығын оңай таба аламыз:

Сонымен қатар, стандартты формула арқылы бесінші мүшені бірінші және айырма арқылы өрнектеп көрейік:

\[\бастау(туралау) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \соңы(туралау)\]

Енді біз аналогия бойынша әрекет етеміз алдыңғы тапсырма. Оң сандар қатарымыздың қай нүктесінде пайда болатынын білейік:

\[\бастау(туралау) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Оң жақ көрсеткі ((n)_(\мин ))=56. \\ \соңы(туралау)\]

Бұл теңсіздіктің ең кіші бүтін шешімі 56 саны.

Назар аударыңыз: соңғы тапсырмада бәрі орындалды қатаң теңсіздік, сондықтан $n=55$ опциясы бізге сәйкес келмейді.

Қарапайым есептерді шығаруды үйрендік, енді күрделірек есептерге көшейік. Бірақ алдымен арифметикалық прогрессияның тағы бір пайдалы қасиетін зерттеп көрейік, ол бізге көп уақытты және болашақта тең емес ұяшықтарды үнемдейді :)

Орташа арифметикалық және тең шегіністер

$\left(((a)_(n)) \right)$ өсетін арифметикалық прогрессияның бірнеше қатарынан мүшелерін қарастырайық. Оларды сандар жолында белгілеп көрейік:

Сан түзуіндегі арифметикалық прогрессияның шарттары

Мен $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ ерікті терминдерді арнайы белгіледім, кейбір $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$, т.б. Өйткені мен қазір айтатын ереже кез келген «сегменттерге» бірдей жұмыс істейді.

Ал ереже өте қарапайым. Қайталанатын формуланы еске түсіріп, оны барлық белгіленген терминдер үшін жазайық:

\[\бастау(туралау) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \соңы(туралау)\]

Дегенмен, бұл теңдіктерді басқаша қайта жазуға болады:

\[\бастау(туралау) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \соңы(туралау)\]

Сонда не? Ал $((a)_(n-1))$ және $((a)_(n+1))$ терминдерінің $((a)_(n)) $-дан бірдей қашықтықта жатқаны. . Және бұл қашықтық $d$-ға тең. $((a)_(n-2))$ және $((a)_(n+2))$ терминдері туралы да осылай айтуға болады - олар $((a)_(n) терминінен де жойылған. )$ бірдей қашықтықта $2d$ тең. Біз ad infinitum жалғастыра аламыз, бірақ мағынасы суретте жақсы суреттелген

Прогрессия шарттары центрден бірдей қашықтықта жатыр

Бұл біз үшін нені білдіреді? Бұл көрші сандар белгілі болса, $((a)_(n))$ табуға болатынын білдіреді:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)(2)\]

Біз тамаша тұжырым алдық: арифметикалық прогрессияның әрбір мүшесі оның көрші мүшелерінің арифметикалық ортасына тең! Сонымен қатар: біз $((a)_(n))$ нүктесінен солға және оңға бір қадаммен емес, $k$ қадамдарымен артқа шегінуге болады - және формула әлі де дұрыс болады:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Сол. $((a)_(150))$ $((a)_(100))$ және $((a)_(200))$ білсек, біз оңай таба аламыз, себебі $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)(2)$. Бір қарағанда, бұл факт бізге пайдалы ештеңе бермейтін сияқты көрінуі мүмкін. Бірақ іс жүзінде көптеген есептер орташа арифметикалық шаманы қолдануға арнайы бейімделген. Қараңыз:

№6 тапсырма. $-6((x)^(2))$, $x+1$ және $14+4((x)^(2))$ сандары ретті терминдер болатын $x$ мәндерін табыңыз. арифметикалық прогрессия (көрсетілген ретпен).

Шешім. Бұл сандар прогрессияның мүшелері болғандықтан, олар үшін орташа арифметикалық шарт орындалады: $x+1$ орталық элементін көршілес элементтер арқылы көрсетуге болады:

\[\бастау(туралау) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \соңы(туралау)\]

Нәтижесінде классикалық квадрат теңдеу шығады. Оның түбірлері: $x=2$ және $x=-3$ жауап болып табылады.

Жауабы: −3; 2.

№7 тапсырма. $-1;4-3;(()^(2))+1$ сандары арифметикалық прогрессия құрайтын $$ мәндерін табыңыз (осы ретпен).

Шешім. Орташа мүшені көршілес мүшелердің арифметикалық ортасы арқылы тағы да өрнектейік:

\[\бастау(туралау) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \оңға.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \соңы(туралау)\]

Қайтадан квадрат теңдеу. Және тағы да екі түбір бар: $x=6$ және $x=1$.

Жауабы: 1; 6.

Егер мәселені шешу барысында сіз кейбір қатыгез сандарды ойлап тапсаңыз немесе табылған жауаптардың дұрыстығына толық сенімді болмасаңыз, онда тексеруге мүмкіндік беретін тамаша әдіс бар: біз мәселені дұрыс шештік пе?

№6 есепте −3 және 2 жауаптарын алдық делік. Бұл жауаптардың дұрыстығын қалай тексеруге болады? Оларды бастапқы күйге қосып, не болатынын көрейік. Естеріңізге сала кетейін, бізде арифметикалық прогрессия құрайтын үш сан ($-6(()^(2))$, $+1$ және $14+4(()^(2))$ бар. $x=-3$ ауыстырайық:

\[\бастау(туралау) & x=-3\Оң жақ көрсеткі \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \соңы(туралау)\]

Біз −54 сандарын алдық; −2; Айырмашылығы 52 болатын 50 саны арифметикалық прогрессия екені сөзсіз. $x=2$ үшін де солай болады:

\[\бастау(туралау) & x=2\Оң жақ көрсеткі \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \соңы(туралау)\]

Тағы да прогрессия, бірақ айырмашылығы 27. Осылайша, мәселе дұрыс шешілді. Қалаушылар екінші мәселені өз бетінше тексере алады, бірақ мен бірден айтамын: мұнда да бәрі дұрыс.

Жалпы, соңғы мәселелерді шешу барысында тағы бір мәселеге тап болдық қызықты факт, оны да есте сақтау қажет:

Үш сан болса, екіншісі орта болады алдымен арифметикажәне соңғысы, содан кейін бұл сандар арифметикалық прогрессияны құрайды.

Болашақта бұл мәлімдемені түсіну мәселенің шарттарына негізделген қажетті прогрессияларды сөзбе-сөз «құруға» мүмкіндік береді. Бірақ мұндай «құрылыспен» айналыспас бұрын, біз бұрын талқыланған нәрседен туындайтын тағы бір фактіге назар аударуымыз керек.

Элементтерді топтастыру және жинақтау

Сандар осіне қайта оралайық. Прогрессияның бірнеше мүшелерін атап өтейік, олардың арасында болуы мүмкін. көптеген басқа мүшелерге тұрарлық:

Сан түзуінде 6 элемент белгіленген

«Сол жақ құйрықты» $((a)_(n))$ және $d$ арқылы, ал «оң құйрықты» $((a)_(k))$ және $d$ арқылы өрнектеп көрейік. Бұл өте қарапайым:

\[\бастау(туралау) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \соңы(туралау)\]

Енді келесі сомалар тең екенін ескеріңіз:

\[\бастау(туралау) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= С. \соңы(туралау)\]

Қарапайым тілмен айтқанда, егер біз жалпы $S$ санына тең болатын прогрессияның екі элементін бастама ретінде қарастырсақ, содан кейін осы элементтерден қарама-қарсы бағытта қадам бастай бастасақ (бір-біріне қарай немесе керісінше алыстау үшін), содан кейін біз сүрінетін элементтердің қосындылары да тең болады$S$. Мұны графикалық түрде ең айқын көрсетуге болады:

Бірдей шегіністер бірдей шамаларды береді

Бұл фактіні түсіну бізге жоғарыда қарастырғандарға қарағанда күрделіліктің түбегейлі жоғары деңгейіндегі мәселелерді шешуге мүмкіндік береді. Мысалы, мыналар:

№8 тапсырма. Бірінші мүшесі 66, ал екінші және он екінші мүшелерінің көбейтіндісі мүмкін болатын ең кіші арифметикалық прогрессияның айырмасын анықтаңыз.

Шешім. Біз білетіндердің бәрін жазайық:

\[\бастау(туралау) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\мин . \соңы(туралау)\]

Сонымен, $d$ прогрессияның айырмашылығын білмейміз. Шын мәнінде, бүкіл шешім айырмашылықтың айналасында құрылады, себебі $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ өнімін келесідей қайта жазуға болады:

\[\бастау(туралау) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \соңы(туралау)\]

Резервуардағылар үшін: Мен екінші жақшадан 11-дің жалпы көбейткішін алдым. Осылайша, қажетті туынды $d$ айнымалысына қатысты квадраттық функция болып табылады. Сондықтан $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ функциясын қарастырайық - оның графигі тармақтары жоғары парабола болады, өйткені жақшаларды кеңейтсек, аламыз:

\[\бастау(туралау) & f\left(d \оңға)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \оңға)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Көріп отырғаныңыздай, ең жоғары мүшенің коэффициенті 11 - бұл оң сан, сондықтан біз шын мәнінде жоғары тармақтары бар параболамен айналысамыз:

кесте квадраттық функция- парабола

Назар аударыңыз: бұл парабола өзінің ең төменгі мәнін $((d)_(0))$ абсциссасымен төбесінде қабылдайды. Әрине, біз бұл абсциссаны стандартты схема арқылы есептей аламыз ($((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ формуласы бар), бірақ ескергеніміз әлдеқайда орынды болар еді. қажетті шыңы параболаның осінің симметриясында жатқанын, сондықтан $((d)_(0))$ нүктесі $f\left(d \right)=0$ теңдеуінің түбірлерінен бірдей қашықтықта орналасқан:

\[\бастау(туралау) & f\left(d \оңға)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\төрт ((d)_(2))=-6. \\ \соңы(туралау)\]

Сондықтан мен жақшаларды ашуға асықпадым: олардың бастапқы түрінде тамырларды табу өте оңай болды. Демек, абсцисса −66 және −6 сандарының арифметикалық ортасына тең:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Табылған сан бізге не береді? Оның көмегімен қажетті өнім алады ең кіші мән(айтпақшы, біз ешқашан $((y)_(\min ))$ есептемедік - бұл бізден талап етілмейді). Сонымен қатар, бұл сан бастапқы прогрессияның айырмашылығы, яғни. жауабын таптық. :)

Жауабы: −36

№9 тапсырма. $-\frac(1)(2)$ және $-\frac(1)(6)$ сандарының арасына осы сандармен бірге арифметикалық прогрессия құрайтындай үш санды енгізіңіз.

Шешім. Негізінде бірінші және соңғы саны белгілі бес саннан тұратын тізбегі жасауымыз керек. Жетіспейтін сандарды $x$, $y$ және $z$ айнымалылары арқылы белгілейік:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \оң\ )\]

$y$ саны біздің қатарымыздың «ортасы» екенін ескеріңіз - ол $x$ және $z$ сандарынан және $-\frac(1)(2)$ және $-\frac сандарынан бірдей қашықтықта орналасқан. (1)( 6)$. Ал егер біз $x$ және $z$ сандарынан $y$ ала алмасақ, онда прогрессияның соңындағы жағдай басқаша болады. Арифметикалық ортаны еске түсірейік:

Енді $y$ біле отырып, біз қалған сандарды табамыз. $x$ $-\frac(1)(2)$ және біз жаңа тапқан $y=-\frac(1)(3)$ сандары арасында жатқанын ескеріңіз. Сондықтан

Ұқсас дәлелдерді пайдалана отырып, біз қалған санды табамыз:

Дайын! Біз үш санды да таптық. Оларды жауапта бастапқы сандар арасына енгізу ретімен жазайық.

Жауабы: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

№10 тапсырма. 2 және 42 сандарының арасына осы сандармен бірге арифметикалық прогрессия құрайтын бірнеше сандарды енгізіңіз, егер енгізілген сандардың бірінші, екінші және соңғысының қосындысы 56 екенін білсеңіз.

Шешім. Одан да күрделі мәселе, дегенмен, алдыңғыларымен бірдей схема бойынша - арифметикалық орта арқылы шешіледі. Мәселе мынада, біз нақты қанша санды енгізу керек екенін білмейміз. Сондықтан, барлығын енгізгеннен кейін нақты $n$ сандары болады деп есептейік, олардың біріншісі 2, ал соңғысы 42. Бұл жағдайда қажетті арифметикалық прогрессияны келесі түрде көрсетуге болады:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \оң\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Алайда $((a)_(2))$ және $((a)_(n-1))$ сандары шеттердегі 2 және 42 сандарынан бір-біріне қарай бір қадаммен алынғанын ескеріңіз, яғни ретінің ортасына. Және бұл дегеніміз

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Бірақ жоғарыда жазылған өрнекті келесідей қайта жазуға болады:

\[\бастау(туралау) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \соңы(туралау)\]

$((a)_(3))$ және $((a)_(1))$ біле отырып, прогрессияның айырмашылығын оңай таба аламыз:

\[\бастау(туралау) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\сол(3-1 \оң)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Оң жақ көрсеткі d=5. \\ \соңы(туралау)\]

Қалған шарттарды табу ғана қалады:

\[\бастау(туралау) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \соңы(туралау)\]

Осылайша, 9-қадамда біз тізбектің сол жағына - 42 санына келеміз. Барлығы тек 7 санды енгізу керек болды: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Жауабы: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Прогрессиялармен сөз мәселелері

Қорытындылай келе, мен салыстырмалы түрде қарапайым бірнеше мәселені қарастырғым келеді. Бұл қарапайым: мектепте математиканы оқитын және жоғарыда жазылғандарды оқымаған студенттердің көпшілігі үшін бұл есептер қиын болып көрінуі мүмкін. Дегенмен, бұл математикадан OGE және Бірыңғай мемлекеттік емтиханда кездесетін есептердің түрлері, сондықтан мен сізге олармен танысуды ұсынамын.

№11 тапсырма. Ұжым қаңтар айында 62 деталь шығарса, келесі айда алдыңғы аймен салыстырғанда 14 дана артық өндірді. Команда қараша айында неше бөлшек шығарды?

Шешім. Айлар бойынша тізімделген бөліктер саны артып келе жатқан арифметикалық прогрессияны білдіретіні анық. Оның үстіне:

\[\бастау(туралау) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\сол(n-1 \оң)\cdot 14. \\ \соңы(туралау)\]

Қараша - жылдың 11 айы, сондықтан $((a)_(11))$ табу керек:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Сондықтан қараша айында 202 деталь шығарылады.

№12 тапсырма. Түптеу шеберханасы қаңтар айында 216 кітапты түптеп шығарса, келесі айда алдыңғыға қарағанда 4 кітапқа артық тігіледі. Желтоқсан айында шеберхана неше кітапты түптеді?

Шешім. Барлығы бірдей:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\сол(n-1 \оң)\cdot 4. \\ \соңы(туралау)$

Желтоқсан - жылдың соңғы, 12-ші айы, сондықтан біз $((a)_(12))$ іздейміз:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Бұл жауап – желтоқсан айында 260 кітап тігілетін болады.

Егер сіз осы уақытқа дейін оқыған болсаңыз, мен сізді құттықтауға асығамын: сіз арифметикалық прогрессияның «жас жауынгер курсын» сәтті аяқтадыңыз. Келесі сабаққа қауіпсіз өтуге болады, онда біз прогрессияның қосындысының формуласын, сондай-ақ одан маңызды және өте пайдалы нәтижелерді зерттейміз.

Математиканың сурет пен поэзия сияқты өзіндік сұлулығы бар.

Орыс ғалымы, механик Н.Е. Жуковский

Өте жиі кездесетін тапсырмалар қабылдау емтихандарыматематикада арифметикалық прогрессия ұғымына байланысты есептер. Мұндай есептерді сәтті шешу үшін арифметикалық прогрессияның қасиеттерін жақсы білу керек және оларды қолдануда белгілі бір дағдылар болуы керек.

Алдымен арифметикалық прогрессияның негізгі қасиеттерін еске түсіріп, ең маңызды формулаларын көрсетейік, осы тұжырымдамамен байланысты.

Анықтама. Сан тізбегі, онда әрбір келесі термин алдыңғысынан бірдей санмен ерекшеленеді, арифметикалық прогрессия деп аталады. Бұл жағдайда нөмірпрогрессияның айырмашылығы деп аталады.

Арифметикалық прогрессия үшін келесі формулалар жарамды:

, (1)

Қайда. Формула (1) арифметикалық прогрессияның жалпы мүшесінің формуласы деп аталады, ал (2) формула арифметикалық прогрессияның негізгі қасиетін білдіреді: прогрессияның әрбір мүшесі оның көрші мүшелерінің арифметикалық ортасымен сәйкес келеді және .

Қарастырылып отырған прогрессияның дәл осы қасиетіне байланысты «арифметикалық» деп аталатынына назар аударыңыз.

Жоғарыда келтірілген (1) және (2) формулалар келесідей жалпыланған:

(3)

соманы есептеу үшінбірінші арифметикалық прогрессияның мүшелеріформуласы әдетте қолданылады

(5) қайда және .

Егер формуланы ескерсек (1), онда (5) формуладан шығады

деп белгілесек, онда

Қайда. Өйткені (7) және (8) формулалар сәйкес (5) және (6) формулалардың жалпыламасы болып табылады.

Сондай-ақ , (5) формуладан шығады, Не

Келесі теорема арқылы тұжырымдалған арифметикалық прогрессияның қасиеті студенттердің көпшілігіне аз белгілі.

Теорема.Егер болса, онда

Дәлелдеу.Егер болса, онда

Теорема дәлелденді.

Мысалы , теореманы қолдану, мұны көрсетуге болады

«Арифметикалық прогрессия» тақырыбы бойынша есептерді шешудің типтік мысалдарын қарастыруға көшейік.

1-мысал.Болсын. Табыңыз.

Шешім.(6) формуланы қолданып, аламыз. бері және , содан кейін немесе .

2-мысал.Ол үш есе үлкен болсын, ал бөліндіге бөлгенде нәтиже 2, ал қалдық 8 болады. және анықтаңыз.

Шешім.Мысал шарттарынан теңдеулер жүйесі шығады

болғандықтан, , және , онда (10) теңдеулер жүйесінен аламыз

Бұл теңдеулер жүйесінің шешімі және.

3-мысал.Егер және .

Шешім.(5) формулаға сәйкес бізде немесе болады. Дегенмен, (9) сипатты пайдалана отырып, біз аламыз.

бастап және , содан кейін теңдігінен теңдеу келесідейнемесе .

4-мысал.Егер табыңыз.

Шешім.(5) формулаға сәйкес бізде

Дегенмен, теореманы пайдалана отырып, біз жаза аламыз

Осы жерден және (11) формуладан аламыз.

5-мысал. Берілген: . Табыңыз.

Шешім.Содан бері. Алайда, сондықтан.

6-мысал.болсын , және . Табыңыз.

Шешім.(9) формуланы қолданып, аламыз. Демек, егер болса, онда немесе.

Содан бері және онда бізде теңдеулер жүйесі бар

Қайсысын шешсек, және .

Теңдеудің табиғи түбіріболып табылады.

7-мысал.Егер және .

Шешім.(3) формулаға сәйкес бізде бұл болғандықтан, есеп шарттарынан теңдеулер жүйесі шығады

Егер өрнекті ауыстырсақжүйенің екінші теңдеуіне, онда біз немесе аламыз.

Тамырлар квадрат теңдеуболып табыладыЖәне .

Екі жағдайды қарастырайық.

1. Онда болсын. Содан бері және, содан кейін.

Бұл жағдайда (6) формулаға сәйкес бізде

2. Егер , онда , және

Жауап: және.

8-мысал.Бұл белгілі және. Табыңыз.

Шешім.(5) формуланы және мысалдың шартын ескере отырып, және жазамыз.

Бұл теңдеулер жүйесін білдіреді

Жүйенің бірінші теңдеуін 2-ге көбейтіп, екінші теңдеуге қоссақ, мынаны аламыз.

(9) формулаға сәйкес бізде. Осыған байланысты (12)немесе .

Содан бері және, содан кейін.

Жауап: .

9-мысал.Егер және .

Шешім.бері , және шарты бойынша , содан кейін немесе .

(5) формуладан белгілі, Не . Содан бері.

Демек, мұнда сызықтық теңдеулер жүйесі бар

Осыдан біз аламыз және . (8) формуланы ескере отырып, жазамыз.

10-мысал.Теңдеуді шеш.

Шешім.Берілген теңдеуден мынау шығады. , , және деп есептейік. Бұл жағдайда.

(1) формулаға сәйкес немесе жаза аламыз.

болғандықтан, (13) теңдеудің жалғыз қолайлы түбірі болады.

11-мысал.және болған жағдайда ең үлкен мәнді табыңыз.

Шешім.болғандықтан, онда қарастырылып отырған арифметикалық прогрессия кемиді. Осыған байланысты өрнек прогрессияның минималды оң мүшесінің саны болғанда өзінің ең үлкен мәнін алады.

(1) формуланы және фактіні қолданайық, бұл және . Сонда біз оны аламыз немесе .

Содан бері, содан кейін немесе . Дегенмен, бұл теңсіздіктеең үлкен натурал сан, Сондықтан .

Егер , және мәндері (6) формулаға ауыстырылса, біз аламыз.

Жауап: .

12-мысал.Барлық екі таңбалы сандардың қосындысын анықтаңыз натурал сандар, ол 6-ға бөлгенде 5 қалдығы қалады.

Шешім.Барлық екі таңбалы натурал сандар жиынымен белгілейік, яғни. . Әрі қарай, жиынның элементтерінен (сандарынан) тұратын ішкі жиынды құрастырамыз, ол 6 санына бөлінгенде 5 қалдығы шығады.

Орнату оңай, Не . Әлбетте, бұл жиынның элементтеріарифметикалық прогрессияны құрайды, онда және .

Жиынның түбегейлілігін (элементтерінің санын) орнату үшін біз . және болғандықтан, (1) немесе формуладан шығады. (5) формуланы ескере отырып, аламыз.

Мәселені шешудің жоғарыда келтірілген мысалдары ешбір жағдайда толық деп айта алмайды. Бұл мақала талдау негізінде жазылған заманауи әдістершешімдер типтік тапсырмаларберілген тақырып бойынша. Арифметикалық прогрессияға байланысты есептерді шешу әдістерін тереңірек зерттеу үшін ұсынылған әдебиеттер тізіміне жүгінген жөн.

1. Колледжге түсушілерге арналған математикадан есептер жинағы / Ред. М.И. Сканави. – М.: Бейбітшілік және білім, 2013. – 608 б.

2. Супрун В.П. Жоғары сынып оқушыларына арналған математика: қосымша бөлімдер мектеп бағдарламасы. – М.: Ленанд / URSS, 2014. – 216 б.

3. Медынский М.М. Есептер мен жаттығулардағы бастауыш математиканың толық курсы. 2-кітап: Сандар тізбегі мен прогрессиясы. – М.: Эдитус, 2015. – 208 б.

Әлі де сұрақтарыңыз бар ма?

Тәрбиешіден көмек алу үшін тіркеліңіз.

веб-сайт, материалды толық немесе ішінара көшіру кезінде дереккөзге сілтеме қажет.

Кейбір адамдар «прогресс» сөзіне өте сақтықпен қарайды күрделі терминбөлімдерден жоғары математика. Сонымен қатар, ең қарапайым арифметикалық прогрессия - бұл такси есептегішінің жұмысы (олар әлі де бар). Бірнеше қарапайым ұғымдарды талдай отырып, арифметикалық тізбектің мәнін (және математикада «мәні алудан» маңызды ештеңе жоқ) түсіну соншалықты қиын емес.

Математикалық сандар тізбегі

Сандық реттілік әдетте сандар қатары деп аталады, олардың әрқайсысының өз нөмірі бар.

a 1 – тізбектің бірінші мүшесі;

және 2 – қатардың екінші мүшесі;

және 7 - қатардың жетінші мүшесі;

және n – қатардың n-ші мүшесі;

Дегенмен, сандар мен сандардың кез келген ерікті жиынтығы бізді қызықтырмайды. Біз назарымызды n-ші мүшесінің мәні оның реттік санына математикалық түрде анық тұжырымдауға болатын қатынас арқылы қатысты болатын сандық тізбекке аударамыз. Басқаша айтқанда: сандық мән n-ші сан n-дің кейбір функциясы болып табылады.

a – сандық қатардың мүшесінің мәні;

n – оның сериялық нөмірі;

f(n) – функция, мұндағы n сандық қатардағы реттік сан аргумент болып табылады.

Анықтама

Арифметикалық прогрессия әдетте әрбір келесі мүше алдыңғысынан бірдей санға үлкен (кем) болатын сандық тізбек деп аталады. Арифметикалық қатардың n-ші мүшесінің формуласы келесідей:

a n – арифметикалық прогрессияның ағымдағы мүшесінің мәні;

a n+1 – келесі санның формуласы;

d - айырмашылық (белгілі бір сан).

Айырма оң (d>0) болса, онда қарастырылып отырған қатардың әрбір келесі мүшесі алдыңғысынан үлкен болатынын және мұндай арифметикалық прогрессияның өсетінін анықтау оңай.

Төмендегі графикте мұның себебін түсіну оңай сандар тізбегі«арту» деп аталады.

Айырмашылық теріс болған жағдайларда (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Көрсетілген мүше мәні

Кейде арифметикалық прогрессияның кез келген ерікті a n мүшесінің мәнін анықтау қажет болады. Мұны арифметикалық прогрессияның барлық мүшелерінің мәндерін біріншіден бастап қажеттіге дейін дәйекті түрде есептеу арқылы жасауға болады. Алайда, мысалы, бес мыңыншы немесе сегіз миллионыншы мүшенің мәнін табу қажет болса, бұл жол әрқашан қолайлы бола бермейді. Дәстүрлі есептеулер көп уақытты алады. Дегенмен, белгілі бір арифметикалық прогрессияны белгілі формулалар арқылы зерттеуге болады. Сондай-ақ n-ші мүшесінің формуласы бар: арифметикалық прогрессияның кез келген мүшесінің мәнін прогрессияның бірінші мүшесінің қосындысы прогрессияның айырмасымен, қажетті мүшенің санына көбейтілген, азайтылған қосындысы ретінде анықтауға болады. бір.

Формула прогрессияның жоғарылауы және төмендеуі үшін әмбебап болып табылады.

Берілген терминнің мәнін есептеудің мысалы

Арифметикалық прогрессияның n-ші мүшесінің мәнін табуға келесі есепті шығарайық.

Шарты: параметрлері бар арифметикалық прогрессия бар:

Тізбектің бірінші мүшесі 3;

Сандар қатарындағы айырмашылық 1,2.

Тапсырма: 214 мүшенің мәнін табу керек

Шешуі: берілген мүшенің мәнін анықтау үшін мына формуланы қолданамыз:

a(n) = a1 + d(n-1)

Мәселе мәлімдемесіндегі деректерді өрнекке ауыстырсақ, бізде:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Жауабы: Тізбектің 214-ші мүшесі 258,6-ға тең.

Бұл есептеу әдісінің артықшылықтары айқын - бүкіл шешім 2 жолдан аспайды.

Берілген терминдер санының қосындысы

Көбінесе берілген арифметикалық қатарда оның кейбір сегменттерінің мәндерінің қосындысын анықтау қажет. Мұны істеу үшін әр терминнің мәндерін есептеп, содан кейін оларды қосудың қажеті жоқ. Бұл әдіс қосындысын табуды қажет ететін мүшелердің саны аз болған жағдайда қолданылады. Басқа жағдайларда келесі формуланы қолдану ыңғайлырақ.

1-ден n-ге дейінгі арифметикалық прогрессияның мүшелерінің қосындысы бірінші және n-ші мүшелердің қосындысына тең, n мүшесінің санына көбейтіліп, екіге бөлінеді. Егер формулада n-ші мүшесінің мәні мақаланың алдыңғы абзацындағы өрнекпен ауыстырылса, мынаны аламыз:

Есептеу мысалы

Мысалы, келесі шарттармен мәселені шешейік:

Тізбектің бірінші мүшесі нөлге тең;

Айырмашылық 0,5.

Есеп 56-дан 101-ге дейінгі қатар мүшелерінің қосындысын анықтауды талап етеді.

Шешім. Прогрессия мөлшерін анықтау үшін формуланы қолданайық:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Біріншіден, есептің берілген шарттарын формулаға ауыстыру арқылы прогрессияның 101 мүшесінің мәндерінің қосындысын анықтаймыз:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2,525

56-дан 101-ге дейінгі прогрессияның мүшелерінің қосындысын табу үшін S 101-ден S 55-ті алу керек екені анық.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Осылайша, осы мысал үшін арифметикалық прогрессияның қосындысы:

s 101 - s 55 = 2,525 - 742,5 = 1,782,5

Арифметикалық прогрессияның практикалық қолданылуының мысалы

Мақаланың соңында бірінші абзацта келтірілген арифметикалық тізбектің мысалына оралайық - таксиметр (такси вагонының есептегіші). Осы мысалды қарастырайық.

Таксиге отыру (оның ішінде 3 км жол жүру) 50 рубльді құрайды. Әрбір келесі шақырым 22 рубль/км мөлшерінде төленеді. Жол жүру қашықтығы 30 км. Сапардың құнын есептеңіз.

1. Бағасы қону құнына кіретін алғашқы 3 км-ден бас тартайық.

30 - 3 = 27 км.

2. Әрі қарай есептеу арифметикалық сандар қатарын талдаудан басқа ештеңе емес.

Мүше нөмірі – жүріп өткен километрлер саны (алғашқы үшті алып тастағанда).

Мүшенің мәні қосынды болып табылады.

Бұл мәселедегі бірінші термин 1 = 50 рубльге тең болады.

Прогрессия айырмасы d = 22 r.

бізді қызықтыратын сан арифметикалық прогрессияның (27+1)-ші мүшесінің мәні - 27-ші километрдің соңындағы метрдің көрсеткіші 27,999... = 28 км.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Ерікті ұзақ кезеңге арналған күнтізбе деректерінің есептеулері белгілі бір сандық реттіліктерді сипаттайтын формулаларға негізделген. Астрономияда орбитаның ұзындығы геометриялық тұрғыдан аспан денесінің жұлдызға дейінгі қашықтығына тәуелді. Сонымен қатар, әртүрлі сандар қатарлары статистикада және математиканың басқа қолданбалы салаларында сәтті қолданылады.

Сан тізбегінің тағы бір түрі геометриялық

Геометриялық прогрессия арифметикалық прогрессиямен салыстырғанда өзгерудің үлкен қарқынымен сипатталады. Саясатта, әлеуметтануда, медицинада белгілі бір құбылыстың, мәселен, індет кезіндегі аурудың таралу жылдамдығының жоғары екенін көрсету үшін бұл процесс геометриялық прогрессияда дамиды деп жиі айтатыны кездейсоқ емес.

Геометриялық сандар қатарының N-ші мүшесінің алдыңғысынан айырмашылығы, ол қандай да бір тұрақты санға – бөлгішке көбейтіледі, мысалы, бірінші мүшесі 1, бөлгіш сәйкесінше 2-ге тең, сонда:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n – геометриялық прогрессияның ағымдағы мүшесінің мәні;

b n+1 – геометриялық прогрессияның келесі мүшесінің формуласы;

q – геометриялық прогрессияның бөлгіші (тұрақты сан).

Егер арифметикалық прогрессияның графигі түзу болса, геометриялық прогрессия сәл басқаша суретті салады:

Арифметикалық жағдайдағы сияқты геометриялық прогрессияның ерікті мүшенің мәні үшін формуласы бар. Геометриялық прогрессияның кез келген n-ші мүшесі бірінші мүшесінің көбейтіндісіне және n дәрежесіне азайтылған прогрессияның бөліміне тең:

Мысал. Бізде бірінші мүшесі 3-ке, ал прогрессияның бөлгіші 1,5-ке тең геометриялық прогрессия бар. Прогрессияның 5-ші мүшесін табайық

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Берілген терминдер санының қосындысы да арнайы формула арқылы есептеледі. Геометриялық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысы прогрессияның n-ші мүшесі мен оның бөлгіші мен прогрессияның бірінші мүшесінің көбейтіндісінің айырмасына тең, оны бірге азайтылған бөлгішке бөледі:

Егер b n жоғарыда қарастырылған формула арқылы ауыстырылса, қарастырылып отырған сандар қатарының бірінші n мүшесінің қосындысының мәні келесідей болады:

Мысал. Геометриялық прогрессия 1-ге тең бірінші мүшесінен басталады. Бөлгіш 3-ке тең. Алғашқы сегіз мүшесінің қосындысын табайық.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Мысалы, тізбегі \(2\); \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)... арифметикалық прогрессия болып табылады, өйткені әрбір келесі элемент алдыңғысынан үшке ерекшеленеді (алдыңғыдан үш қосу арқылы алуға болады):

Бұл прогрессияда \(d\) айырмасы оң болады (\(3\) тең), сондықтан әрбір келесі мүше алдыңғысынан үлкен. Мұндай прогрессиялар деп аталады ұлғайту.

Дегенмен, \(d\) теріс сан да болуы мүмкін. Мысалы, арифметикалық прогрессияда \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... прогрессияның айырмасы \(d\) минус алтыға тең.

Және бұл жағдайда әрбір келесі элемент алдыңғысынан кішірек болады. Бұл прогрессиялар деп аталады төмендеу.

Арифметикалық прогрессияның жазылуы

Прогрессия шағын латын әрпімен көрсетіледі.

Прогрессияны құрайтын сандар деп аталады мүшелері(немесе элементтер).

Олар арифметикалық прогрессиямен бірдей әріппен белгіленеді, бірақ реті бойынша элементтің санына тең сандық индексі бар.

Мысалы, арифметикалық прогрессия \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) \(a_1=2\) элементтерінен тұрады; \(a_2=5\); \(a_3=8\) және т.б.

Басқаша айтқанда, прогрессия үшін \(a_n = \сол\(2; 5; 8; 11; 14…\оң\)\)

Арифметикалық прогрессия есептерін шығару

Негізінде, жоғарыда келтірілген ақпарат кез келген дерлік арифметикалық прогрессия мәселесін шешуге жеткілікті (оның ішінде OGE-де ұсынылғандар).

Мысал (OGE). Арифметикалық прогрессия \(b_1=7; d=4\) шарттарымен белгіленеді. \(b_5\) табыңыз.
Шешімі:

Жауап: \(b_5=23\)

Мысал (OGE). Арифметикалық прогрессияның алғашқы үш мүшесі берілген: \(62; 49; 36...\) Осы прогрессияның бірінші теріс мүшесінің мәнін табыңыз.
Шешімі:

	Бізге тізбектің бірінші элементтері берілген және оның арифметикалық прогрессия екенін білеміз. Яғни, әрбір элемент көршісінен бірдей санмен ерекшеленеді. Келесі элементтен алдыңғыны алып тастау арқылы қайсысы екенін анықтайық: \(d=49-62=-13\).
	Енді біз қажетті (бірінші теріс) элементке прогрессімізді қалпына келтіре аламыз.
	Дайын. Жауап жаза аласыз.

Жауап: \(-3\)

Мысал (OGE). Арифметикалық прогрессияның бірнеше ретті элементтері берілген: \(…5; x; 10; 12,5...\) \(x\) әрпімен белгіленген элементтің мәнін табыңыз.
Шешімі:

	\(x\) табу үшін келесі элементтің алдыңғысынан қаншалықты ерекшеленетінін, басқаша айтқанда прогрессияның айырмашылығын білу керек. Оны екі белгілі көрші элементтерден табайық: \(d=12,5-10=2,5\).
	Ал енді біз іздеген нәрсені оңай таба аламыз: \(x=5+2,5=7,5\).
	Дайын. Жауап жаза аласыз.

Жауап: \(7,5\).

Мысал (OGE). Арифметикалық прогрессия келесі шарттармен анықталады: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Осы прогрессияның алғашқы алты мүшесінің қосындысын табыңыз.
Шешімі:

Прогрессияның алғашқы алты мүшесінің қосындысын табуымыз керек. Бірақ біз олардың мағынасын білмейміз, бізге тек бірінші элемент беріледі. Сондықтан, біз алдымен бізге берілгенді пайдалана отырып, мәндерді бір-бірден есептейміз: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Ал бізге қажет алты элементті есептеп, олардың қосындысын табамыз.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Қажетті сома табылды.

Жауап: \(S_6=9\).

Мысал (OGE). Арифметикалық прогрессияда \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Осы прогрессияның айырмашылығын табыңыз.
Шешімі:

Жауап: \(d=7\).

Арифметикалық прогрессияның маңызды формулалары

Көріп отырғаныңыздай, арифметикалық прогрессия бойынша көптеген есептерді шешуге болады, ең бастысы - арифметикалық прогрессия сандар тізбегі екенін және осы тізбектің әрбір келесі элементі алдыңғысына бірдей санды қосу арқылы алынады ( прогрессияның айырмашылығы).

Дегенмен, кейде «басқа» шешім қабылдау өте ыңғайсыз болатын жағдайлар болады. Мысалы, ең бірінші мысалда бесінші элементті \(b_5\) емес, үш жүз сексен алтыншы \(b_(386)\) табу керек деп елестетіңіз. Төрт \(385\) есе қосу керек пе? Немесе соңғы мысалда бірінші жетпіс үш элементтің қосындысын табу керек деп елестетіңіз. Санаудан шаршайсың...

Сондықтан мұндай жағдайларда олар мәселені «бір-біріне» шешпейді, бірақ арифметикалық прогрессия үшін алынған арнайы формулаларды пайдаланады. Ал негізгілері прогрессияның n-ші мүшесінің формуласы мен \(n\) бірінші мүшесінің қосындысының формуласы.

\(n\)-ші мүшесінің формуласы: \(a_n=a_1+(n-1)d\), мұндағы \(a_1\) прогрессияның бірінші мүшесі;
\(n\) – қажетті элементтің саны;
\(a_n\) – \(n\) саны бар прогрессияның мүшесі.

Бұл формула прогрессияның тек біріншісі мен айырмашылығын біле отырып, тіпті үш жүздік немесе миллионыншы элементті жылдам табуға мүмкіндік береді.

Мысал. Арифметикалық прогрессия шарттармен анықталады: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). \(b_(246)\) табыңыз.
Шешімі:

Жауап: \(b_(246)=1850\).

Бірінші n мүшесінің қосындысының формуласы: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), мұндағы

\(a_n\) – соңғы қосынды мүшесі;

Мысал (OGE). Арифметикалық прогрессия \(a_n=3,4n-0,6\) шарттарымен белгіленеді. Осы прогрессияның бірінші \(25\) мүшелерінің қосындысын табыңыз.
Шешімі:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Алғашқы жиырма бес мүшенің қосындысын есептеу үшін бірінші және жиырма бесінші мүшелердің мәнін білуіміз керек. Біздің прогрессиямыз оның санына байланысты n-ші мүшесінің формуласымен берілген (толығырақ ақпаратты қараңыз). \(n\) орнына біреуін қойып, бірінші элементті есептейік.
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)		Енді \(n\) орнына жиырма бесті қойып, жиырма бесінші мүшесін табайық.
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)		Енді біз қажетті соманы оңай есептей аламыз.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Жауабы дайын.

Жауап: \(S_(25)=1090\).

Бірінші мүшелердің \(n\) қосындысы үшін басқа формуланы алуға болады: тек \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) \(a_n\) орнына оның формуласын \(a_n=a_1+(n-1)d\) ауыстырыңыз. Біз аламыз:

Бірінші n мүшесінің қосындысының формуласы: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), мұндағы

\(S_n\) – \(n\) бірінші элементтердің қажетті қосындысы;
\(a_1\) – бірінші қосынды мүшесі;
\(d\) – прогрессияның айырмашылығы;
\(n\) – қосындыдағы элементтер саны.

Мысал. Арифметикалық прогрессияның бірінші \(33\)-ex мүшелерінің қосындысын табыңыз: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Шешімі:

Жауап: \(S_(33)=-231\).

Күрделі арифметикалық прогрессия есептері

Енді сізде кез келген дерлік арифметикалық прогрессия мәселесін шешуге қажетті барлық ақпарат бар. Формулаларды қолданып қана қоймай, аздап ойлану қажет болатын есептерді қарастыру арқылы тақырыпты аяқтаймыз (математикада бұл пайдалы болуы мүмкін ☺)

Мысал (OGE). Прогрессияның барлық теріс мүшелерінің қосындысын табыңыз: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Шешімі:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Тапсырма алдыңғы тапсырмаға өте ұқсас. Біз бірдей нәрсені шеше бастаймыз: алдымен \(d\) табамыз.
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Енді біз қосындының формуласына \(d\) ауыстырғымыз келеді... және бұл жерде кішкене нюанс пайда болады - біз \(n\) білмейміз. Басқаша айтқанда, біз қанша термин қосу керек екенін білмейміз. Қалай білуге ​​болады? Ойланайық. Бірінші оң элементке жеткенде элементтерді қосуды тоқтатамыз. Яғни, бұл элементтің нөмірін білу керек. Қалай? Арифметикалық прогрессияның кез келген элементін есептеу формуласын жазайық: біздің жағдайымыз үшін \(a_n=a_1+(n-1)d\).
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		Нөлден үлкен болу үшін бізге \(a_n\) керек. Бұл не болатынын білейік \(n\).
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Теңсіздіктің екі жағын да \(0,3\) бөлеміз.
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Біз белгілерді өзгертуді ұмытпай, минус біреуін ауыстырамыз
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Есептеп көрейік...
\(n>65,333…\)		...ал бірінші оң элементте \(66\) саны болады екен. Сәйкесінше, соңғы терісінде \(n=65\) бар. Мүмкін болса, мұны тексеріп көрейік.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)		Сондықтан бірінші \(65\) элементтерді қосу керек.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Жауабы дайын.

Жауап: \(S_(65)=-630,5\).

Мысал (OGE). Арифметикалық прогрессия шарттармен анықталады: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(26\)-ші элементтен \(42\) элементіне дейінгі қосындыны табыңыз.
Шешімі:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Бұл есепте де элементтердің қосындысын табу керек, бірақ біріншіден емес, \(26\)-дан бастап. Мұндай жағдай үшін бізде формула жоқ. Қалай шешуге болады? Бұл оңай – \(26\)-шыдан \(42\)-шіге дейінгі қосындыны алу үшін алдымен \(1\)-шіден \(42\)-шіге дейінгі қосындыны табу керек, содан кейін шегеру керек. оның біріншіден \(25\)-ге дейінгі қосындысы (суретті қараңыз).
	Прогрессиямыз үшін \(a_1=-33\) және айырмашылық \(d=4\) үшін (ақыр соңында, келесі элементті табу үшін алдыңғы элементке қосамыз). Осыны біле отырып, бірінші \(42\)-y элементтерінің қосындысын табамыз.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Енді бірінші \(25\) элементтердің қосындысы.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Соңында біз жауапты есептейміз.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Жауап: \(S=1683\).

Арифметикалық прогрессия үшін практикалық пайдалылығы төмен болғандықтан осы мақалада қарастырмаған тағы бірнеше формулалар бар. Дегенмен, сіз оларды оңай таба аласыз.

Сабақтың түрі:жаңа материалды меңгерту.

Сабақтың мақсаттары:

• оқушылардың арифметикалық прогрессияның көмегімен шығарылатын есептер туралы түсініктерін кеңейту және тереңдету; арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысының формуласын шығару кезінде оқушылардың ізденіс әрекетін ұйымдастыру;
• жаңа білімді өз бетінше алу және берілген тапсырманы орындау үшін бұрыннан алған білімдерін пайдалану қабілетін дамыту;
• алынған фактілерді жалпылауға деген ұмтылыс пен қажеттілікті дамыту, дербестікті дамыту.

Тапсырмалар:

• «Арифметикалық прогрессия» тақырыбы бойынша алған білімдерін жинақтау және жүйелеу;
• арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысын есептеу формулаларын шығару;
• алынған формулаларды әртүрлі есептерді шығарғанда қолдану жолдарын үйрету;
• оқушылардың назарын сандық өрнектің мәнін табу тәртібіне аудару.

Жабдық:

• топпен және жұппен жұмыс істеуге арналған тапсырмалары бар карточкалар;
• ұпай парағы;
• презентация«Арифметикалық прогрессия».

I. Негізгі білімді жаңарту.

1. Өзіндік жұмысжұпта.

1-ші нұсқа:

Арифметикалық прогрессияның анықтамасын беріңіз. Арифметикалық прогрессияны анықтайтын қайталанатын формуланы жазыңыз. Арифметикалық прогрессияның мысалын келтіріңіз және оның айырмашылығын көрсетіңіз.

2-ші нұсқа:

Арифметикалық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласын жаз. Арифметикалық прогрессияның 100-ші мүшесін табыңыз ( а н}: 2, 5, 8 …
Осы кезде тақтаның артында екі оқушы бірдей сұрақтарға жауап дайындап жатыр.
Оқушылар серіктесінің жұмысын тақтада тексеру арқылы бағалайды. (Жауаптары бар парақтар беріледі.)

2. Ойын сәті.

1-тапсырма.

Мұғалім.Мен арифметикалық прогрессия туралы ойладым. Жауаптардан кейін осы прогрессияның 7-ші мүшесін тез атау үшін маған екі сұрақ қойыңыз. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Оқушылардың сұрақтары.

1. Прогрессияның алтыншы мүшесі қандай және айырмашылығы неде?
2. Прогрессияның сегізінші мүшесі қандай және айырмашылығы неде?

Егер басқа сұрақтар болмаса, мұғалім оларды ынталандыра алады - d (айырма) бойынша «тыйым», яғни айырмашылық неге тең екенін сұрауға болмайды. Сұрақтар қоюға болады: прогрессияның 6-мүшесі неге тең және прогрессияның 8-ші мүшесі неге тең?

2-тапсырма.

Тақтада 20 сан жазылған: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Мұғалім арқасын тақтаға тіреп тұрады. Студенттер нөмірді шақырады, ал мұғалім бірден нөмірдің өзін шақырады. Мұны қалай жасауға болатынын түсіндіріңізші?

Мұғалім n-ші тоқсанның формуласын есіне түсіреді a n = 3n – 2және көрсетілген мәндерді n ауыстырып, сәйкес мәндерді табады а н.

II. Оқу тапсырмасын қою.

Мысыр папирустарынан табылған біздің эрамызға дейінгі 2-мыңжылдыққа жататын ежелгі мәселені шешуді ұсынамын.

Тапсырма:«Сіздерге айтайын: 10 өлшеп арпаны 10 адамға бөліңіз, әр адам мен көршісінің арасындағы айырмашылық өлшемнің 1/8 бөлігін құрайды».

• Бұл есептің арифметикалық прогрессия тақырыбына қандай қатысы бар? (Келесі әрбір адам өлшемнің 1/8 бөлігін көбірек алады, яғни айырмашылық d=1/8, 10 адам, яғни n=10.)
• Қалай ойлайсыңдар 10 саны нені білдіреді? (Прогрессияның барлық мүшелерінің қосындысы.)
• Арпаны мәселенің шарттарына сәйкес бөлуді жеңіл және қарапайым ету үшін тағы не білу керек? (Прогрессияның бірінші мүшесі.)

Сабақтың мақсаты– прогрессияның мүшелерінің қосындысының олардың санына, бірінші мүшесіне және айырмасына тәуелділігін алу және есептің ерте заманда дұрыс шығарылғанын тексеру.

Формуланы шығармас бұрын, ежелгі мысырлықтар мәселені қалай шешкенін қарастырайық.

Және олар оны былай шешті:

1) 10 өлшем: 10 = 1 өлшем – орташа үлес;
2) 1 өлшем ∙ = 2 өлшем – екі еселенген орташабөлісу.
Екі еселенген орташаүлес – 5-ші және 6-шы тұлғаның акцияларының сомасы.
3) 2 өлшем – 1/8 өлшем = 1 7/8 өлшем – бесінші тұлғаның үлесі екі есе.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 – бестен бір бөлігі; және т.б., әрбір алдыңғы және кейінгі адамның үлесін табуға болады.

Біз тізбекті аламыз:

III. Мәселені шешу.

1. Топпен жұмыс

І топ:Тізбектелген 20 натурал санның қосындысын табыңыз: S 20 =(20+1)∙10 =210.

Жалпы алғанда

ІІ топ: 1-ден 100-ге дейінгі натурал сандардың қосындысын табыңыз (Кішкентай Гаусс туралы аңыз).

S 100 = (1+100)∙50 = 5050

Қорытынды:

ІІІ топ: 1-ден 21-ге дейінгі натурал сандардың қосындысын табыңыз.

Шешуі: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Қорытынды:

IV топ: 1-ден 101-ге дейінгі натурал сандардың қосындысын табыңыз.

Қорытынды:

Қарастырылған есептерді шешудің бұл әдісі «Гаусс әдісі» деп аталады.

2. Әр топ есептің шешімін тақтада көрсетеді.

3. Ерікті арифметикалық прогрессияның ұсынылған шешімдерін жалпылау:

a 1, a 2, a 3,…, a n-2, a n-1, a n.
S n =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +…+ a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Ұқсас дәлелдер арқылы осы соманы табайық:

4. Біз мәселені шештік пе?(Иә.)

IV. Алынған формулаларды есептер шығару кезінде бірінші рет түсіну және қолдану.

1. Формула арқылы көне есептің шешімін тексеру.

2. Әртүрлі есептерді шығаруда формуланы қолдану.

3. Есептер шығару кезінде формулаларды қолдана білу дағдыларын дамытуға арналған жаттығулар.

A) № 613

Берілген: ( a n) –арифметикалық прогрессия;

(a n): 1, 2, 3, …, 1500

Табу: S 1500

Шешімі: , a 1 = 1 және 1500 = 1500,

B) Берілген: ( a n) –арифметикалық прогрессия;
(a n): 1, 2, 3, …
S n = 210

Табу: n
Шешімі:

V. Өзара тексере отырып, өздік жұмыс.

Денис курьер болып жұмыс істей бастады. Бірінші айда оның жалақысы 200 рубль болса, келесі айда ол 30 рубльге өсті. Ол бір жылда барлығы қанша табыс тапты?

Берілген: ( a n) –арифметикалық прогрессия;
a 1 = 200, d=30, n=12
Табу: S 12
Шешімі:

Жауап: Денис бір жылда 4380 рубль алды.

VI. Үйге тапсырма беру.

1. 4.3-бөлім – формуланың туындысын үйрену.
2. №№ 585, 623 .
3. Арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысының формуласын пайдаланып, шешуге болатын есеп құрастыр.

VII. Сабақты қорытындылау.

1. Бағалау парағы

2. Сөйлемдерді жалғастырыңыз

• Бүгін сабақта мен білдім...
• Үйренген формулалар...
• Мен сенемін...

3. 1-ден 500-ге дейінгі сандардың қосындысын таба аласыз ба? Бұл мәселені шешу үшін қандай әдісті қолданасыз?

Анықтамалар.

1. Алгебра, 9 сынып. арналған оқу құралы оқу орындары. Ред. Г.В. Дорофеева.М.: «Ағарту», ​​2009 ж.