Zināšanas par Zemes formu un izmēru ir nepieciešamas daudzās zinātnes un tehnikas jomās un galvenokārt pareizai attēlošanai zemes virsma plānu un karšu veidā.
Zemes fiziskā virsma sastāv no 24,4% zemes virsmas un 70,6% ūdens virsmas, kas tiek uzskatīta par mierīgu.
Zeme nav regulārs ģeometrisks ķermenis. Tās virsma un it īpaši zemes virsma ir ļoti sarežģīta, un to nevar izteikt ne ar vienu matemātisku formulu.
Priekšstatu par Zemes figūru kopumā var iegūt, iedomājoties, ka visu planētu mierīgā stāvoklī ierobežo garīgi paplašinātā okeānu virsma. Šāda slēgta virsma katrā punktā ir perpendikulāra svērtenei, t.i., gravitācijas virzienam. Viņi viņu sauc līdzenu virsmu.
Līmeņa virsma ir izliekta virsma, kas ir perpendikulāra gravitācijas virzienam (svērtenis).
Var iedomāties daudzas līdzenas virsmas, kas iet apkārt Zemei. Tiek saukts tas, kas sakrīt ar pasaules okeāna vidējo ūdens līmeni, kas garīgi turpinās zem zemes ģeoīda virsma, un tā ierobežotais ķermenis - ģeoīds.
Par Zemes matemātisko virsmu uzskata līdzenu virsmu, kuras katrā punktā sakrīt svērtenes (gravitācijas) virziens un norma.
Sakarā ar masu nevienmērīgo sadalījumu Zemes iekšienē, ģeoīdam nav regulāras ģeometriskas formas un tā virsmu nav iespējams izteikt matemātiski, tāpēc praktiskiem aprēķiniem tas tiek aizstāts ar vienkāršākiem ģeometriskiem modeļiem. No tiem tas ir vistuvāk ģeoīdam sferoīds vai revolūcijas elipsoīds, kas iegūts, pagriežot elipsi ap tās mazo (polāro) asi.
Elipsoīda izmērus raksturo tā daļēji galvenās ass garums A un mazā ass b, kā arī saspiešana, ko nosaka pēc formulas:
Pēdējo divu gadsimtu laikā zinātnieki vairākkārt ir noteikuši Zemes elipsoīda izmēru. Visveiksmīgākais Zemes matemātiskais modelis tika piedāvāts 1946. gadā. prof. Krasovskis formā atsauces elipsoīds.
Daļēji galvenā ass a= 6 378 245 m;
Daļēji mazā ass b=6 356 863 m.
Saspiešana = 1:298,3=0,0033523299.
Krasovska elipsoīds ir figūra, kas iegūta, pagriežot elipsi ap tās mazo asi. Zeme ir saplacināta pie poliem ietekmes dēļ centrbēdzes spēks, kas rodas, kad zeme griežas ap savu asi.
Praktiskajos aprēķinos Zeme tiek uzskatīta par sfēru ar vidējo rādiusu R = 6371,11 km. Nelielu Zemes virsmas laukumu praktiski var uzskatīt par horizontālu plakni, lielāku laukumu - par sfēras daļu.
Krievijā Baltijas augstuma sistēma, mērot no līmeņa, tiek pieņemta kā līdzena virsma Baltijas jūra(Kronštates pēda).
Ģeoīds, kvaziģeoīds un vispārējais zemes elipsoīds ir trīs Zemes modeļi. Sniegsim viņu definīcijas no mūsdienu priekšstatu viedokļa par Zemes figūru.
Zem Zemes figūraŠobrīd viņi saprot skaitli, ko ierobežo Zemes fiziskā virsma, t.i. tās cietā apvalka virsma uz sauszemes un jūru un okeānu neskartā virsma.
Zeme veido trešo daļu no zemes virsmas un vidēji tā paceļas virs ūdens par aptuveni 900 metriem, kas ir niecīgi, salīdzinot ar Zemes rādiusu (6371 km). Tāpēc kā pirmo tuvinājumu ģeoīds tiek ņemts par Zemes figūru.
Sniegsim divas ģeoīda definīcijas:
1. Stingrs: Ģeoīds ir Zemes gravitācijas lauka līdzena virsma, kas iet caur augstuma skaitīšanas sākumu.
2. Nav stingri: Ģeoīds ir figūra, ko ierobežo jūru un okeānu neskartā virsma un kas stiepjas zem kontinentiem tā, ka svērtās līnijas visos tā punktos ir tai perpendikulāras.
Vairāk nekā simts gadus, tas ir, no pagājušā gadsimta pirmās puses, mērnieki un ģeofiziķi pētīja ģeoīda figūru un uzskatīja to par augstākās ģeodēzijas galveno zinātnisko uzdevumu. Pagājušā gadsimta vidū padomju zinātnieks Molodenskis pierādīja, ka ģeoīda figūra, stingri ņemot, ir nenosakāma. Viņš ierosināja, ka augstākās ģeodēzijas galvenais uzdevums ir reālās Zemes figūras un tās gravitācijas lauka izpēte. Molodenskis radīja teoriju, kas ļauj precīzi noteikt Zemes figūru, pamatojoties uz mērījumiem, kas veikti uz zemes virsmas, neiesaistot nekādas hipotēzes par tās iekšējo uzbūvi.
Molodenska teorijā virsma tiek ieviesta kā palīgviela kvazigeoīds, kas sakrīt ar ģeoīdu okeānos un jūrās un ļoti maz atkāpjas no ģeoīda virsmas uz sauszemes (mazāk nekā 2 m) .
Atšķirībā no ģeoīda, kvaziģeoīda virsmu var stingri noteikt pēc uz zemes veikto novērojumu rezultātiem.
Ar koncepciju zemes elipsoīds mēs jau esam saskārušies, aplūkojot augstākās ģeodēzijas galveno zinātnisko problēmu, ka zemes elipsoīda virsma ir matemātiski un ģeometriski vienkārša virsma, uz kuras var atrisināt koordinācijas punktu ģeodēziskās problēmas uz zemes virsmas un kura ir pietiekami tuvu zemes virsmai. zeme. Zemes elipsoīds ir revolūcijas elipsoīds ar zemu polāro kompresiju. Tās virsmu var iegūt, pagriežot puselipses PEP 1 ap tās mazāko asi PP 1 (1.2. attēls).
Rīsi. 1.2. Zemes elipsoīda jēdzienam: - puslielākā ass; b- mazā ass.
Zemes elipsoīda virsma ģeodēzijā tiek ņemta par atskaites virsmu, nosakot punktu augstumus uz pētāmās Zemes figūras virsmas attiecībā pret to.
Zemes elipsoīda formu un izmērus raksturo galvenās un mazās pusass un b, un biežāk ar puslielo asi un polāro saspiešanu
(1.1)
vai meridiāna elipses puslielākā ass un ekscentricitāte:
(1.2)
Tiek saukts elipsoīds, kuram ir vislielākais tuvums Zemes figūrai kopumā parastās zemes elipsoīds .
Vispārējā zemes elipsoīda parametri tiek noteikti šādos apstākļos:
1) elipsoīda centram jāsakrīt ar Zemes masas centru, bet tā mazajai asij - ar Zemes rotācijas asi;
2) elipsoīda tilpumam jābūt vienādam ar ģeoīda (kvaziģeoīda) tilpumu;
3) elipsoīda virsmas augstuma noviržu kvadrātā no ģeoīda (kvaziģeoīda) virsmas summai jābūt minimālai.
Zemes elipsoīda parametrus var iegūt, izmantojot t.s grādu mērījumi, kas sastāv no triangulācijas rindu izkārtojuma meridiānu un paralēlu virzienos dažādos platuma grādos ar astronomisko platumu, garuma un malu azimutu noteikšanu gala punktos, kā arī pamatojoties uz satelītnovērojumu rezultātiem.
Jau pusotru gadsimtu dažādu valstu zinātnieki, izmantojot sev pieejamos grādu mērījumu rezultātus, nosaka zemes elipsoīda parametrus. Šo definīciju rezultāts ir vairāku elipsoīdu parādīšanās.
Katra valsts kā strādnieku pieņem tās teritorijai vispiemērotāko elipsoīdu. Saskaņā ar šo kritēriju tiek veikta arī tā orientācija uz Zemes ķermeni, t.i. sākuma punkta koordināšu noteikšana. Šādi darba elipsoīdi izmantoti dažādās valstīs, tiek saukti atsauce - elipsoīdi. PSRS un vairākās Austrumeiropas valstīs tika pieņemta atsauce - Krasovska elipsoīds, 1940. Krasovska elipsoīds ir visprecīzākais no visiem elipsoīdiem, kas iegūti, apstrādājot zemes mērījumus. Tās izmēri ir tuvi OSE izmēriem, kas iegūti no satelītnovērošanas datiem.
5. Augstākās ģeodēzijas galvenie posmi; disciplīnas saistība ar citām zinātnēm
Augstākā ģeodēzija ir plašs zināšanu lauks. Tas sastāv no vairākām lielām sadaļām, no kurām dažas, detalizēti aplūkojot, ir neatkarīgas disciplīnas. Uzskaitīsim galvenās augstākās ģeodēzijas sadaļas.
1.Ģeodēziskie pamatdarbi. Šajā sadaļā aplūkotas metodes, kā precīzi noteikt punktu relatīvo stāvokli uz zemes virsmas, veicot augstas precizitātes leņķiskos, lineāros un nivelēšanas mērījumus (trijstūri, poligonometriju un nivelēšanu); galvenā koordinātu līnija, attiecībā pret kuru tiek veikti šie mērījumi, ir svērtā līnija.
2. Ģeodēziskā gravimetrija: apskata metodes gravitācijas paātrinājuma mērīšanai zemes virsmas punktos, kā arī metodes gravitācijas lauka neviendabīguma ņemšanai vērā ģeodēzisko mērījumu rezultātos.
3. Ģeodēziskā astronomija: pēta metodes platuma, garuma un azimuta noteikšanai no debess ķermeņu novērojumiem.
4. Kosmosa vai satelīta ģeodēzija: atrisina tās pašas problēmas kā augstākā ģeodēzija, bet ar mākslīgo zemes pavadoņu novērojumu palīdzību.
5. Sferoidālā ģeodēzija: apskata metodes ģeodēzisko uzdevumu risināšanai uz zemes elipsoīda virsmas.
6. Teorētiskā ģeodēzija: izstrādā teorijas un metodes ģeodēzijas galvenās zinātniskās problēmas - Zemes figūras un ārējā gravitācijas lauka noteikšanas - un to izmaiņu risināšanai laika gaitā.
Savos pētījumos augstākā ģeodēzija plaši izmanto jaunākie sasniegumi fizika, matemātika, astronomija. Izstrādājot augstas precizitātes mēraparatūru - lietišķo optiku, precīzās mērierīces, lāzertehnoloģiju u.c. Matemātiski apstrādājot mērījumu rezultātus, tiek izmantota varbūtību teorija, matemātiskā statistika un metodes. mazākie kvadrāti. Visi aprēķini tiek veikti jaunākajos datoros. Zinātnisko ģeodinamisko problēmu risināšanai nepieciešama cieša saikne starp augstāko ģeodēziju un ģeoloģiju, ģeotektoniku, ģeofiziku, seismoloģiju u.c.
6.Pamata Augstākajā ģeodēzijā izmantotās koordinātu sistēmas. Jēdziens par ģeodēziskās un astronomiskās koordinātas un azimuti
Augstākajā ģeodēzijā tiek izmantotas šādas koordinātu sistēmas:
1. Ģeodēziskā koordinātu sistēma.
2. Taisnstūra telpisko koordinātu sistēma.
3. Plakano taisnstūra koordinātu sistēma.
4. Taisnstūra taisnstūrveida koordinātu sistēma X, y, kas saistīts ar noteiktā punkta meridiāna plakni.
5. Ģeocentriskā koordinātu sistēma.
6. Koordinātu sistēma ar samazinātu platumu un ģeodēzisko garumu.
7. Taisnstūra sfērisko koordinātu sistēma.
Ģeodēziskā darba praksē visbiežāk tiek izmantotas pirmās trīs no uzskaitītajām koordinātu sistēmām, kuras mēs apsvērsim sīkāk.
| N |
| E′ |
| E |
Rīsi. 2.1. Ģeodēziskās koordinātas IN, L, N punkti uz zemes virsmas M.
PE 0 P" -
РmР" - vietējā ģeodēziskā meridiāna plakne (novilkta caur reljefa punktu M(m).
Мmn ir elipsoīda norma, kas nolaista no punkta M.
Ģeodēziskais platums punktus M(m) sauc par akūtu leņķi IN starp ekvatoriālo plakni E un normāli (Mmn) uz elipsoīda virsmu noteiktā punktā.
Ģeodēziskais platums svārstās no 0 0 līdz 90 0. Tam ir pozitīva zīme ziemeļu puslodē un negatīva zīme dienvidu puslodē.
Ģeodēziskais garumsL punktus M(m) sauc par divšķautņu leņķi Рm E 0 starp plakni PE 0 P" Griničas (sākotnējais) meridiāns un plakne PmP" lokālais ģeodēziskais meridiāna punkts M(m). Garuma grādus mēra no galvenā meridiāna un svārstās no 0 0 līdz 360 0. Krievijā un Baltkrievijā no rietumiem uz austrumiem, dažās valstīs ir otrādi.
Ģeodēziskais augstums punktus M apgabalu sauc par attālumu mmšis punkts no atskaites elipsoīda virsmas, mērot gar normālu.
Punktiem, kas atrodas virs elipsoīda virsmas, ir pozitīvi augstumi, zemāk - negatīvi.
Ģeodēziskās koordinātas nevar tieši izmērīt.
Astronomiskās koordinātas ko raksturo astronomiskais platums un astronomiskais garums l.
| m |
| g |
| K |
Rīsi. 2.2. Astronomiskās koordinātas un l punkti uz zemes virsmas M.
EE 0 - zemes ekvatora plakne;
PE 0 E" - Griničas plakne vai primārais meridiāns;
R 1 m P 1 " - vietējā astronomiskā meridiāna plakne.
M mg ir svērtā līnija, kas iet caur punktu M.
Astronomiskais platums punktus M(m) sauc par akūtu leņķi starp Zemes ekvatora plakni E un svērteni Mmgšajā brīdī.
Astronomiskais platums svārstās no 0 0 līdz 90 0. Tam ir pozitīva zīme ziemeļu puslodē un negatīva zīme dienvidu puslodē.
Astronomiskais garums punktus M(m) sauc par divskaldņu leņķi starp plakni PE 0 P" Griničas (sākotnējais) meridiāns un dotā punkta astronomiskā meridiāna plakne. Zem plaknes astronomiskais meridiāns punkti saprot plakni, kas iet cauri svērteni (Mmg) dotajā punktā un taisnē, kas ir paralēla Zemes rotācijas asij (vispārējā gadījumā astronomiskā meridiāna plakne neiet cauri Zemes poliem).
Sākotnēji Zemi var uzskatīt par sfēru. Otrajā tuvinājumā Zeme tiek uzskatīta par revolūcijas elipsoīdu; dažos pētījumos to uzskata par biaksiālu elipsoīdu. ģeoīds-ķermenis, kas pieņemts kā teorētiska Zemes figūra, kuru ierobežo okeānu virsma to mierīgā stāvoklī, turpinājās zem kontinentiem Nevienmērīgā masu sadalījuma dēļ zemes garozā ģeoīdam ir neregulāra ģeometriskā forma, un tā. matemātiski nevar izteikt virsmu, kas nepieciešams ģeodēzisko uzdevumu risināšanai. Risinot ģeodēziskus uzdevumus, ģeoīds tiek aizstāts ar ģeometriski regulārām virsmām, kas atrodas tuvu tam. Tātad aptuveniem aprēķiniem Zeme tiek ņemta par sfēru ar rādiusu 6371 km. Elipsoīds pietuvojas ģeoīda formai - figūrai, kas iegūta, pagriežot elipsi (2.1. att.) ap savu mazo asi. Zemes elipsoīda izmērus raksturo šādi pamatparametri: a- daļēji lielākā ass, b puslielā ass, polārā kompresija un e– meridiāna elipses pirmā ekscentricitāte, kur un.
Izšķir parasto zemes elipsoīdu un atsauces elipsoīdu.
Centrs parastās zemes elipsoīds novietots Zemes masas centrā, rotācijas ass ir saskaņota ar vidējo Zemes rotācijas asi, un izmēri ir ņemti tā, lai nodrošinātu vislielāko elipsoīda virsmas tuvumu ģeoīda virsmai. Vispārējo zemes elipsoīdu izmanto globālo ģeodēzisko problēmu risināšanā un jo īpaši satelītu mērījumu apstrādē. Pašlaik plaši tiek izmantoti divi globālie elipsoīdi: PZ-90 (Zemes parametri 1990, Krievija) un WGS-84 (World Geodetic System 1984, ASV).
Atsauces elipsoīds– elipsoīds, kas pieņemts ģeodēziskajiem darbiem konkrētā valstī. Valstī pieņemtā koordinātu sistēma ir saistīta ar atsauces elipsoīdu. Atsauces elipsoīda parametri tiek izvēlēti saskaņā ar nosacījumu, ka Zemes virsmas daļa ir vislabākā aproksimācija. Šajā gadījumā elipsoīda un Zemes centri nav saskaņoti.
Krievijā kopš 1946. gada tiek izmantots atsauces elipsoīds Krasovska elipsoīds ar parametriem: A= 6 378 245 m, a = 1/298,3.
2. Koordinātu sistēmas ģeodēzijā. Absolūtie un relatīvie augstumi.
Ģeodēzijā izmantotās koordinātu sistēmas
Punktu novietojuma noteikšanai ģeodēzijā tiek izmantotas telpiskās taisnstūra, ģeodēziskās un plakanas taisnstūra koordinātas.
Telpiskās taisnstūra koordinātas. Koordinātu sistēmas izcelsme atrodas centrā O zemes elipsoīds (2.2. att.).
Ass Z vērsta pa elipsoīda rotācijas asi uz ziemeļiem. Ass X atrodas ekvatoriālās plaknes krustpunktā ar Griničas galveno meridiānu. Ass Y vērsta perpendikulāri asīm Z Un X uz austrumiem.
Ģeodēziskās koordinātas. Punkta ģeodēziskās koordinātas ir tā platums, garums un augstums (2.2. att.).
Ģeodēziskais platums punktusM sauc par leņķi IN, ko veido elipsoīda virsmas normāls, kas iet caur noteiktu punktu un ekvatoriālo plakni.
Platums tiek mērīts no ekvatora uz ziemeļiem un dienvidiem no 0 līdz 90 un tiek saukts par ziemeļiem vai dienvidiem. Ziemeļu platums tiek uzskatīts par pozitīvu, bet dienvidu platums ir negatīvs.
Elipsoīda šķērsplaknes, kas iet caur asi OZ, tiek saukti ģeodēziskie meridiāni.
Ģeodēziskais garums punktus M sauc par divšķautņu leņķi L, ko veido sākotnējā (Grinvičas) ģeodēziskā meridiāna plaknes un dotā punkta ģeodēziskais meridiāns.
Garumu mēra no galvenā meridiāna diapazonā no 0 līdz 360 austrumiem vai no 0 līdz 180 austrumiem (pozitīvs) un no 0 līdz 180 rietumiem (negatīvs).
Ģeodēziskā punkta augstums M ir tā augstums N virs zemes elipsoīda virsmas.
Ģeodēziskās koordinātas un telpiskās taisnstūra koordinātas ir saistītas ar formulām
X =(N+H) cos B cos L, Y=(N+H) cos B grēks L, Z=[(1 e 2 )N+H] grēks B,
Kur emeridiāna elipses pirmā ekscentricitāte un N pirmās vertikāles izliekuma rādiuss. Tajā pašā laikā N= a/ (1e 2 grēks 2 B) 1/2. Punktu ģeodēziskās un telpiskās taisnstūra koordinātas nosaka, izmantojot satelīta mērījumus, kā arī sasaistot tās ar ģeodēziskajiem mērījumiem ar punktiem ar zināmām koordinātām. Ņemiet vērā, ka līdzās ģeodēzijai ir arī astronomiskais platums un garums. Astronomiskais platumstas ir leņķis, ko noteiktā punktā veido svērtā līnija ar ekvatora plakni. Astronomiskais garums – leņķis starp Griničas meridiāna plaknēm un astronomisko meridiānu, kas iet caur svērteni noteiktā punktā. Astronomiskās koordinātas tiek noteiktas uz zemes no astronomiskajiem novērojumiem Astronomiskās koordinātas atšķiras no ģeodēziskajām koordinātām, jo svērto līniju virzieni nesakrīt ar normālu virzieniem uz elipsoīda virsmu. Leņķi starp normāles virzienu uz elipsoīda virsmu un svērteni noteiktā zemes virsmas punktā sauc svērtenes novirze.
Ģeodēzisko un astronomisko koordinātu vispārinājums ir termins - ģeogrāfiskās koordinātas.
Plaknes taisnstūra koordinātas. Inženierģeodēzijas problēmu risināšanai tās pāriet no telpiskajām un ģeodēziskajām koordinātām uz vienkāršākām - plakanām koordinātām, kas ļauj attēlot reljefu plaknē un noteikt punktu atrašanās vietu, izmantojot divas koordinātas. X Un plkst.
Tā kā Zemes izliekto virsmu nevar attēlot plaknē bez kropļojumiem, plakano koordinātu ieviešana ir iespējama tikai ierobežotās vietās, kur izkropļojumi ir tik mazi, ka tos var atstāt novārtā. Krievijā ir pieņemta taisnstūra koordinātu sistēma, kuras pamatā ir vienādstūra šķērsvirziena cilindriskā Gausa projekcija. Elipsoīda virsma ir attēlota plaknē daļās, ko sauc par zonām. Zonas ir sfēriski trīsstūri, ko ierobežo meridiāni un kas stiepjas no ziemeļpols uz dienvidiem (2.3. att.).
Zonas izmērs garuma grādos ir 6. Katras zonas centrālo meridiānu sauc par aksiālo meridiānu. Zonas ir numurētas no Griničas uz austrumiem. Garums aksiālais meridiāns
zonas numurs N ir vienāds ar:
0 = 6 N 3 . Zonas aksiālais meridiāns un ekvators plaknē attēloti ar taisnām līnijām (2.4. att.). Aksiālais meridiāns tiek ņemts par abscisu asi x y. , un ekvators atrodas aiz ordinātu ass O Viņu krustojums (punkts
) kalpo par šīs zonas koordinātu sākumpunktu. Zonas aksiālais meridiāns un ekvators plaknē attēloti ar taisnām līnijām (2.4. att.). Aksiālais meridiāns tiek ņemts par abscisu asi 0 = 0, y Lai izvairītos no negatīvām ordinātu vērtībām, krustojuma koordinātas tiek uzskatītas par tādām X 0 = 500 km, kas ir līdzvērtīgs ass pārvietojumam
500 km uz rietumiem. y Lai pēc punkta taisnstūra koordinātām varētu spriest, kurā zonā tas atrodas, uz ordinātām
pa kreisi tiek piešķirts koordinātu zonas numurs. Pieņemsim, piemēram, punkta koordinātas A
Zonas aksiālais meridiāns un ekvators plaknē attēloti ar taisnām līnijām (2.4. att.). Aksiālais meridiāns tiek ņemts par abscisu asi Pieņemsim, piemēram, punkta koordinātas ir šāda forma: y Pieņemsim, piemēram, punkta koordinātas= 6 276 427 m,
= 12 428 566 m Pieņemsim, piemēram, punkta koordinātasŠīs koordinātas norāda, ka punkts y atrodas 6276427 m attālumā no ekvatora, rietumu daļā (
500 km) no 12. koordinātu zonas, 500 000 428566 = 71434 m attālumā no aksiālā meridiāna. Telpiskām taisnstūra, ģeodēziskām un plakanām taisnstūra koordinātām Krievijā ir pieņemta vienota koordinātu sistēma SK-95, kas fiksēta uz zemes ar valsts ģeodēziskā tīkla punktiem un uzbūvēta saskaņā ar satelīta un zemes mērījumiem no 1995.
Augstuma sistēmas Augstumus inženierģeodēzijā aprēķina no vienas no līdzenajām virsmām. Punkta augstums
izsauciet attālumu pa svērteni no punkta līdz līdzenai virsmai, ko uzskata par augstuma aprēķināšanas sākumu. Augstums ir absolūts, ja tos mēra no galvenās līmeņa virsmas, tas ir, no ģeoīda virsmas. Attēlā 2,5 svērto līniju segmenti Ahh Un Vv Pieņemsim, piemēram, punkta koordinātas Un IN.
- punktu absolūtie augstumi Augstumus sauc par nosacījumiem, ja tos mēra no galvenās līmeņa virsmas, tas ir, no ģeoīda virsmas. Attēlā 2,5 svērto līniju segmenti ja par augstumu aprēķina sākumpunktu ir izvēlēta kāda cita līdzena virsma. Attēlā 2,5 svērteni segmenti Un Un Pieņemsim, piemēram, punkta koordinātas Un IN.
- nosacīti punktu augstumi Pieņemts Krievijā Baltijas augstumu sistēma. Absolūtos augstumus aprēķina no līdzenas virsmas. augstumus parasti sauc atzīme. Piemēram, ja punkta augstums Pieņemsim, piemēram, punkta koordinātas vienāds ar H Pieņemsim, piemēram, punkta koordinātas= 15,378 m, tad sakām, ka punkta augstums ir 15,378 m.
Divu punktu augstuma starpību sauc pārsniedzot. Tātad, pārsniedzot punktu IN virs punkta Pieņemsim, piemēram, punkta koordinātas vienāds
h AB = H IN H A .
Zinot punkta augstumu Pieņemsim, piemēram, punkta koordinātas, lai noteiktu punkta augstumu IN pārsniegums tiek mērīts uz zemes h AB. Punkta augstums IN aprēķina pēc formulas
H IN = H A + h AB .
Tiek saukta paaugstinājumu mērīšana un sekojoša punktu augstuma aprēķināšana izlīdzināšana.
Punkta absolūtais augstums ir jānošķir no tā ģeodēziskais augstums, tas ir, augstums, ko mēra no zemes elipsoīda virsmas (sk. 2.2. sadaļu). Ģeodēziskais augstums atšķiras no absolūtā augstuma ar ģeoīda virsmas novirzes lielumu no elipsoīda virsmas.
§ 1. Zemes figūra un izmēri
Daudzi pētījumi un mērījumi ir atklājuši, ka Zemei ir matemātiski neregulāra ķermeņa forma, ko sauc par ģeoīdu. Ģeoīdu veidojošā virsma, atšķirībā no Zemes fiziskās virsmas ar tās nelīdzenumiem (kalniem, ieplakām utt.), visos tās punktos ir horizontāla, tas ir, tā sakrīt ar gravitācijas virziena normālu un ir noteikta. kā līdzenu virsmu. Dabā šāda līdzena virsma sakrīt ar vidējo ūdens līmeni okeānos un atklātās jūrās mierīgā stāvoklī (ja nav viļņu, straumju, plūdmaiņu un citu traucējošu faktoru), garīgi izstiepts zem visiem kontinentiem. Ģeoīda nelīdzenumu izraisa nevienmērīgais masu sadalījums Zemes biezumā, kura pievilcīgā darbība nosaka gravitācijas virzienu.
Teorētiskie pētījumi un astronomiski ģeodēzisko un gravimetrisko mērījumu apstrādes rezultāti, kā arī mākslīgo Zemes pavadoņu novērojumu rezultāti liecina, ka ģeoīds ir tuvu matemātiski pareizam skaitlim - apgriezienu elipsoīdam, kas veidojas, elipsei griežoties ap tās mazā ass. Tāpēc, veicot ģeodēziskus, kartogrāfiskus un citus darbus, kuriem nepieciešama augsta precizitāte, par Zemes figūru tiek ņemts rotācijas elipsoīds.
Ģeoīda virsmas augstuma novirze no zemes elipsoīda virsmas, kas pieņemta PSRS un ir pareizi izvēlēta pēc izmēra un orientēta uz Zemes ķermeni, praktiski nepārsniedz 100-150 m identificēts ar sferoīdu, kas attēlo rotējošas viendabīgas šķidruma masas līdzsvara figūru. Apgriezienu elipsoīda un sferoīda virsmu augstuma novirze nepārsniedz 2-3 m.
Zemes elipsoīda izmēru noteikšana, kam ir vislielākais tuvums Zemes figūrai kopumā, joprojām ir viens no augstākās ģeodēzijas galvenajiem uzdevumiem. Tāpēc dažādās valstīs ģeodēzisko un topogrāfisko darbu rezultātu apstrādi sauc par matemātisku palīgvirsmu, kas attēlo zemes elipsoīdu ar konkrētai valstij pieņemtiem izmēriem. Elipsoīdu ar noteiktiem izmēriem, uz kura virsmu attiecas visi ģeodēziskā un topogrāfiskā darba rezultāti stāvoklī, sauc par atskaites elipsoīdu.
Galvenie elementi, kas nosaka zemes elipsoīda izmērus, ir tā pusasis: lielākā a un mazā b. Turklāt, lai raksturotu zemes elipsoīdu, kā arī dažiem aprēķiniem, tiek izmantoti šādi jēdzieni: zemes elipsoīda polārā kompresija α, kas izteikta ar formulu
α = a - b / a, (1 formula)
un tā ekscentriskums (e), ko nosaka izteiksme
e = √ a 2 - b 2 / a (2. formula)
Kopš 1946. gada visiem ģeodēziskajiem un kartogrāfiskajiem darbiem PSRS teritorijā ir pieņemts F. N. Krasovska atsauces elipsoīds ar izmēriem:
- puslielākā ass a = 6 378 245 m;
- pusmazā ass b = 6 356 863 m;
- polārā kompresija α = 1:298,3;
- ekscentricitātes kvadrāts e 2 =1:149,15.
Atvasinot atsauces elipsoīda izmērus, zinātnieku, mērnieku, topogrāfu un kalkulatoru grupa profesora F. N. Krasovska vadībā izmantoja plašus materiālus no PSRS daudzus gadus veiktajiem astronomiskajiem, ģeodēziskajiem un gravimetriskiem mērījumiem, kā arī iegūtos rezultātus. līdzīgu darbu veikšanu citās valstīs. gadā veikto Zemes mākslīgo pavadoņu novērojumu apstrādes rezultāti apstiprina arī Krasovska atsauces elipsoīda izmērus. pēdējos gados.
Zemes elipsoīda orientāciju Zemes ķermenī ar atbilstošiem pusasu izmēriem un kompresiju raksturo tā sauktie oriģinālie ģeodēziskie datumi. Sākotnējie ģeodēziskie datumi ir sākotnējā triangulācijas punkta koordinātas, kas nosaka tā platumu B 0, garumu L 0, azimutu A 0 jebkuram blakus punktam un augstumu h 0 ģeoīda virsmas attiecībā pret atsauces elipsoīda virsmu.
Šie datumi tiek ņemti par sākuma datumiem, aprēķinot visu pārējo Zemes virsmas punktu koordinātas.
Lietojotārzemju. Izmantojot kartes, jāatceras, ka dažādās valstīs ir atšķirīgi atsauces ģeodēziskie datumi. Tāpēc vieniem un tiem pašiem punktiem dažādās valstīs publicētajās kartēs var būt atšķirīgas koordinātas. Lai arī šī atšķirība var būt neliela, tā jāņem vērā navigācijā un kuģa pozīcijas pārnešana no vienas kartes uz otru, kuģojot piekrastes tuvumā, jāveic nevis pēc ģeogrāfiskām koordinātām, bet gan pēc virziena un attāluma līdz tuvākā stiprā vieta, kas atrodas abās kartēs.
Zemi uzskatīt par revolūcijas elipsoīdu būtībā ir otrs tuvinājums Zemes figūras noteikšanā. Risinot dažas praktiskās navigācijas problēmas, kurām nav nepieciešama augsta precizitāte, izrādās, ka Zemes formas noteikšanā ir iespējams aprobežoties ar pirmo tuvinājumu - ņemt Zemi kā sfēru. Šādi uzdevumi ietver orientieru redzamības diapazona aprēķinus jūrā, aprēķinus kuģošanai pa īsāko attālumu, analītiskos aprēķinus, nosakot atrašanās vietu, izmantojot radio gultņus, aprēķinus, izmantojot analītiskās mirušās aprēķināšanas formulas un dažus citus.
Lai noteiktu Zemes rādiusu - bumbiņu, tie parasti sākas no dažiem papildu nosacījumi.
Viens no tiem ir nosacījums, ka vienas minūtes garumam meridiāna loka (vai jebkura liela apļa uz lodes) jābūt vienādam ar 1852 m, t.i., standarta jūras jūdzes garumu. Šajā gadījumā lodītes rādiuss, kas atbilst norādītajam nosacījumam, būs vienāds ar
R = 1852 * 60 * 360 / 2 π = 6 366 707 m.
Risinot vairākus kartogrāfijas uzdevumus, tiek izvirzīts nosacījums, ka globusa tilpums ir vienāds ar zemes elipsoīda tilpumu vai sfēras virsma ir vienāda ar elipsoīda virsmu. Lodītes ar tādu pašu tilpumu kā zemes elipsoīda rādiusa R garums ir vienāds ar
R = kubsakne √ (a 2 * b) = 6371109,7 m.
Ja ir uzstādīts nosacījums, ka bumbiņas virsma ir vienāda ar elipsoīda virsmu, tad šādas lodes rādiuss tiek pieņemts kā vienāds ar 
kur M ir meridiāna izliekuma rādiuss; N ir pirmās vertikāles izliekuma rādiuss noteiktā punktā.
§ 2. Ģeogrāfisko koordinātu sistēma
Punkta atrašanās vietu uz jebkuras virsmas vai telpā nosaka noteiktu lielumu kopums, ko sauc par koordinātām. Koordinātas var izteikt lineāros vai leņķiskos mēros; tie nosaka koordinātu līniju pozīciju attiecībā pret koordinātu asīm, kas ņemtas par sākumpunktu. Lai noteiktu punktu stāvokli uz zemes virsmas, tos var izmantot dažādas sistēmas koordinātas: ģeogrāfiskās, taisnstūra, polārās utt. Visbiežāk izmantotā sistēma ir ģeogrāfisko koordinātu sistēma.
Elipsoīda mazā ass šķērso tā virsmu divos punktos, kurus sauc par ziemeļu un dienvidu polus. Plaknes, kas iet caur Zemes rotācijas asi, sauc par Zemes meridiānu plaknēm, kuras šķērsgriezumā ar Zemes virsmu veido lielus apļus, ko sauc par meridiāniem. Plakni, kas ir perpendikulāra zemes asij un iet caur elipsoīda centru, sauc par ekvatoriālo plakni. Lielo apli, ko veido šīs plaknes krustojums ar elipsoīda virsmu, sauc par zemes ekvatoru. Plaknes, kas ir paralēlas zemes ekvatora plaknei šķērsgriezumā ar Zemes virsmu, veido mazus apļus, ko sauc par zemes paralēlēm. 
Ģeogrāfiskās koordinātu sistēmas koordinātu asis ir: ekvators un viens no meridiāniem, kas ņemti par sākotnējo; koordinātu līnijas ir zemes paralēles un meridiāni, un lielumi, kas nosaka punktu stāvokli, t.i., koordinātas, ģeogrāfisko platumu un ģeogrāfisko garumu.
Zemes virsmas punkta ģeogrāfiskais platums ir leņķis starp normālu pret elipsoīda virsmu šajā punktā un ekvatora plakni. Ģeogrāfiskais platums navigācijā tiek apzīmēts ar grieķu burtu φ (phi). Platuma grādus skaita no ekvatora līdz poliem no 0 līdz 90°. Ziemeļu puslodes platuma grādi tiek uzskatīti par pozitīviem un analītiskajos aprēķinos ņemti ar plus zīmi. Ziemeļu platuma grādus apzīmē ar burtu N. Punktu platuma grādi dienvidu puslodē, kas apzīmēti ar burtu S, tiek uzskatīti par negatīviem un tiem tiek piešķirta mīnusa zīme.
Ģeogrāfiskais platums nosaka paralēles pozīciju, uz kuras atrodas noteiktais punkts.
Punkta ģeogrāfiskais garums ir divskaldnis leņķis, ko veido galvenā meridiāna plakne un meridiāna plakne, kas iet caur šo punktu. Divšķautņu leņķi mēra ar sfērisku leņķi pie pola starp galveno meridiānu un nosakāmā punkta meridiānu vai ekvatoriālo loku, kas ir skaitliski vienāds ar to un atrodas starp nosauktajiem meridiāniem.
Principā jebkuru zemes meridiānu var uzskatīt par galveno meridiānu. Saskaņā ar 1884. gada starptautisko līgumu lielākā daļa pasaules valstu, t.sk Padomju Savienība, par sākotnējo meridiānu tiek uzskatīts meridiāns, kas iet caur Grīnvičas observatoriju, kas atrodas netālu no Londonas.
Ģeogrāfiskie garumi tiek skaitīti uz austrumiem un rietumiem no Griničas meridiāna no 0 līdz 180°. Ģeogrāfiskais garums navigācijā to apzīmē ar grieķu burtu λ (lambda). Punktu garumi, kas atrodas austrumu puslodē, tiek uzskatīti par pozitīviem (plus zīme), rietumu garumi tiek uzskatīti par negatīviem (mīnus zīme). Nosakot konkrēta zemes virsmas punkta garumu, noteikti norādiet tā nosaukumu: austrumu - Ost vai, kā tagad ierasts, A, rietumu - R. Atkarībā no ģeogrāfisko koordinātu aprēķināšanas metodes tiek noteiktas ģeodēziskās un astronomiskās koordinātas. izcili.
IN ģeometriskā definīcijaģeodēziskās koordinātas, kas iegūtas ģeodēzisko mērījumu rezultātā (trīsangulācija, poligonometrija), nav atšķirības ar vispārējo ģeogrāfisko koordinātu formulējumu. Punktu atrašanās vietas, kas noteiktas pēc ģeodēziskā platuma un ģeodēziskā garuma, arī attiecas uz matemātiski regulāru revolūcijas elipsoīdu.
Nosakot atrašanās vietu ar astronomiskām metodēm, novērotājs nodarbojas ar svērteni, kas sakrīt ar gravitācijas virzienu, nevis ar elipsoīda virsmas normālu. Tāpēc astronomiskajā koordinātu sistēmā platums tiek definēts kā leņķis starp ekvatoriālo plakni un svērtās līnijas virzienu noteiktā punktā. Astronomiski noteiktais vietas garums ir divskaldnis leņķis starp galvenā meridiāna (Grīnvičas meridiāna) plakni un noteiktā punkta astronomiskā meridiāna plakni. Izmantotais termins - astronomiskais meridiāns - ir jāsaprot kā izsekot no zemes virsmas griezuma plaknei, kas iet caur svērteni noteiktā punktā un paralēli pasaules asij. No astronomisko koordinātu definīcijas ir skaidrs, ka atšķirībā no ģeodēziskajām koordinātām tās nosaka punktu stāvokli attiecībā pret Zemes ģeoīda faktiskās figūras virsmu. 
Zemes elipsoīda virsmas normāls vispārīgā gadījumā neiet cauri zemes centram. Tajā pašā laikā, risinot astronomiskas problēmas, kā arī vairākas īpašas matemātiskās kartogrāfijas problēmas, rodas nepieciešamība noteikt punktu stāvokli uz zemes virsmas attiecībā pret Zemes centru. Šajā gadījumā patvaļīga punkta K garums tiks noteikts tāpat kā ģeogrāfiskajā koordinātu sistēmā, un platums tiks iegūts kā leņķis starp ekvatoriālo plakni un taisni, kas savieno šo punktu ar punkta centru. elipsoīds. Šo platumu sauc par ģeocentrisko platumu un apzīmē ar φ". Attēlā parādīts, ka ģeocentriskais platums parasti ir mazāks par ģeogrāfisko platumu ar platuma samazinājumu r, ko var aprēķināt, izmantojot formulu
r"" = φ - φ" = α sin 2 φ / loka 1"" (3 formula)
Punktiem, kas atrodas pie ekvatora un pola, platuma samazinājums ir nulle. Samazinājums sasniedz vislielāko vērtību (11,5 collas) 45° platumā.
Gadījumos, kad Zemes forma tiek uzskatīta par sfēru, punktu novietojums uz sfēriskās Zemes tiek noteikts tāpat kā uz elipsoīda virsmas pēc to ģeogrāfiskajām koordinātām, t.i., platuma un garuma. Bet normālais uz Zemes bumbas sakrīt ar tās rādiusu. 
Tāpēc noteikta punkta M ģeogrāfiskais platums φ uz globuss būs leņķis sfēras centrā starp ekvatoriālo plakni un rādiusu, kas iet caur noteikto punktu. Salīdzinot platuma definīcijas, ir skaidrs, ka ģeocentriskais platums ir tikai īpašs sfēriskā platuma gadījums.
1. nodaļa
§ 3. Platuma grādu un garuma grādu atšķirība
Ģeogrāfiskās koordinātas – platums un garums – unikāli nosaka konkrēta punkta stāvokli uz zemes virsmas. Pāreju no viena zemes virsmas punkta uz otru pavada to ģeogrāfisko koordinātu maiņa. Punktiem, kas atrodas uz vienas paralēles, ir vienāds platums un dažādi garumi. Punktiem, kas atrodas uz viena meridiāna, ir vienāds garums un dažādi platuma grādi. Kopumā diviem punktiem, kas neatrodas uz viena meridiāna vai paralēles, ir dažādi platuma un garuma grādi. Navigācijas praksē bieži vien ir jāzina, kā ir mainījušās vai mainīsies ģeogrāfiskās koordinātas, pārvietojoties no viena zemes virsmas punkta uz citu, un jāprot šīs izmaiņas aprēķināt. Lielumi, kas raksturo ģeogrāfisko koordinātu izmaiņas, pārvietojoties no viena zemes virsmas punkta uz citu, ir platuma un garuma atšķirības.
Divu Zemes virsmas punktu platuma starpība (DL) ir meridiāna loks, kas atrodas starp šo punktu paralēlēm.
Lai aprēķinātu platuma starpību, izmantojiet formulu
РШ = φ 2 - φ 1,
ņemot vērā zīmes + un - atbilstoši to nosaukumam. Patiešām, attēlā redzams, ka platuma (RL) izmaiņas, kuģim pārvietojoties no punkta A uz punktu B, raksturo loka A "B, kas skaitliski vienāds ar pienākšanas punktu B un izbraukšanas punktu A meridiānu loku starpību. , ko attiecīgi nosaka platuma grādi φ B un φ A.
Platuma grādu starpībai, kas aprēķināta, izmantojot formulu (4), tiek piešķirta plusa zīme, ja tā ir virzienā uz N, un mīnusa zīme, ja platuma starpība ir pret S. Platuma starpība var mainīties no 0 līdz ±180°.
Garuma starpība (LD), kas raksturo garuma izmaiņas, kā redzams attēlā, ir centrālais leņķis starp divu punktu meridiāniem. Šo leņķi mēra ar ekvatora loku starp norādītajiem meridiāniem. Pamatojoties uz to, divu Zemes virsmas punktu garuma starpību sauc par mazāko no ekvatora lokiem, kas atrodas starp šo punktu meridiāniem. No šīs definīcijas izriet, ka garuma atšķirības vērtības var būt no 0 līdz ±180°. Ņemot vērā iepriekš pieņemtos apzīmējumus (austrumu garumam ir plus zīme, bet rietumu garumam ir mīnus zīme), mēs varam uzrakstīt formulu divu punktu manevrēšanas ceļa aprēķināšanai:
RD = λ 2 - λ 1
Garuma starpībai būs plusa zīme, ja tā tiek veikta uz Ost, un mīnusa zīme, ja tā tiek veikta uz W. Norādītajam noteikumam ir šāda ģeometriskā nozīme: ja pienākšanas punkta λ 2 meridiāns atrodas uz austrumiem no meridiāna no izbraukšanas punkta λ 1, tad tiek veikta garuma starpība uz Ost un tiek piešķirta plus zīme. Un otrādi, ja pienākšanas punkta meridiāns atrodas uz rietumiem no izbraukšanas punkta meridiāna, garuma starpība tiek noteikta līdz W un tam tiek piešķirta mīnusa zīme.
Risinot problēmu ar manevrēšanas ceļa aprēķināšanu, izmantojot formulu, jūs varat iegūt rezultātu, kas pārsniedz 180°. Šādos gadījumos, lai atrastu mazāko no ekvatora lokiem, iegūtais rezultāts ir jāatņem no 360° un jāapgriež tā zīme (nosaukums).
Zināms, ka Zeme ir sfēriska, t.i. nav ideālas sfēras formas. Tā figūra ir neregulāra, un, tāpat kā jebkuram rotējošam ķermenim, tā ir nedaudz saplacināta pie poliem. Turklāt nevienmērīgā masu sadalījuma dēļ zemes matērija un globālās tektoniskās deformācijas Zemei ir plašas, kaut arī diezgan maigas, izliektas un ieliektas. Mūsu planētas sarežģīto figūru, ko ierobežo okeāna līdzena virsma, sauc par ģeoīdu. Precīzi noteikt tā formu ir gandrīz neiespējami, taču mūsdienu augstas precizitātes mērījumi no satelītiem ļauj iegūt diezgan labu priekšstatu par to un pat aprakstīt to ar vienādojumu.
Vislabāko ģeometrisko tuvinājumu Zemes reālajai figūrai nodrošina revolūcijas elipsoīds - ģeometrisks ķermenis, kas veidojas, griežot elipsi ap savu mazo asi. Elipsoīda saspiešana simulē planētas saspiešanu pie poliem. Attēlā redzams, kā nesakrīt ģeoīda un zemes elipsoīda meridionālie posmi.
Zemes elipsoīda izmēru aprēķināšana un precizēšana, kas sākās 18. gadsimtā, turpinās līdz pat mūsdienām. Tagad šim nolūkam tiek izmantoti satelītnovērojumi un precīzi gravimetriskie mērījumi. Tas nav viegls uzdevums: jāaprēķina ģeometriski pareiza figūra - atskaites elipsoīds, kas vislabāk ir tuvināts ģeoīdam un attiecībā pret kuru tiks veikti visi ģeodēziskie aprēķini un aprēķinātas kartes projekcijas. Daudzi pētnieki, izmantojot dažādus sākotnējos datus un aprēķinu metodes, iegūst dažādus rezultātus. Tāpēc vēsturiski ir sanācis, ka g dažādi laiki un dažādās valstīs tika pieņemti un pieņemti dažādi elipsoīdi, un to parametri nesakrīt viens ar otru.
Krievijā ir pieņemts F. N. Krasovska atsauces elipsoīds, kas aprēķināts 1940. gadā.
puslielākā ass (a) - 6 378 245 m;
daļēji mazā ass (b) - 6 356 863 m;
saspiešana a = (a - b)/a- 1: 298,3.
ASV un Kanādā vēl nesen izmantoja Klārka elipsoīdu, kas aprēķināts 1866. gadā, tā puslielākā ass ir par 39 m īsāka nekā Krievijas elipsoīdam, un kompresija noteikta 1:295,0. Daudzās valstīs Rietumeiropa un dažas Āzijas valstis pieņēma Heiforda elipsoīdu, kas aprēķināts 1909. gadā, un pirmajā Anglijas kolonijas- Indijā un Dienvidāzijas valstīs viņi izmanto Everesta elipsoīdu, ko briti aprēķināja 1830. gadā. 1984. gadā, pamatojoties uz satelīta mērījumiem, tika aprēķināts starptautiskais elipsoīds WGS-84 (Pasaules ģeodēziskā sistēma). Kopumā pasaulē ir aptuveni pusotrs ducis dažādu elipsoīdu.
Uz dažādu elipsoīdu bāzes sastādītās kartes tiek iegūtas nedaudz atšķirīgās koordinātu sistēmās, kas rada neērtības. Tomēr, lai pieņemtu vienu starptautisku elipsoīdu, ir jāpārrēķina koordinātas un jāpārkompilē visas kartes, un tas ir garš, sarežģīts un, pats galvenais, dārgs uzdevums.
Neatbilstības ir pamanāmas galvenokārt liela mēroga kartēs, no tām nosakot precīzas objektu koordinātas. Bet vidēja un maza mēroga kartēs, ko plaši izmanto ģeogrāfi, šādas atšķirības nav īpaši jutīgas. Turklāt dažreiz elipsoīda vietā tie ņem sfēru un pēc tam kā vidējo Zemes rādiusu ņem vērtību R = 6367,6 km. Kļūdas, nomainot elipsoīdu ar bumbiņu, izrādās tik mazas, ka lielākajā daļā ģeogrāfisko karšu tās nekādā veidā neparādās.