Д'Аламбертын салшгүй тэмдэг. Тоон цуваа: тодорхойлолт, шинж чанар, нэгдэх шинж тэмдэг, жишээ, шийдэл

Тэмдгийг өөрөө томъёолохын өмнө нэг чухал асуултыг авч үзье.
D'Alembert's convergence тестийг хэзээ хэрэглэх вэ?

D'Alembert-ийн тестийг хэрэглэх үндсэн урьдчилсан нөхцөлүүд нь дараах байдалтай байна.

1) Цувралын нийтлэг нэр томъёо (цувралыг дүүргэх) нь тодорхой хэмжээгээр, жишээ нь, гэх мэт тоог агуулдаг. Түүнээс гадна эдгээр функцүүд хаана, тоологч эсвэл хуваагч дээр байрлах нь огт хамаагүй - хамгийн чухал нь тэдгээр нь тэнд байгаа явдал юм.

2) Цувралын нийтлэг нэр томъёонд факториал орно. Факториаль гэж юу вэ?

…

…

! Д'Аламбертын тестийг ашиглахдаа бид факториалыг нарийвчлан тайлбарлах хэрэгтэй болно. Өмнөх догол мөрийн нэгэн адил факториал нь бутархайн дээд эсвэл доод хэсэгт байрлаж болно.

3) Хэрэв цувралын ерөнхий нэр томъёонд "хүчин зүйлийн гинжин хэлхээ" байгаа бол жишээлбэл, . Энэ тохиолдол ховор тохиолддог.

Хүчин чадал ба/эсвэл факториалын зэрэгцээ олон гишүүнтүүд цуваа бөглөхдөө ихэвчлэн олддог; энэ нь нөхцөл байдлыг өөрчлөхгүй - та D'Alembert-ийн тэмдгийг ашиглах хэрэгтэй.

Нэмж дурдахад, цувралын нийтлэг нэр томъёонд зэрэг ба факториал хоёулаа нэгэн зэрэг тохиолдож болно; хоёр хүчин зүйл, хоёр градус байж болно, байх нь чухал ядаж ямар нэг зүйлавч үзсэн цэгүүдээс - энэ нь д'Аламберт тэмдгийг ашиглах урьдчилсан нөхцөл юм.

Д'Аламберын тэмдэг: Ингээд бодъё эерэг тооны цуврал. Хэрэв дараагийн нэр томъёог өмнөхтэй харьцуулах хязгаарлалт байвал: , дараа нь:
a) Хэзээ эгнээ нийлдэг
б) Эгнээ үед ялгаатай
в) Хэзээ тэмдэг нь хариу өгөхгүй байна. Та өөр тэмдэг ашиглах хэрэгтэй. Ихэнх тохиолдолд хязгаарлалтын харьцуулалтын тестийг ашиглах шаардлагатай бол d'Alembert тестийг хэрэглэхийг оролдсон тохиолдолд нэгийг олж авдаг.

Хязгаарыг ойлгохгүй, тодорхойгүй байдлыг илчлэх чадваргүй бол харамсалтай нь цааш ахих боломжгүй юм.

Жишээ:
Шийдэл:Цувралын ерөнхий нэр томъёоноос харахад энэ нь d'Alembert-ийн тестийг ашиглах найдвартай урьдчилсан нөхцөл юм.

Бид d'Alembert-ийн тэмдгийг ашигладаг:

нийлдэг.

Радикал Кошигийн тэмдэг.

Эерэг тооны цувралын Кошигийн нийлэх тест нь саяхан хэлэлцсэн Д'Аламбертын тесттэй төстэй юм.

! Хэрэв Кошигийн тест цувралын нийлмэл байдлын тухай асуултад хариулт өгөхгүй бол Д'Аламберын тест ч гэсэн хариулт өгөхгүй гэдгийг тэмдэглэх нь сонирхолтой юм. Гэвч хэрэв д'Аламбертийн тест хариулт өгөхгүй бол Кошигийн тест "ажиллаж" магадгүй юм. Өөрөөр хэлбэл, Коши тэмдэг нь энэ утгаараа илүү хүчтэй тэмдэг юм.

!!! Радикал Коши тэмдгийг хэзээ хэрэглэх ёстой вэ?Радикал Коши тестийг ихэвчлэн цувралын нийтлэг нэр томъёо байдаг тохиолдолд ашигладаг БҮРЭНзэрэгтэй байна "en" -ээс хамааран. Эсвэл цувралын нийтлэг гишүүнээс "сайн" гэсэн язгуурыг гаргаж авах үед. Чамин тохиолдлууд бас байдаг, гэхдээ бид тэдэнд санаа зовохгүй байна.

Жишээ:Цувралыг нэгтгэх эсэхийг шалгана уу

Шийдэл:Цувралын ерөнхий нэр томъёо нь -аас хамаарч бүрэн хүчин чадалтай болохыг бид харж байна, энэ нь бид радикал Коши тестийг ашиглах шаардлагатай гэсэн үг юм:

Тиймээс судалж буй цуврал ялгаатай.

Интеграл Коши тест.

Коши интеграл тестийг ашиглахын тулд та дериватив, интеграл олохдоо бага эсвэл бага итгэлтэй байх ёстой, мөн түүнчлэн тооцоолох ур чадвартай байх ёстой. буруу интеграланхны төрөл.

Би үүнийг өөрийн үгээр (ойлгоход хялбар болгох үүднээс) томъёолох болно.

Интеграл Коши тест:Ингээд авч үзье эерэг тооны цуврал. Энэ цуваа нь харгалзах зохисгүй интегралтай хамт нийлж эсвэл хуваагддаг.

! !! Коши интеграл тестийг ашиглах гол урьдчилсан нөхцөл ньЭнэ нь цувааны ерөнхий нэр томъёонд тодорхой функц, түүний дериватив байдаг.

Жишээ:Цувралыг нэгтгэх эсэхийг шалгана уу

Шийдэл:Сэдвээс ДеривативТа хүснэгтийн хамгийн энгийн зүйлийг санаж байгаа байх: , Бидэнд яг ийм каноник тохиолдол байдаг.

Интеграл шинж чанарыг хэрхэн ашиглах вэ? Эхлээд бид салшгүй дүрсийг авч, цувралын "тоолуур" -аас дээд ба доод хязгаарыг дахин бичнэ: . Дараа нь интеграл дор бид цувралын "бөглөх" хэсгийг "X" үсгээр дахин бичнэ: .

Одоо бид тооцоолох хэрэгтэй буруу интеграл. Энэ тохиолдолд хоёр тохиолдол боломжтой:

1) Хэрэв интеграл нийлж байгаа нь тогтоогдвол манай цувралууд бас нийлнэ.

2) Хэрэв интеграл салж байгаа нь тогтоогдвол бидний цуваа бас салах болно.

Бид интеграл тэмдгийг ашигладаг:

Интеграл функц тасралтгүй дээр байна

Тиймээс судалж буй цуврал ялгаатайхаргалзах буруу интегралын хамт.

Жишээ:Цувралын нийлэлтийг судал

Шийдэл:Юуны өмнө шалгацгаая цувралын ойртох зайлшгүй шинж тэмдэг. Энэ бол албан ёсны зүйл биш, харин "бага зэрэг цус урсгасан" жишээг шийдвэрлэх сайхан боломж юм.

Тооны дараалалилүү өндөр өсөлтийн дараалал, -ээс, тиймээс , өөрөөр хэлбэл, нийлэх зайлшгүй шинж тэмдэг хангагдах ба цуваа нь нийлэх эсвэл зөрөх боломжтой.

Тиймээс та ямар нэгэн төрлийн тэмдгийг ашиглах хэрэгтэй. Гэхдээ аль нь вэ? Харьцуулалтын хязгаарЭнэ нь тохирохгүй нь тодорхой, учир нь логарифмыг цувралын нийтлэг нэр томъёонд шахаж оруулсан болно. д'Аламбер ба Кошигийн шинж тэмдэгбас үр дүнд хүргэхгүй. Байсан бол ядаж л гарч чадах байсан салшгүй шинж чанар.

"Үзэгдлийн үзлэг" нь салангид цувралыг (ерөнхий гармоник цувралын тохиолдол) санал болгож байгаа боловч тоологч дахь логарифмийг хэрхэн тооцох вэ гэсэн асуулт дахин гарч ирнэ.

Үлдсэн зүйл бол тэгш бус байдал дээр үндэслэсэн харьцуулалтын хамгийн анхны шинж тэмдэг бөгөөд үүнийг ихэвчлэн тооцдоггүй бөгөөд алс холын тавиур дээр тоос цуглуулдаг. Цувралыг илүү дэлгэрэнгүй тайлбарлая:

Хязгааргүй өсөн нэмэгдэж буйг танд сануулъя тооны дараалал :

Мөн тооноос эхлэн тэгш бус байдал хангагдана:

Энэ нь цувралын гишүүд байх болно өшөө илүүхолбогдох гишүүд ялгаатай эгнээ.

Үүний үр дүнд цуврал тарахаас өөр аргагүй болсон.

Конвергенц эсвэл зөрүү тооны цувралтүүний "төгсгөлгүй сүүл" (үлдэгдэл) -ээс хамаарна. Манай тохиолдолд эхний хоёр тооны хувьд тэгш бус байдал нь үнэн биш гэдгийг бид үл тоомсорлож болно - энэ нь дүгнэлтэд нөлөөлөхгүй.

Дууссан жишээ нь иймэрхүү харагдах ёстой.

Харьцуулъя энэ цувралялгаатай цувралтай.
-ээс эхлэн бүх тоонуудын хувьд тэгш бус байдал хангагдсан тул харьцуулах шалгуурын дагуу судалж буй цувралууд ялгаатай.

Ээлжит эгнээ. Лейбницийн тэмдэг. Шийдлийн жишээ.

Ээлжит цуврал гэж юу вэ?Энэ нь нэрнээс нь тодорхой юм уу бараг л ойлгомжтой. Энгийн жишээ.

Цувралыг харж, илүү дэлгэрэнгүй тайлбарлая:

Зэрэгцүүлэх нь үржүүлэгчийг өгдөг: тэгш бол нэмэх тэмдэг, сондгой бол хасах тэмдэг байх болно.

Практик жишээн дээр цувааны нөхцлийн ээлжийг зөвхөн үржүүлэгч төдийгүй түүний дүү нараар хангаж болно: , , , …. Жишээлбэл:

Муухай зүйл бол "хууран мэхлэлт" юм: , , гэх мэт. - ийм үржүүлэгчид тэмдгийн өөрчлөлтийг бүү өг. Ямар ч байгалийн хувьд: , , .

Хувьсах цувралыг нийлмэл байдалд хэрхэн шалгах вэ?Лейбницийн тестийг ашигла.

Лейбницийн тест: Хэрэв ээлжлэн цуваанд хоёр нөхцөл хангагдсан бол: 1) цувралын гишүүн абсолют утгаараа монотон буурна. 2) модулийн нийтлэг гишүүний хязгаар нь тэгтэй тэнцүү, дараа нь цуваа нийлж, энэ цувралын нийлбэрийн модуль нь эхний гишүүний модулиас хэтрэхгүй байна.

Товч мэдээлэлмодулийн тухай:

"Модуло" гэж юу гэсэн үг вэ? Сургуулиас бидний санаж байгаагаар модуль нь хасах тэмдгийг "иддэг". Эргээд эгнээ рүүгээ орцгооё . Оюуны хувьд бүх тэмдгийг баллуураар арилгана тоонуудыг харцгаая. Бид үүнийг харах болно дараагийн болгондцувралын гишүүн багаөмнөхөөсөө.

Одоо жаахан монотон байдлын тухай.

Цувралын гишүүд хатуу монотонцувралын ДАРААГИЙН гишүүн БҮР бол модулийн бууралт модульӨмнөхөөсөө БАГА: . Нэг эгнээний хувьд Буурах хатуу монотон байдал хангагдсан бөгөөд үүнийг дэлгэрэнгүй тайлбарлаж болно.

Эсвэл бид товчхон хэлж болно: цувралын дараагийн гишүүн бүр модульөмнөхөөсөө бага: .

Цувралын гишүүд хатуу монотон бишЦуврал модулийн ДАРААХ гишүүн БҮР нь өмнөхөөсөө ИЛҮҮ БОЛОХГҮЙ бол модулийн бууралт: . Факториал бүхий цувралыг авч үзье: Цувралын эхний хоёр гишүүн модулийн хувьд ижил байдаг тул энд сул монотон байдал ажиглагдаж байна. Энэ нь цувралын дараагийн гишүүн бүр юм модульөмнөхөөсөө илүүгүй: .

Лейбницийн теоремийн нөхцөлд буурах монотон байдлыг хангах ёстой (хатуу эсвэл хатуу биш байх нь хамаагүй). Энэ тохиолдолд цувралын гишүүд боломжтой хэсэг хугацаанд модуль хүртэл нэмэгддэг, гэхдээ цувралын "сүүл" нь заавал нэгэн хэвийн буурч байх ёстой.

Жишээ:Цувралыг нэгтгэх эсэхийг шалгана уу

Шийдэл:Цувралын нийтлэг нэр томъёонд хүчин зүйл багтдаг бөгөөд энэ нь Лейбницийн шалгуурыг ашиглах шаардлагатай гэсэн үг юм

1) Цувралыг монотон буурах эсэхийг шалгаж байна.

1<2<3<…, т.е. n+1>n –эхний нөхцөл хангагдаагүй байна

2) - хоёр дахь нөхцөл нь бас хангагдаагүй байна.

Дүгнэлт: цувралууд хоорондоо ялгаатай байна.

Тодорхойлолт:Хэрэв Лейбницийн шалгуурын дагуу цуваа нийлдэг ба модулиудаас бүрдсэн цувралууд нийлдэг бол цувралууд гэж хэлдэг. туйлын нийлдэг.

Хэрэв Лейбницийн шалгуурын дагуу цуваа нийлж, модулиудаас бүрдсэн цуваа салж байвал цувааг нийлнэ. нөхцөлт байдлаар нийлдэг.

Хэрэв модулиудаас бүрдэх цуврал нийлдэг бол энэ цуваа бас нийлдэг.

Иймээс ээлжлэн нийлэх цувааг үнэмлэхүй эсвэл нөхцөлт нийлэлтийг шалгах ёстой.

Жишээ:

Шийдэл:Бид Лейбницийн шалгуурыг ашигладаг.

1) Цувралын дараагийн гишүүн бүр өмнөхөөсөө үнэмлэхүй утгаараа бага байна: – эхний нөхцөл хангагдсан.

2) – хоёр дахь нөхцөл нь бас хангагдана.

Дүгнэлт: цувралууд нийлдэг.

Нөхцөл эсвэл үнэмлэхүй нийлэлтийг шалгая.

Цуврал модулиудыг хийцгээе - дахин бид үржүүлэгчийг арилгадаг бөгөөд энэ нь тэмдгийн ээлжийг баталгаажуулдаг.
– ялгарах (гармоник цуврал).

Тиймээс бидний цуврал туйлын нэгдмэл биш юм.
Судалж буй цуврал нөхцөлт байдлаар нийлдэг.

Жишээ:Цувралыг нөхцөлт эсвэл үнэмлэхүй нийлэлтийг шалгана уу

Шийдэл:Бид Лейбницийн шалгуурыг ашигладаг.
1) Цувралын эхний хэдэн нэр томъёог бичихийг хичээцгээе.

…?!

Гол нь ийм хязгаарлалтыг шийдэх стандарт, өдөр тутмын арга техник байдаггүй. Энэ хязгаар хаашаа явах вэ? Тэг рүү, хязгааргүй рүү? Энд хамгийн чухал зүйл бол юу нь хязгааргүйд илүү хурдан ургадаг вэ?– тоологч буюу хуваагч.

Хэрэв тоологч хүчин зүйлээс хурдан өсвөл . Хэрэв хязгааргүй үед факториал нь тоологчоос хурдан өсөх юм бол энэ нь эсрэгээр хязгаарыг тэг хүртэл "татах" болно. . Эсвэл энэ хязгаар нь тэгээс бусад тоотой тэнцүү байж болох уу? эсвэл . Үүний оронд та мянга дахь олон гишүүнтийг орлуулж болно, энэ нь дахин нөхцөл байдлыг өөрчлөхгүй - эрт орой хэзээ нэгэн цагт факториал ийм аймшигтай олон гишүүнийг "гүйцэх" болно. Факториал илүү өндөр захиалгаөсөлт.

– факториал нь илүү хурдан өсч байна ямар ч хэмжээний бүтээгдэхүүнэкспоненциал ба чадлын дараалал(бидний хэрэг).

– Ямар чЭкспоненциал дараалал нь ямар ч хүчний дараалалаас илүү хурдан өсдөг, жишээ нь: , . Экспоненциал дараалал өсөлтийн дээд дараалалямар ч цахилгаан дараалалаас илүү. Факторын нэгэн адил экспоненциал дараалал нь дурын тооны чадлын дараалал эсвэл олон гишүүнтийн үржвэрийг "чирдэг": .

– Факториалаас илүү “хүчтэй” зүйл бий юу? Ид! Хүчин чадлын экспоненциал дараалал (“en” нь “en”-ийн хүчинд) факториалаас хурдан өсдөг. Практикт энэ нь ховор тохиолддог боловч мэдээлэл нь хэт их байх болно.

Тусламжийн төгсгөл

Ийнхүү судалгааны хоёр дахь хэсгийг дараах байдлаар бичиж болно.
2) , өсөлтийн дараалал нь .
Цувралын нөхцлүүд модулийн бууралт, зарим тооноос эхлэн, энэ тохиолдолд цувралын дараагийн гишүүн бүр өмнөхөөсөө бага үнэмлэхүй утгатай тул бууралт нь нэгэн хэвийн байна.

Дүгнэлт: цуврал нийлдэг.

Цувралын нөхцлүүд анх үнэмлэхүй утгаараа өсөхөд яг ийм сонин тохиолдол гарч байна, иймээс бид хязгаарын талаар алдаатай анхны дүгнэлттэй байсан. Гэхдээ, "en" тооноос эхлэн, факториал нь тоологчийг гүйцэж түрүүлж, цувралын "сүүл" нь монотон буурч байгаа нь Лейбницийн теоремын нөхцлийг биелүүлэхэд чухал ач холбогдолтой юм. Энэ "en" яг юу болохыг олж мэдэхэд хэцүү байдаг..

Бид цувралыг үнэмлэхүй эсвэл нөхцөлт нийлэлтийг шалгадаг.

Энд D'Alembert-ийн тэмдэг аль хэдийн ажиллаж байна:

Бид d'Alembert-ийн тэмдгийг ашигладаг:

Тиймээс цуврал нэгдэж байна.

Судалж буй цуврал туйлын нийлдэг.

Шинжилсэн жишээг өөр аргаар шийдэж болно (бид ээлжлэн цуваа нийлэх хангалттай шалгуурыг ашигладаг).

Хувьсах цувралын нийлэх хангалттай шинж тэмдэг:Хэрэв өгөгдсөн цувралын нөхцлийн абсолют утгуудаас бүрдэх цуваа нийлдэг бол өгөгдсөн цуваа бас нийлнэ.

Хоёр дахь арга:

Цувралыг нөхцөлт эсвэл үнэмлэхүй нийлэлтийг шалгана уу

Шийдэл : Бид үнэмлэхүй нийлэхийн тулд цувралуудыг шалгана.

Бид d'Alembert-ийн тэмдгийг ашигладаг:

Тиймээс цуврал нэгдэж байна.
Хувьсах цувааг нэгтгэх хангалттай шалгуурыг үндэслэн цуваа өөрөө нийлдэг.

Дүгнэлт: Судалгааны цуврал туйлын нийлдэг.

Цувралын нийлбэрийг өгөгдсөн нарийвчлалтайгаар тооцоолохБид дараах теоремыг ашиглана.

Цуваа ээлжлэн тэмдэглээрэй Лейбницийн шалгуурын нөхцлийг хангаж, түүнийх nхэсэгчилсэн дүн. Дараа нь цуваа нийлж, түүний нийлбэрийг ойролцоогоор тооцоолоход алдаа гарна Сүнэмлэхүй утга нь эхний хасагдсан нэр томъёоны модулиас хэтрэхгүй байна:

Функциональ цуврал. Эрчим хүчний цуврал.
Цувралын ойртох хүрээ.

Сэдвийг амжилттай эзэмшихийн тулд энгийн тооны цувааг сайн ойлгох хэрэгтэй.

D'Alembert's convergence test Radical Cauchy convergence test Integral Cauchy convergence test

Практик жишээн дээр байдаг нийтлэг харьцуулалтын шинж тэмдгүүдийн нэг бол D'Alembert тэмдэг юм. Кошигийн шинж тэмдэг нь бага түгээмэл боловч маш их алдартай байдаг. Би үргэлж энгийн, хүртээмжтэй, ойлгомжтой материалыг танилцуулахыг хичээх болно. Энэ сэдэв нь хамгийн хэцүү биш бөгөөд бүх даалгавар нь тодорхой хэмжээгээр стандарт юм.

Жан Лерон д'Аламберт бол 18-р зууны Францын алдарт математикч юм. Ерөнхийдөө д’Аламберт дифференциал тэгшитгэлээр мэргэшсэн бөгөөд эрдэм шинжилгээнийхээ үндсэн дээр Эрхэмсэг дээдсийн их бууны сум илүү сайн нисэхийн тулд баллистикийг судалжээ. Үүний зэрэгцээ би тооны цувралын талаар мартсангүй, Наполеоны цэргүүдийн эгнээ хожим ойртож, маш тодорхой хуваагдсан нь хоосон зүйл биш юм.

Тэмдгийг өөрөө томъёолохын өмнө нэг чухал асуултыг авч үзье.
D'Alembert's convergence тестийг хэзээ хэрэглэх вэ?

Эхлээд тоймоос эхэлцгээе. Хамгийн алдартайг ашиглах шаардлагатай тохиолдлуудыг санацгаая харьцуулах хязгаар. Цувралын ерөнхий нэр томъёонд дараах тохиолдолд харьцуулах хязгаарлалтын шалгуурыг хэрэглэнэ.
1) хуваагч нь олон гишүүнтийг агуулна.
2) Олон гишүүнт тоо болон хуваагчийн аль алинд нь байдаг.
3) Нэг буюу хоёр олон гишүүнт үндэс дор байж болно.

D'Alembert-ийн тестийг хэрэглэх үндсэн урьдчилсан нөхцөлүүд нь дараах байдалтай байна.

1) Цувралын нийтлэг нэр томъёо (цувралыг дүүргэх) нь тодорхой хэмжээгээр, жишээ нь, гэх мэт тоог агуулдаг. Түүнээс гадна, энэ зүйл хаана байрлаж байгаа, тоологч эсвэл хуваагч дээр байгаа нь огт хамаагүй - энэ нь тэнд байгаа нь чухал юм.

2) Цувралын нийтлэг нэр томъёонд факториал орно. Ангидаа бид факториалтай сэлэм гатлав Тооны дараалал ба түүний хязгаар. Гэсэн хэдий ч өөрөө угсарсан ширээний бүтээлэгийг дахин тараах нь гэмтээхгүй.

…

…

3) Цувралын ерөнхий нэр томъёонд “хүчин зүйлийн гинжин хэлхээ” байвал жишээлбэл, . Энэ тохиолдол ховор, гэхдээ! Ийм цувралыг судлахдаа алдаа ихэвчлэн гардаг - жишээ 6-г үзнэ үү.

Нэмж дурдахад, цувралын нийтлэг нэр томъёонд зэрэг ба факториал хоёулаа нэгэн зэрэг тохиолдож болно; хоёр хүчин зүйл, хоёр градус байж болно, байх нь чухал ядаж ямар нэг зүйлавч үзсэн цэгүүд - энэ нь D'Alembert тэмдгийг ашиглах урьдчилсан нөхцөл юм.

Д'Аламберын тэмдэг: Ингээд бодъё эерэг тооны цуврал. Хэрэв дараагийн нэр томъёог өмнөхтэй харьцуулах хязгаарлалт байвал: , дараа нь:
a) Хэзээ эгнээ нийлдэг. Ялангуяа цуврал нь нийлдэг.
б) Эгнээ үед ялгаатай. Ялангуяа цуврал нь .
в) Хэзээ тэмдэг нь хариу өгөхгүй байна. Та өөр тэмдэг ашиглах хэрэгтэй. Ихэнх тохиолдолд хязгаарлалтын харьцуулалтын тестийг ашиглах шаардлагатай бол d'Alembert тестийг хэрэглэхийг оролдсон тохиолдолд нэгийг олж авдаг.

Хязгаарлалттай холбоотой асуудал эсвэл хязгаарлалтын талаар буруу ойлголттой хэвээр байгаа хүмүүсийн хувьд хичээлээс үзнэ үү Хязгаарлалт. Шийдлийн жишээ. Хязгаарыг ойлгохгүй, тодорхойгүй байдлыг илчлэх чадваргүй бол харамсалтай нь цааш ахих боломжгүй юм.

Одоо удаан хүлээгдэж буй жишээнүүд.

Жишээ 1

Цувралын ерөнхий нэр томъёоноос харахад энэ нь d'Alembert-ийн тестийг ашиглах найдвартай урьдчилсан нөхцөл юм. Нэгдүгээрт, бүрэн шийдэл, загвар дизайн, доорх тайлбар.

Бид d'Alembert-ийн тэмдгийг ашигладаг:

нийлдэг.

(1) Бид цувралын дараагийн гишүүнийг өмнөхтэй харьцуулсан харьцааг үүсгэдэг: . Нөхцөлөөс харахад цувралын ерөнхий нэр томъёо нь . Цувралын дараагийн гишүүнийг авахын тулд энэ нь зайлшгүй шаардлагатай орлуулахын оронд: .
(2) Бид дөрвөн давхар фракцаас салсан. Хэрэв танд шийдлийн талаар бага зэрэг туршлагатай бол энэ алхамыг алгасаж болно.
(3) Тоолуур дахь хашилтыг нээнэ үү. Хугацааны хувьд бид дөрвийг хүчнээс гаргаж авдаг.
(4) -ээр бууруулна. Бид хязгаарын тэмдэгээс давсан тогтмолыг авдаг. Тоолуур дээр бид ижил төстэй нэр томъёог хаалтанд оруулав.
(5) Тодорхой бус байдлыг стандарт аргаар арилгадаг - тоологч ба хуваагчийг "en" -ээр хамгийн дээд хэмжээнд хуваах замаар.
(6) Бид тоологч гишүүнийг хуваагчаар хувааж, тэг рүү чиглэх нөхцөлийг заана.
(7) Бид хариултыг хялбаршуулж, D’Alembert-ийн шалгуурын дагуу судалж буй цувралууд нийлдэг гэсэн дүгнэлтэнд тэмдэглэв.

Үзсэн жишээн дээр цувралын ерөнхий нэр томъёонд бид 2-р зэргийн олон гишүүнттэй тулгарсан. 3, 4 ба түүнээс дээш зэрэглэлийн олон гишүүнт байвал яах вэ? Баримт нь хэрэв өндөр зэрэглэлийн олон гишүүнт өгөгдсөн бол хаалт нээхэд бэрхшээл гарах болно. Энэ тохиолдолд та "турбо" шийдлийн аргыг ашиглаж болно.

Жишээ 2

Үүнтэй төстэй цувралыг авч, нийлмэл байдлын үүднээс авч үзье

Эхлээд бүрэн шийдэл, дараа нь тайлбар:

Бид d'Alembert-ийн тэмдгийг ашигладаг:

Тиймээс судалж буй цуврал нийлдэг.

(1) Бид харилцааг үүсгэдэг.
(2) Бид дөрвөн давхар фракцаас салсан.
(3) Тоолуур дахь илэрхийлэл ба хуваагч дахь илэрхийлэлийг авч үзье. Тоолуур дээр бид хаалтуудыг онгойлгож, дөрөв дэх зэрэгт хүргэх хэрэгтэйг бид харж байна: , бид үүнийг хийхийг үнэхээр хүсэхгүй байна. Нэмж дурдахад Ньютоны биномийг сайн мэдэхгүй хүмүүст энэ даалгавар огт хэрэгжих боломжгүй байж магадгүй юм. Дээд зэрэглэлд дүн шинжилгээ хийцгээе: хэрвээ бид дээд талын хаалтуудыг нээвэл бид хамгийн дээд зэрэгтэй болно. Доор бид ижил ахлах зэрэгтэй: . Өмнөх жишээтэй зүйрлэвэл тоологч болон хуваагч гишүүнийг гишүүнээр нь хуваахад хязгаарт нэг гарч ирдэг нь ойлгомжтой. Эсвэл математикчдийн хэлснээр олон гишүүнт ба - өсөлтийн ижил дараалал. Тиймээс харьцааг энгийн харандаагаар дүрсэлж, энэ зүйл нэг рүү чиглэж байгааг шууд зааж өгөх боломжтой юм. Бид хоёр дахь хос олон гишүүнттэй ижил аргаар харьцдаг: ба , тэд ч гэсэн өсөлтийн ижил дараалал, тэдгээрийн харьцаа нь нэгдмэл байх хандлагатай байдаг.

Үнэн хэрэгтээ, жишээ №1-д ийм "хакердах"-ыг гаргаж болох байсан ч 2-р зэргийн олон гишүүнтийн хувьд ийм шийдэл нь ямар нэгэн байдлаар зохисгүй мэт харагдаж байна. Би хувьдаа үүнийг хийдэг: хэрэв эхний эсвэл хоёрдугаар зэргийн олон гишүүнт (эсвэл олон гишүүнт) байвал би жишээ 1-ийг шийдэхдээ "урт" аргыг ашигладаг. Хэрэв би 3-р болон түүнээс дээш зэрэгтэй олон гишүүнтэй тааралдвал би "урт" аргыг ашигладаг. Жишээ 2-той төстэй "турбо" арга.

Жишээ 3

Цувралыг нэгтгэх эсэхийг шалгана уу

Хичээлийн төгсгөлд тооны дарааллын талаархи бүрэн шийдэл, загвар дизайныг бичнэ үү.
(4) Бид зүсэж болох бүх зүйлийг таслав.
(5) Бид тогтмолыг хязгаарын тэмдгээс цааш шилжүүлнэ. Тоолуур дахь хашилтыг нээнэ үү.
(6) Бид тодорхойгүй байдлыг стандарт аргаар арилгадаг - тоологч ба хуваагчийг "en" -ээр хамгийн дээд хэмжээнд хуваах замаар.

Жишээ 5

Цувралыг нэгтгэх эсэхийг шалгана уу

Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, загвар дизайн

Жишээ 6

Цувралыг нэгтгэх эсэхийг шалгана уу

Заримдаа тэдгээрийг дүүргэх хүчин зүйлсийн "гинж" агуулсан цувралууд байдаг бөгөөд бид энэ төрлийн цувралыг хараахан авч үзээгүй байна. Хүчин зүйлийн "гинж" бүхий цувралыг хэрхэн судлах вэ? Д'Аламберын тэмдгийг ашигла. Гэхдээ эхлээд юу болж байгааг ойлгохын тулд цувралыг дэлгэрэнгүй тайлбарлая:

Өргөтгөлөөс харахад цувралын дараагийн гишүүн бүр хуваагч дээр нэмсэн нэмэлт хүчин зүйлтэй байдаг тул хэрэв цувралын нийтлэг гишүүн нь байвал цувралын дараагийн гишүүн нь:
. Энд тэд ихэвчлэн автоматаар алдаа гаргадаг бөгөөд алгоритмын дагуу албан ёсоор бичдэг

Шийдэл жишээ нь иймэрхүү харагдаж болно:

Бид d'Alembert-ийн тэмдгийг ашигладаг:

Тиймээс судалж буй цуврал нийлдэг.

Энэ сэдэвтэй ажиллахаасаа өмнө тооны цувралын нэр томьёотой хэсгийг үзэхийг танд зөвлөж байна. Ялангуяа цувралын нийтлэг гишүүн гэсэн ойлголтод анхаарлаа хандуулах нь зүйтэй. Хэрэв та нийлмэл байдлын шалгуурыг зөв сонгоход эргэлзэж байвал "Тооны цувааг нэгтгэх шалгуурыг сонгох" сэдвийг үзэхийг зөвлөж байна.

D'Alembert's test (эсвэл D'Alembert's test) нь нийтлэг гишүүнчлэл нь тэгээс хатуу их, өөрөөр хэлбэл $u_n > 0$ цувралуудын нийлэлтийг судлахад хэрэглэгддэг.Ийм цувааг нэрлэдэг. хатуу эерэг. Стандарт жишээнүүдэд D'Alembert тэмдгийг туйлын хэлбэрээр ашигладаг.

D'Alembert-ийн тэмдэг (хэт хэлбэрээр)

Хэрэв $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ цуврал эерэг байвал $$ \lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=L , $$ дараа нь $L<1$ ряд сходится, а при $L>1$ (мөн $L=\infty$-ийн хувьд) цуваа зөрүүтэй байна.

Томъёо нь маш энгийн боловч дараах асуулт нээлттэй хэвээр байна: $L=1$ бол юу болох вэ? D'Alembert-ийн тест энэ асуултын хариуг өгөх боломжгүй.Хэрэв $L=1$ бол цуваа нийлж, салж болно.

Ихэнх тохиолдолд стандарт жишээн дээр цувралын ерөнхий гишүүний илэрхийлэл нь $n$ олон гишүүнт (олон гишүүн үндэс дор байж болно) болон $a^n хэлбэрийн зэрэгтэй байвал D'Alembert шалгуурыг ашигладаг. $ эсвэл $n!$. Жишээ нь, $u_n= \frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$ (Жишээ №1-ийг үзнэ үү) эсвэл $u_n=\frac(\ sqrt(4n+5))((3n-2)$ (см. пример №2). Вообще, для стандартного примера наличие $n!$ - это своеобразная "визитная карточка" признака Д"Аламбера.!}

"n!" гэсэн илэрхийлэл юу гэсэн үг вэ? харуулах\нуух

Бичлэг хийж байна "n!" ("en factorial" гэж уншина уу) нь 1-ээс n хүртэлх бүх натурал тоонуудын үржвэрийг илэрхийлнэ, өөрөөр хэлбэл.

$$ n!=1\cdot2\cdot 3\cdot \ldots\cdot n $$

Тодорхойлолтоор бол $0!=1!=1$ гэж үздэг. Жишээлбэл, 5-ыг олъё!:

$$ 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120. $$

Нэмж дурдахад D'Alembert тестийг нийтлэг нэр томъёо нь дараах бүтцийн үржвэрийг агуулсан цувралын нийлэлтийг тодорхойлоход ихэвчлэн ашиглагддаг: $u_n=\frac(3\cdot 5\cdot 7\cdot\ldots\cdot(2n) +1))(2\ cdot 5\cdot 8\cdot\ldots\cdot(3n-1))$.

Жишээ №1

$\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$ цувралыг нэгтгэх эсэхийг шалгана уу.

Нийлбэрийн доод хязгаар нь 1 тул цувааны ерөнхий гишүүнийг нийлбэрийн тэмдгийн дор бичнэ: $u_n=\frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$. $n≥ 1$-ын хувьд бидэнд $3n+7 > 0$, $5^n>0$ ба $2n^3-1 > 0$, дараа нь $u_n > 0$ байна. Тиймээс манай цуврал эерэг хандлагатай байдаг.

$$ 5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac((3n+10)\зүүн(2n^3-1\баруун))(\зүүн(2(n+1)^3-1\баруун) )(3n+7))=\left|\frac(\infty)(\infty)\баруун|= 5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\frac((3n+10)\зүүн) (2n^3-1\баруун))(n^4))(\frac(\left(2(n+1)^3-1\баруун)(3n+7))(n^4))= 5 \cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(3n+10)(n)\cdot\frac(2n^3-1)(n^3))(\frac(\left(2() n+1)^3-1\баруун))(n^3)\cdot\frac(3n+7)(n))=\\ =5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\ зүүн(\frac(3n)(n)+\frac(10)(n)\баруун)\cdot\left(\frac(2n^3)(n^3)-\frac(1)(n^3) \баруун))(\зүүн(2\зүүн(\frac(n)(n)+\frac(1)(n)\баруун)^3-\frac(1)(n^3)\баруун)\cdot \left(\frac(3n)(n)+\frac(7)(n)\баруун))=5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\left(3+\frac(10)) (n)\баруун)\cdot\left(2-\frac(1)(n^3)\баруун))(\left(2\left(1+\frac(1)(n)\баруун)^3 -\frac(1)(n^3)\баруун)\cdot\left(3+\frac(7)(n)\баруун))=5\cdot\frac(3\cdot 2)(2\cdot 3 )=5. $$

$\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=5>1$ тул өгөгдсөн цувааны дагуу зөрүүтэй байна.

Үнэнийг хэлэхэд энэ нөхцөлд D'Alembert тест нь цорын ганц сонголт биш юм.Та жишээ нь радикал Коши тестийг ашиглаж болно.Гэхдээ радикал Коши тестийг ашиглахад нэмэлт томъёоны мэдлэг (эсвэл нотлох) шаардлагатай болно. Энэ нөхцөлд D'Alembert тестийг ашиглах нь илүү тохиромжтой.

Хариулт: цуваа зөрүүтэй байна.

Жишээ №2

$\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2) цувралыг судлах$ на сходимость.!}

Нийлбэрийн доод хязгаар нь 1 тул цувралын ерөнхий гишүүнийг нийлбэрийн тэмдгийн дор бичнэ: $u_n=\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)$. Заданный ряд является строго положительным, т.е. $u_n>0$.!}

Цувралын нийтлэг нэр томъёо нь үндэс дор олон гишүүнтийг агуулдаг, i.e. $\sqrt(4n+5)$, факториал $(3n-2)!$. Стандарт жишээнд факториал байгаа нь D'Alembert шалгуурыг ашиглах бараг зуун хувийн баталгаа юм.

Энэ шалгуурыг хэрэглэхийн тулд бид $\frac(u_(n+1))(u_n)$ харьцааны хязгаарыг олох хэрэгтэй болно. $u_(n+1)$ бичихийн тулд $u_n=\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2) томъёонд оруулах шаардлагатай.$ вместо $n$ подставить $n+1$:!}

$$ u_(n+1)=\frac(\sqrt(4(n+1)+5))((3(n+1)-2)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n+1)!}. $$ !}

$(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$ тул $u_(n+1)$-ийн томъёог дараах байдлаар бичиж болно. нөгөө рүү:

$$ u_(n+1)=\frac(\sqrt(4n+9))((3n+1)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}. $$ !}

Энэ тэмдэглэгээ нь бид хязгаараас доогуур бутархайг багасгах шаардлагатай үед дараагийн шийдлүүдэд тохиромжтой. Хэрэв хүчин зүйлтэй тэнцүү байхын тулд тайлбар шаардлагатай бол доорх тэмдэглэлийг нээнэ үү.

Бид $(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$ тэгш байдлыг хэрхэн олж авсан бэ? харуулах\нуух

$(3n+1)!$ гэсэн тэмдэглэгээ нь 1-ээс $3n+1$ хүртэлх бүх натурал тоонуудын үржвэрийг хэлнэ. Тэдгээр. Энэ илэрхийллийг дараах байдлаар бичиж болно.

$$ (3n+1)!=1\cdot 2\cdot\ldots\cdot(3n+1). $$

$3n+1$ тооноос шууд өмнө нэгээр бага тоо байна, өөрөөр хэлбэл. тоо $3n+1-1=3n$. Мөн $3n$-ын өмнөхөн $3n-1$ тоо байна. За, $3n-1$ тооны өмнөхөн бидэнд $3n-1-1=3n-2$ тоо байна. $(3n+1)!$-ын томъёог дахин бичье:

$$ (3n+1)!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot(3n-2)\cdot(3n-1)\cdot 3n\cdot (3n+1) $$

$1\cdot2\cdot\ldots\cdot(3n-2)$ гэж юу вэ? Энэ бүтээгдэхүүн нь $(3n-2)!$-тэй тэнцүү байна. Тиймээс $(3n+1)!$ илэрхийллийг дараах хэлбэрээр дахин бичиж болно.

$$(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$$

Энэ тэмдэглэгээ нь бид хязгаараас доогуур бутархайг багасгах шаардлагатай үед дараагийн шийдлүүдэд тохиромжтой.

$\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)$-ын утгыг тооцоолъё:

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(\sqrt(4n+9))((( 3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)))(\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)}= \lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\frac{(3n-2)!}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}\right)=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}= \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4+\frac{9}{n}}}{\sqrt{4+\frac{5}{n}}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}=1\cdot 0=0. $$ !}

Учир нь $\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=0<1$, то согласно

Тэмдгийг өөрөө томъёолохын өмнө нэг чухал асуултыг авч үзье.
D'Alembert's convergence тестийг хэзээ хэрэглэх вэ?

D'Alembert-ийн тестийг хэрэглэх үндсэн урьдчилсан нөхцөлүүд нь дараах байдалтай байна.

2) Цувралын нийтлэг нэр томъёонд факториал орно. Факториаль гэж юу вэ? Ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй, факториал нь зөвхөн бүтээгдэхүүний хураангуй дүрслэл юм:

…

…

Нэмж дурдахад, цувралын нийтлэг нэр томъёонд зэрэг ба факториал хоёулаа нэгэн зэрэг тохиолдож болно; хоёр хүчин зүйл, хоёр градус байж болно, байх нь чухал ядаж ямар нэг зүйлавч үзсэн цэгүүдээс - мөн энэ нь D'Alembert тэмдгийг ашиглах урьдчилсан нөхцөл юм.

Хязгаартай холбоотой асуудал эсвэл хязгаарлалтын талаар буруу ойлголттой хэвээр байгаа хүмүүс сэдвээс лавлана уу Хязгаарлалт. Шийдлийн жишээ. Хязгаарыг ойлгохгүй, тодорхойгүй байдлыг илчлэх чадваргүй бол харамсалтай нь цааш ахих боломжгүй юм. Одоо удаан хүлээгдэж буй жишээнүүд.

Жишээ 1
Цувралын ерөнхий нэр томъёоноос харахад энэ нь d'Alembert-ийн тестийг ашиглах найдвартай урьдчилсан нөхцөл юм. Нэгдүгээрт, бүрэн шийдэл, загвар дизайн, доорх тайлбар.

Бид d'Alembert-ийн тэмдгийг ашигладаг:

нийлдэг.

Жишээ 2 Үүнтэй төстэй цувралыг авч, нийлмэл байдлын үүднээс авч үзье
Эхлээд бүрэн шийдэл, дараа нь тайлбар:

Бид d'Alembert-ийн тэмдгийг ашигладаг:

Тиймээс судалж буй цуврал нийлдэг.

Жишээ 3 .

Факториал бүхий ердийн жишээнүүдийг харцгаая:

Жишээ 4 Цувралыг нэгтгэх эсэхийг шалгана уу

Цувралын нийтлэг нэр томьёо нь зэрэг болон хүчин зүйлийн аль алиныг агуулдаг. Энд д'Аламберын тэмдгийг ашиглах ёстой нь өдөр шиг ойлгомжтой. Ингээд шийдье.

Тиймээс судалж буй цуврал ялгаатай.

(1) Бид харилцааг үүсгэдэг. Бид дахин давтана. Нөхцөлөөр цувралын нийтлэг гишүүн нь: . Цувралын дараагийн нэр томъёог авахын тулд, оронд нь та орлуулах хэрэгтэй, Тиймээс: .
(2) Бид дөрвөн давхар фракцаас салсан.
(3) Долоог градусаас хавчих. Бид хүчин зүйлийн талаар дэлгэрэнгүй тайлбарласан. Үүнийг яаж хийх вэ - хичээлийн эхлэлийг үзнэ үү.
(4) Бид зүсэж болох бүх зүйлийг таслав.
(5) Бид тогтмолыг хязгаарын тэмдгээс цааш шилжүүлнэ. Тоолуур дахь хашилтыг нээнэ үү.
(6) Бид тодорхойгүй байдлыг стандарт аргаар арилгадаг - тоологч ба хуваагчийг "en" -ээр хамгийн дээд хэмжээнд хуваах замаар.

Жишээ 5Цувралыг нэгтгэх эсэхийг шалгаарай.Бүрэн шийдлийг доор харуулав.

Жишээ 6Цувралыг нэгтгэх эсэхийг шалгана уу

Ойролцоогоор жишээ шийдэл нь иймэрхүү харагдаж болно: Д'Аламберын тэмдгийг ашиглая:
Тиймээс судалж буй цуврал нийлдэг.
РАДИКАЛ КОШИ ТЭМДЭГ

Augustin Louis Cauchy бол Францын илүү алдартай математикч юм. Инженерийн чиглэлээр суралцдаг ямар ч оюутан Кошигийн намтрыг хэлж чадна. Хамгийн үзэсгэлэнтэй өнгөөр. Энэ нэрийг Эйфелийн цамхагийн нэгдүгээр давхарт сийлсэн нь санамсаргүй хэрэг биш юм.

Эерэг тооны цувралын Кошигийн нийлэх тест нь саяхан хэлэлцсэн Д'Аламбертын тесттэй төстэй юм.

Радикал Кошигийн шинж тэмдэг:Ингээд авч үзье эерэг тооны цуврал. Хэрэв хязгаар байгаа бол: , тэгвэл:
a) Хэзээ эгнээ нийлдэг. Ялангуяа цуврал нь нийлдэг.
б) Эгнээ үед ялгаатай. Ялангуяа цуврал нь .
в) Хэзээ тэмдэг нь хариу өгөхгүй байна. Та өөр тэмдэг ашиглах хэрэгтэй. Хэрэв Кошигийн тест цувралын нийлмэл байдлын тухай асуултад хариулт өгөхгүй бол Д'Аламберын тест ч гэсэн хариулт өгөхгүй гэдгийг тэмдэглэх нь сонирхолтой юм. Гэвч хэрэв д'Аламбертийн тест хариулт өгөхгүй бол Кошигийн тест "ажиллаж" магадгүй юм. Өөрөөр хэлбэл, Коши тэмдэг нь энэ утгаараа илүү хүчтэй тэмдэг юм.

Радикал Коши тэмдгийг хэзээ хэрэглэх ёстой вэ?Радикал Коши тестийг ихэвчлэн цувралын нийтлэг нэр томъёо байдаг тохиолдолд ашигладаг БҮРЭНзэрэгтэй байна "en" -ээс хамааран. Эсвэл цувралын нийтлэг гишүүнээс "сайн" гэсэн язгуурыг гаргаж авах үед. Чамин тохиолдлууд бас байдаг, гэхдээ бид тэдэнд санаа зовохгүй байна.

Жишээ 7Цувралыг нэгтгэх эсэхийг шалгана уу

Цувралын ерөнхий нэр томъёо нь -аас хамаарч бүрэн хүчин чадалтай болохыг бид харж байна, энэ нь бид радикал Коши тестийг ашиглах шаардлагатай гэсэн үг юм:

Тиймээс судалж буй цуврал ялгаатай.

(1) Бид цувралын нийтлэг нэр томъёог үндэс дор томъёолдог.
(2) Бид ижил зүйлийг зөвхөн үндэсгүйгээр, градусын шинж чанарыг ашиглан дахин бичдэг.
(3) Үзүүлэлт дээр бид хуваагчийг гишүүнээр хуваадаг бөгөөд үүнийг зааж өгдөг
(4) Үүний үр дүнд бид тодорхойгүй байдалд байна. Энд та урт замыг туулж болно: шоо, шоо, дараа нь тоологч ба хуваагчийг "en" -ээр хамгийн дээд хэмжээнд хуваана. Гэхдээ энэ тохиолдолд илүү үр дүнтэй шийдэл байдаг: та тоологч ба хуваагч нэр томъёог тогтмол чадлын дор шууд хувааж болно. Тодорхой бус байдлыг арилгахын тулд тоологч ба хуваагчийг (хамгийн их чадал) -д хуваана.
(5) Бид үнэндээ нэр томьёо болгон хуваах бөгөөд тэг болох хандлагатай нэр томъёог зааж өгдөг.
(6) Бид хариултыг санаж, бидэнд байгаа зүйлээ тэмдэглэж, цувралууд хоорондоо зөрүүтэй байна гэж дүгнэдэг.

Энд та өөрөө шийдэх энгийн жишээ байна:

Жишээ 8 Цувралыг нэгтгэх эсэхийг шалгана уу

Бас хэд хэдэн ердийн жишээ.

Бүрэн шийдэл, загвар дизайныг доор харуулав.

Жишээ 9 Цувралыг нэгтгэх эсэхийг шалгана уу
Бид радикал Коши тестийг ашигладаг:

Тиймээс судалж буй цуврал нийлдэг.

(1) Цувралын нийтлэг гишүүнийг язгуурын доор байрлуул.
(2) Бид ижил зүйлийг дахин бичдэг, гэхдээ үндэсгүйгээр, товчилсон үржүүлэх томъёог ашиглан хаалт нээхдээ: .
(3) Үзүүлэлт дээр бид хуваагч гишүүнийг гишүүнээр хувааж, .
(4) Маягтын тодорхойгүй байдал. Энд та хаалтанд байгаа хуваагчийг "en"-ээр хамгийн дээд хэмжээнд нь шууд хувааж болно. Бид сурч байхдаа үүнтэй төстэй зүйлтэй тулгарсан хоёр дахь гайхалтай хязгаар. Гэхдээ энд байдал өөр байна. Хэрэв илүү өндөр хүчин чадалтай коэффициентүүд байсан бол адилхан, жишээ нь: , тэгвэл нэр томьёогоор хуваах мэх цаашид ажиллахаа больж, хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг ашиглах шаардлагатай болно. Гэхдээ бидэнд эдгээр коэффициентүүд бий өөр(5 ба 6), тиймээс нэр томъёог нэр томьёогоор нь хуваах боломжтой (мөн шаардлагатай) (дашрамд хэлэхэд, эсрэгээр - хоёр дахь гайхалтай хязгаар юм. өөрөндөр чадлын коэффициентүүд ажиллахаа больсон).
(5) Бид үнэндээ нэр томьёо болгон хуваах бөгөөд аль нэр томъёо тэг болох хандлагатай байгааг заадаг.
(6) Тодорхой бус байдал арилсан, хамгийн энгийн хязгаар хэвээр байна: Яагаад хязгааргүй томтэг рүү чиглэдэг үү? Учир нь зэрэглэлийн суурь нь тэгш бус байдлыг хангадаг. Хэрэв хэн нэгэн нь хязгаарлалтын шударга байдалд эргэлзэж байвал би залхуурахгүй, би тооцоолуур авах болно.
Хэрэв бол
Хэрэв бол
Хэрэв бол
Хэрэв бол
Хэрэв бол
… гэх мэт. хязгааргүй хүртэл - өөрөөр хэлбэл хязгаарт:
(7) Бид цуврал нийлдэг гэж дүгнэж байгаагаа харуулж байна.

Жишээ 10 Цувралыг нэгтгэх эсэхийг шалгана уу

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм.

Заримдаа шийдлийн хувьд өдөөн хатгасан жишээг санал болгодог, жишээлбэл:. Энд экспонент дээр байна "en" байхгүй, зөвхөн тогтмол. Энд та тоологч ба хуваагчийг квадрат болгох хэрэгтэй (та олон гишүүнт авах), дараа нь өгүүллийн алгоритмыг дагах хэрэгтэй. Дамми нарт зориулсан эгнээ. Ийм жишээн дээр цувааг нэгтгэхэд шаардлагатай тест эсвэл харьцуулах хязгаарлах тест ажиллах ёстой.
ИНТЕГРАЛ КОШИ ТЭМДЭГ

Эхний хичээлийн материалыг сайн ойлгоогүй хүмүүсийг би урмыг нь хугалах болно. Коши интеграл тестийг ашиглахын тулд та дериватив, интеграл олохдоо бага эсвэл бага итгэлтэй байх ёстой, мөн түүнчлэн тооцоолох ур чадвартай байх ёстой. буруу интеграланхны төрөл. Математикийн шинжилгээний сурах бичигт Кошигийн интеграл тестийг математикийн хувьд хатуу өгдөг; тестийг маш энгийн боловч ойлгомжтой байдлаар томъёолъё. Мөн нэн даруй тодруулахын тулд жишээнүүд.

Интеграл Коши тест:Ингээд авч үзье эерэг тооны цуврал. Энэ цуврал нийлж байна уу, эсвэл зөрөөд байна уу?

Жишээ 11 Цувралыг нэгтгэх эсэхийг шалгана уу

Бараг сонгодог. Байгалийн логарифм ба зарим нэг тэнэглэл.

Коши интеграл тестийг ашиглах гол урьдчилсан нөхцөл ньЭнэ нь цувааны ерөнхий нэр томъёонд тодорхой функц, түүний дериватив байдаг. Сэдвээс ДеривативТа хүснэгтийн хамгийн энгийн зүйлийг санаж байгаа байх: , Бидэнд яг ийм каноник тохиолдол байдаг.

Интеграл шинж чанарыг хэрхэн ашиглах вэ? Эхлээд бид салшгүй дүрсийг авч, цувралын "тоолуур" -аас дээд ба доод хязгаарыг дахин бичнэ: . Дараа нь интегралын доор бид цувралын "бөглөх" хэсгийг "тэр" үсгээр дахин бичнэ: . Ямар нэг зүйл дутуу байна..., өө, тийм ээ, та бас тоологч дээр дифференциал дүрсийг наах хэрэгтэй: .

Одоо бид буруу интегралыг тооцоолох хэрэгтэй. Энэ тохиолдолд хоёр тохиолдол боломжтой:

1) Хэрэв интеграл нийлж байгаа нь тогтоогдвол манай цувралууд бас нийлнэ.

2) Хэрэв интеграл салж байгаа нь тогтоогдвол бидний цуваа бас салах болно.

Би давтан хэлье, хэрэв материалыг үл тоомсорловол догол мөрийг уншихад хэцүү бөгөөд тодорхойгүй байх болно, учир нь функцийг ашиглах нь үндсэндээ тооцоолоход хүргэдэг. буруу интеграланхны төрөл.

Бүрэн шийдэл болон жишээ формат нь иймэрхүү харагдах ёстой:

Бид интеграл тэмдгийг ашигладаг:

Тиймээс судалж буй цуврал ялгаатайхаргалзах буруу интегралын хамт.

Жишээ 12 Цувралыг нэгтгэх эсэхийг шалгана уу

Хичээлийн төгсгөлд шийдэл ба загвар дизайн

Харгалзан үзсэн жишээнүүдэд логарифм нь язгуур дор байж болох бөгөөд энэ нь шийдлийн аргыг өөрчлөхгүй.

Эхлэгчдэд зориулсан өөр хоёр жишээ

Жишээ 13 Цувралыг нэгтгэх эсэхийг шалгана уу

Ерөнхий "параметрүүд" -ийн дагуу цувралын ерөнхий нэр томъёо нь харьцуулах хязгаарлах шалгуурыг ашиглахад тохиромжтой юм шиг санагдаж байна. Та зүгээр л хаалтуудыг онгойлгож, нэн даруй нэр дэвшигчид дамжуулж, энэ цувралыг нэгдэх цувралтай сайтар харьцуулах хэрэгтэй. Гэсэн хэдий ч би бага зэрэг хуурч байсан, хаалт нээгдээгүй байж магадгүй, гэхдээ хязгаарлагдмал харьцуулалтын шалгуураар дамжуулан шийдэл нь нэлээд дүр эсгэх болно.

Тиймээс бид интеграл Коши тестийг ашигладаг:

Интеграл функц тасралтгүй дээр байна

нийлдэгхаргалзах буруу интегралын хамт.

! Жич:үр дүнгийн тоо байнабиш цувралын нийлбэр!!!

Жишээ 14 Цувралыг нэгтгэх эсэхийг шалгана уу

Шийдэл болон дээжийн загвар нь төгсгөлд ирдэг хэсгийн төгсгөлд байна.

Тооны цувралын сэдвийг бүрэн, эргэлт буцалтгүй эзэмшихийн тулд сэдвүүдэд зочилно уу.

Шийдэл ба хариултууд:

Жишээ 3:Бид d'Alembert-ийн тэмдгийг ашигладаг:

Тиймээс судалж буй цуврал ялгаатай.
Тайлбар: "Турбо" шийдлийн аргыг ашиглах боломжтой байсан: харьцааг харандаагаар нэн даруй дугуйлж, эв нэгдэлтэй болохыг харуулж, "өсөлтийн ижил дарааллаар" тэмдэглэнэ үү.

Жишээ 5: Бид d'Alembert-ийн тэмдгийг ашигладаг: Тиймээс судалж буй цуврал нийлдэг.

Жишээ 8:

Тиймээс судалж буй цуврал нийлдэг.

Жишээ 10:
Бид радикал Коши тестийг ашигладаг.

Тиймээс судалж буй цуврал ялгаатай.
Жич: Энд суурь нь зэрэг, тэгэхээр

Жишээ 12: Бид интеграл тэмдгийг ашигладаг.

Хязгаарлагдмал тоог олж авсан бөгөөд энэ нь судалж буй цуваа гэсэн үг юм нийлдэг

Жишээ 14: Бид интеграл тэмдгийг ашигладаг
Интеграл нь дээр тасралтгүй байна.

Тиймээс судалж буй цуврал ялгаатайхаргалзах буруу интегралын хамт.
Жич: Цувралыг мөн ашиглан шалгаж болнохарьцуулах хязгаарлах шалгуур . Үүнийг хийхийн тулд та язгуурын доорх хаалтуудыг нээж, судалж буй цувралыг дивергент цувралтай харьцуулах хэрэгтэй.

Ээлжит эгнээ. Лейбницийн тэмдэг. Шийдлийн жишээ

Энэ хичээлийн жишээг ойлгохын тулд эерэг тооны цувааг сайн ойлгох хэрэгтэй: цуврал гэж юу болохыг ойлгох, цувралын нийлэхэд шаардлагатай тэмдгийг мэдэх, харьцуулах тест, д'Аламберт тестийг ашиглах чадвартай байх хэрэгтэй. , Кошигийн сорил. Өгүүллийг тууштай судалснаар сэдвийг бараг эхнээс нь гаргаж болно Дамми нарт зориулсан эгнээТэгээд Д'Аламберын тэмдэг. Кошигийн шинж тэмдэг. Логикийн хувьд энэ хичээл нь дараалсан гурав дахь хичээл бөгөөд энэ нь зөвхөн ээлжлэн мөрүүдийг ойлгох төдийгүй аль хэдийн хамрагдсан материалыг нэгтгэх боломжийг олгоно! Шинэлэг зүйл бага байх болно, ээлжлэн мөрийг эзэмших нь хэцүү биш байх болно. Бүх зүйл энгийн бөгөөд хүртээмжтэй байдаг.

Ээлжит цуврал гэж юу вэ?Энэ нь нэрнээс нь тодорхой юм уу бараг л ойлгомжтой. Энгийн жишээ. Цувралыг харж, илүү дэлгэрэнгүй тайлбарлая:

Тэгээд одоо алуурчин сэтгэгдэл байх болно. Хувьсах цувралын гишүүд нь ээлжлэн тэмдэгтэй байдаг: нэмэх, хасах, нэмэх, хасах, нэмэх, хасах гэх мэт. хязгааргүйд руу.
Зэрэгцүүлэх нь үржүүлэгчийг өгдөг: тэгш бол нэмэх тэмдэг, сондгой бол хасах тэмдэг байх болно. Математик хэлээр энэ зүйлийг "анивчуулагч" гэж нэрлэдэг. Тиймээс ээлжлэн цувааг хасах нэгээр "en" зэрэгт "тодорхойлдог".

Муухай зүйл бол "хууран мэхлэлт" юм: , , гэх мэт. - ийм үржүүлэгчид тэмдгийн өөрчлөлтийг бүү өг. Ямар ч байгалийн хувьд: , , . Хууран мэхлэлт бүхий эгнээ нь онцгой авьяаслаг оюутнуудад хальтирч зогсохгүй, шийдвэрлэх явцад үе үе "өөрөө" үүсдэг. функциональ цуврал.

Хувьсах цувралыг нийлмэл байдалд хэрхэн шалгах вэ?Лейбницийн тестийг ашигла. Германы сэтгэлгээний аварга Готфрид Вильгельм Лейбницийн талаар би юу ч хэлэхийг хүсэхгүй байна, учир нь тэрээр математикийн бүтээлүүдээс гадна философийн талаар хэд хэдэн боть бичсэн. Тархинд аюултай.

Лейбницийн тест: Хэрэв ээлжит цувралын гишүүд нэгэн хэвийнмодулийн бууралт, дараа нь цуваа нийлнэ. Эсвэл хоёр цэг дээр:

2) Цувралын абсолют утгын бууралтын нөхцлүүд: . Түүнээс гадна тэд монотоноор буурдаг.

Хэрэв дууссан бол хоёулаанөхцөл, дараа нь цуваа нийлнэ.

Модулийн тухай товч мэдээллийг гарын авлагад өгсөн болноСургуулийн математикийн хичээлийн халуун томъёо , гэхдээ тав тухтай байдлыг хангах үүднээс дахин:

"Модуло" гэж юу гэсэн үг вэ? Сургуулиас бидний санаж байгаагаар модуль нь хасах тэмдгийг "иддэг". Мөр рүүгээ буцаж орцгооё. Оюуны хувьд бүх тэмдгийг баллуураар арилгана тоонуудыг харцгаая. Бид үүнийг харах болно дараагийн болгондцувралын гишүүн багаөмнөхөөсөө. Тиймээс дараах хэллэгүүд ижил утгатай.

- Цувралын гишүүд тэмдгээс үл хамааранбуурч байна.
– Цувралын гишүүд цөөрч байна модуль.
– Цувралын гишүүд цөөрч байна үнэмлэхүй үнэ цэнээр.
– МодульЦувралын нийтлэг гишүүн нь тэг рүү чиглэдэг: Тусламжийн төгсгөл

Одоо нэг хэвийн байдлын талаар бага зэрэг яръя. Монотони бол уйтгартай тууштай байдал юм.

Цувралын гишүүд хатуу монотонцувралын ДАРААГИЙН гишүүн БҮР бол модулийн бууралт модульӨмнөхөөсөө БАГА: . Цуврал нь бууралтын хатуу монотон шинж чанартай бөгөөд үүнийг нарийвчлан тайлбарлаж болно.

Эсвэл бид товчхон хэлж болно: цувралын дараагийн гишүүн бүр модульөмнөхөөсөө бага: .

Цувралын гишүүд хатуу монотон бишЦуврал модулийн ДАРААХ гишүүн БҮР нь өмнөхөөсөө ИЛҮҮ БОЛОХГҮЙ бол модулийн бууралт: . Факториаль бүхий цувааг авч үзье: Цувралын эхний хоёр гишүүн модулийн хувьд ижил тул энд сул монотон байна. Энэ нь цувралын дараагийн гишүүн бүр юм модульөмнөхөөсөө илүүгүй: .

Жишээ 1Цувралыг нэгтгэх эсэхийг шалгана уу

Цувралын нийтлэг нэр томъёонд хүчин зүйл багтдаг бөгөөд энэ нь Лейбницийн шалгуурыг ашиглах шаардлагатай гэсэн үг юм

1) Мөрийг сольж байгаа эсэхийг шалгаж байна. Ихэвчлэн шийдвэрийн энэ үед цувралыг нарийвчлан тайлбарлаж, "Цуврал ээлжлэн байна" гэсэн шийдвэрийг гаргадаг.

2) Цувралын нөхцлүүд үнэмлэхүй утгаараа буурах уу? Хязгаарыг шийдэх шаардлагатай байдаг бөгөөд энэ нь ихэвчлэн маш энгийн байдаг.

– цувралын нөхцөл нь модулийн хувьд буурахгүй. Дашрамд хэлэхэд, бууралтын нэгэн хэвийн байдлыг ярих шаардлагагүй болсон. Дүгнэлт: цувралууд хоорондоо ялгаатай байна.

Юу тэнцүү болохыг яаж ойлгох вэ? Маш энгийн. Таны мэдэж байгаагаар модуль нь сул талуудыг устгадаг тул нэгийг бий болгохын тулд та дээвэр дээрээс анивчсан гэрлийг арилгах хэрэгтэй. Энэ тохиолдолд цувралын нийтлэг нэр томъёо нь . Бид "анивчдаг гэрлийг" тэнэг байдлаар арилгадаг: .

Жишээ 2 Цувралыг нэгтгэх эсэхийг шалгана уу

Бид Лейбницийн шалгуурыг ашигладаг.

1) Цуврал ээлжлэн байна.

2) – цувралын нөхцлүүд үнэмлэхүй утгаараа буурна. Цувралын дараагийн гишүүн бүр өмнөхөөсөө бага үнэмлэхүй утгатай байна: иймээс бууралт нь нэг хэвийн байна.

Дүгнэлт: цувралууд нийлдэг.

Бүх зүйл маш энгийн байх болно - гэхдээ энэ нь шийдлийн төгсгөл биш юм!

Хэрэв Лейбницийн тестийн дагуу цуврал нийлдэг бол цуврал гэж бас хэлдэг нөхцөлт байдлаар нийлдэг.

Хэрэв модулиудаас бүрдсэн цувралууд нийлдэг бол тэд цуврал гэж хэлдэг туйлын нийлдэг.

Тиймээс ердийн асуудлыг шийдвэрлэх хоёр дахь үе шат - үнэмлэхүй нэгдэхийн тулд ээлжлэн цуваа тэмдэгтийг судлах нь хэлэлцэх асуудлын жагсаалтад байна.

Энэ бол миний буруу биш - энэ бол зөвхөн тооны цувралын онол юм =)

Цувралуудыг үнэмлэхүй нийлмэл байдлын үүднээс авч үзье.
Цуврал модулиудыг зохиоё - бид зүгээр л тэмдгүүдийн ээлжийг баталгаажуулдаг хүчин зүйлийг арилгадаг: - ялгарах (гармоник цуврал).

Тиймээс бидний цуврал туйлын нэгдмэл биш юм.
Судалж буй цуврал зөвхөн нөхцөлт байдлаар нийлдэг.

Эхний алхамд цуваа зөрүүтэй байна гэж дүгнэсэн тул жишээ №1-д үнэмлэхүй бус нийлэлтийг судлах шаардлагагүй гэдгийг анхаарна уу.

Бид хувин, хүрз, машин цуглуулж, экскаваторын бүхээгээс ертөнцийг том нүдээр харахын тулд хамгаалагдсан хязгаарлагдмал талбайг орхиж байна.

Жишээ 3 Цувралыг нэгтгэх эсэхийг шалгана.Бид Лейбницийн шалгуурыг ашигладаг.

1)
Энэ цуврал ээлжлэн гарч байна.

2) – цувралын нөхцлүүд үнэмлэхүй утгаараа буурна. Цувралын дараагийн гишүүн бүр өмнөхөөсөө бага үнэмлэхүй утгатай: энэ нь бууралт нь нэг хэвийн байна гэсэн үг юм. Дүгнэлт: Цуврал нэгдэж байна.

Цувралыг бөглөхөд дүн шинжилгээ хийхдээ бид харьцуулахдаа хязгаарлах шалгуурыг ашиглах шаардлагатай гэсэн дүгнэлтэд хүрч байна. Хуваарьт хаалт нээх нь илүү тохиромжтой.

Энэ цувралыг нийлэх цуваатай харьцуулж үзье. Харьцуулахдаа бид хязгаарлах шалгуурыг ашигладаг.

Тэгээс ялгаатай хязгаарлагдмал тоо гарч ирдэг бөгөөд энэ нь цуваа нь цуваатай нийлдэг гэсэн үг юм. Судалж буй цуврал туйлын нийлдэг.

Жишээ 4 Цувралыг нэгтгэх эсэхийг шалгана уу

Жишээ 5 Цувралыг нэгтгэх эсэхийг шалгана уу

Эдгээр нь танд бие даан шийдвэрлэх жишээ юм. Бүрэн шийдэл, загвар дизайныг хэсгийн төгсгөлд үзүүлэв.

Таны харж байгаагаар ээлжлэн мөрүүд нь энгийн бөгөөд уйтгартай байдаг! Гэхдээ хуудсыг хаах гэж яарах хэрэггүй, хэдхэн дэлгэцийн дараа бид олныг гайхшруулж буй хэргийг харах болно. Энэ хооронд дадлага хийх, давтах хэд хэдэн жишээ.

Жишээ 6 Цувралыг нэгтгэх эсэхийг шалгана уу

Бид Лейбницийн шалгуурыг ашигладаг.
1) Цуврал ээлжлэн байна.
2)
Цувралын нөхцлүүд модулийн хувьд буурна. Цувралын дараагийн гишүүн бүр өмнөхөөсөө бага үнэмлэхүй утга учир бууралт нь нэг хэвийн байна гэсэн үг. Дүгнэлт: цувралууд нийлдэг.

Би цувралын гишүүдийн талаар дэлгэрэнгүй тайлбарлаагүйг анхаарна уу. Тэдгээрийг үргэлж дүрслэхийг зөвлөж байна, гэхдээ "хэцүү" тохиолдолд залхуурлын улмаас та "Цуврал тэмдэг ээлжлэн солигдож байна" гэсэн хэллэгээр өөрийгөө хязгаарлаж болно. Дашрамд хэлэхэд энэ асуудалд албан ёсоор хандах шаардлагагүй, бид үргэлж шалгадаг(наад зах нь оюун санааны хувьд) цуврал нь үнэндээ ээлжлэн солигддог. Түргэн харвал бүтэлгүйтэж, автоматаар алдаа гардаг. "хууран мэхлэлт" -ийн талаар санаарай, , хэрэв байгаа бол эерэг нэр томъёо бүхий "ердийн" цувралыг авахын тулд тэднээс салах хэрэгтэй.

Хоёрдахь нарийн зүйл бол монотон байдлын тухай өгүүлбэртэй холбоотой бөгөөд би үүнийг аль болох богиносгосон. Та үүнийг хийж чадна, бараг үргэлж таны даалгаврыг хүлээж авах болно. Би огт муу зүйл хэлэх болно - би хувьдаа нэг хэвийн байдлын талаар ихэвчлэн дуугүй байдаг бөгөөд ийм тоо өнгөрдөг. Гэхдээ тэгш бус байдлын нарийвчилсан хэлхээг хүртэл бүх зүйлийг нарийвчлан тайлбарлахад бэлэн байгаарай (хичээлийн эхэнд байгаа жишээг үзнэ үү). Нэмж дурдахад, заримдаа нэг хэвийн байдал нь хатуу биш байдаг тул "бага" гэдэг үгийг "илүү байхгүй" гэсэн үгээр солихын тулд үүнийг хянах шаардлагатай.

Бид үнэмлэхүй нийлэхийн тулд цувралуудыг шалгана.

Мэдээжийн хэрэг, та радикал Коши тестийг ашиглах хэрэгтэй:

Тиймээс цуврал нэгдэж байна. Судалж буй цуврал туйлын нийлдэг.

Жишээ 7Цувралыг нэгтгэх эсэхийг шалгана уу

Энэ бол бие даасан шийдлийн жишээ юм.Ихэвчлэн хүндрэл үүсгэдэг ээлжлэн эгнээ байдаг.

Жишээ 8Цувралыг нэгтгэх эсэхийг шалгана уу

Бид Лейбницийн шалгуурыг ашигладаг.
1) Цуврал ээлжлэн байна.

ТАЙЛБАР: Функцийн өсөлтийн дарааллын тухай ойлголтыг нийтлэлд дэлгэрэнгүй авч үзсэн болноХязгаарыг шийдвэрлэх аргууд . Бидэнд байгаа дарааллын хязгаарлалт, гэхдээ энэ нь мөн чанарыг өөрчлөхгүй.

Хэрэв тоологч хүчин зүйлээс хурдан өсвөл . Хязгааргүй үед факториал нь тоологчоос хурдан өсөх юм бол эсрэгээр хязгаарыг тэг болгож "татах" болно: . Эсвэл энэ хязгаар нь тэгээс бусад тоотой тэнцүү байж болох уу?

Цувралын эхний хэдэн нэр томъёог бичихийг хичээцгээе:
та хэдэн мянганы олон гишүүнтийг орлуулж болно, энэ нь дахин нөхцөл байдлыг өөрчлөхгүй - эрт орой хэзээ нэгэн цагт факториал ийм аймшигтай олон гишүүнтийг "гүйцэх" болно. Факториал өсөлтийн дээд дараалалямар ч цахилгаан дараалалаас илүү.

– Факториал илүү хурдан өсч байна ямар ч хэмжээний бүтээгдэхүүнэкспоненциал ба чадлын дараалал (бидний тохиолдол).

– Факториалаас илүү “сэрүүн” зүйл бий юу? Ид! Хүчин чадлын экспоненциал дараалал ("en"-ээс "en" хүртэл) хүчин зүйлээс хурдан өсдөг. Практикт энэ нь ховор тохиолддог боловч мэдээлэл нь хэт их байх болно. Тусламжийн төгсгөл

Тиймээс судалгааны хоёр дахь цэгийг (та үүнийг санаж байна уу? =)) дараах байдлаар бичиж болно.
2) , өсөлтийн дараалал нь -ээс өндөр байдаг.
Цувралын нөхцлүүд модулийн бууралт, зарим тооноос эхлэн, энэ тохиолдолд цувралын дараагийн гишүүн бүр өмнөхөөсөө бага үнэмлэхүй утгатай тул бууралт нь нэгэн хэвийн байна.

Дүгнэлт: цувралууд нийлдэг.

Цувралын нөхцлүүд анх үнэмлэхүй утгаараа өсөхөд яг ийм сонин тохиолдол гарч байна, иймээс бид хязгаарын талаар алдаатай анхны дүгнэлттэй байсан. Гэхдээ, "en" тооноос эхлэн, факториалыг тоологч гүйцэж, цувралын "сүүл" нь монотон буурч байгаа нь Лейбницийн теоремын нөхцлийг биелүүлэхэд үндсэндээ чухал юм. Энэ "en" яг юу болохыг олж мэдэхэд хэцүү байдаг.

Харгалзах теоремын дагуу цувааны үнэмлэхүй нийлбэрээс цувааны нөхцөлт нийлэлтийг дагадаг. Дүгнэлт: Судалгааны цуврал туйлын нийлдэг.

Эцэст нь та өөрөө шийдэх хэд хэдэн жишээг хэлье. Нэг дуурийн нэг (тусламжийг дахин уншина уу), гэхдээ илүү энгийн. Гурмануудад зориулсан өөр нэг зүйл бол конвергенцийн салшгүй шинж тэмдгийг нэгтгэх явдал юм.

Жишээ 9Цувралыг нэгтгэх эсэхийг шалгана уу

Жишээ 10Цувралыг нэгтгэх эсэхийг шалгана уу

Тоон эерэг ба ээлжлэн цувааг өндөр чанартай судалсны дараа цэвэр ухамсартайгаар та цаашаа явж болно. функциональ цуврал, үүнээс дутахгүй нэгэн хэвийн, нэгэн хэвийн байдал нь сонирхолтой юм.

Шийдэл ба хариултууд:

Жишээ 4: Бид Лейбницийн шалгуурыг ашигладаг:

1) Энэ цуврал ээлжлэн байна.
2)
Цувралын нөхцөл нь модулийн хувьд буурахгүй. Дүгнэлт: Цуврал зөрүүтэй байна.. , энэ тохиолдолд цувралын дараагийн гишүүн бүр өмнөхөөсөө бага үнэмлэхүй утгатай тул бууралт нь нэгэн хэвийн байна.

Тиймээс цуваа нь харгалзах буруу интегралтай хамт хуваагддаг. Судалж буй цуврал зөвхөн нөхцөлт байдлаар нийлдэг.