Innholdet i artikkelen
DERIVAT– derivert av funksjonen y = f(x), gitt på et visst intervall ( en, b) på punktet x av dette intervallet kalles grensen som forholdet mellom inkrementet til funksjonen har en tendens til f på dette punktet til den tilsvarende økningen av argumentet når økningen av argumentet har en tendens til null.
Derivatet er vanligvis betegnet som følger:
Andre betegnelser er også mye brukt:
Øyeblikkelig hastighet.
La poenget M beveger seg i en rett linje. Avstand s bevegelsespunkt, regnet fra en utgangsposisjon M 0 , avhenger av tid t, dvs. s det er en funksjon av tid t: s= f(t). La på et tidspunkt t bevegelige punkt M var på avstand s fra startposisjonen M 0, og i neste øyeblikk t+D t fant seg selv i en posisjon M 1 – på avstand s+D s fra utgangsposisjonen ( se bilde.).
Således, over en periode D t avstand s endret med beløpet D s. I dette tilfellet sier de at i løpet av tidsperioden D t størrelse s mottok økning D s.
Gjennomsnittshastigheten kan ikke i alle tilfeller nøyaktig karakterisere bevegelseshastigheten til et punkt M på et tidspunkt t. Hvis for eksempel kroppen i begynnelsen av intervallet D t beveget seg veldig raskt, og på slutten veldig sakte, da vil gjennomsnittshastigheten ikke være i stand til å reflektere de indikerte egenskapene til bevegelsen til punktet og gi en ide om den sanne hastigheten på bevegelsen for øyeblikket t. For å uttrykke den sanne hastigheten mer nøyaktig ved å bruke gjennomsnittshastigheten, må du ta en kortere tidsperiode D t. Det karakteriserer mest bevegelseshastigheten til et punkt for øyeblikket t grensen som gjennomsnittshastigheten har en tendens til ved D t® 0. Denne grensen kalles gjeldende hastighet:
Dermed kalles bevegelseshastigheten i et gitt øyeblikk grensen for baneøkningsforholdet D s til tidsøkning D t, når tidsøkningen har en tendens til null. Fordi
Geometrisk betydning av derivatet. Tangent til grafen til en funksjon.
Konstruksjonen av tangentlinjer er et av de problemene som førte til fødselen av differensialregning. Det første publiserte verket relatert til differensialregning, skrevet av Leibniz, hadde tittelen En ny metode for maksima og minima, samt tangenter, for hvilke verken brøk- eller irrasjonelle størrelser er en hindring, og en spesiell type kalkulus for dette.
La kurven være grafen til funksjonen y =f(x) i et rektangulært koordinatsystem ( cm. ris.).
Til en viss verdi x funksjon betyr noe y =f(x). Disse verdiene x Og y punktet på kurven tilsvarer M 0(x, y). Hvis argumentet x gi øke D x, deretter den nye verdien av argumentet x+D x tilsvarer den nye funksjonsverdien y+ D y = f(x + D x). Det tilsvarende punktet på kurven vil være punktet M 1(x+D x,y+D y). Hvis du tegner en sekant M 0M 1 og betegnet med j vinkelen dannet av en tverrgående med den positive retningen til aksen Okse, er det umiddelbart klart av figuren at .
Hvis nå D x har en tendens til null, deretter punktet M 1 beveger seg langs kurven og nærmer seg punktet M 0, og vinkel j endres med D x. På Dx® 0 vinkelen j tenderer til en viss grense a og den rette linjen som går gjennom punktet M 0 og komponenten med x-aksens positive retning, vinkel a, vil være den ønskede tangenten. Helningen er:
Derfor, f´( x) = tga
de. avledet verdi f´( x) for en gitt argumentverdi x er lik tangenten til vinkelen som dannes av tangenten til grafen til funksjonen f(x) på det tilsvarende punktet M 0(x,y) med positiv akseretning Okse.
Differensierbarhet av funksjoner.
Definisjon. Hvis funksjonen y = f(x) har en derivert på punktet x = x 0, så er funksjonen differensierbar på dette tidspunktet.
Kontinuitet til en funksjon som har en derivert. Teorem.
Hvis funksjonen y = f(x) er differensierbar på et tidspunkt x = x 0, så er den kontinuerlig på dette punktet.
Dermed kan ikke funksjonen ha en derivert ved diskontinuitetspunkter. Den motsatte konklusjonen er feil, dvs. fra det faktum at på et tidspunkt x = x 0 funksjon y = f(x) er kontinuerlig betyr ikke at den er differensierbar på dette tidspunktet. For eksempel funksjonen y = |x| kontinuerlig for alle x(–Ґ x x = 0 har ingen derivert. På dette punktet er det ingen tangent til grafen. Det er en høyre tangent og en venstre, men de faller ikke sammen.
Noen teoremer om differensierbare funksjoner. Teorem om røttene til den deriverte (Rolles teorem). Hvis funksjonen f(x) er kontinuerlig på segmentet [en,b], er differensierbar ved alle indre punkter i dette segmentet og i endene x = en Og x = b går til null ( f(en) = f(b) = 0), deretter inne i segmentet [ en,b] det er minst ett poeng x= Med, en c b, hvor den deriverte fў( x) går til null, dvs. fў( c) = 0.
Finitt inkrement teorem (Lagranges teorem). Hvis funksjonen f(x) er kontinuerlig i intervallet [ en, b] og er differensierbar ved alle indre punkter i dette segmentet, deretter inne i segmentet [ en, b] det er minst ett poeng Med, en c b det
f(b) – f(en) = fў( c)(b– en).
Teorem om forholdet mellom inkrementene til to funksjoner (Cauchys teorem). Hvis f(x) Og g(x) – to funksjoner kontinuerlig på segmentet [en, b] og differensierbar på alle indre punkter i dette segmentet, og gў( x) forsvinner ikke noe sted inne i dette segmentet, deretter inne i segmentet [ en, b] det er et slikt poeng x = Med, en c b det
Derivater av ulike ordrer.
La funksjonen y =f(x) er differensierbar på et eller annet intervall [ en, b]. Avledede verdier f ў( x), generelt sett avhengig av x, dvs. derivat f ў( x) er også en funksjon av x. Når vi differensierer denne funksjonen, får vi den såkalte andrederiverten av funksjonen f(x), som er betegnet f ўў ( x).
Derivat n- funksjonsrekkefølge f(x) kalles (første ordens) deriverte av den deriverte n- 1- th og er merket med symbolet y(n) = (y(n– 1))ў.
Differensialer av forskjellige rekkefølger.
Funksjonsdifferensial y = f(x), Hvor x– uavhengig variabel, ja dy = f ў( x)dx, noen funksjon fra x, men fra x bare den første faktoren kan avhenge f ў( x), den andre faktoren ( dx) er økningen av den uavhengige variabelen x og er ikke avhengig av verdien av denne variabelen. Fordi dy det er en funksjon fra x, så kan vi bestemme differensialen til denne funksjonen. Differensialen til differensialen til en funksjon kalles den andre differensialen eller andreordens differensialen til denne funksjonen og er betegnet d 2y:
d(dx) = d 2y = f ўў( x)(dx) 2 .
Differensial n- av første orden kalles den første differensialen til differensialen n- 1- bestilling:
d n y = d(d n–1y) = f(n)(x)dx(n).
Delvis avledet.
Hvis en funksjon ikke avhenger av ett, men av flere argumenter x i(jeg varierer fra 1 til n,jeg= 1, 2,… n),f(x 1,x 2,… x n), så introduseres i differensialregning konseptet med partiell derivert, som karakteriserer endringshastigheten til en funksjon av flere variabler når bare ett argument endres, for eksempel, x i. 1. ordens partiell derivert mht x i er definert som en vanlig derivert, og det antas at alle argumenter unntatt x i, hold konstante verdier. For partielle deriverte introduseres notasjonen
1. ordens partielle deriverte definert på denne måten (som funksjoner av de samme argumentene) kan på sin side også ha partielle deriverte, disse er andre ordens partielle deriverte osv. Slike derivater hentet fra forskjellige argumenter kalles blandede. Kontinuerlige blandede derivater av samme rekkefølge er ikke avhengig av rekkefølgen av differensiering og er like med hverandre.
Anna Chugainova
Derivat funksjoner på et punkt kalles grensen for forholdet mellom økningen av funksjonen og økningen av argumentet, forutsatt at den har en tendens til null.
Grunnleggende regler for å finne den deriverte
Hvis - og - er differensierbare funksjoner ved punktet , (dvs. funksjoner som har deriverte i punktet), så:
4) 
.
Tabell over derivater av grunnleggende funksjoner
1. 8. 
2. 9. 
3. 
10.
5. 
12. 
6. 
13.
7. 
Regel for differensiering kompleks funksjon. Hvis og , dvs. , hvor og har derivater, da
Differensiering av en funksjon spesifisert parametrisk. La en variabels avhengighet av en variabel spesifiseres parametrisk ved hjelp av parameteren:
Oppgave 3. Finn deriverte av disse funksjonene.
1) 
Løsning. Ved å bruke regel 2 for å finne derivater og formler 1 og 2 i derivattabellen får vi:
Løsning. Ved å bruke regel 4 for å finne derivater og formlene 1 og 13 i derivattabellen får vi:
.
Løsning. Ved å bruke regel 3 for å finne derivater og formlene 5 og 11 i derivattabellen får vi:
Løsning. Forutsatt , hvor , i henhold til formelen for å finne den deriverte av en kompleks funksjon, får vi:
Løsning. Vi har: Så, i henhold til formelen for å finne den deriverte av en funksjon spesifisert parametrisk, får vi:
4. Høyere ordens derivater. L'Hopitals regel.
Andreordens deriverte av funksjonen kalles derivatet av dets derivat, dvs. . Følgende notasjoner brukes for den andre deriverte: eller , eller .
Derivert av 1. orden av funksjonen kalles den deriverte av dens th-ordens deriverte. For den deriverte av th orden brukes følgende notasjoner: eller , eller .
L'Hopitals regel. La funksjonene og være differensierbare i et nabolag av punktet , og den deriverte forsvinner ikke. Hvis funksjonene og samtidig er enten uendelig eller uendelig stor ved , og det er en grense for forholdet ved , så er det også en grense for forholdet ved . Dessuten
.
Regelen gjelder også når .
Merk at i noen tilfeller kan avsløring av usikkerheter av typen eller kreve gjentatt anvendelse av L'Hopitals regel.
Type usikkerhet osv. ved hjelp av elementære transformasjoner kan de lett reduseres til usikkerheter i formen eller .
Oppgave 4. Finn grensen ved å bruke L'Hopitals regel.
Løsning Her har vi usikkerhet på formen, pga kl. La oss bruke L'Hopitals regel:
.
Etter å ha brukt L'Hopitals regel, fikk vi igjen usikkerhet om formen, fordi kl. Ved å bruke L'Hopitals regel igjen får vi:
.
5. Funksjonsstudie
a) Økende og reduserende funksjoner
Funksjonen kalles økende på segmentet , hvis for noen punkter og fra segmentet , hvor , ulikheten gjelder. Hvis en funksjon er kontinuerlig på et intervall og for , så øker den på intervallet.
Funksjonen kalles avtagende på segmentet , hvis for noen punkter og fra segmentet , hvor , ulikheten gjelder. Hvis en funksjon er kontinuerlig på et intervall og for , avtar den på intervallet.
Hvis en funksjon bare øker eller bare avtar på et gitt intervall, kalles den monotont på intervallet.
b) Ekstrema av funksjoner
minimumspoeng funksjoner .
Hvis det er et -nabolag av punktet slik at for alle punkter fra dette nabolaget gjelder ulikheten, så kalles punktet maksimum poeng funksjoner .
Maksimums- og minimumspunktene til en funksjon kalles dens ekstreme punkter.
Poenget heter stasjonært punkt, hvis eller ikke eksisterer.
Hvis det er et -nabolag til et stasjonært punkt slik at for og for , så er det maksimale punktet for funksjonen.
Hvis det er et -nabolag til et stasjonært punkt slik at ved og ved , så -punktet for minimum av funksjonen .
en) Konveks retning. Bøyningspunkter
konveks opp på intervallet , hvis den er plassert under tangenten plottet til grafen til funksjonen på et hvilket som helst punkt i dette intervallet.
En tilstrekkelig betingelse for oppoverkonveksitet av grafen til en funksjon på et intervall er oppfyllelsen av ulikheten for et av de betraktede intervallene.
Grafen til en differensierbar funksjon kalles konveks ned på intervallet , hvis den er plassert over tangenten plottet til grafen til funksjonen på et hvilket som helst punkt i dette intervallet.
En tilstrekkelig betingelse for den nedadgående konveksiteten til grafen til en funksjon på et intervall er oppfyllelsen av ulikheten for et av de betraktede intervallene.
Punktet der konveksitetsretningen til grafen til en funksjon endres kalles bøyningspunkt.
Et punkt der eller ikke eksisterer er abscissen til et bøyningspunkt hvis tegnene til venstre og høyre for det er forskjellige.
d) Asymptoter
Hvis avstanden fra et punkt på grafen til en funksjon til en bestemt rett linje har en tendens til null når punktet beveger seg uendelig vekk fra origo, kalles den rette linjen asymptote av grafen til funksjonen.
Hvis det er et tall slik at , så er linjen vertikal asymptote.
Hvis det er grenser 
, så er linjen skrå (horisontal ved k=0) asymptote.
e) Generell studie av funksjon
1. Funksjonsdomene
2. Skjæringspunkter for grafen med koordinataksene
3. Studie av en funksjon for kontinuitet, partall/oddetall og periodisitet
4. Intervaller for monotonisitet til en funksjon
5. Ekstrempunkter for funksjonen
6. Konveksitetsintervaller og bøyningspunkter for en funksjonsgraf
7. Asymptoter av grafen til en funksjon
8. Funksjonsgraf.
Oppgave 5. Utforsk funksjonen og bygg dens graf.
Løsning. 1) Funksjonen er definert på hele tallinjen bortsett fra punktet hvor nevneren til brøken går til null. . Vi har: tilhører ikke definisjonsdomenet til denne funksjonen. Følgelig er de stasjonære punktene til denne funksjonen punktene med minimumsverdien (som vist i figuren).
8) Ved å bruke dataene som er oppnådd, la oss bygge en graf av den opprinnelige funksjonen:
