20. Условие равновесия пространственной системы сил:
21. Теорема о 3-х непараллельных силах: Линии действия трёх непараллельных взаимно уравновешивающихся сил, лежащих в одной плоскости, пересекаются в одной точке.
22. Статически определимые задачи – это задачи, которые можно решать методами статики твёрдого тела, т.е. задачи, в которых число неизвестных не превышает числа уравнений равновесия сил.
Статически не определимые – это системы, в которых число неизвестных величин превышает число независимых уравнений равновесия для данной системы сил
23. Уравнения равновесия плоской системы параллельных сил:
AB не параллельно F i
24. Конус и угол трения: Предельное положение активных сил, под действием которых может иметь место равенство, описывает конус трения c углом (φ).
Если активная сила проходит вне этого конуса, то тогда равновесие невозможно.
Угол φ называют углом трения.
25. Указать размерность коэффициентов трения: коэффициенты трения покоя и трения скольжения-безразмерные величины, коэффициенты трения качения и трения верчения имеют размерность длины(мм,см,м).м
26. Основные допущения, принимаемые при расчёте плоских статически опред.ферм: -стержни фермы считают невесомыми; -крепления стержней в узлах фермы-шарнирные; -внешняя нагрузка накладывается только в узлах фермы; -стержень попадает под связь.
27. Какая связь между стержнями и узлами статически определимой фермы?
S=2n-3 –простая статически определимая ферма, S-количество стержней, n-количество узлов,
если S<2n-3 –не жесткая ферма, равновесие возможно, если внешние силы будут одинаково соотноситься
S>2n-3 – статически не определимая ферма, имеет лишние связи, +расчёт деформации
28. Статически определимая ферма должна удовлетворять условию: S=2n-3; S-количество стержней, n-количество узлов.
29. Метод вырезания узлов: Этот метод состоит в том, что мысленно вырезают узлы фермы, прикладывают к ним соответствующие внешние силы и реакции стержней и составляют уравнения равновесия сил, приложенных к каждому узлу. Условно предполагают, что все стрежни растянуты(реакции стержней направлены от узлов).
30. Метод Риттера: Проводим секущую плоскость, рассекающую ферму на 2 части. Сечение должно начинаться и заканчиваться за пределами фермы. В качестве объекта равновесия можно выбирать любую часть. Сечение проходит по стержням, а не по узлам. Силы, приложенные к объекту равновесия, образуют произвольную систему сил, для которой можно составить 3 уравнения равновесия. Поэтому сечение проводим так, чтобы в него попало не более 3 стержней, усилия в которых неизвестны.
Особенностью метода Риттера является выбор формы уравнения таким образом, чтобы в каждое уравнение равновесия входила одна неизвестная величина. Для этого определяем положения точек Риттера, как точек пересечения линий действия двух неизвестных усилий и записываем уравнения моментов отн. этих точек.
Если точка Риттера лежит в бесконечности, то в качестве уравнения равновесия составляем уравнения проекций на ось, перпендикулярную этим стержням.
31. Точка Риттера- точка пересечения линий действия двух неизвестных усилий. Если точка Риттера лежит в бесконечности, то в качестве уравнения равновесия составляем уравнения проекций на ось, перпендикулярную этим стержням.
32. Центр тяжести объемной фигуры:
33. Центр тяжести плоской фигуры:
34. Центр тяжести стержневой конструкции:
35. Центр тяжести дуги:
36. Центр тяжести кругового сектора:
37. Центр тяжести конуса:
38. Центр тяжести полушара:
39. Метод отрицательных величин: Если твёрд.тело имеет полости, т.е. полости из которых вынута их масса, то мы мысленно заполняем эти полости до сплошного тела, и определяем центр тяжести фигуры, взяв вес, объём, площадь полостей со знаком «-».
40. 1-й инвариант: 1-м инвариантом системы сил называют главные вектор системы сил. Главный вектор системы сил не зависит от центра приведения R=∑ F i
41. 2-й инвариант:
Скалярное произведение главного вектора на главный момент системы сил для любого центра приведения есть величина постоянная. 
42. В каком случае система сил приводится к силовому винту? В случае, если главный вектор системы сил и её главный момент относительно центра приведения не равны нулю и не перпендикулярны между собой, задан. систему сил можно привести к силовому винту.
43. Уравнение центральной винтовой оси:
44.
M x - yR z + zR y = pR x ,
M y - zR x + xR z = pR y ,
M z - xR y + yR x = pR z
45. Момент пары сил как вектор- этот вектор перпендикулярен плоскости действия пары и направлен в сторону, откуда видно вращение пары против хода часовой стрелки. По модулю векторный момент равен произведению одной из сил пары на плечо пары. Векторный момент пары явл. свободным вектором и может быть приложен к любой точке твердого тела.
46. Принцип освобождаемости от связей: Если связи отбрасываются, то их необходимо заменить силами реакций от связи.
47. Веревочный многоугольник- это построение графостатики, которым можно пользоваться для определения линия действия равнодействующей плоской системы сил для нахождения реакций опор.
48. Какая взаимосвязь между верёвочным и силовым многоугольником: Для нахождения неизвестных сил графически в силовом многоугольнике используем дополнительную точку О(полюс), в веревочном многоугольнике находим равнодействующую, перемещая которую в силовой многоугольник находим неизвестные силы
49. Условие равновесия систем пар сил: Для равновесия пар сил действующих на твердое тело необходимо и достаточно чтобы момент эквивалентных пар сил был равен нулю. Следствие: Чтобы уравновесить пару сил необходимо приложить уравновешивающую пару, т.е. пару сил можно уравновесить другой парой сил с равными модулями и противоположно направленными моментами.
Кинематика
1. Все способы задания движения точки:
естественный способ
координатный
радиус-векторный.
2. Как найти уравнение траектории движения точки при координатном способе задания её движения? Для того, чтобы получить уравнение траектории движение материальной точки, при координатном способе задания необходимо исключить параметр t из законов движения.
3. Ускорение точки при координ. способе задания движения:
над иксом 2 точки
над y 2 точки
4. Ускорение точки при векторном способе задания движения:
5. Ускорение точки при естественном способе задания движения:
=
=
*
+v*
; a=
+
;
*
; v*
.
6. Чему равно и как оно направлено нормальное ускорение – направлено по радиусу к центру,
ВЕРНУТЬСЯ Сложное движение точки (тела) – такое движение, при котором точка (тело) одновременно участвует в нескольких движениях (напр. пассажир, перемещающийся по движущемуся вагону). В этом случае вводится подвижная система координат (Oxyz), которая совершает заданное движение относительно неподвижной (основной) системы координат (O 1 x 1 y 1 z 1). Абсолютным движением точки назыв. движение по отношению к неподвижной системе координат. Относительное движение – движение по отношению к подвижной системе коорд. (движение по вагону). Переносное движение – движение подвижной сист. координат относительно неподвижной (движение вагона). Теорема о сложении скоростей : , ; -орты (единичные вектора) подвижной системы координат, орт вращается вокруг мгновенной оси, поэтому скорость его конца и т.д., Þ: ,
; – относительная скорость.
; переносная скорость: 
, поэтому абсолютная скорость точки = геометрической сумме ее переносной (v e) и относительной (v r) скоростей , модуль: . : 
и т.д. Слагаемые выражения, определяющего ускорения : 1) – ускорение полюса О;
2)
3) – относительное ускорение точки;
4) ,
получаем: .
Первые три слагаемых представляют собой ускорение точки в переносном движении: – ускорение полюса О; – вращательное уск., 
– осестремительное уск., т.е. 
. Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса)
: 
, где 
– ускорение Кориолиса (кориолисово ускорение) – в случае непоступательного переносного движения абсолютное ускорение = геометрической сумме переносного, относительного и кориолисова ускорений. Кориолисово ускорение характеризует: 1) изменение модуля и направления переносной скорости точки из-за ее относительного движения; 2) изменение направления относительной скорости точки из-за вращательного переносного движения. Модуль ускорения Кориолиса: а с = 2×|w e ×v r |×sin(w e ^ v r), направление вектора определяется по правилу векторного произведения, или по правилу Жуковского: проекцию относительной скорости на плоскость, перпендикулярную переносной угловой скорости, надо повернуть на 90 о в направлении вращения.
Кориолисово уск. = 0 в трех случаях: 1) w e =0, т.е. в случае поступательного переносного движения или в момент обращения угл. скорости в 0; 2) v r =0; 3) sin(w e ^ v r)=0, т.е. Ð(w e ^ v r)=0, когда относительная скорость v r параллельна оси переносного вращения. В случае движения в одной плоскости – угол между v r и вектором w e = 90 о, sin90 o =1, а с =2×w e ×v r .
Сложное движение твердого тела
При сложении двух поступательных движений результирующее движение также является поступательным и скорость результирующего движения равна сумме скоростей составляющих движений. Сложение вращений тв. тела вокруг пересекающихся осей. Ось вращения, положение которой в пространстве изменяется со временем назыв. мгновенной осью вращения тела
. Вектор угловой скорости – скользящий вектор, направленный вдоль мгновенной оси вращения. Абсолютная угловая скорость тела = геометрической сумме скоростей составляющих вращений – правило параллелограмма угловых скоростей.
. Если тело участвует одновременно в мгновенных вращениях вокруг нескольких осей, пересекающихся в одной точке, то
. При сферическом движении твердого тела, одна из точек которого во все время движения остается неподвижной, имеем уравнения сферического движения: Y=f 1 (t); q=f 2 (t); j=f 3 (t). Y – угол прецессии, q – угол нутации, j – угол собственного вращения - углы Эйлера. Угловая скорость прецессии , угл. скорость нутации , угл. ск. собственного вращения . 
,
– модуль угловой скорости тела вокруг мгновенной оси. Через проекции на неподвижные оси координат: – кинематические уравнения Эйлера. Сложение вращений вокруг 2-х параллельных осей
.
1) 
Вращения направлены в одну сторону. w=w 2 +w 1 , С – мгновенный центр скоростей и через нее проходит мгновенная ось вращения, 
, 
. 2) Вращения направлены в разные стороны. 
, w=w 2 -w 1
С – мгн. центр ск. и мгн. ось вращения, . Векторы угловых скоростей при вращении вокруг ||-ых осей складываются так же, как векторы параллельных сил. 3) Пара вращений
– вращения вокруг ||-ных осей направлены в разные стороны и угловые скорости по модулю равны ( – пара угловых скоростей). В этом случае v A =v B , результирующее движение тела – поступательное (или мгновенное поступательное) движение со скоростью v=w 1 ×AB – момент пары угловых скоростей (поступательное движение педали велосипеда относит-но рамы). Мгн. центр скоростей находится в бесконечности. Сложение поступательного и вращательного движений
. 1) Скорость поступательного движения ^ к оси вращения – плоскопараллельное движение – мгновенное вращение вокруг оси Рр с угловой скоростью w=w".
2) Винтовое движение
– движение тела слагается из вращательного движения вокруг оси Аа с угл.ск. w и поступательного со скоростью v||Аа. Ось Аа – ось винта. Если v и w в одну сторону, то винт – правый, если в разные – левый. Расстояние, проходимое за время одного оборота любой точкой тела, лежащей на оси винта, наз. шагом винта – h. Если v и w постоянны, то h= =const, при постоянном шаге любая (×)М, не лежащая на оси винта описывает винтовую линию. 
направлена по касательной к винтовой линии.
3) Скорость поступательного движения образует произвольный угол с осью вращения, в этом случае движение можно рассматривать как слагающееся из серии мгновенных винтовых движений, вокруг непрерывно изменяющихся винтовых осей – мгновенно–винтовое движение.
Аналитическая запись условий равновесия произвольной пространственной системы сил представляет систему шести уравнений (5.3).
С механической точки зрения первые три уравнения устанавливают отсутствие поступательного, а последние три − углового перемещения тела. В случае ССС условия равновесия будут представлены системой первых трех уравнений. В случае системы параллельных сил система будет состоять также из трех уравнений: из одного уравнения суммы проекций сил на ту ось, параллельно которой ориентированы силы системы, и двух уравнений моментов относительно осей, непараллельных линиям действия сил системы.
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ТЕЛА
Центром тяжести твердого тела называется точка, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести частиц данного тела, при любом его расположении в пространстве.
Координаты центра тяжести, точки C (рис. 6.3) можно определить по следующим формулам:
Ясно, что чем мельче разбиение, тем точнее будет проведен расчет по формулам (6.7), (6.8). Однако при этом трудоемкость вычислений может быть достаточно большой. В инженерной практике применяются формулы определения центра тяжести тел правильной формы.
КИНЕМАТИКА
ЛЕКЦИЯ 6.
Кинематикой называют раздел механики, в котором рассматривают движение тел и
Точек без учета сил, приложенных к ним.
6.1. Способы задания движения точки
Рассматривать движение тел или точек можно только относительно какой- либо системы отсчета – реального или условного тела, относительно которого определяют положение и движение других тел.
Рассмотрим три, наиболее используемые при решении задач, системы отсчета и, соответствующие им, три способа задания движения точки. Их характеристика сводится к: а) описанию самой системы отсчета; б) определению положения точки в пространстве; в) указанию уравнений движения точки; г) установлению формул, по которым могут быть найдены кинематические характеристики движения точки.
Векторный способ
Данный способ используют, как правило, при выводе теорем и других теоретических положений. Его преимущество перед другими способами – компактность записи. В качестве системы отсчета в этом способе выступает центр О с тройкой единичных векторов – i, j, k (рис. 8.1). Положение в пространстве произвольной точки М определяется посредством радиуса-вектора, r. Таким образом, уравнением движения точки M будет однозначная функция радиуса-вектора от времени, t :
Сравнивая последние два определения, можно заключить, что траектория точки является одновременно годографом ее радиуса-вектора.
Введем понятие средней скорости, V ср (рис. 8.1):
и истинной (мгновенной) скорости, V:
Направление V совпадает с касательной, к траектории точки (рис. 8.1).
Ускорение точки – это векторная величина, характеризующая изменение скорости точки:
Естественный способ
ная зависимость между S и временем, t , представляет собой уравнение движения точки в естественном способе задания движения:
Скорость точки, направленная по оси t , определяется как:
Ускорение точки, а, находится в плоскости nt и может быть разложено на составляющие:
Физический смысл этого разложения заключается в следующем: линия действия касательной составляющей, а t , совпадает с линией действия вектора скорости, V , и отражает изменение только модуля скорости; нормальная составляющая ускорения, а n , характеризует изменение направления линии действия вектора скорости. Их численные значения могут быть найдены по следующим формулам:
| где | – радиус кривизны траектории в данной точке. |
Координатный способ
Этот способ наиболее часто используют при решении задач. Системой отсчета является тройка взаимно перпендикулярных осей x , y , z (рис. 8.3). Положение точки М определяется ее координатами x М , y М , z М .
Уравнения движения точки представляют собой однозначные функции этих координат от
а ее модуль:
Направление вектора скорости в пространстве можно аналитически определить с помощью направляющих косинусов:
Ускорение точки М можно установить по его проекциям на координатные оси:
Направление вектора ускорения в пространстве определяется направляющими косинусами.
Произвольную простран-ственную систему сил, как и плос-кую, можно привести к какому-нибудь центру О и заменить од-ной результирующей силой и парой с моментом . Рассуждая так, что для равновесия этой системы сил необходимо и достаточно, чтобы одновременно было R = 0 и M о = 0. Но векторы и могут обратиться в нуль только тогда, когда равны нулю все их проекции на оси координат, т. е. когда R x = R y = R z = 0 и M x = M y = M z = 0 или, когда дей-ствующие силы удовлетворяют условиям:
ΣX i = 0; ΣM x (P i ) = 0;
ΣY i = 0; ΣM y (P i ) = 0;
ΣZ i = 0; ΣM z (P i ) = 0.
Таким образом, для равновесия пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил системы на каждую из координатных осей, а также суммы моментов всех сил системы относительно каждой из этих осей равнялись нулю.
Для получения более простых систем уравнений рекомендуется оси проводить так, чтобы они пересекали больше неизвестных сил или были к ним перпендикулярны (если это только излишне не усложняет вычисления проекций и моментов других сил).
Новым элементом в составлении уравнений является вычисление моментов сил относительно осей координат.
В случаях, когда из общего чертежа трудно усмотреть, чему равен момент данной силы относительно какой-нибудь оси, рекоменду-ется изобразить на вспомогательном чертеже проекцию рассматри-ваемого тела (вместе с силой) на плоскость, перпендикулярную к этой оси.
В тех случаях, когда при вычислении момента возникают затруд-нения в определении проекции силы на соответствующую плоскость или плеча этой проекции, реко-мендуется разложить силу на две взаимно перпендикулярные состав-ляющие (из которых одна парал-лельна какой-нибудь координат-ной оси), а затем воспользоваться теоремой Вариньона .
Пример 5. Рама АВ (рис.45) удерживается в равновесии шарниром А и стержнем ВС . На краю рамы находится груз весом Р . Опреде-лим реакции шарнира и усилие в стержне.
Рис.45
Рассматриваем равновесие рамы вместе с грузом.
Строим расчётную схему, изобразив раму свободным телом и показав все силы, действующие на неё: реакции связей и вес груза Р . Эти силы образуют систему сил, произвольно расположенных на плоскости.
Жела-тельно составить такие уравнения, чтобы в каждом было по одной неиз-вестной силе.
В нашей задаче это точка А , где приложены неизвестные и ; точка С , где пересекаются линии действия неизвестных сил и ; точка D - точка пересечения линий действия сил и . Со-ставим уравнение проекций сил на ось у (на ось х проектировать нельзя, т.к. она перпендикулярна прямой АС ).
И, прежде чем составлять уравнения, сделаем еще одно полезное заме-чание. Если на расчётной схеме имеется сила, расположенная так, что плечо её находится непросто, то при определении момента рекоменду-ется предварительно разложить вектор этой силы на две, более удобно направленные. В данной задаче разложим силу на две: и (рис.37) такие, что модули их
Составляем уравнения:
Из второго уравнения находим:
Из третьего
И из первого
Так как получилось S <0, то стержень ВС будет сжат.
Пример 6. Прямоугольная полка весом Р удерживается в гори-зонтальном положении двумя стержнями СЕ и СD , прикреплён-ными к стене в точке Е . Стержни одинаковой длины, AB = 2a , EO = a . Определим усилия в стержнях и ре-акции петель А и В .
Рис.46
Рассматриваем равновесие плиты. Строим расчётную схему (рис.46). Реакции петель принято показывать двумя силами перпенди-кулярными оси петли: .
Силы образуют систему сил, произвольно расположенных в про-странстве. Можем составить 6 уравнений. Неизвестных - тоже шесть.
Какие уравнения составлять - надо подумать. Желательно такие, чтобы они были попроще и чтобы в них было поменьше неизвестных.
Составим такие уравнения:
Из уравнения (1) получим: S 1 =S 2 . Тогда из (4): .
Из (3): Y A =Y B и, по (5), . Значит Из уравнения (6), т.к. S 1 =S 2 , следует Z A =Z B . Тогда по (2) Z A =Z B =P/4.
Из треугольника , где , следует ,
Поэтому Y A =Y B =0,25P, Z A =Z B 0,25P.
Для проверки решения можно составить ещё одно уравнение и по-смотреть, удовлетворяется ли оно при найденных значениях реакций:
Задача решена правильно.
Силы, сходящиеся в точке. Силы, линии действия которых НС лежат в одной плоскости, образуют пространственную систему сил. Если линии действия сил пересекаются в одной точке, но не лежат в одной плоскости (рис. 1.59), то они образуют пространственную систему сходящихся сил. Главный момент такой системы сил относительно точки О, в которой пересекаются линии действия сил, всегда равен нулю, т.е. такая система сил в общем случае эквивалентна равнодействующей, линия действия которой проходит через точку О.
Рис. 1.59.
При использовании ОЗС (1.5) условия равновесия такой системы сил в рассматриваемом случае сводятся к выражению /? = (), и их можно записать в виде трех уравнений равновесия:
Если пространственная система сходящихся сил находится в равновесии, то суммы проекций всех сил на три декартовых оси координат равны нулю.
В случае пространственной системы сил может получиться так, что линия действия силы и ось являются скрещивающимися прямыми. В этом случае при составлении уравнений равновесия используется прием двойного проектирования (рис. 1.60).
Рис. 1.Б0. К приему двойного проектирования сил
Суть этого приема состоит в том, что для нахождения проекции силы на ось сначала проектируем ее на плоскость, содержащую эту ось, а затем уже непосредственно на саму ось: Ё ХУ = Я^пу; Е х = |Т^ гк |с05ф = / г 5туС08ф.
Произвольная пространственная система сил. Силы, линии действия которых не лежат в одной плоскости и не пересекаются в одной точке, образуют произвольную пространственную систему сил (рис. 1.61). Для такой системы отсутствует какая-либо предварительная информация о величинах, или направлениях главного вектора и главного момента. Поэтому необходимые условия равновесия, вытекающие из ОЗС, Я = 0; М 0 = 0, приводят к шести скалярным уравнениям:
|
М ох = 0; |
||
|
М 0У = 0; |
||
|
Я 7 -0, |
М о? = 0. |
Из ОЗС следует, что при равновесии произвольной пространственной системы сил три проекции главного вектора и три проекции главного момента внешних сил равны нулю.
Рис. 1.61.
Практическое использование этих соотношений не вызывает труда в случае нахождения проекций сил, требуемых для вычисления проекции главного вектора, тогда как вычисление проекций векторов моментов может оказаться весьма затруднительным, так как ни величины, ни направления этих векторов заранее не известны. Решение задач значительно упрощается, если использовать понятие «момент силы относительно оси».
Момент силы относительно оси - это проекция на эту ось вектора-момента силы относительно любой точки, лежащей на этой оси (рис. 1.62):
где /л 0 (/ 7) = г 0 х Т 7 - вектор-момент силы относительно точки О.
Рис. 1.Б2. К определению момента силы относительно оси
Модуль этого вектора равен |ал 0 (/ ;)| = 25 ДО/1й = /7?, где - площадь треугольника ОЛВ.
минуя определение вектора-момента т 0 (Р). Построим плоскость л, перпендикулярную оси, относительно которой определяется момент, и спроектируем силу на эту плоскость. По определению момент силы относительно оси:
с об ос - 28 ДО/)й АО, А 1 В ] - Р К И Х.
Таким образом, модуль момента силы относительно оси можно определить как произведение модуля проекции силы на плоскость л, перпендикулярную рассматриваемой оси, на расстояние от точки пересечения оси с плоскостью л до линии действия силы Р к, т.е. для определения момента силы относительно оси нет необходимости предварительно определять вектор т а (Р), а затем проектировать его на ось Ох.
Примечание. Заметим, что модуль момента относительно оси не зависит от выбора точки на оси, относительно которой вычисляют вектор момента, так как проекция площади АОАВ на плоскасть л не зависит от выбора точки О.
Из изложенного вытекает последовательность действий при определении момента силы относительно оси (см. рис. 1.61):
- строим плоскость л, перпендикулярную Ох, и отмечаем точку О;
- проектируем силу на эту плоскость;
- вычисляем модуль момента относительно оси и присваиваем полученному результату знак «+» или «-»:
- (1.28)
т ох (Р) = ±РЬ х.
Правило знаков следует из знака проекции вектора т ох (Р): если смотреть с «положительного конца» оси «поворот отрезка И х » силой Р п виден происходящим против хода часовой стрелки, то момент силы относительно оси считают положительным, в противном случае - отрицательным (рис. 1.63).
Рис. 1.63.
1 Р г - от фр. ргсуесйоп - проекция.
Примечание. Момент силы относительно оси равен нулю, когда сила параллельна оси или пересекает эту ось, т.е. момент силы относительно оси равен нулю, если сила и ось лежат в одной плоскости (рис. 1.64).
Рис. 1.В4. Случаи равенства нулю момента силы
относительно оси
С физической точки зрения момент силы относительно оси характеризует вращательный эффект силы по отношению к оси.
Уравнения равновесия произвольной пространственной системы сил. Учитывая, что согласно ОЗС для пространственной системы сил, находящейся в равновесии, Я = 0; М а = 0. Выражая проекции главного вектора через суммы проекций сил системы, а проекции главного момента - через суммы моментов отдельных сил относительно осей, получаем шесть уравнений равновесия произвольной пространственной системы сил:
Таким образом, если произвольная пространственная система сил находится в равновесии, то сумма проекции всех сил на три оси декартовых координат и суммы моментов всех сил относительно этих осей равны нулю.
Пары сил в пространстве. В пространственной системе сил могут встречаться пары сил, расположенные в разных плоскостях, и при вычислении главного момента возникает необходимость нахождения моментов этих пар сил относительно разных точек пространства, не лежащих в плоскости пар.
Пусть силы пары расположены в точках/! и В (рис. 1.65). Тогда имеем: Р А = -Р в, а по модулю Р А = Р в = Р. Из рис. 1.65 следует, что г в = г л + Л В.
Рис. 1.В5. К определению вектора-момента пары сил относительно точки,
не лежащей в плоскости пары
Найдем главный момент пары сил относительно точки О:
Р а х К + р в х Р в = * л х + ? в х Л =
= (г в -?л)х Р в = х Р в = ВЛх Р А = т.
Поскольку положение точки О не вошло в конечный результат, отметим, что вектор-момент пары сил т не зависит от выбора мо-ментной точки О и определяется как момент одной из сил пары относительно точки приложения другой силы. Вектор-момент пары сил перпендикулярен плоскости действия пары и направлен так, чтобы с конца его видеть возможное вращение против хода часовой стрелки. Модуль вектора-момента пары сил равен произведению величины силы пары на плечо, т.е. ранее определенному значению момента пары в плоской системе сил:
т 0 (Р,-Р) = Рк = т. (1.31)
Вектор-момент пары сил является «свободным» вектором; его можно прикладывать в любой точке пространства, не изменяя модуля и направления, что соответствует возможности переноса пары сил в любую параллельную плоскость.
Момент пары сил относительно оси. Поскольку момент пары сил - вектор «свободный», то всегда пару сил, заданную векгором-момента,
можно расположить так, чтобы одна из сил пары (-^) пересекала заданную ось в произвольной точке О (рис. 1.66). Тогда момент
пары сил будет равен моменту силы Р относительно точки О:
т 0 (Р,-Р) = ОЛх Р = т.
Рис. 1.ББ. К определению момента пары сил относительно оси
Момент пары сил относительно оси определяют как проекцию на эту ось вектора-момента силы F относительно точки О, или, что то же самое, как проекцию вектора-момента пары сил m 0 (F,-F) на эту ось:
т х (F,-F) = tn cos ос = Рг х т. (1-32)
Некоторые примеры пространственных связей:
? сферический шарнир (рис. 1.67) позволяет осуществлять поворот вокруг точки в любом направлении. Поэтому, отбрасывая такую связь, нужно приложить силу /V, которая проходит через центр шарнира и неизвестна по величине и направлению в пространстве. Разлагая эту силу по направлениям трех координатных осей, получим три неизвестные реакции: Х А, Y a , Z a ;
Рис. 1.Б7. Сферический шарнир и схематическое изображение его реакций
? подшипник скольжения позволяет реализовать поворот вокруг своей оси и допускает свободу перемещения вдоль этой оси. Предполагая, что размер 8 очень мал и реактивными моментами относительно осей х и у можно пренебречь, получим одну неизвестную по величине и направлению реактивную силу N А или две неизвестные реакции: Х А, У А (рис. 1.68);
Рис. 1.Б8. Реакции подшипника со свободной осью
? подпятник (рис. 1.69) в отличие от подшипника позволяет осуществлять поворот вокруг своей оси, нс допуская перемещения вдоль нее, и имеет три неизвестные реакции: X А, ? Л, Z /1 ;
? глухая пространственная заделка (рис. 1.70). Поскольку при отбрасывании такой связи возникает произвольная пространственная реактивная система сил, характеризуемая главным вектором /? неизвестной величины и направления и главным моментом, например, относительно центра заделки А, также неизвестным по величине и направлению, то представим каждый из этих векторов в виде компонентов по осям: Я = X А + У А + 2 А; М А = т АХ + т АУ + т Аг.
Рис. 1.70.
Делаем вывод, что глухая пространственная заделка имеет шесть неизвестных реакций - три составляющих силы и три момента относительно осей, величины которых равны соответствующим проекциям сил и моментов на координатные оси: X А, У л 2 А, т АХ; т АУ т А/ .
Решение задач. При решении задач на равновесие пространственной системы сил весьма существенным является составление уравнений, которые можно решить простым способом. Для этих целей оси, относительно которых составляют уравнения моментов, следует выбирать так, чтобы они пересекли как можно больше неизвестных сил или были им параллельны. Желательно направлять оси проекций так, чтобы отдельные неизвестные были им перпендикулярны.
При затруднениях, возникающих в процессе определения момента силы относительно осей, следует заменить отдельные силы эквивалентными совокупностями двух сил , для которых вычисления упрощаются. В ряде случаев полезно отображать проекции рассматриваемой системы на координатные плоскости.
Заметим, опуская доказательства, что подобно тому, как это было в плоской системе сил, составляя уравнения равновесия для пространственной системы сил, можно увеличивать число уравнений моментов относительно осей вплоть до шести, соблюдая некоторые ограничения, накладываемые на направление осей, такие, чтобы уравнения моментов были бы линейно независимы.
Задача 1.3. Прямоугольная плита, опертая в точке В на сферический
шарнир и закрепленная в точках А и С с помощью стержней, поддер-
живается в равновесии нитью, как показано на рис. 1.71. Определить реакции связей плиты ЛВС.
Рис. 1.71.
Д а н о: G, т , Za, Z(3 = л/4.
Выбирая начало координат в точке В, выразим составляющие пространственно ориентированной реактивной силы Т по оси z и плоскости Вху :
Т 7 =Т cosa; T XY = Т sin a.
Условия равновесия для данной системы будут представлять систему последовательно решаемых уравнений, которые запишем, опуская пределы суммирования, в виде:
X m z = 0- -Х А а = 0;
=°’ ~T z a + G~m = 0;
X m xi = 0.
Х^ = о, X F n = 0;
T z a + Z c a = 0;