20. Telpiskās spēku sistēmas līdzsvara nosacījums:
21. Teorēma par 3 neparalēliem spēkiem: Trīs savstarpēji nelīdzsvarotu spēku darbības līnijas, kas atrodas vienā plaknē, krustojas vienā punktā.
22.Statiski definējamas problēmas- tās ir problēmas, kuras var atrisināt, izmantojot stingrās ķermeņa statikas metodes, t.i. problēmas, kurās nezināmo skaits nepārsniedz spēku līdzsvara vienādojumu skaitu.
Statiski nenoteiktas sistēmas ir sistēmas, kurās nezināmo lielumu skaits pārsniedz neatkarīgo līdzsvara vienādojumu skaitu noteiktai spēku sistēmai
23. Līdzsvara vienādojumi paralēlu spēku plakņu sistēmai:
AB nav paralēla F i
24. Konuss un berzes leņķis: Aprakstīts aktīvo spēku ierobežojošais stāvoklis, kuru ietekmē var rasties vienlīdzība berzes konuss ar leņķi (φ).
Ja aktīvais spēks iziet ārpus šī konusa, tad līdzsvars nav iespējams.
Leņķi φ sauc par berzes leņķi.
25. Norādiet berzes koeficientu izmērus: statiskās berzes un slīdēšanas berzes koeficienti ir bezizmēra lielumi, rites berzes un griešanās berzes koeficientiem ir garuma dimensija (mm, cm, m).m.
26. Pamatpieņēmumi, kas izdarīti, aprēķinot plakanas statiski noteiktas kopnes:-kopņu stieņi tiek uzskatīti par nesvariem; - stieņu nostiprināšana eņģu kopņu mezglos; -ārēja slodze tiek pielikta tikai kopnes mezglos; - stienis nokrīt zem savienojuma.
27. Kāda ir saistība starp statiski noteiktas kopnes stieņiem un mezgliem?
S=2n-3 – vienkārša statiski definējama kopne, S-stieņu skaits, n-mezglu skaits,
ja S<2n-3 –не жесткая ферма, равновесие возможно, если ārējie spēki būs vienlīdz saistīti
S>2n-3 – statiski nenoteikta kopne, ir papildus savienojumi, + deformācijas aprēķins
28. Statiski noteiktai kopnei jāatbilst nosacījumam: S=2n-3; S ir stieņu skaits, n ir mezglu skaits.
29. Mezglu griešanas metode:Šī metode sastāv no kopņu mezglu garīgās izgriešanas, attiecīgo ārējo spēku un stieņu reakcijas uz tiem pielietošanas un līdzsvara vienādojumu izveidošanas katram mezglam pieliktajiem spēkiem. Parasti tiek pieņemts, ka visi stieņi ir izstiepti (stieņu reakcijas ir vērstas prom no mezgliem).
30. Ritera metode: Mēs uzzīmējam sekantu plakni, kas sagriež kopni 2 daļās. Sekcijai jāsākas un jābeidzas ārpus kopnes. Jūs varat izvēlēties jebkuru daļu kā līdzsvara objektu. Sadaļa iet gar stieņiem, nevis caur mezgliem. Līdzsvara objektam pieliktie spēki veido patvaļīgu spēku sistēmu, kurai var sastādīt 3 līdzsvara vienādojumus. Tāpēc mēs veicam posmu tā, lai tajā būtu iekļauti ne vairāk kā 3 stieņi, kuru spēki nav zināmi.
Ritera metodes iezīme ir vienādojuma formas izvēle tā, lai katrs līdzsvara vienādojums ietvertu vienu nezināmu lielumu. Lai to izdarītu, mēs nosakām Ritera punktu pozīcijas kā divu nezināmu spēku darbības līniju krustpunktus un pierakstām momentu vienādojumus rel. šie punkti.
Ja Ritera punkts atrodas bezgalībā, tad kā līdzsvara vienādojumu mēs veidojam projekciju vienādojumus uz asi, kas ir perpendikulāra šiem stieņiem.
31. Ritter point- divu nezināmu spēku darbības līniju krustpunkts. Ja Ritera punkts atrodas bezgalībā, tad kā līdzsvara vienādojumu mēs veidojam projekciju vienādojumus uz asi, kas ir perpendikulāra šiem stieņiem.
32. Tilpuma figūras smaguma centrs:
33. Plakanas figūras smaguma centrs:
34. Stieņa konstrukcijas smaguma centrs:
35. Loka smaguma centrs:
36. Apļveida sektora smaguma centrs:
37. Konusa smaguma centrs:
38. Puslodes smaguma centrs:
39. Negatīvo vērtību metode: Ja cietai vielai ir dobumi, t.i. dobumus, no kuriem tiek izņemta to masa, tad mēs garīgi piepildām šos dobumus līdz cietam ķermenim un nosakām figūras smaguma centru, ņemot vērā dobumu svaru, tilpumu, laukumu ar “-” zīmi.
40. 1. invariants: Spēku sistēmas 1.invariantu sauc par spēku sistēmas galveno vektoru. Spēku sistēmas galvenais vektors nav atkarīgs no reducēšanas centra R=∑ F i
41. 2. invariants: Galvenā vektora skalārais reizinājums un spēku sistēmas galvenais moments jebkuram samazinājuma centram ir nemainīga vērtība. 
42. Kādā gadījumā spēku sistēma tiek virzīta uz spēka skrūvi? Gadījumā, ja spēka sistēmas galvenais vektors un tā galvenais moments attiecībā pret samazinājuma centru nav vienāds ar nulli un nav viens otram perpendikulāri, dots. spēku sistēmu var reducēt līdz spēka skrūvei.
43. Centrālās spirālveida ass vienādojums:
44.
M x - yR z + zR y = pR x ,
M y - zR x + xR z = pR y ,
M z - xR y + yR x = pR z
45. Pāris spēku moments kā vektors-šis vektors ir perpendikulārs pāra darbības plaknei un ir vērsts virzienā, no kura ir redzama pāra rotācija pretēji pulksteņrādītāja virzienam. Modulī vektora moments ir vienāds ar viena no pāra spēkiem un pāra pleca reizinājumu. Parādību pāra vektora moments. brīvs vektors, un to var pielietot jebkurā punktā ciets.
46. Atbrīvošanas no saitēm princips: Ja saites tiek izmestas, tās jāaizstāj ar reakcijas spēkiem no saites.
47. Virves daudzstūris-Šī ir grafostatikas konstrukcija, ar kuras palīdzību var noteikt rezultējošās plaknes spēku sistēmas darbības līniju, lai atrastu balstu reakcijas.
48. Kāda ir saistība starp virvi un spēka daudzstūri? Lai grafiski atrastu nezināmos spēkus spēka daudzstūrī, izmantojam papildu punktu O (polu), virves daudzstūrī atrodam rezultāto, kuru pārvietojot spēka daudzstūrī atrodam nezināmos spēkus
49. Spēku pāru sistēmu līdzsvara nosacījums: Spēku pāru līdzsvaram, kas iedarbojas uz cietu ķermeni, ir nepieciešams un pietiekami, lai ekvivalento spēku pāru moments būtu vienāds ar nulli. Secinājums: lai līdzsvarotu spēku pāri, ir jāpiemēro līdzsvarošanas pāris, t.i. spēku pāri var līdzsvarot cits spēku pāris ar vienādiem moduļiem un pretēji vērstiem momentiem.
Kinemātika
1. Visas metodes punkta kustības noteikšanai:
dabisks veids
koordinēt
rādiusa vektors.
2. Kā atrast vienādojumu punkta trajektorijai, kad koordinātu metode instrukcijas tās kustībai? Lai iegūtu materiāla punkta kustības trajektorijas vienādojumu, izmantojot precizēšanas koordinātu metodi, ir nepieciešams izslēgt parametru t no kustības likumiem.
3. Punkta paātrinājums koordinātēs. kustības noteikšanas metode:
2 punkti virs X
virs y 2 punktiem
4. Punkta paātrinājums, izmantojot kustības noteikšanas vektora metodi:
5. Punkta paātrinājums, izmantojot dabisko kustības noteikšanas metodi:
=
=
*
+v*
; a=
+
;
*
; v*
.
6. Ar ko ir vienāds parastais paātrinājums un kā tas tiek virzīts?- vērsta radiāli uz centru,
ATGRIEZT Sarežģīta punkta (ķermeņa) kustība– kustība, kurā punkts (ķermenis) vienlaikus piedalās vairākās kustībās (piemēram, pasažieris pārvietojas pa braucošu vagonu). Šajā gadījumā tiek ieviesta kustīga koordinātu sistēma (Oxyz), kas veic noteiktu kustību attiecībā pret fiksēto (galveno) koordinātu sistēmu (O 1 x 1 y 1 z 1). Absolūta kustība punktu nosaukums kustība attiecībā pret fiksētu koordinātu sistēmu. Relatīvā kustība– kustība attiecībā pret kustīgo koordinātu sistēmu. (kustība ap karieti). Pārnēsājama kustība– mobilās sistēmas kustība. koordinātas attiecībā pret stacionāru (automašīnas kustība). Ātruma saskaitīšanas teorēma: , ; kustīgās koordinātu sistēmas -orts (vienības vektori), orts griežas ap momentāno asi, tātad tās beigu ātrums utt., Þ: ,
; - relatīvais ātrums. 
; pārvadāšanas ātrums: : 
, tāpēc punkta absolūtais ātrums = tā pārnēsājamā (v e) un relatīvā (v r) ātruma ģeometriskā summa, modulis: . 
utt. Izteiksmes, kas nosaka paātrinājumu, termini: 1) – pola O paātrinājums; 
2) 3) – punkta relatīvais paātrinājums; 
. 4), mēs iegūstam: .: 
Pirmie trīs termini apzīmē punkta paātrinājumu pārvietojamā kustībā: – pola O paātrinājums; - rotācijas paātrinājums, 
– paātrinošs paātrinājums, t.i. 
Paātrinājuma saskaitīšanas teorēma (Koriolisa teorēma) , Kur
– Koriolisa paātrinājums (Coriolis acceleration) – netranslācijas pārnēsājamas kustības gadījumā absolūtais paātrinājums = pārnēsājamo, relatīvo un Koriolisa paātrinājumu ģeometriskā summa. Koriolisa paātrinājums raksturo: 1) punkta pārvietojamā ātruma moduļa un virziena maiņu tā relatīvās kustības dēļ; 2) punkta relatīvā ātruma virziena maiņa rotācijas translācijas kustības dēļ. Koriolisa paātrinājuma modulis: а с = 2×|w e ×v r |×sin(w e ^ v r), vektora virzienu nosaka vektora reizinājuma likums vai Žukovska likums: relatīvā ātruma projekcija uz plakni. perpendikulāri portatīvajam leņķiskajam ātrumam jāpagriež par 90 o griešanās virzienā. Koriolis ac. = 0 trīs gadījumos: 1) w e =0, t.i. translācijas kustības gadījumā vai leņķa griešanās brīdī. ātrums pie 0; 2) v r =0; 3) sin(w e ^ v r)=0, t.i. Ð(w e ^ v r)=0, ja relatīvais ātrums v r ir paralēls portatīvās rotācijas asij. Kustības gadījumā vienā plaknē leņķis starp v r un vektoru w e = 90 o, sin90 o =1 un c =2×w e ×v r. Sarežģītas stingras ķermeņa kustības 
. Ja ķermenis vienlaikus piedalās momentānās rotācijās ap vairākām asīm, kas krustojas vienā punktā, tad . Stingra ķermeņa sfēriskas kustības gadījumā, kura viens no punktiem paliek nekustīgs visas kustības laikā, mums ir sfēriskās kustības vienādojumi: Y=f 1 (t); q = f 2 (t); j = f 3 (t). Y – precesijas leņķis, q – nutācijas leņķis, j – pareizas rotācijas leņķis - Eilera leņķi. Precesijas leņķiskais ātrums, ang. nutācijas ātrums, loka. sk. pašu rotācija. 
, – ķermeņa leņķiskā ātruma modulis ap momentāno asi. Caur projekcijām uz fiksētām koordinātu asīm: – Eilera kinemātiskie vienādojumi. Rotāciju pievienošana ap 2 paralēlām asīm.
1) 
Rotācijas ir vērstas vienā virzienā. w=w 2 +w 1 , C ir momentānais ātrumu centrs un caur to iet momentānā rotācijas ass, 
, 
. 2) Rotācijas ir vērstas dažādos virzienos. 
, w=w 2 -w 1 
S – tūlītēja. centrs sk. un tūlītēja rotācijas ass . Rotējot ap || asīm, leņķiskā ātruma vektori summējas tāpat kā paralēlie spēka vektori. 3) Pāris griezieni– rotācijas ap ||-to asīm ir vērstas dažādos virzienos un leņķiskie ātrumi ir vienādi pēc lieluma ( – leņķisko ātrumu pāris). Šajā gadījumā, v A =v B, iegūtā ķermeņa kustība ir translācijas (vai momentānā translācijas) kustība ar ātrumu v=w 1 ×AB - leņķisko ātrumu pāra moments (velosipēda pedāļa relatīvā translācijas kustība uz rāmi). Tūlītēja ātruma centrs atrodas bezgalībā. Translācijas un rotācijas kustību pievienošana. 1) Translācijas kustības ātrums ^ pret griešanās asi - plakne-paralēla kustība - momentāna rotācija ap asi Рр ar leņķisko ātrumu w=w". 2) Skrūves kustība– ķermeņa kustību veido rotācijas kustība ap asi Aa ar leņķi sk. w un translācijas ar ātrumu v||Aa. Ass Aa ir skrūves ass. Ja v un w ir vienā virzienā, tad skrūve ir labā, ja dažādos virzienos, tad kreisā. Tiek saukts attālums, ko viena apgrieziena laikā nobrauc jebkurš ķermeņa punkts, kas atrodas uz skrūves ass. propellera solis – h. Ja v un w ir konstanti, tad h= =const ar nemainīgu soli, jebkurš (×)M, kas neatrodas uz skrūves ass, apraksta spirālveida līniju. 
vērsta tangenciāli uz spirāli. 3) Translācijas kustības ātrums veido patvaļīgu leņķi ar griešanās asi, šajā gadījumā kustību var uzskatīt par tādu, kas sastāv no momentānu skrūvju kustību virknes ap nepārtraukti mainīgām skrūvju asīm - momentānas skrūvju kustības.
No mehāniskā viedokļa pirmie trīs vienādojumi nosaka translācijas neesamību, bet pēdējie trīs - ķermeņa leņķiskās kustības. SSS gadījumā līdzsvara nosacījumi tiks attēloti ar pirmo trīs vienādojumu sistēmu. Paralēlu spēku sistēmas gadījumā sistēma sastāvēs arī no trim vienādojumiem: viens spēku projekciju summas vienādojums uz asi, kurai paralēli ir vērsti sistēmas spēki, un divi momentu vienādojumi ap asis, kas nav paralēlas sistēmas spēku darbības līnijām.
ĶERMEŅA SNIEGŠANAS CENTRS
Cieta ķermeņa smaguma centrs ir punkts, caur kuru iet noteiktā ķermeņa daļiņu gravitācijas spēku darbības līnija neatkarīgi no tā atrašanās vietas telpā.
Smaguma centra, punkta C koordinātas (6.3. att.) var noteikt, izmantojot šādas formulas:
Ir skaidrs, ka, jo smalkāks ir nodalījums, jo precīzāk aprēķins tiks veikts, izmantojot formulas (6.7), (6.8). Tomēr aprēķinu sarežģītība var būt diezgan liela. Inženierpraksē regulāras formas ķermeņu smaguma centra noteikšanai izmanto formulas.
KINEMĀTIKA
6. LEKCIJA.
Kinemātika ir mehānikas nozare, kas nodarbojas ar ķermeņu kustību un
Punkti, neņemot vērā tiem pieliktos spēkus.
6.1. Punktu kustības noteikšanas metodes
Ķermeņu vai punktu kustību var uzskatīt tikai attiecībā pret dažiem atsauces sistēmas -īsts vai nosacīts ķermenis, attiecībā pret kuru tiek noteikts citu ķermeņu novietojums un kustība.
Apskatīsim trīs problēmu risināšanā visbiežāk izmantotās atskaites sistēmas un atbilstoši tām trīs punktu kustības precizēšanas veidus. To raksturojums ir šāds: a) pašas atskaites sistēmas apraksts; b) punkta atrašanās vietas noteikšana telpā; c) norāda punkta kustības vienādojumus; d) formulu izveidošana, pēc kurām var atrast punkta kustības kinemātiskos raksturlielumus.
Vektoru metode
Šo metodi parasti izmanto, lai atvasinātu teorēmas un citus teorētiskus ierosinājumus. Tās priekšrocība salīdzinājumā ar citām metodēm ir ierakstīšanas kompaktums. Šajā metodē centrs tiek izmantots kā atskaites sistēma. PAR ar vienību vektoru trīskāršu — i, j, k (8.1. att.). Patvaļīga punkta pozīcija telpā M nosaka rādiusa vektors, r. Tādējādi punkta kustības vienādojums M būs vienvērtīga rādiusa vektora un laika funkcija, t :
Salīdzinot pēdējās divas definīcijas, varam secināt, ka punkta trajektorija ir arī tā rādiusa vektora hodogrāfs.
Iepazīstinām ar koncepciju vidējais ātrums, V vid (8.1. att.):
Un patiesais (momentānais) ātrums, V:
Virziens V sakrīt ar punkta trajektorijas pieskari (8.1. att.).
Punkta paātrinājums ir vektora daudzums, kas raksturo punkta ātruma izmaiņas:
Dabiskais veids
attiecības starp S un laiks, t , ir punkta kustības vienādojums dabiskā veidā, lai noteiktu kustību:
Punkta ātrums, kas vērsts pa asi t , ir definēts kā:
Punkta paātrinājums, A, atrodas lidmašīnā nt un to var sadalīt komponentos:
Fiziskā nozīmešis paplašinājums ir šāds: pieskares komponenta darbības līnija, a t , sakrīt ar ātruma vektora darbības līniju, V , un atspoguļo izmaiņas tikai ātruma modulī; normāla paātrinājuma sastāvdaļa, un n , raksturo ātruma vektora darbības līnijas virziena maiņu. Viņu skaitliskās vērtības var atrast, izmantojot šādas formulas:
| Kur | – trajektorijas izliekuma rādiuss noteiktā punktā. |
Koordinātu metode
Šo metodi visbiežāk izmanto problēmu risināšanā. Atskaites sistēma ir savstarpēji perpendikulāru asu trio x , y , z (8.3. att.). Punkta pozīcija M nosaka tās koordinātas x M , y M , z M .
Punkta kustības vienādojumi ir šo koordinātu vienvērtības funkcijas no
un tā modulis:
Ātruma vektora virzienu telpā var analītiski noteikt, izmantojot virziena kosinusus:
Punkta paātrinājums M var noteikt pēc projekcijām uz koordinātu asīm:
Paātrinājuma vektora virzienu telpā nosaka virziena kosinusi.
Patvaļīgu telpisku spēku sistēmu, piemēram, plakni, var nogādāt kādā centrā PAR un aizstāt ar vienu rezultējošo spēku un pāris ar momentu. Spriežot tādā veidā, ka šīs spēku sistēmas līdzsvaram ir nepieciešams un pietiekami, ka vienlaikus pastāv R= 0 un M o = 0. Bet vektori un var izzust tikai tad, ja visas to projekcijas uz koordinātu asīm ir vienādas ar nulli, t.i., kad R x = R y = R z = 0 un M x = M y = M z = 0 vai, ja darbojošie spēki atbilst nosacījumiem:
Σ X i = 0; Σ M x(P i) = 0;
Σ Y i = 0; Σ M g(P i) = 0;
Σ Z i = 0; Σ Mz(P i) = 0.
Tādējādi telpiskās spēku sistēmas līdzsvaram ir nepieciešams un pietiek, ka visu sistēmas spēku projekciju summa uz katru no koordinātu asīm, kā arī visu sistēmas spēku momentu summa. attiecībā pret katru no šīm asīm ir vienāda ar nulli.
Lai iegūtu vienkāršākas vienādojumu sistēmas, ieteicams asis zīmēt tā, lai tās krustotos vairāk nezināmu spēku vai būtu tām perpendikulāras (ja vien tas nevajadzīgi neapgrūtina citu spēku projekciju un momentu aprēķinus).
Jauns elements vienādojumu sastādīšanā ir spēku momentu aprēķins ap koordinātu asīm.
Gadījumos, kad no vispārējs zīmējums Grūti saskatīt, kāds ir dotā spēka moments attiecībā pret jebkuru asi, ir ieteicams palīgzīmējumā attēlot apskatāmā ķermeņa projekciju (kopā ar spēku) uz plakni, kas ir perpendikulāra šai asij.
Gadījumos, kad, aprēķinot momentu, rodas grūtības noteikt spēka projekciju uz atbilstošo plakni vai šīs projekcijas plecu, ieteicams spēku sadalīt divās savstarpēji perpendikulārās sastāvdaļās (no kurām viena ir paralēla kādai koordinātei ass), un pēc tam izmantojiet Varinjona teorēmu.
5. piemērs. Rāmis AB(45. att.) līdzsvarā notur eņģe A un stienis Sv. Uz rāmja malas ir kravas svēršana R. Noteiksim eņģes reakciju un spēku stieņā.
45. att
Mēs ņemam vērā rāmja līdzsvaru kopā ar slodzi.
Mēs veidojam aprēķinu diagrammu, attēlojot rāmi kā brīvu ķermeni un parādot visus spēkus, kas uz to iedarbojas: savienojumu reakciju un slodzes svaru R. Šie spēki veido spēku sistēmu, kas patvaļīgi atrodas plaknē.
Ieteicams izveidot vienādojumus tā, lai katrs satur vienu nezināmu spēku.
Mūsu problēmā tas ir galvenais A, kur ir pievienoti nezināmie un; punkts AR, kur krustojas nezināmu spēku un darbības līnijas; punkts D- spēku darbības līniju krustpunkts un. Izveidosim vienādojumu spēku projekcijai uz asi plkst(uz asi X to nav iespējams noformēt, jo tas ir perpendikulārs līnijai AC).
Un pirms vienādojumu sastādīšanas izteiksim vēl vienu noderīgu piezīmi. Ja projektēšanas shēmā ir spēks, kas atrodas tā, ka tā roka nav viegli atrodama, tad, nosakot momentu, ieteicams vispirms sadalīt šī spēka vektoru divos, ērtāk virzītos. Šajā uzdevumā spēku sadalīsim divos: un (37. att.) tā, ka to moduļi
Izveidosim vienādojumus:
No otrā vienādojuma mēs atrodam:
No trešā
Un no pirmā
Tātad, kā tas notika S<0, то стержень Sv tiks saspiests.
6. piemērs. Taisnstūra plauktu svēršana R turas horizontālā stāvoklī ar diviem stieņiem SE Un CD, piestiprināts pie sienas punktā E. Vienāda garuma stieņi, AB = 2 a,EO= a. Nosakīsim spēkus stieņos un cilpu reakciju A Un IN.
46. att
Apsveriet plāksnes līdzsvaru. Mēs veidojam dizaina shēmu (46. att.). Cilpas reakcijas parasti parāda divi spēki, kas ir perpendikulāri cilpas asij: .
Spēki veido spēku sistēmu, kas patvaļīgi atrodas telpā. Mēs varam izveidot 6 vienādojumus. Ir arī seši nezināmi cilvēki.
Jādomā, kādus vienādojumus izveidot. Vēlams, lai tie būtu vienkāršāki un tajos būtu mazāk nezināmo.
Izveidosim šādus vienādojumus:
No (1) vienādojuma iegūstam: S 1 = S 2. Pēc tam no (4): .
No (3): Y A = Y B un saskaņā ar (5) . Tas nozīmē No (6) vienādojuma, jo S 1 = S 2, seko Z A = Z B. Tad saskaņā ar (2) Z A =Z B =P/4.
No trijstūra, kur , izriet, ka
Tāpēc Y A =Y B =0,25P, Z A =Z B 0,25P.
Lai pārbaudītu risinājumu, varat izveidot citu vienādojumu un pārbaudīt, vai tas ir apmierināts ar atrastajām reakcijas vērtībām:
Problēma tika atrisināta pareizi.
Spēki, kas saplūst vienā punktā. Spēki, kuru darbības līnijas NS atrodas vienā plaknē telpiskā spēku sistēma. Ja spēku darbības līnijas krustojas vienā punktā, bet neatrodas vienā plaknē (1.59. att.), tad tās veidojas. saplūstošo spēku telpiskā sistēma.Šādas spēku sistēmas galvenais moments attiecībā pret punktu O, kurā spēku darbības līnijas krustojas, vienmēr ir vienāds ar nulli, t.i. šāda spēku sistēma kopumā ir ekvivalenta rezultātam, kura darbības līnija iet caur punktu PAR.
Rīsi. 1.59.
Izmantojot OFS (1.5), līdzsvara nosacījumi šādai spēku sistēmai aplūkojamajā gadījumā tiek reducēti līdz izteiksmei /? = (), un tos var uzrakstīt trīs līdzsvara vienādojumu veidā:
Ja saplūstošo spēku telpiskā sistēma ir līdzsvarā, tad visu spēku projekciju summas uz trim Dekarta koordinātu asīm ir vienādas ar nulli.
Telpiskas spēku sistēmas gadījumā var izrādīties, ka spēka darbības līnija un ass krustojas ar taisnēm. Šajā gadījumā, sastādot līdzsvara vienādojumus, mēs izmantojam dubultā dizaina tehnika(1.60. att.).
Rīsi. 1.B0. Ceļā uz spēku dubultās projekcijas tehniku
Šīs metodes būtība ir tāda, ka, lai atrastu spēka projekciju uz asi, mēs vispirms to projicējam uz plaknes, kurā atrodas šī ass, un pēc tam tieši uz pašu asi: Yo XU = Ya^pu; E x= |T^ gk |s05f = / g 5tyS08f.
Patvaļīga telpiskā spēku sistēma. Veidojas spēki, kuru darbības līnijas neatrodas vienā plaknē un nekrustojas vienā punktā patvaļīga telpiskā spēku sistēma(1.61. att.). Šādai sistēmai nav iepriekšējas informācijas par galvenā vektora un galvenā momenta lielumiem vai virzieniem. Tāpēc nepieciešamie līdzsvara nosacījumi, kas izriet no OSA, ir es = 0; M 0= 0, izveidojiet sešus skalāros vienādojumus:
|
M ak = 0; |
||
|
M 0U = 0; |
||
|
es 7 -0, |
M o? = 0. |
No OFS izriet, ka patvaļīgai telpiskai spēku sistēmai atrodoties līdzsvarā, trīs galvenā vektora projekcijas un trīs ārējo spēku galvenā momenta projekcijas ir vienādas ar nulli.
Rīsi. 1.61.
Šo sakarību praktiskā izmantošana nav grūta, ja tiek atrastas galvenā vektora projekcijas aprēķināšanai nepieciešamo spēku projekcijas, savukārt momenta vektoru projekciju aprēķināšana var būt ļoti sarežģīta, jo nav ne lielumu, ne virzienu. šie vektori ir zināmi iepriekš. Problēmu risināšana ir ievērojami vienkāršota, ja izmantojat jēdzienu “spēka moments ap asi”.
Spēka moments attiecībā pret asi ir spēka vektora momenta projekcija uz šo asi attiecībā pret jebkuru punktu, kas atrodas uz šīs ass (1.62. att.):
kur /l 0 (/ 7) = g 0 x T 7 - vektors-spēka moments attiecībā pret punktu PAR.
Rīsi. 1.B2. Lai noteiktu spēka momentu attiecībā pret asi
Šī vektora modulis ir |al 0 (/ ;)| = 25 DO/1. = /7?, kur - trijstūra laukums OLV.
apejot momenta vektora definīciju t 0 (P). Konstruēsim plakni l, kas ir perpendikulāra asij, ap kuru tiek noteikts moments, un projicēsim spēku uz šo plakni. Pēc definīcijas spēka moments ap asi:
ar obos - 28 DO/)y akciju sabiedrība, A 1 B] - R K I H.
Tādējādi spēka momenta moduli attiecībā pret asi var definēt kā spēka projekcijas moduļa reizinājumu plaknē l, kas ir perpendikulāra aplūkojamai asij, ar attālumu no savienojuma krustošanās punkta. ass ar plakni l uz spēka darbības līniju R uz, t.i. lai noteiktu spēka momentu attiecībā pret asi, nav nepieciešams vispirms noteikt vektoru t a (P), un pēc tam projicējiet to uz asi Ak.
Piezīme. Ņemiet vērā, ka momenta modulis ap asi nav atkarīgs no punkta izvēles uz ass, ap kuru aprēķina momenta vektoru, jo laukuma projekcija AOAV plaknē l nav atkarīgs no punkta izvēles PAR.
No iepriekš minētā izriet darbību secība, nosakot spēka momentu attiecībā pret asi (sk. 1.61. att.):
- konstruēt plakni l, kas ir perpendikulāra Ak, un atzīmējiet punktu O;
- projicē spēku uz šo plakni;
- Mēs aprēķinām momenta moduli attiecībā pret asi un iegūtajam rezultātam piešķiram “+” vai “-” zīmi:
- (1.28)
t oh (P) = ±Pb x.
Zīmju likums izriet no vektora projekcijas zīmes t oh (P): skatoties no “segmenta rotācijas” ass “pozitīvā gala”. viņu" ar spēku R p ir redzams notiekot pretēji pulksteņrādītāja virzienam, tad spēka moments attiecībā pret asi tiek uzskatīts par pozitīvu, pretējā gadījumā negatīvs (1.63. att.).
Rīsi. 1.63.
1 R g - no fr. rgsuesyop — projekcija.
Piezīme. Spēka moments ap asi ir nulle, kad spēks ir paralēls asij vai šķērso šo asi, t.i. spēka moments attiecībā pret asi ir nulle, ja spēks un ass atrodas vienā plaknē (1.64. att.).
Rīsi. 1.B4. Gadījumi, kad spēka moments ir vienāds ar nulli
attiecībā pret asi
No fiziskā viedokļa spēka moments ap asi raksturo spēka rotācijas efektu attiecībā pret asi.
Līdzsvara vienādojumi patvaļīgai telpiskai spēku sistēmai. Ņemot vērā, ka saskaņā ar OSS telpiskajai spēku sistēmai līdzsvarā, es = 0; M a= 0. Izsakot galvenā vektora projekcijas caur sistēmas spēku projekciju summām, bet galvenā momenta projekcijas - caur atsevišķu spēku momentu summām attiecībā pret asīm, iegūstam sešus līdzsvara vienādojumus. patvaļīgai telpiskai spēku sistēmai:
Tādējādi ja patvaļīga telpiskā spēku sistēma ir līdzsvarā, tad visu spēku projekciju summa uz trim Dekarta koordinātu asīm un visu spēku momentu summa attiecībā pret šīm asīm ir vienāda ar nulli.
Spēku pāri kosmosā. Telpiskā spēku sistēmā var būt spēku pāri, kas atrodas dažādās plaknēs, un, aprēķinot galveno momentu, kļūst nepieciešams atrast šo spēku pāru momentus attiecībā pret dažādiem telpas punktiem, kas neatrodas plaknē. no pāriem.
Lai pāra spēki atrodas punktos /! Un IN(1.65. att.). Tad mums ir: R A = -R iekšā, un modulo P A = P in = R. No att. 1.65 no tā izriet g iekšā = g l + L V.
Rīsi. 1.B5. Lai noteiktu spēku pāra vektora momentu attiecībā pret punktu,
ārpus plaknes pāris
Atradīsim spēku pāra galveno momentu attiecībā pret punktu PAR:
R a x UZ + r iekšā X R iekšā = *l x + ? V x L =
= (g in -?l)x P in = x R in = VLx RA A = t.
Tā kā punkta O pozīcija galarezultātā netika iekļauta, mēs atzīmējam, ka spēku pāra vektora moments T nav atkarīgs no momenta punkta izvēles PAR un tiek definēts kā viena no pāra spēka moments attiecībā pret otra spēka pielikšanas punktu. Spēku pāra vektora moments ir perpendikulārs pāra darbības plaknei un ir vērsts tā, lai no tā gala varētu redzēt iespējamo rotāciju pretēji pulksteņrādītāja virzienam. Spēku pāra vektora-momenta modulis ir vienāds ar pāra spēka lieluma reizinājumu ar roku, t.i. iepriekš noteiktā pāra momenta vērtība plaknes spēku sistēmā:
t 0 (P,-P) = Pk = t. (1.31)
Pāris spēku momenta vektors ir “brīvs” vektors; to var pielietot jebkurā telpas punktā, nemainot moduli un virzienu, kas atbilst iespējai pārnest spēku pāri uz jebkuru paralēlu plakni.
Spēku pāra moments ap asi. Tā kā spēku pāra moments ir “brīvs” vektors, tad vektora momenta noteiktais spēku pāris vienmēr ir
var novietot tā, ka viens no pāra (-^) spēkiem krustojas ar doto asi patvaļīgā punktā PAR(1.66. att.). Tad brīdis
spēku pāris būs vienāds ar spēka momentu R attiecībā pret punktu PAR:
t 0 (P, -P) = OLx P = t.
Rīsi. 1.BB. Noteikt spēku pāra momentu attiecībā pret asi
Spēku pāra momentu attiecībā pret asi nosaka kā spēka vektora momenta projekciju uz šo asi F attiecībā pret punktu PAR, vai, kas ir tas pats, kā spēku pāra vektora-momenta projekcija m 0 (F,-F) uz šo asi:
t x (F,-F) = tn cos os = Rg x t. (1-32)
Daži telpisko attiecību piemēri:
? sfērisks savienojums(1.67. att.) ļauj griezties ap punktu jebkurā virzienā. Tāpēc, atmetot šādu savienojumu, ir jāpieliek spēks /V, kas iet caur eņģes centru un nav zināms pēc lieluma un virziena telpā. Paplašinot šo spēku pa trīs koordinātu asu virzieniem, mēs iegūstam trīs nezināmas reakcijas: X A, Y a, Z a;
Rīsi. 1.B7. Sfērisks savienojums un tā reakciju shematisks attēlojums
? slīdgultnisļauj griezties ap savu asi un nodrošina kustības brīvību pa šo asi. Pieņemot, ka 8. izmērs ir ļoti mazs un ir reaktīvi momenti par x un asīm plkst var neņemt vērā, mēs iegūstam vienu reaktīvo spēku, kas nav zināms pēc lieluma un virziena N A vai divas nezināmas reakcijas: X A, U A(1.68. att.);
Rīsi. 1.B8. Gultņa ar brīvu asi reakcijas
? vilces gultnis(1.69. att.), atšķirībā no gultņa, ļauj griezties ap savu asi, neļaujot kustēties gar to, un tam ir trīs nezināmas reakcijas: X A, ? L, Z /1 ;
? akls telpiskais blīvējums(1.70. att.). Kopš šāda savienojuma atmešanas rodas patvaļīga telpiska reaktīvā spēku sistēma, ko raksturo galvenais vektors /? nezināms lielums un virziens un galvenais moments, piemēram, attiecībā pret iegulšanas centru A, arī nav zināms pēc lieluma un virziena, tad mēs attēlojam katru no šiem vektoriem komponentu veidā gar asīm: I = X A + Y A + 2 A; M A = t AX + t AU + t Ar.
Rīsi. 1.70.
Secinām, ka aklajai telpiskajai iegulšanai ir sešas nezināmas reakcijas - trīs spēka komponenti un trīs momenti attiecībā pret asīm, kuru lielumi ir vienādi ar attiecīgajām spēku un momentu projekcijām uz koordinātu asīm: X A, U l 2 A, t AH; t AU t A/ .
Problēmu risināšana. Risinot uzdevumus par telpiskās spēku sistēmas līdzsvaru, ir ļoti svarīgi sastādīt vienādojumus, kurus var atrisināt vienkārši. Šiem nolūkiem asis, par kurām tiek sastādīti momenta vienādojumi, jāizvēlas tā, lai tās krustotu pēc iespējas vairāk nezināmu spēku vai būtu tām paralēlas. Ieteicams virzīt projekcijas asis tā, lai atsevišķi nezināmie būtu tām perpendikulāri.
Ja rodas grūtības, nosakot spēka momentu attiecībā pret asīm, atsevišķi spēki ir jāaizstāj līdzvērtīgas divu spēku kombinācijas, kam aprēķini ir vienkāršoti. Dažos gadījumos ir lietderīgi aplūkotās sistēmas projekcijas parādīt koordinātu plaknēs.
Atzīmēsim, izlaižot pierādījumus, ka līdzīgi kā tas bija plakanā spēku sistēmā, konstruējot līdzsvara vienādojumus telpiskajai spēku sistēmai, momentu vienādojumu skaitu ap asīm ir iespējams palielināt līdz sešiem, ievērojot dažus ierobežojumus, kas uzlikti asu virzienam, lai momentu vienādojumi būtu lineāri neatkarīgi.
Problēma 1.3. Taisnstūra plāksne, kas atbalstīta vienā punktā IN uz sfērisku
eņģes un fiksētas punktos A un C ar stieņu palīdzību
dzīvo līdzsvarā ar vītni, kā parādīts attēlā. 1.71. Nosakiet plātņu savienojumu reakcijas LAN.
Rīsi. 1.71.
D ano: G, t, Za, Z(3 = l/4.
Koordinātu sākuma vietas izvēle punktā IN, Izteiksim telpiski orientētā reaktīvā spēka komponentus T pa asi z un lidmašīnas Whu:
T 7 = T cosa; T XY = T grēks a.
Šīs sistēmas līdzsvara nosacījumus attēlos secīgi atrisinātu vienādojumu sistēma, kuru mēs rakstīsim, izlaižot summēšanas robežas, šādā formā:
X m z = 0- -X A a = 0;
=°’ ~T z a + G~m = 0;
X m xi = 0.
X^ = o, X Fn = 0;
T z a + Z c a = 0;