Mekanisk bevegelse kalles en endring over tid i posisjonen i rommet av punkter og kropper i forhold til enhver hovedkropp som referansesystemet er festet til. Kinematikk studerer den mekaniske bevegelsen av punkter og kropper, uavhengig av kreftene som forårsaker disse bevegelsene. Enhver bevegelse, som hvile, er relativ og avhenger av valg av referansesystem.
Banen til et punkt er en kontinuerlig linje beskrevet av et bevegelig punkt. Hvis banen er en rett linje, kalles bevegelsen til punktet rettlinjet, og hvis det er en kurve, kalles den krumlinjet. Hvis banen er flat, kalles bevegelsen til punktet flat.
Bevegelsen til et punkt eller legeme anses som gitt eller kjent hvis det for hvert øyeblikk (t) er mulig å indikere posisjonen til punktet eller kroppen i forhold til det valgte koordinatsystemet.
Posisjonen til et punkt i rommet bestemmes av oppgaven:
a) punktbaner;
b) begynnelsen O 1 av avstandsavlesningen langs banen (Figur 11): s = O 1 M - krumlinjet koordinat til punkt M;
c) retningen til den positive tellingen av avstander s;
d) likning eller bevegelseslov for et punkt langs en bane: S = s(t)
Punkthastighet. Hvis et punkt reiser like avstander i like perioder, kalles dets bevegelse uniform. Hastigheten til ensartet bevegelse måles ved forholdet mellom banen z tilbakelagt av et punkt over en viss tidsperiode og verdien av denne tidsperioden: v = s/1. Hvis et punkt reiser ulik vei i like perioder, kalles bevegelsen ujevn. Hastigheten i dette tilfellet er også variabel og er en funksjon av tiden: v = v(t). La oss vurdere punkt A, som beveger seg langs en gitt bane i henhold til en viss lov s = s(t) (Figur 12):
 |
Over en tidsperiode flyttet t t A til posisjon A 1 langs buen AA. Hvis tidsperioden Δt er liten, kan buen AA 1 erstattes av en korde og finne, som en første tilnærming, gjennomsnittshastigheten til punktet v cp = Ds/Dt. Gjennomsnittshastigheten er rettet langs akkorden fra punkt A til punkt A 1.
Den sanne hastigheten til et punkt er rettet tangentielt til banen, og dens algebraiske verdi bestemmes av den første deriverte av banen med hensyn til tid:
v = limΔs/Δt = ds/dt
Dimensjon på punkthastighet: (v) = lengde/tid, for eksempel m/s. Hvis punktet beveger seg i retning av økende krumlinjet koordinat s, så ds > 0, og derfor v > 0, ellers ds< 0 и v < 0.
Punktakselerasjon. Endringen i hastighet per tidsenhet bestemmes av akselerasjon. La oss vurdere bevegelsen til punkt A langs en krumlinjet bane i tid Δt fra posisjon A til posisjon A 1 . I posisjon A hadde punktet en hastighet v, og i posisjon A 1 - en hastighet v 1 (Figur 13). de. punktets hastighet endret seg i størrelse og retning. Vi finner den geometriske forskjellen av hastigheter Δv ved å konstruere vektoren v 1 fra punkt A.
 |
Akselerasjonen til et punkt er vektoren ", som er lik den første deriverte av punktets hastighetsvektor med hensyn til tid:
Den funnet akselerasjonsvektoren a kan dekomponeres i to innbyrdes perpendikulære komponenter, men tangerende og normal til bevegelsesbanen. Tangentiell akselerasjon a 1 sammenfaller i retning med hastigheten under akselerert bevegelse eller er motsatt av den under erstattet bevegelse. Den karakteriserer endringen i hastighet og er lik den deriverte av hastigheten med hensyn til tid
Den normale akselerasjonsvektoren a er rettet langs normalen (vinkelrett) på kurven mot konkaviteten til banen, og dens modul er lik forholdet mellom kvadratet av punktets hastighet og krumningsradiusen til banen ved det aktuelle punktet.
Normal akselerasjon karakteriserer endringen i hastighet langs
retning.
Total akselerasjonsverdi: 
, m/s 2
Typer punktbevegelse avhengig av akselerasjon.
Ensartet lineær bevegelse(bevegelse ved treghet) kjennetegnes ved at bevegelseshastigheten er konstant, og krumningsradiusen til banen er lik uendelig.
Det vil si at r = ¥, v = const, da; og derfor. Så når et punkt beveger seg med treghet, er dets akselerasjon null.
Rettlinjet ujevn bevegelse. Kurvaturradiusen til banen er r = ¥, og n = 0, derfor a = a t og a = a t = dv/dt.
Dette er en fysisk vektorstørrelse, numerisk lik grensen som gjennomsnittshastigheten har en tendens til over en uendelig liten tidsperiode:
Med andre ord, øyeblikkelig hastighet er radiusvektoren over tid.
Den momentane hastighetsvektoren er alltid rettet tangentielt til kroppens bane i retning av kroppens bevegelse.
Øyeblikkelig hastighet gir nøyaktig informasjon om bevegelse på et bestemt tidspunkt. For eksempel, når du kjører bil på et tidspunkt, ser føreren på speedometeret og ser at enheten viser 100 km/t. Etter en tid peker speedometernålen til 90 km/t, og noen minutter senere – til 110 km/t. Alle de oppførte speedometeravlesningene er verdiene for den øyeblikkelige hastigheten til bilen på bestemte tidspunkter. Hastigheten i hvert øyeblikk og på hvert punkt i banen må være kjent ved dokking romstasjoner, ved landing av fly osv.
Har konseptet "øyeblikkelig hastighet" fysisk mening? Hastighet er et kjennetegn ved endring i rommet. Men for å finne ut hvordan bevegelsen har endret seg, er det nødvendig å observere bevegelsen i noen tid. Selv de mest avanserte enhetene for å måle hastighet, som radarinstallasjoner, måler hastighet over en periode – riktignok ganske liten, men dette er fortsatt et begrenset tidsintervall, og ikke et øyeblikk i tid. Uttrykket "hastigheten til en kropp på et gitt tidspunkt" er ikke riktig fra et fysikksynspunkt. Konseptet med øyeblikkelig hastighet er imidlertid veldig praktisk i matematiske beregninger, og brukes stadig.
Eksempler på å løse problemer om emnet "Øyeblikkelig hastighet"
EKSEMPEL 1
EKSEMPEL 2
| Øvelse | Bevegelsesloven til et punkt i en rett linje er gitt av ligningen. Finn den øyeblikkelige hastigheten til punktet 10 sekunder etter starten av bevegelsen. |
| Løsning | Den øyeblikkelige hastigheten til et punkt er radiusvektoren i tid. Derfor, for den øyeblikkelige hastigheten kan vi skrive: 10 sekunder etter starten av bevegelsen vil den øyeblikkelige hastigheten ha verdien: |
| Svare | 10 sekunder etter starten av bevegelsen er punktets øyeblikkelige hastighet m/s. |
EKSEMPEL 3
| Øvelse | En kropp beveger seg i en rett linje slik at dens koordinater (i meter) endres i henhold til loven. Hvor mange sekunder etter at bevegelsen starter vil kroppen stoppe? |
| Løsning | La oss finne den øyeblikkelige hastigheten til kroppen: |
Metoder for å spesifisere bevegelsen til et punkt.
Settpunktbevegelse - dette betyr å angi en regel som til enhver tid kan bestemme sin posisjon i en gitt referanseramme.
Det matematiske uttrykket for denne regelen kalles bevegelsesloven , eller bevegelseslikning poeng.
Det er tre måter å spesifisere bevegelsen til et punkt:
vektor;
koordinere;
naturlig.
Til still bevegelsen på en vektor måte, trenger å:
à velg et fast senter;
à bestemme posisjonen til punktet ved hjelp av radiusvektoren, startende ved det stasjonære senteret og slutter ved det bevegelige punktet M;
à definer denne radiusvektoren som en funksjon av tiden t: 
.
Uttrykk
ringte vektorloven for bevegelse prikker, eller vektorligning for bevegelse.
!! Radius vektor – dette er avstanden (vektormodulen) + retningen fra sentrum O til punktet M, som kan bestemmes på forskjellige måter, for eksempel ved vinkler med gitte retninger.
For å sette bevegelse koordinere metode , trenger å:
à velg og fiks et koordinatsystem (hvilket som helst: kartesisk, polar, sfærisk, sylindrisk, etc.);
à bestemme posisjonen til et punkt ved å bruke de riktige koordinatene;
à sett disse koordinatene som en funksjon av tiden t.
I det kartesiske koordinatsystemet er det derfor nødvendig å angi funksjonene
I polare system koordinater skal defineres som funksjoner av tid, polar radius og polar vinkel:
Generelt, med koordinatmetoden for å spesifisere, bør de koordinatene som den nåværende posisjonen til punktet bestemmes med spesifiseres som en funksjon av tiden.
For å kunne stille inn bevegelsen til et punkt på en naturlig måte, du må vite det bane . La oss skrive ned definisjonen av banen til et punkt.
Bane poeng kalles settet med posisjoner over en hvilken som helst tidsperiode(vanligvis fra 0 til +¥).
I eksemplet med et hjul som ruller langs veien, er banen til punkt 1 cykloid, og punkt 2 – rulett; i referansesystemet knyttet til midten av hjulet er banene til begge punktene sirkel.
For å stille inn bevegelsen til et punkt på en naturlig måte, trenger du:
à kjenne banen til punktet;
à på banen, velg opprinnelse og positiv retning;
à bestemme den nåværende posisjonen til et punkt ved lengden av banebuen fra origo til denne nåværende posisjonen;
à angi denne lengden som en funksjon av tid.
Uttrykket som definerer funksjonen ovenfor er
ringte bevegelsesloven til et punkt langs en bane, eller naturlig bevegelsesligning poeng.
Avhengig av type funksjon (4), kan et punkt langs en bane bevege seg på forskjellige måter.
3. Bane for et punkt og dets definisjon.
Definisjonen av begrepet "bane for et punkt" ble gitt tidligere i spørsmål 2. La oss vurdere spørsmålet om å bestemme banen til et punkt når på forskjellige måter bevegelsesoppgaver.
Den naturlige måten: Banen må oppgis, så det er ikke nødvendig å finne den.
Vektor metode: du må gå til koordinatmetoden i henhold til likhetene
Koordinatmetode : det er nødvendig å ekskludere tid t fra bevegelsesligningene (2), eller (3).
Koordinatligninger for bevegelse definerer banen parametrisk, gjennom parameteren t (tid). For å få en eksplisitt ligning for kurven, må parameteren ekskluderes fra ligningene.
Etter å ha eliminert tid fra ligning (2), oppnås to ligninger av sylindriske overflater, for eksempel i formen
Skjæringspunktet mellom disse flatene vil være banen til punktet.
Når et punkt beveger seg langs et plan, blir problemet enklere: etter å ha eliminert tid fra de to ligningene
Banelikningen vil bli oppnådd i en av følgende former:
Når vil være , derfor vil banen til punktet være den høyre grenen av parabelen:
Fra bevegelseslikningene følger det at
derfor vil banen til punktet være den delen av parabelen som ligger i høyre halvplan:
Så får vi
Siden hele ellipsen vil være banen til punktet.
På 
midten av ellipsen vil være ved origo O; kl får vi en sirkel; parameteren k påvirker ikke formen på ellipsen, bevegelseshastigheten til punktet langs ellipsen avhenger av den. Hvis du bytter cos og sin i ligningene, vil ikke banen endres (samme ellipse), men startposisjonen til punktet og bevegelsesretningen vil endres.
Hastigheten til et punkt karakteriserer "hastigheten" for endring i posisjonen. Formelt: hastighet – bevegelse av et punkt per tidsenhet.
Nøyaktig definisjon.
Da 
Holdning
1.2. Rettlinjet bevegelse
1.2.4. Gjennomsnittlig hastighet
Et materialpunkt (kropp) beholder sin hastighet uendret bare med jevn rettlinjet bevegelse. Hvis bevegelsen er ujevn (inkludert jevnt variabel), endres kroppens hastighet. Denne bevegelsen er preget av gjennomsnittlig hastighet. Det skilles mellom gjennomsnittlig kjørehastighet og gjennomsnittlig bakkehastighet.
Gjennomsnittlig bevegelseshastighet er vektor fysisk mengde, som bestemmes av formelen
v → r = Δ r → Δ t,
hvor Δ r → er forskyvningsvektoren; ∆t er tidsintervallet som denne bevegelsen skjedde.
Gjennomsnittlig bakkehastighet er en skalar fysisk størrelse og beregnes ved hjelp av formelen
v s = S totalt t totalt,
hvor S totalt = S 1 + S 1 + ... + S n; ttot = t 1 + t 2 + ... + t N .
Her S 1 = v 1 t 1 - den første delen av banen; v 1 - passasjehastighet for den første delen av banen (fig. 1.18); t 1 - tidspunkt for bevegelse på den første delen av ruten osv.
Ris. 1.18
Eksempel 7. En fjerdedel av veien kjører bussen med en hastighet på 36 km/t, den andre fjerdedelen av veien - 54 km/t, den resterende veien - med en hastighet på 72 km/t. Beregn bussens gjennomsnittlige bakkehastighet.
Løsning. Generell vei krysset av bussen, betegner vi S:
Stot = S.
S 1 = S /4 - banen som bussen reiste på den første delen,
S 2 = S /4 - banen reist av bussen på den andre delen,
S 3 = S /2 - banen som ble reist av bussen i tredje seksjon.
Bussreisetiden bestemmes av formlene:
- i den første delen (S 1 = S /4) -
t 1 = S 1 v 1 = S 4 v 1;
- i den andre delen (S 2 = S /4) -
t 2 = S 2 v 2 = S 4 v 2;
- i den tredje delen (S 3 = S /2) -
t 3 = S 3 v 3 = S 2 v 3.
Total reisetid for bussen er:
t totalt = t 1 + t 2 + t 3 = S 4 v 1 + S 4 v 2 + S 2 v 3 = S (1 4 v 1 + 1 4 v 2 + 1 2 v 3) .
v s = S totalt t totalt = S S (1 4 v 1 + 1 4 v 2 + 1 2 v 3) =
1 (1 4 v 1 + 1 4 v 2 + 1 2 v 3) = 4 v 1 v 2 v 3 v 2 v 3 + v 1 v 3 + 2 v 1 v 2.
v s = 4 ⋅ 36 ⋅ 54 ⋅ 72 54 ⋅ 72 + 36 ⋅ 72 + 2 ⋅ 36 ⋅ 54 = 54 km/t.
Eksempel 8. En bybuss bruker en femtedel av tiden på å stoppe, resten av tiden kjører den med en hastighet på 36 km/t. Bestem den gjennomsnittlige bakkehastigheten til bussen.
Løsning. La oss angi den totale reisetiden for bussen på ruten med t:
ttot = t.
t 1 = t /5 - tid brukt på å stoppe,
t 2 = 4t /5 - bussreisetid.
Avstand dekket av bussen:
- i løpet av tiden t 1 = t /5 -
S 1 = v 1 t 1 = 0,
siden hastigheten til bussen v 1 ved et gitt tidsintervall er null (v 1 = 0);
- i løpet av tiden t 2 = 4t /5 -
S 2 = v 2 t 2 = v 2 4 t 5 = 4 5 v 2 t ,
hvor v 2 er hastigheten til bussen ved et gitt tidsintervall (v 2 = 36 km/t).
Den generelle ruten til bussen er:
S totalt = S 1 + S 2 = 0 + 4 5 v 2 t = 4 5 v 2 t.
Vi vil beregne gjennomsnittlig bakkehastighet til bussen ved å bruke formelen
v s = S totalt t totalt = 4 5 v 2 t t = 4 5 v 2 .
Beregningen gir verdien av gjennomsnittlig bakkehastighet:
v s = 4 5 ⋅ 36 = 30 km/t.
Eksempel 9: Bevegelsesligning materiell poeng har formen x (t) = (9,0 − 6,0t + 2,0t 2) m, hvor koordinaten er gitt i meter, tid i sekunder. Bestem den gjennomsnittlige bakkehastigheten og den gjennomsnittlige bevegelseshastigheten til et materialpunkt i de tre første sekundene av bevegelsen.
Løsning. Å bestemme gjennomsnittlig bevegelseshastighet det er nødvendig å beregne forskyvningen av et materialpunkt. Bevegelsesmodulen til et materialpunkt i tidsintervallet fra t 1 = 0 s til t 2 = 3,0 s vil bli beregnet som forskjellen i koordinater:
| Δ r → | = | x (t 2) − x (t 1) | ,
Å erstatte verdiene i formelen for å beregne forskyvningsmodulen gir:
| Δ r → | = | x (t 2) − x (t 1) | = 9,0 − 9,0 = 0 m.
Dermed er forskyvningen av materialpunktet null. Derfor er modulen til den gjennomsnittlige bevegelseshastigheten også null:
| v → r | = | Δ r → | t 2 − t 1 = 0 3,0 − 0 = 0 m/s.
Å bestemme gjennomsnittlig bakkehastighet du må beregne banen som er tilbakelagt av et materialpunkt i løpet av tidsintervallet fra t 1 = 0 s til t 2 = 3,0 s. Bevegelsen av punktet er jevnt langsom, så det er nødvendig å finne ut om stopppunktet faller innenfor det angitte intervallet.
For å gjøre dette skriver vi loven om endring i hastigheten til et materiell punkt over tid i formen:
v x = v 0 x + a x t = − 6,0 + 4,0 t ,
hvor v 0 x = −6,0 m/s er projeksjonen av starthastigheten på Ox-aksen; a x = = 4,0 m/s 2 - projeksjon av akselerasjon på den angitte aksen.
La oss finne stopppunktet fra betingelsen
v (τ hvile) = 0,
de.
τ hvile = v 0 a = 6,0 4,0 = 1,5 s.
Stoppepunktet faller innenfor tidsintervallet fra t 1 = 0 s til t 2 = 3,0 s. Dermed beregner vi tilbakelagt distanse ved hjelp av formelen
S = S 1 + S 2,
hvor S 1 = | x (τ hvile) − x (t 1) | - stien som materialet har gått peker til holdeplassen, dvs. i løpet av tiden fra t 1 = 0 s til τ hvile = 1,5 s; S2 = | x (t 2) − x (τ hvile) | - stien som materialpunktet har gått etter stopp, dvs. i løpet av tiden fra τ hvile = 1,5 s til t 1 = 3,0 s.
La oss beregne koordinatverdiene på de angitte tidspunktene:
x (t 1) = 9,0 − 6,0 t 1 + 2,0 t 1 2 = 9,0 − 6,0 ⋅ 0 + 2,0 ⋅ 0 2 = 9,0 m;
x (τ hvile) = 9,0 − 6,0 τ hvile + 2,0 τ hvile 2 = 9,0 − 6,0 ⋅ 1,5 + 2,0 ⋅ (1,5) 2 = 4,5 m ;
x (t 2) = 9,0 − 6,0 t 2 + 2,0 t 2 2 = 9,0 − 6,0 ⋅ 3,0 + 2,0 ⋅ (3,0) 2 = 9,0 m .
Koordinatverdiene lar deg beregne banene S 1 og S 2:
S1 = | x (τ hvile) − x (t 1) | = | 4,5 − 9,0 | = 4,5 m;
S2 = | x (t 2) − x (τ hvile) | = | 9,0 − 4,5 | = 4,5 m,
samt total tilbakelagt distanse:
S = S 1 + S 2 = 4,5 + 4,5 = 9,0 m.
Følgelig er den ønskede verdien av den gjennomsnittlige bakkehastigheten til materialpunktet lik
v s = S t 2 − t 1 = 9,0 3,0 − 0 = 3,0 m/s.
Eksempel 10. Grafen for projeksjonen av hastigheten til et materialpunkt kontra tid er en rett linje og går gjennom punktene (0; 8.0) og (12; 0), hvor hastigheten er gitt i meter per sekund, tid i sekunder. Hvor mange ganger overskrider gjennomsnittlig bakkehastighet for 16 sekunders bevegelse gjennomsnittshastigheten for samme tid?
Løsning. En graf over projeksjonen av kroppshastighet mot tid er vist i figuren.
For å grafisk beregne banen som er tilbakelagt av et materialpunkt og bevegelsesmodulen, er det nødvendig å bestemme verdien av hastighetsprojeksjonen på et tidspunkt lik 16 s.
Det er to måter å bestemme verdien av v x på et spesifisert tidspunkt: analytisk (gjennom ligningen av en rett linje) og grafisk (gjennom likheten til trekanter). For å finne v x bruker vi den første metoden og tegner en likning av en rett linje med to punkter:
t − t 1 t 2 − t 1 = v x − v x 1 v x 2 − v x 1 ,
hvor (t 1 ; v x 1) - koordinater til det første punktet; (t 2 ; v x 2) - koordinater til det andre punktet. I henhold til betingelsene for problemet: t 1 = 0, v x 1 = 8,0, t 2 = 12, v x 2 = 0. Med tanke på spesifikke koordinatverdier, tar denne ligningen formen:
t − 0 12 − 0 = v x − 8,0 0 − 8,0 ,
v x = 8,0 − 2 3 t.
Ved t = 16 s er hastighetsprojeksjonsverdien
| v x | = 8 3 m/s.
Denne verdien kan også fås fra likheten mellom trekanter.
- La oss beregne banen som materialpunktet har gått som summen av verdiene S 1 og S 2:
S = S 1 + S 2,
hvor S 1 = 1 2 ⋅ 8,0 ⋅ 12 = 48 m - banen reist av materialpunktet i løpet av tidsintervallet fra 0 s til 12 s; S 2 = 1 2 ⋅ (16 − 12) ⋅ | v x | = 1 2 ⋅ 4,0 ⋅ 8 3 = = 16 3 m - banen som materialpunktet har gått i løpet av tidsintervallet fra 12 s til 16 s.
Den totale tilbakelagte distanse er
S = S 1 + S 2 = 48 + 16 3 = 160 3 m.
Den gjennomsnittlige bakkehastigheten til et materialpunkt er lik
v s = S t 2 − t 1 = 160 3 ⋅ 16 = 10 3 m/s.
- La oss beregne verdien av bevegelsen til et materialpunkt som modulen til forskjellen mellom verdiene S 1 og S 2:
S = | S 1 − S 2 | = | 48 − 16 3 | = 128 3 m.
Gjennomsnittlig bevegelseshastighet er
| v → r | = | Δ r → | t 2 − t 1 = 128 3 ⋅ 16 = 8 3 m/s.
Det nødvendige hastighetsforholdet er
v s | v → r | = 10 3 ⋅ 3 8 = 10 8 = 1,25.
Den gjennomsnittlige bakkehastigheten til et materialpunkt er 1,25 ganger høyere enn modulen for gjennomsnittlig bevegelseshastighet.