Если вы уже знакомы с тригонометрическим кругом , и хотите лишь освежить в памяти отдельные элементы, или вы совсем нетерпеливы, – то вот он, :
Мы же здесь будем все подробно разбирать шаг за шагом.
Тригонометрический круг – не роскошь, а необходимость
Тригонометрия
у многих ассоциируется с непроходимой чащей. Вдруг наваливается столько значений тригонометрических функций, столько формул… А оно ведь, как, – незаладилось вначале, и… пошло-поехало… сплошное непонимание…
Очень важно не махать рукой на значения тригонометрических функций , – мол, всегда можно посмотреть в шпору с таблицей значений.
Если вы постоянно смотрите в таблицу со значениями тригонометрических формул, давайте избавляться от этой привычки!
Нас выручит ! Вы несколько раз поработаете с ним, и далее он у вас сам будет всплывать в голове. Чем он лучше таблицы? Да в таблице-то вы найдете ограниченное число значений, а на круге – ВСЕ!
К примеру, скажите, глядя в стандартную таблицу значений тригонометрических формул , чему равен синус, скажем, 300 градусов, или -45.
Никак?.. можно, конечно, подключить формулы приведения … А глядя на тригонометрический круг, легко можно ответить на такие вопросы. И вы скоро будете знать как!
А при решении тригонометрических уравнений и неравенств без тригонометрического круга – вообще никуда.
Знакомство с тригонометрическим кругом
Давайте по порядку.
Сначала выпишем вот такой ряд чисел:
А теперь такой:
И, наконец, такой:
Конечно, понятно, что, на самом-то деле, на первом месте стоит , на втором месте стоит , а на последнем – . То есть нас будет больше интересовать цепочка .
Но как красиво она получилась! В случае чего – восстановим эту «лесенку-чудесенку».
И зачем оно нам?
Эта цепочка – и есть основные значения синуса и косинуса в первой четверти.
Начертим в прямоугольной системе координат круг единичного радиуса (то есть радиус-то по длине берем любой, а его длину объявляем единичной).
От луча «0-Старт» откладываем в направлении стрелки (см. рис.) углы .
Получаем соответствующие точки на круге. Так вот если спроецировать точки на каждую из осей, то мы выйдем как раз на значения из указанной выше цепочки.
Это почему же, спросите вы?
Не будем разбирать все. Рассмотрим принцип , который позволит справиться и с другими, аналогичными ситуациями.
Треугольник АОВ – прямоугольный, в нем . А мы знаем, что против угла в лежит катет вдвое меньший гипотенузы (гипотенуза у нас = радиусу круга, то есть 1).
Значит, АВ= (а следовательно, и ОМ=). А по теореме Пифагора
Надеюсь, уже что-то становится понятно?
Так вот точка В и будет соответствовать значению , а точка М – значению
Аналогично с остальными значениями первой четверти.
Как вы понимаете, привычная нам ось (ox) будет осью косинусов , а ось (oy) – осью синусов . позже.
Слева от нуля по оси косинусов (ниже нуля по оси синусов) будут, конечно, отрицательные значения.
Итак, вот он, ВСЕМОГУЩИЙ , без которого никуда в тригонометрии.
А вот как пользоваться тригонометрическим кругом, мы поговорим в .
На этом уроке мы вспомним определение числовой прямой и дадим новое определение числовой окружности. Также подробно рассмотрим важное свойство числовой окружности и важные точки на окружности. Дадим определение прямой и обратной задачи для числовой окружности и решим несколько примеров подобных задач.
Тема: Тригонометрические функции
Урок: Числовая окружность
Для любой функции независимый аргумент откладывается либо на числовой прямой , либо на окружности. Охарактеризуем и числовую прямую, и числовую окружность .
Прямая становится числовой (координатной) прямой, если отмечено начало координат, выбраны направление и масштаб (рис. 1).
Числовая прямая устанавливает взаимно-однозначное соответствие между всеми точками прямой и всеми действительными числами.
Например, берем число откладываем на координатной оси, получаем точку Возьмем число откладываем на оси, получаем точку (рис. 2).
И наоборот, если мы взяли любую точку на координатной прямой, то найдется единственное соответствующее ей действительное число (рис. 2).
К такому соответствию люди пришли не сразу. Чтобы понять это, вспомним основные числовые множества.
Сначала ввели множество натуральных чисел
Затем множество целых чисел 
Множество рациональных чисел
Предполагалось, что этих множеств будет достаточно, и существует взаимно-однозначное соответствие между всеми рациональными числами и точками прямой. Но оказалось, что на числовой прямой есть бесчисленное множество точек, которые нельзя описать числами вида
Пример - гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 1 и 1. Она равна (рис. 3).
Найдется ли среди множества рациональных чисел число, в точности равное Нет, не найдется. Докажем этот факт.
Докажем методом от противного. Предположим, что существует дробь, равная т.е.
Тогда Возведем обе части в квадрат, Очевидно, что правая часть равенства делится на 2, . Значит и Тогда Но тогда и А значит, Тогда получается, что дробь сократимая. Это противоречит условию, значит
Число иррациональное. Множество рациональных и иррациональных чисел образуют множество действительных чисел 
Если мы возьмем любую точку на прямой, ей будет соответствовать какое-либо действительное число. И если мы возьмем любое действительное число, ему будет соответствовать единственная точка на координатной прямой.
Уточним, что такое числовая окружность и каковы взаимоотношения между множеством точек окружности и множеством действительных чисел.
Начало отсчета - точка A . Направление отсчета - против часовой стрелки - положительное, по часовой стрелке - отрицательное. Масштаб - длина окружности (рис. 4).
Вводя эти три положения, мы имеем числовую окружность . Укажем, каким образом каждому числу поставить в соответствие точку на окружности и наоборот.
Задав число получаем точку на окружности
Каждому действительному числу соответствует точка на окружности. А наоборот?
Точка соответствует числу . А если взять числа Все эти числа своим образом на окружности имеют только одну точку
Например, соответствует точке B (рис. 4).
Возьмем все числа Все они соответствуют точке B. Нет взаимно-однозначного соответствия между всеми действительными числами и точками окружности.
Если есть фиксированное число то ему соответствует только одна точка окружности
Если есть точка окружности, то ей соответствует множество чисел
В отличии от прямой, координатная окружность не обладает взаимно-однозначным соответствием между точками и числами. Каждому числу соответствует только одна точка, но каждой точке соответствует бесчисленное множество чисел, и мы можем их записать.
Рассмотрим основные точки на окружности.
Задано число Найти, какой точке на окружности оно соответствует.
Разделив дугу пополам, получаем точку (рис. 5).
Обратная задача - дана точка середина дуги Найти все действительные числа, которые ей соответствуют.
Отметим на числовой окружности все дуги, кратные (рис. 6).
Важны также дуги, кратные
Дано число Нужно найти соответствующую точку.
Обратная задача - дана точка, нужно найти каким числам она соответствует.
Мы рассмотрели две стандартные задачи на двух важнейших точках.
a) Найти на числовой окружности точку с координатой
Откладываем от точки A это два целых оборота и еще половина, и Получаем точку M - это середина третьей четверти (рис. 8).
Ответ. Точка M - середина третьей четверти.
b) Найти на числовой окружности точку с координатой
Откладываем от точки A полный оборот и еще получаем точку N (рис. 9).
Ответ: Точка N находится в первой четверти.
Мы рассмотрели числовую прямую и числовую окружность, вспомнили их особенности. Особенностью числовой прямой является взаимно-однозначное соответствие между точками этой прямой и множеством действительных чисел. Такого взаимно-однозначного соответствия нет на окружности. Каждому действительному числу на окружности соответствует единственная точка, но каждой точке числовой окружности соответствует бесчисленное множество действительных чисел.
На следующем уроке мы рассмотрим числовую окружность в координатной плоскости.
Список литературы по теме "Числовая окружность", "Точка на окружности"
1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.
4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.
6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.
7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.
8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа: учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.
Домашнее задание
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2007.
№№ 11.6 - 11.12, 11.15 - 11.17.
Дополнительные веб-ресурсы
3. Образовательный портал для подготовки к экзаменам ().
Числовая окружность - это единичная окружность, точки которой соответствуют определенным действительным числам.
Единичной окружностью называют окружность радиуса 1.
Общий вид числовой окружности.
1) Ее радиус принимается за единицу измерения.
2) Горизонтальный и вертикальный диаметры делят числовую окружность на четыре четверти. Их соответственно называют первой, второй, третьей и четвертой четвертью.
3) Горизонтальный диаметр обозначают AC, причем А - это крайняя правая
точка.
Вертикальный диаметр обозначают BD, причем B - это крайняя верхняя точка.
Соответственно:
первая четверть - это дуга AB
вторая четверть - дуга BC
третья четверть - дуга CD
четвертая четверть - дуга DA
4) Начальная точка числовой окружности - точка А.
Отсчет по числовой окружности может вестись как по часовой стрелке, так и против часовой стрелки.
Отсчет от точки А против часовой стрелки называется положительным направлением .
Отсчет от точки А по часовой стрелке называется отрицательным направлением .
Числовая окружность на координатной плоскости.
Центр радиуса числовой окружности соответствует началу координат (числу 0).
Горизонтальный диаметр соответствует оси x , вертикальный - оси y .
Начальная точка А числовой окружнос ти находится на оси x и имеет координаты (1; 0).
Имена и местонахождение основных точек числовой окружности:
Как запомнить имена числовой окружности.
Есть несколько простых закономерностей, которые помогут вам легко запомнить основные имена числовой окружности.
Перед тем как начать, напомним: отсчет ведется в положительном направлении, то есть от точки А (2π) против часовой стрелки.
1) Начнем с крайних точек на осях координат.
Начальная точка - это 2π (крайняя правая точка на оси х , равная 1).
Как вы знаете, 2π - это длина окружности. Значит, половина окружности - это 1π или π. Ось х делит окружность как раз пополам. Соответственно, крайняя левая точка на оси х , равная -1, называется π.
Крайняя верхняя точка на оси у , равная 1, делит верхнюю полуокружность пополам. Значит, если полуокружность - это π, то половина полуокружности - это π/2.
Одновременно π/2 - это и четверть окружности. Отсчитаем три таких четверти от первой до третьей - и мы придем в крайнюю нижнюю точку на оси у , равной -1. Но если она включает три четверти - значит имя ей 3π/2.
2) Теперь перейдем к остальным точкам. Обратите внимание: все противоположные точки имеют одинаковый знаменатель - причем это противоположные точки и относительно оси у , и относительно центра осей, и относительно оси х . Это нам и поможет знать их значения точек без зубрежки.
Надо запомнить лишь значение точек первой четверти: π/6, π/4 и π/3. И тогда мы «увидим» некоторые закономерности:
- Относительно оси у
в точках второй четверти, противоположных точкам первой четверти, числа в числителях на 1 меньше величины знаменателей. К примеру, возьмем точку π/6. Противоположная ей точка относительно оси у
тоже в знаменателе имеет 6, а в числителе 5 (на 1 меньше). То есть имя этой точки: 5π/6. Точка, противоположная π/4 тоже имеет в знаменателе 4, а в числителе 3 (на 1 меньше, чем 4) - то есть это точка 3π/4.
Точка, противоположная π/3, тоже имеет в знаменателе 3, а в числителе на 1 меньше: 2π/3.
- Относительно центра осей координат
все наоборот: числа в числителях противоположных точек (в третьей четверти) на 1 больше значения знаменателей. Возьмем опять точку π/6. Противоположная ей относительно центра точка тоже имеет в знаменателе 6, а в числителе число на 1 больше - то есть это 7π/6.
Точка, противоположная точке π/4, тоже имеет в знаменателе 4, а в числителе число на 1 больше: 5π/4.
Точка, противоположная точке π/3, тоже имеет в знаменателе 3, а в числителе число на 1 больше: 4π/3.
- Относительно оси х (четвертая четверть) дело посложнее. Здесь надо к величине знаменателя прибавить число, которое на 1 меньше - эта сумма и будет равна числовой части числителя противоположной точки. Начнем опять с π/6. Прибавим к величине знаменателя, равной 6, число, которое на 1 меньше этого числа - то есть 5. Получаем: 6 + 5 = 11. Значит, противоположная ей относительно оси х точка будет иметь в знаменателе 6, а в числителе 11 - то есть 11π/6.
Точка π/4. Прибавляем к величине знаменателя число на 1 меньше: 4 + 3 = 7. Значит, противоположная ей относительно оси х
точка имеет в знаменателе 4, а в числителе 7 - то есть 7π/4.
Точка π/3. Знаменатель равен 3. Прибавляем к 3 на единицу меньшее число - то есть 2. Получаем 5. Значит, противоположная ей точка имеет в числителе 5 - и это точка 5π/3.
3) Еще одна закономерность для точек середин четвертей. Понятно, что их знаменатель равен 4. Обратим внимание на числители. Числитель середины первой четверти - это 1π (но 1 не принято писать). Числитель середины второй четверти - это 3π. Числитель середины третьей четверти - это 5π. Числитель середины четвертой четверти - это 7π. Получается, что в числителях середин четвертей - четыре первых нечетных числа в порядке их возрастания:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
Это тоже очень просто. Поскольку середины всех четвертей имеют в знаменателе 4, то мы уже знаем их полные имена: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.
Особенности числовой окружности. Сравнение с числовой прямой.
Как вы знаете, на числовой прямой каждая точка соответствует единственному числу. К примеру, если точка А на прямой равна 3, то она уже не может равняться никакому другому числу.
На числовой окружности все иначе, поскольку это окружность. К примеру, чтобы из точки А окружности прийти к точке M, можно сделать это, как на прямой (только пройдя дугу), а можно и обогнуть целый круг, а потом уже прийти к точке M. Вывод:
Пусть точка M равна какому-то числу t. Как мы знаем, длина окружности равна 2π. Значит, точку окружности t мы можем записать двояко: t или t + 2π. Это равнозначные величины.
То есть t = t + 2π. Разница лишь в том, что в первом случае вы пришли к точке M сразу, не делая круга, а во втором случае вы совершили круг, но в итоге оказались в той же точке M. Таких кругов можно сделать и два, и три, и двести. Если обозначить количество кругов буквой n
, то получим новое выражение:
t = t + 2πn
.
Отсюда формула:
В этой статье мы очень подробно разберем определение числовой окружности, узнаем её главное свойство и расставим числа 1,2,3 и т.д. Про то, как отмечать другие числа на окружности (например, \(\frac{π}{2}, \frac{π}{3}, \frac{7π}{4}, 10π, -\frac{29π}{6}\)) разбирается в .
Числовой окружностью называют окружность единичного радиуса, точки которой соответствуют , расставленным по следующим правилам:
1) Начало отсчета находится в крайней правой точке окружности;
2) Против часовой стрелки - положительное направление; по часовой – отрицательное;
3) Если в положительном направлении отложить на окружности расстояние \(t\), то мы попадем в точку со значением \(t\);
4) Если в отрицательном направлении отложить на окружности расстояние \(t\), то мы попадем в точку со значением \(–t\).
Почему окружность называется числовой?
Потому что на ней обозначаются числа. В этом окружность похожа на числовую ось – на окружности, как и на оси, для каждого числа есть определенная точка.
Зачем знать, что такое числовая окружность?
С помощью числовой окружности определяют значение синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. Поэтому для знания тригонометрии и сдачи ЕГЭ на 60+ баллов, обязательно нужно понимать, что такое числовая окружность и как на ней расставить точки.
Что в определении означают слова «…единичного радиуса…»?
Это значит, что радиус этой окружности равен \(1\). И если мы построим такую окружность с центром в начале координат, то она будет пересекаться с осями в точках \(1\) и \(-1\).
Ее не обязательно рисовать маленькой, можно изменить «размер» делений по осям, тогда картинка будет крупнее (см. ниже).
Почему радиус именно единица? Так удобнее, ведь в этом случае при вычислении длины окружности с помощью формулы \(l=2πR\) мы получим:
Длина числовой окружности равна \(2π\) или примерно \(6,28\).
А что значит «…точки которой соответствуют действительным числам»?
Как говорили выше, на числовой окружности для любого действительного числа обязательно найдется его «место» - точка, которая соответствует этому числу.
Зачем определять на числовой окружности начало отсчета и направления?
Главная цель числовой окружности - каждому числу однозначно определить свою точку. Но как можно определить, где поставить точку, если неизвестно откуда считать и куда двигаться?
Тут важно не путать начало отсчета на координатной прямой и на числовой окружности – это две разные системы отсчета! А так же не путайте \(1\) на оси \(x\) и \(0\) на окружности – это точки на разных объектах.
Какие точки соответствуют числам \(1\), \(2\) и т.д?
Помните, мы приняли, что у числовой окружности радиус равен \(1\)? Это и будет нашим единичным отрезком (по аналогии с числовой осью), который мы будем откладывать на окружности.
Чтобы отметить на числовой окружности точку соответствующую числу 1, нужно от 0 пройти расстояние равное радиусу в положительном направлении.
Чтобы отметить на окружности точку соответствующую числу \(2\), нужно пройти расстояние равное двум радиусам от начала отсчета, чтобы \(3\) – расстояние равное трем радиусам и т.д.
При взгляде на эту картинку у вас могут возникнуть 2 вопроса:
1. Что будет, когда окружность «закончится» (т.е. мы сделаем полный оборот)?
Ответ: пойдем на второй круг! А когда и второй закончится, пойдем на третий и так далее. Поэтому на окружность можно нанести бесконечное количество чисел.
2. Где будут отрицательные числа?
Ответ: там же! Их можно так же расставить, отсчитывая от нуля нужное количество радиусов, но теперь в отрицательном направлении.
К сожалению, обозначать на числовой окружности целые числа затруднительно. Это связано с тем, что длина числовой окружности будет равна не целому числу: \(2π\). И на самых удобных местах (в точках пересечения с осями) тоже будут не целые числа, а доли
Видеоуроки относятся к наиболее эффективным средствам обучения, особенно таких школьных дисциплин, как математика. Поэтому автор данного материала собрал в единое целое только полезную, важную и грамотную информацию.
Данный урок рассчитан на 11:52 минут. Практически столько же времени требуется учителю на уроке для объяснения нового материала по данной теме. Хотя главным достоинством видеоурока будет тот факт, что обучающиеся будут внимательно слушать то, о чем говорит автор, не отвлекаясь на посторонние темы и разговоры. Ведь если обучающиеся будут слушать не внимательно, то упустят важный момент урока. А если материал будет объяснять учитель сам, то его обучающиеся смогут легко отвлечь от главного своими разговорами на отвлеченные темы. И, конечно, становится понятно, какой способ будет боле рационален.
Начало урока автор посвящает повторению тех функций, с которыми обучающиеся знакомились ранее в курсе алгебры. И первыми предлагается начать изучать - тригонометрические функции. Чтобы их рассматривать и изучать требуется новая математическая модель. И этой моделью становится числовая окружность, которая, как раз, и заявлена в теме урока. Для этого вводится понятие единичной окружности, задается ее определение. Далее на рисунке автор показывает все компоненты такой окружности, и что пригодится обучающимся для дальнейшего обучения. Дугами обозначаются четверти.
Затем автор предлагает рассмотреть числовую окружность. Здесь же он делает замечание, что удобнее использовать единичную окружность. На этой окружности показано, как получается точка M, если t>0, t<0 или t=0. После этого вводится понятие самой числовой окружности.
Далее автор напоминает обучающимся, как находится длина окружности. А затем он выводит длину единичной окружности. Эти теоретические данные предлагается применить на практике. Для этого рассматривается пример, где требуется найти на окружности точку, соответствующую определенным значениям чисел. Решение примера сопровождается иллюстрацией в виде рисунка, а также необходимыми математическими записями.
Согласно условию второго примера, необходимо найти точки на числовой окружности. Здесь также все решение сопровождается комментариями, иллюстрациями и математической записью. Это способствует развитию и совершенствованию математической грамотности обучающихся. Аналогично построен и третий пример.
Далее автор отмечает те числа на окружности, которые встречаются чаще других. Здесь же он предлагает сделать два макета числовой окружности. Когда оба макета готовы, рассматривается следующий, четвертый пример, где требуется найти точку на числовой окружности, соответствующую числу 1. После этого примера формулируется утверждение, согласно которому можно найти точку M, соответствующей числу t.
Далее вводится замечание, согласно которому обучающие узнают, что числу «пи» соответствуют все числа, которые попадают в данную точку при проходе ею всю окружность. Эту информацию подкрепляет пятый пример. Его решение содержит логически правильные рассуждения и рисунки, иллюстрирующие ситуацию.
ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:
ЧИСЛОВАЯ ОКРУЖНОСТЬ
Ранее мы изучали функции, заданные аналитическими выражениями. И эти функции называли алгебраическими. Но в школьном курсе математики изучаются функции и других классов, не алгебраические. Начнем изучение тригонометрических функций.
Для того, чтобы ввести тригонометрические функции нам понадобится новая математическая модель - числовая окружность. Рассмотрим единичную окружность. Окружность, радиус которой равен масштабному отрезку, без указания конкретных единиц измерения, будем называть единичной. Радиус такой окружности считать равным 1.
Будем пользоваться единичной окружностью, в которой проведены горизонтальный и вертикальный диаметры СА и DВ(цэ а и дэ бэ).(смотри рисунок1).
Дугу АВ будем называть первой четвертью, дугу ВС - второй четвертью, дугу СD - третьей четвертью, а дугу DА - четвертой четвертью.
Рассмотрим числовую окружность. Вообще, любую окружность можно рассматривать как числовую, но удобнее для этой цели пользоваться единичной окружностью.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Дана единичная окружность, на ней отмечена начальная точка А - правый конец горизонтального диаметра. Поставим в соответствие каждому действительному числу t (тэ) точку окружности по следующему правилу:
1) Если t>0(тэ больше нуля), то, двигаясь из точки А в направлении против часовой стрелки (положительное направление обхода окружности), опишем по окружности путь АМ (а эм) длины t. Точка М и будет искомой точкой М(t) (эм от тэ).
2) Если t<0(тэ меньше нуля), то, двигаясь из точки А в направлении по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь АМ (а эм) длины |t| (модуль тэ). Точка М и будет искомой точкой М(t) (эм от тэ).
3) Числу t = 0 поставим в соответствие точку А.
Единичную окружность с установленным соответствием (между действительными числами и точками окружности) будем называть числовой окружностью.
Известно, что длина окружности L (эль) вычисляется по формуле L =2πR (эль равно два пи эр), где π≈3,14 , R - радиус окружности. Для единичной окружности R=1см, значит L =2π≈6,28 см (эль равно два пи примерно 6,28).
Рассмотрим примеры.
ПРИМЕР 1.Найти на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу: ,.(пи на два, пи, три пи на два, два пи, одиннадцать пи на два, семь пи, минус пять пи на два)
Решение. Первые шесть чисел положительны, поэтому для отыскания соответствующих им точек окружности нужно пройти по окружности путь заданной длины, двигаясь из точки А в положительном направлении. Длина каждой четверти единичной окружности равна. Значит, АВ =, то есть числу соответствует точка В (смотри рис. 1). АС = , то есть числу соответствует точка С. АD = , то есть числу соответствует точка D. А числу соответствует снова точка А, потому что пройдя по окружности путь длиной мы попали в начальную точку А.
Рассмотрим, где будет находится точка такое Так как мы уже знаем, что длинна окружности, то приведем к виду (четыре пи плюс три пи на два). То есть, двигаясь из точки А в положительном направлении, нужно описать два раза целую окружность (путь длиной 4π) и дополнительно путь длиной, который закончится в точке D.
Что такое? Это 3∙2π + π (три умноженное на два пи плюс пи). Значит, двигаясь из точки А в положительном направлении, нужно описать три раза целую окружность и дополнительно путь длиной π, который закончится в точке С.
Чтобы найти на числовой окружности точку, соответствующую отрицательному числу, нужно из точки А пройти по окружности в отрицательном направлении (по часовой стрелке) путь длиной, а это соответствует 2π + . Этот путь завершится в точке D.
ПРИМЕР 2. Найти на числовой окружности точки, (пи на шесть, пи на четыре, пи на три).
Решение. Разделив дугу АВ пополам, мы получим точку Е, которая соответствует. А разделив дугу АВ на три равные части точками F и О, получим, что точка F соответствует, а точка T соответствует
(смотри рис 2).
ПРИМЕР 3. Найти на числовой окружности точки, (минус тринадцать пи на четыре, девятнадцать пи на шесть).
Решение. Отложив дугу АЕ (а эм) длиной (пи на четыре) от точки А тринадцать раз в отрицательном направлении, получим точку Н (аш) - середину дуги ВС.
Отложив дугу АF длиной (пи на шесть) от точки А девятнадцать раз в положительном направлении, попадем в точку N (эн), которая принадлежит третьей четверти (дуге СD) и СN равно третьей части дуги СD (сэ дэ).
(смотри рис примера 2).
Чаще всего приходится искать на числовой окружности точки, которые соответствуют числам, (пи на шесть, пи на четыре, пи на три, пи на два), а также те, которые кратны им, то есть, (семь пи на шесть, пять пи на четыре, четыре пи на три, одиннадцать пи на два). Поэтому для того, чтобы быстро ориентироваться целесообразно сделать два макета числовой окружности.
На первом макете каждая из четвертей числовой окружности будет разделена на две равные части и около каждой из полученных точек запишем их «имена»:
На втором макете каждая из четвертей разделена на три равные части и около каждой из полученных двенадцати точек то же запишем их «имена»:
Если двигаться по часовой стрелке, то получим для имеющихся на чертежах точек те же «имена», только со значением минус. Для первого макета:
Аналогично, если двигаться по второму макету по часовой стрелке из точки О.
ПРИМЕР 4. Найти на числовой окружности точки, соответствующие числам 1 (один).
Решение. Зная, что π≈3,14 (пи приблизительно равно три целые четырнадцать сотых) , ≈ 1,05(пи на три приблизительно равно одна целая пять сотых), ≈ 0,79(пи на четыре приблизительно равно ноль целых семьдесят девять сотых). Значит, < 1 < (один больше, чем пи на четыре, но меньше, чем пи на три), то есть число 1 находится в первой четверти.
Справедливо следующее утверждение: если точка М числовой окружности соответствуют числу t, то она соответствует и любому числу вида t + 2π k (тэ плюс два пи ка), где ка - любое целое число и k ϵ Z (ка принадлежит зэт).
Используя это утверждение, можно сделать вывод, что точке соответствуют все точки вида t =+ 2πk (тэ равно пи на три плюс два пи ка), где kϵZ(ка принадлежит зэт), а точке (пять пи на четыре) - точки вида t = + 2πk (тэ равно пять пи на четыре плюс два пи ка), где kϵZ(ка принадлежит зэт) и так далее.
ПРИМЕР 5.Найти на числовой окружности точку: а) ; б) .
Решение. а) Имеем: = =(6 +) ∙ π = 6π + = + 3∙ 2π.(двадцать пи на три равно двадцать на три пи равно шесть плюс две трети, умноженное на пи равно шесть пи плюс два пи на три равно два пи на три плюс три умноженное на два пи).
Это значит, что числу соответствует на числовой окружности та же точка, что и числу (это вторая четверть) (смотри второй макет на рис 4).
б) Имеем: = - (8 +) ∙ π = + 2π ∙ (- 4).(минус тридцать пять пи на четыре равно минус восемь плюс три четвертые, умноженное на пи равно минус три пи на четыре плюс два пи, умноженное на минус четыре). То есть числу соответствует на числовой окружности та же точка, что и числу