Interesanta prezentācija par matemātisko modelēšanu. Prezentācija par tēmu "matemātiskās modelēšanas metode"

Objekts (transportēšanas process)

Praktiski

Aprēķinu shēma

Matemātiskais modelis

matemātiskais modelis

Algoritms

Programma

Pirmajā matemātiskās modelēšanas posmā tiek veikta pāreja no modelēšanas objekta uz projektēšanas shēmu. Dizaina diagramma ir jēgpilns un/vai konceptuāls objekta modelis. Piemēram: kravas pārvadāšanas plāns, maršruta karte, transporta tabula utt.

Otrajā posmā tiek veikta aprēķinu shēmas procesa (procesu) meklēšana un formalizēts apraksts, izmantojot matemātisko modeli.

Trešajā posmā tiek veikta matemātiskā modeļa kvalitatīvā un kvantitatīvā analīze, kas ietver: 1) vienkāršošanu, 2) pretrunu atrisināšanu, 3) korekciju.

Ceturtajā posmā tiek izstrādāts efektīvs matemātiskās modelēšanas algoritms, pēc kura piektajā posmā tiek izveidota programma matemātiskās modelēšanas īstenošanai.

Sestajā posmā, izmantojot programmu, tiek iegūti praktiski ieteikumi. Praktiski ieteikumi ir matemātiskā modeļa izmantošanas rezultāts noteiktam mērķim, pētot objektu (transporta procesu).

Matemātiskās modelēšanas mērķi: 1) transporta procesu modeļu izveide optimālu (laikā, izmaksās) transporta procesu tālākai projektēšanai; 2) atsevišķu transporta procesu īpašību analīze, lai novērtētu laiku un izmaksas.

Matemātiskās modelēšanas veidi

	Parametrisks			Imitācija
				modelēšana
				modelēšana

Statisks		Dinamisks



			Stacionārs		Nepastāvīgs

Parametrisks modelēšana ir modelēšana bez stingras saiknes ar objektu un procesu. Saziņa tiek veikta tikai pēc parametriem, piemēram: masa, garums, spiediens utt. Ir abstrakcijas: materiālais punkts, ideālā gāze utt.

Statiskie parametriskie modeļi nesatur “laika” parametru un ļauj iegūt līdzsvara sistēmas raksturlielumus. Dinamiskie parametriskie modeļi satur laika parametru un ļauj iegūt sistēmas pārejošo procesu raksturu.

Simulācijas modelēšana(Simulācija) – matemātiskā modelēšana, ņemot vērā modelējamā objekta ģeometriskās pazīmes (izmēru, formu), kā arī blīvuma sadalījumu ar sākotnējo un robežnosacījumu (nosacījumu uz objekta ģeometrijas robežām) piesaisti objektiem.

procesiem

Algoritma programma

Stacionārā modelēšana ļauj iegūt objekta raksturlielumus laika intervālā, kas tiecas uz nulli, tas ir, “nofotografēt” objekta raksturlielumus. Nestacionāra modelēšana ļauj iegūt objekta īpašības laika gaitā.

Matemātiskā modeļa struktūra

Ievades parametri	vienādojumi,	Izvades parametri
	vienādojumi,
	atkarības utt.

Matemātiskā modeļa īpašības:

1) Pilnīgums – objekta zināmo īpašību atspoguļojuma pakāpe; 2) Precizitāte – reālo (eksperimentālo) un, izmantojot modeli, atrasto raksturlielumu sakritības secība;

3) Atbilstība ir modeļa spēja aprakstīt izejas parametrus ar fiksētu precizitāti fiksētiem ievades parametriem (atbilstības apgabals).

4) Izmaksu efektivitāte ir skaitļošanas resursu izmaksu novērtējums rezultāta iegūšanai salīdzinājumā ar līdzīgu matemātisko modeli;

5) Robustums – matemātiskā modeļa stabilitāte attiecībā uz kļūdām sākotnējos datos (piemēram, dati neatbilst procesa fizikai);

6) Produktivitāte ir ievaddatu precizitātes ietekme uz modeļa izejas datu precizitāti;

7) Modeļa skaidrība un vienkāršība.

Matemātiskie modeļi (pēc ražošanas metodes)

Empīriskā teorētiskā

Daļēji empīrisks © Federālā valsts budžeta augstākās profesionālās izglītības iestāde UGATU; nodaļa "Lietišķā šķidruma mehānika" 16

Empīriskie matemātiskie modeļi tiek iegūti, apstrādājot un analizējot eksperimentālo datu rezultātus. Identifikācija ir esoša matemātiskā modeļa korekcija ar empīriskiem datiem.

Teorētiskie matemātiskie modeļi tiek iegūti, izmantojot teorētiskās metodes - analīzi, sintēzi, indukciju, dedukciju u.c.

Literatūra par matemātiskās modelēšanas teoriju un matemātiskajiem modeļiem:

1) Zarubins V.S. Matemātiskā modelēšana tehnoloģijā: mācību grāmata. augstskolām / V. S. Zarubins. – 3. izd. – M.: Izdevniecība MSTU im. N.E. Baumanis. 2010. – 495 lpp.

2) Čerepaškovs A. A., Nosovs N. V. Datortehnoloģijas, modelēšana un automatizētas sistēmas mašīnbūvē: mācību grāmata. studentiem augstāks mācību grāmata iestādes. - Volgograda: Izdevniecība“Infolio”, 2009. – 640 lpp.

4. Mathcad kā lietojumprogrammu programmēšanas rīks

Mathcad ir datoralgebras sistēma no datorizētās projektēšanas sistēmu klases, kas vērsta uz interaktīvu dokumentu sagatavošanu ar aprēķiniem un vizuālo atbalstu, un ir viegli lietojama un pielietojama.

Mathcad izstrādāja un sākotnēji uzrakstīja Allens Razdow no MIT.

Izstrādātājs: PTC. Pirmā izlaišana: 1986.

Diferenciālvienādojumu un algebrisko vienādojumu risināšana skaitliski

metodes;
Divdimensiju un trīsdimensiju funkciju grafiku konstruēšana;

grieķu alfabēta lietošana;

Aprēķinu veikšana simboliskā formā;

Vietējās programmēšanas valodas atbalsts

© FSBEI HPE UGATU; nodaļa "Lietišķā šķidruma mehānika"

Skaitliskās funkcijas paredzēts aprēķiniem ar skaitliskām metodēm lietišķā matemātika vienādojumu saknes, optimizācijas uzdevumu risināšana, risināšana diferenciālvienādojumi Runge-Kutta metode utt.

Rakstzīmju funkcijas ir paredzēti analītiskiem aprēķiniem, kas pēc struktūras ir līdzīgi klasiskajām matemātiskajām transformācijām.

Sistēmas mainīgais TOL – pieļaujamā aprēķina kļūda (noklusējums 10-3).

Sarindotu mainīgo iestatīšana ar fiksētu soli: x:=0, 0+0.01..10.

Ja mainīgais ir masīvs, varat piekļūt masīva elementam, ievadot indeksu, izmantojot taustiņu [.

Literatūra 1. Samarsky A. A., Mihailov A. P. Matemātiskā modelēšana: idejas. Metodes. Piemēri – M.: Nauka, Volkovs E. A. Skaitliskās metodes. – M.: Nauka, Turčaks L.I. Skaitlisko metožu pamati. – M.: Nauka, Kopčenova N.V., Marons I.A. Skaitļošanas matemātika piemēros un uzdevumos. – M.: Nauka, 1972. gads.

Nedaudz vēstures no manipulācijām ar objektiem līdz pētāmā objekta, procesa vai parādības jēdzienu aizvietošanai ar vienkāršāku un pieejamāku ekvivalentu pētniecībai objekta uzvedība

Modeļu loma Ēka ir neglīta, trausla vai neiederas apkārtējā ainavā Asinsrites sistēmu demonstrēšana dabā ir necilvēcīga Spriegumi, piemēram, spārnos, var būt pārāk augsti Elektrisko ķēžu savākšana mērījumiem ir neekonomiska

Modeļa un oriģināla saistība Modeļa izveide ietver dažu oriģināla īpašību saglabāšanu, un šīs īpašības dažādos modeļos var atšķirties. Kartona ēka ir daudz mazāka par īsto, taču ļauj spriest par to izskats; plakāts padara saprotamu asinsrites sistēmu, lai gan tam nav nekāda sakara ar orgāniem un audiem; Lidmašīnas modelis nelido, bet spriegumi tā korpusā atbilst lidojuma apstākļiem.

Kāpēc izmantot modeļus? 1. Modelis ir pieejamāks pētniecībai nekā reāls objekts, 2. Modeli ir vieglāk un lētāk izpētīt nekā reālus objektus, 3. dažus objektus nevar pētīt tieši: vēl nav iespējams, piemēram, uzbūvēt kodolsintēzes ierīce vai eksperimentu veikšana zvaigžņu dziļumos, 4. eksperimenti ar pagātni nav iespējami, eksperimenti ar ekonomiku vai sociālie eksperimenti ir nepieņemami

Modeļu mērķis 1. Izmantojot modeli, var identificēt nozīmīgākos faktorus, kas veido objekta īpašības. Tā kā modelis atspoguļo tikai dažus oriģinālā objekta raksturlielumus, variējot šo raksturlielumu kopu modeļa ietvaros, ir iespējams noteikt noteiktu faktoru ietekmes pakāpi uz modeļa uzvedības adekvātumu.

Modelis ir nepieciešams: 1. Lai saprastu, kā konkrēts objekts ir strukturēts: kāda ir tā struktūra, īpašības, attīstības likumi un mijiedarbība ar ārpasauli. 2. Lai iemācītos pārvaldīt objektu vai procesu un noteikt vislabākās vadības metodes dotajiem mērķiem un kritērijiem. 3. Lai prognozētu objekta uzvedību un novērtētu dažādu metožu un ietekmes formu sekas uz objektu (meteoroloģiskie modeļi, biosfēras attīstības modeļi).

Pareiza modeļa īpašības Pareizi konstruētam, labam modelim ir ievērojama īpašība: tā izpēte ļauj iegūt jaunas zināšanas par objektu – oriģinālu, neskatoties uz to, ka modeļa izveidē tika izmantotas tikai dažas oriģināla pamatīpašības.

Materiālu modelēšana Modelis atveido pamata ģeometrisko, fizisko, dinamisko un funkcionālās īpašības pētāmā objekta, kad reālais objekts tiek salīdzināts ar tā palielināto vai samazināto kopiju, ļaujot izpētīt laboratorijas apstākļi ar sekojošu pētāmo procesu un parādību īpašību pārnesi no modeļa uz objektu, kas balstīts uz līdzības teoriju (planetārijs, ēku un aparātu modeļi utt.). Pētījuma process šajā gadījumā ir cieši saistīts ar materiālo ietekmi uz modeli, t.i., tas sastāv no pilna mēroga eksperimenta. Tādējādi materiālu modelēšana pēc savas būtības ir eksperimentāla metode.

Ideālās modelēšanas veidi Intuitīvs - tādu objektu modelēšana, kurus nevar formalizēt vai kuriem tas nav vajadzīgs. Cilvēka dzīves pieredzi var uzskatīt par viņa intuitīvo apkārtējās pasaules modeli - modelēšanu, kas kā modeļus izmanto zīmju transformācijas. dažādi veidi: diagrammas, grafiki, zīmējumi, formulas utt., kas satur likumu kopumu, saskaņā ar kuru jūs varat darboties ar modeļa elementiem

Matemātiskā modelēšana, objekta izpēte tiek veikta, pamatojoties uz modeli, kas formulēts matemātikas valodā un tiek pētīts, izmantojot noteiktas matemātiskās metodes. Matemātiskā modelēšana ir zinātnes nozare, kas nodarbojas ar dabas, tehnisko, ekonomisko un sabiedriskā dzīve izmantojot matemātisko aparātu un šobrīd šos modeļus ieviešot, izmantojot datoru

Paklāju klasifikācija. modeļi Pēc mērķa: aprakstoša optimizācijas simulācija Pēc vienādojumu būtības: lineārs nelineārs Ņemot vērā izmaiņas sistēmā laika gaitā: dinamisks statisks Pēc argumentu definīcijas domēna īpašības: nepārtraukts diskrēts Pēc procesa rakstura: deterministiskā stohastiskā

Lai izmantotu prezentāciju priekšskatījumus, izveidojiet Google kontu un piesakieties tajā: https://accounts.google.com

Slaidu paraksti:

Matemātiskie modeļi

05.05.17 Matemātiskie modeļi Galvenā informācijas modelēšanas valoda zinātnē ir matemātikas valoda. Modeļus, kas izveidoti, izmantojot matemātiskos jēdzienus un formulas, sauc par matemātiskajiem modeļiem. Matemātiskais modelis ir informācijas modelis, kurā parametri un atkarības starp tiem ir izteikti matemātiskā formā.

05.05.17 Piemēram, labi zināmais vienādojums S=vt, kur S ir attālums, v ir ātrums t ir laiks, ir modelis vienmērīga kustība, izteikts matemātiskā formā.

05.05.17 Ņemot vērā fiziskā sistēma: ķermenim ar masu m, kas spēka F ietekmē ripo lejup pa slīpu plakni ar paātrinājumu a, Ņūtons ieguva sakarību F = ma. Šis ir fiziskas sistēmas matemātisks modelis.

05.05.17 Modelēšanas metode ļauj pielietot matemātisko aparātu praktisku uzdevumu risināšanai. Skaitļu jēdzieni, ģeometriskā figūra,vienādojumi, ir matemātisko modeļu piemēri. Ceļā uz matemātiskās modelēšanas metodi izglītības process ir jāizmanto, risinot jebkuru praktiska satura problēmu. Lai atrisinātu šādu problēmu, izmantojot matemātiskos līdzekļus, vispirms tā ir jāpārtulko matemātikas valodā (jāveido matemātiskais modelis). Matemātiskā modelēšana

05.05.17 Matemātiskajā modelēšanā objekta izpēti veic, pētot matemātikas valodā formulētu modeli. Piemērs: jums ir jānosaka tabulas virsmas laukums. Izmēriet tabulas garumu un platumu un pēc tam reiziniet iegūtos skaitļus. Tas faktiski nozīmē, ka reālais objekts - tabulas virsma - tiek aizstāts ar abstraktu matemātisko modeli ar taisnstūri. Šī taisnstūra laukums tiek uzskatīts par nepieciešamo. No visām tabulas īpašībām tika identificētas trīs: virsmas forma (taisnstūris) un abu malu garumi. Nav svarīga ne galda krāsa, ne materiāls, no kura tas ir izgatavots, ne izmantošanas veids. Pieņemot, ka tabulas virsma ir taisnstūris, ir viegli norādīt sākotnējos datus un rezultātu. Tie ir saistīti ar attiecību S = ab.

05.05.17 Apskatīsim piemēru konkrētas problēmas risinājuma ieviešanai matemātiskā modelī. Pa nogrimuša kuģa logu jāizvelk dārglietu lāde. Doti daži pieņēmumi par lādes un iluminatoru logu formu un sākotnējiem datiem problēmas risināšanai. Pieņēmumi: Iluminators ir veidots kā aplis. Krūtis ir taisnstūra paralēlskaldņa forma. Sākotnējie dati: D - iluminatora diametrs; x - krūškurvja garums; y - krūšu platums; z ir krūškurvja augstums. Gala rezultāts: Ziņojums: Var vai nevar izvilkt.

05/05/17 Ja, tad lādi var izvilkt, bet ja, tad nevar. Sistemātiska problēmu apstākļu analīze atklāja sakarības starp iluminatora izmēru un krūškurvja izmēriem, ņemot vērā to formas. Analīzes rezultātā iegūtā informācija tika attēlota formulās un attiecībās starp tām, un radās matemātiskais modelis. Matemātiskais modelis šīs problēmas risināšanai ir šādas atkarības starp sākotnējiem datiem un rezultātu:

05.05.17 1. piemērs: Aprēķiniet krāsas daudzumu, lai segtu grīdu sporta zālē. Lai atrisinātu problēmu, jums jāzina grīdas platība. Lai pabeigtu šo uzdevumu, izmēriet grīdas garumu un platumu un aprēķiniet tā laukumu. Reālo objektu - zāles grīdu - aizņem taisnstūris, kuram laukums ir garuma un platuma reizinājums. Iegādājoties krāsu, viņi noskaidro, cik lielu platību var noklāt ar vienas bundžas saturu un aprēķina nepieciešamo kārbu skaitu. Ļaujiet A grīdas garumam, B grīdas platumam, S 1 laukumam, ko var pārklāt ar vienas skārdenes saturu, N ir kārbu skaits. Mēs aprēķinām grīdas laukumu, izmantojot formulu S = A × B, un kārbu skaitu, kas nepieciešams zāles krāsošanai, N = A × B / S 1.

05.05.17 2. piemērs: Caur pirmo cauruli baseins tiek piepildīts 30 stundās, pa otro cauruli - 20 stundās. Cik stundas aizņems baseina piepildīšana pa divām caurulēm? Risinājums: Apzīmēsim baseina piepildīšanas laiku pa pirmo un otro cauruli A un B attiecīgi. Ņemsim visu baseina tilpumu kā 1 un vajadzīgo laiku apzīmēsim ar t. Tā kā baseins tiek piepildīts pa pirmo cauruli A stundā, tad 1/A ir tā baseina daļa, ko 1 stundā piepilda pirmā caurule; 1/B - baseina daļa piepildīta ar otro cauruli 1 stundas laikā. Līdz ar to baseina piepildīšanas ātrums ar pirmo un otro cauruli kopā būs: 1/A+1/B. Varat rakstīt: (1/A+1/B) t =1. ieguva matemātisko modeli, kas apraksta divu cauruļu baseina piepildīšanas procesu. Nepieciešamo laiku var aprēķināt, izmantojot formulu:

05/05/17 3. piemērs: Punkti A un B atrodas uz šosejas, 20 km attālumā viens no otra. Motociklists ar ātrumu 50 km/h izbrauca no punkta B virzienā pretī A. Izveidosim matemātisko modeli, kas apraksta motociklista pozīciju attiecībā pret punktu A pēc t stundām. Pēc t stundām motociklists nobrauks 50 t km un atradīsies 50 t km + 20 km attālumā no A. Ja ar burtu s apzīmējam motociklista attālumu (kilometros) līdz punktam A, tad šī attāluma atkarību no kustības laika var izteikt ar formulu: S=50t + 20, kur t>0.

05/05/17 Pirmais skaitlis ir vienāds ar x, bet otrais ir par 2,5 vairāk nekā pirmais. Ir zināms, ka 1/5 no pirmā skaitļa ir vienāda ar 1/4 no otrā. Izveidojiet šo situāciju matemātiskos modeļus: Mišam ir x atzīmes, bet Andrejam pusotru reizi vairāk. Ja Miša piešķirs Andrejam 8 atzīmes, tad Andrejam būs divreiz vairāk atzīmju nekā Miša ir atstājusi. Otrajā cehā strādā x cilvēki, pirmajā cehā strādā 4 reizes vairāk nekā otrajā, bet trešajā – par 50 cilvēkiem vairāk nekā otrajā. Kopumā trīs rūpnīcas cehos strādā 470 cilvēki. Pārbaudīsim: Matemātiskais modelis šīs problēmas risināšanai ir šādas atkarības starp sākotnējiem datiem un rezultātu: Mišai bija x zīmoli; Andrejam ir 1,5x. Miša ieguva x-8, Andrejs ieguva 1,5x+8. Atbilstoši uzdevuma nosacījumiem 1,5x+8=2(x-8). Matemātiskais modelis šīs problēmas risināšanai ir šādas atkarības starp sākotnējiem datiem un rezultātu: x cilvēki strādā otrajā cehā, 4 cilvēki strādā pirmajā darbnīcā un x+50 strādā trešajā darbnīcā. x+4x+x+50=470. Matemātiskais modelis šīs problēmas risināšanai ir šādas atkarības starp sākotnējiem datiem un rezultātu: pirmais skaitlis x; otrais x+2,5. Atbilstoši uzdevuma nosacījumiem x/5=(x+2,5)/4.

05.05.17 Šādi parasti pielieto matemātiku īstā dzīve. Matemātiskie modeļi ir ne tikai algebriski (vienādības ar mainīgajiem formā, kā iepriekš aplūkotajos piemēros), bet arī citās formās: tabulas, grafiskie un citi. Ar cita veida modeļiem iepazīsimies nākamajā nodarbībā.

05.05.17 Mājas darbs: 9. § (54.-58. lpp.) Nr., 2, 4 (60. lpp.) burtnīcā

05.05.17 Paldies par nodarbību!

05.05.17 Avoti Datorzinātnes un IKT: mācību grāmata 8. klasei http://www.lit.msu.ru/ru/new/study (grafiki, diagrammas) http://images.yandex.ru (attēli)

Algoritms sastādīt matemātisko modeli:

Uzrakstiet īsu problēmas nosacījumu izklāstu:

A) noskaidrojiet, cik daudz daudzumu ir saistīti ar problēmu;

B) identificēt savienojumus starp šiem lielumiem.

2. Izveidojiet uzdevuma zīmējumu (kustību uzdevumos vai ģeometriskā satura uzdevumos) vai tabulu.

3. Norādiet X kā vienu no daudzumiem (vēlams mazāku daudzumu).

4. Ņemot vērā sakarības, izveidot matemātisko modeli.

Uzdevums 1. (Nr. 86 (1)).

Dzīvoklis sastāv no 3 istabām ar kopējo platību 42 kv.m. Pirmā istaba ir 2 reizes mazāka par otro, bet otrā ir 3 kv.m. m vairāk nekā trešdaļa. Kāda ir katras istabas platība šajā dzīvoklī?

Uzdevums 2. (Nr. 86 (2)).

Par grāmatu, pildspalvu un piezīmju grāmatiņu Saša samaksāja 11 200 rubļu. Pildspalva ir 3 reizes dārgāka nekā piezīmju grāmatiņa un maksā 700 rubļu. lētāk nekā grāmata. Cik maksā piezīmju grāmatiņa?

3. uzdevums.(Nr. 86 (3)).

Motociklists veica attālumu starp divām pilsētām, kas vienāds ar

980 km, 4 dienās. Pirmajā dienā viņš nobrauca par 80 km mazāk nekā otrajā dienā, trešajā dienā - pusi no pirmajās divās dienās veiktās distances, bet ceturtajā dienā - atlikušos 140 km. Cik tālu motociklists nobrauca trešajā dienā?

4. uzdevums. (Nr. 86 (4))

Četrstūra perimetrs ir 46 dm. Tās pirmā mala ir 2 reizes mazāka par otro un 3 reizes mazāka par trešo pusi, un ceturtā mala ir 4 cm lielāka nekā pirmā. Kādi ir šī četrstūra malu garumi?

5. uzdevums. (Nr. 87)

Viens no skaitļiem ir par 17 mazāks nekā otrais, un to summa ir 75. Atrodiet lielāko no šiem skaitļiem.

6. uzdevums. (Nr. 99)

Trīs koncerta daļās uzstājās 20 dalībnieki. Otrajā daļā bija 3 reizes mazāk dalībnieku nekā pirmajā, bet trešajā par 5 dalībniekiem vairāk nekā otrajā. Cik koncerta dalībnieku uzstājās katrā sekcijā?

Es varu (vai nē):

Prasmes

Punkti

0 vai 1

Identificējiet ar problēmu saistīto daudzumu skaitu

Nosakiet savienojumus starp daudzumiem

Es saprotu, ko tas nozīmē

B) “kopā”

Es varu izveidot matemātisko modeli

Es varu izveidot jaunu uzdevumu, izmantojot doto matemātisko modeli

Mājas darbs:

1) № 87 (2, 3, 4), № 102 (1);

2) Sastādiet uzdevumu uzdevuma matemātiskajam modelim

Matemātiskās modelēšanas pamati

S.V. Zvonarevs
Matemātikas pamati
modelēšana
Lekcija Nr. 2. Matemātiskie modeļi un to klasifikācijas
Jekaterinburga
2012

Lekcijas mērķis

Definējiet matemātiskā modeļa jēdzienu.
Izpētiet vispārinātu matemātisko modeli.
Apsveriet matemātisko modeļu klasifikāciju.
2 Matemātiskais modelis.
Vispārināts matemātiskais modelis.
.
Matemātiskā modeļa atbilstības pakāpe objektam.
Matemātisko modeļu klasifikācija.
3

Matemātiskais modelis

MATEMĀTISKAIS MODELIS
4

Matemātiskais modelis

Matemātiskais modelis ir vienādojumu kopa
vai citas matemātiskas attiecības, kas atspoguļo pamata
akceptētā ietvaros pētāmā objekta vai parādības īpašības
spekulatīvs
fiziskais
modeļiem
Un
īpatnības
viņa
mijiedarbība ar vidi.
Matemātisko modeļu galvenās īpašības ir:
atbilstība;
vienkāršība.
Matemātiskā modeļa formulēšanas procesu sauc
problēmas izklāsts.
Matemātiskais modelis ir matemātisks analogs
no projektētā objekta. Tā objekta atbilstības pakāpe
nosaka problēmas risinājumu formulējums un pareizība
dizains.
5

Matemātiskā modelēšana

Tehniskā objekta matemātiskais modelis –
matemātisko vienādojumu un attiecību kopums
starp tām, kas adekvāti atspoguļo īpašības
pētāmais objekts, kas interesē pētnieku
(inženieris).
Matemātiskā modelēšana ir ideāla
zinātniskā simboliskā formālā modelēšana, kurā
objekts ir aprakstīts matemātikas valodā, un
modeļu izpēte tiek veikta, izmantojot tos vai
citas matemātiskās metodes.
Daudzu funkcijas ekstrēma atrašanas metodes
bieži vien ir mainīgie ar dažādiem ierobežojumiem
tiek saukti
metodes
matemātiskā
programmēšana.
6

Vispārināts matemātiskais modelis

Vispārinātā matemātiskā modeļa elementi:
ievaddatu (mainīgo) kopa X,Y;
matemātiskais operators L;
izvaddatu (mainīgo) kopa G(X,Y).
7

Ievadiet datus

X ir mainīgo mainīgo kopa, kas
veido dažādu parametru telpu Rx
(meklēšanas vieta), kas ir metriska ar
dimensiju
n,
vienāds ar
numuru
mainīgs
parametrus.
Y – neatkarīgu mainīgo (konstantu) kopa,
kas veido ievades metrisko telpu
dati Ry. Gadījumā, ja katra sastāvdaļa
telpu Ry nosaka iespējamo diapazons
vērtības,
daudzi
neatkarīgs
mainīgie
parādīts
daži
ierobežots
telpas Ry apakštelpa.
8

Neatkarīgi mainīgie Y

Tie nosaka objekta darbības vidi, t.i.
ārējā
apstākļi,
V
kuras
gribu
strādāt
projektēts objekts. Tie var ietvert:
objekta tehniskie parametri, kas nav pakļauti
izmaiņas projektēšanas procesā;
fiziskais
vides traucējumi,
dizaina objekts mijiedarbojas;
Ar
kuras
taktiskie parametri, kas jāsasniedz
dizaina objekts.
9

Matemātiskais operators un izvade

Matemātiskais operators L – pilnīga sistēma
matemātiskas darbības, kas apraksta skaitliskas vai
loģiskās attiecības starp ievades un
izvaddati (mainīgie). Viņš nosaka
operācijas ar ievaddatiem.
Izvaddatu kopa (mainīgie) G(X,Y)
ir kritērija funkciju kopums,
ietverot (ja nepieciešams) mērķa funkciju.
Apskatāmā vispārinātā modeļa izejas dati
veido kritēriju metrisko telpu
RG indikatori.
10

Matemātisko modeļu nelinearitāte

Matemātisko modeļu nelinearitāte
- principa pārkāpums
superpozīcijas, t.i. kad neviena lineāra risinājumu kombinācija nav
ir problēmas risinājums. Tādējādi zināšanas par daļas uzvedību
negarantē zināšanas par visa objekta uzvedību.
Vairākums
īsts
procesiem
Un
atbilstošs
viņiem
matemātiskie modeļi nav lineāri. Lineārie modeļi atbild
ļoti īpaši gadījumi un, kā likums, kalpo tikai pirmajam
tuvojas realitātei.
Piemērs - populācijas modeļi nekavējoties kļūst nelineāri,
ja ņemam vērā populāciju ierobežoto pieejamību
resursus.
11

Matemātisko modeļu atbilstības pakāpe objektam

Grūtības:
Matemātiskais modelis nekad nav identisks
attiecīgais objekts un nenodod visas tā īpašības un
funkcijas.
Matemātiskais modelis ir aptuvens apraksts
objekts un vienmēr ir aptuvens.
Spēles precizitāti nosaka sakritības pakāpe,
modeļa un objekta atbilstība. Metodes:
Izmantojot eksperimentu (praksi), lai salīdzinātu modeļus un
izvēloties piemērotāko.
Matemātisko modeļu unifikācija, uzkrājot kopas
gatavie modeļi.
Gatavo modeļu pārnešana no viena procesa uz citu,
identisks, līdzīgs.
Lietošana minimālais daudzums tuvinājumi un uzskaite
traucējošas ietekmes.
12

Matemātisko modeļu klasifikācija

KLASIFIKĀCIJA
MATEMĀTISKIE MODEĻI
13

Matemātisko modeļu klases

Matemātiskie modeļi ir sadalīti klasēs
atkarībā no:
modelējamā objekta sarežģītība;
modeļa operators;
ievades un izejas parametri;
modelēšanas mērķi;
modeļa izpētes metode;
izpētes objekti;
modelis, kas pieder hierarhiskam līmenim
objektu apraksti;
parādīto rekvizītu raksturs;
aprēķina procedūra;
izmantojot procesa kontroli.
14

Klasifikācija pēc objektu sarežģītības

IN
vienkārši
modeļiem
plkst
modelēšana
Nav
tiek ņemta vērā objekta iekšējā struktūra, nevis
izcelties
sastāvdaļas
viņa
elementi
vai
apakšprocesi.
Objektu sistēma ir attiecīgi sarežģītāka sistēma,
kas ir savstarpēji saistītu kopums
elementi, atdalīti no vidi Un
mijiedarbojoties ar to kopumā.
15

Klasifikācija pēc modeļa operatora

Matemātiskā
modelis
sauca
lineāra, ja operators nodrošina
lineārs
atkarība
nedēļas nogale
parametrus
no
vērtības
ievade
parametrus.
Matemātiskā
modelis
sauca
nelineārs, ja operators nodrošina
nelineārs
atkarība
nedēļas nogale
parametrus
no
vērtības
ievade
parametrus.
Matemātiskais modelis ir vienkāršs, ja modeļa operators ir
algebriskā
izteiksme,
atstarojošs
funkcionāls
izejas parametru atkarība no ieejas parametriem.
Modelis, kas ietver diferenciāļa un integrāļa sistēmas
attiecības sauc par sarežģītām.
Modeli sauc par algoritmisku, ja ir iespējams izveidot
kāds objekta uzvedības un īpašību simulators, izmantojot algoritmu.
16

Klasifikācija pēc ieejas un izejas parametriem

Klasifikācija pēc modelētā procesa rakstura

deterministisks,
kuras
atbilst
deterministiski procesi, kuriem ir stingri
nepārprotama saikne starp fiziskajiem lielumiem,
raksturojot sistēmas stāvokli jebkurā
brīdis
laiks.
Deterministisks
modelis
ļauj viennozīmīgi aprēķināt un prognozēt
izejas daudzumu vērtības, pamatojoties uz ievades vērtībām
parametrus un kontroles darbības.
Neskaidrās, kas izriet no tā, ka
notiek lielumu noteikšanas izmaiņas
nejauši, un izvades daudzumu vērtības
ir varbūtiskā atbilstībā ar ievadi
vērtības un nav unikāli noteiktas.
18

Nenoteikti modeļi

Stohastiskā – visu vai atsevišķu parametru vērtības
modeļi ir noteikti nejaušie mainīgie, dota
varbūtības blīvumi.
Random – visu vai atsevišķu modeļa parametru vērtības
tiek noteikti ar nejaušiem mainīgajiem, kas iegūti ar aplēsēm
apstrādes rezultātā iegūtie varbūtības blīvumi
ierobežota šo parametru eksperimentālā izlase.
Intervāls – visu vai atsevišķu parametru vērtības
modeļi ir aprakstīti ar norādītajām intervālu vērtībām
intervāls, ko veido minimums un maksimums
iespējamās parametru vērtības.
Fuzzy – visu vai atsevišķu modeļa parametru vērtības
ir aprakstītas ar atbilstošās dalības funkcijām
izplūdis komplekts.
19

Klasifikācija saistībā ar telpas dimensiju

Viendimensionāls.
Divdimensiju.
Trīsdimensiju.
Šis iedalījums ir piemērojams modeļiem, t.sk
parametrus
kuras
iekļauts
koordinātas
telpa.
20

Klasifikācija attiecībā pret laiku

Statisks. Ja sistēmas stāvoklis nav

statisks. Statiskā simulācija
kalpo, lai aprakstītu objekta stāvokli
fiksēts laika punkts.
Dinamisks. Ja sistēmas stāvoklis
mainās laika gaitā, tad modeļi tiek saukti
dinamisks. Dinamiskā simulācija
kalpo objekta pētīšanai laikā.
21

Klasifikācija pēc izmantoto parametru kopu veida

Augsta kvalitāte.
Kvantitatīvs.
Diskrēts.
Nepārtraukta.
Jaukti.
22

Klasifikācija pēc modelēšanas mērķiem

Aprakstošs. Šādu modeļu mērķis ir noteikt likumus
modeļa parametru izmaiņas. Piemērs - raķetes kustības modelis pēc
palaišana no Zemes virsmas.
Optimizācija. Līdzīgi modeļi ir paredzēti, lai noteiktu
optimālie parametri no kāda kritērija viedokļa
modelētu objektu vai meklēt optimālo režīmu
kontrolēt kādu procesu. Šāda modeļa piemērs varētu būt
kalpo kā simulācija raķetes palaišanas procesam no Zemes virsmas ar
mērķis minimālā laikā pacelt to noteiktā augstumā.
Vadības. Šādi modeļi tiek izmantoti, lai padarītu tos efektīvus
vadības lēmumi dažādās mērķa jomās
23
cilvēka darbība.

Klasifikācija pēc ieviešanas metodes

Analītisks. Analītiskās metodesērtāk priekš
turpmāka rezultātu analīze, bet ir piemērojami tikai
salīdzinoši vienkārši modeļi. Gadījumā, ja matemātiskais
problēma pieļauj analītisko risinājumu, tad tā tiek izskatīta
vēlams, nevis skaitliski
Algoritmisks. Algoritmiskās metodes nonāk līdz
dažiem
algoritms
īstenošanā
skaitļošanas
24
eksperimentēt, izmantojot datoru.

Klasifikācija pēc pētījuma objektiem

Objekti ar augsta pakāpe informāciju. ja notiek
modelēšana, ir zināmas pilnīgas vienādojumu sistēmas,
aprakstot visus simulētā procesa aspektus un visu
šo vienādojumu parametru skaitliskās vērtības.
Objekti ar nulles informācijas līmeni. Matemātiskā
šāda objekta modelis ir veidots uz statistikas bāzes
eksperimentālie dati.
Objekti ar zināmiem pamata modeļiem.
Konstantu vērtības matemātiskajos apraksta vienādojumos
modeļi ir izveidoti no pieredzes.
Objekti, kuru uzvedība ir zināma
empīrisks raksturs. Viņi izmanto metodes
fiziskā modelēšana, izmantojot matemātisko
plānojot eksperimentu.
25

Klasifikācija pēc modeļa piederības objekta apraksta hierarhiskajam līmenim

Mikro līmenis
(tipiski
procesiem
ir
masu pārnešana,
termofizikālā,
hidrodinamiskā).
Modelēšana
veikta
V
mērķiem
sintēze
tehnoloģiskais process vienam vai vairākiem
vienības.
Makro līmenis. Modelēšanas procesus, kuriem ir vairāk
augsts agregācijas līmenis; Sintēzei tiek izmantoti modeļi
pašreizējā vadība tehnoloģiskais process vienam
vienība vai tehnoloģiskais komplekss vispār.
Meta līmenis. Integrētā procesa modelēšana
vienības un tos savienojošie materiālu un enerģijas savienojumi
straumes. Šādi modeļi kalpo tehnoloģiju sintezēšanai
komplekss kā vienots veselums, tas ir, kontroles sintēzei
attīstību.
26

Klasifikācija pēc parādīto modeļa īpašību rakstura

Funkcionāls
modeļiem.
Tiek lietoti
Priekš
aprakstus
laikā notiekošie fiziskie un informācijas procesi
objekta funkcionēšana.
Strukturāls
modeļiem.
Aprakstiet
savienojums
Un
attiecības
sistēmas elementi (process, objekts).
27

Klasifikācija pēc aprēķinu secības

Tieša. Izmanto, lai noteiktu kinētiku,
statiski un dinamiski procesu modeļi.
Reverss
(inversija).
Lietots
Priekš
ievades parametru vērtības noteikšana vai citi
noteiktas apstrādāto vielu īpašības vai
produktus, kā arī noteikt pieņemamus
apstrādes režīmu novirzes (optimizācijas problēmas
procesi un ierīces parametri).
Induktīvs.
Pieteikties
Priekš
precizējumi
matemātiskie vienādojumi kinētikas, statikas vai
procesa dinamika, izmantojot jaunas hipotēzes vai
teorijas.
28

Klasifikācija, izmantojot procesa kontroli

Prognožu modeļi vai aprēķinu modeļi bez kontroles.
Šo modeļu galvenais mērķis ir paredzēt uzvedību
sistēmas laikā un telpā, zinot sākotnējo stāvokli
un informācija par viņas uzvedību uz robežas. Piemēri - modeļi
siltuma sadale, elektriskais lauks, ķīmiska
kinētika, hidrodinamika.
Optimizācijas modeļi.
– Stacionārie modeļi. Izmanto dizaina līmenī
dažādi
tehnoloģiski
sistēmas
Piemēri
‒
deterministiskas problēmas, visa ievades informācija, kurā
ir pilnībā nosakāms.
– Nestacionārs
modeļiem.
Lietots
ieslēgts
līmenī
dizains un galvenokārt optimāls
dažādu procesu vadīšana – tehnoloģiskā,
ekonomiskie uc Šajās problēmās daži parametri ir
pēc būtības nejauši vai satur nenoteiktības elementu.
29 Hipotēze.
Fenomenoloģiskais modelis.
Tuvināšana.
Vienkāršošana.
Heiristiskais modelis.
Analoģija.
Domu eksperiments.
Iespējas demonstrēšana.
30

Hipotēze

Šie modeļi ir izmēģinājums
parādības apraksts. Ja tāds modelis ir uzbūvēts, tad
tas nozīmē, ka tā uz laiku tiek pieņemta kā patiesība
un jūs varat koncentrēties uz citām problēmām.
Tomēr tas nevar būt pētījuma mērķis, bet gan
tikai īslaicīga pauze: modeļa statuss var būt
tikai pagaidu.
Piemēri:
Modelis saules sistēma saskaņā ar Ptolemaju.
Kopernika modelis (uzlabots ar Kepler).
Rezerforda atoma modelis.
Lielā sprādziena modelis.
un utt.
31

Fenomenoloģiskais modelis

Šis modelis satur fenomena aprakstīšanas mehānismu.
Tomēr šis mehānisms nav pietiekami pārliecinošs un nevar būt
ko atbalsta pieejamie dati vai tas neatbilst
esošās teorijas un uzkrātās zināšanas par objektu.
Tāpēc fenomenoloģiskiem modeļiem ir pagaidu statuss
lēmumus. Modeļa loma pētījumā var mainīties ar
laika gaitā var gadīties, ka jauni dati un teorijas
apstiprinās fenomenoloģiskos modeļus un tie tiks jaunināti uz
hipotēzes statuss. Tāpat jaunas zināšanas var pakāpeniski
nonāk pretrunā ar modeļiem-hipotēzēm pirmā tipa un tiem
var pārcelt uz otro.
Piemēri:
Kaloriju modelis.
Elementārdaļiņu kvarka modelis.
un utt.
32

Tuvināšana

Vispārpieņemts paņēmiens gadījumos, kad tas nav iespējams
pat atrisināt vienādojumus, izmantojot datoru,
aprakstot pētāmo sistēmu - izmantošanu
tuvinājumi. Vienādojumi tiek aizstāti ar lineāriem.
Standarta piemērs ir Oma likums.
33

Vienkāršošana

Šajā modelī daļas, kas ir
var būt jūtama un ne vienmēr kontrolējama ietekme uz
rezultāts.
Piemēri:
Modeļa pielietojums ideāla gāze nepilnīgajam.
Van der Vālsa stāvokļa vienādojums.
Lielākā daļa cietvielu fizikas modeļu,
šķidrumi un kodolfizika. Ceļš no mikroapraksta līdz
ķermeņu (vai vides) īpašības, kas sastāv no liela skaita
daļiņas, ļoti garš. Daudzi ir jāatmet
detaļas.
34

Heiristiskais modelis

Heiristiskais modelis saglabā tikai kvalitatīvo
realitātes šķietamību un izsaka prognozes tikai “saskaņā ar
lieluma kārtībā."
Tas sniedz vienkāršas koeficientu formulas
viskozitāte, difūzija, siltumvadītspēja, konsekventa
ar realitāti pēc lieluma. Bet kad
būvēt jaunu fiziku neizdodas uzreiz
modelis, kas sniedz vismaz kvalitatīvu objekta aprakstu.
Tipisks piemērs ir vidējā garuma tuvinājums
brīvais ceļš kinētiskajā teorijā.
35

Analoģija

Šis
modelis
pirmo reizi
radās
Kad
tika izmēģināta mijiedarbība neitronu-protonu sistēmā
izskaidrot caur atoma mijiedarbību
ūdeņradis ar protonu. Šī analoģija noveda pie
secinājums, ka ir jābūt apmaiņai
mijiedarbības spēki starp neitronu un protonu,
ko izraisa elektronu pārnešana starp diviem
protoni.
36

Domu eksperiments un iespēju demonstrēšana

Domu eksperiments ir spriešana
kas galu galā noved pie pretrunām.
Iespēju demonstrēšana ir arī garīga
eksperimentiem
Ar
iedomāts
entītijām
demonstrējot
Kas
domājams
parādība
atbilst pamatprincipi un iekšēji
konsekventi. Viens no slavenākajiem no tiem
eksperimenti - Lobačevska ģeometrija.
37

Secinājums un secinājumi

Tiek aplūkots matemātiskā modeļa jēdziens.
Izpētīts vispārināts matemātiskais modelis.
Tiek definēti jēdzieni: matemātisko modeļu nelinearitāte un pakāpe
atbilstība starp matemātisko modeli un objektu.
Tiek parādīta matemātisko modeļu klasifikācija.
38 Samarsky, A.A. Matemātiskā modelēšana / A.A. Samara,
A.P. Mihailovs. – M.: Zinātne. Fizmatlit, 1997. gads.
Tarasevičs, N.N. Matemātiskā un datormodelēšana.
Ievadkurss / N.N. Tarasevičs. – M.: URSS redakcija, 2001.
Ievads matemātiskajā modelēšanā: mācību grāmata. Pabalsts / zem
rediģēja P.V. Trusova. – M.: Universitātes grāmata, Logos, 2007. –
440 lpp.