Нэг цэг дээрх хоёр хувьсагчийн функцийн тасралтгүй байдал. Хоёр хувьсагчийн функцийн хязгаар ба тасралтгүй байдал

76. Нөхцөлт экстремум. Лагранжийн үржүүлэгчийн арга . z=f(x,y) функц нь M 0 (x 0 ,y 0) дотоод цэг дээр нөхцөлт минимум (хамгийн их) байна, хэрвээ зарим хөршийн O(M 0) M(x,y) цэгүүдийн хувьд хангагдсан бол холболтын тэгшитгэл ϕ(x,y)=0, нөхцөл ∆f(x 0 ,y 0)=f(x,y)-f(x 0 ,y 0)≥0, (∆f(x 0 ,y) 0)≤ 0). Ерөнхий тохиолдолд энэ асуудал нь үл мэдэгдэх Лагранжийн үржүүлэгч λ-тэй ердийн Лагранжийн экстремум L(x,y,λ)=f(x,y)=λϕ(x,y)-ийг олоход хүргэдэг. L(x,y,λ) Лагранжийн функцийн экстремумын зайлшгүй нөхцөл нь гурван үл мэдэгдэх x,y,λ бүхий гурван тэгшитгэлийн систем юм. . Лагранжийн функцийн экстремумын хангалттай нөхцөл нь дараах хэллэг ∆>0, тэгвэл M 0 (x 0 ,y 0) цэг дээрх z=f(x,y) функц нь ∆ нөхцөлт минимумтай байна.<0- то условный максимум.

77. Тооны цуваа. Үндсэн ойлголтууд. Цуврал нэгдэл . Тооны цувралхэлбэрийн илэрхийлэл гэж нэрлэдэг, Энд u 1 , u 2 ,….,u n ,… нь бодит буюу нийлмэл тоонууд гэж нэрлэгддэг тооны гишүүд, чи - нийтлэг гишүүнэгнээ. Цувралыг өгөгдсөн гэж үзнэ u n цувралын нийтлэг гишүүн нь түүний n тооны функцээр илэрхийлэгдэнэ: u n =f(n) Цувралын эхний n гишүүний нийлбэрийг n-р гэж нэрлэдэг хэсэгчилсэн дүнцуврал ба S n-ээр тэмдэглэгдсэн, i.e. S n =u 1 +u 2 +…+u n. Цувралын хэсэгчилсэн нийлбэрийн дараалалд хязгаарлагдмал хязгаар байгаа бол , дараа нь энэ хязгаар гэж нэрлэдэг цувралын нийлбэрмөн тэд цуврал гэж хэлдэг нийлдэг.

78. Конвергенцийн зайлшгүй шинж тэмдэг. Гармоник цуврал. Теорем: u 1 +u 2 +…+u n +…, (1) тооны цуваа нийлж, S нь нийлбэр байг. Дараа нь цувралын гишүүний n тоо хязгааргүй өсөхөд түүний нийтлэг гишүүн u n нь 0 байх хандлагатай байна. Энэ тэмдэг нь цуваа нийлэх зайлшгүй шаардлагатай боловч хангалттай биш, учир нь та тэгш байдал хангагдсан цувралыг зааж өгч болно

Үнэн хэрэгтээ хэрэв нийлсэн бол 0-тэй тэнцүү байх болно. Иймээс бидний баталсан теорем нь заримдаа S n нийлбэрийг тооцохгүйгээр тодорхой цувааны зөрүүгийн талаар дүгнэлт хийх боломжийг олгодог. Жишээ нь, цуврал нь зөрөөд байгаа учраас . Гармоник цуврал- натурал цувралын дараалсан тоонуудын урвуу тооны хязгааргүй тооны гишүүнээс бүрдэх нийлбэр: Цуврал нь "гармоник"-аас бүрддэг тул гармоник гэж нэрлэдэг: (\displaystyle k) хийлийн чавхдаснаас гаргаж авсан дах гармоник нь урт (\displaystyle (\frac (1)(k))) анхны мөрний урт.

Тодорхойлолт 1

Хэрэв зарим домэйны бие даасан хоёр хувьсагчийн $(x,y)$ хос бүрийн хувьд $z$ тодорхой утга холбогдсон бол $z$ нь $(x,y) хоёр хувьсагчийн функц гэж нэрлэгддэг. Энэ домэйнд $.

Тэмдэглэгээ: $z=f(x,y)$.

$(x,y)$ бие даасан хоёр хувьсагчийн $z=f(x,y)$ функцийг өгье.

Тайлбар 1

$(x,y)$ хувьсагч нь бие даасан байдаг тул тэдгээрийн нэг нь өөрчлөгдөж, нөгөө нь тогтмол хэвээр үлдэнэ.

$y$ хувьсагчийн утгыг өөрчлөхгүйгээр $x$ хувьсагчид $\Delta x$-ийн өсөлтийг өгье.

Дараа нь $z=f(x,y)$ функц нь нэмэгдлийг хүлээн авах бөгөөд үүнийг $x$ хувьсагчийн хувьд $z=f(x,y)$ функцийн хэсэгчилсэн өсөлт гэж нэрлэнэ. Зориулалт:

Тодорхойлолт 2

Өгөгдсөн функцийн $x$ хувьсагчийн хувьд хэсэгчилсэн дериватив $z=f(x,y)$ нь тухайн функцийн $\Delta _(x) z$ хэсэгчилсэн өсөлтийн харьцааны хязгаар юм. $\Delta x$-г $\Delta x\ дээр 0$ хүртэл нэмэгдүүлнэ.

Тэмдэглэгээ: $z"_(x) ,\, \, f"_(x) (x,y),\, \, \frac(\partial z)(\partial x) ,\, \, \frac( \partial f)(\partial x) $.

Тайлбар 2

\[\frac(\partial z)(\partial x) =\mathop(\lim )\limits_(\Delta x\to 0) \frac(\Delta _(x) z)(\Delta x) =\mathop (\lim )\limits_(\Delta x\to 0) \frac(f(x+\Delta x,y)-f(x,y))(\Delta x) .\]

$y$ хувьсагчийн утгыг өөрчлөхгүйгээр $\Delta y$-аар нэмэгдүүлье.

Дараа нь $z=f(x,y)$ функц нь $y$ хувьсагчтай холбоотой $z=f(x,y)$ функцийн хэсэгчилсэн өсөлт гэж нэрлэгдэх нэмэгдлийг хүлээн авах болно. Зориулалт:

Тодорхойлолт 3

$z=f(x,y)$ функцийн $y$ хувьсагчтай холбоотой хэсэгчилсэн дериватив нь өгөгдсөн функцийн $\Delta _(y) z$ хэсэгчилсэн өсөлтийн харьцааны хязгаар юм. $\Delta y$-г $\Delta y\ дээр 0$ хүртэл нэмэгдүүлнэ.

Тэмдэглэгээ: $z"_(y) ,\, \, f"_(y) (x,y),\, \, \frac(\partial z)(\partial y) ,\, \, \frac( \partial f)(\partial y) $.

Тайлбар 3

Хэсэгчилсэн деривативын тодорхойлолтоор бид:

\[\frac(\partial z)(\partial y) =\mathop(\lim )\limits_(\Delta y\to 0) \frac(\Delta _(y) z)(\Delta y) =\mathop (\lim )\limits_(\Delta y\to 0) \frac(f(x,y+\Delta y)-f(x,y))(\Delta y) .\]

Өгөгдсөн функцийн хэсэгчилсэн деривативыг тооцоолох дүрэм нь нэг хувьсагчийн функцийн деривативыг тооцоолох дүрэмтэй давхцаж байгааг анхаарна уу. Гэсэн хэдий ч хэсэгчилсэн деривативыг тооцоолохдоо аль хувьсагчийн хувьд хэсэгчилсэн дериватив хайж байгааг санах хэрэгтэй.

Жишээ 1

Шийдэл:

$\frac(\partial z)(\partial x) =(x+y^(2))"_(x) =1$ (хувьсагч $x$),

$\frac(\partial z)(\partial y) =(x+y^(2))"_(y) =2y$ (хувьсагч $y$).

Жишээ 2

Өгөгдсөн функцийн хэсэгчилсэн деривативуудыг тодорхойл.

цэг дээр (1;2).

Шийдэл:

Хэсэгчилсэн деривативын тодорхойлолтоор бид дараахь зүйлийг авна.

$\frac(\partial z)(\partial x) =(x^(2) +y^(3))"_(x) =2x$ (хувьсагч $x$),

$\frac(\partial z)(\partial y) =(x^(2) +y^(3))"_(y) =3y^(2) $ (хувьсагч $y$).

\[\зүүн. \frac(\partial z)(\partial x) \right|_((1;2)) =2\cdot 1=2, \left. \frac(\partial z)(\partial y) \right|_((1;2)) =3\cdot 2^(2) =12.\]

Тодорхойлолт 4

Хэрэв зарим домэйны бие даасан гурван хувьсагчийн $(x,y,z)$ гурвалсан утгын хувьд тодорхой $w$ утга холбогдсон бол $w$-ийг $(x,) гэсэн гурван хувьсагчийн функц гэнэ. y,z)$ энэ хэсэгт.

Тэмдэглэгээ: $w=f(x,y,z)$.

Тодорхойлолт 5

Хэрэв зарим домэйны бие даасан хувьсагчийн $(x,y,z,...,t)$ багц бүрт тодорхой $w$ утга холбогдсон бол $w$-ийг функц гэж хэлнэ. хувьсагч $(x,y, z,...,t)$ энэ хэсэгт.

Тэмдэглэгээ: $w=f(x,y,z,...,t)$.

Гурав ба түүнээс дээш хувьсагчийн функцийн хувьд хувьсагч тус бүрийн хэсэгчилсэн деривативыг хоёр хувьсагчийн функцийн нэгэн адил тодорхойлно.

$\frac(\partial w)(\partial z) =\mathop(\lim )\limits_(\Delta z\to 0) \frac(\Delta _(z) w)(\Delta z) =\mathop( \lim )\limits_(\Delta z\to 0) \frac(f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z))(\Delta z) $;

$\frac(\partial w)(\partial t) =\mathop(\lim )\limits_(\Delta t\to 0) \frac(\Delta _(t) w)(\Delta t) =\mathop( \lim )\limits_(\Delta t\to 0) \frac(f(x,y,z,...,t+\Delta t)-f(x,y,z,...,t))( \Delta t) $.

Жишээ 3

Өгөгдсөн функцийн хэсэгчилсэн деривативуудыг тодорхойл.

Шийдэл:

Хэсэгчилсэн деривативын тодорхойлолтоор бид дараахь зүйлийг авна.

$\frac(\partial w)(\partial x) =(x+y^(2) +2z)"_(x) =1$ (хувьсагч $x$),

$\frac(\partial w)(\partial y) =(x+y^(2) +2z)"_(y) =2y$ ($y$ хувьсагчаар),

$\frac(\partial w)(\partial z) =(x+y^(2) +2z)"_(z) =2$ (хувьсагч $z$).

Жишээ 4

Өгөгдсөн функцийн хэсэгчилсэн деривативуудыг тодорхойл.

цэг дээр (1;2;1).

Шийдэл:

Хэсэгчилсэн деривативын тодорхойлолтоор бид дараахь зүйлийг авна.

$\frac(\partial w)(\partial x) =(x+y^(2) +2\ln z)"_(x) =1$ (хувьсагч $x$),

$\frac(\partial w)(\partial y) =(x+y^(2) +2\ln z)"_(y) =2y$ ($y$ хувьсагчаар),

$\frac(\partial w)(\partial z) =(x+y^(2) +2\ln z)"_(z) =\frac(2)(z) $ (хувьсагч $z$) .

Тухайн цэг дэх хэсэгчилсэн деривативын утга:

\[\зүүн. \frac(\partial w)(\partial x) \right|_((1;2;1)) =1, \left. \frac(\partial w)(\partial y) \right|_((1;2;1)) =2\cdot 2=4, \left. \frac(\partial w)(\partial z) \right|_((1;2;1)) =\frac(2)(1) =2.\]

Жишээ 5

Өгөгдсөн функцийн хэсэгчилсэн деривативуудыг тодорхойл.

Шийдэл:

Хэсэгчилсэн деривативын тодорхойлолтоор бид дараахь зүйлийг авна.

$\frac(\partial w)(\partial x) =(3\ln x+y^(2) +2z+...+t^(2))"_(x) =\frac(3)(x) ) $ (хувьсагчаар $x$),

$\frac(\partial w)(\partial y) =(3\ln x+y^(2) +2z+...+t^(2))"_(y) =2y$ ($y хувьсагчаар) $),

$\frac(\partial w)(\partial z) =(3\ln x+y^(2) +2z+...+t^(2))"_(z) =2$ (хувьсагч $z) $),

$\frac(\partial w)(\partial t) =(3\ln x+y^(2) +2z+...+t^(2))"_(t) =2t$ (хувьсагч $t) $).

Тэнхим: Дээд математик

Хийсвэр

"Дээд математик" чиглэлээр

Сэдэв: "Хэд хэдэн хувьсагчийн функцүүдийн хязгаар ба тасралтгүй байдал"

Тольятти, 2008 он

Танилцуулга

Нэг хувьсагчийн функцийн тухай ойлголт нь байгальд байгаа бүх хамаарлыг хамардаггүй. Хамгийн энгийн асуудалд ч гэсэн утгууд нь хэд хэдэн хэмжигдэхүүний утгуудын хослолоор тодорхойлогддог хэмжигдэхүүнүүд байдаг.

Ийм хамаарлыг судлахын тулд хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн тухай ойлголтыг нэвтрүүлсэн.

Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн тухай ойлголт

Тодорхойлолт.Хэмжээ ухэд хэдэн бие даасан хувьсагчийн функц гэж нэрлэдэг ( x, y, z, …, т), хэрэв эдгээр хувьсагчдын утгын багц бүр нь тухайн хэмжигдэхүүний тодорхой утгатай холбоотой бол у.

Хэрэв хувьсагч нь хоёр хувьсагчийн функц бол XТэгээд цагт, дараа нь функциональ хамаарлыг тэмдэглэнэ

z = е (x, y).

Тэмдэг еэнд үйлдлүүдийн багц эсвэл утгыг тооцоолох дүрмийг тодорхойлдог zөгөгдсөн хос утгын хувьд XТэгээд цагт.

Тиймээс, функцийн хувьд z = x 2 + 3xy

цагт X= 1 ба цагт= 1 бидэнд байна z = 4,

цагт X= 2 ба цагт= 3 бидэнд байна z = 22,

цагт X= 4 ба цагт= 0 бидэнд байна z= 16 гэх мэт.

Тоо хэмжээг ижил төстэй гэж нэрлэдэг угурван хувьсагчийн функц x, y, z, хэрэв өгөгдсөн гурвалсан утгын хувьд дүрэм өгөгдсөн бол x, yТэгээд zхаргалзах утгыг тооцоол у:

у = Ф (x, y, z).

Энд тэмдэг Фүйлдлийн багц эсвэл утгыг тооцоолох дүрмийг тодорхойлдог у, эдгээр утгуудтай тохирч байна x, yТэгээд z.

Тиймээс, функцийн хувьд у = xy + 2xz – 3yz

цагт X = 1, цагт= 1 ба z= 1 бидэнд байна у = 0,

цагт X = 1, цагт= -2 ба z= 3 бидэнд байна у = 22,

цагт X = 2, цагт= -1 ба z= -2 байна у = -16 гэх мэт.

Тиймээс, хэрэв хүн ам бүрийн зарим хуулийн дагуу nтоо ( x, y, z, …, т) зарим багцаас Эхувьсагчдад тодорхой утгыг оноодог у, дараа нь уфункц гэж нэрлэдэг nхувьсагч x, y, z, …, т, багц дээр тодорхойлсон Э, болон тэмдэглэгдсэн байна

у = е(x, y, z, …, т).

Хувьсагч x, y, z, …, тфункцийн аргументууд, багц гэж нэрлэдэг Э– функцийг тодорхойлох домэйн.

Функцийн хэсэгчилсэн утга нь тухайн функцийн тодорхой цэг дэх утга юм М 0 (x 0 , y 0 , z 0 , …, т 0) болон томилогдсон е (М 0) = е (x 0 , y 0 , z 0 , …, т 0).

Функцийн домэйн нь функцын аливаа бодит утгуудтай тохирч буй бүх аргументуудын утгуудын багц юм.

Хоёр хувьсагчийн функц z = е (x, y) орон зайд энэ нь ямар нэг гадаргуугаар дүрслэгддэг. Энэ нь координаттай цэг байх үед X, цагтхавтгайд байрлах функцийг тодорхойлох бүхэл бүтэн мужийг дамждаг xOy, харгалзах орон зайн цэг нь ерөнхийдөө гадаргууг дүрсэлдэг.

Гурван хувьсагчийн функц у = Ф (x, y, z) гурван хэмжээст орон зай дахь тодорхой цэгүүдийн цэгийн функц гэж үздэг. Үүний нэгэн адил функц nхувьсагч у = е(x, y, z, …, т) зарим нэг цэгийн функц гэж үздэг n- хэмжээст орон зай.

Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн хязгаар

Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн хязгаарын тухай ойлголтыг өгөхийн тулд бид хоёр хувьсагчийн тохиолдлоор өөрсдийгөө хязгаарладаг. XТэгээд цагт. Тодорхойлолтоор бол функц е (x, y) цэг дээр хязгаар бий ( X 0 , цагт 0), тоотой тэнцүү байна А, дараах байдлаар тэмдэглэнэ.

(тэд бас бичдэг е (x, y) →Ацагт (x, y) → (X 0 , цагт 0)), хэрэв энэ нь тухайн цэгийн ойролцоо тодорхойлогдсон бол ( X 0 , цагт 0), магадгүй энэ үед өөрөө болон хязгаар байгаа эсэхийг эс тооцвол

ямар ч хандлагатай байсан ( X 0 , цагт 0) цэгүүдийн дараалал ( х к, у к).

Нэг хувьсагчийн функцийн нэгэн адил хоёр хувьсагчийн функцийн хязгаарын өөр эквивалент тодорхойлолтыг оруулж болно: функц ецэг дээр байна ( X 0 , цагт 0) хязгаартай тэнцүү байна А, хэрэв энэ нь тухайн цэгийн зарим хөршид тодорхойлогдсон бол ( X 0 , цагт 0) эс тооцвол энэ цэгийн хувьд мөн аливаа ε > 0-ийн хувьд δ > 0 байна.

| е (x, y) – А| < ε(3)

хүн бүрт (x, y) , тэгш бус байдлыг хангах

Энэ тодорхойлолт нь эргээд дараахтай тэнцүү байна: дурын ε > 0-ийн хувьд цэгийн δ-хөрш байна ( X 0 , цагт 0) бүгдэд зориулсан ( x, y) энэ хөршөөс, өөр (( X 0 , цагт 0), тэгш бус байдал (3) хангагдсан байна.

Дурын цэгийн координатууд ( x, y) цэгийн хөрш ( X 0 , цагт 0) гэж бичиж болно x = x 0 + Δ X, y = y 0 + Δ цагт, тэгвэл (1) тэгш байдал нь дараах тэгшитгэлтэй тэнцүү байна.

Цэгийн ойролцоо тодорхойлогдсон зарим функцийг авч үзье ( X 0 , цагт 0), магадгүй энэ цэгийг эс тооцвол.

ω = (ω X, ω цагт) – нэг урттай дурын вектор (|ω| 2 = ω X 2 + ω цагт 2 = 1) ба т> 0 – скаляр. Харах цэгүүд

(X 0 + тω X, y 0 + тω цагт) (0 < т)

-аас гарч буй туяа үүсгэх ( X 0 , цагт 0) векторын чиглэлд ω. ω бүрийн хувьд функцийг авч үзэж болно

е(X 0 + тω X, y 0 + тω цагт) (0 < т< δ)

скаляр хувьсагчаас т, энд δ нь нэлээд бага тоо юм.

Энэ функцийн хязгаар (нэг хувьсагч) т)

хэрэв байгаа бол түүнийг хязгаар гэж нэрлэх нь зүйн хэрэг ецэг дээр ( X 0 , цагт 0) ω чиглэлд.

Жишээ 1.Функцүүд

хавтгай дээр тодорхойлсон ( x, y) цэгээс бусад X 0 = 0, цагт 0 = 0. Бидэнд (үүнийг анхаарч үзээрэй

(ε > 0-ийн хувьд бид δ = ε/2 гэж тохируулаад дараа нь | е (x, y) | < ε, если

Эндээс янз бүрийн чиглэлд (0, 0) цэг дэх φ хязгаар нь ерөнхийдөө өөр байх нь тодорхой байна (нэгж цацрагийн вектор y = kx, X> 0 хэлбэртэй байна

Жишээ 2.-д авч үзье Р 2 функц

Энэ функц нь дурын шугамын (0, 0) цэгт байна y = kxгарал үүслээр дамжин өнгөрөх нь тэгтэй тэнцүү хязгаартай байна:

Гэсэн хэдий ч, энэ функц нь (0, 0) цэгүүдэд хязгааргүй, учир нь хэзээ у = x 2

Бид бичих болно

|е (x, y) | > Н,

0 болмогц<

Бид бас хязгаарын талаар ярьж болно е, Хэзээ X, цагт → ∞:

Жишээлбэл, төгсгөлтэй тооны хувьд Атэгш байдлыг (5) ε > 0 болгонд ийм байна гэсэн утгаар ойлгох ёстой Н> 0, энэ нь хүн бүрт зориулагдсан X, цагт, үүний төлөө | x| > Н, |y| > Н, функц етодорхойлсон ба тэгш бус байдал хадгалагдана

Байгаль, эдийн засаг, нийгмийн амьдралд тохиолдож буй олон үзэгдлийг нэг хувьсагчийн функцээр тайлбарлах боломжгүй. Жишээлбэл, аж ахуйн нэгжийн ашигт ажиллагаа нь ашиг, үндсэн болон эргэлтийн хөрөнгөөс хамаарна. Энэ төрлийн хамаарлыг судлахын тулд хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн тухай ойлголтыг нэвтрүүлсэн.

Хоёр хувьсагчийн функцэд зориулагдсан бүх үндсэн ойлголт, теоремуудыг илүү олон тооны хувьсагчтай тохиолдолд хялбархан ерөнхийлж болох тул энэ лекцэнд хоёр хувьсагчийн функцүүдийн талаар ярилцах болно.

Болъё Б– бодит тоонуудын дараалсан хосуудын багц.

Тодорхойлолт 1Хэрэв захиалгат хос тоо бүр нь зарим хуулийн дагуу нэг бодит тоотой холбоотой бол тэд өгөгдсөн гэж хэлдэг. хоёр хувьсагчийн функц эсвэл .Тоонуудыг дуудаж байна бие даасан хувьсагчидэсвэл функцийн аргументууд, мөн тоо нь байна хамааралтай хувьсагч.

Жишээлбэл, цилиндрийн эзэлхүүнийг илэрхийлэх томъёо нь хоёр хувьсагчийн функц юм: – суурь радиус ба – өндөр.

Хос тоог заримдаа цэг, хоёр хувьсагчийн функцийг цэгийн функц гэж нэрлэдэг.

Функцийн утга цэг дээр тэмдэглэнэ эсвэл мөн залгана уу хоёр хувьсагчийн функцийн хувийн утга.

Функцийг тодорхойлсон бүх цэгүүдийн багц , дуудсан тодорхойлолтын домэйн энэ функц. Хоёр хувьсагчийн функцийн хувьд тодорхойлох талбар нь нэг буюу хэд хэдэн шугамаар хязгаарлагдсан координатын бүхэл хавтгай эсвэл түүний хэсэг юм.

Жишээлбэл, функцийн тодорхойлолтын муж нь бүхэл хавтгай ба функцууд юм – эх цэг дээр төвтэй нэгж тойрог ( эсвэл .

Хоёр хувьсагчийн функцийн хязгаар ба тасралтгүй байдлын тухай ойлголт нь нэг хувьсагчийн тохиолдолтой төстэй.

Хавтгай дээрх дурын цэг байцгаая. – цэгийн хөрш нь координатууд нь тэгш бус байдлыг хангадаг бүх цэгүүдийн олонлог юм. Өөрөөр хэлбэл, цэгийн хөрш гэдэг нь цэг ба радиус дээр төвтэй тойргийн бүх дотоод цэгүүд юм.

Тодорхойлолт 2дугаарыг дуудаж байна функцийн хязгаарцагт (эсвэл цэг дээр), хэрэв дурын жижиг эерэг тоо байгаа бол (хамааралтайгаар) бүгдэд нь , тэгш бус байдлыг хангаж, тэгш бус байдал хангагдана .

Хязгаарыг дараах байдлаар зааж өгсөн болно. эсвэл .

Жишээ 1Хязгаарыг ол .

Шийдэл.Тэмдэглэгээг танилцуулъя , хаана. At бидэнд ийм байна. Дараа нь

.

Тодорхойлолт 3Функцийг дууддаг нэг цэг дээр тасралтгүй, хэрэв: 1) цэг болон түүний эргэн тойронд тодорхойлогдсон; 2) хязгаарлагдмал хязгаартай; 3) энэ хязгаар нь тухайн цэг дэх функцын утгатай тэнцүү, i.e. .

Чиг үүрэг дуудсан зарим хэсэгт тасралтгүй, хэрэв энэ бүс нутгийн цэг бүрт тасралтгүй байвал.

Тасралтгүй байдлын нөхцөл хангагдаагүй цэгүүдийг дуудна таслах цэгүүдэнэ функц. Зарим функцэд таслах цэгүүд нь бүхэл бүтэн таслах шугам үүсгэдэг. Жишээлбэл, функц нь axis() ба axis() гэсэн хоёр таслах шугамтай байдаг.

Жишээ 2Функцийн таслах цэгийг ол .

Шийдэл.Энэ функц нь хуваагч алга болох цэгүүдэд тодорхойлогдоогүй. эсвэл . Энэ нь эх болон радиус дээр төвтэй тойрог юм. Энэ нь анхны функцийн тасархай шугам нь тойрог болно гэсэн үг юм.

2 Нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативууд. Бүрэн дифференциал.
Дээд эрэмбийн хэсэгчилсэн дериватив

Хоёр хувьсагчийн функцийг өгье . Аргументыг нэмэгдүүлье, аргументыг өөрчлөхгүй орхиё. Дараа нь функц нь дуудагдах нэмэгдлийг хүлээн авах болно хувьсагчаар хувийн өсөлтба дараах байдлаар тэмдэглэнэ.

Үүний нэгэн адил, аргументыг засаж, аргументыг нэмэгдүүлснээр бид олж авна хувьсагчаар функцийн хэсэгчилсэн өсөлт:

Тоо хэмжээ гэж нэрлэдэг цэг дээрх функцийн бүрэн өсөлт .

Тодорхойлолт 4 Хоёр хувьсагчийн функцийн хэсэгчилсэн дериватив Эдгээр хувьсагчийн аль нэгийн дагуу функцийн харгалзах хэсэгчилсэн өсөлтийн өгөгдсөн хувьсагчийн өсөлтийн харьцааны хязгаарыг сүүлийнх нь тэг рүү чиглэх үед (хэрэв энэ хязгаар байгаа бол) гэж нэрлэдэг.

Хэсэгчилсэн деривативыг дараах байдлаар тэмдэглэнэ: эсвэл , эсвэл .

Тиймээс, 4-р тодорхойлолтоор бид:

Хэсэгчилсэн дериватив функцууд Нэг хувьсагчийн функцээр ижил дүрэм, томьёоны дагуу тооцож, хувьсагчийг ялгахдаа, тогтмол гэж үздэг ба хувьсагчийн хувьд ялгах үед тогтмол гэж үздэг.

Жишээ 3Функцийн хэсэгчилсэн деривативуудыг ол:

Шийдэл:

1 Үүнийг олохын тулд бид тоолдог тогтмол үнэ цэнэ ба ялгах нэг хувьсагчийн функц болгон:

Үүний нэгэн адил, тогтмол утгыг авч үзвэл бид дараахь зүйлийг олно.

.

.

Тодорхойлолт 5 Бүрэн дифференциал функц Энэ функцийн хэсэгчилсэн деривативуудын үржвэрүүдийн нийлбэр нь харгалзах бие даасан хувьсагчдын өсөлт, i.e.

.

Засаагүй тохиолдолд: , мөн нийт дифференциалын томьёог гэж бичиж болно

эсвэл .

Жишээ 4Функцийн бүрэн дифференциалыг ол .

Шийдэл.Учир нь , дараа нь бид олдог нийт дифференциал томъёог ашиглан

.

Хэсэгчилсэн деривативыг нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн дериватив гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт 6 Хоёр дахь эрэмбийн хэсэгчилсэн дериватив функцийг нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативын хэсэгчилсэн дериватив гэж нэрлэдэг.

Хоёрдахь эрэмбийн дөрвөн хэсэгчилсэн дериватив байдаг. Тэдгээрийг дараах байдлаар томилно.

Эсвэл ; эсвэл ;

Эсвэл ; эсвэл .

3, 4 ба түүнээс дээш зэрэглэлийн хэсэгчилсэн деривативуудыг ижил төстэй байдлаар тодорхойлдог. Жишээлбэл, функцийн хувьд бидэнд байна:

; гэх мэт.

Төрөл бүрийн хувьсагчийн хувьд авсан хоёр дахь буюу түүнээс дээш эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг нэрлэдэг холимог хэсэгчилсэн дериватив.Функцийн хувьд эдгээр нь деривативууд юм. Холимог деривативууд тасралтгүй байх тохиолдолд тэгш байдал хадгалагдана гэдгийг анхаарна уу.

Жишээ 5Функцийн хоёрдугаар эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг ол.

Шийдэл.Энэ функцийн эхний эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг 3-р жишээнд үзүүлэв.

Хувьсагчаар ялгах XТэгээд y, бид авах:

3 Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн экстремум.
Экстремум оршин тогтнох шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл

Тодорхойлолт 7цэг гэж нэрлэдэг хамгийн бага (хамгийн их) цэгХэрэв энэ хөршийн бүх цэгүүдэд тэгш бус байдал бий болохуйц цэгийн хөрш байгаа бол функц , ().

Функцийн хамгийн бага ба хамгийн их цэгүүд гэж нэрлэдэг экстремум цэгүүд, мөн эдгээр цэгүүдийн функцын утгууд нь байна функцийн экстремум(хамгийн бага ба дээд тал нь тус тус).

Хамгийн бага ба хамгийн их функцууд байдаг гэдгийг анхаарна уу орон нутгийнтэмдэгт, учир нь тухайн цэг дэх функцийн утгыг хангалттай ойрхон цэгүүдийн утгатай харьцуулдаг.

Теорем 1(экстремумын зайлшгүй нөхцөл). Хэрэв нь дифференциалагдах функцийн экстремум цэг бөгөөд энэ цэг дэх түүний хэсэгчилсэн дериватив нь тэгтэй тэнцүү байна. .

Эхний эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативууд тэгтэй тэнцүү байх цэгүүдийг дуудна шүүмжлэлтэйэсвэл суурин. Чухал цэгүүдэд функц экстремум байж болно, үгүй ​​ч байж болно.

Теорем 2(экстремумын хувьд хангалттай нөхцөл) функцийг үзье: a) эгзэгтэй цэгийн зарим хөршид тодорхойлогдоно Тэгээд ; б) хоёр дахь эрэмбийн тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативтай . Дараа нь бол , тэгвэл цэг дээрх функц нь экстремумтай байна: хэрэв А бол дээд тал нь<0; минимум, если А>0; Хэрэв , тэгвэл функц нь экстремумгүй болно. тохиолдолд экстремум байгаа эсэх асуудал нээлттэй хэвээр байна.

Экстремумын хувьд хоёр хувьсагчийн функцийг судлахдаа дараахь схемийг ашиглахыг зөвлөж байна.

1 Эхний эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг ол: Тэгээд .

2 Тэгшитгэлийн системийг шийдэж, функцийн критик цэгүүдийг ол.

3 Хоёрдахь эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг ол: , , .

4 Хоёрдахь эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативын утгыг тус бүрээр тооцоол

эгзэгтэй цэгт хүрч, хангалттай нөхцөлийг ашиглан экстремум байгаа эсэх талаар дүгнэлт гарга.

5 Функцийн экстремумыг ол.

Жишээ 6Функцийн экстремумыг ол .

Шийдэл:

1 Хэсэгчилсэн деривативуудыг олох Тэгээд :

; .

2 Чухал цэгүүдийг тодорхойлохын тулд бид тэгшитгэлийн системийг шийднэ.

эсвэл

Системийн эхний тэгшитгэлээс бид олно: . Олдсон утгыг орлуулах yХоёр дахь тэгшитгэлд бид дараахь зүйлийг авна.

, , ,

.

Үнэт зүйлсийг олох y, утгуудтай тохирч байна . Орлуулах утгууд Тэгшитгэлд бид дараахыг авна: ; Үндсэн тодорхойгүй интегралын хүснэгтэд тэгш байдал хангагдана.

Шийдэл.Интеграцийн үр дүнг ялгаж үзье:

.

Бид интегралыг авсан тул интеграл зөв байна.

Тодорхойлолт 1.Тоо АХэрэв дурын жижиг эерэг тооны хувьд цэгээс бага зайд байрлах бүх цэгүүдэд тэгш бус байдал үүснэ гэсэн эерэг тоо байвал тухайн цэг дэх функцийн хязгаар гэж нэрлэдэг (эсвэл ба -д).

Хязгаарыг зааж өгсөн.

Тодорхойлолт 2.Чиг үүрэг
Хэрэв энэ цэг дэх функцийн хязгаар байгаа бол тухайн цэг дээр тасралтгүй гэж нэрлэдэг ба .

Функц тасралтгүй байх шинж чанартай байдаггүй цэгүүдийг тасархай цэг гэж нэрлэдэг.

Нэг хувьсагчийн функцийн хязгаарын онолын бүх шинж чанар, аргуудыг хэд хэдэн хувьсагчийн функцүүдэд шилжүүлдэг.

2) Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь магадлалын онолын үндсэн ойлголтуудын нэг юм. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь магадлалын орон зайд тодорхойлогдсон хэмжигдэхүйц функц юм

Дискрет утга нь туршилт хийхдээ тусгаарлагдсан утгуудын аль нэгийг авах боломжтой санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм. Эдгээрт эхний бүлгийн тоо хэмжээ орно.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг үргэлжилсэн хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь хувьсах хязгаарын хүрээнд төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй байж болох аливаа утгыг авч болно. Эдгээрт хоёр дахь бүлгийн тоо хэмжээ орно.

Тасалбарын дугаар 6

1) Экспоненциал- натурал тоог өөрөө дахин дахин үржүүлснээс үүссэн хоёртын үйлдэл. Тэмдэглэл: дуудагдсан зэрэг-тай суурьТэгээд үзүүлэлт .

Мойврын томъёонийлмэл тоонуудын хувьд гэж заасан

хэний ч төлөө

Томьёог 1707 онд үүсгэн байгуулсан агуу И.Ньютоны найз математикч И.Мойврын нэрээр нэрлэсэн; Л.Эйлер томъёонд орчин үеийн дүр төрхийг өгсөн.

Нотолгоо [засварлах]

Мойврын томьёо нь Эйлерийн томьёо болон экспоненциалуудын таних тэмдэгээс шууд гардаг. б- бүхэл тоо.

Өргөдөл [засах]

Үндэсийг тооцоолохдоо ижил төстэй томъёог бас хэрэглэнэ n-тэг биш комплекс тооны р зэрэглэл:

Хаана к = 0, 1, …, n-1.

Таамаглалын магадлал

Таамаглалын магадлал.

Б1, В2, нийлмэл бус үйл явдлуудын аль нэг нь тохиолдоход А үйл явдал тохиолдож, бүрэн бүлэг үүсгэнэ үү? Эдгээр үйл явдлуудын аль нь болох нь урьдаас тодорхойгүй тул тэдгээрийг таамаглал гэж нэрлэдэг. А үйл явдал тохиолдох магадлалыг нийт магадлалын томъёогоор тодорхойлно.

Р(А) = Р(В1)?РВ1(А) + Р(В2) ?РВ2(А)+ ? +Р(Вn) ?РВn(А)

Бэйсийн томъёо:

,

Таамаглалын өмнөх магадлал А(ийм нэр томъёоны утгыг доороос үзнэ үү);

Таамаглалын магадлал Аүйл явдал тохиолдсон үед Б(арын магадлал);

Үйл явдал болох магадлал Бхэрэв таамаглал үнэн бол А;

Үйл явдал болох нийт магадлал Б.

Жишээ:

Тооцооллын жишээ

Эхний ажилчинд гэрлэх магадлал , хоёр дахь ажилчинд - , гурав дахь ажилчинд - . Эхнийх нь эд анги, хоёр дахь нь эд анги, гурав дахь нь эд анги хийсэн. Дэлгүүрийн менежер санамсаргүй хэсгийг авдаг бөгөөд энэ нь гэмтэлтэй болж хувирдаг. Гурав дахь ажилчин энэ хэсгийг хийсэн байх магадлал хэр байна вэ гэсэн асуулт гарч ирнэ.

Үйл явдал - гэмтэлтэй хэсэг, үйл явдал - ажилчны үйлдвэрлэсэн хэсэг. Дараа нь , хаана, ба . Нийт магадлалын томъёоны дагуу

Bayes-ийн томъёог ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

Тасалбар №12

1. Тригонометрийн Фурье цуврал- дурын функцийг үетэй цуваа хэлбэрээр дүрслэх

магадлал ao,an ба bn-ийг Фурье коэффициент гэж нэрлэх ба хэрэв тэдгээрийг олж чадвал (1) цувралыг f(x) функцэд харгалзах Фурьегийн цуваа гэнэ. (1) цувралын хувьд (a1cosx+b1sinx) нэр томъёог эхний буюу үндсэн гармоник гэж нэрлэдэг.

2π үетэй үечилсэн функцийн Фурье цуврал.

Фурье цуврал

Sinx болон cosx-ийн нийлбэрээр дамжуулан стандарт (=ердийн) тэмдэглэгээ

f(x)=ao+ a1cosx+a2cos2x+a3cos3x+...+b1sinx+b2sin2x+b3sin3x+...,

Энд ao, a1,a2,...,b1,b2,.. нь бодит тогтмолууд, өөрөөр хэлбэл.

2.Эсрэг үйл явдлууд.
ЭсрэгБүтэн бүлгийг бүрдүүлдэг өвөрмөц боломжтой хоёр үйл явдлыг нэрлэ. Эсрэг хоёр үйл явдлын аль нэгийг нь А гэж тэмдэглэвэл нөгөөг нь ихэвчлэн тэмдэглэнэ

Теорем. Эсрэг үйл явдлын магадлалын нийлбэр нь нэгтэй тэнцүү байна.

Жишээ 1.Зорилтот руу буудах үед онох, алдах нь эсрэг тэсрэг үйл явдал юм. Хэрэв А нь хит бол эсрэг үйл явдал нь мисс болно.

Жишээ 2.Нэг хэсгийг хайрцагнаас санамсаргүй байдлаар авдаг. "Стандарт хэсэг гарч ирэв", "стандарт бус хэсэг гарч ирэв" гэсэн үйл явдлууд эсрэгээрээ байна

, дээр дурдсанчлан 10/21-тэй тэнцүү байна. [ 1 ]

Тооцоолъё эсрэг үйл явдлын магадлал A. Сонгосон тоо нь өгөгдсөн гурван цифрийн алийг нь ч агуулаагүй явдал юм. [ 2 ]

нийлбэр эсрэг үйл явдлын магадлалнэгтэй тэнцүү. [ 3 ]

Үүний зэрэгцээ эсрэг үйл явдлын магадлал A нь 1-a-аас их байх болно, өөрөөр хэлбэл А үйл явдлын магадлал тэгтэй ойролцоо байхтай адил нэгтэй ойролцоо байх болно.

Тасалбарын дугаар 9

1. Давтамжийн олон өнцөгт сегментүүд нь цэгүүдийг холбодог тасархай шугам гэж нэрлэдэг ( x 1 ; n 1 ), (x 2 ; n 2 ), ..., (х к ; н к ). Давтамжийн олон өнцөгт байгуулахын тулд абсцисса тэнхлэгт тохируулгуудыг зурна. x i , ординат дээр - харгалзах давтамжууд n i . Оноо ( x i ; n i ) шулуун сегментүүдээр холбогдож давтамжийн олон өнцөгтийг олж авна

Давтамжийн гистограмСуурь нь уртын хэсэгчилсэн интервал болох тэгш өнцөгтүүдээс бүрдэх шаталсан дүрс гэж нэрлэдэг h , мөн өндөр нь харьцаатай тэнцүү байна NIH (давтамжийн нягт).

2. Үйл явдал АТэгээд INхэрэв бие даасан гэж нэрлэдэг P(AB) = P(A) P(B).Хэд хэдэн үйл явдал А, IN, ХАМТ,... тэдгээрийн хамтран хэрэгжүүлэх магадлал нь тус бүрийн магадлалын үржвэртэй тэнцүү байвал бие даасан гэж нэрлэдэг. Р(ABC…) = Р(А)Р(IN)Р(ХАМТ)…

Заримдаа харьцаа Р(AB) = Р(А) Р(IN|А) = П(Б)П(А|Б), хүчинтэй П(А)П(B) > 0, мөн магадлалын үржүүлэх теорем гэж нэрлэдэг

Тасалбар №11

1) Х санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг бүхэл тоон тэнхлэгт тодорхойлогдсон сөрөг бус p(t) функц байгаа бол тасралтгүй (тасралтгүй тархсан) хэмжигдэхүүн гэж нэрлэнэ. ) тэнцүү байна:

.

Энэ тохиолдолд p(t) функцийг тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын нягт гэж нэрлэдэг.

Хэрэв ийм p(t) функц байхгүй бол X нь тасралтгүй тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн биш юм.

Тиймээс (6.7) томъёог ашиглан тархалтын нягтыг мэдэж байгаа тул F(x) тархалтын функцийг хялбархан олох боломжтой. Мөн эсрэгээр, мэдэгдэж буй түгээлтийн функцийг ашиглан түгээлтийн нягтралыг сэргээж болно:

Магадлалын нягтын шинж чанарууд

тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн:

1. Тархалтын нягт нь сөрөг бус функц юм:

Геометрийн хувьд энэ нь тархалтын нягтын график нь Ox тэнхлэгээс дээш эсвэл энэ тэнхлэгт байрладаг гэсэн үг юм.

F(+¥)=1 гэж үзвэл: =1. Тэдгээр. магадлалын нягтын график ба x тэнхлэг хоорондын талбай нэгтэй тэнцүү байна.

Эдгээр хоёр шинж чанар нь магадлалын нягтын тархалтын онцлог юм. Эсрэг заалт нь бас батлагдсан:

А ба В үйл явдлуудын нийлбэр нь А эсвэл В үйл явдлуудын ядаж нэг нь тохиолдсон тохиолдолд л тохиолддог A + B гурав дахь үйл явдал юм.

А ба В үйл явдлуудын үржвэр нь АВ гурав дахь үйл явдал бөгөөд зөвхөн А ба В үйл явдлууд хоёулаа тохиолдсон тохиолдолд л тохиолддог.

Хоёр үйл явдлын нийлбэр ба үржвэрийн тухай ойлголтыг аливаа үйл явдлын багцад шилжүүлэх нь ойлгомжтой.

А үйл явдлын эсрэг үйл явдал нь зөвхөн А үйл явдал тохиолдоогүй тохиолдолд л тохиолдох үйл явдал юм.