Šajā nodarbībā mēs uzzināsim, kā atrast kompleksas funkcijas atvasinājums. Nodarbība ir loģisks stundas turpinājums Kā atrast atvasinājumu?, kurā apskatījām vienkāršākos atvasinājumus, kā arī iepazināmies ar diferenciācijas noteikumiem un dažiem tehniskajiem paņēmieniem atvasinājumu atrašanai. Tādējādi, ja jūs ne pārāk labi lietojat funkciju atvasinājumus vai daži šī raksta punkti nav pilnīgi skaidri, vispirms izlasiet iepriekš minēto nodarbību. Lūdzu, noskaņojieties nopietni - materiāls nav vienkāršs, bet es tomēr centīšos to pasniegt vienkārši un skaidri.
Praksē ar sarežģītas funkcijas atvasinājumu nākas saskarties ļoti bieži, es pat teiktu, gandrīz vienmēr, kad tiek doti uzdevumi atrast atvasinājumus.
Mēs aplūkojam tabulu pie noteikuma (Nr. 5) sarežģītas funkcijas diferencēšanai:
Izdomāsim. Vispirms pievērsīsim uzmanību ierakstam. Šeit mums ir divas funkcijas – un , un funkcija, tēlaini izsakoties, ir ligzdota funkcijā . Šāda veida funkciju (kad viena funkcija ir ligzdota citā) sauc par komplekso funkciju.
Es izsaukšu funkciju ārējā funkcija un funkcija – iekšējā (vai ligzdotā) funkcija.
! Šīs definīcijas nav teorētiskas, un tām nevajadzētu parādīties uzdevumu galīgajā noformējumā. Es lietoju neformālus izteicienus “ārējā funkcija”, “iekšējā” funkcija tikai tāpēc, lai jums būtu vieglāk saprast materiālu.
Lai noskaidrotu situāciju, apsveriet:
1. piemērs
Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Zem sinusa mums ir ne tikai burts “X”, bet visa izteiksme, tāpēc atvasinājuma atrašana uzreiz no tabulas nedarbosies. Mēs arī pamanām, ka šeit nav iespējams piemērot pirmos četrus noteikumus, šķiet, ka ir atšķirība, taču fakts ir tāds, ka sinusu nevar “salauzt gabalos”:
Šajā piemērā no maniem paskaidrojumiem jau intuitīvi ir skaidrs, ka funkcija ir sarežģīta funkcija, bet polinoms ir iekšējā funkcija (iegulšana) un ārējā funkcija.
Pirmais solis kas jums jādara, atrodot sarežģītas funkcijas atvasinājumu, ir saprast, kura funkcija ir iekšēja un kura ir ārēja.
Vienkāršu piemēru gadījumā šķiet skaidrs, ka polinoms ir iegults zem sinusa. Bet ko darīt, ja viss nav acīmredzams? Kā precīzi noteikt, kura funkcija ir ārēja un kura iekšēja? Lai to izdarītu, es iesaku izmantot šādu paņēmienu, ko var izdarīt garīgi vai melnrakstā.
Iedomāsimies, ka mums ir jāizmanto kalkulators, lai aprēķinātu izteiksmes vērtību pie (viena vietā var būt jebkurš skaitlis).
Ko mēs aprēķināsim vispirms? Pirmkārt jums būs jāveic šāda darbība: , tāpēc polinoms būs iekšēja funkcija: 
Otrkārt būs jāatrod, tātad sinuss – būs ārēja funkcija: 
Pēc tam, kad mēs IZPĀRDOTS Ar iekšējām un ārējām funkcijām ir pienācis laiks piemērot sarežģītu funkciju diferenciācijas noteikumu.
Sāksim lemt. No klases Kā atrast atvasinājumu? mēs atceramies, ka jebkura atvasinājuma risinājuma izstrāde vienmēr sākas šādi - izteiksmi ievietojam iekavās un augšējā labajā stūrī ievietojam insultu:
Sākumā atrodiet ārējās funkcijas (sinusa) atvasinājumu, apskatiet atvasinājumu tabulu elementāras funkcijas un mēs to pamanām. Visas tabulas formulas ir piemērojamas arī tad, ja “x” tiek aizstāts ar sarežģītu izteiksmi, šajā gadījumā:
Lūdzu, ņemiet vērā, ka iekšējā funkcija nav mainījies, mēs to neaiztiekam.
Nu, tas ir pilnīgi skaidrs
Formulas piemērošanas gala rezultāts izskatās šādi:
Pastāvīgais koeficients parasti tiek ievietots izteiksmes sākumā:
Ja rodas kāds pārpratums, pierakstiet risinājumu uz papīra un vēlreiz izlasiet paskaidrojumus.
2. piemērs
Atrodiet funkcijas atvasinājumu
3. piemērs
Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Kā vienmēr, mēs pierakstām: 
Noskaidrosim, kur mums ir ārēja funkcija un kur iekšēja. Lai to izdarītu, mēs mēģinām (garīgi vai melnrakstā) aprēķināt izteiksmes vērtību pie . Kas jums jādara vispirms? Pirmkārt, jums jāaprēķina, ar ko ir vienāda bāze: tāpēc polinoms ir iekšējā funkcija: 
Un tikai pēc tam tiek veikta eksponēšana, tāpēc jaudas funkcija ir ārēja funkcija: 
Saskaņā ar formulu vispirms jāatrod ārējās funkcijas atvasinājums, šajā gadījumā pakāpe. Tabulā meklējam nepieciešamo formulu: . Mēs atkārtojam vēlreiz: jebkura tabulas formula ir derīga ne tikai “X”, bet arī sarežģītai izteiksmei. Tādējādi sarežģītas funkcijas diferencēšanas noteikuma piemērošanas rezultāts ir šāds:
Es vēlreiz uzsveru, ka, ņemot ārējās funkcijas atvasinājumu, mūsu iekšējā funkcija nemainās: 
Tagad atliek tikai atrast ļoti vienkāršu iekšējās funkcijas atvasinājumu un nedaudz pielāgot rezultātu:
4. piemērs
Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Šis ir piemērs, kas jārisina pašam (atbilde nodarbības beigās).
Lai nostiprinātu jūsu izpratni par sarežģītas funkcijas atvasinājumu, es sniegšu piemēru bez komentāriem, mēģiniet to izdomāt pats, pamatojiet, kur ir ārējā un kur iekšējā funkcija, kāpēc uzdevumi tiek risināti šādi?
5. piemērs
a) Atrodiet funkcijas atvasinājumu
b) Atrodiet funkcijas atvasinājumu
6. piemērs
Atrodiet funkcijas atvasinājumu 
Šeit mums ir sakne, un, lai atšķirtu sakni, tā ir jāattēlo kā spēks. Tādējādi vispirms mēs ievedam funkciju diferencēšanai piemērotā formā:
Analizējot funkciju, mēs nonākam pie secinājuma, ka trīs terminu summa ir iekšēja funkcija, bet paaugstināšana līdz pakāpei ir ārēja funkcija. Mēs piemērojam sarežģītu funkciju diferenciācijas likumu:
Mēs atkal attēlojam pakāpi kā radikāli (sakni), un iekšējās funkcijas atvasinājumam mēs izmantojam vienkāršu noteikumu summas diferencēšanai:
Gatavs. Varat arī samazināt izteiksmi līdz kopsaucējam iekavās un pierakstīt visu kā vienu daļskaitli. Tas, protams, ir skaisti, bet, ja iegūstat apgrūtinošus garus atvasinājumus, labāk to nedarīt (ir viegli apjukt, pieļaut nevajadzīgu kļūdu, un skolotājam to būs neērti pārbaudīt).
7. piemērs
Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Šis ir piemērs, kas jārisina pašam (atbilde nodarbības beigās).
Interesanti atzīmēt, ka dažreiz kompleksas funkcijas diferencēšanas noteikuma vietā varat izmantot koeficienta diferencēšanas noteikumu. 
, bet šāds risinājums izskatīsies pēc smieklīgas perversijas. Šeit ir tipisks piemērs:
8. piemērs
Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Šeit var izmantot koeficienta diferenciācijas likumu , taču daudz izdevīgāk ir atrast atvasinājumu, izmantojot sarežģītas funkcijas diferenciācijas likumu:
Sagatavojam funkciju diferencēšanai - izņemam mīnusu no atvasinājuma zīmes un paaugstinām kosinusu skaitītājā:
Kosinuss ir iekšēja funkcija, kāpināšana ir ārēja funkcija.
Izmantosim mūsu noteikumu:
Mēs atrodam iekšējās funkcijas atvasinājumu un atiestatām kosinusu atpakaļ uz leju:
Gatavs. Aplūkotajā piemērā ir svarīgi neapjukt zīmēs. Starp citu, mēģiniet to atrisināt, izmantojot noteikumu , atbildēm ir jāsakrīt.
9. piemērs
Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Šis ir piemērs, kas jārisina pašam (atbilde nodarbības beigās).
Līdz šim mēs esam izskatījuši gadījumus, kad sarežģītā funkcijā mums bija tikai viena ligzda. Praktiskajos uzdevumos nereti var atrast atvasinājumus, kur, tāpat kā ligzdošanas lellēm, viena otrā iekšā ligzdo uzreiz 3 vai pat 4-5 funkcijas.
10. piemērs
Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Izpratīsim šīs funkcijas pielikumus. Mēģināsim aprēķināt izteiksmi, izmantojot eksperimentālo vērtību. Kā mēs rēķināmies ar kalkulatoru?
Vispirms jums ir jāatrod , kas nozīmē, ka arksīns ir dziļākā iegulšana:
Pēc tam šis arksinuss ir jāizliek kvadrātā:
Un visbeidzot mēs paaugstinām septiņus līdz jaudām: 
Tas ir, šajā piemērā mums ir trīs dažādas funkcijas un divas iegulšanas, kur visdziļākā funkcija ir arcsinuss un visattālākā funkcija ir eksponenciālā funkcija.
Sāksim lemt
Saskaņā ar likumu vispirms ir jāņem ārējās funkcijas atvasinājums. Apskatām atvasinājumu tabulu un atrodam atvasinājumu eksponenciālā funkcija: Vienīgā atšķirība ir tā, ka “x” vietā mums ir sarežģīta izteiksme, kas nenoliedz šīs formulas derīgumu. Tātad sarežģītas funkcijas diferencēšanas noteikuma piemērošanas rezultāts ir šāds:
Zem insulta mums atkal ir sarežģīta funkcija! Bet tas jau ir vienkāršāk. Ir viegli pārbaudīt, vai iekšējā funkcija ir arcsīns, bet ārējā funkcija ir pakāpe. Saskaņā ar noteikumu par sarežģītas funkcijas diferenciāciju vispirms ir jāņem jaudas atvasinājums.
Ļoti viegli atcerēties.
Neejam tālu, apskatīsim to uzreiz apgrieztā funkcija. Kura funkcija ir eksponenciālās funkcijas apgrieztā funkcija? Logaritms:
Mūsu gadījumā bāze ir skaitlis:
Šādu logaritmu (tas ir, logaritmu ar bāzi) sauc par “dabisku”, un mēs tam izmantojam īpašu apzīmējumu: tā vietā rakstām.
Ar ko tas ir vienāds? Protams.
Arī dabiskā logaritma atvasinājums ir ļoti vienkāršs:
Piemēri:
- Atrodiet funkcijas atvasinājumu.
- Kāds ir funkcijas atvasinājums?
Atbildes: Eksponenciālais un naturālais logaritms ir unikāli vienkāršas funkcijas no atvasinātā viedokļa. Eksponenciālajām un logaritmiskajām funkcijām ar jebkuru citu bāzi būs atšķirīgs atvasinājums, ko mēs analizēsim vēlāk, pēc iesim cauri noteikumiem diferenciācija.
Diferencēšanas noteikumi
Noteikumi par ko? Atkal jauns termins, atkal?!...
Diferencēšana ir atvasinājuma atrašanas process.
Tas arī viss. Kā vēl vienā vārdā var nosaukt šo procesu? Nav atvasinājums... Matemātiķi diferenciāli sauc par tādu pašu funkcijas pieaugumu pie. Šis termins cēlies no latīņu vārda differentia – atšķirība. Šeit.
Atvasinot visus šos noteikumus, mēs izmantosim divas funkcijas, piemēram, un. Mums būs nepieciešamas arī formulas to palielinājumam:
Kopumā ir 5 noteikumi.
Konstante tiek izņemta no atvasinātās zīmes.
Ja - kāds konstants skaitlis (konstante), tad.
Acīmredzot šis noteikums darbojas arī attiecībā uz atšķirību: .
Pierādīsim to. Lai tas būtu vai vienkāršāk.
Piemēri.
Atrodiet funkciju atvasinājumus:
- punktā;
- punktā;
- punktā;
- punktā.
Risinājumi:
- (atvasinājums visos punktos ir vienāds, jo tā ir lineāra funkcija, atceries?);
Produkta atvasinājums
Šeit viss ir līdzīgi: ieviesīsim jaunu funkciju un atradīsim tās pieaugumu:
Atvasinājums:
Piemēri:
- Atrast funkciju un atvasinājumus;
- Atrodiet funkcijas atvasinājumu punktā.
Risinājumi:
Eksponenciālās funkcijas atvasinājums
Tagad pietiek ar jūsu zināšanām, lai uzzinātu, kā atrast jebkuras eksponenciālas funkcijas atvasinājumu, nevis tikai eksponentus (vai jūs jau esat aizmirsis, kas tas ir?).
Tātad, kur ir kāds skaitlis.
Mēs jau zinām funkcijas atvasinājumu, tāpēc mēģināsim reducēt savu funkciju uz jaunu bāzi:
Lai to izdarītu, mēs izmantosim vienkāršu noteikumu: . Pēc tam:
Nu, izdevās. Tagad mēģiniet atrast atvasinājumu un neaizmirstiet, ka šī funkcija ir sarežģīta.
Vai tas izdevās?
Lūk, pārbaudiet pats:
Formula izrādījās ļoti līdzīga eksponenta atvasinājumam: tā, kā bija, tā paliek nemainīga, parādījās tikai faktors, kas ir tikai skaitlis, bet ne mainīgais.
Piemēri:
Atrodiet funkciju atvasinājumus:
Atbildes:
Tas ir tikai skaitlis, ko nevar aprēķināt bez kalkulatora, tas ir, to nevar pierakstīt vienkāršāk. Tāpēc atbildē to atstājam šādā formā.
Ņemiet vērā, ka šeit ir divu funkciju koeficients, tāpēc mēs izmantojam atbilstošo diferenciācijas noteikumu:
Šajā piemērā divu funkciju reizinājums:
Logaritmiskās funkcijas atvasinājums
Šeit ir līdzīgi: jūs jau zināt dabiskā logaritma atvasinājumu:
Tāpēc, lai atrastu patvaļīgu logaritmu ar citu bāzi, piemēram:
Mums šis logaritms jāsamazina līdz bāzei. Kā mainīt logaritma bāzi? Es ceru, ka atceraties šo formulu:
Tikai tagad tā vietā rakstīsim:
Saucējs ir vienkārši konstante (konstants skaitlis, bez mainīgā). Atvasinājumu iegūst ļoti vienkārši:
Eksponenciālo un logaritmisko funkciju atvasinājumi Vienotajā valsts pārbaudījumā gandrīz nekad nav atrodami, taču tos zināt nebūs lieki.
Sarežģītas funkcijas atvasinājums.
Kas ir "sarežģīta funkcija"? Nē, tas nav logaritms un nav arktangenss. Šīs funkcijas var būt grūti saprotamas (lai gan, ja jums šķiet sarežģīts logaritms, izlasiet tēmu "Logaritmi" un jums būs labi), taču no matemātiskā viedokļa vārds "sarežģīts" nenozīmē "grūti".
Iedomājieties mazu konveijera lenti: divi cilvēki sēž un veic darbības ar dažiem priekšmetiem. Piemēram, pirmais ietin šokolādes tāfelīti iesaiņojumā, bet otrais to sasien ar lenti. Rezultāts ir salikts priekšmets: šokolādes tāfelīte, kas ietīta un pārsieta ar lenti. Lai apēstu šokolādes tāfelīti, jums jāveic apgrieztās darbības apgrieztā secībā.
Izveidosim līdzīgu matemātisko cauruļvadu: vispirms atradīsim skaitļa kosinusu un pēc tam iegūto skaitli kvadrātā. Tātad, mums tiek dots skaitlis (šokolāde), es atrodu tā kosinusu (iesaiņojums), un tad jūs kvadrātā to, ko es saņēmu (piesiet to ar lenti). Kas noticis? Funkcija. Šis ir sarežģītas funkcijas piemērs: kad, lai atrastu tās vērtību, mēs veicam pirmo darbību tieši ar mainīgo un pēc tam otro darbību ar to, kas izriet no pirmās.
Citiem vārdiem sakot, sarežģīta funkcija ir funkcija, kuras arguments ir cita funkcija: .
Mūsu piemēram, .
Mēs varam viegli veikt tās pašas darbības apgrieztā secībā: vispirms jūs to kvadrātā, un tad es meklēju iegūtā skaitļa kosinusu: . Ir viegli uzminēt, ka rezultāts gandrīz vienmēr būs atšķirīgs. Svarīga funkcija sarežģītas funkcijas: mainoties darbību secībai, mainās funkcija.
Otrais piemērs: (tas pats). .
Darbība, ko veicam pēdējā, tiks saukta "ārēja" funkcija, un darbība, kas veikta vispirms - attiecīgi "iekšējā" funkcija(tie ir neoficiāli nosaukumi, es tos izmantoju tikai, lai izskaidrotu materiālu vienkāršā valodā).
Mēģiniet pats noteikt, kura funkcija ir ārēja un kura iekšēja:
Atbildes: Iekšējo un ārējo funkciju atdalīšana ir ļoti līdzīga mainīgo mainīšanai: piemēram, funkcijā
- Kādu darbību mēs veiksim vispirms? Vispirms aprēķināsim sinusu un tikai pēc tam sadalīsim to kubā. Tas nozīmē, ka tā ir iekšēja funkcija, bet ārēja.
Un sākotnējā funkcija ir to sastāvs: . - Iekšējais: ; ārējais: .
Pārbaude:. - Iekšējais: ; ārējais: .
Pārbaude:. - Iekšējais: ; ārējais: .
Pārbaude:. - Iekšējais: ; ārējais: .
Pārbaude:.
Mēs mainām mainīgos un iegūstam funkciju.
Tagad mēs izvilksim savu šokolādes tāfelīti un meklēsim atvasinājumu. Procedūra vienmēr ir apgriezta: vispirms meklējam ārējās funkcijas atvasinājumu, pēc tam rezultātu reizinām ar iekšējās funkcijas atvasinājumu. Saistībā ar sākotnējo piemēru tas izskatās šādi:
Vēl viens piemērs:
Tātad, beidzot formulēsim oficiālo noteikumu:
Algoritms sarežģītas funkcijas atvasinājuma atrašanai:
Šķiet vienkārši, vai ne?
Pārbaudīsim ar piemēriem:
Risinājumi:
1) Iekšējais: ;
Ārējais: ;
2) Iekšējais: ;
(tikai nemēģiniet to tagad izgriezt! No zem kosinusa nekas neiznāk, atceries?)
3) Iekšējais: ;
Ārējais: ;
Uzreiz ir skaidrs, ka tā ir trīs līmeņu kompleksa funkcija: galu galā tā jau pati par sevi ir sarežģīta funkcija, un mēs no tās arī izņemam sakni, tas ir, veicam trešo darbību (ieliekam šokolādi iesaiņojumā). un ar lenti portfelī). Bet nav pamata baidīties: mēs joprojām “izpakosim” šo funkciju tādā pašā secībā kā parasti: no beigām.
Tas ir, vispirms mēs atšķiram sakni, tad kosinusu un tikai pēc tam izteiksmi iekavās. Un tad mēs to visu reizinām.
Šādos gadījumos ir ērti numurēt darbības. Tas ir, iedomāsimies, ko mēs zinām. Kādā secībā mēs veiksim darbības, lai aprēķinātu šīs izteiksmes vērtību? Apskatīsim piemēru:
Jo vēlāk darbība tiks veikta, jo “ārējāka” būs atbilstošā funkcija. Darbību secība ir tāda pati kā iepriekš:
Šeit ligzdošana parasti ir 4 līmeņu. Noteiksim darbību secību.
1. Radikāla izteiksme. .
2. Sakne. .
3. Sine. .
4. Kvadrāts. .
5. Saliekot visu kopā:
ATSINĀJUMS. ĪSUMĀ PAR GALVENĀM LIETĀM
Funkcijas atvasinājums- funkcijas pieauguma attiecība pret argumenta pieaugumu bezgalīgi mazam argumenta pieaugumam:
Pamata atvasinājumi:
Atšķiršanas noteikumi:
Konstante tiek izņemta no atvasinātās zīmes:
Summas atvasinājums:
Produkta atvasinājums:
Koeficienta atvasinājums:
Sarežģītas funkcijas atvasinājums:
Algoritms sarežģītas funkcijas atvasinājuma atrašanai:
- Mēs definējam “iekšējo” funkciju un atrodam tās atvasinājumu.
- Mēs definējam “ārējo” funkciju un atrodam tās atvasinājumu.
- Mēs reizinām pirmā un otrā punkta rezultātus.
Atvasinājuma atrašanas darbību sauc par diferenciāciju.
Vienkāršāko (un ne pārāk vienkāršo) funkciju atvasinājumu atrašanas problēmu risināšanas rezultātā, definējot atvasinājumu kā pieauguma un argumenta pieauguma attiecības robežu, parādījās atvasinājumu tabula un precīzi definēti diferenciācijas noteikumi. . Pirmie, kas strādāja atvasinājumu atrašanas jomā, bija Īzaks Ņūtons (1643-1727) un Gotfrīds Vilhelms Leibnics (1646-1716).
Tāpēc mūsdienās, lai atrastu jebkuras funkcijas atvasinājumu, jums nav jāaprēķina iepriekš minētā funkcijas pieauguma attiecības pret argumenta pieauguma robeža, bet tikai jāizmanto tabula atvasinājumi un diferenciācijas noteikumi. Sekojošais algoritms ir piemērots atvasinājuma atrašanai.
Lai atrastu atvasinājumu, jums ir nepieciešama izteiksme zem galvenās zīmes sadalīt vienkāršas funkcijas komponentos un noteikt, kādas darbības (produkts, summa, koeficients)šīs funkcijas ir saistītas. Tālāk elementāro funkciju atvasinājumus atrodam atvasinājumu tabulā, bet reizinājuma, summas un koeficienta atvasinājumu formulas - diferenciācijas noteikumos. Atvasinājumu tabula un diferenciācijas noteikumi ir doti pēc pirmajiem diviem piemēriem.
1. piemērs. Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Risinājums. No diferenciācijas likumiem noskaidrojam, ka funkciju summas atvasinājums ir funkciju atvasinājumu summa, t.i.
No atvasinājumu tabulas mēs uzzinām, ka “X” atvasinājums ir vienāds ar vienu, bet sinusa atvasinājums ir vienāds ar kosinusu. Mēs šīs vērtības aizstājam ar atvasinājumu summu un atrodam atvasinājumu, kas nepieciešams problēmas nosacījumam:
2. piemērs. Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Risinājums. Mēs diferencējam kā summas atvasinājumu, kurā otrajam loceklim ir nemainīgs faktors, to var izņemt no atvasinājuma zīmes:
Ja joprojām rodas jautājumi par to, no kurienes kaut kas nāk, tie parasti tiek noskaidroti pēc iepazīšanās ar atvasinājumu tabulu un vienkāršākajiem diferenciācijas noteikumiem. Mēs šobrīd pārejam pie tiem.
Vienkāršu funkciju atvasinājumu tabula
| 1. Konstantes (skaitļa) atvasinājums. Jebkurš skaitlis (1, 2, 5, 200...), kas ir funkcijas izteiksmē. Vienmēr vienāds ar nulli. Tas ir ļoti svarīgi atcerēties, jo tas tiek prasīts ļoti bieži | |
| 2. Neatkarīgā mainīgā atvasinājums. Visbiežāk "X". Vienmēr vienāds ar vienu. Tas ir arī svarīgi atcerēties ilgu laiku | |
| 3. Grāda atvasinājums. Risinot problēmas, jums ir jāpārvērš ne-kvadrātsaknes pakāpēs. | |
| 4. Mainīgā atvasinājums pakāpei -1 | |
| 5.Atvasinājums kvadrātsakne | |
| 6.Sinusa atvasinājums | |
| 7.Kosinusa atvasinājums |  |
| 8. Pieskares atvasinājums |  |
| 9. Kotangensa atvasinājums |  |
| 10.Arksīna atvasinājums |  |
| 11.Arkosīna atvasinājums |  |
| 12.Arktangenta atvasinājums |  |
| 13. Loka kotangensa atvasinājums |  |
| 14.Naturālā logaritma atvasinājums | |
| 15. Logaritmiskās funkcijas atvasinājums |  |
| 16. Eksponenta atvasinājums | |
| 17.Eksponenciālās funkcijas atvasinājums |
Diferencēšanas noteikumi
| 1. Summas vai starpības atvasinājums |  |
| 2. Produkta atvasinājums |  |
| 2a. Izteiksmes atvasinājums, kas reizināts ar konstantu koeficientu | |
| 3. Koeficienta atvasinājums |  |
| 4. Sarežģītas funkcijas atvasinājums |  |
1. noteikums.Ja funkcijas
ir diferencējami kādā brīdī, tad funkcijas ir diferencējamas tajā pašā punktā
un
tie. funkciju algebriskās summas atvasinājums ir vienāds ar šo funkciju atvasinājumu algebrisko summu.
Sekas. Ja divas diferencējamas funkcijas atšķiras ar konstantu vārdu, tad to atvasinājumi ir vienādi, t.i.
2. noteikums.Ja funkcijas
ir diferencējami kādā brīdī, tad to produkts ir diferencējams tajā pašā punktā
un
tie. Divu funkciju reizinājuma atvasinājums ir vienāds ar katras šīs funkcijas reizinājumu summu un otras funkcijas atvasinājumu.
Secinājums 1. Pastāvīgo koeficientu var izņemt no atvasinājuma zīmes:
Secinājums 2. Vairāku diferencējamu funkciju reizinājuma atvasinājums ir vienāds ar katra faktora un visu pārējo atvasinājuma produktu summu.
Piemēram, trim reizinātājiem:
3. noteikums.Ja funkcijas
kādā brīdī atšķirties Un , tad šajā brīdī arī to koeficients ir diferencējamsu/v , un
tie. divu funkciju koeficienta atvasinājums ir vienāds ar daļskaitli, kuras skaitītājs ir starpība starp saucēja reizinājumu un skaitītāja atvasinājumu un skaitītāju un saucēja atvasinājumu, un saucējs ir skaitļa kvadrāts. bijušais skaitītājs.
Kur meklēt lietas citās lapās
Atrodot reizinājuma atvasinājumu un koeficientu reālās problēmās, vienmēr ir jāpiemēro vairāki diferencēšanas noteikumi vienlaikus, tāpēc rakstā ir vairāk piemēru par šiem atvasinājumiem."Produkta atvasinājums un funkciju koeficients".
komentēt. Nevajag jaukt konstanti (tas ir, skaitli) kā terminu summā un kā nemainīgu faktoru! Termina gadījumā tā atvasinājums ir vienāds ar nulli, un nemainīga faktora gadījumā tas tiek izņemts no atvasinājumu zīmes. Šis tipiska kļūda, kas notiek sākuma stadija pētot atvasinājumus, bet, tā kā tie atrisina vairākus viendaļīgus un divdaļīgus piemērus, vidusmēra skolēns vairs nepieļauj šo kļūdu.
Un, ja, diferencējot produktu vai koeficientu, jums ir termins u"v, kurā u- skaitlis, piemēram, 2 vai 5, tas ir, konstante, tad šī skaitļa atvasinājums būs vienāds ar nulli un līdz ar to viss termins būs vienāds ar nulli (šis gadījums ir apskatīts 10. piemērā).
Vēl viena izplatīta kļūda ir sarežģītas funkcijas atvasinājuma mehāniska atrisināšana kā vienkāršas funkcijas atvasinājums. Tieši tāpēc kompleksas funkcijas atvasinājums ir veltīts atsevišķs raksts. Bet vispirms mēs iemācīsimies atrast vienkāršu funkciju atvasinājumus.
Pa ceļam jūs nevarat iztikt bez izteiksmju pārveidošanas. Lai to izdarītu, rokasgrāmata var būt jāatver jaunos logos. Darbības ar spējām un saknēm Un Darbības ar daļskaitļiem .
Ja meklējat risinājumus daļskaitļu atvasinājumiem ar pakāpēm un saknēm, tas ir, kad funkcija izskatās šādi 
, pēc tam izpildiet nodarbību “Daļskaitļu summu atvasinājums ar pakāpēm un saknēm”.
Ja jums ir tāds uzdevums kā 
, tad jūs apmeklēsiet nodarbību “Vienkāršu trigonometrisko funkciju atvasinājumi”.
Soli pa solim piemēri - kā atrast atvasinājumu
3. piemērs. Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Risinājums. Mēs definējam funkcijas izteiksmes daļas: visa izteiksme attēlo reizinājumu, un tās faktori ir summas, no kurām otrajā viens no terminiem satur nemainīgu faktoru. Mēs piemērojam produktu diferenciācijas noteikumu: divu funkciju reizinājuma atvasinājums ir vienāds ar katras šīs funkcijas produktu summu ar otras funkcijas atvasinājumu:
Tālāk mēs piemērojam summu diferenciācijas likumu: funkciju algebriskās summas atvasinājums ir vienāds ar šo funkciju atvasinājumu algebrisko summu. Mūsu gadījumā katrā summā otrajam vārdam ir mīnusa zīme. Katrā summā redzam gan neatkarīgu mainīgo, kura atvasinājums ir vienāds ar vienu, gan konstanti (skaitli), kuras atvasinājums ir vienāds ar nulli. Tātad “X” pārvēršas par vienu, un mīnus 5 pārvēršas par nulli. Otrajā izteiksmē "x" tiek reizināts ar 2, tāpēc mēs reizinām divus ar tādu pašu vienību kā "x" atvasinājums. Mēs iegūstam šādas atvasinājumu vērtības:
Atrastos atvasinājumus aizstājam produktu summā un iegūstam visas uzdevuma nosacījumam nepieciešamās funkcijas atvasinājumu:
Un jūs varat pārbaudīt atvasinātās problēmas risinājumu.
4. piemērs. Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Risinājums. Mums ir jāatrod koeficienta atvasinājums. Mēs izmantojam koeficienta diferenciācijas formulu: divu funkciju koeficienta atvasinājums ir vienāds ar daļskaitli, kuras skaitītājs ir starpība starp saucēja reizinājumu un skaitītāja un skaitītāja atvasinājumu un skaitītāja atvasinājumu un atvasinājumu. saucējs, un saucējs ir iepriekšējā skaitītāja kvadrāts. Mēs iegūstam:
Mēs jau esam atraduši faktoru atvasinājumu skaitītājā 2. piemērā. Neaizmirsīsim arī, ka reizinājums, kas pašreizējā piemērā ir otrais skaitītāja faktors, tiek ņemts ar mīnusa zīmi:
Ja meklējat risinājumus problēmām, kurās jums jāatrod funkcijas atvasinājums, kurā ir nepārtraukta sakņu un pakāpju kaudze, piemēram, 
, tad laipni lūdzam nodarbībā "Atvasinājums no daļskaitļu summām ar pakāpēm un saknēm" .
Ja nepieciešams uzzināt vairāk par sinusu, kosinusu, tangenšu un citu atvasinājumiem trigonometriskās funkcijas, tas ir, kad funkcija izskatās kā , tad mācība jums "Vienkāršu trigonometrisko funkciju atvasinājumi" .
5. piemērs. Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Risinājums. Šajā funkcijā mēs redzam reizinājumu, kura viens no faktoriem ir kvadrātsakne no neatkarīgā mainīgā, ar kura atvasinājumu mēs iepazināmies atvasinājumu tabulā. Saskaņā ar produkta diferencēšanas noteikumu un tabulas vērtība kvadrātsaknes atvasinājumu iegūstam:
Atvasinātās problēmas risinājumu varat pārbaudīt vietnē tiešsaistes atvasinājumu kalkulators .
6. piemērs. Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Risinājums. Šajā funkcijā mēs redzam koeficientu, kura dividende ir neatkarīgā mainīgā kvadrātsakne. Izmantojot koeficientu diferenciācijas likumu, ko atkārtojām un piemērojām 4. piemērā, un kvadrātsaknes atvasinājuma vērtību tabulā, iegūstam:
Lai atbrīvotos no daļskaitļa skaitītājā, reiziniet skaitītāju un saucēju ar .
Ja g(x) Un f(u) – to argumentu diferencējamās funkcijas attiecīgi punktos x Un u= g(x), tad arī kompleksā funkcija ir diferencējama punktā x un tiek atrasts pēc formulas
Tipiska kļūda, risinot atvasinātās problēmas, ir vienkāršu funkciju diferencēšanas noteikumu mehāniska pārnese uz sarežģītām funkcijām. Mācīsimies izvairīties no šīs kļūdas.
2. piemērs. Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Nepareizs risinājums: aprēķiniet katra iekavās esošā vārda naturālo logaritmu un atrodiet atvasinājumu summu:
Pareizs risinājums: atkal nosakām, kur ir “ābols” un kur “maltā gaļa”. Šeit izteiksmes dabiskais logaritms iekavās ir “ābols”, tas ir, funkcija pār starpposma argumentu u, un izteiciens iekavās ir “malta gaļa”, tas ir, starparguments u pēc neatkarīga mainīgā x.
Pēc tam (izmantojot formulu 14 no atvasinājumu tabulas)
Daudzās reālās dzīves problēmās izteiksme ar logaritmu var būt nedaudz sarežģītāka, tāpēc ir mācība
3. piemērs. Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Nepareizs risinājums:
Pareizs lēmums. Vēlreiz nosakām, kur ir “ābols” un kur “maltā gaļa”. Šeit izteiksmes kosinuss iekavās (atvasinājumu tabulā 7. formula) ir “ābols”, tas ir sagatavots 1. režīmā, kas ietekmē tikai to, un izteiksme iekavās (pakāpes atvasinājums ir skaitlis 3 atvasinājumu tabulā) ir “maltā gaļa”, to gatavo 2. režīmā, kas ietekmē tikai to. Un kā vienmēr, mēs savienojam divus atvasinājumus ar produkta zīmi. Rezultāts:
Kompleksa atvasinājums logaritmiskā funkcija- biežs testu uzdevums, tāpēc ļoti iesakām apmeklēt nodarbību “Logaritmiskās funkcijas atvasinājums”.
Pirmie piemēri bija par sarežģītām funkcijām, kurās neatkarīgā mainīgā starpposma arguments bija vienkārša funkcija. Bet iekšā praktiski uzdevumi Bieži vien ir jāatrod kompleksas funkcijas atvasinājums, kur starpposma arguments pats par sevi ir sarežģīta funkcija vai satur šādu funkciju. Ko darīt šādos gadījumos? Atrodiet šādu funkciju atvasinājumus, izmantojot tabulas un diferenciācijas noteikumus. Kad tiek atrasts starpposma argumenta atvasinājums, tas vienkārši tiek aizstāts pareizajā formulas vietā. Zemāk ir divi piemēri, kā tas tiek darīts.
Turklāt ir noderīgi zināt sekojošo. Ja sarežģītu funkciju var attēlot kā trīs funkciju ķēdi
tad tā atvasinājums ir jāatrod kā katras šīs funkcijas atvasinājumu reizinājums:
Daudziem mājasdarbu uzdevumiem var būt nepieciešams atvērt rokasgrāmatas jaunos logos. Darbības ar spējām un saknēm Un Darbības ar daļskaitļiem .
4. piemērs. Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Mēs piemērojam sarežģītas funkcijas diferenciācijas likumu, neaizmirstot, ka iegūtajā atvasinājumu produktā ir starparguments attiecībā uz neatkarīgo mainīgo x nemainās:
Mēs sagatavojam produkta otro koeficientu un piemērojam summas diferencēšanas noteikumu:
Otrais termins ir sakne, tātad
Tādējādi mēs noskaidrojām, ka starparguments, kas ir summa, satur sarežģītu funkciju kā vienu no terminiem: paaugstināšana līdz jaudai ir sarežģīta funkcija, un tas, kas tiek paaugstināts par spēku, ir starparguments attiecībā uz neatkarīgo. mainīgs x.
Tāpēc mēs atkal piemērojam sarežģītas funkcijas diferencēšanas noteikumu:
Mēs pārveidojam pirmā faktora pakāpi par sakni, un, diferencējot otro faktoru, neaizmirstiet, ka konstantes atvasinājums ir vienāds ar nulli:
Tagad mēs varam atrast atvasinājumu starpposma argumentam, kas nepieciešams, lai aprēķinātu problēmas priekšrakstā nepieciešamās kompleksās funkcijas atvasinājumu y:
5. piemērs. Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Pirmkārt, mēs izmantojam noteikumu summas diferencēšanai:
Mēs ieguvām divu sarežģītu funkciju atvasinājumu summu. Atradīsim pirmo:
Šeit sinusa paaugstināšana līdz pakāpei ir sarežģīta funkcija, un pats sinuss ir starpposma arguments neatkarīgajam mainīgajam. x. Tāpēc mēs izmantosim sarežģītas funkcijas diferenciācijas likumu izņemot faktoru iekavās :
Tagad mēs atrodam funkcijas atvasinājumu otro vārdu y:
Šeit kosinusa paaugstināšana līdz pakāpei ir sarežģīta funkcija f, un pats kosinuss ir starpposma arguments neatkarīgajā mainīgajā x. Atkal izmantosim noteikumu, lai atšķirtu sarežģītu funkciju:
Rezultāts ir nepieciešamais atvasinājums:
Dažu sarežģītu funkciju atvasinājumu tabula
Sarežģītām funkcijām, pamatojoties uz sarežģītas funkcijas diferenciācijas likumu, vienkāršas funkcijas atvasinājuma formula iegūst citu formu.
| 1. Sarežģītas jaudas funkcijas atvasinājums, kur u x |  |
| 2. Izteiksmes saknes atvasinājums | |
| 3. Eksponenciālās funkcijas atvasinājums |  |
| 4. Eksponenciālās funkcijas īpašs gadījums | |
| 5. Logaritmiskas funkcijas atvasinājums ar patvaļīgu pozitīvu bāzi A |  |
| 6. Sarežģītas logaritmiskās funkcijas atvasinājums, kur u– argumenta diferencējamā funkcija x | |
| 7.Sinusa atvasinājums |  |
| 8.Kosinusa atvasinājums |  |
| 9. Pieskares atvasinājums |  |
| 10.Kotangensa atvasinājums |  |
| 11.Arksīna atvasinājums |  |
| 12.Arka kosinusa atvasinājums |  |
| 13.Arktangenta atvasinājums |  |
| 14. Loka kotangensa atvasinājums |  |
Uz kuriem mēs pārbaudījām vienkāršākos atvasinājumus, kā arī iepazināmies ar diferenciācijas noteikumiem un dažiem tehniskajiem paņēmieniem atvasinājumu atrašanai. Tādējādi, ja jūs ne pārāk labi lietojat funkciju atvasinājumus vai daži šī raksta punkti nav pilnīgi skaidri, vispirms izlasiet iepriekš minēto nodarbību. Lūdzu, noskaņojieties nopietni - materiāls nav vienkāršs, bet es tomēr centīšos to pasniegt vienkārši un skaidri.
Praksē ar sarežģītas funkcijas atvasinājumu nākas saskarties ļoti bieži, es pat teiktu, gandrīz vienmēr, kad tiek doti uzdevumi atrast atvasinājumus.
Mēs aplūkojam tabulu pie noteikuma (Nr. 5) sarežģītas funkcijas diferencēšanai:
Izdomāsim. Vispirms pievērsīsim uzmanību ierakstam. Šeit mums ir divas funkcijas – un , un funkcija, tēlaini izsakoties, ir ligzdota funkcijā . Šāda veida funkciju (kad viena funkcija ir ligzdota citā) sauc par komplekso funkciju.
Es izsaukšu funkciju ārējā funkcija un funkcija – iekšējā (vai ligzdotā) funkcija.
! Šīs definīcijas nav teorētiskas, un tām nevajadzētu parādīties uzdevumu galīgajā noformējumā. Es lietoju neformālus izteicienus “ārējā funkcija”, “iekšējā” funkcija tikai tāpēc, lai jums būtu vieglāk saprast materiālu.
Lai noskaidrotu situāciju, apsveriet:
1. piemērs
Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Zem sinusa mums ir ne tikai burts “X”, bet visa izteiksme, tāpēc atvasinājuma atrašana uzreiz no tabulas nedarbosies. Mēs arī pamanām, ka šeit nav iespējams piemērot pirmos četrus noteikumus, šķiet, ka ir atšķirība, taču fakts ir tāds, ka sinusu nevar “salauzt gabalos”:
Šajā piemērā no maniem paskaidrojumiem jau intuitīvi ir skaidrs, ka funkcija ir sarežģīta funkcija, bet polinoms ir iekšējā funkcija (iegulšana) un ārējā funkcija.
Pirmais solis kas jums jādara, atrodot sarežģītas funkcijas atvasinājumu, ir saprast, kura funkcija ir iekšēja un kura ir ārēja.
Vienkāršu piemēru gadījumā šķiet skaidrs, ka polinoms ir iegults zem sinusa. Bet ko darīt, ja viss nav acīmredzams? Kā precīzi noteikt, kura funkcija ir ārēja un kura iekšēja? Lai to izdarītu, es iesaku izmantot šādu paņēmienu, ko var izdarīt garīgi vai melnrakstā.
Iedomāsimies, ka mums ir jāizmanto kalkulators, lai aprēķinātu izteiksmes vērtību pie (viena vietā var būt jebkurš skaitlis).
Ko mēs aprēķināsim vispirms? Pirmkārt jums būs jāveic šāda darbība: , tāpēc polinoms būs iekšēja funkcija: 
Otrkārt būs jāatrod, tātad sinuss – būs ārēja funkcija: 
Pēc tam, kad mēs IZPĀRDOTS ar iekšējām un ārējām funkcijām ir pienācis laiks piemērot sarežģītu funkciju diferenciācijas likumu 
.
Sāksim lemt. No nodarbības Kā atrast atvasinājumu? mēs atceramies, ka jebkura atvasinājuma risinājuma izstrāde vienmēr sākas šādi - izteiksmi ievietojam iekavās un augšējā labajā stūrī ievietojam insultu:
Sākumā atrodam ārējās funkcijas atvasinājumu (sinusu), apskatām elementāro funkciju atvasinājumu tabulu un pamanām, ka . Visas tabulas formulas ir piemērojamas arī tad, ja “x” tiek aizstāts ar sarežģītu izteiksmi, šajā gadījumā:
Lūdzu, ņemiet vērā, ka iekšējā funkcija nav mainījies, mēs to neaiztiekam.
Nu, tas ir pilnīgi skaidrs
Formulas piemērošanas rezultāts 
galīgajā formā tas izskatās šādi:
Pastāvīgais koeficients parasti tiek ievietots izteiksmes sākumā:
Ja rodas kāds pārpratums, pierakstiet risinājumu uz papīra un vēlreiz izlasiet paskaidrojumus.
2. piemērs
Atrodiet funkcijas atvasinājumu
3. piemērs
Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Kā vienmēr, mēs pierakstām: 
Noskaidrosim, kur mums ir ārēja funkcija un kur iekšēja. Lai to izdarītu, mēs mēģinām (garīgi vai melnrakstā) aprēķināt izteiksmes vērtību pie . Kas jums jādara vispirms? Pirmkārt, jums jāaprēķina, ar ko ir vienāda bāze: tāpēc polinoms ir iekšējā funkcija: 
Un tikai pēc tam tiek veikta eksponēšana, tāpēc jaudas funkcija ir ārēja funkcija: 
Pēc formulas 
, vispirms jāatrod ārējās funkcijas atvasinājums, šajā gadījumā pakāpe. Tabulā meklējam nepieciešamo formulu: . Mēs atkārtojam vēlreiz: jebkura tabulas formula ir derīga ne tikai “X”, bet arī sarežģītai izteiksmei. Tādējādi sarežģītas funkcijas diferencēšanas noteikuma piemērošanas rezultāts 
nākamais:
Es vēlreiz uzsveru, ka, ņemot ārējās funkcijas atvasinājumu, mūsu iekšējā funkcija nemainās: 
Tagad atliek tikai atrast ļoti vienkāršu iekšējās funkcijas atvasinājumu un nedaudz pielāgot rezultātu:
4. piemērs
Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Šis ir piemērs, kas jārisina pašam (atbilde nodarbības beigās).
Lai nostiprinātu jūsu izpratni par sarežģītas funkcijas atvasinājumu, es sniegšu piemēru bez komentāriem, mēģiniet to izdomāt pats, pamatojiet, kur ir ārējā un kur iekšējā funkcija, kāpēc uzdevumi tiek risināti šādi?
5. piemērs
a) Atrodiet funkcijas atvasinājumu
b) Atrodiet funkcijas atvasinājumu
6. piemērs
Atrodiet funkcijas atvasinājumu 
Šeit mums ir sakne, un, lai atšķirtu sakni, tā ir jāattēlo kā spēks. Tādējādi vispirms mēs ievedam funkciju diferencēšanai piemērotā formā:
Analizējot funkciju, mēs nonākam pie secinājuma, ka trīs terminu summa ir iekšēja funkcija, bet paaugstināšana līdz pakāpei ir ārēja funkcija. Mēs piemērojam sarežģītu funkciju diferenciācijas likumu 
:
Mēs atkal attēlojam pakāpi kā radikāli (sakni), un iekšējās funkcijas atvasinājumam mēs izmantojam vienkāršu noteikumu summas diferencēšanai:
Gatavs. Varat arī samazināt izteiksmi līdz kopsaucējam iekavās un pierakstīt visu kā vienu daļskaitli. Tas, protams, ir skaisti, bet, ja iegūstat apgrūtinošus garus atvasinājumus, labāk to nedarīt (ir viegli apjukt, pieļaut nevajadzīgu kļūdu, un skolotājam to būs neērti pārbaudīt).
7. piemērs
Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Šis ir piemērs, kas jārisina pašam (atbilde nodarbības beigās).
Interesanti atzīmēt, ka dažreiz kompleksas funkcijas diferencēšanas noteikuma vietā varat izmantot koeficienta diferencēšanas noteikumu. 
, taču šāds risinājums izskatīsies pēc neparastas perversijas. Šeit ir tipisks piemērs:
8. piemērs
Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Šeit var izmantot koeficienta diferenciācijas likumu 
, taču daudz izdevīgāk ir atrast atvasinājumu, izmantojot sarežģītas funkcijas diferenciācijas likumu:
Sagatavojam funkciju diferencēšanai - izņemam mīnusu no atvasinājuma zīmes un paaugstinām kosinusu skaitītājā:
Kosinuss ir iekšēja funkcija, kāpināšana ir ārēja funkcija.
Izmantosim mūsu noteikumu 
:
Mēs atrodam iekšējās funkcijas atvasinājumu un atiestatām kosinusu atpakaļ uz leju:
Gatavs. Aplūkotajā piemērā ir svarīgi neapjukt zīmēs. Starp citu, mēģiniet to atrisināt, izmantojot noteikumu 
, atbildēm ir jāsakrīt.
9. piemērs
Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Šis ir piemērs, kas jārisina pašam (atbilde nodarbības beigās).
Līdz šim mēs esam izskatījuši gadījumus, kad sarežģītā funkcijā mums bija tikai viena ligzda. Praktiskajos uzdevumos nereti var atrast atvasinājumus, kur, tāpat kā ligzdošanas lellēm, viena otrā iekšā ligzdo uzreiz 3 vai pat 4-5 funkcijas.
10. piemērs
Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Izpratīsim šīs funkcijas pielikumus. Mēģināsim aprēķināt izteiksmi, izmantojot eksperimentālo vērtību. Kā mēs rēķināmies ar kalkulatoru?
Vispirms jums ir jāatrod , kas nozīmē, ka arksīns ir dziļākā iegulšana:
Pēc tam šis arksinuss ir jāizliek kvadrātā:
Un visbeidzot mēs paaugstinām septiņus līdz jaudām: 
Tas ir, šajā piemērā mums ir trīs dažādas funkcijas un divas iegulšanas, savukārt iekšējā funkcija ir arcsinuss, bet ārējā funkcija ir eksponenciālā funkcija.
Sāksim lemt
Saskaņā ar noteikumu 
Vispirms jums jāņem ārējās funkcijas atvasinājums. Mēs skatāmies uz atvasinājumu tabulu un atrodam eksponenciālās funkcijas atvasinājumu: Vienīgā atšķirība ir tā, ka “x” vietā mums ir sarežģīta izteiksme, kas nenoliedz šīs formulas derīgumu. Tātad sarežģītas funkcijas diferencēšanas noteikuma piemērošanas rezultāts 
nākamais.