Art
- Risinot ģeometriskos uzdevumus, ir lietderīgi ievērot šādu algoritmu. Izlasot problēmas nosacījumus, tas ir nepieciešams
- Izveidojiet zīmējumu. Zīmējumam pēc iespējas jāatbilst problēmas apstākļiem, tāpēc tā galvenais uzdevums ir palīdzēt rast risinājumu
- Ievietojiet visus datus no problēmas paziņojuma uz zīmējuma Izrakstiet visuģeometriskie jēdzieni
- , kas parādās problēmā
- Atcerieties visas teorēmas, kas attiecas uz šiem jēdzieniem Uzzīmējiet zīmējumā visas attiecības starp elementiemģeometriskā figūra
, kas izriet no šīm teorēmām
Piemēram, ja uzdevums satur vārdus trijstūra leņķa bisektrise, jums jāatceras bisektrise definīcija un īpašības un zīmējumā jānorāda vienādi vai proporcionāli segmenti un leņķi.
Šajā rakstā jūs atradīsiet trīsstūra pamatīpašības, kas jums jāzina, lai veiksmīgi atrisinātu problēmas.
Trijstūris.
1. ,
Trijstūra laukums.
2.
,
šeit - patvaļīga trīsstūra mala, - augstums pazemināts uz šo pusi.
3. šeit un ir patvaļīgas trīsstūra malas, un ir leņķis starp šīm malām:
Herona formula:
4. ,
Šeit ir trijstūra malu garumi, ir trijstūra pusperimetrs,
šeit ir trijstūra pusperimetrs un ierakstītā apļa rādiuss.
Ļaut ir pieskares segmentu garumi.
5.
6. ,
Tad Herona formulu var uzrakstīt šādi:
šeit - trijstūra malu garumi, - ierobežotā apļa rādiuss.
Ja trijstūra malā ņem punktu, kas dala šo malu attiecībā m:n, tad segments, kas savieno šo punktu ar pretējā leņķa virsotni, sadala trijstūri divos trīsstūros, kuru laukumi ir proporcijā. m: n:
Līdzīgu trīsstūru laukumu attiecība ir vienāda ar līdzības koeficienta kvadrātu.
Trijstūra mediāna
Šis ir segments, kas savieno trijstūra virsotni ar pretējās malas vidu. Trijstūra mediānas
krustojas vienā punktā un tiek dalīti ar krustošanās punktu attiecībā 2:1, skaitot no virsotnes.
Regulāra trijstūra mediānu krustpunkts sadala mediānu divos segmentos, no kuriem mazākais ir vienāds ar ierakstītā apļa rādiusu, bet lielākais ir vienāds ar ierobežotā apļa rādiusu.
Ierobežotā riņķa rādiuss ir divreiz lielāks par ierakstītā apļa rādiusu: R=2r Vidējais garums
,
patvaļīgs trīsstūris
šeit - uz sāniem novilkta mediāna - trijstūra malu garumi.
Trijstūra bisektrise
šeit - uz sāniem novilkta mediāna - trijstūra malu garumi. sadala malu segmentos, kas ir proporcionāli blakus esošajām malām:
Trijstūra bisektrise krustojas vienā punktā, kas ir ierakstītā apļa centrs.
Visi leņķa bisektrise punkti atrodas vienādā attālumā no leņķa malām.
Trīsstūra augstums
Šis ir perpendikulārs segments, kas nomests no trijstūra virsotnes uz pretējo pusi vai tā turpinājumu. Strupā trijstūrī augstums, kas novilkts no asā leņķa virsotnes, atrodas ārpus trijstūra.
Trijstūra augstumi krustojas vienā punktā, ko sauc trijstūra ortocentrs.
Lai atrastu trīsstūra augstumu novilkta uz sāniem, jums jebkurā pieejamā veidā jāatrod tā laukums un pēc tam jāizmanto formula:
Trijstūra apļa centrs, atrodas uz trijstūra malām novilkto perpendikulāro bisektoru krustpunktā.
Trijstūra apkārtmēra rādiuss var atrast, izmantojot šādas formulas:
Šeit ir norādīti trijstūra malu garumi un trīsstūra laukums.
,
kur ir trijstūra malas garums un pretējais leņķis. (Šī formula izriet no sinusa teorēmas.)
Trijstūra nevienlīdzība
Katra trijstūra mala ir mazāka par summu un lielāka par pārējo divu starpību.
Jebkuru divu malu garumu summa vienmēr ir lielāka par trešās malas garumu:
Pretī lielākajai pusei atrodas lielāks leņķis; Pretī lielākajam leņķim atrodas lielākā puse:
Ja , tad otrādi.
Sinusu teorēma:
Trijstūra malas ir proporcionālas pretējo leņķu sinusiem:
Kosinusa teorēma:
Trijstūra malas kvadrāts ir vienāds ar pārējo divu malu kvadrātu summu, neskaitot šo malu divkāršu reizinājumu ar leņķa starp tām kosinusu:
Taisns trīsstūris
- Tas ir trīsstūris, kura viens no leņķiem ir 90°.
Taisnleņķa trijstūra akūto leņķu summa ir 90°.
Hipotenūza ir puse, kas atrodas pretī 90° leņķim. Hipotenūza ir garākā puse.
Pitagora teorēma:
hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar kāju kvadrātu summu: 
Taisnleņķa trijstūrī ierakstīta riņķa rādiuss ir vienāds ar
,
šeit ir ierakstītā apļa rādiuss, - kājas, - hipotenūza:
Taisnleņķa trijstūra apļa centrs atrodas hipotenūzas vidū:
Taisnleņķa trīsstūra mediāna, kas novilkta uz hipotenūzu, ir vienāds ar pusi no hipotenūzas.
Taisnleņķa trijstūra sinusa, kosinusa, pieskares un kotangensa definīcija paskaties
Elementu attiecība taisnleņķa trijstūrī:
No virsotnes novilkta taisnleņķa trijstūra augstuma kvadrāts taisns leņķis, vienāds ar produktu kāju projekcijas uz hipotenūzu:
Kājas kvadrāts ir vienāds ar hipotenūzas un kājas projekcijas uz hipotenūzu reizinājumu:
Kāja atrodas pretī stūrim vienāds ar pusi no hipotenūzas:
Vienādsānu trīsstūris.
Uz pamatni novilkta vienādsānu trijstūra bisektrise ir mediāna un augstums.
Vienādsānu trijstūrī pamata leņķi ir vienādi.
Virsotnes leņķis.
Un - sāni,
Un - leņķi pie pamatnes.
Augstums, bisektrise un mediāna.
Uzmanību! Uz sāniem novilktais augstums, bisektrise un mediāna nesakrīt.
Regulārs trīsstūris
(vai vienādmalu trīsstūris ) ir trīsstūris, kura visas malas un leņķi ir vienādi viens ar otru.
Regulāra trīsstūra laukums vienāds ar
kur ir trijstūra malas garums.
Regulārā trīsstūrī ierakstīta riņķa centrs, sakrīt ar apļa centru, kas apvilkts ap regulāru trīsstūri, un atrodas mediānu krustpunktā.
Regulāra trīsstūra mediānu krustpunkts sadala mediānu divos segmentos, no kuriem mazākais ir vienāds ar ierakstītā apļa rādiusu, bet lielākais ir vienāds ar ierobežotā apļa rādiusu.
Ja viens no vienādsānu trijstūra leņķiem ir 60°, tad trijstūris ir regulārs.
Trijstūra vidējā līnija
Šis ir segments, kas savieno divu malu viduspunktus.
Attēlā DE - viduslīnija trīsstūris ABC.
Trijstūra viduslīnija ir paralēla trešajai malai un vienāda ar tā pusi: DE||AC, AC=2DE
Trijstūra ārējais leņķis
Tas ir leņķis, kas atrodas blakus jebkuram trijstūra leņķim.
Trijstūra ārējais leņķis ir vienāds ar divu leņķu summu, kas nav tam blakus.
Ārējā leņķa trigonometriskās funkcijas:
Trīsstūru vienādības zīmes:
1 . Ja viena trijstūra divas malas un leņķis starp tām ir attiecīgi vienāds ar cita trijstūra divām malām un leņķi starp tām, tad šādi trīsstūri ir kongruenti.
2 . Ja viena trijstūra mala un divi blakus leņķi ir attiecīgi vienādi ar cita trijstūra malu un diviem blakus leņķiem, tad šādi trīsstūri ir kongruenti.
3 Ja viena trijstūra trīs malas ir attiecīgi vienādas ar cita trijstūra trim malām, tad šādi trīsstūri ir kongruenti.
Svarīgi: jo iekšā taisnleņķa trīsstūris ir zināms, ka divi leņķi ir vienādi, tad par divu taisnleņķa trīsstūru vienādība ir nepieciešama tikai divu elementu vienādība: divas malas vai sānu un asā leņķa.
Trīsstūru līdzības pazīmes:
1 . Ja viena trijstūra divas malas ir proporcionālas cita trijstūra divām malām un leņķi starp šīm malām ir vienādi, tad šie trīsstūri ir līdzīgi.
2 . Ja viena trijstūra trīs malas ir proporcionālas cita trijstūra trim malām, tad trīsstūri ir līdzīgi.
3 . Ja viena trijstūra divi leņķi ir vienādi ar cita trijstūra diviem leņķiem, tad trijstūri ir līdzīgi.
Svarīgi: Līdzīgos trīsstūros līdzīgas malas atrodas pretī vienādiem leņķiem.
Menelausa teorēma
Ļaujiet līnijai krustot trijstūri, un ir tā krustošanās punkts ar sānu , ir tā krustošanās punkts ar sānu , Un ir tā krustošanās punkts ar sānu turpinājumu . Tad
Taisns trīsstūris- tas ir trīsstūris, kurā viens no leņķiem ir taisns, tas ir, vienāds ar 90 grādiem.
- Pusi, kas atrodas pretī taisnajam leņķim, sauc par hipotenūzu (attēlā norādīts kā c vai AB)
- Sānu, kas atrodas blakus pareizajam leņķim, sauc par kāju. Katram taisnleņķa trijstūrim ir divas kājas (attēlā tās ir apzīmētas kā a un b vai AC un BC)
Taisnleņķa trijstūra formulas un īpašības
Formulas apzīmējumi:(skat. attēlu augstāk)
a, b- taisnleņķa trīsstūra kājas
c- hipotenūza
α, β - trijstūra asi leņķi
S- kvadrāts
h- augstums pazemināts no taisnā leņķa virsotnes līdz hipotenūzai
m a a no pretējā stūra ( α )
m b- vidusdaļa novilkta uz sāniem b no pretējā stūra ( β )
m c- vidusdaļa novilkta uz sāniem c no pretējā stūra ( γ )
IN taisnleņķa trīsstūris jebkura no kājām ir mazāka par hipotenūzu(Formula 1 un 2). Šī īpašība ir Pitagora teorēmas sekas.
Jebkura akūtā leņķa kosinuss mazāk par vienu (Formula 3 un 4). Šis īpašums izriet no iepriekšējā. Tā kā jebkura no kājām ir mazāka par hipotenūzu, kājas un hipotenūzas attiecība vienmēr ir mazāka par vienu.
Hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar kāju kvadrātu summu (Pitagora teorēma). (Formula 5). Šis īpašums tiek pastāvīgi izmantots, risinot problēmas.
Taisnstūra trīsstūra laukums vienāds ar pusi no kāju reizinājuma (Formula 6)
Mediānu kvadrātā summa uz kājām ir vienāds ar pieciem hipotenūzas mediānas kvadrātiem un pieciem hipotenūzas kvadrātiem, dalītiem ar četriem (7. formula). Papildus iepriekšminētajam ir Vēl 5 formulas, tāpēc ieteicams izlasīt arī nodarbību “Taisnstūra trijstūra mediāna”, kurā sīkāk aprakstītas mediānas īpašības.
Augstums taisnleņķa trīsstūris ir vienāds ar kāju reizinājumu, kas dalīts ar hipotenūzu (8. formula)
Kāju kvadrāti ir apgriezti proporcionāli līdz hipotenūzai nolaistā augstuma kvadrātam (9. formula). Šī identitāte ir arī viena no Pitagora teorēmas sekām.
Hipotenūzas garums vienāds ar ierobežotā apļa diametru (diviem rādiusiem) (10. formula). Taisnleņķa trijstūra hipotenūza ir apļveida loka diametrs. Šo īpašumu bieži izmanto problēmu risināšanā.
Ierakstīts rādiuss V taisnleņķa trīsstūris aplis var atrast kā pusi no izteiksmes, ieskaitot šī trīsstūra kāju summu mīnus hipotenūzas garumu. Vai kā kāju reizinājums, kas dalīts ar dotā trīsstūra visu malu (perimetra) summu. (Formula 11)
Leņķa sinuss attiecībā pret pretējošis leņķis kāju līdz hipotenūzai(pēc sinusa definīcijas). (Formula 12). Šis īpašums tiek izmantots, risinot problēmas. Zinot sānu izmērus, varat atrast leņķi, ko tās veido.
Leņķa A (α, alfa) kosinuss taisnleņķa trijstūrī būs vienāds ar attieksme blakusšis leņķis kāju līdz hipotenūzai(pēc sinusa definīcijas). (Formula 13)
Īpašums: 1. Jebkurā taisnleņķa trijstūrī augstums, kas ņemts no taisnā leņķa (pēc hipotenūzas), sadala taisnstūri trīs līdzīgos trīsstūros.
Īpašums: 2. Taisnleņķa trijstūra augstums, kas nolaists līdz hipotenūzai, ir vienāds ar kāju projekciju ģeometrisko vidējo vērtību uz hipotenūzu (vai to segmentu ģeometrisko vidējo, kuros augstums sadala hipotenūzu).
Īpašums: 3. Kāja ir vienāda ar hipotenūzas vidējo ģeometrisko vērtību un šīs kājas projekciju uz hipotenūzu.
Īpašums: 4. Kāja, kas atrodas pretī 30 grādu leņķim, ir vienāda ar pusi no hipotenūzas.
Formula 1.
Formula 2., kur ir hipotenūza; , kājas.
Īpašums: 5. Taisnleņķa trīsstūrī hipotenūzai novilktā mediāna ir vienāda ar pusi no tās un vienāda ar ierobežotā apļa rādiusu.
Īpašība: 6. Attiecība starp taisnleņķa trijstūra malām un leņķiem:
44.Kosinusu teorēma. Secinājumi: attiecības starp paralelograma diagonālēm un malām; trīsstūra veida noteikšana; formula trijstūra mediānas garuma aprēķināšanai; Trijstūra leņķa kosinusa aprēķins.
Darba beigas -
Šī tēma pieder sadaļai:
Klase. Kolokvija programma pamata planimetrijā
Blakus esošo leņķu īpašība.. definīcija, ka divi leņķi ir blakus, ja tiem ir viena mala kopīga un pārējās divas veido taisnu līniju.
Ja vajag papildu materiāls par šo tēmu, vai arī neatradāt meklēto, iesakām izmantot meklēšanu mūsu darbu datubāzē:
Ko darīsim ar saņemto materiālu:
Ja šis materiāls jums bija noderīgs, varat to saglabāt savā lapā sociālajos tīklos:
Trīsstūri.
Pamatjēdzieni.
Trīsstūris ir figūra, kas sastāv no trim segmentiem un trim punktiem, kas neatrodas uz vienas taisnes.
Segmentus sauc ballītēm, un punkti ir virsotnes.
Leņķu summa trīsstūris ir 180º.
Trīsstūra augstums.
Trīsstūra augstums- tas ir perpendikuls, kas novilkts no virsotnes uz pretējo pusi.
Akūtā trijstūrī augstums ir ietverts trīsstūrī (1. att.).
Taisnstūra trīsstūrī kājas ir trijstūra augstumi (2. att.).
Strupā trijstūrī augstums sniedzas ārpus trijstūra (3. att.).
Trijstūra augstuma īpašības:
Trijstūra bisektrise.
šeit - uz sāniem novilkta mediāna - trijstūra malu garumi.- tas ir segments, kas sadala virsotnes stūri uz pusēm un savieno virsotni ar punktu pretējā pusē (5. att.).
Bisektora īpašības:
Trijstūra mediāna.
Līdzīgu trīsstūru laukumu attiecība ir vienāda ar līdzības koeficienta kvadrātu.- tas ir segments, kas savieno virsotni ar pretējās puses vidu (9.a att.).
| Mediānas garumu var aprēķināt, izmantojot formulu: 2b 2 + 2c 2 - a 2 Kur m a- vidusdaļa novilkta uz sāniem A. Taisnleņķa trīsstūrī hipotenūzai novilktā mediāna ir vienāda ar pusi no hipotenūzas: c Kur m c- mediāna novilkta līdz hipotenūzai c(9.c att.) Trijstūra mediānas krustojas vienā punktā (trijstūra masas centrā) un tiek dalītas ar šo punktu attiecībā 2:1, skaitot no virsotnes. Tas ir, segments no virsotnes līdz centram ir divreiz lielāks nekā segments no trijstūra centra līdz malai (9.c att.). Trīs trīsstūra mediānas sadala to sešos vienādos trīsstūros. |
Trīsstūra vidējā līnija.
Trijstūra vidējā līnija- tas ir segments, kas savieno tā abu malu viduspunktus (10. att.).
Trijstūra viduslīnija ir paralēla trešajai malai un vienāda ar pusi no tās
Trijstūra ārējais leņķis.
Ārējais stūris trijstūra ir vienāds ar divu neblakus esošu iekšējo leņķu summu (11. att.).
Trijstūra ārējais leņķis ir lielāks par jebkuru leņķi, kas nav blakus.
Taisns trīsstūris.
Taisns trīsstūris ir trīsstūris, kuram ir taisns leņķis (12. att.).
Tiek saukta taisnleņķa trijstūra mala, kas ir pretēja taisnajam leņķim hipotenūza.
Pārējās divas puses sauc kājas.
Proporcionāli segmenti taisnleņķa trijstūrī.
1) Taisnleņķa trijstūrī augstums, kas novilkts no taisnā leņķa, veido trīs līdzīgus trīsstūrus: ABC, ACH un HCB (14.a att.). Attiecīgi leņķi, ko veido augstums, ir vienādi ar leņķiem A un B.
Att.14a
Vienādsānu trīsstūris.
Vienādsānu trīsstūris ir trīsstūris, kura abas malas ir vienādas (13. att.).
Šīs vienādas puses sauc puses, un trešais - pamats trīsstūris.
Vienādsānu trijstūrī pamata leņķi ir vienādi. (Mūsu trīsstūrī leņķis A ir vienāds ar leņķi C).
Vienādsānu trīsstūrī mediāna, kas novilkta uz pamatni, ir gan trijstūra bisektrise, gan augstums virs jūras līmeņa.
Vienādmalu trīsstūris.
Vienādmalu trijstūris ir trijstūris, kura visas malas ir vienādas (14. att.).
Vienādmalu trīsstūra īpašības:
Ievērojamas trīsstūru īpašības.
Trijstūriem ir unikālas īpašības, kas palīdzēs veiksmīgi atrisināt problēmas, kas saistītas ar šīm formām. Dažas no šīm īpašībām ir aprakstītas iepriekš. Bet mēs tos atkārtojam vēlreiz, pievienojot tiem dažas citas brīnišķīgas funkcijas:
| 1) taisnleņķa trīsstūrī ar 90º, 30º un 60º leņķiem b, kas atrodas pretī 30º leņķim, ir vienāds ar puse no hipotenūzas. Kājaa vairāk kājub√3 reizes (15. att.). A). Piemēram, ja kāja b ir 5, tad hipotenūza c obligāti vienāds ar 10, un kāju A vienāds ar 5√3. 2) Taisnsānu vienādsānu trīsstūrī ar leņķiem 90º, 45º un 45º hipotenūza ir √2 reizes lielāka par kāju (15. att. b). Piemēram, ja kājas ir 5, tad hipotenūza ir 5√2. 3) Trijstūra viduslīnija ir vienāda ar pusi no paralēlās malas (15. att.). Ar). Piemēram, ja trijstūra mala ir 10, tad tai paralēlā viduslīnija ir 5. 4) Taisnleņķa trijstūrī hipotenūzai novilktā mediāna ir vienāda ar pusi no hipotenūzas (9.c att.): m c= s/2. 5) Trijstūra mediānas, kas krustojas vienā punktā, tiek dalītas ar šo punktu attiecībā 2:1. Tas ir, segments no virsotnes līdz mediānu krustošanās punktam ir divreiz lielāks nekā segments no mediānu krustošanās punkta līdz trijstūra malai (9.c att.) 6) Taisnleņķa trijstūrī hipotenūzas vidus ir ierobežotā apļa centrs (15. att. d). |
Trīsstūru vienādības zīmes.
Pirmā vienlīdzības zīme: ja viena trijstūra divas malas un leņķis starp tām ir vienāds ar cita trijstūra divām malām un leņķi starp tām, tad šādi trijstūri ir kongruenti.
Otrā vienlīdzības zīme: ja viena trijstūra mala un tai blakus esošie leņķi ir vienādi ar cita trijstūra malu un tai blakus esošiem leņķiem, tad šādi trijstūri ir kongruenti.
Trešā vienlīdzības zīme: Ja viena trijstūra trīs malas ir vienādas ar cita trijstūra trim malām, tad šādi trijstūri ir kongruenti.
Trijstūra nevienlīdzība.
Jebkurā trīsstūrī katra mala ir mazāka par pārējo divu malu summu.
Pitagora teorēma.
Taisnleņķa trīsstūrī hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar kāju kvadrātu summu:
c 2 = a 2 + b 2 .
Trijstūris.
1) Trijstūra laukums ir vienāds ar pusi no tā malas reizinājuma un augstuma, kas novilkta uz šo pusi:
ak
S = ——
2
2) Trijstūra laukums ir vienāds ar pusi no jebkuru divu tā malu reizinājuma un leņķa sinusa starp tām:
1
S = —
AB ·
A.C. ·
grēks A
2
Trīsstūris, kas norobežots ap apli.
Apli sauc par ierakstītu trijstūrī, ja tas skar visas tā malas (16. att.). A).
Aplī ierakstīts trīsstūris.
Par trīsstūri tiek teikts, ka tas ir ierakstīts aplī, ja tas pieskaras tam ar visām virsotnēm (17. att. a).
Taisnleņķa trijstūra asā leņķa sinuss, kosinuss, tangenss, kotangenss (18. att.).
Sinuss akūts leņķis x pretī kāju līdz hipotenūzai.
To apzīmē šādi: grēksx.
Kosinuss akūts leņķis x taisnleņķa trīsstūra ir attiecība blakus kāju līdz hipotenūzai.
Apzīmēts šādi: cos x.
Pieskares akūts leņķis x- šī ir pretējās puses attiecība pret blakus esošo pusi.
Tas ir apzīmēts šādi: tgx.
Kotangenss akūts leņķis x- šī ir blakus esošās puses attiecība pret pretējo pusi.
Tas ir apzīmēts šādi: ctgx.
Noteikumi:
Kāja pretī stūrim x, ir vienāds ar hipotenūzas un grēka reizinājumu x:
b = c grēks x
Kāja blakus stūrim x, ir vienāds ar hipotenūzas un cos reizinājumu x:
a = c cos x
Kāja pretī stūrim x, ir vienāds ar otrā posma reizinājumu ar tg x:
b = a tg x
Kāja blakus stūrim x, ir vienāds ar otrā posma reizinājumu ar ctg x:
a = b· ctg x.
Jebkuram asam leņķim x:
grēks (90° - x) = cos x
cos (90°- x) = grēks x
