Cilvēks, kas iet uz priekšu, pārvietojas vienā dimensijā. Ja viņš lec vai maina virzienu pa kreisi vai pa labi, viņš apgūs vēl divas dimensijas. Un, izsekojot savu ceļu ar rokas pulksteņa palīdzību, viņš praksē pārbaudīs ceturtā darbību.
Ir cilvēki, kuri aprobežojas ar šiem apkārtējās pasaules parametriem un viņus īpaši neuztrauc, kas notiks tālāk. Taču ir arī zinātnieki, kuri ir gatavi iziet ārpus ierastā apvāršņa, pārvēršot pasauli par savu milzīgo smilšu kasti.
Pasaule ārpus četrām dimensijām
Saskaņā ar daudzdimensionalitātes teoriju, ko astoņpadsmitā gadsimta beigās un deviņpadsmitā gadsimta sākumā izvirzīja Mēbiuss, Jakobijs, Pļukers, Keli, Rīmanis, Lobačevskis, pasaule nemaz nav četrdimensionāla. To uzskatīja par sava veida matemātisko abstrakciju, kurai nebija īpašas nozīmes, un daudzdimensionalitāte radās kā šīs pasaules atribūts.
Īpaši interesanti šajā ziņā ir Rīmaņa darbi, kuros tika izvirzīta parastā Eiklida ģeometrija un parādīts, cik neparasta var būt cilvēku pasaule.
Piektā dimensija
1926. gadā zviedru matemātiķis Kleins, mēģinot pamatot piektās dimensijas fenomenu, izteica drosmīgu pieņēmumu, ka cilvēki to nespēj novērot, jo tā ir ļoti maza. Pateicoties šim darbam, bija interesanti darbi, kas veltīta telpas daudzdimensionālajai struktūrai, no kuras liela daļa ir saistīta ar kvantu mehāniku un ir diezgan grūti saprotama.
Michio Kaku un eksistences daudzdimensionalitāte
Saskaņā ar cita japāņu izcelsmes amerikāņu zinātnieka darbiem cilvēku pasaulei ir daudz vairāk dimensiju nekā piecas. Viņš izvirza interesantu analoģiju par karpu peldēšanu. Viņiem ir tikai šis dīķis, ir trīs dimensijas, kurās viņi var pārvietoties. Un viņi nesaprot, ka tieši virs ūdens malas paveras jauna nezināma pasaule.
Tāpat cilvēks nevar saprast pasauli ārpus sava “dīķa”, bet patiesībā var būt bezgalīgi daudz dimensiju. Un tie nav tikai zinātnieka estētiski intelektuālie pētījumi. Dažas fiziskās īpašības cilvēkam zināms pasaulei, gravitācijai, gaismas viļņiem, enerģijas izplatībai ir zināmas neatbilstības un dīvainības. Tos nav iespējams izskaidrot no parastās četrdimensiju pasaules viedokļa. Bet, ja pievienojat vēl dažus izmērus, viss nostājas savās vietās.
Cilvēks nevar aptvert visas pastāvošās dimensijas ar savām maņām. Tomēr tas, ka tie pastāv, jau ir zinātnisks fakts. Un jūs varat strādāt ar viņiem, mācīties, noteikt modeļus. Un, iespējams, kādreiz cilvēks iemācīsies saprast, cik milzīga, sarežģīta un interesanta ir apkārtējā pasaule.
Daudzdimensionālas telpas – mīts vai realitāte? Vairumam no mums vai varbūt visiem nav iespējams iedomāties pasauli, kas sastāv no vairāk nekā trim telpiskām dimensijām. Vai ir pareizi teikt, ka tāda pasaule nevar pastāvēt? Vai arī vienkārši cilvēka prāts nespēj iztēloties papildu dimensijas — dimensijas, kas varētu būt tikpat reālas kā citas lietas, ko mēs neredzam?
Diezgan bieži mēs dzirdam kaut ko līdzīgu trīsdimensiju telpa"vai "daudzdimensiju telpa" vai "četrdimensiju telpa". Jūs varat zināt, ka mēs dzīvojam četrdimensiju laiktelpā. Ko tas nozīmē un kāpēc tas ir interesanti, kāpēc matemātiķi un ne tikai matemātiķi pēta šādas telpas?
|
Iļja Ščurovs- Fizikas un matemātikas zinātņu kandidāts, katedras asociētais profesors augstākā matemātika Nacionālās pētniecības universitātes Ekonomikas augstskola.
Džeisons Hisē- fizikas programmētājs uzņēmumā Ready at Dawn Studios, 4D ģeometrijas entuziasts. Šajā rakstā piedāvāto animēto modeļu autors.
Ashrowen- Pikabušņiks, kurš šajā rakstā ilustrēja tesserakta un hiperkuba uzbūvi. |
Sāksim vienkārši – sāksim ar viendimensijas telpa. Iedomāsimies, ka mums ir pilsēta, kas atrodas gar ceļu, un šajā pilsētā ir tikai viena iela. Tad mēs varam iekodēt katru māju šajā ielā ar vienu numuru - mājai ir numurs, un šis skaitlis unikāli nosaka, kuru māju mēs domājam. Var uzskatīt, ka cilvēki, kas dzīvo šādā pilsētā, dzīvo šādā viendimensionālā telpā. Dzīvot viendimensionālā telpā ir diezgan garlaicīgi, un cilvēki parasti nedzīvo viendimensionālā telpā.
Piemēram, ja mēs runājam par pilsētām, tad mēs varam pāriet no viendimensionālās telpas uz divdimensiju telpu. Divdimensiju telpas piemērs ir plakne, un, ja mēs turpinām savu analoģiju ar pilsētām, tad šī ir pilsēta, kurā ielas var izkārtot, teiksim, perpendikulāri viena otrai, kā tas tiek darīts Ņujorkā. Ņujorkas centrs. Ir “iela” un avēnija, katrai no tām ir savs numurs, un jūs varat norādīt vietu lidmašīnā, norādīt divus ciparus. Atkal mēs visi zinām Dekarta koordinātu sistēmu, kas pazīstama no skolas – katrs punkts ir norādīts ar diviem cipariem. Šis ir piemērs divdimensiju telpa.
Bet, ja mēs runājam par tādu pilsētu kā Ņujorkas centrs, tad patiesībā tā ir trīsdimensiju telpa, jo nepietiek, lai norādītu, piemēram, konkrētu māju, pat ja jūs to definējat ar kādas “ielas” un kādas avēnijas krustojums, - būs jānorāda arī stāvs, kurā atrodas nepieciešamais dzīvoklis. Tas dos jums trešo dimensiju – augstumu. Jūs to varat izdarīt trīsdimensiju telpa, kurā katrs punkts ir norādīts ar trim cipariem.
Jautājums: kas tas ir četrdimensiju telpa? To nav tik viegli iedomāties, taču to var uzskatīt par telpu, kurā katrs punkts ir definēts ar četriem cipariem. Patiesībā jūs un es tiešām dzīvojam četrdimensiju laiktelpā, jo mūsu dzīves notikumi ir iekodēti tikai ar četriem cipariem – papildus pozīcijai telpā ir arī laiks. Piemēram, ja veidojat datumu, varat to izdarīt šādi: varat norādīt trīs skaitļus, kas atbilst telpas punktam, un noteikti norādiet laiku, kas parasti tiek norādīts stundās, minūtēs, sekundēs. , bet var tikt iekodēts vienā ciparā . Piemēram, sekunžu skaits, kas pagājis kopš noteikta datuma, arī ir viens skaitlis. Tā rezultātā veidojas četrdimensiju telpa-laiks.
Nav ļoti viegli iedomāties šīs četrdimensiju telpas-laika ģeometriju. Piemēram, jūs un es esam pieraduši pie tā, ka mūsu parastajā trīsdimensiju telpā divas plaknes var krustoties taisnā līnijā vai būt paralēlas. Bet tā nenotiek, ka divas plaknes krustojas vienā punktā. Divas taisnes var krustoties vienā punktā, bet plaknē tās nevar krustoties trīsdimensiju telpā. Un četrdimensiju telpā divas plaknes var un visbiežāk krustoties vienā punktā. Jūs varat iedomāties, lai gan tas ir diezgan grūti, telpu ar lielāku dimensiju. Patiesībā matemātiķi, strādājot ar augstdimensiju telpām, visbiežāk saka vienkārši: pieņemsim, ka piecdimensiju telpa ir telpa, kurā punkts ir norādīts ar pieciem cipariem, piecām koordinātām. Protams, matemātiķi ir izstrādājuši dažādas metodes, kas ļauj kaut ko saprast par šādas telpas ģeometriju.
Kāpēc tas ir svarīgi? Kāpēc bija vajadzīgas šādas telpas? Pirmkārt, četrdimensiju telpa mums ir svarīga, jo to izmanto fizikā, jo mēs tajā dzīvojam. Kāpēc mums ir vajadzīgas augstākas dimensijas telpas? Iedomāsimies, ka mēs pētām dažus objektus, kuriem ir liels parametru skaits. Piemēram, mēs pētām valstis, un katrai valstij ir teritorija, iedzīvotāji, iekšzemes kopprodukts, pilsētu skaits, kaut kādi koeficienti, indeksi, kaut kas tamlīdzīgs. Mēs varam iedomāties katru valsti kā vienu punktu kādā diezgan augstas dimensijas telpā. Un izrādās, ka no matemātiskā viedokļa tas ir pareizais veids, kā par to domāt.
Jo īpaši pāreja uz daudzdimensiju telpas ģeometriju ļauj analizēt dažādus sarežģītus objektus ar lielu skaitu parametru.
Lai pētītu šādus objektus, tiek izmantotas metodes, kas izstrādātas zinātnē, ko sauc par lineāro algebru. Lai gan tā ir algebra, patiesībā tā ir zinātne par daudzdimensiju telpu ģeometriju. Protams, tā kā tos ir diezgan grūti iedomāties, matemātiķi izmanto formulas, lai pētītu šādas telpas.
Ir diezgan grūti iedomāties četru, piecu vai sešu dimensiju telpu, taču matemātiķi nebaidās no grūtībām, un viņiem nepietiek pat ar simts dimensiju telpām. Matemātiķi nāca klajā ar bezgalīgu dimensiju telpu - telpu, kurā ir bezgalīgs skaits dimensiju. Šādas telpas piemērs ir visu iespējamo funkciju telpa, kas definēta segmentā vai līnijā.
Izrādās, ka metodes, kas tika izstrādātas ierobežotu dimensiju telpām, daudzos veidos tiek pārnestas uz gadījumiem, kas ir ārkārtīgi sarežģīti, vienkārši mēģinot tos visus attēlot.
Lineārajai algebrai ir daudz pielietojumu ne tikai matemātikā, bet arī dažādās zinātnēs, sākot no fizikas līdz, piemēram, ekonomikai vai politoloģijai. Jo īpaši lineārā algebra ir daudzfaktoru statistikas pamats, ko precīzi izmanto, lai atsevišķās datu kopās izolētu attiecības starp dažādiem parametriem. Jo īpaši tagad populārais termins Big Data bieži tiek saistīts ar datu apstrādes problēmu risināšanu, kuras attēlo liels punktu skaits kādas ierobežotas dimensijas telpā. Visbiežāk šādas problēmas var pārformulēt un saprātīgi uztvert ģeometriskā izteiksmē.
No skolas gadiem matemātika tiek sadalīta algebrā un ģeometrijā. Bet patiesībā, ja mēs padomāsim par to, kā ir strukturēta mūsdienu matemātika, mēs sapratīsim, ka tās problēmas, kuras tagad tiek risinātas, jo īpaši izmantojot lineārās algebras metodes, patiesībā ir ļoti tāls turpinājums tām problēmām, par kurām domāja daudzi tūkstoši. piemēram, pirms gadiem Pitagors vai Eiklīds, izstrādājot to pašu skolas ģeometriju, kas tagad ir jebkurā skolas mācību grāmatā. Pārsteidzoši, ka lielo datu analīzes uzdevums savā ziņā izrādās pēctecis no šķietami pilnīgi bezjēdzīgiem - vismaz no praktiskā viedokļa - seno grieķu vingrinājumiem, zīmējot līnijas vai apļus plaknē vai garīgi zīmējot. līnijas vai plaknes trīsdimensiju telpā.
Kas ir četrdimensiju telpa (4D)?
Tesseract - četrdimensiju kubs
Ikviens zina saīsinājumu 3D, kas nozīmē “trīsdimensiju” ( burts D - no vārda dimensija - dimensija ). Piemēram, kinoteātrī izvēloties filmu, kas apzīmēta ar 3D, zinām droši: lai to skatītos, būs jānēsā speciālas brilles, taču bilde nebūs plakana, bet gan trīsdimensiju. Kas ir 4D? Vai “četrdimensiju telpa” pastāv realitātē? Un vai ir iespējams iziet ārā "ceturtā dimensija"?
Lai atbildētu uz šiem jautājumiem, sāksim ar visvienkāršāko ģeometrisko objektu – punktu. Punkts ir nulles dimensijas. Tam nav ne garuma, ne platuma, ne augstuma.
Tagad pārvietosim punktu pa taisnu līniju kādu attālumu. Pieņemsim, ka mūsu punkts ir zīmuļa gals; kad mēs to pārvietojām, tas novilka līniju. Segmentam ir garums un nav citu izmēru: tas ir viendimensionāls. Segments “dzīvo” uz taisnas līnijas; taisna līnija ir viendimensijas telpa.
Tesseract - četrdimensiju kubs
Tagad paņemsim segmentu un mēģināsim to pārvietot tā, kā mēs pārvietojām punktu iepriekš. Varat iedomāties, ka mūsu segments ir platas un ļoti plānas otas pamats. Ja mēs izejam ārpus līnijas un virzīsimies perpendikulārā virzienā, mēs iegūsim taisnstūri. Taisnstūrim ir divas dimensijas - platums un augstums. Taisnstūris atrodas noteiktā plaknē. Plakne ir divdimensiju telpa (2D), uz kuras var ieviest divdimensiju koordinātu sistēmu - katrs punkts atbildīs skaitļu pārim. (Piemēram, Dekarta koordinātu sistēma uz tāfeles vai platums un garums ģeogrāfiskajā kartē.)
Ja jūs pārvietojat taisnstūri virzienā, kas ir perpendikulārs plaknei, kurā tas atrodas, jūs iegūstat “ķieģeli” (taisnstūrveida paralēlskaldni) - trīsdimensiju objektu, kuram ir garums, platums un augstums; tā atrodas trīsdimensiju telpā, tajā pašā, kurā dzīvojam tu un es. Tāpēc mums ir labs priekšstats par to, kā izskatās trīsdimensiju objekti. Bet, ja mēs dzīvotu divdimensiju telpā - plaknē, mums būtu diezgan jāpiepūlas sava iztēle, lai iedomāties, kā mēs varētu pārvietot taisnstūri, lai tas izietu no plaknes, kurā mēs dzīvojam.
Tesseract - četrdimensiju kubs
Mums ir arī diezgan grūti iedomāties četrdimensiju telpu, lai gan to ir ļoti viegli aprakstīt matemātiski. Trīsdimensiju telpa ir telpa, kurā punkta atrašanās vieta ir norādīta ar trim skaitļiem (piemēram, lidmašīnas atrašanās vietu nosaka garums, platums un augstums virs jūras līmeņa). Četrdimensiju telpā punkts atbilst četriem koordinātu skaitļiem. “Četrdimensiju ķieģelis” tiek iegūts, pārvietojot parasto ķieģeli kādā virzienā, kas neatrodas mūsu trīsdimensiju telpā; tam ir četras dimensijas.
Faktiski ar četrdimensiju telpu sastopamies katru dienu: piemēram, veidojot datumu, mēs norādām ne tikai tikšanās vietu (to var norādīt ar trim cipariem), bet arī laiku (to var norādīt ar vienu skaitli , piemēram, sekunžu skaits, kas pagājis kopš noteikta datuma). Ja paskatās uz īstu ķieģeli, tam ir ne tikai garums, platums un augstums, bet arī pagarinājums laikā – no radīšanas brīža līdz iznīcināšanas brīdim.
Fiziķis sacīs, ka mēs dzīvojam ne tikai telpā, bet gan telpā-laikā; matemātiķis piebildīs, ka tas ir četrdimensionāls. Tātad ceturtā dimensija ir tuvāk, nekā šķiet.
Citu dimensiju attēlojums
No 2D uz 3D
Agrīns mēģinājums izskaidrot papildu dimensiju jēdzienu parādījās 1884. gadā, publicējot romānu par plakana zeme Edvīns A. Abots "Flatland: daudzu dimensiju romantika"". Darbība romānā norisinās plakanā pasaulē ar nosaukumu “Flatland”, un stāsts tiek izstāstīts no šīs pasaules iedzīvotāja – kvadrāta – skatījuma. Kādu dienu sapnī kvadrāts nokļūst viendimensionālā pasaulē - Lineland, kuras iemītnieki (trijstūri un citi divdimensiju objekti ir attēloti kā līnijas) un mēģina izskaidrot šīs pasaules valdniekam 2. dimensijas esamību. , tomēr nonāk pie secinājuma, ka nav iespējams viņu piespiest iziet ārpus domāšanas rāmjiem un iztēloties tikai taisnas līnijas.
Kvadrāts viņa pasauli raksturo kā plakni, ko apdzīvo līnijas, apļi, kvadrāti, trīsstūri un piecstūri.
Kādu dienu laukuma priekšā parādās bumba, bet viņš nevar aptvert tās būtību, jo kvadrāts savā pasaulē var redzēt tikai sfēras šķēli, tikai divdimensiju apļa formu.
Sfēra mēģina izskaidrot kvadrātam trīsdimensiju pasaules struktūru, bet kvadrāts saprot tikai jēdzienus “augšup/uz leju” un “pa kreisi/pa labi” tā nespēj aptvert jēdzienus “uz priekšu/uz priekšu”; atpakaļ”.
Tikai pēc tam, kad sfēra izvelk kvadrātu no viņa divdimensiju pasaules un nonāk tās trīsdimensiju pasaulē, viņš beidzot saprot trīs dimensiju jēdzienu. No šīs jaunās perspektīvas laukums kļūst spējīgs saskatīt savu tautiešu formas.
Kvadrāts, bruņojies ar savām jaunajām zināšanām, sāk apzināties ceturtās dimensijas iespēju. Viņš arī nonāk pie secinājuma, ka telpisko dimensiju skaitu nevar ierobežot. Cenšoties pārliecināt sfēru par šo iespēju, kvadrāts izmanto to pašu loģiku, ko sfēra izmanto, lai argumentētu par trīs dimensiju esamību. Bet tagad no abām sfēra kļūst par “tuvredzīgo”, kas to nesaprot un nepieņem kvadrāta argumentus un argumentus – tāpat kā lielākā daļa no mums, šodien “sfērām” nepieņem domu par papildu izmēri.
|
Grāmatas Flatland apskats Ņemot vērā gan žanra ekskluzivitāti, kuru ar zināmu izdomu un citu tā pārstāvju esamību varētu saukt par matemātisko romānu, gan pašu grāmatu, negribas to pārāk kritizēt. Tomēr vienīgais, kas šeit ir pelnījis uzslavu, ir neparastā prezentācija, kas pēc gara ir tuva Lūisa Kerola darbiem, tomēr atšķirībā no viņa, kam ir daudz mazāk saskarsmes ar īstā dzīve. Šī grāmata, kā pareizi atzīmēts izdevuma priekšvārdā, nav līdzīga nevienai popularizēšanai, tomēr lasītājam nav līdz galam skaidrs, kāpēc tā tiek salīdzināta ar popularizācijām, jo, lai gan tajā noteikti ir skartas matemātiskās patiesības, dažas; Nevar viennozīmīgi uzskatīt grāmatu par popularizēšanu. Lūk, kāpēc: Šeit ir unikāls piemērs, kā apvienot māksliniecisko iztēli ar matemātiskām idejām. Un matemātikas cienītājam, kuram patīk lasīt, ideja sākotnēji šķiet brīnišķīga: līdzīgi kā matemātiskos postulātus, ņemiet vērā vairākus abstraktus objektus, piešķiriet tiem noteiktas īpašības, nosakiet spēles noteikumus aprakstītajā telpā un pēc tam, atkal atdarinot pētnieka domas, vērojot šo spekulatīvo objektu mijiedarbību, uzraudzīt to transformāciju. Bet, tā kā grāmata joprojām ir mākslinieciska, zinātniskam gribasspēkam šeit nav vietas, tāpēc ikvienam apskatei piedāvātās pasaules pašpietiekamībai objekti šeit ir apveltīti ar apziņu un motivāciju jebkādai mijiedarbībai vienam ar otru, pēc kā viņi tiek pārcelti uz iepriekš abstrakto pasauli, šķirti no ikdienas dzīve tiek atnestas tīras idejas sociālās mijiedarbības ar veselu virkni problēmu, kas vienmēr pavada jebkuras attiecības. Visādas spriedzes, kas grāmatā rodas sociālo apsvērumu dēļ, pēc skatītāja domām, grāmatā ir pilnīgi nevajadzīgas: tās praktiski netiek izpaustas un nav uztveramas nopietni, un tajā pašā laikā novērš lasītāja uzmanību no patiesi šīm lietām. kam grāmata rakstīta. Pat ņemot vērā abu autoru pārliecību par nesteidzīgo stāstījumu, it kā lasītājam ērtāku, apgūstot jebkādas zināšanas (šeit ir salīdzinājums ar popularizācijām), stāstījuma temps skatītājam šķita ārkārtīgi izstiepts. un lēni, un viena un tā paša skaidrojuma atkārtošana vairākas reizes vieni un tie paši vārdi lika man šaubīties, vai stāstītājs adekvāti novērtēja savas prāta spējas. Un galu galā nav skaidrs, kam šī grāmata ir paredzēta. Cilvēkiem, kas nav pieraduši pie matemātikas, vispārīgi interesantas parādības apraksts tik brīvā formā diez vai sagādās prieku, bet tiem, kas zina matemātiku, daudz patīkamāk būs uzņemt kvalitatīvu popularizēšanu, kur varenība un matemātikas skaistums nav atšķaidīts ar plakanām pasakām. |
No 3D uz 4D
Mums ir grūti pieņemt šo ideju, jo, mēģinot iztēloties kaut vienu papildu telpisko dimensiju, mēs atduramies pret saprašanas ķieģeļu sienu. Šķiet, ka mūsu prāts nevar pārsniegt šīs robežas.
Piemēram, iedomājieties, ka atrodaties tukšas sfēras centrā. Attālums starp jums un katru punktu uz sfēras virsmas ir vienāds. Tagad mēģiniet pārvietoties tādā virzienā, kas ļauj attālināties no visiem sfēras virsmas punktiem, vienlaikus saglabājot vienādu attālumu. Jūs to nevarēsit izdarīt..
Flatlander saskartos ar to pašu problēmu, ja viņš atrastos apļa centrā. Savā divdimensiju pasaulē viņš nevar atrasties apļa centrā un pārvietoties tādā virzienā, kas ļauj viņam palikt vienādā attālumā no katra apļa apkārtmēra punkta, ja vien viņš nepāriet uz trešo dimensiju. Diemžēl mums nav tāda četrdimensiju telpas ceļveža kā Abbota romānā, kas parādītu ceļu uz 4D.
Kas ir hiperkubs? Tesrakta celtniecība
Hiperkubu veidi un to nosaukumi1. Punkts — nulles dimensija 2. Segments ir viendimensijas telpa
3. Kvadrāts — divdimensiju telpa (2D)
4. Kubs — trīsdimensiju telpa (3D)
5. Tesseract — četrdimensiju telpa (4D)
|
Hiperkubs ir vispārīgs kuba nosaukums atvasinātā dimensiju skaitā. Kopumā ir desmit dimensijas, plus punkts (nulles dimensija).
Attiecīgi ir vienpadsmit hiperkubu veidi. Apskatīsim tesserakta - ceturtās dimensijas hiperkuba - uzbūvi:
Vispirms izveidosim punktu A (1. att.):
Pēc tam savienojam ar punktu B. Iegūstam vektoru AB (2. att.):
Konstruēsim vektoru paralēli vektoram AB un nosauksim to par CD. Savienojot vektoru sākumus un galus, iegūstam kvadrātu ABDC (3. att.):
Tagad izveidosim citu kvadrātu A1B1D1C1, kas atrodas paralēlā plaknē. Līdzīgi savienojot punktus, iegūstam kubu (4. att.):
Mums ir kubs. Iedomājieties, ka kuba novietojums trīsdimensiju telpā laika gaitā ir mainījies. Labosim tā jauno atrašanās vietu (5. att.):
Un tagad mēs zīmējam vektorus, kas savieno punktu atrašanās vietas pagātnē un tagadnē. Mēs iegūstam tesseraktu (6. att.):
Rīsi. 6 Tesseract (būvniecība)
Pārējie hiperkubi ir konstruēti līdzīgi, protams, tiek ņemta vērā tās telpas nozīme, kurā atrodas hiperkubs.
Kā būtu ar 10D?
1919. gadā poļu matemātiķis Teodors Kaļuza ierosināja, ka ceturtās telpiskās dimensijas esamība varētu būt saistīta vispārējā teorija relativitātes teorija un elektromagnētiskā teorija. Ideja, ko vēlāk uzlaboja zviedru matemātiķis Oskars Kleins, vai telpa sastāvēja gan no “paplašinātiem”, gan “sabrukušiem” izmēriem. Paplašinātās dimensijas ir trīs mums zināmās telpiskās dimensijas, un sakļautā dimensija ir dziļi paplašinātajās dimensijās. Eksperimenti vēlāk parādīja, ka Kaluzas un Kleina saritinātā dimensija neapvienoja vispārējo relativitātes teoriju un elektromagnētisko teoriju, kā sākotnēji tika uzskatīts, taču gadu desmitiem vēlāk stīgu teorētiķi uzskatīja, ka šī ideja ir noderīga, pat nepieciešama.
Superstīgu teorijā izmantotajai matemātikai ir nepieciešamas vismaz 10 dimensijas. Tas ir, vienādojumiem, kas apraksta superstīgu teoriju un lai saistītu vispārējo relativitātes teoriju ar kvantu mehāniku, lai izskaidrotu daļiņu būtību, apvienotu spēkus utt., Ir nepieciešams izmantot papildu dimensijas. Šie izmēri, pēc stīgu teorētiķu domām, ir ietīti salocītā telpā, kuru sākotnēji aprakstīja Kaluza un Kleins.
Apļi ir papildu telpiskā dimensija, kas salocīta katrā mūsu pazīstamās trīsdimensiju telpas punktā. │ WGBH/NOVA
Lai paplašinātu savīto telpu, iekļaujot šīs pievienotās dimensijas, iedomājieties Kaluza-Klein apļus aizstāt ar sfērām. Vienas pievienotās dimensijas vietā mums ir divas, ja ņemam vērā tikai sfēru virsmas, un trīs, ja ņemam vērā telpu sfēras iekšpusē. Tā rezultātā tika veikti tikai seši mērījumi. Tātad, kur ir pārējie, ko pieprasa superstīgu teorija?
Izrādās, ka pirms superstīgu teorijas parādīšanās divi matemātiķi Jevgēnio Kalabi no Pensilvānijas universitātes un Shin-Tung Yau no Hārvardas universitātes aprakstīja sešdimensiju ģeometriskas formas. Ja mēs aizvietojam sfēras savītā telpā ar šīm Calabi-Yau formām, mēs iegūstam 10 dimensijas: trīs telpiskās, kā arī sešdimensiju Calabi-Yu figūras.
Sešdimensiju Calabi-Yau formas var nodrošināt papildu dimensijas, kas nepieciešamas superstīgu teorijai. │ WGBH / NOVA
Stīgu teorētiķi liek derības, ka pastāv papildu dimensijas. Faktiski vienādojumi, kas apraksta superstīgu teoriju, pieņem Visumu ar vismaz 10 dimensijām. Bet pat fiziķiem, kuri visu laiku domā par papildu telpiskām dimensijām, ir grūti aprakstīt, kā tie varētu izskatīties vai kā cilvēki varētu tos izprast.
Ja tiks pierādīta superstīgu teorija un apstiprināsies ideja par pasauli ar 10 vai vairāk dimensijām, vai kādreiz būs izskaidrojums vai augstāku dimensiju vizuāls attēlojums, ko cilvēka prāts spēs aptvert? Atbilde uz šo jautājumu uz visiem laikiem var būt negatīva, ja vien kāda 4D dzīvības forma mūs “neizrauj” no mūsu 3D pasaules un neļaus mums redzēt pasauli no tās skatu punkta.
Es to aprakstīšu matemātiskā valodā.
Apskatīsim parasto trīsdimensiju telpu, kurā mēs dzīvojam. Mēs lieliski saprotam, kas šajā telpā ir punkts, taisne un plakne. Divu plakņu krustojums dod mums taisni, divu līniju krustojums dod mums punktu. Katru punktu šajā telpā var aprakstīt ar trim koordinātām: (x, y, z). Pirmā koordināta parasti nozīmē garums, otrais - platums, trešais - augstums dots punkts attiecībā pret izcelsmi. To visu var viegli ilustrēt un pasniegt.
Tomēr četrdimensiju telpa nav tik vienkārša. Jebkuru punktu šajā telpā tagad var aprakstīt ar četrām koordinātām: (x, y, z, t), kur tiek pievienota jauna koordināta t, ko fizikā bieži sauc. laiks. Tas nozīmē, ka papildus punkta garumam, platumam un augstumam tiek norādīta arī tā atrašanās vieta laikā, t.i., kur tas atrodas: pagātnē, tagadnē vai nākotnē.
Bet attālināsimies no fizikas. Izrādās, ka matemātiski šai telpai tiek pievienots jauns aksiomātisks objekts, ko sauc hiperplāns. To nosacīti var attēlot kā vienu veselu “trīsdimensiju telpu”. Pēc analoģijas trīsdimensiju telpā, divu hiperplakņu krustpunkts dod mums plakni. Dažādas šīs lietas kombinācijas ar 4D formām sniedz mums negaidītus rezultātus. Piemēram, trīsdimensiju telpā plaknes un bumbiņas krustpunkts dod mums apli. Pēc šīs analoģijas četrdimensiju telpā četrdimensiju bumbiņas krustojums ar hiperplakni dod mums trīsdimensiju bumbiņu. Kļūst acīmredzams, ka ir gandrīz neiespējami garīgi iedomāties un uzzīmēt četrdimensiju telpu: bioloģiski mūsu sajūtas ir pielāgotas tikai trīsdimensiju gadījumam un zemāk. Tāpēc četrdimensiju telpu var skaidri aprakstīt tikai matemātiskā valodā, galvenokārt izmantojot darbības ar punktu koordinātām.
Tomēr citā valodā to var aprakstīt neprecīzāk. Apskatīsim paralēlo pasauļu jēdzienu: papildus mūsu pasaulei “pastāv” arī citas pasaules, kurās daži notikumi notika savādāk. Apzīmēsim savu pasauli ar burtu A, bet kādu citu pasauli ar burtu B. No četrdimensiju telpas viedokļa varam teikt, ka pasaule A un pasaule B ir dažādas “trīsdimensiju telpas”, kas izrādās. būt nesadalītam. Šis ir tas paralēlas hiperplānas. Un to ir bezgala daudz. Ja gadās tā, ka noteiktā laika brīdī pasaulē A “vectēvs nomira”, bet pasaulē B “vectēvs vēl ir dzīvs”, tad pasaules A un B krustojas pa kādu četrdimensiju figūru, kurā visi notikumi ritēja vienādi. līdz noteiktam brīdim , un tad šķita, ka figūra “sadalās” nepārklājošās trīsdimensiju daļās, no kurām katra raksturo vectēva stāvokli neatkarīgi no tā, vai viņš ir dzīvs vai nē. To varētu aprakstīt divās dimensijās: bija viena taisna līnija, kas pēc tam sadalījās divās nekrustojas līnijās.
Mēs dzīvojam trīsdimensiju pasaulē: garums, platums un dziļums. Daži var iebilst: "Kā ir ar ceturto dimensiju - laiku?" Patiešām, laiks ir arī dimensija. Taču jautājums par to, kāpēc telpu mēra trīs dimensijās, zinātniekiem ir noslēpums. Jauns pētījums izskaidro, kāpēc mēs dzīvojam 3D pasaulē.
Jautājums par to, kāpēc telpa ir trīsdimensionāla, zinātniekus un filozofus ir mocījis kopš seniem laikiem. Patiešām, kāpēc tieši trīs dimensijas, nevis desmit vai, teiksim, 45?
Kopumā telpa-laiks ir četrdimensionāls (vai 3+1-dimensionāls): trīs dimensijas veido telpu, ceturtā dimensija ir laiks. Ir arī filozofiskas un zinātniskas teorijas par laika daudzdimensionalitāti, kas liek domāt, ka patiesībā ir vairāk laika dimensiju, nekā šķiet: pazīstamā laika bulta, kas virzīta no pagātnes uz nākotni caur tagadni, ir tikai viena no iespējamām. cirvji. Tas padara iespējamus dažādus zinātniskās fantastikas projektus, piemēram, ceļošanu laikā, kā arī rada jaunu, daudzveidīgu kosmoloģiju, kas ļauj pastāvēt paralēliem Visumiem. Tomēr papildu laika dimensiju esamība vēl nav zinātniski pierādīta.
Atgriezīsimies pie mūsu 3+1 dimensijas. Mēs labi zinām, ka laika mērīšana ir saistīta ar otro termodinamikas likumu, kas nosaka, ka slēgtā sistēmā - piemēram, mūsu Visumā - entropija (haosa mērs) vienmēr palielinās. Universālais traucējums nevar samazināties. Tāpēc laiks vienmēr tiek virzīts uz priekšu – un nekas cits.
Jaunā rakstā, kas publicēts EPL, pētnieki ir ierosinājuši, ka otrais termodinamikas likums var arī izskaidrot, kāpēc telpa ir trīsdimensiju.
"Vairāki pētnieki zinātnes un filozofijas jomā ir pievērsušies telplaika (3 + 1)-dimensionalitātes problēmai, attaisnojot šī skaitļa izvēli, ņemot vērā tā stabilitāti un spēju uzturēt dzīvību. pētījuma līdzautors Julian Gonzalez-Ayala no Nacionālā Politehniskā institūta Meksikā un Salamankas Universitātes Spānijā uz Phys.org portālu. "Mūsu darba vērtība slēpjas faktā, ka mēs piedāvājam argumentāciju, kas balstīta uz Visuma dimensijas fizisko modeli ar piemērotu un saprātīgu telpas-laika scenāriju. Mēs esam pirmie, kas saka, ka skaitlis “trīs” telpas dimensijā rodas kā fiziska lieluma optimizācija.
Iepriekš zinātnieki pievērsa uzmanību Visuma dimensijai saistībā ar tā saukto atropisko principu: "Mēs redzam Visumu tā, jo tikai tādā Visumā varēja rasties novērotājs, cilvēks." Telpas trīsdimensionalitāte tika skaidrota ar iespēju uzturēt Visumu tādā formā, kādā mēs to novērojam. Ja Visumam būtu daudz dimensiju, saskaņā ar Ņūtona gravitācijas likumu nebūtu iespējamas stabilas planētu orbītas un pat matērijas atomu struktūra: elektroni nokristu uz kodoliem.
IN šis pētījums zinātnieki izvēlējās citu ceļu. Viņi ierosināja, ka telpa ir trīsdimensiju termodinamiskā daudzuma, Helmholca brīvās enerģijas blīvuma, dēļ. Visumā, kas piepildīts ar starojumu, šo blīvumu var uzskatīt par spiedienu telpā. Spiediens ir atkarīgs no Visuma temperatūras un telpisko izmēru skaita.
Pētnieki ir parādījuši, kas varētu notikt pirmajās sekundes daļās pēc tam lielais sprādziens, ko sauc par Planka laikmetu. Brīdī, kad Visums sāka atdzist, Helmholca blīvums sasniedza savu pirmo maksimumu. Tad Visuma vecums bija sekundes daļa, un bija tieši trīs telpiskās dimensijas. Pētījuma galvenā ideja ir tāda, ka trīsdimensiju telpa tika “iesaldēta”, tiklīdz Helmholca blīvums sasniedza maksimālo vērtību, kas aizliedz pāreju uz citām dimensijām.
Zemāk redzamajā attēlā parādīts, kā tas notika. pa kreisi - brīvās enerģijas blīvumsHelmholcs (e) sasniedz maksimālo vērtību temperatūrā T = 0,93, kas notiek, kad telpa bija trīsdimensiju (n = 3). S un U apzīmē attiecīgi entropijas blīvumus un iekšējās enerģijas blīvumus. Labajā pusē redzams, ka pāreja uz daudzdimensionalitāti nenotiek temperatūrā, kas zemāka par 0,93, kas atbilst trim dimensijām.
Tas notika, pateicoties otrajam termodinamikas likumam, kas ļauj pāriet uz augstākām dimensijām tikai tad, kad temperatūra ir virs kritiskās vērtības – ne par grādu mazāka. Visums nemitīgi paplašinās un elementārdaļiņas, fotoni, zaudē enerģiju - tāpēc mūsu pasaule pakāpeniski atdziest: Tagad Visuma temperatūra ir daudz zemāka par līmeni, kas nozīmē pāreju no 3D pasaules uz daudzdimensiju telpu.
Pētnieki skaidro, ka telpiskie izmēri ir līdzīgi matērijas stāvokļiem, un pāreja no vienas dimensijas uz otru atgādina fāzes pāreju, piemēram, ledus kušanu, kas iespējama tikai ļoti augstā temperatūrā.
"Agrīnā Visuma dzesēšanas laikā un pēc pirmās kritiskās temperatūras sasniegšanas entropijas pieauguma princips slēgtām sistēmām varētu aizliegt noteiktas dimensiju izmaiņas," komentē pētnieki.
Šis pieņēmums joprojām atstāj vietu augstākām dimensijām, kas pastāvēja Planka laikmetā, kad Visums bija vēl karstāks nekā tā kritiskajā temperatūrā.
Papildu izmēri ir sastopami daudzos kosmoloģiskajos modeļos, jo īpaši stīgu teorijā. Šis pētījums var palīdzēt izskaidrot, kāpēc dažos no šiem modeļiem papildu dimensijas ir pazudušas vai palikušas tikpat niecīgas, kā tās bija pirmajās sekundes daļās pēc Lielā sprādziena, savukārt 3D telpa turpina augt visā novērojamajā Visumā.
Nākotnē pētnieki plāno uzlabot savu modeli, lai iekļautu papildu kvantu efektus, kas varētu būt radušies pirmajā sekundes daļā pēc Lielā sprādziena. Turklāt paplašinātā modeļa rezultāti var arī sniegt norādījumus pētniekiem, kas strādā pie citiem kosmoloģiskiem modeļiem, piemēram, kvantu gravitācijas.
Telpas, kurā dzīvojam, daudzdimensionalitātes tēma jau sen ir piesaistījusi mākslinieku un mākslas kritiķu uzmanību. Daudzdimensionalitāte, izejot ārpus ierastajām idejām, paver šķietami jaunas un perspektīvas iespējas. Daži mākslas vēsturnieki jau gadsimta sākumā iebilda, ka, neņemot vērā telpas daudzdimensionalitāti, nav iespējams saprast laikmetīgā māksla tas ir aizliegts. Šajā sakarā ir lietderīgi izteikt divus komentārus.
Pirmkārt, daudzdimensionalitāte vienmēr tiek saprasta kā četrdimensionalitāte, tas ir, esamība kopā ar parastajām trim telpiskajām dimensijām (tās visskaidrāk var iedomāties kā pārvietojumus trīs virzienos: uz augšu-lejup, uz priekšu-atpakaļ un pa kreisi-pa labi) un vēl vienu, ceturto. Šī jaunā dimensija tika uzskatīta par laiku. Tam bija labi zināms pamatojums, jo gadsimta sākumā parādījās relativitātes teorija ar tās koncepciju par vienotu telpas-laika kontinuumu. Tomēr mums ir jāsaprot, ka, ja mēs ejam no mūsdienu fizikas, tad mūsu parastā dzīve, parastajiem ātrumiem un attālumiem, relativitātes teorija iegūst parasto skolas telpas un neatkarīgi no tā pašreizējā laika jēdzienu banālu izskatu. Un tas ir pat tad, ja ņemam izmērus parastajiem ātrumiem un attālumiem saules sistēma un planētu kustības ātrums. Tāpēc relativitātes teorijai parastās cilvēka dzīves nodošanā, mākslinieku galvenajai tēmai, nevajadzētu neko mainīt.
Otrs moments, ko vēlos atzīmēt, ir tas, ka daudz sarežģītāka četrdimensiju telpa, kur ceturtā koordināte nav laiks (to ir viegli iedomāties), bet arī telpiskā koordināte (kas nav iedomājama), jau sen ir piesaistījusi. mākslinieku uzmanību. Turklāt viņi pat izstrādāja veiksmīgas metodes tā attēlošanai. Runa ir galvenokārt par 15. gadsimta ikonu gleznotājiem,” tajā laikā četrdimensiju telpas pārnese sasniedza lielāko pilnību krievu ikonu glezniecībā.
Pirms pāriet pie atbilstošo ikonu aplūkošanas, ir jāsniedz vairāki ģeometriski skaidrojumi, lai vispārīgas diskusijas par četrdimensiju telpu un iespējamiem tās attēlošanas veidiem kļūtu skaidrākas. Galvenās grūtības vizuāli aprakstīt četrdimensiju telpas ģeometriju ir saistītas ar to, ka to nav iespējams iedomāties. Tas nav iespējams, jo mums papildus dabiskajiem trim virzieniem (par tiem jau tika runāts: virzieni uz priekšu-atpakaļ, pa kreisi-pa labi un uz augšu-uz leju) ir jāiedomājas kustība "ceturtajā" virzienā, bet viens kurā nenotiek kustība trīs dabiskajos virzienos. Citiem vārdiem sakot, mums, trīsdimensiju būtnēm, punkts šķitīs nekustīgs, bet patiesībā tas virzīsies “ceturtajā” virzienā. Vienīgā metode, kas šeit var palīdzēt, ir analoģiju metode. Mēs turpināsim no tā, ka mums pazīstamā trīsdimensiju pasaule ir “iegulta” četrdimensiju telpā, ko ir viegli aprakstīt vārdos, bet neiespējami iedomāties. Taču iztēloties līdzīgu, bet elementāri vienkāršu situāciju nemaksā neko: divdimensiju pasaule, kas “ievietota” trīsdimensiju pasaulē. Vismaz papīra lapa, kas atrodas mums pazīstamajā trīsdimensiju telpā.
Lai šī papīra lapa tagad ir tā divdimensiju “telpa”, kurā dzīvo noteiktas “plakanas” radības, kuras var rāpot pa lapu; plakanie radījumi, kas rāpo pa plakanu loksni,” līdzība mums, trīsdimensiju organismiem, kas pārvietojas trīsdimensiju telpā. Lai šī lapa ir neierobežota, un abās tās pusēs rāpo šie plakanie radījumi: daži lapas augšpusē, citi - apakšā. Ir pilnīgi skaidrs, ka, lai arī cik tie rāpotu, augšējie nekad nesastapsies ar apakšējiem, lai gan tie var būt bezgala tuvu viens otram, jo tos vienalga atdalīs bezgalīgi plānais necaurlaidīgās loksnes biezums. Tādējādi katrs lapas punkts būs jāskaita divreiz, kā augšējai un kā apakšējai pusei. Protams, daži notikumi var notikt lapas augšējā pusē un citi notikumi apakšējā pusē, un šie notikumi netraucēs viens otru, jo tie ir nobīdīti viens pret otru, kaut arī bezgalīgi mazā apmērā, bet virziens “nesaprotams” plakanām būtnēm perpendikulāri loksnes virsmai. Šī “nesaprotamība” ir saistīta ar to, ka plakanie radījumi nekad savā dzīvē nav pārvietojušies šādā virzienā un nevar pārvietoties.
Šīs vienas lapas abas puses ļauj pēc analoģijas iztēloties parastās un mistiskās telpas vienlaicīgu eksistenci kādā vietā, vismaz telpā. Pirmajā dzīvo un darbojas cilvēki, bet otrajā, piemēram, eņģeļi. Abas tās eksistē savās trīsdimensiju telpās un darbojas, netraucējot viena otrai, jo šīs divas telpas ir “nobīdītas” viena pret otru, kaut arī bezgalīgi maz, bet cilvēkiem nesaprotamā “ceturtajā” virzienā (atgādinām iepriekš izdarītais pieņēmums, ka mūsu parastā telpa ir “iegulta” četrdimensiju telpā). Un šajā gadījumā katrs šādas nosacītas telpas punkts būs divreiz jāskaita kā piederīgs mistiskai un tajā pašā laikā parastai telpai. Šeit ir pilnīga līdzība ar plakanu loksni, kas iestrādāta trīsdimensiju telpā. Galu galā, lai pabeigtu analoģiju, mēs varam piekrist, ka lapas augšējā puse ir mistiska, bet apakšējā - parasta virsma.