Деривативыг олох үйлдлийг дифференциал гэж нэрлэдэг.
Үүсмэлийг аргументийн өсөлтийн өсөлтийн харьцааны хязгаар гэж тодорхойлох замаар хамгийн энгийн (мөн тийм ч энгийн биш) функцүүдийн деривативыг олох асуудлыг шийдсэний үр дүнд деривативын хүснэгт ба нарийн тодорхойлсон ялгах дүрмүүд гарч ирэв. . Дериватив олох чиглэлээр хамгийн анх ажиллаж байсан хүмүүс бол Исаак Ньютон (1643-1727), Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716) нар юм.
Тиймээс бидний үед аливаа функцийн деривативыг олохын тулд дээр дурдсан функцийн өсөлтийг аргументийн өсөлттэй харьцуулах харьцааны хязгаарыг тооцох шаардлагагүй бөгөөд зөвхөн хүснэгтийг ашиглахад хангалттай. дериватив ба ялгах дүрэм. Дараах алгоритм нь деривативыг олоход тохиромжтой.
Деривативыг олохын тулд, танд үндсэн тэмдгийн доор илэрхийлэл хэрэгтэй энгийн функцуудыг бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд хуваанаямар үйлдэл хийхийг тодорхойлох (бүтээгдэхүүн, нийлбэр, коэффициент)Эдгээр функцүүд нь хоорондоо холбоотой байдаг. Цаашдын деривативууд үндсэн функцуудбид деривативын хүснэгтээс олж, үржвэрийн деривативын томъёо, нийлбэр ба хуваах нь ялгах дүрэмд байна. Дериватив хүснэгт болон ялгах дүрмийг эхний хоёр жишээний дараа өгөв.
Жишээ 1.Функцийн деривативыг ол
Шийдэл. Ялгарах дүрмээс бид функцүүдийн нийлбэрийн дериватив нь дериватив функцүүдийн нийлбэр болохыг олж мэдсэн, өөрөөр хэлбэл.
Деривативын хүснэгтээс бид "X"-ийн дериватив нь нэгтэй, синусын дериватив нь косинустай тэнцүү болохыг олж мэдэв. Бид эдгээр утгыг деривативын нийлбэрт орлуулж, асуудлын нөхцөлд шаардагдах деривативыг олно.
Жишээ 2.Функцийн деривативыг ол
Шийдэл. Хоёр дахь гишүүн нь тогтмол хүчин зүйлтэй нийлбэрийг дериватив тэмдгээс гаргаж авч болно гэж бид ялгадаг;
Хэрэв ямар нэгэн зүйл хаанаас ирсэн талаар асуултууд гарч ирвэл тэдгээрийг деривативын хүснэгт болон ялгах хамгийн энгийн дүрмүүдтэй танилцсаны дараа ихэвчлэн арилгадаг. Бид яг одоо тэдэн рүү шилжиж байна.
Энгийн функцүүдийн деривативын хүснэгт
| 1. Тогтмол (тоо)-ын дериватив. Функцийн илэрхийлэлд байгаа дурын тоо (1, 2, 5, 200...). Үргэлж тэгтэй тэнцүү. Үүнийг санах нь маш чухал бөгөөд энэ нь маш олон удаа шаардлагатай байдаг | |
| 2. Бие даасан хувьсагчийн дериватив. Ихэнхдээ "X". Үргэлж нэгтэй тэнцүү. Үүнийг удаан хугацаанд санах нь бас чухал юм | |
| 3. Зэрэглэлийн дериватив. Асуудлыг шийдэхдээ квадрат бус язгуурыг хүч болгон хувиргах хэрэгтэй. | |
| 4. Хувьсагчийн дериватив -1 зэрэглэл | |
| 5. Квадрат язгуурын дериватив | |
| 6. Синусын дериватив | |
| 7. Косинусын дериватив |  |
| 8. Шүргэгчийн дериватив |  |
| 9. Котангенсийн дериватив |  |
| 10. Арксинусын дериватив |  |
| 11. Арккосины дериватив |  |
| 12. Арктангенсын дериватив |  |
| 13. Нумын котангенсын дериватив |  |
| 14. Натурал логарифмын дериватив | |
| 15. Логарифм функцийн дериватив |  |
| 16. Экспонентийн дериватив | |
| 17. Экспоненциал функцийн дериватив |
Ялгах дүрэм
| 1. Нийлбэр буюу зөрүүний дериватив |  |
| 2. Бүтээгдэхүүний дериватив |  |
| 2а. Тогтмол хүчин зүйлээр үржүүлсэн илэрхийллийн дериватив | |
| 3. Хэсгийн дериватив |  |
| 4. Комплекс функцийн дериватив |  |
Дүрэм 1.Хэрэв функцууд
аль нэг цэг дээр дифференциалагдах боломжтой, дараа нь функцууд нь нэг цэг дээр дифференциал болно
болон
тэдгээр. функцүүдийн алгебрийн нийлбэрийн дериватив нь эдгээр функцүүдийн деривативуудын алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.
Үр дагавар. Хэрэв дифференциал болох хоёр функц тогтмол гишүүнээр ялгаатай бол тэдгээрийн дериватив нь тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл
Дүрэм 2.Хэрэв функцууд
Хэзээ нэгэн цагт ялгах боломжтой, дараа нь тэдгээрийн бүтээгдэхүүн нь ижил цэг дээр ялгагдах боломжтой
болон
тэдгээр. Хоёр функцийн үржвэрийн дериватив нь эдгээр функц тус бүрийн үржвэрийн нийлбэр ба нөгөө функцийн деривативтай тэнцүү байна.
Дүгнэлт 1. Тогтмол хүчин зүйлийг деривативын тэмдгээс гаргаж авч болно:
Дүгнэлт 2. Хэд хэдэн дифференциалагдах функцүүдийн үржвэрийн дериватив нь хүчин зүйл тус бүрийн болон бусад бүх зүйлийн деривативын үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.
Жишээлбэл, гурван үржүүлэгчийн хувьд:
Дүрэм 3.Хэрэв функцууд
хэзээ нэгэн цагт ялгах боломжтой Тэгээд , тэгвэл энэ үед тэдгээрийн коэффициент нь бас дифференциал болноu/v , ба
тэдгээр. хоёр функцийн хуваагчийн дериватив нь бутархайтай тэнцүү бөгөөд хуваагч нь хуваагч ба хувагчийн дериватив ба хуваагч болон хуваагчийн деривативын зөрүү, хуваагч нь -ийн квадрат юм. өмнөх тоологч.
Бусад хуудсан дээрх зүйлсийг хаанаас хайх вэ
Бодит бодлогод бүтээгдэхүүний дериватив ба категорийг олохдоо хэд хэдэн ялгах дүрмийг нэг дор хэрэглэх шаардлагатай байдаг тул өгүүлэлд эдгээр деривативуудын талаар илүү олон жишээнүүд байдаг."Үйлдвэрийн дериватив ба функцүүдийн коэффициент".
Сэтгэгдэл.Тогтмолыг (өөрөөр хэлбэл тоо) нийлбэр дэх нэр томъёо, тогтмол хүчин зүйл гэж андуурч болохгүй! Нэр томьёоны хувьд дериватив нь тэгтэй тэнцүү байх ба тогтмол хүчин зүйлийн хувьд деривативуудын тэмдгээс хасагдана. Энэ ердийн алдаа, дээр тохиолддог эхний шатДеривативуудыг судалж байгаа боловч нэг ба хоёр хэсгээс бүрдсэн хэд хэдэн жишээг шийдэж байгаа тул дундаж оюутан ийм алдаа гаргахаа больсон.
Мөн хэрэв бүтээгдэхүүн эсвэл хэсгийг ялгахдаа танд нэр томъёо байгаа бол у"v, аль нь у- тоо, жишээлбэл, 2 эсвэл 5, өөрөөр хэлбэл тогтмол, дараа нь энэ тооны дериватив нь тэгтэй тэнцүү байх тул бүхэл бүтэн нэр томъёо нь тэгтэй тэнцүү байх болно (энэ хэргийг жишээ 10-д авч үзэх болно).
Өөр нэг нийтлэг алдаа бол нийлмэл функцийн деривативыг энгийн функцийн дериватив болгон механик аргаар шийдвэрлэх явдал юм. Тийм ч учраас нийлмэл функцийн деривативтусдаа өгүүлэл зориулагдсан болно. Гэхдээ эхлээд бид энгийн функцүүдийн деривативуудыг олж сурах болно.
Замдаа та илэрхийлэлийг өөрчлөхгүйгээр хийж чадахгүй. Үүнийг хийхийн тулд та гарын авлагыг шинэ цонхонд нээх хэрэгтэй. Эрх мэдэл, үндэстэй үйлдлүүдТэгээд Бутархайтай үйлдлүүд .
Хэрэв та зэрэглэлийн болон үндэстэй бутархайн деривативын шийдлийг хайж байгаа бол функц нь иймэрхүү харагдах үед. 
, дараа нь "Бутархайн нийлбэрийн дериватив ба үндэстэй" хичээлийг дагана уу.
Хэрэв танд ийм даалгавар байгаа бол 
, дараа нь та "Энгийн тригонометрийн функцын дериватив" хичээлийг авна.
Алхам алхмаар жишээ - деривативыг хэрхэн олох
Жишээ 3.Функцийн деривативыг ол
Шийдэл. Бид функцийн илэрхийлэлийн хэсгүүдийг тодорхойлдог: бүхэл бүтэн илэрхийлэл нь бүтээгдэхүүнийг илэрхийлдэг бөгөөд түүний хүчин зүйлүүд нь нийлбэр бөгөөд хоёр дахь нэр томъёоны нэг нь тогтмол хүчин зүйлийг агуулдаг. Бүтээгдэхүүнийг ялгах дүрмийг бид ашигладаг: хоёр функцийн үржвэрийн дериватив нь эдгээр функц тус бүрийн үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.
Дараа нь бид нийлбэрийг ялгах дүрмийг хэрэглэнэ: функцүүдийн алгебрийн нийлбэрийн дериватив нь эдгээр функцүүдийн деривативуудын алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү байна. Манай тохиолдолд нийлбэр бүрт хоёр дахь гишүүн нь хасах тэмдэгтэй байдаг. Нийлбэр бүрт бид дериватив нь нэгтэй тэнцүү бие даасан хувьсагч ба дериватив нь тэгтэй тэнцүү тогтмол (тоо) хоёуланг нь хардаг. Тиймээс "X" нэг болж, хасах 5 нь тэг болж хувирна. Хоёр дахь илэрхийлэлд "x" нь 2-оор үржигддэг тул бид хоёрыг "x"-ийн деривативтай ижил нэгжээр үржүүлнэ. Бид дараах дериватив утгыг авна.
Бид олдсон деривативуудыг бүтээгдэхүүний нийлбэрт орлуулж, асуудлын нөхцөлд шаардлагатай бүх функцийн деривативыг олж авна.
Мөн та дериватив асуудлын шийдлийг дээр шалгаж болно.
Жишээ 4.Функцийн деривативыг ол
Шийдэл. Бид хуваалтын деривативыг олохыг шаарддаг. Бид хуваагчийг ялгах томъёог ашигладаг: хоёр функцийн хуваалтын дериватив нь бутархайтай тэнцүү бөгөөд хуваагч нь хуваагч ба хуваагч ба хуваагчийн дериватив ба үржвэрийн деривативын зөрүү юм. хуваагч, хуваагч нь өмнөх тоологчийн квадрат юм. Бид авах:
Бид 2-р жишээн дэх тоологчийн хүчин зүйлсийн деривативыг аль хэдийн олсон. Одоогийн жишээн дэх тоологчийн хоёр дахь хүчин зүйл болох үржвэрийг хасах тэмдгээр авсан гэдгийг мартаж болохгүй.
Хэрэв та үргэлжилсэн үндэс ба хүчнүүдийн овоо байдаг функцийн деривативыг олох шаардлагатай асуудлын шийдлийг хайж байгаа бол жишээ нь: 
, тэгвэл хичээлдээ тавтай морил "Бутархайн нийлбэрийн дериватив ба үндэстэй" .
Хэрэв та синус, косинус, тангенс болон бусад тригонометрийн функцүүдийн деривативын талаар илүү ихийг мэдэх шаардлагатай бол, өөрөөр хэлбэл функц нь иймэрхүү харагдах үед , тэгвэл танд сургамж "Энгийн тригонометрийн функцүүдийн дериватив" .
Жишээ 5.Функцийн деривативыг ол
Шийдэл. Энэ функцэд бид үржвэрийг харж байна, үүний нэг хүчин зүйл нь бие даасан хувьсагчийн квадрат язгуур бөгөөд деривативын хүснэгтэд бид танилцсан. Бүтээгдэхүүнийг ялгах дүрэм ба квадрат язгуурын деривативын хүснэгтийн утгыг ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.
Та дериватив асуудлын шийдлийг эндээс шалгаж болно онлайн дериватив тооцоолуур .
Жишээ 6.Функцийн деривативыг ол
Шийдэл. Энэ функцэд бид ногдол ашиг нь бие даасан хувьсагчийн квадрат язгуур болох хуваарийг харж байна. Бид 4-р жишээн дээр давтаж, ашигласан хуваалтыг ялгах дүрэм болон квадрат язгуурын деривативын хүснэгтийн утгыг ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.
Тоолуур дахь бутархайг арилгахын тулд тоо болон хуваагчийг -ээр үржүүлнэ.
Функцүүд нарийн төвөгтэй төрөлнийлмэл функцийн тодорхойлолтод үргэлж тохирохгүй. Хэрэв y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11 хэлбэрийн функц байгаа бол y = sin 2 x-ээс ялгаатай нь нийлмэл гэж үзэж болохгүй.
Энэ нийтлэлд нарийн төвөгтэй функцийн тухай ойлголт, түүний тодорхойлолтыг харуулах болно. Дүгнэлт дэх шийдлийн жишээнүүдийн хамт деривативыг олох томьёотой ажиллацгаая. Деривативын хүснэгт ба ялгах дүрмийг ашиглах нь деривативыг олох хугацааг эрс багасгадаг.
Үндсэн тодорхойлолтууд
Тодорхойлолт 1Аргумент нь мөн функц болох функцийг цогц функц гэнэ.
Үүнийг дараах байдлаар тэмдэглэв: f (g (x)). Бид g (x) функцийг f (g (x)) аргумент гэж үздэг.
Тодорхойлолт 2
Хэрэв f функц байгаа бөгөөд энэ нь котангенс функц бол g(x) = ln x нь натурал логарифмын функц болно. f (g (x)) нийлмэл функц arctg(lnx) хэлбэрээр бичигдэхийг бид олж мэдсэн. Эсвэл g (x) = x 2 + 2 x - 3 нь бүхэл тоо гэж тооцогддог 4-р зэрэглэлд өргөгдсөн функц болох f функц. оновчтой функц, бид f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 болохыг олж мэдэв.
g(x) нь нарийн төвөгтэй байж болох нь ойлгомжтой. y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 жишээнээс g-ийн утга нь бутархайн шоо язгууртай болох нь тодорхой байна. Энэ илэрхийллийг y = f (f 1 (f 2 (x))) гэж тэмдэглэж болно. Эндээс харахад f нь синусын функц, f 1 нь доор байрлах функц юм квадрат язгуур, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 - бутархай рационал функц.
Тодорхойлолт 3
Үүрлэх зэрэг нь аль нэгээр тодорхойлогддог натурал тооба y = f (f 1 (f 2 (f 3) (... (f n (x)))))) гэж бичнэ.
Тодорхойлолт 4
Функцийн бүрэлдэхүүн гэдэг ойлголт нь асуудлын нөхцөлийн дагуу үүрлэсэн функцүүдийн тоог илэрхийлдэг. Шийдвэрлэхийн тулд хэлбэрийн нийлмэл функцийн деривативыг олох томъёог ашиглана уу
(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)
Жишээ
Жишээ 1y = (2 x + 1) 2 хэлбэрийн нийлмэл функцийн деривативыг ол.
Шийдэл
Нөхцөлөөс харахад f нь квадрат функц, g(x) = 2 x + 1 нь шугаман функц гэж тооцогддог.
Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив томъёог хэрэглэж, бичье.
f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4
Функцийн хялбаршуулсан анхны хэлбэр бүхий деривативыг олох шаардлагатай. Бид авах:
y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1
Эндээс бидэнд ийм байна
y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4
Үр дүн нь адилхан байсан.
Энэ төрлийн асуудлыг шийдвэрлэхдээ f ба g (x) хэлбэрийн функц хаана байрлаж байгааг ойлгох нь чухал юм.
Жишээ 2
Деривативуудыг олох хэрэгтэй нарийн төвөгтэй функцууд y = sin 2 x ба y = sin x 2 хэлбэрийн.
Шийдэл
Эхний функцийн тэмдэглэгээ нь f нь квадратын функц, g(x) нь синусын функц юм. Дараа нь бид үүнийг авдаг
y " = (нүгэл 2 х) " = 2 нүгэл 2 - 1 x (нүгэл x) " = 2 нүгэл x cos x
Хоёр дахь оруулга нь f нь синус функц, g(x) = x 2 нь чадлын функцийг илэрхийлдэг. Эндээс бид нийлмэл функцийн үржвэрийг бичнэ
y " = (нүгэл x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)
Дериватив y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x))))) томъёог y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (.)) гэж бичнэ. . ))) )) · . . . fn "(x)
Жишээ 3
y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)) функцийн уламжлалыг ол.
Шийдэл
Энэ жишээ нь функцүүдийн байршлыг бичих, тодорхойлоход хүндрэлтэй байгааг харуулж байна. Дараа нь y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) нь синусын функц, өсгөх функц гэдгийг тэмдэглэнэ. 3 градус хүртэл, логарифм ба суурьтай функц e, арктангенс ба шугаман функц.
Нарийн төвөгтэй функцийг тодорхойлох томъёоноос бид үүнийг олж авна
y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x)
Бид олох ёстой зүйлээ авдаг
- f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) деривативын хүснэгтийн дагуу синусын дериватив, дараа нь f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4)) x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
- f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x))) чадлын функцийн дериватив, дараа нь f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
- f 2 "(f 3 (f 4 (x))) логарифмын дериватив байдлаар, дараа нь f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
- f 3 " (f 4 (x)) арктангентын дериватив, дараа нь f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
- f 4 (x) = 2 x деривативыг олохдоо 1-тэй тэнцүү илтгэгчтэй чадлын функцийн деривативын томъёог ашиглан деривативын тэмдгээс 2-ыг хасаад f 4 "(x) = (2 x) болно. " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2.
Бид завсрын үр дүнг нэгтгэж, үүнийг авдаг
y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)
Ийм функцүүдийн шинжилгээ нь үүрлэсэн хүүхэлдэйг санагдуулдаг. Дериватив хүснэгтийг ашиглан ялгах дүрмийг үргэлж тодорхой хэрэглэж болохгүй. Ихэнхдээ нарийн төвөгтэй функцүүдийн деривативыг олох томъёог ашиглах шаардлагатай байдаг.
Нарийн төвөгтэй харагдах байдал, нарийн төвөгтэй функцүүдийн хооронд зарим ялгаа байдаг. Үүнийг ялгах тодорхой чадвартай бол дериватив олох нь ялангуяа хялбар байх болно.
Жишээ 4
Ийм жишээ өгөхийг бодох хэрэгтэй. y = t g 2 x + 3 t g x + 1 хэлбэрийн функц байгаа бол g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 хэлбэрийн нийлмэл функц гэж үзэж болно. . Нарийн төвөгтэй деривативын томъёог ашиглах шаардлагатай нь ойлгомжтой.
f " (г (х)) = (г 2 (х) + 3 г (х) + 1) " = (г 2 (х)) " + (3 г (х)) " + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g "(x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x
y = t g x 2 + 3 t g x + 1 хэлбэрийн функц нь t g x 2, 3 t g x ба 1-ийн нийлбэртэй тул нарийн төвөгтэй гэж үзэхгүй. Гэсэн хэдий ч t g x 2 нь нарийн төвөгтэй функц гэж тооцогддог бол бид g (x) = x 2 ба f хэлбэрийн чадлын функцийг олж авдаг бөгөөд энэ нь шүргэгч функц юм. Үүнийг хийхийн тулд дүнгээр нь ялгана. Бид үүнийг ойлгодог
y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 учир 2 x
Нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг (t g x 2) олох руу шилжье ":
f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)
Бид y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x гэсэн утгыг олж авна.
Нарийн төвөгтэй төрлийн функцууд нь нарийн төвөгтэй функцүүдэд багтаж болох ба нарийн төвөгтэй функцууд нь өөрөө нарийн төвөгтэй төрлийн функцүүдийн бүрэлдэхүүн хэсэг байж болно.
Жишээ 5
Жишээлбэл, y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) хэлбэрийн цогц функцийг авч үзье.
Энэ функцийг y = f (g (x)) хэлбэрээр илэрхийлж болох бөгөөд f-ийн утга нь 3 суурь логарифмын функц, g (x) нь h (x) = хэлбэрийн хоёр функцийн нийлбэр гэж тооцогддог. x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 ба k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . Мэдээжийн хэрэг, y = f (h (x) + k (x)).
h(x) функцийг авч үзье. Энэ нь l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 ба m (x) = e x 2 + 3 3 харьцаа юм.
Бидэнд l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) нь n (x) = x 2 + 7 ба p ( гэсэн хоёр функцийн нийлбэр юм. x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , энд p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) нь 3 тоон коэффициенттэй нийлмэл функц, p 1 нь куб функц, p 2 косинусын функцээр, p 3 (x) = 2 x + 1 шугаман функцээр.
m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) нь q (x) = e x 2 ба r (x) = 3 3 гэсэн хоёр функцийн нийлбэр болохыг олж мэдсэн бөгөөд энд q (x) = q 1 (q 2 (x)) - цогц функц, q 1 - илтгэгчтэй функц, q 2 (x) = x 2 - эрчим хүчний функц.
Энэ нь h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3) гэдгийг харуулж байна. (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)
k (x) = ln 2 x (x 2 + 1) = s (x) t (x) хэлбэрийн илэрхийлэл рүү шилжих үед функц нь s (x) цогцолбор хэлбэрээр илэрхийлэгдэх нь тодорхой байна. = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) рационал бүхэл тоо t (x) = x 2 + 1, энд s 1 нь квадрат функц, s 2 (x) = ln x нь e суурьтай логарифм байна. .
Эндээс илэрхийлэл нь k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x) хэлбэртэй болно.
Дараа нь бид үүнийг авдаг
y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3) x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)
Функцийн бүтцэд үндэслэн илэрхийллийг ялгахдаа хэрхэн, ямар томьёог ашиглах шаардлагатай байгаа нь тодорхой болсон. Мэдээлэл авахыг хүсвэл ижил төстэй даалгаваруудмөн тэдгээрийг шийдвэрлэх үзэл баримтлалын хувьд функцийг ялгах, өөрөөр хэлбэл түүний деривативыг олох цэг рүү шилжих шаардлагатай.
Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу
Үүний дээр бид хамгийн энгийн деривативуудыг судалж, мөн ялгах дүрэм, дериватив олох техникийн зарим техниктэй танилцсан. Тиймээс, хэрэв та функцийн деривативын талаар тийм ч сайн биш эсвэл энэ нийтлэлийн зарим зүйл бүрэн ойлгомжгүй байвал эхлээд дээрх хичээлийг уншина уу. Ноцтой сэтгэл хөдлөлөө аваарай - материал нь тийм ч энгийн биш, гэхдээ би үүнийг энгийн бөгөөд ойлгомжтой байдлаар танилцуулахыг хичээх болно.
Практик дээр та нарийн төвөгтэй функцийн деривативтай маш олон удаа харьцах хэрэгтэй болдог, тэр ч байтугай дериватив олох даалгавар өгөх үед бараг үргэлж гэж хэлэх болно.
Нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийн (№ 5) хүснэгтийг бид харж байна.
Үүнийг олж мэдье. Юуны өмнө оруулгад анхаарлаа хандуулъя. Энд бид хоёр функцтэй - ба , функц нь дүрсээр хэлбэл функц дотор байрласан байна. Ийм төрлийн функцийг (нэг функц нөгөөд нь үүрлэсэн үед) нийлмэл функц гэж нэрлэдэг.
Би функцийг дуудах болно гадаад функц, болон функц – дотоод (эсвэл үүрлэсэн) функц.
! Эдгээр тодорхойлолтууд нь онолын хувьд биш бөгөөд даалгаврын эцсийн загварт тусгагдаагүй байх ёстой. Би зөвхөн материалыг ойлгоход хялбар болгох үүднээс "гадаад функц", "дотоод" функцийг албан бус хэллэгээр ашигладаг.
Нөхцөл байдлыг тодруулахын тулд дараахь зүйлийг анхаарч үзээрэй.
Жишээ 1
Функцийн деривативыг ол
Синусын доор бид зөвхөн "X" үсэг биш, харин бүхэл бүтэн илэрхийлэл байдаг тул үүсмэлийг хүснэгтээс шууд олох нь ажиллахгүй болно. Энд эхний дөрвөн дүрмийг хэрэгжүүлэх боломжгүй гэдгийг бид анзаарч байна, ялгаа байгаа мэт боловч синусыг "хэсэг болгон хувааж" болохгүй.
Энэ жишээнд функц нь нийлмэл функц, олон гишүүнт нь дотоод функц (суулгах), гадаад функц болох нь миний тайлбараас аль хэдийн ойлгомжтой болсон.
Эхний алхамнийлмэл функцийн деривативыг олоход юу хийх хэрэгтэй вэ? аль функц нь дотоод, аль нь гадаад болохыг ойлгох.
Энгийн жишээнүүдийн хувьд синусын дор олон гишүүнт багтсан байгаа нь тодорхой харагдаж байна. Гэхдээ бүх зүйл тодорхойгүй байвал яах вэ? Аль функц нь гадаад, аль нь дотоод гэдгийг хэрхэн зөв тодорхойлох вэ? Үүнийг хийхийн тулд оюун ухаанаар эсвэл ноорог хэлбэрээр хийж болох дараах техникийг ашиглахыг санал болгож байна.
Илэрхийллийн утгыг тооцоолохын тулд тооны машин ашиглах хэрэгтэй гэж төсөөлөөд үз дээ (нэгний оронд ямар ч тоо байж болно).
Бид эхлээд юуг тооцох вэ? Юуны өмнөта дараах үйлдлийг хийх хэрэгтэй болно: , тиймээс олон гишүүнт дотоод функц болно: 
Хоёрдугаартолох шаардлагатай тул синус нь гадаад функц болно: 
Бидний дараа ХУДАЛДААдотоод болон гадаад функцтэй бол нарийн төвөгтэй функцуудыг ялгах дүрмийг хэрэглэх цаг болжээ 
.
Шийдвэрлэж эхэлцгээе. Хичээлээс Деривативыг хэрхэн олох вэ? Аливаа деривативын шийдлийн загвар үргэлж ингэж эхэлдэг гэдгийг бид санаж байна - бид илэрхийлэлийг хаалтанд хийж, баруун дээд буланд зураас тавьдаг:
Эхэндээбид гадаад функцийн деривативыг (синус) олоод, анхан шатны функцүүдийн деривативын хүснэгтийг хараад . Хэрэв "x"-г нийлмэл илэрхийллээр сольсон бол хүснэгтийн бүх томьёо мөн хамаарна, энэ тохиолдолд:
Дотоод функцийг анхаарна уу өөрчлөгдөөгүй, бид үүнд хүрдэггүй.
За энэ нь ойлгомжтой
Томьёог хэрэглэсний үр дүн 
эцсийн хэлбэрээр нь дараах байдлаар харагдана.
Тогтмол хүчин зүйлийг ихэвчлэн илэрхийллийн эхэнд байрлуулдаг.
Хэрэв үл ойлголцол байвал шийдлийг цаасан дээр бичиж, тайлбарыг дахин уншина уу.
Жишээ 2
Функцийн деривативыг ол
Жишээ 3
Функцийн деривативыг ол
Бид үргэлж бичдэг: 
Бидэнд гаднах функц, дотоод функц хаана байгааг олж мэдье. Үүнийг хийхийн тулд бид (сэтгэцийн хувьд эсвэл ноорог хэлбэрээр) илэрхийллийн утгыг тооцоолохыг оролддог. Та эхлээд юу хийх ёстой вэ? Юуны өмнө та суурь нь юутай тэнцүү болохыг тооцоолох хэрэгтэй: тиймээс олон гишүүнт нь дотоод функц юм. 
Зөвхөн дараа нь экспонентацийг гүйцэтгэнэ, тиймээс чадлын функц нь гадаад функц болно: 
Томъёоны дагуу 
, эхлээд та гадаад функцийн деривативыг олох хэрэгтэй, энэ тохиолдолд зэрэг. Хүснэгтээс шаардлагатай томьёог хайж байна: . Бид дахин давтана: ямар ч хүснэгтийн томъёозөвхөн "x"-д төдийгүй нарийн төвөгтэй илэрхийлэлд ч хүчинтэй. Тиймээс нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийг хэрэглэсний үр дүн 
дараагийн:
Бид гаднах функцийн деривативыг авах үед бидний дотоод функц өөрчлөгддөггүй гэдгийг би дахин онцолж байна. 
Одоо зөвхөн дотоод функцийн маш энгийн деривативыг олж, үр дүнг бага зэрэг өөрчлөхөд л үлдлээ.
Жишээ 4
Функцийн деривативыг ол
Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм (хичээлийн төгсгөлд хариулах).
Нарийн төвөгтэй функцийн деривативын талаархи ойлголтоо нэгтгэхийн тулд би тайлбаргүйгээр жишээ өгөх болно, үүнийг өөрөө олж мэдэхийг хичээ, гадаад, дотоод функц хаана байгааг, яагаад даалгавруудыг ингэж шийддэг вэ?
Жишээ 5
a) Функцийн деривативыг ол
б) Функцийн деривативыг ол
Жишээ 6
Функцийн деривативыг ол 
Энд бид язгууртай бөгөөд уг үндсийг ялгахын тулд түүнийг хүч гэж төлөөлөх ёстой. Тиймээс бид эхлээд функцийг ялгахад тохиромжтой хэлбэрт оруулна.
Функцийг задлан шинжилж үзэхэд бид гурван гишүүний нийлбэр нь дотоод функц, хүчирхэг болгох нь гадаад функц гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн. Бид нарийн төвөгтэй функцуудыг ялгах дүрмийг ашигладаг 
:
Бид дахин градусыг радикал (үндэс) болгон төлөөлдөг бөгөөд дотоод функцийн деривативын хувьд бид нийлбэрийг ялгах энгийн дүрмийг ашигладаг.
Бэлэн. Мөн та илэрхийллийг хаалтанд нийтлэг хуваагч болгон бууруулж, бүгдийг нэг бутархай болгон бичиж болно. Энэ нь мэдээжийн хэрэг үзэсгэлэнтэй, гэхдээ урт урт деривативуудыг олж авбал үүнийг хийхгүй байх нь дээр (төөрөлдөх, шаардлагагүй алдаа гаргах, багш шалгахад эвгүй байх болно).
Жишээ 7
Функцийн деривативыг ол
Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм (хичээлийн төгсгөлд хариулах).
Заримдаа та нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийн оронд хуваалтыг ялгах дүрмийг ашиглаж болно гэдгийг тэмдэглэх нь сонирхолтой юм. 
, гэхдээ ийм шийдэл нь ер бусын гажуудал мэт харагдах болно. Энд ердийн жишээ байна:
Жишээ 8
Функцийн деривативыг ол
Энд та хуваалтыг ялгах дүрмийг ашиглаж болно 
, гэхдээ цогц функцийг ялгах дүрмээр дамжуулан деривативыг олох нь илүү ашигтай байдаг.
Бид функцийг ялгахад бэлтгэдэг - бид хасах тэмдгийг дериватив тэмдгээс гаргаж, косинусыг тоологч руу өсгөнө.
Косинус нь дотоод функц, экспоненциал нь гадаад функц юм.
Өөрийн дүрмээ ашиглацгаая 
:
Бид дотоод функцийн деривативыг олж, косинусыг дахин тохируулна:
Бэлэн. Үзэж буй жишээн дээр шинж тэмдгүүдэд андуурахгүй байх нь чухал юм. Дашрамд хэлэхэд, дүрмийг ашиглан үүнийг шийдэхийг хичээ 
, хариултууд таарч байх ёстой.
Жишээ 9
Функцийн деривативыг ол
Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм (хичээлийн төгсгөлд хариулах).
Одоогоор бид нарийн төвөгтэй функцэд зөвхөн нэг үүрлэсэн тохиолдлуудыг авч үзсэн. Практик даалгаврын хувьд та үүрлэх хүүхэлдэй гэх мэт 3 эсвэл бүр 4-5 функцийг нэг дор байрлуулдаг деривативуудыг олох боломжтой.
Жишээ 10
Функцийн деривативыг ол
Энэ функцийн хавсралтыг ойлгоцгооё. Туршилтын утгыг ашиглан илэрхийллийг тооцоолохыг оролдъё. Тооны машинд бид яаж тооцох вэ?
Эхлээд та олох хэрэгтэй бөгөөд энэ нь нумын синус нь хамгийн гүн шигтгээ гэсэн үг юм:
Дараа нь нэгийн нумыг квадрат болгох хэрэгтэй:
Эцэст нь бид долоог хүчирхэг болгож өсгөв: 
Өөрөөр хэлбэл, энэ жишээнд бид гурав байна өөр өөр функцуудба хамгийн дотоод функц нь арксинус, хамгийн гаднах функц нь экспоненциал функцтэй хоёр суулгалт юм.
Шийдвэрлэж эхэлцгээе
Дүрмийн дагуу 
Эхлээд та гадаад функцийн деривативыг авах хэрэгтэй. Бид деривативын хүснэгтийг хараад экспоненциал функцийн деривативыг олно: Цорын ганц ялгаа нь "x"-ийн оронд нийлмэл илэрхийлэл байгаа нь энэ томъёоны хүчинтэй байдлыг үгүйсгэхгүй. Тиймээс нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийг хэрэглэсний үр дүн 
дараагийн.
Та энд ирснээс хойш сурах бичигт энэ томъёог аль хэдийн харсан байх
мөн ийм царай гарга:
Найз минь, санаа зовох хэрэггүй! Үнэн хэрэгтээ бүх зүйл зүгээр л жигшүүртэй байдаг. Та бүх зүйлийг мэдээж ойлгох болно. Зөвхөн нэг хүсэлт - нийтлэлийг уншина уу цаг заваа авч байна, алхам бүрийг ойлгохыг хичээ. Би аль болох энгийн бөгөөд ойлгомжтой бичсэн боловч та санааг ойлгох хэрэгтэй. Мөн нийтлэл дэх даалгавруудыг шийдвэрлэхээ мартуузай.
Нарийн төвөгтэй функц гэж юу вэ?
Та өөр орон сууц руу нүүж, том хайрцагт юм хийж байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Сургуулийн бичгийн хэрэглүүр гэх мэт жижиг зүйлсийг цуглуулах хэрэгтэй гэж бодъё. Хэрэв та тэдгээрийг зүгээр л том хайрцагт хийвэл тэд бусад зүйлсийн дунд алга болно. Үүнээс зайлсхийхийн тулд та эхлээд уутанд хийж, дараа нь том хайрцагт хийж, дараа нь битүүмжилнэ. Энэхүү "цогцолбор" үйл явцыг доорх диаграммд үзүүлэв.
Математик үүнд ямар хамаатай юм шиг санагдаж байна? Тийм ээ, нарийн төвөгтэй функц нь яг ИТГЭЛ байдлаар үүсдэг ч гэсэн! Гагцхүү бид дэвтэр, үзэг биш \(x\) “баглаа” байхад “багц” болон “хайрцаг” нь өөр.
Жишээлбэл, x-г аваад үүнийг функц болгон "багц" болгоё:
Үүний үр дүнд бид мэдээж \(\cosx\) авна. Энэ бол бидний "цүнх" юм. Одоо үүнийг "хайрцаг" дотор хийцгээе - жишээлбэл, куб функц болгон багцлаарай.
Эцсийн эцэст юу болох вэ? Тийм ээ, "хайрцагт юмны уут", өөрөөр хэлбэл "X кубын косинус" байх болно.
Үүссэн загвар нь нарийн төвөгтэй функц юм. Энэ нь энгийн зүйлээс ялгаатай Хэд хэдэн "нөлөөллийг" (багц) нэг X дээр дараалан хэрэглэнэЭнэ нь "функцоос функц" - "сав баглаа боодол доторх савлагаа" болж хувирав.
IN сургуулийн курсЭдгээр "багцуудын" маш цөөхөн төрөл байдаг бөгөөд ердөө дөрөв нь:
Одоо эхлээд X-г "багцгааж" үзье экспоненциал функц 7 суурьтай, дараа нь тригонометрийн функцтэй. Бид авах:
\(x → 7^x → tg(7^x)\)
Одоо X-г хоёр удаа "багцгааж" үзье тригонометрийн функцууд, эхлээд , дараа нь:
\(x → sinx → cotg (sinx)\)
Энгийн, тийм үү?
Одоо функцүүдийг өөрөө бичээрэй, энд x:
- эхлээд косинус, дараа нь \(3\) суурьтай экспоненциал функцэд "багагддаг";
- эхлээд тав дахь зэрэглэлд, дараа нь шүргэгч рүү;
- эхлээд суурийн логарифм хүртэл \(4\)
, дараа нь \(-2\) руу очно.
Энэ даалгаврын хариултыг өгүүллийн төгсгөлд олоорой.
Бид X-ийг хоёр биш, гурван удаа "баглаж" чадах уу? Тийм ээ, асуудалгүй! Мөн дөрөв, тав, хорин таван удаа. Жишээлбэл, x нь \(4\) удаа "савласан" функц байна:
\(y=5^(\log_2(\sin(x^4)))\)
Гэхдээ сургуулийн практикт ийм томъёо олдохгүй (оюутнууд илүү азтай байдаг - тэднийх илүү төвөгтэй байж магадгүй юм☺).
Нарийн төвөгтэй функцийг " задлах "
Өмнөх функцийг дахин харна уу. Та "савлах" дарааллыг олж чадах уу? Эхлээд юунд X чихэв, дараа нь юу гэх мэтээр эцсээ хүртэл. Өөрөөр хэлбэл, аль функц аль дотор нь үүрлэсэн бэ? Нэг хуудас цаас аваад юу гэж бодож байгаагаа бич. Та үүнийг дээр дурдсан сумтай гинжээр эсвэл өөр аргаар хийж болно.
Одоо зөв хариулт нь: эхлээд x-ийг \(4\)-р зэрэглэлд "савлаж", дараа нь үр дүнг синус руу, дараа нь \(2\) суурийн логарифмд байрлуулсан. , эцэст нь энэ бүх бүтээн байгуулалтыг хүчирхэг тав руу түлхэв.
Өөрөөр хэлбэл та урвуу дарааллаар дарааллыг тайлах хэрэгтэй. Үүнийг хэрхэн хялбархан хийх талаар зөвлөгөө энд байна: нэн даруй X-г хараарай - та үүнээс бүжиглэх хэрэгтэй. Хэд хэдэн жишээг харцгаая.
Жишээлбэл, дараах функц байна: \(y=tg(\log_2x)\). Бид X-г хардаг - эхлээд юу болох вэ? Түүнээс авсан. Тэгээд? Үр дүнгийн тангенсыг авна. Дараалал нь ижил байх болно:
\(x → \log_2x → tg(\log_2x)\)
Өөр нэг жишээ: \(y=\cos((x^3))\). Шинжилгээ хийцгээе - эхлээд бид X-ийг куб болгож, дараа нь үр дүнгийн косинусыг авав. Энэ нь дараалал нь: \(x → x^3 → \cos((x^3))\). Анхаарна уу, функц нь эхнийхтэй төстэй юм шиг санагдаж байна (зурагтай газар). Гэхдээ энэ нь огт өөр функц юм: энд шоо дотор x (өөрөөр хэлбэл \(\cos((x·x·x)))\), харин шоо дотор косинус \(x\) байна ( өөрөөр хэлбэл, \(\cos x·\cosx·\cosx\)). Энэ ялгаа нь янз бүрийн "савлах" дарааллаас үүсдэг.
Сүүлийн жишээ (үндсэн чухал мэдээлэлтэй): \(y=\sin((2x+5))\). Энд тэд эхлээд х-тэй арифметик үйлдлүүд хийж, дараа нь үр дүнгийн синусыг авсан нь тодорхой байна: \(x → 2x+5 → \sin((2x+5))\). Энэ бол чухал зүйл юм: арифметик үйлдлүүд нь өөрөө функц биш ч гэсэн энд тэд мөн "баглаа боох" арга хэлбэрээр ажилладаг. Энэ нарийн чанарыг бага зэрэг гүнзгийрүүлье.
Дээр хэлсэнчлэн энгийн функцүүдэд x нэг удаа "багагддаг", нарийн төвөгтэй функцүүдэд хоёр ба түүнээс дээш байдаг. Түүнээс гадна энгийн функцүүдийн аливаа хослол (өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн нийлбэр, зөрүү, үржүүлэх, хуваах) нь бас энгийн функц юм. Жишээлбэл, \(x^7\) нь энгийн функц бөгөөд \(ctg x\) мөн адил. Энэ нь тэдгээрийн бүх хослолууд нь энгийн функцууд гэсэн үг юм:
\(x^7+ ctg x\) - энгийн,
\(x^7· ор х\) – энгийн,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – энгийн гэх мэт.
Гэсэн хэдий ч, хэрэв ийм хослолд өөр нэг функц ашиглавал энэ нь хоёр "багц" байх тул нарийн төвөгтэй функц болно. Диаграмыг үзнэ үү:
За, одоо яв. "Боох" функцүүдийн дарааллыг бичнэ үү:
\(y=cos((sinx))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg(11^x)\)
\(y=log_2(1+x)\)
Хариултууд нь нийтлэлийн төгсгөлд дахин байна.
Дотоод болон гадаад функцууд
Бид яагаад үүрлэх функцийг ойлгох хэрэгтэй байна вэ? Энэ нь бидэнд юу өгөх вэ? Баримт нь ийм дүн шинжилгээ хийхгүйгээр бид дээр дурдсан функцүүдийн деривативуудыг найдвартай олох боломжгүй юм.
Мөн цааш явахын тулд бидэнд дотоод болон гадаад функц гэсэн хоёр ойлголт хэрэгтэй болно. Энэ бол маш энгийн зүйл, үүнээс гадна бид эдгээрийг аль хэдийн задлан шинжилсэн: хэрэв бид өөрсдийн аналогийг эхэндээ санаж байвал дотоод функц нь "багц", гадаад функц нь "хайрцаг" юм. Тэдгээр. Юуны өмнө X нь "боож" байгаа нь дотоод функц бөгөөд дотоод функц нь аль хэдийн гадаад байна. Яагаад гэдэг нь ойлгомжтой - тэр гадаа байна, энэ нь гаднах гэсэн үг юм.
Энэ жишээнд: \(y=tg(log_2x)\), \(\log_2x\) функц нь дотоод бөгөөд 
- гадаад.
Үүнд: \(y=\cos((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) дотоод, мөн 
- гадаад.
Нарийн төвөгтэй функцүүдэд дүн шинжилгээ хийх сүүлчийн дадлагаа дуусгаад эцэст нь бидний эхлүүлсэн зүйл рүү шилжье - бид нарийн төвөгтэй функцүүдийн деривативуудыг олох болно.
Хүснэгтийн хоосон зайг бөглөнө үү:
Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив
Сайн байцгаана уу, бид эцэст нь энэ сэдвийн "дарга" -д хүрлээ - үнэндээ нарийн төвөгтэй функцийн дериватив, ялангуяа өгүүллийн эхнээс тэр маш аймшигтай томьёо.☺
\((f(g(x))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)
Энэ томъёог дараах байдлаар уншина.
Нийлмэл функцийн уламжлал нь тогтмол дотоод функц болон дотоод функцийн деривативын гадаад функцийн деривативын үржвэртэй тэнцүү байна.
Юу болохыг ойлгохын тулд "үгээр үгээр" задлан шинжлэх диаграмыг нэн даруй хараарай.
"Үүсмэл" болон "бүтээгдэхүүн" гэсэн нэр томъёо нь ямар ч хүндрэл учруулахгүй гэж найдаж байна. "Цогцолбор функц" - бид үүнийг аль хэдийн ангилсан. Барилт нь "тогтмол дотоод функцтэй холбоотой гадаад функцийн дериватив"-д байна. Энэ юу вэ?
Хариулт: Энэ бол зөвхөн гадаад функц өөрчлөгддөг, дотоод функц нь өөрчлөгддөг гадаад функцийн ердийн уламжлал юм. Одоо хүртэл тодорхойгүй байна уу? За, жишээ татъя.
\(y=\sin(x^3)\) функцтэй болгоё. Энд дотоод функц нь \(x^3\), гадаад функц болох нь тодорхой байна 
. Одоо байнгын дотоод засалтай холбоотой гадна талын деривативыг олцгооё.